Aralin at presentasyon sa paksa: "Pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon. Mga halimbawa ng paglutas ng problema"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga tulong na pang-edukasyon at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 8
Manwal para sa aklat-aralin na Muravin G.K. Isang manwal para sa aklat-aralin ni Makarychev Yu.N.

Ang konsepto ng rasyonal na pagpapahayag

Ang konsepto ng "rational expression" ay katulad ng konsepto ng "rational fraction". Ang expression ay kinakatawan din bilang isang fraction. Ang mga numerator lamang natin ay hindi mga numero, ngunit iba't ibang uri ng mga expression. Kadalasan ito ay mga polynomial. Ang algebraic fraction ay isang fractional expression na binubuo ng mga numero at variable.

Kapag nilulutas ang maraming problema sa elementarya, pagkatapos magsagawa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, nakatanggap kami ng mga partikular na halaga ng numero, kadalasang mga fraction. Ngayon pagkatapos isagawa ang mga operasyon ay kukuha tayo ng mga algebraic fraction. Guys, tandaan: upang makuha ang tamang sagot, kailangan mong pasimplehin ang expression na pinagtatrabahuhan mo hangga't maaari. Dapat makuha ng isa ang pinakamaliit na antas na posible; dapat bawasan ang magkaparehong expression sa numerator at denominator; na may mga expression na maaaring i-collapse, dapat mong gawin ito. Iyon ay, pagkatapos magsagawa ng isang serye ng mga aksyon, dapat nating makuha ang pinakasimpleng posibleng algebraic fraction.

Pamamaraan na may mga makatwirang ekspresyon

Ang pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga makatwirang expression ay kapareho ng para sa mga pagpapatakbo ng aritmetika. Una, ang mga operasyon sa panaklong ay ginaganap, pagkatapos ay multiplikasyon at paghahati, exponentiation, at panghuli ang pagdaragdag at pagbabawas.

Upang patunayan ang isang pagkakakilanlan ay nangangahulugan na ipakita na para sa lahat ng mga halaga ng mga variable ang kanan at kaliwang panig ay pantay. Mayroong maraming mga halimbawa ng pagpapatunay ng mga pagkakakilanlan.

Kabilang sa mga pangunahing paraan upang malutas ang mga pagkakakilanlan.

• Ibahin ang anyo sa kaliwang bahagi upang maging katumbas ng kanang bahagi.
• Ibahin ang anyo ng kanang bahagi upang maging pantay sa kaliwa.
• Ibahin ang anyo ng kaliwa at kanang bahagi nang magkahiwalay hanggang sa makuha mo ang parehong expression.
• Ang kanang bahagi ay ibinabawas mula sa kaliwang bahagi, at ang resulta ay dapat na zero.

Pag-convert ng mga makatwirang expression. Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Halimbawa 1.
Patunayan ang pagkakakilanlan:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Solusyon.
Malinaw, kailangan nating baguhin ang kaliwang bahagi.
Una, gawin natin ang mga hakbang sa panaklong:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

Dapat mong subukang ilapat ang mga karaniwang salik sa maximum.
2) Ibahin ang anyo ng expression kung saan tayo naghahati:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Isagawa ang operasyon ng paghahati:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Isagawa ang operasyon ng karagdagan:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Magkasabay ang kanan at kaliwang bahagi. Nangangahulugan ito na ang pagkakakilanlan ay napatunayan.
Guys, kapag nilulutas ang halimbawang ito kailangan namin ng kaalaman sa maraming mga formula at operasyon. Nakita natin na pagkatapos ng pagbabago, ang malaking ekspresyon ay naging napakaliit. Kapag nilulutas ang halos lahat ng mga problema, ang mga pagbabago ay karaniwang humahantong sa mga simpleng expression.

Halimbawa 2.
Pasimplehin ang expression:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Solusyon.
Magsimula tayo sa mga unang bracket.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Ibahin ang anyo ng pangalawang bracket.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Gawin natin ang paghahati.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Sagot: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Halimbawa 3.
Sundin ang mga hakbang:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Solusyon.
Gaya ng dati, kailangan mong magsimula sa mga bracket.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2) )(k^2+2k+4))$.

2. Ngayon gawin natin ang paghahati.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Gamitin natin ang property: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Isagawa natin ang operasyon ng pagbabawas.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Tulad ng sinabi namin kanina, kailangan mong gawing simple ang fraction hangga't maaari.
Sagot: $\frac(k)(k-4)$.

Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa

1. Patunayan ang pagkakakilanlan:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Pasimplehin ang expression:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Sundin ang mga hakbang na ito:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Torez educational complex

"Komprehensibong paaralan ng mga antas ng І-ІІ No. 1 - Lyceum "Spectrum"

Paksa. Magkaparehong pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon

Pagbuo ng aralin para sa ika-8 baitang

Kirilyuk Natalya Anatolevna,

guro sa matematika ng pinakamataas na kategorya,

matandang guro

Torez – 2014

Mga layunin:

Patuloy na paunlarin ang mga kasanayan ng mga mag-aaral sa pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon; pagsama-samahin ang kakayahang maglapat ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon, magdagdag, magbawas, magparami at hatiin ang mga makatwirang ekspresyon;

Isulong ang pag-unlad lohikal na pag-iisip;

Upang itaguyod ang pag-unlad sa mga bata ng kakayahang magtakda ng mga layunin at magplano ng kanilang mga aktibidad; magsagawa ng pagtatasa sa sarili at pagwawasto sa sarili mga aktibidad na pang-edukasyon; kakayahang magtrabaho sa oras;

Upang itaguyod ang pagkaasikaso, aktibidad, at isang kultura ng komunikasyon.

Uri ng aralin: aralin sa edukasyon at pag-unlad na may mga elemento ng aktibidad sa negosyo.

Kagamitan: mga card para sa larong "Field of Miracles", "shares of enterprises", isang talahanayan para sa pagtatasa ng rating ng mga mag-aaral sa aralin, materyal na may magkakaibang mga gawain para sa larong "Knowledge Exchange"

Mga anyo at pamamaraan ng trabaho

I Pagganyak para sa mga aktibidad sa pag-aaral. Pagtatakda ng sarili na mga layunin at layunin para sa aralin.

II Update kaalaman sa background:

1) Pangharap na survey;

2) Pagsasanay sa bibig;

3) Mga domino sa matematika.

1) Larong "Field of Miracles" (magtrabaho nang magkapares);

2) Lohikal na gawain.

V Kawili-wiling gawain.

VI Takdang aralin.

I Pagganyak ng proseso ng edukasyon. Mensahe ng paksa. Pagtatakda ng sarili na mga layunin at layunin para sa aralin.

Marami nang alam sa loob ng mahabang panahon, ngunit napaka, napakaraming hindi. Kung paanong sa isang patak ng tubig ay makikita mo ang lahat ng hindi mabilang na kayamanan ng karagatan, gayundin aklat-aralin sa paaralan mayroong libu-libong taon ng karanasan. Ang nakaraan ay naghihintay para sa iyo na maunawaan ang kaalaman na natamo nang may matinding kahirapan, at ang hinaharap ay umaasa na ikaw ay magdadala ng bago at maipapasa ito sa iyong mga anak at apo.

"Ang teorya na walang kasanayan ay patay o walang bunga, at ang pagsasanay na walang teorya ay imposible o nakapipinsala."

Ang teorya ay nangangailangan ng kaalaman, ang pagsasanay ay nangangailangan ng mga kasanayan.

Alexey Nikolaevich Krylov

Ngayon sa aralin ay kukuha tayo ng mga kasanayan sa pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga makatwirang ekspresyon gamit ang teorya: mga pamamaraan ng factoring polynomials.

Batay sa paksa at mga layunin para sa aralin, bumalangkas ng iyong mga layunin para sa aralin.

Inaasahang Resulta:

1.pagbutihin ang kakayahang magsagawa ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga rational fraction;

2. magsagawa ng magkatulad na pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon.

Guro: Sa harap ng lahat ay may rating table. Sa talahanayang ito ay ilalagay mo ang mga puntos na nakuha sa panahon ng aralin.

II Pag-update ng kaalaman sa sanggunian.

1. Pangharap na survey(Mutual check "Guro-mag-aaral", 1b.)

Aling ekspresyon ang tinatawag na rasyonal?

Paano magdagdag ng dalawang rational fraction na may magkakaibang denominator?

Anong mga paraan ng pag-factor ng polynomial ang alam mo?

Paano mahahanap ang produkto ng mga makatwirang ekspresyon?

Ano ang pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan?

2. Pagsasanay sa bibig(pagsusuri sa sarili, 1b.)

3. Math domino(mutual check, 1b.)

I-factorize (piliin ang tamang sagot)

III Pag-activate ng aktibidad ng kaisipan:

1) Larong "Larangan ng mga Himala"(magtrabaho nang magkapares, 2 b);

Kailangan mong magsaya sa pag-aaral upang makuha ang kaalaman,

kailangan mong tunawin ang mga ito nang may sarap.

