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Die Zahlentheorie ist ein Zweig der Mathematik, der die Eigenschaften von Zahlen untersucht.

Der Hauptgegenstand der Zahlentheorie sind natürliche Zahlen (siehe Zahl). Ihre wichtigste Eigenschaft, die in der Zahlentheorie berücksichtigt wird, ist die Teilbarkeit. Der erste Aufgabenbereich der Zahlentheorie ist die Faktorisierung von Zahlen. Die wichtigsten „Bausteine“ dieser Zerlegung sind Primzahlen, d. h. Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 – das sind die ersten zehn Primzahlen(Die Zahl 1 gilt nicht als Primzahl). Ein bemerkenswerter Satz, der Grundsatz der Arithmetik, besagt: Jede natürliche Zahl kann in Primfaktoren zerlegt werden, und zwar auf einzigartige Weise (bis auf die Reihenfolge ihrer Anordnung). Indem man zwei Zahlen in Primfaktoren zerlegt, lässt sich leicht feststellen, ob eine davon durch die andere teilbar ist oder nicht. Es kann jedoch immer noch schwierig sein, herauszufinden, ob dies der Fall ist große Zahl einfach, d.h. ob es durch eine andere Zahl als sich selbst und eins teilbar ist.

Mit der Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren sind eine Reihe arithmetischer Funktionen verbunden. Lassen Sie uns einige davon hervorheben. φ(n) – Euler-Funktion – die Anzahl der Zahlen von 1 bis n, die teilerfremd zur Zahl n sind (d. h. keine gemeinsamen Faktoren mit n außer einem haben); α(n) ist die Anzahl der Teiler der Zahl n, t(n) ist die Summe aller Teiler der Zahl n, π(n) ist die Tschebyscheff-Funktion – die Anzahl der Primzahlen, die n nicht überschreitet. Diese Funktionen drücken viele Eigenschaften natürlicher Zahlen aus. Der Satz von Euklid besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dies bedeutet, dass π(n)→∞ mit zunehmender Zahl n. Wir haben herausgefunden, wie schnell die Funktion π(n) gegen Unendlich tendiert. Es stellte sich heraus, dass es ungefähr mit der Funktion übereinstimmt

Dieser Satz wird als asymptotisches Gesetz der Verteilung von Primzahlen bezeichnet. Es wurde von P. L. Chebyshev (1849) formuliert und weitgehend bewiesen und erst 50 Jahre später vollständig bewiesen.

Das asymptotische Verteilungsgesetz von Primzahlen ist das Ergebnis der sogenannten analytischen Zahlentheorie, die in großem Umfang Methoden der mathematischen Analyse zur Untersuchung zahlentheoretischer Funktionen nutzt. Entdeckt in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Die Tatsache, ein so diskretes Objekt wie ganze Zahlen mit den tiefen Eigenschaften von Funktionen zu verbinden, hatte Auswirkungen großen Einfluss zur Entwicklung der Zahlentheorie.

Die Faktorisierung von Zahlen berücksichtigt nur die Struktur der Menge der natürlichen Zahlen, die mit der Multiplikation verbunden sind, die tiefsten und schwierige Aufgaben Zahlentheorien entstehen aus dem Vergleich von Addition und Multiplikation. Zu diesen Problemen gehört beispielsweise das Goldbach-Problem: Kann eine gerade Zahl als Summe zweier Primzahlzahlen dargestellt werden? Fermats letzter Satz (siehe Fermats letzter Satz) – ist das möglich? n-te Potenz Stellen Sie die Zahlen als Summe dar n-te Potenzen zwei beliebige Zahlen usw.

