Algebraic na paraan ng pagdaragdag

Maaari mong lutasin ang isang sistema ng mga equation na may dalawang hindi alam sa iba't ibang paraan- graphical na paraan o variable na paraan ng pagpapalit.

Sa araling ito ay makikilala natin ang isa pang paraan ng paglutas ng mga sistema na malamang na magugustuhan mo - ito ang paraan ng pagdaragdag ng algebraic.

Saan nagmula ang ideya ng paglalagay ng isang bagay sa mga system? Kapag nilulutas ang mga sistema pangunahing problema ay ang pagkakaroon ng dalawang variable, dahil hindi natin alam kung paano lutasin ang mga equation na may dalawang variable. Nangangahulugan ito na ang isa sa kanila ay dapat na hindi kasama sa ilang legal na paraan. At ang mga lehitimong paraan ay mga tuntunin at katangian ng matematika.

Ang isa sa mga katangiang ito ay: ang kabuuan ng magkasalungat na numero ay zero. Nangangahulugan ito na kung ang isa sa mga variable ay may kabaligtaran na mga coefficient, kung gayon ang kanilang kabuuan ay magiging katumbas ng zero at magagawa nating ibukod ang variable na ito mula sa equation. Malinaw na wala tayong karapatang magdagdag lamang ng mga termino sa variable na kailangan natin. Kailangan mong idagdag ang buong equation, i.e. hiwalay na magdagdag ng mga katulad na termino sa kaliwang bahagi, pagkatapos ay sa kanan. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng bagong equation na naglalaman lamang ng isang variable. Tingnan natin kung ano ang sinabi na may mga tiyak na halimbawa.

Nakikita natin na sa unang equation ay mayroong variable na y, at sa pangalawa ay mayroong kabaligtaran na numero -y. Nangangahulugan ito na ang equation na ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng karagdagan.

Ang isa sa mga equation ay naiwan kung ano ito. Kahit sinong pinakagusto mo.

Ngunit ang pangalawang equation ay makukuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng dalawang equation na ito sa pamamagitan ng termino. Yung. Nagdaragdag kami ng 3x na may 2x, nagdaragdag kami ng y sa -y, nagdaragdag kami ng 8 na may 7.

Kumuha kami ng isang sistema ng mga equation

Ang pangalawang equation ng sistemang ito ay isang simpleng equation na may isang variable. Mula dito makikita natin ang x = 3. Ang pagpapalit ng nahanap na halaga sa unang equation, nakita natin ang y = -1.

Sagot: (3; - 1).

Halimbawang disenyo:

Lutasin ang isang sistema ng mga equation gamit ang algebraic addition method

Walang mga variable na may kabaligtaran na mga coefficient sa sistemang ito. Ngunit alam natin na ang magkabilang panig ng equation ay maaaring i-multiply sa parehong numero. I-multiply natin ang unang equation ng system sa 2.

Pagkatapos ang unang equation ay kukuha ng anyo:

Ngayon nakita natin na ang variable na x ay may kabaligtaran na coefficients. Nangangahulugan ito na gagawin natin ang katulad ng sa unang halimbawa: iiwan natin ang isa sa mga equation na hindi nagbabago. Halimbawa, 2y + 2x = 10. At nakukuha natin ang pangalawa sa pamamagitan ng pagdaragdag.

Ngayon mayroon kaming isang sistema ng mga equation:

Madali nating mahanap mula sa pangalawang equation na y = 1, at pagkatapos ay mula sa unang equation x = 4.

Halimbawang disenyo:

Ibuod natin:

Natutunan naming lutasin ang mga sistema ng dalawa mga linear na equation na may dalawang hindi alam gamit ang algebraic na paraan ng pagdaragdag. Kaya, alam na natin ngayon ang tatlong pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema: graphical, variable na paraan ng pagpapalit at paraan ng karagdagan. Halos anumang sistema ay maaaring malutas gamit ang mga pamamaraang ito. Sa mas kumplikadong mga kaso, isang kumbinasyon ng mga pamamaraan na ito ang ginagamit.