Anatole France

1)
15)

2)
16)

3)
17)

4)
18)

5)
19)

6)
20)

7)
21)

8)
22)

9)
23)

10)
24)

11)
25)

12)
26)

13)
27)

14)
28)

A

SA

D

E

AT

L

M

N

X-Y

b-4

a+b

5xy

SA

T

U

H

Sh

Y

ako

9ab

X-6

5

Guro: Bilang resulta, mayroon tayong ekspresyon: "Ang pag-iisip ay nagsisimula sa sorpresa." Sinabi ito ni Aristotle 2500 taon na ang nakalilipas.

Naniniwala ang ating kababayan na si V. Sukhomlinsky na “ang isang pakiramdam ng sorpresa ay isang malakas na mapagkukunan ng pagnanais na malaman. Mula sa sorpresa hanggang sa kaalaman ay isang hakbang,” at ang matematika ay isang magandang pinagmumulan ng sorpresa.

2) Lohikal na gawain(2b.)

Guro: Susubukan kong sorpresahin ka ngayon sa pamamagitan ng pagpapatunay na ang 2 numero ay pantay sa isa't isa, gamit ang mga algebraic na batas at gumaganap ng magkatulad na pagbabago.

5=6

Patunay

35+10-45=42+12-54

5(7+2-9)=6(7+2-9)

5=6

Tama ba ako? Anong batas ang nilabag? Hanapin ang error.

IV Larong pang-ekonomiya "Palitan ng Kaalaman" (magtrabaho sa mga pangkat).

Ngayon ay makikibahagi kami sa gawain ng "stock exchange".

Background information "pagpapalitan ng kaalaman".

Palitan – komersyal na negosyo para sa paggawa ng mga serbisyong intermediary kung saan isinasagawa ang mga transaksyon sa pagbili at pagbebenta.

Stock Exchange– isang palitan kung saan kinakalakal ang mga pangunahing uri ng mga securities at share.

mangangalakal– isang miyembro ng exchange na nagsasagawa ng mga transaksyon sa kanyang sariling gastos.

Broker– isang miyembro ng exchange na tumatanggap ng kabayaran para sa pagpapatupad ng mga order ng kliyente.

Clerk– isang miyembro ng palitan na nagmamay-ari ng impormasyon sa pangangalakal, i.e. nagbebenta ng shares.

Komite sa Arbitrasyon– isang katawan na kumokontrol sa mga hindi pagkakaunawaan tungkol sa isang transaksyon at mga relasyon sa pagitan ng mga kalahok sa exchange trading.

Mga pamumuhunan- pamumuhunan ng mga pondo.

Promosyon- view mga seguridad, ibig sabihin. papel na kopya ng kapital.

Isipin na ikaw ay mga miyembro ng "stock exchange" - "mga mangangalakal", na ang gawain ay upang mapanatili ang paunang kapital, dagdagan ito sa pamamagitan ng paggawa tamang pagpili sa "investing".

Kapag nakumpleto nang tama ang gawain, makakatanggap ka ng "kita" at bumili ng mga bahagi ng kaukulang negosyo.

Kapag kinukumpleto ang mga gawain, maaari mong gamitin ang mga serbisyo ng isang tagapamagitan na consultant.

Mayroon kaming 5 grupo ng broker. Ang bawat kumpanya ay bumibili ng isang gawain, na natukoy ang pinaka-pinakinabangang "puhunan." (Appendix 1)

“Siesta"

2 talento

"Zinger"

3 talento

"Tsokolate ng Ukraine"

4 na talento

№32(1)

Pahina 13

№32(3)

Pahina 13

№32(4)

Pahina 13

№39(1)

Pahina 14

№39(2)

Pahina 14

№39(3)

Pahina 14

Ang mga resulta ay summed up at ang pinakamahusay ay namumukod-tangi brokerage firm. Bilang gantimpala, ang isang lisensya ay inisyu na nagbibigay-daan sa iyong magbigay ng mga serbisyo ng brokerage sa mga kliyente.

(Appendix 2)

V Kawili-wiling gawain.

VI Takdang aralin. (ulitin ang §8. magsagawa ng pagsubok)

VII Buod ng aralin(pagtatasa ng rating ng mga mag-aaral)

grado

Bilang ng mga puntos

9-10

11-12

13-14

15-16

17-18

19-20

21-22

23-24

Higit sa 25

Binubuo ng guro ang aralin, binabasa ang mga resulta ng pagtatasa ng rating

"Buksan ang Mic"

1.Ano ang kawili-wili sa aralin?

