Com este vídeo, começo uma série de aulas sobre sistemas de equações. Hoje falaremos sobre a solução de sistemas equações lineares método de adição- é um dos melhores maneiras simples mas também um dos mais eficazes.

O método de adição consiste em três simples degraus:

1. Observe o sistema e escolha uma variável que tenha os mesmos (ou opostos) coeficientes em cada equação;
2. Realize a subtração algébrica (para números opostos - adição) de equações entre si e, em seguida, traga termos semelhantes;
3. Resolva a nova equação obtida após a segunda etapa.

Se tudo for feito corretamente, na saída, obteremos uma única equação com uma variável- Não será difícil de resolver. Então resta apenas substituir a raiz encontrada no sistema original e obter a resposta final.

Porém, na prática não é tão simples. Há várias razões para isso:

• Resolver equações por adição implica que todas as linhas devem conter variáveis ​​com os mesmos/opostos coeficientes. E se esse requisito não for atendido?
• Nem sempre, após somar/subtrair equações desta forma, obteremos uma bela construção que se resolve facilmente. É possível de alguma forma simplificar os cálculos e acelerar os cálculos?

Para obter uma resposta a essas perguntas e, ao mesmo tempo, lidar com algumas sutilezas adicionais que muitos alunos “caem”, assista ao meu tutorial em vídeo:

Com esta lição, começamos uma série de palestras sobre sistemas de equações. E vamos começar com o mais simples deles, ou seja, aqueles que contêm duas equações e duas variáveis. Cada um deles será linear.

Sistemas é um material da 7ª série, mas esta lição também será útil para alunos do ensino médio que desejam aprimorar seus conhecimentos sobre esse tópico.

Em geral, existem dois métodos para resolver tais sistemas:

1. Método de adição;
2. Um método de expressar uma variável em termos de outra.

Hoje vamos lidar com o primeiro método - usaremos o método de subtração e adição. Mas para isso você precisa entender o seguinte fato: uma vez que você tenha duas ou mais equações, você pode pegar duas delas e somá-las. Eles são adicionados termo a termo, ou seja, "Xs" são adicionados a "Xs" e semelhantes são dados, "jogos" a "jogos" - os semelhantes são novamente fornecidos, e o que está à direita do sinal de igual também é adicionado um ao outro, e os semelhantes são também dado lá.

O resultado de tais maquinações será uma nova equação que, se tiver raízes, certamente estará entre as raízes da equação original. Portanto, nossa tarefa é fazer a subtração ou adição de tal forma que $x$ ou $y$ desapareçam.

Como conseguir isso e qual ferramenta usar para isso - falaremos sobre isso agora.

Resolvendo problemas fáceis usando o método de adição

Então, estamos aprendendo a aplicar o método de adição usando o exemplo de duas expressões simples.

Tarefa nº 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Observe que $y$ tem um coeficiente de $-4$ na primeira equação e $+4$ na segunda. Eles são mutuamente opostos, por isso é lógico supor que, se os somarmos, na quantidade resultante, os “jogos” se aniquilarão mutuamente. Adicionamos e obtemos:

Resolvemos a construção mais simples:

Ótimo, encontramos o X. O que fazer com ele agora? Podemos substituí-lo em qualquer uma das equações. Vamos colocar no primeiro:

\[-4y=12\esquerda| :\left(-4 \right) \right.\]

Resposta: $\esquerda(2;-3\direita)$.

Tarefa nº 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Aqui, a situação é completamente semelhante, apenas com os Xs. Vamos juntá-los:

Temos a equação linear mais simples, vamos resolvê-la:

Agora vamos encontrar $x$:

Resposta: $\esquerda(-3;3\direita)$.

Pontos importantes

Então, acabamos de resolver dois sistemas simples de equações lineares usando o método de adição. Mais uma vez os pontos principais:

1. Se houver coeficientes opostos para uma das variáveis, é necessário adicionar todas as variáveis ​​na equação. Neste caso, um deles será destruído.
2. Substituímos a variável encontrada em qualquer uma das equações do sistema para encontrar a segunda.
3. O registro final da resposta pode ser apresentado de diferentes maneiras. Por exemplo, assim - $x=...,y=...$, ou na forma de coordenadas de pontos - $\left(...;... \right)$. A segunda opção é preferível. A principal coisa a lembrar é que a primeira coordenada é $x$ e a segunda é $y$.
4. A regra para escrever a resposta na forma de coordenadas de ponto nem sempre é aplicável. Por exemplo, não pode ser usado quando o papel das variáveis ​​não é $x$ e $y$, mas, por exemplo, $a$ e $b$.