Listahan ng ginamit na panitikan:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7th grade sa 2 bahagi, Part 1, Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon/ A.G. Mordkovich. – Ika-10 ed., binago – Moscow, “Mnemosyne”, 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra ika-7 baitang sa 2 bahagi, Bahagi 2, Aklat ng problema para sa mga institusyong pang-edukasyon / [A.G. Mordkovich at iba pa]; inedit ni A.G. Mordkovich - ika-10 edisyon, binago - Moscow, "Mnemosyne", 2007.
3. SIYA. Tulcinskaya, Algebra ika-7 baitang. Blitz survey: isang manwal para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pangkalahatang edukasyon, ika-4 na edisyon, binago at pinalawak, Moscow, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra ika-7 baitang. Thematic gawaing pagsubok V bagong anyo para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon, na-edit ni A.G. Mordkovich, Moscow, "Mnemosyne", 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra ika-7 baitang. Malayang gawain para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon, na-edit ni A.G. Mordkovich - ika-6 na edisyon, stereotypical, Moscow, "Mnemosyne", 2010.

Ang isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam ay dalawa o higit pang mga linear na equation kung saan kinakailangan upang mahanap ang lahat ng kanilang mga karaniwang solusyon. Isasaalang-alang namin ang mga sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang hindi alam. Pangkalahatang view isang sistema ng dalawang linear equation na may dalawang hindi alam ay ipinakita sa figure sa ibaba:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Dito ang x at y ay mga hindi kilalang variable, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ang ilang mga tunay na numero. Ang solusyon sa isang sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang hindi alam ay isang pares ng mga numero (x,y) na kung papalitan natin ang mga numerong ito sa mga equation ng system, ang bawat isa sa mga equation ng system ay magiging isang tunay na pagkakapantay-pantay. Mayroong ilang mga paraan upang malutas ang isang sistema ng mga linear equation. Isaalang-alang natin ang isa sa mga paraan upang malutas ang isang sistema ng mga linear na equation, katulad ng paraan ng pagdaragdag.

Algorithm para sa paglutas sa pamamagitan ng paraan ng karagdagan

Isang algorithm para sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation na may dalawang hindi alam gamit ang paraan ng pagdaragdag.

1. Kung kinakailangan, sa pamamagitan ng mga katumbas na pagbabago, i-equalize ang mga coefficient ng isa sa mga hindi kilalang variable sa parehong equation.

2. Sa pamamagitan ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga resultang equation, kumuha ng linear equation na may isang hindi alam

3. Lutasin ang resultang equation na may isang hindi alam at hanapin ang isa sa mga variable.

4. Palitan ang resultang expression sa alinman sa dalawang equation ng system at lutasin ang equation na ito, kaya makuha ang pangalawang variable.

5. Suriin ang solusyon.

Isang halimbawa ng solusyon gamit ang paraan ng pagdaragdag

Para sa higit na kalinawan, lutasin natin ang sumusunod na sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam gamit ang paraan ng pagdaragdag:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Dahil wala sa mga variable ang may magkaparehong coefficients, pinapantay namin ang coefficients ng variable na y. Upang gawin ito, i-multiply ang unang equation sa tatlo, at ang pangalawang equation sa dalawa.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Nakukuha namin ang sumusunod na sistema ng mga equation:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Ngayon ibawas namin ang una mula sa pangalawang equation. Nagpapakita kami ng mga katulad na termino at nilulutas ang resultang linear equation.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Pinapalitan namin ang nagresultang halaga sa unang equation mula sa aming orihinal na sistema at nilulutas ang resultang equation.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Ang resulta ay isang pares ng mga numero x=6 at y=14. Sinusuri namin. Gumawa tayo ng substitution.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Tulad ng nakikita mo, nakakuha kami ng dalawang tamang pagkakapantay-pantay, samakatuwid, natagpuan namin ang tamang solusyon.

Gamit ito programa sa matematika Maaari mong lutasin ang isang sistema ng dalawang linear na equation sa dalawang variable gamit ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit nagbibigay din ng isang detalyadong solusyon na may mga paliwanag ng mga hakbang sa solusyon sa dalawang paraan: ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag.