2. Ano ang mahirap?

Annex 1. Mga pagbabahagi ng negosyo

Appendix 2. Lisensya

Sasaklawin ng araling ito ang pangunahing impormasyon tungkol sa mga makatwirang ekspresyon at ang kanilang mga pagbabago, gayundin ang mga halimbawa ng mga pagbabago ng mga makatuwirang ekspresyon. Ang paksang ito uri ng pagbubuod ng mga paksang pinag-aralan natin sa ngayon. Ang mga pagbabagong-anyo ng mga makatwirang ekspresyon ay kinabibilangan ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, pagpapalawak ng mga algebraic fraction, pagbabawas, factorization, atbp. Bilang bahagi ng aralin, titingnan natin kung ano ang isang rational na expression, at susuriin din ang mga halimbawa ng kanilang pagbabago.

Paksa:Algebraic fractions. Mga operasyon ng aritmetika sa mga algebraic fraction

Aralin:Pangunahing impormasyon tungkol sa mga makatwirang ekspresyon at kanilang mga pagbabago

Kahulugan

Makatuwirang pagpapahayag ay isang expression na binubuo ng mga numero, variable, arithmetic operations at ang operasyon ng exponentiation.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng isang nakapangangatwiran na pagpapahayag:

Mga espesyal na kaso ng mga makatwirang ekspresyon:

1st degree: ;

2. monomial: ;

3. fraction: .

Pag-convert ng rational expression ay isang pagpapasimple ng isang makatwirang pagpapahayag. Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag binabago ang mga makatwirang expression: una ay may mga operasyon sa mga bracket, pagkatapos ay pagpaparami (dibisyon) na mga operasyon, at pagkatapos ay mga pagpapatakbo ng karagdagan (pagbabawas).

Tingnan natin ang ilang halimbawa ng pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon.

Halimbawa 1

Solusyon:

Lutasin natin ang halimbawang ito nang hakbang-hakbang. Ang aksyon sa panaklong ay unang isinasagawa.

Sagot:

Halimbawa 2

Solusyon:

Sagot:

Halimbawa 3

Solusyon:

Sagot: .

Tandaan: Marahil, nang makita mo ang halimbawang ito, lumitaw ang isang ideya: bawasan ang fraction bago bawasan ito sa isang karaniwang denominator. Sa katunayan, ito ay ganap na tama: una ay ipinapayong gawing simple ang expression hangga't maaari, at pagkatapos ay baguhin ito. Subukan nating lutasin ang parehong halimbawa sa pangalawang paraan.

Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay naging ganap na magkatulad, ngunit ang solusyon ay naging medyo mas simple.

Sa araling ito ay ating tiningnan mga makatwirang ekspresyon at ang kanilang mga pagbabago, pati na rin ang ilan tiyak na mga halimbawa data ng pagbabago.

Bibliograpiya

1. Bashmakov M.I. Algebra ika-8 baitang. - M.: Edukasyon, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. at iba pa. Algebra 8. - 5th ed. - M.: Edukasyon, 2010.

Unang antas

Pag-convert ng mga Expression. Detalyadong teorya (2019)

Pag-convert ng mga Expression

Madalas nating marinig ang hindi kasiya-siyang pariralang ito: "pasimplehin ang expression." Karaniwang nakikita natin ang ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Ito ay mas simple," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain. Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa (lamang!) Isang ordinaryong numero (oo, sa impiyerno gamit ang mga titik na ito).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong mahawakan ang mga fraction at factor polynomial. Samakatuwid, una, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Nabasa mo na ba? Kung oo, handa ka na ngayon.

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon

Ngayon tingnan natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimpleng isa ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Kinuha mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw sa matematika ang mga titik sa halip na mga numero. Magkatulad ang mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, sa kabuuan, ang mga katulad na termino ay at.

naaalala mo ba

Upang magdala ng mga katulad na paraan upang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa bawat isa at makakuha ng isang termino.

Paano natin pagsasamahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay. Halimbawa, ang isang sulat ay isang upuan. Kung gayon, ano ang katumbas ng ekspresyon? Dalawang upuan at tatlong upuan, ilan ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito: .

Upang maiwasan ang kalituhan, hayaan iba't ibang titik kumakatawan sa iba't ibang bagay. Halimbawa, - ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ay isang mesa. Pagkatapos:

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients. Halimbawa, sa isang monomial ang coefficient ay pantay. At sa loob nito ay pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng mga katulad ay:

Mga halimbawa:

Magbigay ng mga katulad:

Mga sagot:

2. (at katulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Kadalasan ito ang pinakamahalagang bahagi sa pagpapasimple ng mga expression. Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ang resultang expression ay kailangang i-factorize, iyon ay, ipinakita bilang isang produkto. Ito ay lalong mahalaga sa mga fraction: upang mabawasan ang isang fraction, ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga pamamaraan ng pag-factor ng mga expression nang detalyado sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan. Upang gawin ito, magpasya ng ilan mga halimbawa(kailangang i-factorize):

Mga solusyon:

3. Pagbawas ng isang fraction.

Well, ano ang maaaring maging mas kaaya-aya kaysa sa pagtawid sa bahagi ng numerator at denominator at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Iyan ang kagandahan ng pagbabawas.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang mabawasan ang isang fraction kailangan mo:

1) numerator at denominator factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang ma-cross out.

