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A função y=x^2 é chamada de função quadrática. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Forma geral A parábola é mostrada na figura abaixo.

Função quadrática

Fig 1. Vista geral da parábola

Como pode ser visto no gráfico, é simétrico em relação ao eixo Oy. O eixo Oy é chamado de eixo de simetria da parábola. Isso significa que se você desenhar uma linha reta no gráfico paralela ao eixo do Boi acima deste eixo. Então cruzará a parábola em dois pontos. A distância desses pontos ao eixo Oy será a mesma.

O eixo de simetria divide o gráfico de uma parábola em duas partes. Essas partes são chamadas de ramos da parábola. E o ponto de uma parábola que está no eixo de simetria é chamado de vértice da parábola. Ou seja, o eixo de simetria passa pelo vértice da parábola. As coordenadas deste ponto são (0;0).

Propriedades básicas de uma função quadrática

1. Em x =0, y=0 e y>0 em x0

2. A função quadrática atinge seu valor mínimo em seu vértice. Ymin em x=0; Deve-se notar também que a função não possui valor máximo.

3. A função diminui no intervalo (-∞;0] e aumenta no intervalo; desigualdade a<x<b – intervalo e é denotado por () ; desigualdades e - meios-intervalos e são denotados por e respectivamente. Freqüentemente, você também precisa lidar com intervalos infinitos e meios intervalos:,,,, e. É conveniente ligar para todos eles nos intervalos .

Intervalo, ou seja conjunto de pontos que satisfazem a desigualdade (onde ), é chamada de vizinhança do ponto a.

O conceito de função. Propriedades básicas de uma função

Se cada elemento x conjuntos X um único elemento é correspondido sim conjuntos S, então eles dizem isso no set X dado função sim=f(x). Em que x chamado variável independente ou argumento, A sim – variável dependente ou função, A f denota a lei da correspondência. Um monte de X chamado domínio de definição funções e um conjunto S – faixa de valores funções.

Existem diversas maneiras de especificar funções.

1) Método analítico - a função é dada por uma fórmula da forma sim=f(x).

2) Método tabular - a função é especificada por uma tabela contendo os valores dos argumentos e os valores correspondentes da função sim=f(x).

3) Método gráfico - representando o gráfico de uma função, ou seja, conjunto de pontos ( x; sim) plano de coordenadas, cujas abcissas representam os valores do argumento, e as ordenadas representam os valores correspondentes da função sim=f(x).

4) Método verbal - uma função é descrita pela regra para sua composição. Por exemplo, a função Dirichlet assume o valor 1 se xé um número racional e 0 se x- Número irracional.

As seguintes propriedades principais das funções são distinguidas.

1 Par e ímpar Função sim=f(x) é chamado até, se para qualquer valor x do seu domínio de definição é satisfeito f(–x)=f(x), E chance, Se f(–x)=–f(x). Se nenhuma das igualdades listadas for satisfeita, então sim=f(x) é chamado função geral. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Oi, e o gráfico da função ímpar é simétrico em relação à origem.

2 Monotonia Função sim=f(x) é chamado aumentando (diminuindo) no intervalo X, Se valor mais alto um argumento deste intervalo corresponde a um valor maior (menor) da função. Deixar x 1 ,x 2Î X, x 2 >x 1. Então a função aumenta no intervalo X, Se f(x 2)>f(x 1) e diminui se f(x 2)<f(x 1).

Juntamente com as funções crescentes e decrescentes, são consideradas funções não decrescentes e não crescentes. A função é chamada não decrescente (não crescente), se em x 1 ,x 2Î X, x 2 >x 1 desigualdade é válida f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).

Funções crescentes e decrescentes, bem como funções não crescentes e não decrescentes são chamadas de monotônicas.

3 Limitado Função sim=f(x) é chamado limitado no intervalo X, se existe um número tão positivo M>0, o que | f(x)|≤M para qualquer um xÎ X. Caso contrário, a função é dita ilimitada X.

4 Frequência Função sim=f(x) é chamado periódico com um período T≠0, se for algum x do domínio da função f(x+T)=f(x). A seguir, por período entendemos o menor período positivo funções.

A função é chamada explícito, se for dado por uma fórmula da forma sim=f(x). Se a função é dada pela equação F(x, sim)=0, não permitido em relação à variável dependente sim, então é chamado implícito.

Deixar sim=f(x) é uma função da variável independente definida no conjunto X com alcance S. Vamos combinar cada um simÎ S significado único xÎ X, em qual f(x)=sim.Então a função resultante x=φ (sim), definido no conjunto S com alcance X, chamado reverter e é designado sim=f –1 (x). Os gráficos de funções mutuamente inversas são simétricos em relação à bissetriz do primeiro e terceiro trimestres de coordenadas.

Deixe a função sim=f(você) é uma função de uma variável você, definido no conjunto você com alcance S, e a variável você por sua vez é uma função você=φ (x), definido no conjunto X com alcance você. Então dado no set X função sim=f(φ (x)) é chamado função complexa(composição de funções, superposição de funções, função de uma função).