Die Zahlentheorie ist attraktiv, weil sie viele einfache, aber auch schwierige Formulierungen enthält interessante Aufgaben. Viele dieser gelösten und ungelösten Probleme haben sich angesammelt, und die Zahlentheorie erscheint oft wie eine Ansammlung unterschiedlicher, eleganter Rätsel. Dies ist jedoch nicht wahr. Die Zahlentheorie hat ihre eigenen wunderbaren Methoden geschaffen, und viele davon wurden in den letzten Jahrzehnten aktiv weiterentwickelt, was diesem ältesten Teil der Mathematik eine neue lebendige Strömung verliehen hat.

Die klassische Methode der Zahlentheorie ist die Vergleichsmethode. Durch die Identifizierung von Zahlen, die bei Division durch eine ausgewählte Zahl identische Reste ergeben, ist es oft möglich, die Unmöglichkeit einer Beziehung festzustellen. Betrachtet man beispielsweise die Reste der Division durch 3 (oder, wie man sagt, Modulo 3), ist es leicht, die Unlösbarkeit der Gleichung 3x 2 + 4y 2 = 5z 2 in natürlichen Zahlen zu beweisen.

Die analytische Methode besteht, wie bereits erwähnt, darin, dass sie ausgehend von Zahlen Funktionen konstruieren, die mit den Methoden der mathematischen Analyse untersucht werden. So bewies der sowjetische Wissenschaftler Akademiker I. M. Vinogradov eine Version von Goldbachs Problem – die Darstellbarkeit einer ausreichend großen ungeraden Zahl als Summe von drei Primzahlen.

Wir veranschaulichen die geometrische Methode der Zahlentheorie am Beispiel des letzten Satzes von Fermat. In diesem Satz wir reden darüberüber die Lösbarkeit der Gleichung x n + y n = z n in ganzen Zahlen. Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch z n dividieren und x/z durch m und y/z durch v ersetzen, erhalten wir die Gleichung u n + v n = 1. Diese Gleichung definiert eine bestimmte Kurve auf der Ebene mit den Koordinaten (u, v). Lösungen der ursprünglichen Gleichung in ganzen Zahlen entsprechen Lösungen der neuen Gleichung in rationalen Zahlen. Jede dieser Lösungen (u, v) kann als Punkt mit rationalen Koordinaten auf dieser Ebene bezeichnet werden. Jetzt können wir versuchen, geometrische Methoden auf die Kurve u n + v n = 1 anzuwenden, um die darauf befindliche Punktmenge mit rationalen Koordinaten zu untersuchen.

Ein großer Teil der Zahlentheorie, der sich mit der Suche nach Lösungen für Gleichungen in ganzen Zahlen und rationalen Zahlen befasst, wird als Theorie der diophantischen Gleichungen bezeichnet, benannt nach dem antiken griechischen Wissenschaftler Diophantus (3. Jahrhundert).

Eines der sehr alten und bekannten Probleme der Zahlentheorie ist das Problem der Darstellung von Zahlen durch Quadratsummen. Wir listen einige der erzielten Ergebnisse auf:

jede ganze Zahl kann als Summe von vier Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden (zum Beispiel: 7 = 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2);

Jede Primzahl der Form 4n + 1 kann als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen dargestellt werden (zum Beispiel: 5 = 2 2 + 1 2, 41 = 4 2 + 5 2 usw.), aber keine einzelne ganze Zahl ( nicht nur eine Primzahl) eine Zahl der Form 4n + 3 kann in dieser Form nicht dargestellt werden;

Jede Primzahl, mit Ausnahme der Zahlen der Form 8n - 1, kann als Summe von drei Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden.

Einfache algebraische Identität

(a 2 + b 2) (x 2 + y 2) = (ax + by) 2 + (ay - bx) 2

lässt uns schlussfolgern: Wenn zwei Zahlen als Summe zweier Quadrate darstellbar sind, dann ist ihr Produkt auch als Summe zweier Quadrate darstellbar. Algebraische Methoden V in letzter Zeit weit verbreitet in der Zahlentheorie. Dies wurde durch die Entwicklung eines solchen allgemeinen algebraischen Konzepts als Feld erleichtert, dessen Entstehung weitgehend durch Probleme der Zahlentheorie angeregt wurde.