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Nais kong ituon ang iyong pansin sa isang bagay tipikal na pagkakamali kapag kinokontrata. Bagama't simple ang paksang ito, maraming tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi nauunawaan iyon bawasan- ibig sabihin nito hatiin numerator at denominator ay magkaparehong numero.

Walang mga pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay isang kabuuan.

Halimbawa: kailangan nating gawing simple.

Ginagawa ito ng ilang tao: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

Gagawin ito ng "pinakamatalino": .

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, na nangangahulugang maaari itong mabawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang salik ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi naka-factor.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay factorized, na nangangahulugan na maaari mong bawasan ito, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mo itong hatiin kaagad sa:

Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, tandaan madaling paraan kung paano matukoy kung ang isang expression ay factorized:

Ang operasyong arithmetic na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng isang expression ay ang "master" na operasyon. Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay factorized). Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi factorized (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang pagsama-samahin, lutasin ang ilan sa iyong sarili mga halimbawa:

Mga sagot:

1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:

Ang unang hakbang ay dapat na factorization:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isang pamilyar na operasyon: naghahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang salik at idagdag/ibawas ang mga numerator. Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominador at medyo prime, iyon ay, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominator ay:

3. Unang bagay dito pinaghalong fraction ginagawa namin ang mga ito sa mga hindi tama, at pagkatapos ay sundin ang karaniwang pattern:

Ito ay ganap na naiibang usapin kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa isang simpleng bagay:

a) Ang mga denominador ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: hinahanap natin ang common denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang factor at idagdag/ibawas ang mga numerator:

Ngayon sa numerator maaari kang magbigay ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

b) Ang mga denominador ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng isang karaniwang denominador na walang mga titik:

· una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang salik;

· pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng mga karaniwang salik nang paisa-isa;

· at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang hindi karaniwang mga kadahilanan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, isinasaalang-alang muna natin ang mga ito sa mga pangunahing salik:

Bigyang-diin natin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isa-isa nating isulat ang mga karaniwang salik at idagdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang karaniwang denominador.

Bumalik tayo sa mga titik. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

· salik ang mga denominador;

· tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan;

· isulat ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan nang isang beses;

· paramihin ang mga ito sa lahat ng iba pang hindi karaniwang mga kadahilanan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) salik ang mga denominador:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng mga karaniwang kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

So may common denominator dito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominator, lahat lamang ay may magkakaibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

sa isang antas

sa isang antas

sa isang antas

sa isang antas.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan para sa iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Anong natutunan mo?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag binawasan mo ang mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Kaya multiply sa. At i-multiply sa:

Tatawagin natin ang mga expression na hindi maaaring i-factorize na "elementary factor." Halimbawa, - ito ay isang elementary factor. - Pareho. Ngunit hindi: maaari itong i-factorize.

Paano ang expression? elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang “”).

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang isang expression na may mga titik ay isang analogue ng mga simpleng kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At haharapin natin sila sa parehong paraan.

Nakikita natin na ang parehong denominator ay may multiplier. Mapupunta ito sa karaniwang denominator sa antas (tandaan kung bakit?).

Ang kadahilanan ay elementarya, at wala silang isang karaniwang kadahilanan, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Bago mo i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

Malaki! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Solusyon:

Gaya ng dati, i-factorize natin ang mga denominator. Sa unang denominator ay inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang karaniwang mga kadahilanan. Ngunit kung titingnan mong mabuti, magkatulad sila... At totoo:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, naging ganito: sa loob ng bracket ay ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras ang pag-sign sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon, dalhin natin ito sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Suriin natin ngayon.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Narito kailangan nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:

Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito: .

Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang bahagyang parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:

Ano ang gagawin kung mayroon nang tatlong fraction?

Oo, ang parehong bagay! Una sa lahat, siguraduhin natin na maximum na halaga ang mga kadahilanan sa mga denominador ay pareho:

Pakitandaan: kung babaguhin mo ang mga sign sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga palatandaan sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay muling nagbabago sa kabaligtaran. Bilang resulta, ito (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.

