பிளஸ் விதிக்கு என்ன மைனஸ் கொடுக்கிறது. “பிளஸ்” முதல் “மைனஸ்” வரை ஏன் “மைனஸ்” கொடுக்கிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது எப்படி
ஒரு கணித ஆசிரியரைக் கேட்டு, பெரும்பாலான மாணவர்கள் பொருளை ஒரு கோட்பாடாக உணர்கிறார்கள். அதே நேரத்தில், சிலர் அதன் அடிப்பகுதிக்குச் சென்று, “பிளஸ்” மூலம் “மைனஸ்” ஏன் “மைனஸ்” அடையாளத்தை அளிக்கிறது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்கிறார்கள், மேலும் இரண்டு எதிர்மறை எண்களைப் பெருக்கும்போது, ஒரு நேர்மறையான முடிவு வெளிவருகிறது.
கணித விதிகள்
இது ஏன் நடக்கிறது என்பதை பெரும்பாலான பெரியவர்கள் தங்களுக்கு அல்லது தங்கள் குழந்தைகளுக்கு விளக்க முடியாது. அவர்கள் பள்ளியில் இந்த விஷயத்தை உறுதியாக தேர்ச்சி பெற்றனர், ஆனால் அத்தகைய விதிகள் எங்கிருந்து வந்தன என்பதைக் கண்டுபிடிக்க கூட முயற்சிக்கவில்லை. ஆனால் வீண். பெரும்பாலும், நவீன குழந்தைகள் மிகவும் ஏமாந்து போவதில்லை, அவர்கள் விஷயங்களின் அடிப்பகுதிக்கு வந்து, "பிளஸ்" மற்றும் "மைனஸ்" ஏன் "மைனஸ்" கொடுக்கிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். சில சமயங்களில் பெரியவர்கள் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய பதிலைக் கொடுக்க முடியாத தருணத்தை அனுபவிப்பதற்காக டாம்பாய்கள் வேண்டுமென்றே தந்திரமான கேள்விகளைக் கேட்கிறார்கள். ஒரு இளம் ஆசிரியர் சிக்கலில் சிக்கினால் அது உண்மையில் பேரழிவு தான்...
மூலம், மேலே குறிப்பிட்டுள்ள விதி பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகிய இரண்டிற்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை எண்ணின் பலன் "கழித்தல்" மட்டுமே தரும். என்றால் பற்றி பேசுகிறோம்“-” அடையாளத்துடன் இரண்டு இலக்கங்கள் இருந்தால், இதன் விளைவாக நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும். பிரிவுக்கும் அப்படித்தான். எண்களில் ஒன்று எதிர்மறையாக இருந்தால், அந்த எண் "-" குறியையும் கொண்டிருக்கும்.
இந்த கணித விதியின் சரியான தன்மையை விளக்க, வளையத்தின் கோட்பாடுகளை உருவாக்குவது அவசியம். ஆனால் முதலில் அது என்ன என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். கணிதத்தில், வளையம் என்பது இரண்டு உறுப்புகளில் இரண்டு செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய ஒரு தொகுப்பாகும். ஆனால் இதை ஒரு உதாரணத்துடன் புரிந்துகொள்வது நல்லது.
மோதிரக் கோட்பாடு
பல கணித விதிகள் உள்ளன.
- அவற்றில் முதலாவது பரிமாற்றமானது, அதன் படி, C + V = V + C.
- இரண்டாவது அசோசியேட்டிவ் (V + C) + D = V + (C + D) என்று அழைக்கப்படுகிறது.
பெருக்கல் (V x C) x D = V x (C x D) அவர்களுக்கும் கீழ்படிகிறது.
அடைப்புக்குறிகள் திறக்கப்படும் விதிகளை யாரும் ரத்து செய்யவில்லை (V + C) x D = V x D + C x D என்பது C x (V + D) = C x V + C x D என்பதும் உண்மை.
கூடுதலாக, ஒரு சிறப்பு, கூட்டல்-நடுநிலை உறுப்பை வளையத்தில் அறிமுகப்படுத்தலாம் என்று நிறுவப்பட்டுள்ளது, பயன்படுத்தும்போது பின்வருபவை உண்மையாக இருக்கும்: C + 0 = C. கூடுதலாக, ஒவ்வொரு C க்கும் ஒரு எதிர் உறுப்பு உள்ளது, இது (-C) எனக் குறிக்கப்படும். இந்த வழக்கில், C + (-C) = 0.
எதிர்மறை எண்களுக்கான கோட்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்
மேலே உள்ள அறிக்கைகளை ஏற்றுக்கொண்ட பிறகு, "பிளஸ் மற்றும் மைனஸ் என்ன அடையாளத்தைக் கொடுக்கிறது?" என்ற கேள்விக்கு நாம் பதிலளிக்கலாம். எதிர்மறை எண்களைப் பெருக்குவது பற்றிய கோட்பாட்டை அறிந்தால், உண்மையில் (-C) x V = -(C x V) என்பதை உறுதிப்படுத்துவது அவசியம். மேலும் பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாகும்: (-(-C)) = C.
இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் எதிரே ஒரே ஒரு "சகோதரர்" மட்டுமே இருப்பதை நீங்கள் முதலில் நிரூபிக்க வேண்டும். பின்வரும் சான்று உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். C க்கு இரண்டு எண்கள் எதிர் - V மற்றும் D என்று கற்பனை செய்து பார்க்கலாம் பரிமாற்றம் மற்றும் எண் 0 இன் பண்புகளைப் பற்றி, நாம் மூன்று எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்: C, V மற்றும் D. V இன் மதிப்பைக் கண்டறிய முயற்சிப்போம். V = V + 0 = V + (C என்பது தர்க்கரீதியானது. + D) = V + C + D, ஏனெனில் மேலே கருதப்பட்ட C + D இன் மதிப்பு 0 க்கு சமம். இதன் பொருள் V = V + C + D.
D க்கான மதிப்பு அதே வழியில் பெறப்படுகிறது: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. இதன் அடிப்படையில், V = D என்பது தெளிவாகிறது.
"பிளஸ்" முதல் "மைனஸ்" வரை ஏன் "மைனஸ்" கொடுக்கிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, பின்வருவனவற்றை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, உறுப்பு (-C), C மற்றும் (-(-C)) எதிரெதிர், அதாவது அவை ஒன்றுக்கொன்று சமம்.
பின்னர் 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது. இதிலிருந்து C x V என்பது (-)C x V க்கு எதிரானது, அதாவது (- C) x V = -(C x V).
முழுமையான கணிதக் கடினத்தன்மைக்கு, எந்த உறுப்புக்கும் 0 x V = 0 என்பதை உறுதிப்படுத்துவதும் அவசியம். நீங்கள் தர்க்கத்தைப் பின்பற்றினால், 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. இதன் பொருள் 0 x V தயாரிப்பைச் சேர்ப்பது எந்த வகையிலும் நிறுவப்பட்ட தொகையை மாற்றாது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இந்த தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.
இந்த கோட்பாடுகள் அனைத்தையும் தெரிந்துகொள்வதன் மூலம், "பிளஸ்" மற்றும் "மைனஸ்" எவ்வளவு கொடுக்கிறது என்பது மட்டுமல்லாமல், எதிர்மறை எண்களை பெருக்கும்போது என்ன நடக்கும் என்பதையும் நீங்கள் கணக்கிடலாம்.
இரண்டு எண்களை “-” அடையாளத்துடன் பெருக்கி வகுத்தல்
நீங்கள் கணித நுணுக்கங்களில் ஆழமாக செல்லவில்லை என்றால், நீங்கள் மேலும் முயற்சி செய்யலாம் ஒரு எளிய வழியில்எதிர்மறை எண்களைக் கையாள்வதற்கான விதிகளை விளக்குங்கள்.
C - (-V) = D, இதன் அடிப்படையில், C = D + (-V), அதாவது C = D - V. V ஐ மாற்றினால், C + V = D என்று பெறுகிறோம். அதாவது, C + V = C - (-V). ஒரு வரிசையில் இரண்டு "மைனஸ்கள்" இருக்கும் ஒரு வெளிப்பாட்டில், குறிப்பிடப்பட்ட குறிகளை "பிளஸ்" என்று ஏன் மாற்ற வேண்டும் என்பதை இந்த எடுத்துக்காட்டு விளக்குகிறது. இப்போது பெருக்கத்தைப் பார்ப்போம்.
(-C) x (-V) = D, நீங்கள் வெளிப்பாட்டில் இரண்டு ஒத்த தயாரிப்புகளைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், இது அதன் மதிப்பை மாற்றாது: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x வி) = டி.
அடைப்புக்குறிகளுடன் பணிபுரியும் விதிகளை நினைவில் வைத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
இதிலிருந்து C x V = (-C) x (-V) என்று வருகிறது.
இதேபோல், இரண்டு எதிர்மறை எண்களை வகுத்தால் நேர்மறை எண் கிடைக்கும் என்பதை நிரூபிக்கலாம்.
பொதுவான கணித விதிகள்
நிச்சயமாக, இந்த விளக்கம் பள்ளி மாணவர்களுக்கு ஏற்றது அல்ல இளைய வகுப்புகள்சுருக்கமான எதிர்மறை எண்களைக் கற்றுக்கொள்ளத் தொடங்குபவர்கள். அவர்கள் விளக்குவது நல்லது காணக்கூடிய பொருள்கள், தெரிகிற கண்ணாடி மூலம் தெரிந்த சொல்லைக் கையாளுதல். உதாரணமாக, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஆனால் இல்லாத பொம்மைகள் அங்கு அமைந்துள்ளன. அவை “-” அடையாளத்துடன் காட்டப்படலாம். இரண்டு கண்ணாடி பொருட்களைப் பெருக்குவது அவற்றை வேறொரு உலகத்திற்கு மாற்றுகிறது, இது உண்மையான ஒன்றிற்கு சமம், அதாவது, இதன் விளைவாக நமக்கு நேர்மறை எண்கள் உள்ளன. ஆனால் ஒரு சுருக்க எதிர்மறை எண்ணை நேர்மறை ஒன்றால் பெருக்குவது அனைவருக்கும் தெரிந்த முடிவை மட்டுமே தருகிறது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, "பிளஸ்" "மைனஸ்" ஆல் பெருக்கினால் "மைனஸ்" கிடைக்கும். உண்மை, குழந்தைகள் உண்மையில் அனைத்து கணித நுணுக்கங்களையும் புரிந்து கொள்ள முயற்சிப்பதில்லை.