Maaaring maging kapaki-pakinabang ang programang ito para sa mga mag-aaral sa high school sa mga sekondaryang paaralan bilang paghahanda para sa mga pagsubok at mga pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang Pagsusulit ng Estado, para makontrol ng mga magulang ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang-aralin

sa matematika o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon. Sa ganitong paraan maaari mong gastusin ang iyong sariling pagsasanay

at/o pagsasanay sa kanilang mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang ang antas ng edukasyon sa lugar ng mga problemang nalutas ay tumataas.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga equation
Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.

Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), atbp. Kapag nagpapasok ng mga equation maaari kang gumamit ng panaklong
. Sa kasong ito, ang mga equation ay unang pinasimple.

Ang mga equation pagkatapos ng mga pagpapasimple ay dapat na linear, i.e. ng anyong ax+by+c=0 na may katumpakan ng pagkakasunud-sunod ng mga elemento.

Halimbawa: 6x+1 = 5(x+y)+2
Sa mga equation, maaari mong gamitin hindi lamang ang mga buong numero, kundi pati na rin ang mga fraction sa anyo ng mga decimal at ordinaryong mga fraction. Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction. Integer at fractional na mga bahagi sa
mga decimal

maaaring paghiwalayin ng tuldok o kuwit.
Halimbawa: 2.1n + 3.5m = 55
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction. /
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo. Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: &

Buong bahagi
pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand:
Mga halimbawa.

Halimbawa: 3x-4y = 5

Halimbawa: 6x+1 = 5(x+y)+2
Lutasin ang sistema ng mga equation
Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.

Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.
Naka-disable ang JavaScript sa iyong browser.

Para lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.
kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila. Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.

Mangyaring maghintay sec... Kung ikaw
napansin ang isang error sa solusyon , pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Feedback Form. Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain.

magpasya ka kung ano

pumasok sa mga patlang

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.
1) ipahayag ang isang variable mula sa ilang equation ng system sa mga tuntunin ng isa pa;
2) palitan ang resultang expression sa isa pang equation ng system sa halip na ang variable na ito;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Ipahayag natin ang y sa mga tuntunin ng x mula sa unang equation: y = 7-3x. Ang pagpapalit ng expression na 7-3x sa pangalawang equation sa halip na y, nakuha namin ang system:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Madaling ipakita na ang una at pangalawang sistema ay may parehong mga solusyon. Sa pangalawang sistema, ang pangalawang equation ay naglalaman lamang ng isang variable. Lutasin natin ang equation na ito:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Ang pagpapalit ng 1 sa halip na x sa pagkakapantay-pantay na y=7-3x, makikita natin ang katumbas na halaga ng y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pares (1;4) - solusyon ng system

Ang mga sistema ng mga equation sa dalawang variable na may parehong mga solusyon ay tinatawag katumbas. Ang mga system na walang mga solusyon ay itinuturing din na katumbas.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng karagdagan

Isaalang-alang natin ang isa pang paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation - ang paraan ng pagdaragdag. Kapag nilulutas ang mga sistema sa ganitong paraan, pati na rin kapag nilulutas sa pamamagitan ng pagpapalit, lumilipat tayo mula sa sistemang ito patungo sa isa pa, katumbas na sistema, kung saan ang isa sa mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:
1) paramihin ang mga equation ng term ng system sa pamamagitan ng term, pagpili ng mga salik upang ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay maging kabaligtaran na mga numero;
2) idagdag ang kaliwa at kanang bahagi ng term ng system equation sa pamamagitan ng term;
3) lutasin ang resultang equation na may isang variable;
4) hanapin ang katumbas na halaga ng pangalawang variable.