Nos problemas a seguir, consideraremos a técnica de subtração quando os coeficientes não forem opostos.

Resolvendo problemas fáceis usando o método de subtração

Tarefa nº 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Observe que não há coeficientes opostos aqui, mas há idênticos. Portanto, subtraímos a segunda equação da primeira equação:

Agora substituímos o valor de $x$ em qualquer uma das equações do sistema. Vamos primeiro:

Resposta: $\esquerda(2;5\direita)$.

Tarefa nº 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Vemos novamente o mesmo coeficiente $5$ para $x$ na primeira e na segunda equações. Portanto, é lógico supor que você precisa subtrair a segunda da primeira equação:

Calculamos uma variável. Agora vamos encontrar a segunda, por exemplo, substituindo o valor de $y$ na segunda construção:

Resposta: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuances da solução

Então o que vemos? Em essência, o esquema não é diferente da solução dos sistemas anteriores. A única diferença é que não adicionamos equações, mas as subtraímos. Estamos fazendo subtração algébrica.

Em outras palavras, assim que você vê um sistema composto por duas equações com duas incógnitas, a primeira coisa que você precisa observar são os coeficientes. Se forem iguais em qualquer lugar, as equações são subtraídas e, se forem opostas, o método de adição é aplicado. Isso sempre é feito para que uma delas desapareça, e na equação final que resta após a subtração, restaria apenas uma variável.

Claro, isso não é tudo. Agora vamos considerar sistemas em que as equações são geralmente inconsistentes. Aqueles. não existem tais variáveis ​​neles que seriam iguais ou opostas. Neste caso, para resolver tais sistemas, é utilizada uma técnica adicional, a saber, a multiplicação de cada uma das equações por um coeficiente especial. Como encontrá-lo e como resolver esses sistemas em geral, agora falaremos sobre isso.

Resolvendo problemas multiplicando por um coeficiente

Exemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vemos que nem para $x$ nem para $y$ os coeficientes não são apenas opostos entre si, mas em geral não se correlacionam de forma alguma com outra equação. Esses coeficientes não desaparecerão de forma alguma, mesmo se somarmos ou subtrairmos as equações umas das outras. Portanto, é necessário aplicar a multiplicação. Vamos tentar nos livrar da variável $y$. Para fazer isso, multiplicamos a primeira equação pelo coeficiente de $y$ da segunda equação, e a segunda equação pelo coeficiente de $y$ da primeira equação, sem alterar o sinal. Multiplicamos e obtemos um novo sistema:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Vejamos: para $y$, coeficientes opostos. Em tal situação, é necessário aplicar o método de adição. Vamos adicionar:

Agora precisamos encontrar $y$. Para fazer isso, substitua $x$ na primeira expressão:

\[-9y=18\esquerda| :\left(-9 \right) \right.\]

Resposta: $\esquerda(4;-2\direita)$.

Exemplo #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Novamente, os coeficientes para nenhuma das variáveis ​​são consistentes. Vamos multiplicar pelos coeficientes em $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Nosso novo sistema é equivalente ao anterior, mas os coeficientes de $y$ são opostos entre si e, portanto, é fácil aplicar o método de adição aqui:

Agora encontre $y$ substituindo $x$ na primeira equação:

Resposta: $\esquerda(-2;1\direita)$.

Nuances da solução

A regra-chave aqui é a seguinte: sempre multiplique apenas por números positivos - isso o salvará de erros estúpidos e ofensivos associados à mudança de sinais. Em geral, o esquema de solução é bastante simples:

1. Observamos o sistema e analisamos cada equação.
2. Se virmos que nem para $y$ nem para $x$ os coeficientes são consistentes, ou seja, eles não são iguais nem opostos, então fazemos o seguinte: selecionamos a variável a ser eliminada, e então observamos os coeficientes nestas equações. Se multiplicarmos a primeira equação pelo coeficiente da segunda e multiplicarmos a segunda, correspondente, pelo coeficiente da primeira, obteremos um sistema completamente equivalente ao anterior e os coeficientes em $ y$ será consistente. Todas as nossas ações ou transformações visam apenas obter uma variável em uma equação.
3. Encontramos uma variável.
4. Substituímos a variável encontrada em uma das duas equações do sistema e encontramos a segunda.
5. Escrevemos a resposta na forma de coordenadas de pontos, se tivermos as variáveis ​​$x$ e $y$.