இருப்பினும், பலருக்கு, அதை எதிர்கொள்வோம் உயர் கல்விபல விதிகள் மர்மமாகவே இருக்கின்றன. கணிதம் மறைத்து வைத்திருக்கும் அனைத்து சிக்கல்களையும் ஆராய்வதில் சிரமமின்றி, ஆசிரியர்கள் கற்பிப்பதை அனைவரும் சாதாரணமாக எடுத்துக்கொள்கிறார்கள். "மைனஸ்" க்கான "மைனஸ்" "பிளஸ்" கொடுக்கிறது - விதிவிலக்கு இல்லாமல் அனைவருக்கும் இது தெரியும். இது முழு எண்கள் மற்றும் இரண்டுக்கும் பொருந்தும் பின்ன எண்கள்.
1) மைனஸ் ஒரு முறை மைனஸ் ஒன்று சமமாக பிளஸ் ஒன் ஆனது ஏன்?2) மைனஸ் ஒரு முறை கூட்டல் ஒன்று மைனஸ் ஒன்று ஏன்?
"என் எதிரியின் எதிரி என் நண்பன்."
எளிதான பதில்: "ஏனென்றால் இவை எதிர்மறை எண்களுடன் செயல்படுவதற்கான விதிகள்." நாம் பள்ளியில் கற்றுக் கொள்ளும் விதிகள் மற்றும் நம் வாழ்நாள் முழுவதும் பொருந்தும். இருப்பினும், விதிகள் ஏன் உள்ளன என்பதை பாடப்புத்தகங்கள் விளக்கவில்லை. எண்கணிதத்தின் வளர்ச்சியின் வரலாற்றின் அடிப்படையில் இதை முதலில் புரிந்து கொள்ள முயற்சிப்போம், பின்னர் நவீன கணிதத்தின் பார்வையில் இருந்து இந்த கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்.
ஒரு காலத்தில், மக்களுக்கு மட்டுமே தெரியும் முழு எண்கள்: 1, 2, 3, ... பாத்திரங்கள், கொள்ளையடித்தல், எதிரிகள் போன்றவற்றை எண்ணுவதற்கு அவை பயன்படுத்தப்பட்டன. ஆனால் எண்கள் மிகவும் பயனற்றவை - அவற்றை எவ்வாறு கையாள்வது என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். கூட்டல் தெளிவாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் உள்ளது, தவிர, இரண்டு இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகையும் ஒரு இயற்கை எண் (ஒரு கணிதவியலாளர் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு கூட்டல் செயல்பாட்டின் கீழ் மூடப்பட்டதாகக் கூறுவார்). நாம் இயற்கை எண்களைப் பற்றி பேசினால், பெருக்கல் அடிப்படையில் கூட்டல் போன்றது. வாழ்க்கையில், இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய செயல்களை நாங்கள் அடிக்கடி செய்கிறோம் (உதாரணமாக, ஷாப்பிங் செய்யும் போது, சேர்த்து பெருக்குகிறோம்), மேலும் நம் முன்னோர்கள் இதை அடிக்கடி சந்தித்ததில்லை என்று நினைப்பது விசித்திரமானது - கூட்டல் மற்றும் பெருக்கம் மனிதகுலத்தால் மிக நீண்ட காலமாக தேர்ச்சி பெற்றது. முன்பு. பெரும்பாலும் நீங்கள் சில அளவுகளை மற்றவர்களால் வகுக்க வேண்டும், ஆனால் இங்கே முடிவு எப்போதும் இயற்கை எண்ணாக வெளிப்படுத்தப்படுவதில்லை - இப்படித்தான் பின்ன எண்கள் தோன்றின.
நிச்சயமாக, நீங்கள் கழித்தல் இல்லாமல் செய்ய முடியாது. ஆனால் நடைமுறையில், பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணைக் கழிக்கிறோம், எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை. (என்னிடம் 5 மிட்டாய்கள் இருந்தால், என் சகோதரிக்கு 3 கொடுத்தால், என்னிடம் 5 - 3 = 2 மிட்டாய்கள் இருக்கும், ஆனால் நான் விரும்பினால் கூட 7 மிட்டாய்களை என்னால் கொடுக்க முடியாது.) மக்கள் ஏன் எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்தவில்லை என்பதை இது விளக்குகிறது. நீண்ட நேரம்.
கி.பி 7 ஆம் நூற்றாண்டிலிருந்து இந்திய ஆவணங்களில் எதிர்மறை எண்கள் தோன்றியுள்ளன; சீனர்கள் சற்று முன்னதாகவே அவற்றைப் பயன்படுத்தத் தொடங்கினர். அவை கடன்களைக் கணக்கிட அல்லது சமன்பாடுகளின் தீர்வை எளிதாக்குவதற்கு இடைநிலை கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தப்பட்டன - அவை நேர்மறையான பதிலைப் பெறுவதற்கான ஒரு கருவியாகும். எதிர்மறை எண்கள், நேர்மறை எண்களைப் போலல்லாமல், எந்தவொரு பொருளின் இருப்பையும் வெளிப்படுத்தாது என்பது வலுவான அவநம்பிக்கையை ஏற்படுத்தியது. மக்கள் உண்மையில் எதிர்மறை எண்களைத் தவிர்த்தனர்: ஒரு பிரச்சனைக்கு எதிர்மறையான பதில் இருந்தால், பதில் இல்லை என்று அவர்கள் நம்பினர். இந்த அவநம்பிக்கை மிக நீண்ட காலமாக நீடித்தது, மேலும் நவீன கணிதத்தின் "நிறுவனர்களில்" ஒருவரான டெஸ்கார்ட்ஸ் கூட அவர்களை "தவறான" (17 ஆம் நூற்றாண்டில்!) என்று அழைத்தார்.
