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D C Construir um triângulo usando dois lados e o ângulo entre eles. hk h 1. Vamos construir o raio a. 2. Separe um segmento AB igual a P 1 Q Construa um ângulo igual a este. 4. Deixemos de lado o segmento AC igual a P 2 Q 2. VA Δ ABC é o desejado. Dado: Segmentos P 1 Q 1 e P 2 Q 2, Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 a k Documento: Por construção AB=P 1 Q 1, AC=P 2 Q 2, A= hk. Construir. Construção.

Para quaisquer segmentos AB=P 1 Q 1, AC=P 2 Q 2 e um determinado hk não desenvolvido, o triângulo necessário pode ser construído. Como a linha reta a e o ponto A nela podem ser escolhidos arbitrariamente, existem infinitos triângulos que satisfazem as condições do problema. Todos esses triângulos são iguais entre si (de acordo com o primeiro sinal de igualdade dos triângulos), por isso costuma-se dizer que esta tarefa tem uma solução única.

D C Construir um triângulo usando um lado e dois ângulos adjacentes. h 1 k 1, h 2 k 2 h2h2 1. Vamos construir o raio a. 2. Separe um segmento AB igual a P 1 Q Construa um ângulo igual ao dado h 1 k Construa um ângulo igual a h 2 k 2. Em A Δ ABC é o desejado. Δ ABC é o desejado. Dado: Segmento P 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 a k2k2 h1h1 k1k1 N Doc: Por construção AB=P 1 Q 1, B= h 1 k 1, A= h 2 k 2. Construir Δ. Construção.

C 1. Vamos construir um raio a. 2. Separe um segmento AB igual a P 1 Q. Construa um arco com centro no ponto A e raio P 2 Q. Construa um arco com centro no ponto B e raio P 3 Q 3. VA Δ ABC é o desejado um. Dado: Segmentos P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 a P2P2 Q3Q3 Construção de um triângulo usando três lados. Doc: Pela construção AB=P 1 Q 1, AC=P 2 Q 2 CA= P 3 Q 3, ou seja, os lados Δ ABC são iguais a esses segmentos. Construa Δ. Construção.

Um problema nem sempre tem solução. Em qualquer triângulo, a soma de quaisquer dois lados é maior que o terceiro lado, portanto, se algum dos segmentos dados for maior ou igual à soma dos outros dois, então é impossível construir um triângulo cujos lados seriam igual a esses segmentos.

Sua essência é construir qualquer objeto geométrico de acordo com qualquer conjunto suficiente de condições iniciais, tendo apenas um compasso e uma régua em mãos. Vamos considerar esquema geral para executar as seguintes tarefas:

Análise de tarefas.

Esta parte inclui estabelecer uma conexão entre os elementos que precisam ser construídos e as condições iniciais do problema. Após completar este ponto, devemos ter um plano para resolver nosso problema.

Construção.

Aqui realizamos a construção de acordo com o plano que traçamos acima.

Prova.

Aqui provamos que a figura que construímos realmente satisfaz as condições iniciais do problema.

Estudar.

Aqui descobrimos em quais dados o problema tem uma solução, em quais existem várias e em quais não há nenhuma.

A seguir, consideraremos problemas de construção de triângulos usando vários três elementos. Aqui não consideraremos construções elementares, como segmento, ângulo, etc. Até agora você já deve ter essas habilidades.

Construindo um triângulo usando dois lados e o ângulo entre eles

Exemplo 1

Construa um triângulo se tivermos dois lados e um ângulo entre esses lados.

Análise.

Sejam dados os segmentos $AB$ e $AC$ e o ângulo $α$. Precisamos construir um triângulo $ABC$ com ângulo $C$ igual a $α$.

Vamos traçar um plano de construção:

1. Tomando $AB$ como um dos lados do ângulo, separamos dele o ângulo $BAM$, igual ao ângulo $α$.
2. Na reta $AM$ traçamos o segmento $AC$.
3. Vamos conectar os pontos $B$ e $C$.