Mas mesmo um algoritmo tão simples tem suas próprias sutilezas, por exemplo, os coeficientes de $x$ ou $y$ podem ser frações e outros números "feios". Vamos agora considerar esses casos separadamente, porque neles você pode agir de maneira um pouco diferente do que de acordo com o algoritmo padrão.

Resolvendo problemas com números fracionários

Exemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Primeiro, observe que a segunda equação contém frações. Mas note que você pode dividir $ 4 $ por $ 0,8 $. Recebemos $ 5 $. Vamos multiplicar a segunda equação por $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Subtraímos as equações uma da outra:

$n$ encontramos, agora calculamos $m$:

Resposta: $n=-4;m=5$

Exemplo #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ certo.\]

Aqui, como no sistema anterior, existem coeficientes fracionários, porém, para nenhuma das variáveis, os coeficientes não se encaixam um número inteiro de vezes. Portanto, usamos o algoritmo padrão. Livre-se de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Vamos usar o método de subtração:

Vamos encontrar $p$ substituindo $k$ na segunda construção:

Resposta: $p=-4;k=-2$.

Nuances da solução

Isso é tudo otimização. Na primeira equação, não multiplicamos por nada, e a segunda equação foi multiplicada por $5$. Como resultado, obtivemos uma equação consistente e até mesmo a mesma para a primeira variável. No segundo sistema, agimos de acordo com o algoritmo padrão.

Mas como encontrar os números pelos quais você precisa multiplicar as equações? Afinal, se multiplicarmos por números fracionários, obtemos novas frações. Portanto, as frações devem ser multiplicadas por um número que daria um novo inteiro e, em seguida, as variáveis ​​devem ser multiplicadas por coeficientes, seguindo o algoritmo padrão.

Em conclusão, gostaria de chamar sua atenção para o formato do registro de resposta. Como já disse, como aqui não temos $x$ e $y$ aqui, mas outros valores, usamos uma notação não padronizada do formulário:

Resolvendo sistemas complexos de equações

Como toque final para o tutorial em vídeo de hoje, vamos dar uma olhada em alguns sistemas realmente complexos. A sua complexidade consistirá no facto de conterem variáveis ​​tanto à esquerda como à direita. Portanto, para resolvê-los, teremos que aplicar o pré-processamento.

Sistema #1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Cada equação carrega uma certa complexidade. Portanto, com cada expressão, vamos fazer como com uma construção linear normal.

No total, obtemos o sistema final, que é equivalente ao original:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Vejamos os coeficientes de $y$: $3$ cabe em $6$ duas vezes, então multiplicamos a primeira equação por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Os coeficientes de $y$ agora são iguais, então subtraímos o segundo da primeira equação: $$

Agora vamos encontrar $y$:

Resposta: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistema #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Vamos transformar a primeira expressão:

Vamos tratar do segundo:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

No total, nosso sistema inicial terá a seguinte forma:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Observando os coeficientes de $a$, vemos que a primeira equação precisa ser multiplicada por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Subtraímos a segunda da primeira construção:

Agora encontre $a$:

Resposta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Isso é tudo. Espero que este tutorial em vídeo ajude você a entender esse tópico difícil, ou seja, resolver sistemas de equações lineares simples. Haverá muito mais lições sobre este tópico: analisaremos mais exemplos complexos, onde haverá mais variáveis, e as próprias equações já serão não lineares. Vejo você em breve!

Nesta lição, continuaremos a estudar o método para resolver sistemas de equações, a saber: o método adição algébrica. Primeiro, considere a aplicação deste método no exemplo de equações lineares e sua essência. Vamos lembrar também como equalizar coeficientes em equações. E vamos resolver uma série de problemas na aplicação deste método.

Tópico: Sistemas de Equações

Lição: Método de adição algébrica

1. Método de adição algébrica no exemplo de sistemas lineares

Considerar método de adição algébrica no exemplo de sistemas lineares.