உதாரணமாக, சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் 7x - 17 = 2x - 2. இதை இந்த வழியில் தீர்க்கலாம்: தெரியாதவற்றுடன் விதிமுறைகளை இடது பக்கமாகவும், மீதமுள்ளவை வலதுபுறமாகவும் நகர்த்தவும், அது மாறிவிடும். 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3. இந்த தீர்வு மூலம், நாங்கள் எதிர்மறை எண்களை கூட சந்திக்கவில்லை.
ஆனால் தற்செயலாக அதை வித்தியாசமாக செய்ய முடிந்தது: தெரியாதவற்றுடன் விதிமுறைகளை வலது பக்கமாக நகர்த்தி, பெறவும் 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. தெரியாததைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் ஒரு எதிர்மறை எண்ணை மற்றொன்றால் வகுக்க வேண்டும்: x = (-15)/(-5). ஆனால் சரியான பதில் தெரியும், அதை முடிக்க வேண்டும் (-15)/(-5) = 3 .
இந்த எளிய உதாரணம் எதைக் காட்டுகிறது? முதலாவதாக, எதிர்மறை எண்களுடன் செயல்படுவதற்கான விதிகளை நிர்ணயிக்கும் தர்க்கம் தெளிவாகிறது: இந்த செயல்களின் முடிவுகள் எதிர்மறை எண்கள் இல்லாமல் வேறு வழியில் பெறப்பட்ட பதில்களுடன் பொருந்த வேண்டும். இரண்டாவதாக, எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்துவதை அனுமதிப்பதன் மூலம், நாம் கடினமானவற்றிலிருந்து விடுபடுகிறோம் (சமன்பாடு மிகவும் சிக்கலானதாக மாறினால், அதிக எண்ணிக்கையிலானவிதிமுறைகள்) அனைத்து செயல்பாடுகளும் இயற்கை எண்களில் மட்டுமே செய்யப்படும் தீர்வு பாதையைத் தேடுகிறது. மேலும், மாற்றப்பட்ட அளவுகளின் அர்த்தத்தைப் பற்றி நாம் இனி ஒவ்வொரு முறையும் சிந்திக்கக்கூடாது - மேலும் இது ஏற்கனவே கணிதத்தை ஒரு சுருக்க அறிவியலாக மாற்றுவதற்கான ஒரு படியாகும்.
எதிர்மறை எண்களுடன் செயல்படுவதற்கான விதிகள் உடனடியாக உருவாக்கப்படவில்லை, ஆனால் பயன்பாட்டு சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது எழுந்த பல எடுத்துக்காட்டுகளின் பொதுமைப்படுத்தலாக மாறியது. பொதுவாக, கணிதத்தின் வளர்ச்சியை நிலைகளாகப் பிரிக்கலாம்: ஒவ்வொரு அடுத்த கட்டமும் பொருட்களைப் படிக்கும் போது முந்தைய நிலையிலிருந்து புதிய அளவிலான சுருக்கத்தால் வேறுபடுகிறது. எனவே, 19 ஆம் நூற்றாண்டில், கணிதவியலாளர்கள் முழு எண்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், அவற்றின் அனைத்து வெளிப்புற வேறுபாடுகள் இருந்தபோதிலும், மிகவும் பொதுவானவை என்பதை உணர்ந்தனர்: இரண்டையும் கூட்டலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் பெருக்கலாம். இந்த செயல்பாடுகள் ஒரே சட்டங்களுக்குக் கீழ்ப்படிகின்றன - எண்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விஷயத்தில். ஆனால் முழு எண்களை ஒன்றோடொன்று வகுத்தல், அதன் விளைவாக மீண்டும் முழு எண்களாக இருக்கும். பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அப்படித்தான்.
பின்னர், அத்தகைய செயல்பாடுகளைச் செய்யக்கூடிய பிற கணிதப் பொருள்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன: முறையான சக்தித் தொடர்கள், தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள்... இறுதியாக, செயல்பாட்டின் பண்புகளை நீங்கள் ஆய்வு செய்தால், முடிவுகள் அனைவருக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம் என்ற புரிதல் வந்தது. இந்த பொருள்களின் தொகுப்புகள் (இந்த அணுகுமுறை அனைத்து நவீன கணிதத்திற்கும் பொதுவானது).
இதன் விளைவாக, ஒரு புதிய கருத்து தோன்றியது: மோதிரம். இது உறுப்புகள் மற்றும் செயல்களின் தொகுப்பு மட்டுமே. இங்குள்ள அடிப்படை விதிகள் விதிகள் (அவை அழைக்கப்படுகின்றன கோட்பாடுகள்), எந்த செயல்களுக்கு உட்பட்டது, மற்றும் தொகுப்பின் கூறுகளின் தன்மை அல்ல (இங்கே அது, புதிய நிலைசுருக்கங்கள்!). கோட்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்திய பிறகு எழும் கட்டமைப்புதான் முக்கியம் என்பதை வலியுறுத்த விரும்புவதால், கணிதவியலாளர்கள் கூறுகிறார்கள்: முழு எண்களின் வளையம், பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையம், முதலியன.