Halimbawa. Lutasin natin ang sistema ng mga equation:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Sa mga equation ng sistemang ito, ang mga coefficient ng y ay magkasalungat na numero. Ang pagdaragdag ng kaliwa at kanang bahagi ng mga equation term sa pamamagitan ng term, makakakuha tayo ng isang equation na may isang variable na 3x=33. Palitan natin ang isa sa mga equation ng system, halimbawa ang una, ng equation na 3x=33. Kunin natin ang sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Mula sa equation na 3x=33 nakita natin na x=11. Ang pagpapalit ng x value na ito sa equation \(x-3y=38\) ay makakakuha tayo ng equation na may variable na y: \(11-3y=38\). Lutasin natin ang equation na ito:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Kaya, natagpuan namin ang solusyon sa sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagdaragdag: \(x=11; y=-9\) o \((11;-9)\)

Sinasamantala ang katotohanan na sa mga equation ng system ang mga coefficient ng y ay magkasalungat na mga numero, binawasan namin ang solusyon nito sa solusyon ng isang katumbas na sistema (sa pamamagitan ng pagsusuma sa magkabilang panig ng bawat isa sa mga equation ng orihinal na sistema), kung saan ang isa ng mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Mga aklat (mga aklat-aralin) Mga Abstract ng Unified State Examination at ang Unified State Examination na pagsusulit online Mga laro, puzzle Pag-plot ng mga graph ng mga function Diksyunaryo ng pagbabaybay ng wikang Russian Dictionary of youth slang Catalog of Russian schools Catalog of secondary educational institutions of Russia Catalog of Russian universities List ng mga gawain

Gamit ang paraan ng pagdaragdag, ang mga equation ng isang sistema ay idinaragdag ng termino sa pamamagitan ng termino, at ang isa o pareho (ilang) equation ay maaaring i-multiply sa anumang numero. Bilang isang resulta, dumating sila sa isang katumbas na SLE, kung saan sa isa sa mga equation mayroon lamang isang variable.

Upang malutas ang sistema paraan ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) sundin ang mga hakbang na ito:

1. Pumili ng variable kung saan gagawin ang parehong coefficient.

2. Ngayon ay kailangan mong idagdag o ibawas ang mga equation at kumuha ng equation na may isang variable.

Solusyon ng system- ito ang mga intersection point ng mga function graph.

Tingnan natin ang mga halimbawa.

Halimbawa 1.

Ibinigay na sistema:

Ang pagkakaroon ng pagsusuri sa sistemang ito, mapapansin mo na ang mga coefficient ng variable ay pantay sa magnitude at naiiba sa sign (-1 at 1). Sa kasong ito, ang mga equation ay madaling maidagdag na termino sa pamamagitan ng termino:

Ginagawa namin ang mga aksyon na binilog sa pula sa aming mga isipan.

Ang resulta ng termino-by-term na pagdaragdag ay ang pagkawala ng variable y. Ito ay tiyak ang kahulugan ng pamamaraan - upang mapupuksa ang isa sa mga variable.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Sa form ng system, ang solusyon ay ganito ang hitsura:

Sagot: x = -4 , y = 1.

Halimbawa 2.

Ibinigay na sistema:

Sa halimbawang ito, maaari mong gamitin ang paraan ng "paaralan", ngunit mayroon itong isang malaking kawalan - kapag nagpahayag ka ng anumang variable mula sa anumang equation, makakakuha ka ng solusyon sa mga ordinaryong fraction. Ngunit ang paglutas ng mga fraction ay tumatagal ng maraming oras at ang posibilidad na magkamali ay tumataas.

Samakatuwid, mas mainam na gumamit ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation. Suriin natin ang mga coefficient ng mga kaukulang variable:

Kailangan mong maghanap ng numero na maaaring hatiin sa 3 at sa 4 , at kinakailangan na ang bilang na ito ay ang pinakamababang posible. Ito hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kung mahirap para sa iyo na makahanap ng angkop na numero, maaari mong i-multiply ang mga coefficient: .

Susunod na hakbang:

I-multiply namin ang 1st equation sa ,

I-multiply namin ang 3rd equation sa ,

Sa video na ito sinisimulan ko ang isang serye ng mga aralin na nakatuon sa mga sistema ng mga equation. Ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation paraan ng pagdaragdag- isa ito sa pinaka mga simpleng paraan, ngunit sa parehong oras ang isa sa mga pinaka-epektibo.