Exemplo 1. Resolva o sistema

Se somarmos essas duas equações, os y se cancelam e a equação para x permanece.

Se subtrairmos a segunda equação da primeira equação, x se cancelará e obteremos uma equação para y. Este é o significado do método de adição algébrica.

Resolvemos o sistema e lembramos do método da adição algébrica. Para repetir sua essência: podemos adicionar e subtrair equações, mas devemos garantir que obtenhamos uma equação com apenas uma incógnita.

2. Método de adição algébrica com ajuste preliminar de coeficientes

Exemplo 2. Resolva o sistema

O termo está presente em ambas as equações, então o método de adição algébrica é conveniente. Subtraia a segunda da primeira equação.

Resposta: (2; -1).

Assim, após analisar o sistema de equações, pode-se ver que é conveniente para o método da adição algébrica, e aplicá-lo.

Considere outro sistema linear.

3. Solução de sistemas não lineares

Exemplo 3. Resolva o sistema

Queremos nos livrar de y, mas as duas equações têm coeficientes diferentes para y. Nós os equalizamos, para isso multiplicamos a primeira equação por 3, a segunda - por 4.

Exemplo 4. Resolva o sistema

Equalize os coeficientes em x

Você pode fazer diferente - equalize os coeficientes em y.

Resolvemos o sistema aplicando o método de adição algébrica duas vezes.

O método de adição algébrica também é aplicável na resolução de sistemas não lineares.

Exemplo 5. Resolva o sistema

Vamos adicionar essas equações e vamos nos livrar de y.

O mesmo sistema pode ser resolvido aplicando o método de adição algébrica duas vezes. Adicionar e subtrair de uma equação outra.

Exemplo 6. Resolva o sistema

Responda:

Exemplo 7. Resolva o sistema

Usando o método da adição algébrica, nos livramos do termo xy. Multiplique a primeira equação por .

A primeira equação permanece inalterada, em vez da segunda escrevemos a soma algébrica.

Responda:

Exemplo 8. Resolva o sistema

Multiplique a segunda equação por 2 para encontrar um quadrado perfeito.

Nossa tarefa foi reduzida a resolver quatro sistemas simples.

4. Conclusão

Consideramos o método de adição algébrica usando o exemplo de resolução de sistemas lineares e não lineares. No próxima lição Consideremos o método de introdução de novas variáveis.

1. Mordkovich A. G. et al. Álgebra 9º ano: Proc. Para educação geral Instituições - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: il.

2. Mordkovich A. G. et al. Álgebra nota 9: Livro de tarefas para alunos instituições educacionais/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina e outros - 4ª ed. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: il.

3. Yu. N. Makarychev, Álgebra. 9º ano: livro didático. para alunos do ensino geral. instituições / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7ª edição, Rev. e adicional - M.: Mnemosine, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin e Yu. V. Sidorov, Algebra. 9º ano 16ª edição. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Álgebra. 9º ano Às 14h Parte 1. Livro didático para estudantes de instituições educacionais / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12ª ed., apagada. — M.: 2010. — 224 p.: ll.

6. Álgebra. 9º ano Às 2 horas Parte 2. Livro de tarefas para estudantes de instituições educacionais / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina e outros; Ed. A. G. Mordkovitch. - 12ª edição, Rev. — M.: 2010.-223 p.: ll.

1. Seção da faculdade. ru em matemática.

2. Projeto de Internet "Tarefas".

3. Portal educacional"VOU RESOLVER O USO".

1. Mordkovich A. G. et al. Álgebra 9ª série: Caderno de tarefas para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: il. Nº 125 - 127.

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Método de adição algébrica

Você pode resolver um sistema de equações com duas incógnitas jeitos diferentes- método gráfico ou método de substituição de variáveis.

Nesta lição, conheceremos outra maneira de resolver sistemas que você certamente gostará - este é o método de adição algébrica.

E de onde veio a ideia - colocar algo nos sistemas? Ao resolver sistemas problema principalé a presença de duas variáveis, porque não podemos resolver equações com duas variáveis. Portanto, é necessário excluir um deles de alguma forma legal. E essas formas legítimas são regras e propriedades matemáticas.