Isinulat namin ang buong unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idagdag dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisusulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Iyon ay, ito ay lumalabas na ganito:

Hmm... Malinaw kung ano ang gagawin sa mga fraction. Ngunit paano ang dalawa?

Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan nating gawing fraction ang dalawa! Tandaan natin: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling nakalimutan mo). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:

Eksakto kung ano ang kailangan!

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na ngayon. At nasa unahan natin ang pinakasimple, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang numerical expression? Tandaan sa pamamagitan ng pagkalkula ng kahulugan ng expression na ito:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, hayaan mong ipaalala ko sa iyo.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong ilang mga multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari silang gawin sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang expression sa mga bracket ay sinusuri nang wala sa turn!

Kung ang ilang mga bracket ay pinarami o hinati sa isa't isa, una naming kalkulahin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung marami pang bracket sa loob ng bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Kapag kinakalkula ang isang expression, ano ang dapat mong gawin muna? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pamamaraan para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit ito ay hindi katulad ng isang expression na may mga titik?

Hindi, pareho lang! Sa halip na mga pagpapatakbo ng aritmetika, kailangan mong gawin ang mga algebraic, iyon ay, ang mga aksyon na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para ma-factorize, kailangan mong gamitin ang I o ilagay lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinapasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon tayo ay may pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay ipakita ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idinagdag:

Imposibleng pasimplehin ang ekspresyong ito nang higit pa; ang lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).

2) Nakukuha namin ang:

Pagpaparami ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas simple.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

OK tapos na ang lahat Ngayon. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Una sa lahat, tukuyin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon. Una, idagdag natin ang mga fraction sa panaklong, kaya sa halip na dalawang fraction ay makakakuha tayo ng isa. Pagkatapos ay gagawa tayo ng dibisyon ng mga fraction. Well, idagdag natin ang resulta sa huling fraction. Bibilangin ko ang mga hakbang sa eskematiko:

Ngayon ay ipapakita ko sa iyo ang proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon sa pula:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang punto na lumitaw ang mga katulad sa ating bansa, ipinapayong ilabas agad ang mga ito.

2. Ang parehong naaangkop sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling lumitaw ang pagkakataon upang mabawasan, dapat itong samantalahin. Ang pagbubukod ay para sa mga fraction na iyong idinaragdag o ibinabawas: kung mayroon na silang parehong mga denominator, kung gayon ang pagbawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At kung ano ang ipinangako sa simula pa lamang:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong mga halimbawa, pagkatapos ay pinagkadalubhasaan mo ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

MGA PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) ang mga katulad na termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: paglalagay ng karaniwang kadahilanan sa labas ng mga bracket, paglalapat nito, atbp.
• Pagbawas ng isang fraction: Ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, na hindi nagbabago sa halaga ng fraction.
  1) numerator at denominator factorize
  2) kung ang numerator at denominator ay may mga karaniwang kadahilanan, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;

Mula sa kursong algebra kurikulum ng paaralan Bumaba tayo sa mga detalye. Sa artikulong ito ay pag-aaralan natin nang detalyado ang isang espesyal na uri ng mga makatwirang ekspresyon - rational fractions, at isaalang-alang din kung anong katangian ang magkapareho conversion ng rational fractions mangyari.

Ating pansinin kaagad na ang mga rational fraction sa kahulugan kung saan natin tinukoy ang mga ito sa ibaba ay tinatawag na algebraic fraction sa ilang algebra textbook. Ibig sabihin, sa artikulong ito mauunawaan natin ang mga rational at algebraic fraction bilang parehong bagay.

Gaya ng dati, magsimula tayo sa isang kahulugan at mga halimbawa. Susunod na pag-uusapan natin ang tungkol sa pagdadala ng rational fraction sa isang bagong denominator at pagbabago ng mga palatandaan ng mga miyembro ng fraction. Pagkatapos nito, titingnan natin kung paano bawasan ang mga fraction. Panghuli, tingnan natin ang kumakatawan sa isang rational fraction bilang kabuuan ng ilang fraction. Ibibigay namin ang lahat ng impormasyon na may mga halimbawa detalyadong paglalarawan mga desisyon.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan at mga halimbawa ng rational fractions

Ang mga rational fraction ay pinag-aaralan sa 8th grade algebra lessons. Gagamitin natin ang kahulugan ng rational fraction, na ibinigay sa algebra textbook para sa ika-8 baitang ni Yu. N. Makarychev et al.