Warum ist die Zahlentheorie so wertvoll? Schließlich ist es schwierig, die Ergebnisse direkt anzuwenden. Dennoch ziehen zahlentheoretische Probleme seit vielen Jahrhunderten sowohl neugierige junge Menschen als auch Wissenschaftler an. Was ist hier los? Zunächst einmal sind diese Probleme, wie bereits erwähnt, sehr interessant und schön. Zu allen Zeiten waren die Menschen darüber erstaunt einfache Fragen Es ist so schwer, eine Antwort auf Zahlen zu finden. Die Suche nach diesen Antworten hat oft zu Entdeckungen geführt, deren Bedeutung weit über den Rahmen der Zahlentheorie hinausgeht. Es genügt, die sogenannte Idealtheorie des deutschen Mathematikers des 19. Jahrhunderts zu erwähnen. E. Kummer, der im Zusammenhang mit Versuchen geboren wurde, den letzten Satz von Fermat zu beweisen.

Zahlentheorie hat zum Gegenstand Zahlen und deren Eigenschaften, d.h. Zahlen erscheinen hier nicht als Mittel oder Instrument, sondern als Untersuchungsgegenstand. Die natürliche Reihe 1, 2, 3, 4, …, 9, 10, 11, …, 99, 100, 101, … – die Menge der natürlichen Zahlen, ist das wichtigste Forschungsgebiet, äußerst bedeutungsvoll, wichtig und interessant.

Forschung zu natürlichen Zahlen

Die Anfänge des Studiums der natürlichen Zahlen wurden gelegt Antikes Griechenland. Hier wurden die Eigenschaften der Teilbarkeit von Zahlen untersucht, die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen bewiesen und Methoden zu ihrer Konstruktion entdeckt (Euklid, Eratosthenes). Probleme im Zusammenhang mit der Lösung unbestimmter Gleichungen in ganzen Zahlen waren Gegenstand der Forschung von Diophantus, und Wissenschaftler untersuchten sie Altes Indien Und Altes China, Länder Zentralasiens.

Die Zahlentheorie gehört natürlich zu den Grundzweigen der Mathematik. Gleichzeitig stehen einige seiner Aufgaben in direktem Zusammenhang mit der praktischen Tätigkeit. So erlebt beispielsweise die Forschung zu algorithmischen Fragen der Zahlentheorie derzeit vor allem dank der Anforderungen der Kryptographie und der weiten Verbreitung von Computern eine Phase rascher und sehr fruchtbarer Entwicklung. Der kryptografische Bedarf regte die Erforschung klassischer Probleme der Zahlentheorie an, führte in einigen Fällen zu deren Lösung und wurde auch zur Quelle neuer grundlegender Probleme.

Die Tradition, zahlentheoretische Probleme in Russland zu studieren, geht wahrscheinlich auf Euler (1707-1783) zurück, der insgesamt 30 Jahre hier lebte und viel für die Entwicklung der Wissenschaft tat. Unter dem Einfluss seiner Werke entstand das Werk von P.L.~Chebyshev (1821-1894), einem herausragenden Wissenschaftler und talentierten Lehrer, der zusammen mit V.Ya.~Bunyakovsky (1804-1889) Eulers arithmetische Werke veröffentlichte. P. L. Chebyshev gründete die St. Petersburger Schule der Zahlentheorie, deren Vertreter A. N. waren. Korkin (1837-1908), E.I.~Zolotarev (1847-1878) und A.A.~Markov (1856-1922). G. F. Voronoi (1868–1908), der in St. Petersburg bei A. A. Markov und Yu. V. Sokhotsky (1842–1927) studierte, gründete die Schule der Zahlentheorie in Warschau. Daraus gingen eine Reihe bemerkenswerter Spezialisten der Zahlentheorie hervor, insbesondere W. Sierpinski (1842-1927). Ein weiterer Absolvent der Universität St. Petersburg, D.A. Grave (1863-1939), hat viel dazu beigetragen, Zahlentheorie und Algebra an der Universität Kiew zu lehren. Seine Schüler waren O.Yu. Schmidt (1891-1956), N.G. Chebotarev (1894-1947), B. N. Delaunay (1890-1980). Zahlentheoretische Forschungen wurden auch an den Universitäten Moskau, Kasan und Odessa durchgeführt.