வளையத்தின் கோட்பாடுகளை உருவாக்குவோம் (நிச்சயமாக, இது முழு எண்களுடன் செயல்படுவதற்கான விதிகளைப் போன்றது), பின்னர் எந்த வளையத்திலும் கழித்தல் ஒரு மைனஸால் பெருக்குவது ஒரு கூட்டலை உருவாக்குகிறது என்பதை நிரூபிப்போம்.
மோதிரம்இரண்டு பைனரி செயல்பாடுகளைக் கொண்ட தொகுப்பாகும் (அதாவது, ஒவ்வொரு செயலும் வளையத்தின் இரண்டு கூறுகளை உள்ளடக்கியது), அவை பாரம்பரியமாக கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் பின்வரும் கோட்பாடுகள்:
- வளையத்தின் உறுப்புகளைச் சேர்ப்பது பரிமாற்றத்திற்கு உட்பட்டது ( A + B = B + Aஎந்த உறுப்புகளுக்கும் ஏமற்றும் பி) மற்றும் துணை ( A + (B + C) = (A + B) + C) சட்டங்கள்; வளையத்தில் ஒரு சிறப்பு உறுப்பு 0 (சேர்ப்பதன் மூலம் நடுநிலை உறுப்பு) உள்ளது A+0=A, மற்றும் எந்த உறுப்புக்கும் ஏஎதிர் உறுப்பு உள்ளது (குறிப்பிடப்படுகிறது (-A)), என்ன A + (-A) = 0 ;
- பெருக்கல் கூட்டுச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது: A·(B·C) = (A·B)·C ;
- அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதற்கான பின்வரும் விதிகளால் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் தொடர்புடையது: (A + B) C = A C + B Cமற்றும் A (B + C) = A B + A C .
மோதிரங்கள், மிகவும் பொதுவான கட்டுமானத்தில், பெருக்கத்தின் மாற்றியமைத்தல் அல்லது அதன் தலைகீழ் தன்மை (அதாவது, பிரிவு எப்போதும் செய்ய முடியாது), அல்லது ஒரு அலகு இருப்பது - பெருக்கத்தில் நடுநிலை உறுப்பு தேவையில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க. இந்த கோட்பாடுகளை நாம் அறிமுகப்படுத்தினால், வெவ்வேறு இயற்கணித அமைப்புகளைப் பெறுகிறோம், ஆனால் அவற்றில் வளையங்களுக்கு நிரூபிக்கப்பட்ட அனைத்து கோட்பாடுகளும் உண்மையாக இருக்கும்.
இப்போது நாம் எந்த உறுப்புகளுக்கும் அதை நிரூபிக்கிறோம் ஏமற்றும் பிஒரு தன்னிச்சையான வளையம் உண்மை, முதலில், (-A) B = -(A B), மற்றும் இரண்டாவதாக (-(-A)) = ஏ. அலகுகள் பற்றிய அறிக்கைகள் இதிலிருந்து எளிதாகப் பின்பற்றப்படுகின்றன: (-1) 1 = -(1 1) = -1மற்றும் (-1)·(-1) = -((-1)·1) = -(-1) = 1 .
இதைச் செய்ய, நாம் சில உண்மைகளை நிறுவ வேண்டும். முதலில், ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரே ஒரு எதிர் மட்டுமே இருக்க முடியும் என்பதை நிரூபிக்கிறோம். உண்மையில், உறுப்பு விடுங்கள் ஏஇரண்டு எதிர்நிலைகள் உள்ளன: பிமற்றும் உடன். அது A + B = 0 = A + C. தொகையைக் கருத்தில் கொள்வோம் A+B+C. துணை மற்றும் பரிமாற்றச் சட்டங்கள் மற்றும் பூஜ்ஜியத்தின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒருபுறம், கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதை நாங்கள் பெறுகிறோம் பி: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, மற்றும் மறுபுறம், அது சமம் சி: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. பொருள் B=C .
என்பதை இப்போது கவனிக்கலாம் ஏ, மற்றும் (-(-A))ஒரே உறுப்புக்கு எதிரானவை (-A), எனவே அவர்கள் சமமாக இருக்க வேண்டும்.
முதல் உண்மை பின்வருமாறு: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, அது (-A)·Bஎதிர் ஏ·பி, அதாவது சமமானது -(A·B) .
கணித ரீதியாக கடுமையாக இருக்க, ஏன் என்பதையும் விளக்குவோம் 0·B = 0எந்த உறுப்புக்கும் பி. உண்மையில், 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. அதாவது கூட்டல் 0·பிதொகையை மாற்றாது. எனவே இந்த தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.
வளையத்தில் சரியாக ஒரு பூஜ்ஜியம் உள்ளது (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அத்தகைய உறுப்பு இருப்பதாக கோட்பாடுகள் கூறுகின்றன, ஆனால் அதன் தனித்துவத்தைப் பற்றி எதுவும் கூறப்படவில்லை!), ஒரு எளிய பயிற்சியாக வாசகருக்கு விட்டுவிடுவோம்.
Evgeny Epifanov, பூமி (சோல் III).