Uma dessas propriedades soa assim: a soma de números opostos é zero. Isso significa que, se houver coeficientes opostos para uma das variáveis, sua soma será igual a zero e poderemos excluir essa variável da equação. É claro que não temos o direito de adicionar apenas os termos com a variável que precisamos. É necessário adicionar as equações como um todo, ou seja, adicione separadamente termos semelhantes no lado esquerdo e depois no direito. Como resultado, obteremos uma nova equação contendo apenas uma variável. Vamos dar uma olhada em exemplos específicos.

Vemos que na primeira equação existe uma variável y, e na segunda o número oposto é y. Portanto, esta equação pode ser resolvida pelo método de adição.

Uma das equações é deixada como está. Qualquer um que você mais gosta.

Mas a segunda equação será obtida somando essas duas equações termo a termo. Aqueles. Adicione 3x a 2x, adicione y a -y, adicione 8 a 7.

Obtemos um sistema de equações

A segunda equação deste sistema é uma equação simples com uma variável. A partir dele, encontramos x \u003d 3. Substituindo o valor encontrado na primeira equação, encontramos y \u003d -1.

Resposta: (3; - 1).

Amostra de projeto:

Resolva o sistema de equações por adição algébrica

Não há variáveis ​​com coeficientes opostos neste sistema. Mas sabemos que ambos os lados da equação podem ser multiplicados pelo mesmo número. Vamos multiplicar a primeira equação do sistema por 2.

Então a primeira equação terá a forma:

Agora vemos que com a variável x existem coeficientes opostos. Então, faremos o mesmo que no primeiro exemplo: deixaremos uma das equações inalteradas. Por exemplo, 2y + 2x \u003d 10. E obtemos o segundo adicionando.

Agora temos um sistema de equações:

Encontramos facilmente a partir da segunda equação y = 1 e, em seguida, da primeira equação x = 4.

Amostra de projeto:

Vamos resumir:

Aprendemos como resolver sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas usando o método de adição algébrica. Assim, agora conhecemos três métodos principais para resolver tais sistemas: o método gráfico, o método de mudança de variável e o método de adição. Quase qualquer sistema pode ser resolvido usando esses métodos. Em casos mais complexos, uma combinação dessas técnicas é usada.

Lista de literatura usada:

1. Mordkovich A.G., Álgebra grau 7 em 2 partes, Parte 1, Livro didático para instituições educacionais / A.G. Mordkovich. - 10ª ed., revisada - Moscou, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra grau 7 em 2 partes, Parte 2, Livro de tarefas para instituições educacionais / [A.G. Mordkovich e outros]; editado por A. G. Mordkovich - 10ª edição, revisada - Moscou, Mnemosyne, 2007.
3. SUA. Tulchinskaya, Álgebra 7º ano. Pesquisa Blitz: um guia para estudantes de instituições educacionais, 4ª edição, revisada e complementada, Moscou, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., Álgebra Série 7. Temático trabalho de verificação dentro nova forma para estudantes de instituições de ensino, editado por A.G. Mordkovich, Moscou, "Mnemosyne", 2011.
5. Aleksandrova L.A. Álgebra 7º ano. Trabalho independente para estudantes de instituições de ensino, editado por A.G. Mordkovich - 6ª edição, estereotipada, Moscou, "Mnemosyne", 2010.

Com a ajuda deste programa matemático você pode resolver um sistema de duas equações lineares com duas variáveis ​​usando o método de substituição e o método de adição.

O programa não só dá a resposta ao problema, mas também fornece uma solução detalhada com explicações das etapas da solução de duas maneiras: o método de substituição e o método de adição.

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Regras para inserir equações

Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Ao inserir equações você pode usar colchetes. Neste caso, as equações são primeiro simplificadas. As equações após simplificações devem ser lineares, ou seja, da forma ax+by+c=0 com a precisão da ordem dos elementos.
Por exemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2

Nas equações, você pode usar não apenas números inteiros, mas também números fracionários na forma de frações decimais e ordinárias.