SA depinisyon na ito hindi tinukoy kung ang mga polynomial sa numerator at denominator ng isang rational fraction ay dapat polynomial ng karaniwang anyo o hindi. Samakatuwid, ipagpalagay natin na ang mga notasyon para sa mga rational fraction ay maaaring maglaman ng parehong standard at non-standard polynomial.

Narito ang ilan mga halimbawa ng rational fraction. Kaya, x/8 at - rational fractions. At mga fraction at hindi akma sa nakasaad na kahulugan ng rational fraction, dahil sa una sa mga ito ang numerator ay hindi naglalaman ng polynomial, at sa pangalawa, ang numerator at ang denominator ay naglalaman ng mga expression na hindi polynomial.

Pag-convert ng numerator at denominator ng isang rational fraction

Ang numerator at denominator ng anumang fraction ay mga self-sufficient mathematical expression; sa kaso ng rational fractions, ito ay polynomials; sa isang partikular na kaso, monomials at numero. Samakatuwid, ang mga magkatulad na pagbabago ay maaaring isagawa sa numerator at denominator ng isang rational fraction, tulad ng anumang expression. Sa madaling salita, ang expression sa numerator ng isang rational fraction ay maaaring mapalitan ng isang magkaparehong expression, tulad ng denominator.

Maaari kang magsagawa ng magkatulad na pagbabago sa numerator at denominator ng isang rational fraction. Halimbawa, sa numerator maaari kang magpangkat at bawasan ang mga katulad na termino, at sa denominator maaari mong palitan ang produkto ng ilang mga numero sa halaga nito. At dahil ang numerator at denominator ng isang rational fraction ay polynomials, posible na magsagawa ng mga pagbabagong katangian ng polynomials sa kanila, halimbawa, pagbawas sa isang karaniwang anyo o representasyon sa anyo ng isang produkto.

Para sa kalinawan, isaalang-alang natin ang mga solusyon sa ilang mga halimbawa.

Halimbawa.

I-convert ang rational fraction upang ang numerator ay naglalaman ng polynomial ng karaniwang anyo, at ang denominator ay naglalaman ng produkto ng polynomials.

Solusyon.

Ang pagbabawas ng mga rational fraction sa isang bagong denominator ay pangunahing ginagamit sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga rational fraction.

Pagbabago ng mga palatandaan sa harap ng isang fraction, gayundin sa numerator at denominator nito

Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay maaaring gamitin upang baguhin ang mga palatandaan ng mga miyembro ng isang fraction. Sa katunayan, ang pagpaparami ng numerator at denominator ng isang rational fraction sa -1 ay katumbas ng pagbabago ng kanilang mga palatandaan, at ang resulta ay isang fraction na magkaparehong katumbas ng ibinigay. Ang pagbabagong ito ay kailangang gamitin nang madalas kapag nagtatrabaho sa mga rational fraction.

Kaya, kung sabay-sabay mong babaguhin ang mga palatandaan ng numerator at denominator ng isang fraction, makakakuha ka ng fraction na katumbas ng orihinal. Ang pahayag na ito ay sinasagot ng pagkakapantay-pantay.

Magbigay tayo ng halimbawa. Ang rational fraction ay maaaring palitan ng isang magkatulad na pantay na fraction na may mga binagong palatandaan ng numerator at denominator ng form.

Sa mga fraction, maaari kang magsagawa ng isa pang magkaparehong pagbabago, kung saan nagbabago ang tanda ng alinman sa numerator o denominator. Sabihin natin ang kaukulang tuntunin. Kung papalitan mo ang sign ng isang fraction kasama ang sign ng numerator o denominator, makakakuha ka ng fraction na kapareho ng orihinal. Ang nakasulat na pahayag ay tumutugma sa mga pagkakapantay-pantay at .

Ang patunayan ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay hindi mahirap. Ang patunay ay batay sa mga katangian ng pagpaparami ng mga numero. Patunayan natin ang una sa kanila: . Gamit ang mga katulad na pagbabago, ang pagkakapantay-pantay ay napatunayan.

Halimbawa, ang isang fraction ay maaaring palitan ng expression o.

Upang tapusin ang puntong ito, nagpapakita kami ng dalawa pang kapaki-pakinabang na pagkakapantay-pantay at . Ibig sabihin, kung babaguhin mo ang sign ng numerator lamang o denominator lamang, babaguhin ng fraction ang sign nito. Halimbawa, At .

Ang itinuturing na mga pagbabagong-anyo, na nagpapahintulot sa pagbabago ng tanda ng mga termino ng isang fraction, ay kadalasang ginagamit kapag binabago ang mga fractional na rational expression.