இரண்டு எதிர்மறைகள் ஒரு உறுதிமொழியை உருவாக்குகின்றன- இது நாம் பள்ளியில் கற்று நம் வாழ்நாள் முழுவதும் கடைப்பிடிக்கும் ஒரு விதி. எங்களில் யார் ஏன் ஆர்வமாக இருந்தனர்? நிச்சயமாக, தேவையற்ற கேள்விகளைக் கேட்காமல் இந்த அறிக்கையை நினைவில் கொள்வது எளிது மற்றும் சிக்கலின் சாரத்தை ஆழமாக ஆராய வேண்டாம். இப்போது "ஜீரணிக்க" வேண்டிய போதுமான தகவல்கள் ஏற்கனவே உள்ளன. ஆனால் இந்த கேள்வியில் இன்னும் ஆர்வமுள்ளவர்களுக்கு, இந்த கணித நிகழ்வின் விளக்கத்தை கொடுக்க முயற்சிப்போம்.
பண்டைய காலங்களிலிருந்து, மக்கள் நேர்மறை இயற்கை எண்களைப் பயன்படுத்தினர்: 1, 2, 3, 4, 5,... கால்நடைகள், பயிர்கள், எதிரிகள் போன்றவற்றை எண்ணுவதற்கு எண்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன. இரண்டு நேர்மறை எண்களைக் கூட்டி, பெருக்கும்போது, ஒரு அளவை மற்றொன்றால் வகுக்கும் போது அவை எப்போதும் நேர்மறை எண்ணைப் பெறுகின்றன, அவை எப்போதும் இயற்கை எண்களைப் பெறுவதில்லை - இப்படித்தான் பின்ன எண்கள் தோன்றின. கழித்தல் பற்றி என்ன? குழந்தைப் பருவத்திலிருந்தே, அதிகமாகக் குறைவாகச் சேர்ப்பதும், அதிகமாக இருந்து குறைவாகக் கழிப்பதும் நல்லது என்று நமக்குத் தெரியும், மீண்டும் எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்துவதில்லை. என்னிடம் 10 ஆப்பிள்கள் இருந்தால், 10 அல்லது 10க்கு குறைவான ஒருவருக்கு மட்டுமே என்னால் கொடுக்க முடியும். 13 ஆப்பிள்களை என்னால் கொடுக்க முடியாது, ஏனென்றால் என்னிடம் அவை இல்லை. நெகடிவ் எண்கள் நீண்ட நாட்களாக தேவைப்படவில்லை.
ஏழாம் நூற்றாண்டிலிருந்து கி.பி.சில எண்ணும் அமைப்புகளில் எதிர்மறை எண்கள் துணை அளவுகளாகப் பயன்படுத்தப்பட்டன, இது பதிலில் நேர்மறை எண்ணைப் பெறுவதை சாத்தியமாக்கியது.
ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம், 6x – 30 = 3x – 9. பதிலைக் கண்டுபிடிக்க, தெரியாதவற்றை இடது பக்கத்திலும், மீதமுள்ளவை வலதுபுறத்திலும் விட்டுவிட வேண்டும்: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, எங்களிடம் கூட எதிர்மறை எண்கள் இல்லை. தெரியாதவற்றுடன் சொற்களை வலது பக்கமாகவும், தெரியாதவை இல்லாமல் இடதுபுறமாகவும் நகர்த்தலாம்: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). எதிர்மறை எண்ணை எதிர்மறை எண்ணால் வகுத்தால், நமக்கு நேர்மறை பதில் கிடைக்கும்: x = 7.
நாம் என்ன பார்க்கிறோம்?
எதிர்மறை எண்களுடன் பணிபுரிவது நேர்மறை எண்களுடன் வேலை செய்வது போன்ற அதே பதிலைப் பெற வேண்டும். செயல்களின் நடைமுறை சாத்தியமற்றது மற்றும் அர்த்தமுள்ள தன்மையைப் பற்றி நாம் இனி சிந்திக்க வேண்டியதில்லை - அவை சமன்பாட்டை நேர்மறை எண்களைக் கொண்ட வடிவத்தில் குறைக்காமல், சிக்கலை மிக வேகமாக தீர்க்க உதவுகின்றன. எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், நாங்கள் சிக்கலான கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தவில்லை, ஆனால் எப்போது அதிக எண்ணிக்கைஎதிர்மறை எண்களுடன் கணக்கீடுகளைச் சேர்ப்பது நமது வேலையை எளிதாக்கும்.
காலப்போக்கில், நீண்ட சோதனைகள் மற்றும் கணக்கீடுகளுக்குப் பிறகு, அனைத்து எண்களையும் அவற்றின் செயல்பாடுகளையும் நிர்வகிக்கும் விதிகளை அடையாளம் காண முடிந்தது (கணிதத்தில் அவை கோட்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன). இது எங்கிருந்து வந்தது இரண்டு எதிர்மறை எண்களைப் பெருக்கும்போது, நமக்கு நேர்மறை எண் கிடைக்கும் என்று கூறும் ஒரு கோட்பாடு.
இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.
ஒரு கணித ஆசிரியரைக் கேட்டு, பெரும்பாலான மாணவர்கள் பொருளை ஒரு கோட்பாடாக உணர்கிறார்கள். அதே நேரத்தில், சிலர் அதன் அடிப்பகுதிக்குச் சென்று, “பிளஸ்” மூலம் “மைனஸ்” ஏன் “மைனஸ்” அடையாளத்தை அளிக்கிறது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்கிறார்கள், மேலும் இரண்டு எதிர்மறை எண்களைப் பெருக்கும்போது, ஒரு நேர்மறையான முடிவு வெளிவருகிறது.