Ang paraan ng pagdaragdag ay binubuo ng tatlong simple hakbang:

1. Tingnan ang system at pumili ng variable na may magkapareho (o kabaligtaran) na coefficient sa bawat equation;
2. Magsagawa ng algebraic subtraction (para sa kabaligtaran na mga numero - karagdagan) ng mga equation mula sa bawat isa, at pagkatapos ay magdala ng mga katulad na termino;
3. Lutasin ang bagong equation na nakuha pagkatapos ng ikalawang hakbang.

Kung ang lahat ay tapos na nang tama, pagkatapos ay sa output makakakuha tayo ng isang solong equation na may isang variable— hindi ito magiging mahirap na lutasin ito. Pagkatapos ang lahat na natitira ay upang palitan ang natagpuang ugat sa orihinal na sistema at makuha ang huling sagot.

Gayunpaman, sa pagsasanay ang lahat ay hindi gaanong simple. Mayroong ilang mga dahilan para dito:

• Ang paglutas ng mga equation gamit ang paraan ng pagdaragdag ay nagpapahiwatig na ang lahat ng mga linya ay dapat maglaman ng mga variable na may katumbas/kabaligtaran na mga coefficient. Ano ang gagawin kung hindi matugunan ang pangangailangang ito?
• Hindi palaging, pagkatapos magdagdag/magbawas ng mga equation sa ipinahiwatig na paraan, nakakakuha tayo ng magandang konstruksyon na madaling malutas. Posible bang gawing simple ang mga kalkulasyon at pabilisin ang mga kalkulasyon?

Upang makuha ang sagot sa mga tanong na ito, at sa parehong oras ay maunawaan ang ilang karagdagang mga subtlety na nabigo sa maraming mga mag-aaral, panoorin ang aking aralin sa video:

Sa araling ito sinisimulan natin ang isang serye ng mga lektura na nakatuon sa mga sistema ng mga equation. At magsisimula tayo mula sa pinakasimpleng sa kanila, lalo na ang mga naglalaman ng dalawang equation at dalawang variable. Ang bawat isa sa kanila ay magiging linear.

Ang mga sistema ay materyal sa ika-7 baitang, ngunit ang araling ito ay magiging kapaki-pakinabang din para sa mga mag-aaral sa high school na gustong mag-ayos ng kanilang kaalaman sa paksang ito.

Sa pangkalahatan, mayroong dalawang pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang sistema:

1. Paraan ng pagdaragdag;
2. Isang paraan ng pagpapahayag ng isang variable sa mga tuntunin ng isa pa.

Ngayon ay haharapin natin ang unang paraan - gagamitin natin ang paraan ng pagbabawas at pagdaragdag. Ngunit para magawa ito, kailangan mong maunawaan ang sumusunod na katotohanan: kapag mayroon kang dalawa o higit pang mga equation, maaari mong kunin ang alinman sa dalawa sa mga ito at idagdag ang mga ito sa isa't isa. Sila ay idinagdag na miyembro ng miyembro, i.e. Ang "X's" ay idinagdag sa "X's" at ang mga katulad ay ibinibigay, "Y's" na may "Y's" ay magkatulad muli, at kung ano ang nasa kanan ng equal sign ay idinaragdag din sa isa't isa, at ang mga katulad ay ibinibigay din doon .

Ang mga resulta ng naturang mga machinations ay magiging isang bagong equation, na, kung ito ay may mga ugat, sila ay tiyak na kabilang sa mga ugat ng orihinal na equation. Samakatuwid, ang aming gawain ay gawin ang pagbabawas o pagdaragdag sa paraang alinman sa $x$ o $y$ ay mawala.

Paano ito makakamit at kung anong tool ang gagamitin para dito - pag-uusapan natin ito ngayon.

Paglutas ng mga madaling problema gamit ang paraan ng pagdaragdag

Kaya, natutunan nating gamitin ang paraan ng pagdaragdag gamit ang halimbawa ng dalawang simpleng expression.

Gawain Blg. 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Tandaan na ang $y$ ay may coefficient na $-4$ sa unang equation, at $+4$ sa pangalawa. Ang mga ito ay magkasalungat, kaya't lohikal na ipagpalagay na kung isasama natin ang mga ito, kung gayon sa resultang kabuuan ang "mga laro" ay kapwa masisira. Idagdag ito at kunin:

Lutasin natin ang pinakasimpleng konstruksyon:

Mahusay, nakita namin ang "x". Ano ang dapat nating gawin dito ngayon? May karapatan kaming palitan ito sa alinman sa mga equation. Palitan natin ang una:

\[-4y=12\pakaliwa| :\kaliwa(-4 \kanan) \kanan.\]

Sagot: $\left(2;-3 \right)$.