Construção.

Vamos construir um desenho de acordo com o plano traçado acima (Fig. 1).

Prova.

Estudar.

Como a soma dos ângulos de um triângulo é $180^\circ$. Isso significa que se o ângulo α for maior ou igual a $180^\circ$, então o problema não terá solução.

Caso contrário, existe uma solução. Como a reta $a$ é uma reta arbitrária, haverá um número infinito de tais triângulos. Mas, como são todos iguais segundo o primeiro sinal, assumiremos que a solução para este problema é única.

Construindo um triângulo usando três lados

Exemplo 2

Construa um triângulo se tivermos três lados.

Análise.

Receberemos os segmentos $AB$ e $AC$ e $BC$. Precisamos construir o triângulo $ABC$.

Vamos traçar um plano de construção:

1. Vamos desenhar uma linha reta $a$ e construir um segmento $AB$ nela.
2. Vamos construir $2$ círculos: o primeiro com centro $A$ e raio $AC$, e o segundo com centro $B$ e raio $BC$.
3. Vamos conectar um dos pontos de intersecção dos círculos (que será o ponto $C$) com os pontos $A$ e $B$.

Construção.

Vamos construir um desenho de acordo com o plano traçado acima (Fig. 2).

Prova.

Pela construção fica claro que tudo condições iniciais concluído.

Estudar.

Pela desigualdade triangular sabemos que qualquer lado deve ser menor que a soma dos outros dois. Consequentemente, quando tal desigualdade não for satisfeita para os três segmentos originais, o problema não terá solução.

Como os círculos da construção têm dois pontos de intersecção, podemos construir dois desses triângulos. Mas, como são iguais segundo o terceiro critério, assumiremos que a solução para este problema é única.

Construindo um triângulo usando um lado e dois ângulos adjacentes

Exemplo 3

Construa um triângulo se tivermos um lado e os ângulos $α$ e $β$ adjacentes a ele.

Análise.

Seja-nos dado um segmento $BC$ e ângulos $α$ e $β$. Precisamos construir um triângulo $ABC$, onde $∠B=α$ e $∠C=β$.

Vamos traçar um plano de construção:

1. Vamos desenhar uma linha reta $a$ e construir um segmento $BC$ nela.
2. Vamos construir um ângulo $∠ K=α$ no vértice $B$ ao lado $BC$.
3. Vamos construir um ângulo $∠ M=β$ no vértice $C$ ao lado $BC$.
4. Vamos conectar o ponto de intersecção (este será o ponto $A$) dos raios $∠ K$ e $∠ M$ com os pontos $C$ e $B$,

Construção.

Vamos construir um desenho de acordo com o plano traçado acima (Fig. 3).

Prova.

Da construção fica claro que todas as condições iniciais foram atendidas.

Estudar.

Como a soma dos ângulos de um triângulo é igual a $180^\circ$, então se $α+β≥180^\circ$ o problema não terá solução.

Caso contrário, existe uma solução. Como podemos construir ângulos de ambos os lados, podemos construir dois desses triângulos. Mas, como são iguais segundo o segundo critério, assumiremos que a solução para este problema é única.

Por fim, considere um problema cuja solução leva à construção de um triângulo utilizando um lado e dois ângulos:

Do outro lado do rio (Fig. 72) é visível um marco A. É necessário, sem cruzar o rio, saber a distância até ele desde o marco EM nesta margem.

Vamos fazer isso. Vamos medir a partir do ponto EM qualquer distância em linha reta Sol e no final disso EM E COM Vamos medir os ângulos 1 e 2 (Fig. 73). Se agora medirmos a distância numa área conveniente DE, igual Sol, e construir ângulos em suas extremidades A E b(Fig. 74), iguais aos ângulos 1 e 2, então no ponto de intersecção de seus lados obtemos o terceiro vértice F triângulo DEF.É fácil verificar que o triângulo DEF igual a um triângulo abc; na verdade, se imaginarmos que o triângulo DEF sobreposto em abc então esse lado DE coincidiu com seu lado igual Sol, então ug. A coincidirá com o ângulo 1, ângulo b- com ângulo 2 e lado DF irá para o lado VA, e o lado FE no lado SA. Como duas retas só podem se cruzar em um ponto, então o vértice F deve coincidir com o topo A. Então a distância DF igual à distância necessária VA.