கணித விதிகள்
இது ஏன் நடக்கிறது என்பதை பெரும்பாலான பெரியவர்கள் தங்களுக்கு அல்லது தங்கள் குழந்தைகளுக்கு விளக்க முடியாது. அவர்கள் பள்ளியில் இந்த விஷயத்தை உறுதியாக தேர்ச்சி பெற்றனர், ஆனால் அத்தகைய விதிகள் எங்கிருந்து வந்தன என்பதைக் கண்டுபிடிக்க கூட முயற்சிக்கவில்லை. ஆனால் வீண். பெரும்பாலும், நவீன குழந்தைகள் மிகவும் ஏமாந்து போவதில்லை, அவர்கள் விஷயங்களின் அடிப்பகுதிக்கு வந்து, "பிளஸ்" மற்றும் "மைனஸ்" ஏன் "மைனஸ்" கொடுக்கிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். சில சமயங்களில் பெரியவர்கள் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய பதிலைக் கொடுக்க முடியாத தருணத்தை அனுபவிப்பதற்காக டாம்பாய்கள் வேண்டுமென்றே தந்திரமான கேள்விகளைக் கேட்கிறார்கள். ஒரு இளம் ஆசிரியர் சிக்கலில் சிக்கினால் அது உண்மையில் பேரழிவு தான்...
மூலம், மேலே குறிப்பிட்டுள்ள விதி பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகிய இரண்டிற்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை எண்ணின் பலன் "-" குறியுடன் இரண்டு இலக்கங்களைப் பற்றி பேசினால், அது ஒரு நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும் எண்கள் எதிர்மறையாக இருக்கும், பின்னர் புள்ளியில் "-" அடையாளம் " இருக்கும்.
இந்த கணித விதியின் சரியான தன்மையை விளக்க, வளையத்தின் கோட்பாடுகளை உருவாக்குவது அவசியம். ஆனால் முதலில் அது என்ன என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். கணிதத்தில், வளையம் என்பது இரண்டு உறுப்புகளில் இரண்டு செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய ஒரு தொகுப்பாகும். ஆனால் இதை ஒரு உதாரணத்துடன் புரிந்துகொள்வது நல்லது.
மோதிரக் கோட்பாடு
பல கணித விதிகள் உள்ளன.
- அவற்றில் முதலாவது பரிமாற்றமானது, அதன் படி, C + V = V + C.
- இரண்டாவது அசோசியேட்டிவ் (V + C) + D = V + (C + D) என்று அழைக்கப்படுகிறது.
பெருக்கல் (V x C) x D = V x (C x D) அவர்களுக்கும் கீழ்படிகிறது.
அடைப்புக்குறிகள் திறக்கப்படும் விதிகளை யாரும் ரத்து செய்யவில்லை (V + C) x D = V x D + C x D என்பது C x (V + D) = C x V + C x D என்பதும் உண்மை.
கூடுதலாக, ஒரு சிறப்பு, கூட்டல்-நடுநிலை உறுப்பை வளையத்தில் அறிமுகப்படுத்தலாம் என்று நிறுவப்பட்டுள்ளது, பயன்படுத்தும்போது பின்வருபவை உண்மையாக இருக்கும்: C + 0 = C. கூடுதலாக, ஒவ்வொரு C க்கும் ஒரு எதிர் உறுப்பு உள்ளது, இது (-C) எனக் குறிக்கப்படும். இந்த வழக்கில், C + (-C) = 0.
எதிர்மறை எண்களுக்கான கோட்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்
மேலே உள்ள அறிக்கைகளை ஏற்றுக்கொண்ட பிறகு, "பிளஸ் மற்றும் மைனஸ் என்ன அடையாளத்தைக் கொடுக்கிறது?" என்ற கேள்விக்கு நாம் பதிலளிக்கலாம். எதிர்மறை எண்களைப் பெருக்குவது பற்றிய கோட்பாட்டை அறிந்தால், உண்மையில் (-C) x V = -(C x V) என்பதை உறுதிப்படுத்துவது அவசியம். மேலும் பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாகும்: (-(-C)) = C.
இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரே ஒரு எதிர் "சகோதரர்" மட்டுமே இருப்பதை நீங்கள் முதலில் நிரூபிக்க வேண்டும். பின்வரும் சான்று உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். C க்கு இரண்டு எண்கள் எதிர் - V மற்றும் D என்று கற்பனை செய்து பார்க்கலாம் பரிமாற்றம் மற்றும் எண் 0 இன் பண்புகளைப் பற்றி, நாம் மூன்று எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்: C, V மற்றும் D. V இன் மதிப்பைக் கண்டறிய முயற்சிப்போம். V = V + 0 = V + (C என்பது தர்க்கரீதியானது. + D) = V + C + D, ஏனெனில் மேலே கருதப்பட்ட C + D இன் மதிப்பு 0 க்கு சமம். இதன் பொருள் V = V + C + D.
D க்கான மதிப்பு அதே வழியில் பெறப்படுகிறது: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. இதன் அடிப்படையில், V = D என்பது தெளிவாகிறது.