Empfohlene Lektüre

Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Zahlentheorie.

Bukhshtab A.A., Zahlentheorie.

Venkov B.A., Elementare Zahlentheorie.

Vinogradov I.M., Grundlagen der Zahlentheorie.

Gauss K.F., Arbeiten zur Zahlentheorie.

Dirichlet P.G.L., Vorlesungen zur Zahlentheorie.

Karatsuba A.A., Grundlagen der analytischen Zahlentheorie.

Nesterenko Yu.V., Zahlentheorie.

Shidlovsky A.B., Diophantische Näherungen und transzendente Zahlen.

Die Zahlentheorie oder höhere Arithmetik ist ein Zweig der Mathematik, der ganze Zahlen und ähnliche Objekte untersucht.

Die Zahlentheorie befasst sich mit der Untersuchung der Eigenschaften ganzer Zahlen. Derzeit umfasst die Zahlentheorie deutlich mehr weiter Kreis Fragen, die über das Studium der natürlichen Zahlen hinausgehen.

Die Zahlentheorie berücksichtigt nicht nur natürliche Zahlen, sondern auch die Menge aller ganzen Zahlen, die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der algebraischen Zahlen. Die moderne Zahlentheorie zeichnet sich durch den Einsatz sehr vielfältiger Forschungsmethoden aus. In der modernen Zahlentheorie werden häufig Methoden der mathematischen Analyse verwendet.

Moderne Theorie Zahlen können in die folgenden Abschnitte unterteilt werden:

1) Elementare Zahlentheorie. Dieser Abschnitt umfasst Fragen der Zahlentheorie, die eine direkte Weiterentwicklung der Teilbarkeitstheorie darstellen, und Fragen zur Darstellbarkeit von Zahlen in einer bestimmten Form. Ein allgemeineres Problem ist das Problem der Lösung von Systemen diophantischer Gleichungen, also Gleichungen, in denen die Werte der Unbekannten notwendigerweise ganze Zahlen sein müssen.

2) Algebraische Zahlentheorie. Dieser Abschnitt enthält Fragen zum Studium verschiedener Klassen algebraischer Zahlen.

3) Diophantische Näherungen. Dieser Abschnitt enthält Fragen im Zusammenhang mit der Untersuchung der Approximation reeller Zahlen durch rationale Brüche. Diophantische Näherungen sind eng mit demselben Ideenkreis verbunden und stehen in engem Zusammenhang mit der Untersuchung der arithmetischen Natur verschiedener Zahlenklassen.

4) Analytische Zahlentheorie. Dieser Abschnitt umfasst Fragen der Zahlentheorie, für deren Untersuchung die Anwendung von Methoden der mathematischen Analyse erforderlich ist.

Grundkonzepte:

1) Teilbarkeit ist eines der Grundkonzepte der Arithmetik und Zahlentheorie, verbunden mit der Divisionsoperation. Aus mengentheoretischer Sicht ist die Teilbarkeit ganzer Zahlen eine Beziehung, die auf der Menge der ganzen Zahlen definiert ist.

Wenn es für eine ganze Zahl a und eine ganze Zahl b eine ganze Zahl q gibt, so dass bq = a ist, dann sagen wir, dass die Zahl a durch b teilbar ist oder dass b a teilt. In diesem Fall wird die Zahl b als Teiler der Zahl a bezeichnet, der Dividend von a ist ein Vielfaches der Zahl b und die Zahl q heißt der Quotient der Division von a durch b.