O problema, como vemos, só tem uma solução. Em geral, utilizando um lado e dois ângulos adjacentes a este lado, apenas um triângulo pode ser construído; Não pode haver outros triângulos com o mesmo lado e os mesmos dois ângulos adjacentes a ele nos mesmos lugares. Todos os triângulos que têm um lado idêntico e dois ângulos idênticos adjacentes a ele nos mesmos lugares podem ser colocados em completa coincidência por superposição. Isso significa que este é um sinal pelo qual se pode estabelecer a igualdade completa dos triângulos.

Juntamente com os sinais de igualdade de triângulos previamente estabelecidos, conhecemos agora os três seguintes:

Triângulos:

em três lados;

nos dois lados e no ângulo entre eles;

na lateral e nos dois lados.

Por uma questão de brevidade, denotaremos ainda esses três casos de igualdade de triângulos da seguinte forma:

em três lados: SSS;

em dois lados e o ângulo entre eles: SUS;

ao longo da lateral e em dois cantos: USU.

Formulários

14. Para descobrir a distância até um ponto A do outro lado do rio a partir do ponto EM nesta margem (Fig. 5), meça alguma linha em linha reta sol, então no ponto EM construir um ângulo igual a abc, por outro lado Sol, e no ponto COM- da mesma forma, um ângulo igual a DIA Distância do ponto D intersecção dos lados de ambos os lados dos ângulos até o ponto EM igual à distância necessária AB. Por que?

Solução: Triângulos abc E CDB iguais de um lado ( Sol) e dois ângulos (ang. DCB= eg. DIA; Ug. DBC= eg. abc.) Por isso, AB= VD, como os lados deitados triângulos iguais contra ângulos iguais.

Sua essência é construir qualquer objeto geométrico de acordo com qualquer conjunto suficiente de condições iniciais, tendo apenas um compasso e uma régua em mãos. Consideremos um esquema geral para realizar tais tarefas:

Análise de tarefas.

Esta parte inclui estabelecer uma conexão entre os elementos que precisam ser construídos e as condições iniciais do problema. Após completar este ponto, devemos ter um plano para resolver nosso problema.

Construção.

Aqui realizamos a construção de acordo com o plano que traçamos acima.

Prova.

Aqui provamos que a figura que construímos realmente satisfaz as condições iniciais do problema.

Estudar.

Aqui descobrimos em quais dados o problema tem uma solução, em quais existem várias e em quais não há nenhuma.

A seguir, consideraremos problemas de construção de triângulos usando vários três elementos. Aqui não consideraremos construções elementares, como segmento, ângulo, etc. Até agora você já deve ter essas habilidades.

Construindo um triângulo usando dois lados e o ângulo entre eles

Exemplo 1

Construa um triângulo se tivermos dois lados e um ângulo entre esses lados.

Análise.

Sejam dados os segmentos $AB$ e $AC$ e o ângulo $α$. Precisamos construir um triângulo $ABC$ com ângulo $C$ igual a $α$.

Vamos traçar um plano de construção:

1. Tomando $AB$ como um dos lados do ângulo, separamos dele o ângulo $BAM$, igual ao ângulo $α$.
2. Na reta $AM$ traçamos o segmento $AC$.
3. Vamos conectar os pontos $B$ e $C$.

Construção.

Vamos construir um desenho de acordo com o plano traçado acima (Fig. 1).

Prova.

Estudar.

Como a soma dos ângulos de um triângulo é $180^\circ$. Isso significa que se o ângulo α for maior ou igual a $180^\circ$, então o problema não terá solução.