Problema Blg. 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Ang sitwasyon dito ay ganap na magkatulad, tanging sa "X's". Idagdag natin sila:

Mayroon tayong pinakasimpleng linear equation, lutasin natin ito:

Ngayon hanapin natin ang $x$:

Sagot: $\left(-3;3 \right)$.

Mahalagang puntos

Kaya, nalutas na natin ang dalawang simpleng sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagdaragdag. Mga pangunahing punto muli:

1. Kung mayroong mga kabaligtaran na coefficient para sa isa sa mga variable, pagkatapos ay kinakailangan upang idagdag ang lahat ng mga variable sa equation. Sa kasong ito, ang isa sa kanila ay masisira.
2. Pinapalitan namin ang nahanap na variable sa alinman sa mga equation ng system upang mahanap ang pangalawa.
3. Ang huling rekord ng tugon ay maaaring ipakita sa iba't ibang paraan. Halimbawa, tulad nito - $x=...,y=...$, o sa anyo ng mga coordinate ng mga puntos - $\left(...;... \right)$. Ang pangalawang pagpipilian ay mas kanais-nais. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay ang unang coordinate ay $x$, at ang pangalawa ay $y$.
4. Ang panuntunan ng pagsulat ng sagot sa anyo ng mga point coordinates ay hindi palaging naaangkop. Halimbawa, hindi ito magagamit kapag ang mga variable ay hindi $x$ at $y$, ngunit, halimbawa, $a$ at $b$.

Sa mga sumusunod na problema ay isasaalang-alang natin ang pamamaraan ng pagbabawas kapag ang mga koepisyent ay hindi kabaligtaran.

Paglutas ng mga madaling problema gamit ang paraan ng pagbabawas

Gawain Blg. 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Tandaan na walang mga kabaligtaran na coefficients dito, ngunit may mga magkapareho. Samakatuwid, ibawas namin ang pangalawa mula sa unang equation:

Ngayon ay pinapalitan namin ang halagang $x$ sa alinman sa mga equation ng system. Tayo muna:

Sagot: $\left(2;5\right)$.

Problema Blg. 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Muli nating nakikita ang parehong koepisyent na $5$ para sa $x$ sa una at pangalawang equation. Samakatuwid, lohikal na ipagpalagay na kailangan mong ibawas ang pangalawa mula sa unang equation:

Kinakalkula namin ang isang variable. Ngayon, hanapin natin ang pangalawa, halimbawa, sa pamamagitan ng pagpapalit ng halagang $y$ sa pangalawang konstruksyon:

Sagot: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuances ng solusyon

Kaya ano ang nakikita natin? Mahalaga, ang pamamaraan ay hindi naiiba sa solusyon ng mga nakaraang sistema. Ang pagkakaiba lamang ay hindi tayo nagdadagdag ng mga equation, ngunit ibawas ang mga ito. Gumagawa kami ng algebraic subtraction.

Sa madaling salita, sa sandaling makita mo ang isang sistema na binubuo ng dalawang equation sa dalawang hindi alam, ang unang bagay na kailangan mong tingnan ay ang mga coefficient. Kung ang mga ito ay pareho kahit saan, ang mga equation ay ibabawas, at kung sila ay kabaligtaran, ang paraan ng pagdaragdag ay ginagamit. Ito ay palaging ginagawa upang mawala ang isa sa kanila, at sa huling equation, na nananatili pagkatapos ng pagbabawas, isang variable na lang ang natitira.

Siyempre, hindi lang iyon. Ngayon ay isasaalang-alang natin ang mga sistema kung saan ang mga equation ay karaniwang hindi pare-pareho. Yung. Walang mga variable sa kanila na pareho o kabaligtaran. Sa kasong ito, upang malutas ang mga naturang sistema, ang isang karagdagang pamamaraan ay ginagamit, ibig sabihin, pagpaparami ng bawat isa sa mga equation sa pamamagitan ng isang espesyal na koepisyent. Paano ito mahahanap at kung paano malutas ang mga naturang sistema sa pangkalahatan, pag-uusapan natin ito ngayon.