Regras para inserir frações decimais.
As partes inteiras e fracionárias em frações decimais podem ser separadas por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo: 2,1n + 3,5m = 55

Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.
O denominador não pode ser negativo.
Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
parte inteira separado da fração por um e comercial: &

Exemplos.
-1&2/3a + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Resolver um sistema de equações

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Resolução de sistemas de equações lineares. Método de substituição

A sequência de ações ao resolver um sistema de equações lineares pelo método de substituição:
1) expressar uma variável de alguma equação do sistema em função de outra;
2) substituir a expressão resultante em outra equação do sistema ao invés desta variável;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Vamos expressar da primeira equação y até x: y = 7-3x. Substituindo a expressão 7-3x em vez de y na segunda equação, obtemos o sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

É fácil mostrar que o primeiro e o segundo sistemas têm as mesmas soluções. No segundo sistema, a segunda equação contém apenas uma variável. Vamos resolver esta equação:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Substituindo o número 1 em vez de x na equação y=7-3x, encontramos o valor correspondente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - solução do sistema

Sistemas de equações em duas variáveis ​​que têm as mesmas soluções são chamados equivalente. Sistemas que não possuem soluções também são considerados equivalentes.

Resolvendo sistemas de equações lineares adicionando

Considere outra maneira de resolver sistemas de equações lineares - o método de adição. Ao resolver sistemas dessa maneira, bem como ao resolver pelo método de substituição, passamos de um determinado sistema para outro sistema equivalente a ele, no qual uma das equações contém apenas uma variável.

A sequência de ações ao resolver um sistema de equações lineares pelo método de adição:
1) multiplique as equações do sistema termo por termo, escolhendo os fatores para que os coeficientes de uma das variáveis ​​se tornem números opostos;
2) somar termo a termo as partes esquerda e direita das equações do sistema;
3) resolva a equação resultante com uma variável;
4) encontre o valor correspondente da segunda variável.

Exemplo. Vamos resolver o sistema de equações:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Nas equações deste sistema, os coeficientes de y são números opostos. Somando termo a termo as partes esquerda e direita das equações, obtemos uma equação com uma variável 3x=33. Vamos substituir uma das equações do sistema, por exemplo a primeira, pela equação 3x=33. Vamos pegar o sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Da equação 3x=33 encontramos que x=11. Substituindo este valor x na equação \(x-3y=38 \) obtemos uma equação com a variável y: \(11-3y=38 \). Vamos resolver esta equação:
\(-3y=27 \Seta para a direita y=-9 \)

Assim, encontramos a solução do sistema de equações adicionando: \(x=11; y=-9 \) ou \((11; -9) \)

Aproveitando o fato de que nas equações do sistema os coeficientes de y são números opostos, reduzimos sua solução à solução de um sistema equivalente (somando ambas as partes de cada uma das equações do simema original), em que uma das equações contém apenas uma variável.

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Usando o método de adição, as equações do sistema são somadas termo a termo, enquanto 1 ou ambas (várias) equações podem ser multiplicadas por qualquer número. Como resultado, eles chegam a um SLE equivalente, onde uma das equações tem apenas uma variável.

Para resolver o sistema termo por termo adição (subtração) siga os próximos passos:

1. Selecionamos uma variável para a qual serão feitos os mesmos coeficientes.

2. Agora você precisa adicionar ou subtrair as equações e obter uma equação com uma variável.

Solução do sistema são os pontos de interseção dos gráficos da função.

Vejamos exemplos.

Exemplo 1

Sistema dado:

Depois de analisar este sistema, você pode ver que os coeficientes da variável são iguais em valor absoluto e diferentes em sinal (-1 e 1). Neste caso, as equações podem ser facilmente adicionadas termo a termo:

As ações circuladas em vermelho são executadas na mente.

O resultado da adição termo a termo foi o desaparecimento da variável y. É neste e Este, de fato, é o significado do método - para se livrar da primeira das variáveis.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Como sistema, a solução fica assim:

Responda: x = -4 , y = 1.

Exemplo 2

Sistema dado:

Neste exemplo, você pode usar o método "school", mas tem um sinal de menos grande - quando você expressa qualquer variável de qualquer equação, obtém uma solução em frações comuns. E resolver frações leva tempo suficiente e a probabilidade de cometer erros aumenta.

Portanto, é melhor usar a adição termo a termo (subtração) de equações. Vamos analisar os coeficientes das variáveis ​​correspondentes:

Encontre um número que possa ser dividido por 3 e em 4 , embora seja necessário que esse número seja o menor possível. isto mínimo múltiplo comum. Se for difícil para você encontrar o número certo, então você pode multiplicar os coeficientes:.

O próximo passo:

Multiplique a 1ª equação por ,

Multiplique a 3ª equação por ,