Funções elementares

As principais funções elementares incluem:

• Função liga-desliga sim=x n; sim=x-n E sim=x 1/ n;
• função exponencial sim=um x;
• função logarítmica sim=registro um x;
• funções trigonométricas sim= pecado x, sim=porque x, sim=tg x E sim=ctg x;
• funções trigonométricas inversas sim= arco seno x, sim=arcos x, sim=arctg x E sim=arcctg x.

A partir das funções elementares básicas, novas funções podem ser obtidas utilizando operações algébricas e superposição de funções.

Funções construídas a partir de funções elementares básicas usando um número finito de operações algébricas e um número finito de operações de superposição são chamadas elementar.

Algébricoé uma função na qual um número finito de operações algébricas são realizadas no argumento. As funções algébricas incluem:

· uma função racional inteira (polinômio ou polinômio)

· função racional fracionária (proporção de dois polinômios)

· função irracional (se as operações no argumento incluem a extração da raiz).

Qualquer função não algébrica é chamada transcendental. As funções transcendentais incluem funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e trigonométricas inversas.

Zeros de função
O zero de uma função é o valor X, no qual a função passa para 0, ou seja, f(x)=0.

Zeros são os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo Oh.

Paridade de função
Uma função é chamada mesmo que para qualquer X do domínio de definição a igualdade f(-x) = f(x) é válida

Uma função par é simétrica em relação ao eixo UO

Função de paridade ímpar
Uma função é chamada ímpar se para qualquer X do domínio de definição a igualdade f(-x) = -f(x) é válida.

Uma função ímpar é simétrica em relação à origem.
Uma função que não é par nem ímpar é chamada de função geral.

Função crescente
Diz-se que uma função f(x) é crescente se um valor maior do argumento corresponder a um valor maior da função, ou seja,

Função descendente
Uma função f(x) é chamada decrescente se um valor maior do argumento corresponder a um valor menor da função, ou seja,

Os intervalos nos quais a função apenas diminui ou apenas aumenta são chamados intervalos de monotonia. A função f(x) possui 3 intervalos de monotonicidade:

Encontre intervalos de monotonicidade usando o serviço Intervalos de função crescente e decrescente

Máximo local
Ponto x0é chamado de ponto máximo local se para qualquer X da vizinhança de um ponto x0 a desigualdade é válida: f(x 0) > f(x)

Mínimo local
Ponto x0é chamado de ponto de mínimo local se para qualquer X da vizinhança de um ponto x0 a desigualdade é válida: f(x 0)< f(x).

Os pontos máximos locais e os pontos mínimos locais são chamados de pontos extremos locais.

pontos extremos locais.

Frequência de função
A função f(x) é chamada periódica, com um período T, se por algum X a igualdade f(x+T) = f(x) é válida.

Intervalos de constância de sinal
Os intervalos nos quais a função é apenas positiva ou apenas negativa são chamados intervalos de sinal constante.

Continuidade de função
Uma função f(x) é chamada contínua em um ponto x 0 se o limite da função como x → x 0 for igual ao valor da função neste ponto, ou seja, .

Pontos de ruptura
Os pontos nos quais a condição de continuidade é violada são chamados de pontos de interrupção da função.

x0- ponto de ruptura.

Esquema geral para plotagem de funções

1. Encontre o domínio de definição da função D(y).

2. Encontre os pontos de intersecção do gráfico de funções com os eixos coordenados.

3. Examine a função par ou ímpar.

4. Examine a função quanto à periodicidade.

5. Encontre intervalos de monotonicidade e pontos extremos da função.

6. Encontre os intervalos de convexidade e pontos de inflexão da função.

7. Encontre as assíntotas da função.

8. Com base nos resultados da pesquisa, construa um gráfico.

Exemplo: Explore a função e faça um gráfico dela: y = x 3 – 3x

1) A função é definida em todo o eixo numérico, ou seja, seu domínio de definição é D(y) = (-∞; +∞).

2) Encontre os pontos de intersecção com os eixos coordenados:

com o eixo OX: resolva a equação x 3 – 3x = 0

com eixo OY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Descubra se a função é par ou ímpar:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Segue-se que a função é ímpar.

4) A função não é periódica.

5) Vamos encontrar os intervalos de monotonicidade e os pontos extremos da função: y’ = 3x 2 - 3.

Pontos críticos: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Encontre os intervalos de convexidade e pontos de inflexão da função: y’’ = 6x

Pontos críticos: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) A função é contínua, não possui assíntotas.

8) Com base nos resultados do estudo, construiremos um gráfico da função.

A seção contém material de referência sobre as principais funções elementares e suas propriedades. É fornecida uma classificação de funções elementares. Abaixo estão links para subseções que discutem as propriedades de funções específicas - gráficos, fórmulas, derivadas, antiderivadas (integrais), expansões de séries, expressões através de variáveis ​​complexas.

Páginas de referência para funções básicas

Classificação de funções elementares

Função algébricaé uma função que satisfaz a equação:
,
onde é um polinômio na variável dependente y e na variável independente x. Pode ser escrito como:
,
onde estão os polinômios.