2) Eine einfache Zahl? ist eine natürliche Zahl, die genau zwei verschiedene natürliche Teiler hat: Eins und sich selbst. Alle anderen Zahlen bis auf eine werden zusammengesetzte Zahlen genannt.

3) Perfekte Zahl? (altgriechisch ἀριθμὸς τέλειος) – eine natürliche Zahl, die der Summe aller ihrer eigenen Teiler entspricht (d. h. aller positiven Teiler, die sich von der Zahl selbst unterscheiden).

Die erste perfekte Zahl ist 6 (1 + 2 + 3 = 6), die nächste ist 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). Mit zunehmender natürlicher Zahl werden perfekte Zahlen immer seltener.

4) Der größte gemeinsame Teiler (GCD) für zwei ganze Zahlen m und n ist der größte ihrer gemeinsamen Teiler. Beispiel: Für die Zahlen 70 und 105 ist der größte gemeinsame Teiler 35.

Der größte gemeinsame Teiler existiert und ist eindeutig bestimmt, wenn mindestens eine der Zahlen m oder n nicht Null ist.

5) Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) zweier ganzen Zahlen m und n ist die kleinste natürliche Zahl, die durch m und n teilbar ist.

6) Die Zahlen m und n heißen Koprime, wenn sie außer Eins keinen gemeinsamen Teiler haben. Für solche Zahlen ist GCD(m,n) = 1. Umgekehrt sind die Zahlen teilerfremd, wenn GCD(m,n) = 1.

7) Euklidischer Algorithmus – ein Algorithmus zum Finden des größten gemeinsamen Teilers zweier Ganzzahlen oder des größten gemeinsamen Maßes zweier homogener Größen.

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Mehr zum Thema Nr. 17. Grundbegriffe der Zahlentheorie:

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3. Betrachten wir die aus dem Schulmathematikunterricht bekannten Konzepte des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des größten gemeinsamen Teilers natürlicher Zahlen und formulieren ihre grundlegenden Eigenschaften, wobei wir alle Beweise weglassen.
4. In der axiomatischen Konstruktion der Theorie der natürlichen Zahlen wird die Subtraktion üblicherweise als die Umkehroperation der Addition definiert.

Name: Zahlentheorie. 2008.

Grundlage des Lehrbuchs sind die Ergebnisse der elementaren Zahlentheorie, die in den Werken der Klassiker Fermat, Euler, Gauß usw. entstanden sind. Themen wie Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen, arithmetische Funktionen, Vergleichstheorie, Primitivwurzeln und Indizes, Berücksichtigt werden Kettenbrüche, algebraische und transzendente Zahlen. Besprochen werden die Eigenschaften von Primzahlen, die Theorie diophantischer Gleichungen, algorithmische Aspekte der Zahlentheorie mit Anwendungen in der Kryptographie (Prüfung großer Primzahlen auf Primalität, Faktorisierung großer Zahlen, diskreter Logarithmus) und die Verwendung von Computern.
Für Studierende höherer Bildungseinrichtungen.

Gegenstand des Studiums der Zahlentheorie sind Zahlen und ihre Eigenschaften, d.h. Zahlen erscheinen hier nicht als Mittel oder Instrument, sondern als Untersuchungsgegenstand. Natürliche Serie
1,2,3,4, ...,9,10,11, ...,99,100,101, ...
– die Menge der natürlichen Zahlen – ist das wichtigste Forschungsgebiet, äußerst aufschlussreich, wichtig und interessant.
Das Studium der natürlichen Zahlen begann im antiken Griechenland. Euklid und Eratosthenes entdeckten die Eigenschaften der Teilbarkeit von Zahlen, bewiesen die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen und fanden Wege, sie zu konstruieren. Probleme im Zusammenhang mit der Lösung unbestimmter Gleichungen in ganzen Zahlen waren Gegenstand der Forschung von Diophantus sowie von Wissenschaftlern aus dem alten Indien und dem alten China sowie den Ländern Zentralasiens.