Pagbawas ng mga rational fraction

Ang sumusunod na pagbabagong-anyo ng mga rational fraction, na tinatawag na reduction of rational fractions, ay batay sa parehong pangunahing katangian ng isang fraction. Ang pagbabagong ito ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay , kung saan ang a, b at c ay ilang polynomial, at ang b at c ay hindi zero.

Mula sa pagkakapantay-pantay sa itaas ay nagiging malinaw na ang pagbabawas ng rational fraction ay nagpapahiwatig ng pag-alis ng karaniwang salik sa numerator at denominator nito.

Halimbawa.

Kanselahin ang isang rational fraction.

Solusyon.

Ang karaniwang kadahilanan 2 ay makikita kaagad, gawin natin ang pagbabawas nito (kapag nagsusulat, ito ay maginhawa upang i-cross out ang mga karaniwang kadahilanan na binabawasan ng). Meron kami . Dahil ang x 2 =x x at y 7 =y 3 y 4 (tingnan kung kinakailangan), malinaw na ang x ay karaniwang salik ng numerator at denominator ng resultang fraction, gaya ng y 3. Bawasan natin sa pamamagitan ng mga salik na ito: . Kinukumpleto nito ang pagbawas.

Sa itaas ay isinagawa namin ang pagbabawas ng mga rational fraction nang sunud-sunod. O posible na gawin ang pagbawas sa isang hakbang, agad na bawasan ang fraction ng 2 x y 3. Sa kasong ito, ang solusyon ay magiging ganito: .

Sagot:

.

Kapag binabawasan ang mga rational fraction, ang pangunahing problema ay ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay hindi palaging nakikita. Bukod dito, hindi ito palaging umiiral. Upang makahanap ng isang karaniwang kadahilanan o mapatunayan ang kawalan nito, kailangan mong i-factor ang numerator at denominator ng isang rational fraction. Kung walang karaniwang kadahilanan, kung gayon ang orihinal na rational fraction ay hindi kailangang bawasan, kung hindi, ang pagbawas ay isinasagawa.

Maaaring lumitaw ang iba't ibang mga nuances sa proseso ng pagbabawas ng mga rational fraction. Ang mga pangunahing subtleties ay tinalakay sa artikulong binabawasan ang mga algebraic fraction gamit ang mga halimbawa at sa detalye.

Sa pagtatapos ng pag-uusap tungkol sa pagbawas ng mga rational fraction, napapansin namin na ang pagbabagong ito ay magkapareho, at ang pangunahing kahirapan sa pagpapatupad nito ay nakasalalay sa pag-factor ng mga polynomial sa numerator at denominator.

Representasyon ng isang rational fraction bilang kabuuan ng mga fraction

Medyo tiyak, ngunit sa ilang mga kaso napaka-kapaki-pakinabang, ay ang pagbabago ng isang rational fraction, na binubuo sa representasyon nito bilang ang kabuuan ng ilang mga fraction, o ang kabuuan ng isang buong expression at isang fraction.

Ang rational fraction, ang numerator na naglalaman ng polynomial na kumakatawan sa kabuuan ng ilang monomial, ay maaaring palaging isulat bilang kabuuan ng mga fraction na may parehong denominator, ang mga numerator na naglalaman ng kaukulang monomial. Halimbawa, . Ang representasyong ito ay ipinaliwanag ng panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may katulad na denominator.

Sa pangkalahatan, ang anumang rational fraction ay maaaring ipahayag bilang kabuuan ng mga fraction sa maraming iba't ibang paraan. Halimbawa, ang fraction a/b ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang fraction - isang arbitrary fraction c/d at isang fraction na katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga fraction a/b at c/d. Ang pahayag na ito ay totoo, dahil ang pagkakapantay-pantay ay hawak . Halimbawa, ang rational fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga fraction iba't ibang paraan: Isipin natin ang orihinal na fraction bilang kabuuan ng isang integer expression at isang fraction. Sa pamamagitan ng paghahati ng numerator sa denominator na may isang hanay, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay . Ang halaga ng expression n 3 +4 para sa anumang integer n ay isang integer. At ang halaga ng isang fraction ay isang integer kung at kung ang denominator nito ay 1, −1, 3, o −3. Ang mga halagang ito ay tumutugma sa mga halaga n=3, n=1, n=5 at n=−1, ayon sa pagkakabanggit.

Sagot:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliograpiya.

• Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-7 baitang. Sa 2 p.m. Bahagi 1. Teksbuk para sa mga mag-aaral institusyong pang-edukasyon/ A. G. Mordkovich. - ika-13 ed., rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 pp.: may sakit. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa loob ng 2 oras. Bahagi 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.