As funções algébricas são divididas em polinômios (funções racionais inteiras), funções racionais e funções irracionais.

Função racional completa, que também é chamado polinomial ou polinomial, é obtido a partir da variável x e de um número finito de números usando as operações aritméticas de adição (subtração) e multiplicação. Após abrir os colchetes, o polinômio é reduzido à forma canônica:
.

Função racional fracionária, ou simplesmente função racional, é obtido a partir da variável x e de um número finito de números utilizando as operações aritméticas de adição (subtração), multiplicação e divisão. A função racional pode ser reduzida à forma
,
onde e são polinômios.

Função irracionalé uma função algébrica que não é racional. Via de regra, uma função irracional é entendida como raízes e suas composições com funções racionais. Uma raiz de grau n é definida como a solução da equação
.
É designado da seguinte forma:
.

Funções transcendentais são chamadas de funções não algébricas. Estas são funções exponenciais, trigonométricas, hiperbólicas e suas funções inversas.

Visão geral das funções elementares básicas

Todos funções elementares pode ser representado como um número finito de operações de adição, subtração, multiplicação e divisão realizadas em uma expressão da forma:
zt.
Funções inversas também podem ser expressas em termos de logaritmos. As funções elementares básicas estão listadas abaixo.

Função liga-desliga :
y(x) = x p ,
onde p é o expoente. Depende da base do grau x.
O inverso da função potência também é a função potência:
.
Para um valor inteiro não negativo do expoente p, é um polinômio. Para um valor inteiro p - uma função racional. No significado racional- função irracional.

Funções transcendentais

Função exponencial :
y(x) = umax ,
onde a é a base do grau. Depende do expoente x.
A função inversa é o logaritmo para basear a:
x = registrar um ano.

Expoente, e elevado à potência x:
y(x) = e x ,
Esta é uma função exponencial cuja derivada é igual à própria função:
.
A base do expoente é o número e:
≈ 2,718281828459045... .
A função inversa é o logaritmo natural - o logaritmo na base do número e:
x = ln y ≡ log e y.

Funções trigonométricas:
Seno: ;
Cosseno: ;
Tangente: ;
Cotangente: ;
Aqui i é a unidade imaginária, i 2 = -1.

Funções trigonométricas inversas:
Arco seno: x = arco seno y, ;
Arco cosseno: x = arcos e, ;
Arco tangente: x = Arctan e, ;
Tangente do arco: x = arco, .

1) Domínio de função e intervalo de função.

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de argumentos válidos x(variável x), para a qual a função y =f(x) determinado. O contradomínio de uma função é o conjunto de todos os valores reais sim, que a função aceita.

Na matemática elementar, as funções são estudadas apenas no conjunto dos números reais.

2) Zeros de função.

A função zero é valor do argumento, no qual o valor da função é igual a zero.

3) Intervalos de sinal constante de uma função.

Intervalos de sinal constante de uma função são conjuntos de valores de argumentos nos quais os valores da função são apenas positivos ou apenas negativos.

4) Monotonicidade da função.

Uma função crescente (em um determinado intervalo) é uma função em que um valor maior do argumento desse intervalo corresponde a um valor maior da função.

Uma função decrescente (em um determinado intervalo) é uma função em que um valor maior do argumento desse intervalo corresponde a um valor menor da função.

5) Função par (ímpar).

Uma função par é uma função cujo domínio de definição é simétrico em relação à origem e para qualquer X do domínio de definição a igualdade f(-x) =f(x). O gráfico de uma função par é simétrico em relação à ordenada.

Uma função ímpar é uma função cujo domínio de definição é simétrico em relação à origem e para qualquer X do domínio de definição a igualdade é verdadeira f(-x) = -f(x). O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

6) Funções limitadas e ilimitadas.

Uma função é chamada limitada se existe um número positivo M tal que |f(x)| ≤ M para todos os valores de x. Se tal número não existir, a função é ilimitada.

7) Periodicidade da função.

Uma função f(x) é periódica se existe um número T diferente de zero tal que para qualquer x do domínio de definição da função o seguinte é válido: f(x+T) = f(x). Este menor número é chamado de período da função. Todas as funções trigonométricas são periódicas. (Fórmulas trigonométricas).

19. Funções elementares básicas, suas propriedades e gráficos. Aplicação de funções em economia.

Funções elementares básicas. Suas propriedades e gráficos

1. Função linear.

Função linear é chamada de função da forma , onde x é uma variável, a e b são números reais.

Número A chamado declive reta, é igual à tangente do ângulo de inclinação dessa reta ao sentido positivo do eixo das abcissas. O gráfico de uma função linear é uma linha reta. É definido por dois pontos.

Propriedades de uma função linear

1. Domínio de definição - o conjunto de todos os números reais: D(y)=R

2. O conjunto de valores é o conjunto de todos os números reais: E(y)=R

3. A função assume valor zero quando ou.

4. A função aumenta (diminui) em todo o domínio de definição.

5. Uma função linear é contínua em todo o domínio de definição, diferenciável e .

2. Função quadrática.

Uma função da forma, onde x é uma variável, os coeficientes a, b, c são números reais, é chamada quadrático.