Paglutas ng mga problema sa pamamagitan ng pagpaparami ng koepisyent

Halimbawa #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Nakikita namin na hindi para sa $x$ o para sa $y$ ang mga coefficient ay hindi lamang magkasalungat, ngunit hindi rin nakakaugnay sa ibang equation. Ang mga coefficient na ito ay hindi mawawala sa anumang paraan, kahit na idagdag o ibawas natin ang mga equation sa bawat isa. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang ilapat ang multiplikasyon. Subukan nating alisin ang $y$ variable. Upang gawin ito, i-multiply namin ang unang equation sa coefficient ng $y$ mula sa pangalawang equation, at ang pangalawang equation sa coefficient ng $y$ mula sa unang equation, nang hindi hinahawakan ang sign. Kami ay dumami at nakakakuha ng bagong sistema:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Tingnan natin ito: sa $y$ ang mga coefficient ay kabaligtaran. Sa ganitong sitwasyon, kinakailangang gamitin ang paraan ng pagdaragdag. Idagdag natin:

Ngayon kailangan nating hanapin ang $y$. Upang gawin ito, palitan ang $x$ sa unang expression:

\[-9y=18\kaliwa| :\kaliwa(-9 \kanan) \kanan.\]

Sagot: $\left(4;-2 \right)$.

Halimbawa Blg. 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Muli, ang mga coefficient para sa wala sa mga variable ay pare-pareho. I-multiply natin sa mga coefficient ng $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Ang aming bagong sistema ay katumbas ng nauna, ngunit ang mga coefficient ng $y$ ay magkasalungat, at samakatuwid ay madaling ilapat ang paraan ng pagdaragdag dito:

Ngayon, hanapin natin ang $y$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng $x$ sa unang equation:

Sagot: $\left(-2;1 \right)$.

Nuances ng solusyon

Ang pangunahing panuntunan dito ay ang mga sumusunod: palagi kaming dumarami lamang sa mga positibong numero - ito ay magliligtas sa iyo mula sa mga hangal at nakakasakit na pagkakamali na nauugnay sa pagbabago ng mga palatandaan. Sa pangkalahatan, ang scheme ng solusyon ay medyo simple:

1. Tinitingnan namin ang system at sinusuri ang bawat equation.
2. Kung nakikita natin na hindi pare-pareho ang $y$ o $x$ ang mga coefficient, i.e. hindi sila pantay o kabaligtaran, pagkatapos ay gagawin natin ang sumusunod: pipiliin natin ang variable na kailangan nating alisin, at pagkatapos ay titingnan natin ang mga coefficient ng mga equation na ito. Kung i-multiply natin ang unang equation ng koepisyent mula sa pangalawa, at ang pangalawa, naaayon, paramihin ng koepisyent mula sa una, pagkatapos ay sa huli ay makakakuha tayo ng isang sistema na ganap na katumbas ng nauna, at ang mga coefficient ng $ y$ ay magiging pare-pareho. Ang lahat ng aming mga aksyon o pagbabago ay naglalayong makakuha lamang ng isang variable sa isang equation.
3. Nakahanap kami ng isang variable.
4. Pinapalitan namin ang nahanap na variable sa isa sa dalawang equation ng system at hanapin ang pangalawa.
5. Sinusulat namin ang sagot sa anyo ng mga coordinate ng mga puntos kung mayroon kaming mga variable na $x$ at $y$.

Ngunit kahit na ang gayong simpleng algorithm ay may sariling mga subtleties, halimbawa, ang mga coefficient ng $x$ o $y$ ay maaaring mga fraction at iba pang "pangit" na mga numero. Isasaalang-alang namin ngayon ang mga kasong ito nang hiwalay, dahil sa mga ito maaari kang kumilos nang medyo naiiba kaysa ayon sa karaniwang algorithm.