"பிளஸ்" முதல் "மைனஸ்" வரை ஏன் "மைனஸ்" கொடுக்கிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, பின்வருவனவற்றை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, உறுப்பு (-C), C மற்றும் (-(-C)) எதிரெதிர், அதாவது அவை ஒன்றுக்கொன்று சமம்.
பின்னர் 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது. இதிலிருந்து C x V என்பது (-)C x V க்கு எதிரானது, அதாவது (- C) x V = -(C x V).
முழுமையான கணிதக் கடினத்தன்மைக்கு, எந்த உறுப்புக்கும் 0 x V = 0 என்பதை உறுதிப்படுத்துவதும் அவசியம். நீங்கள் தர்க்கத்தைப் பின்பற்றினால், 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. இதன் பொருள் 0 x V தயாரிப்பைச் சேர்ப்பது எந்த வகையிலும் நிறுவப்பட்ட தொகையை மாற்றாது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இந்த தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.
இந்த கோட்பாடுகள் அனைத்தையும் தெரிந்துகொள்வதன் மூலம், "பிளஸ்" மற்றும் "மைனஸ்" எவ்வளவு கொடுக்கிறது என்பது மட்டுமல்லாமல், எதிர்மறை எண்களை பெருக்கும்போது என்ன நடக்கும் என்பதையும் நீங்கள் கணக்கிடலாம்.
இரண்டு எண்களை "-" அடையாளத்துடன் பெருக்கி வகுத்தல்
நீங்கள் கணித நுணுக்கங்களுக்கு ஆழமாக செல்லவில்லை என்றால், எதிர்மறை எண்களுடன் செயல்படுவதற்கான விதிகளை எளிமையான முறையில் விளக்க முயற்சி செய்யலாம்.
C - (-V) = D, இதன் அடிப்படையில், C = D + (-V), அதாவது C = D - V. V ஐ மாற்றினால், C + V = D என்று பெறுகிறோம். அதாவது, C + V = C - (-V). ஒரு வரிசையில் இரண்டு "மைனஸ்கள்" இருக்கும் ஒரு வெளிப்பாட்டில், குறிப்பிடப்பட்ட குறிகளை "பிளஸ்" என்று ஏன் மாற்ற வேண்டும் என்பதை இந்த எடுத்துக்காட்டு விளக்குகிறது. இப்போது பெருக்கத்தைப் பார்ப்போம்.
(-C) x (-V) = D, நீங்கள் வெளிப்பாட்டில் இரண்டு ஒத்த தயாரிப்புகளைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், இது அதன் மதிப்பை மாற்றாது: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x வி) = டி.
அடைப்புக்குறிகளுடன் பணிபுரியும் விதிகளை நினைவில் வைத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
இதிலிருந்து C x V = (-C) x (-V) என்று வருகிறது.
இதேபோல், இரண்டு எதிர்மறை எண்களை வகுத்தால் நேர்மறை எண் கிடைக்கும் என்பதை நிரூபிக்கலாம்.
பொதுவான கணித விதிகள்
நிச்சயமாக, சுருக்க எதிர்மறை எண்களைக் கற்றுக்கொள்ளத் தொடங்கும் தொடக்கப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு இந்த விளக்கம் பொருத்தமானது அல்ல. தங்களுக்குத் தெரிந்த "லுக்கிங் கிளாஸ்" என்ற சொல்லைக் கையாளுவதன் மூலம், புலப்படும் பொருள்களைப் பற்றி விளக்குவது அவர்களுக்கு நல்லது. உதாரணமாக, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஆனால் இல்லாத பொம்மைகள் அங்கு அமைந்துள்ளன. அவை “-” அடையாளத்துடன் காட்டப்படலாம். இரண்டு கண்ணாடி பொருட்களைப் பெருக்குவது அவற்றை வேறொரு உலகத்திற்கு மாற்றுகிறது, இது உண்மையான ஒன்றிற்கு சமம், அதாவது, இதன் விளைவாக நமக்கு நேர்மறை எண்கள் உள்ளன. ஆனால் ஒரு சுருக்க எதிர்மறை எண்ணை நேர்மறை ஒன்றால் பெருக்குவது அனைவருக்கும் தெரிந்த முடிவை மட்டுமே தருகிறது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, "பிளஸ்" "மைனஸ்" ஆல் பெருக்கினால் "மைனஸ்" கிடைக்கும். உண்மை, குழந்தைகள் உண்மையில் அனைத்து கணித நுணுக்கங்களையும் புரிந்து கொள்ள முயற்சிப்பதில்லை. 
இருப்பினும், உண்மையை எதிர்கொள்ள, பலருக்கு, உயர் கல்வியுடன் கூட, பல விதிகள் மர்மமாகவே இருக்கின்றன. கணிதம் மறைத்து வைத்திருக்கும் அனைத்து சிக்கல்களையும் ஆராய்வதில் சிரமமின்றி, ஆசிரியர்கள் கற்பிப்பதை அனைவரும் சாதாரணமாக எடுத்துக்கொள்கிறார்கள். "மைனஸ்" க்கான "மைனஸ்" "பிளஸ்" கொடுக்கிறது - விதிவிலக்கு இல்லாமல் அனைவருக்கும் இது தெரியும். இது முழு மற்றும் பின்ன எண்கள் இரண்டிற்கும் பொருந்தும்.
கவனம், இன்று மட்டும்!
- நிரலாக்கத்தில் வரிசைப்படுத்தும் முறைகள்: குமிழி வரிசை