Caso contrário, existe uma solução. Como a reta $a$ é uma reta arbitrária, haverá um número infinito de tais triângulos. Mas, como são todos iguais segundo o primeiro sinal, assumiremos que a solução para este problema é única.

Construindo um triângulo usando três lados

Exemplo 2

Construa um triângulo se tivermos três lados.

Análise.

Receberemos os segmentos $AB$ e $AC$ e $BC$. Precisamos construir o triângulo $ABC$.

Vamos traçar um plano de construção:

1. Vamos desenhar uma linha reta $a$ e construir um segmento $AB$ nela.
2. Vamos construir $2$ círculos: o primeiro com centro $A$ e raio $AC$, e o segundo com centro $B$ e raio $BC$.
3. Vamos conectar um dos pontos de intersecção dos círculos (que será o ponto $C$) com os pontos $A$ e $B$.

Construção.

Vamos construir um desenho de acordo com o plano traçado acima (Fig. 2).

Prova.

Da construção fica claro que todas as condições iniciais foram atendidas.

Estudar.

Pela desigualdade triangular sabemos que qualquer lado deve ser menor que a soma dos outros dois. Consequentemente, quando tal desigualdade não for satisfeita para os três segmentos originais, o problema não terá solução.

Como os círculos da construção têm dois pontos de intersecção, podemos construir dois desses triângulos. Mas, como são iguais segundo o terceiro critério, assumiremos que a solução para este problema é única.

Construindo um triângulo usando um lado e dois ângulos adjacentes

Exemplo 3

Construa um triângulo se tivermos um lado e os ângulos $α$ e $β$ adjacentes a ele.

Análise.

Seja-nos dado um segmento $BC$ e ângulos $α$ e $β$. Precisamos construir um triângulo $ABC$, onde $∠B=α$ e $∠C=β$.

Vamos traçar um plano de construção:

1. Vamos desenhar uma linha reta $a$ e construir um segmento $BC$ nela.
2. Vamos construir um ângulo $∠ K=α$ no vértice $B$ ao lado $BC$.
3. Vamos construir um ângulo $∠ M=β$ no vértice $C$ ao lado $BC$.
4. Vamos conectar o ponto de intersecção (este será o ponto $A$) dos raios $∠ K$ e $∠ M$ com os pontos $C$ e $B$,

Construção.

Vamos construir um desenho de acordo com o plano traçado acima (Fig. 3).

Prova.

Da construção fica claro que todas as condições iniciais foram atendidas.

Estudar.

Como a soma dos ângulos de um triângulo é igual a $180^\circ$, então se $α+β≥180^\circ$ o problema não terá solução.

Caso contrário, existe uma solução. Como podemos construir ângulos de ambos os lados, podemos construir dois desses triângulos. Mas, como são iguais segundo o segundo critério, assumiremos que a solução para este problema é única.

Os três teoremas sobre a igualdade dos triângulos provados no parágrafo 188 mostram que um triângulo é completamente definido se seus três lados, dois lados e o ângulo entre eles, um lado e dois ângulos adjacentes a ele (ou mesmo dois ângulos de qualquer tipo) são dados.

A existência de um triângulo, determinada pela especificação de certos valores específicos dos lados ou ângulos, é revelada ao resolver o problema de construção de um triângulo usando estes elementos: a singularidade da solução do problema de construção prova mais uma vez os sinais de igualdade do parágrafo 188. De acordo com os três sinais de igualdade, surgem três problemas principais na construção de triângulos.

Problema 1. Dados três segmentos a, b, c. Construa um triângulo com esses segmentos como lados.

Solução. Seja c o maior dos três segmentos: para que o problema tenha solução é necessário que a condição seja satisfeita. Em uma linha reta arbitrária (Fig. 226), traçamos o segmento em um local arbitrário. Tomemos suas extremidades como os dois vértices do triângulo desejado. O terceiro vértice deve estar a uma distância b do ponto A (ou do ponto B) e a uma distância a de B (ou A). Para construir o vértice que falta, desenhe um círculo de raio b com centro A e um círculo de raio a com centro B.