Paglutas ng mga problema sa mga fraction

Halimbawa #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Una, pansinin na ang pangalawang equation ay naglalaman ng mga fraction. Ngunit tandaan na maaari mong hatiin ang $4$ sa $0.8$. Makakatanggap kami ng $5. I-multiply natin ang pangalawang equation sa $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Ibinabawas namin ang mga equation sa bawat isa:

Nakakita kami ng $n$, ngayon ay bilangin natin ang $m$:

Sagot: $n=-4;m=5$

Halimbawa Blg. 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ tama.\]

Dito, tulad ng sa nakaraang sistema, may mga fractional coefficients, ngunit para sa wala sa mga variable na magkasya ang mga coefficient sa isa't isa ng integer na bilang ng beses. Samakatuwid, ginagamit namin ang karaniwang algorithm. Alisin ang $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Ginagamit namin ang paraan ng pagbabawas:

Hanapin natin ang $p$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng $k$ sa pangalawang konstruksyon:

Sagot: $p=-4;k=-2$.

Nuances ng solusyon

Iyan ang lahat ng pag-optimize. Sa unang equation, hindi kami nag-multiply sa anumang bagay, ngunit pinarami ang pangalawang equation sa $5$. Bilang resulta, nakakuha kami ng pare-pareho at magkaparehong equation para sa unang variable. Sa pangalawang sistema, sinundan namin ang isang karaniwang algorithm.

Ngunit paano mo mahahanap ang mga numero kung saan i-multiply ang mga equation? Pagkatapos ng lahat, kung i-multiply natin sa mga fraction, makakakuha tayo ng mga bagong fraction. Samakatuwid, ang mga fraction ay dapat na i-multiply sa isang numero na magbibigay ng bagong integer, at pagkatapos nito ang mga variable ay dapat na i-multiply sa mga coefficient, kasunod ng karaniwang algorithm.

Sa konklusyon, nais kong iguhit ang iyong pansin sa format para sa pagtatala ng tugon. Tulad ng nasabi ko na, dahil dito wala kaming $x$ at $y$, ngunit iba pang mga halaga, gumagamit kami ng hindi karaniwang notasyon ng form:

Paglutas ng mga kumplikadong sistema ng mga equation

Bilang panghuling tala sa video tutorial ngayon, tingnan natin ang isang pares ng mga talagang kumplikadong system. Ang kanilang pagiging kumplikado ay binubuo sa katotohanan na magkakaroon sila ng mga variable sa kaliwa at kanan. Samakatuwid, upang malutas ang mga ito, kailangan nating ilapat ang preprocessing.

System No. 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Ang bawat equation ay nagdadala ng isang tiyak na kumplikado. Samakatuwid, ituring natin ang bawat expression bilang isang regular na linear construction.

Sa kabuuan, nakukuha namin ang panghuling sistema, na katumbas ng orihinal:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Tingnan natin ang mga coefficient ng $y$: $3$ na magkasya sa $6$ dalawang beses, kaya i-multiply natin ang unang equation sa $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Ang mga coefficient ng $y$ ay pantay na ngayon, kaya ibawas namin ang pangalawa sa unang equation: $$

Ngayon hanapin natin ang $y$:

Sagot: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

System No. 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Ibahin natin ang unang expression:

Harapin natin ang pangalawa:

\[-3\kaliwa(b-2a \kanan)-12=2\kaliwa(a-5 \kanan)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Sa kabuuan, ang aming paunang sistema ay kukuha ng sumusunod na anyo:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Sa pagtingin sa mga coefficient ng $a$, makikita natin na ang unang equation ay kailangang i-multiply sa $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Ibawas ang pangalawa mula sa unang konstruksyon:

Ngayon hanapin natin ang $a$:

Sagot: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

yun lang. Umaasa ako na ang video tutorial na ito ay makakatulong sa iyo na maunawaan ang mahirap na paksang ito, lalo na ang paglutas ng mga sistema ng mga simpleng linear equation. Marami pang mga aral sa paksang ito: titingnan pa natin kumplikadong mga halimbawa, kung saan magkakaroon ng higit pang mga variable, at ang mga equation mismo ay magiging nonlinear na. Magkita tayo muli!