Inhaltsverzeichnis
Einführung
Kapitel 1. Zur Teilbarkeit von Zahlen
1.1. Teilbarkeitseigenschaften von ganzen Zahlen
1.2. Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler
1.3. Euklids Algorithmus
1.4. Lösung in ganzen Zahlen lineare Gleichungen

Kapitel 2. Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen
2.1. Primzahlen. Sieb des Eratosthenes. Die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen
2.2. Grundsatz der Arithmetik
2.3. Die Sätze von Tschebyschew
2.4. Riemannsche Zetafunktion und Eigenschaften von Primzahlen
Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen
Kapitel 3. Arithmetische Funktionen
3.1. Multiplikative Funktionen und ihre Eigenschaften
3.2. Möbius-Funktion und Inversionsformeln
3.3. Euler-Funktion
3.4. Summe der Teiler und Anzahl der Teiler natürliche Zahl
3.5. Schätzungen des Mittelwerts arithmetischer Funktionen
Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen
Kapitel 4: Numerische Vergleiche
4.1. Vergleiche und ihre grundlegenden Eigenschaften
4.2. Abzugsklassen. Ring von Restklassen für ein bestimmtes Modul
4.3. Vollständige und reduzierte Abzugssysteme
4.4. Satz von Wilson
4.5. Die Sätze von Euler und Fermat
4.6. Darstellung rationaler Zahlen als unendlich Dezimalstellen
4.7. Primalitätsprüfung und Konstruktion großer Primzahlen
4.8. Ganzzahlfaktorisierung und kryptografische Anwendungen
Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen
Kapitel 5. Vergleiche mit einem Unbekannten
5.1.Grundlegende Definitionen
5.2. Vergleiche des ersten Grades
5.3.Chinesischer Restsatz
5.4. Polynomvergleiche Modulo-Primzahl
5.5. Polynomvergleiche durch zusammengesetzte Modulaufgaben zur unabhängigen Lösung
Kapitel 6. Vergleiche des zweiten Grades
6.1. Vergleiche der Modulo-Primzahl zweiten Grades
6.2. Legendres Symbol und seine Eigenschaften
6.3. Gesetz der quadratischen Reziprozität
6.4.Jacobi-Symbol und seine Eigenschaften
6.5. Summen von zwei und vier Quadraten
6.6. Darstellung von Null durch quadratische Formen in drei Variablen
Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen
Kapitel 7. Stammstammwurzeln und Indizes
7.1. Indikator einer Nummer für ein bestimmtes Modul
7.2. Existenz primitiver Wurzeln modulo prim
7.3. Konstruktion primitiver Wurzeln mit den Modulen pk und 2pk
7.4. Satz über das Fehlen primitiver Wurzeln in anderen Modulen als 2, 4, pk und 2pk
7.5. Indizes und ihre Eigenschaften
7.6. Diskreter Logarithmus
7.7. Binomialvergleiche
Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen
Kapitel 8. Fortsetzungsbrüche
8.1. Satz von Dirichlet über die Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen
8.2. Endliche Kettenbrüche
8.3. Kettenbruch einer reellen Zahl
8.4. Beste Näherungen
8.5. Äquivalente Zahlen
8.6. Quadratische Irrationalitäten und Kettenbrüche
8.7. Verwendung von Kettenbrüchen zur Lösung einiger diophantischer Gleichungen
8.8. Zerlegung der Zahl e in einen Kettenbruch
Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen
Kapitel 9. Algebraische und transzendente Zahlen
9.1.Feld der algebraischen Zahlen
9.2. Approximationen algebraischer Zahlen durch rationale Zahlen. Existenz transzendentaler Zahlen
9.3. Die Irrationalität der Zahlen er und n
9.4. Transzendenz der Zahl e
9.5. Transzendenz der Zahl n
9.6. Unmöglichkeit der Quadratur eines Kreises
Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen
Antworten und Anweisungen
Referenzen

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