Esses dois círculos se cruzarão, pois, conforme a condição, a distância entre seus centros é menor que a soma dos raios e maior que sua diferença, já que c é o maior segmento entre os dados. Obtemos dois pontos de intersecção C e C, ou seja, duas posições possíveis do vértice C; os dois triângulos correspondentes, entretanto, são iguais, pois estão simetricamente localizados em relação a AB. Na Fig. A Figura 226 também mostra como obter mais duas posições do terceiro vértice trocando os raios dos círculos.

Tarefa 2. Construa um triângulo usando dois lados e o ângulo entre eles.

Tarefa 3. Construa um triângulo usando um lado e ângulos adjacentes cuja soma seja menor que .

Ao analisar os sinais de igualdade dos triângulos, duas circunstâncias chamam a atenção:

1) Não há signos em que a igualdade dos triângulos seria garantida apenas pela igualdade de três ângulos. Isto é explicado pelo fato de que dois triângulos com ângulos iguais não são necessariamente iguais (triângulos semelhantes, ver Capítulo XVI para mais detalhes).

2) O sinal de igualdade de triângulos em dois lados requer a igualdade não de ângulos arbitrários, mas certamente daqueles concluídos entre lados iguais. Para descobrir a razão disso, colocamos o seguinte problema.

Tarefa 4. Construa um triângulo usando dois lados e um ângulo oposto a um deles.

Solução. Sejam, por exemplo, dados os lados aeb e um ângulo a oposto a a (Fig. 227). Para construir um triângulo, vamos traçar o segmento b em uma linha reta arbitrária AC e de um de seus vértices, por exemplo A, desenhar um raio AM em um ângulo a com o segmento AC. O terceiro lado desconhecido do triângulo deve estar neste raio; seu fim é o vértice ausente do triângulo. Sabe-se, porém, que este terceiro vértice está a uma distância a de C e, portanto, está localizado em um círculo com centro C e raio a. Vamos desenhar esse círculo. Os pontos de sua intersecção com o raio AM darão as posições possíveis do terceiro vértice. Visto que um círculo e uma semirreta podem não ter pontos comuns, ou ter um ou dois pontos comuns, então o problema pode não ter soluções, ou ter uma ou duas soluções.

Na Fig. 227 apresenta o caso quando o ângulo a é agudo e há quatro opções para o lado para o qual o problema, portanto, não tem solução, tem uma solução, duas soluções e novamente uma solução. Ambas as soluções mostradas para Análise completa Este problema é apresentado no parágrafo 223 em conexão com problemas de resolução de triângulos.

Você pode propor várias outras tarefas para construir triângulos usando determinados dados. Em todos os casos, para poder construir um triângulo, ou três dos seus elementos lineares devem ser especificados (ou seja, três segmentos: lados, medianas, alturas, etc.), ou dois segmentos e um ângulo, ou um segmento e dois cantos .

Problema 5. Dados dois lados a, c de um triângulo e a mediana. Construa um triângulo.

Solução. Vamos começar a resolver o problema com análise. Este é o nome da etapa de solução, quando assumimos condicionalmente que o problema já foi resolvido e descobrimos suas características que realmente nos ajudarão a resolvê-lo. Então, vamos supor que o triângulo ABC (Fig. 228, a) seja o desejado. Então nele

Observe que o segmento VM, por definição de mediana, é meio c, ou seja, pode ser considerado conhecido. Mas agora todos os três lados do triângulo do DIU são conhecidos! Aqui está a chave para resolver o problema, o resto é simples. Construímos (Fig. 228, b) um triângulo BMC em três lados e depois estendemos o lado VM a uma distância igual a , obtendo assim o terceiro vértice A do triângulo. A correção da construção realizada é clara.

A condição para a solubilidade do problema é que seja possível construir um triângulo “parcial” utilizando o lado a, a mediana e a metade do outro lado.