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Wie Sie wissen, addieren sich bei der Multiplikation von Ausdrücken mit Potenzen immer deren Exponenten (a b *a c = a b+c). Dieses mathematische Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle ganzzahliger Exponenten. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Beispiele für die Verwendung dieser Funktion finden sich fast überall dort, wo Sie umständliche Multiplikationen durch einfache Addition vereinfachen müssen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie man mit ihnen arbeitet. In einfacher und zugänglicher Sprache.

Definition in der Mathematik

Ein Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, d. h. der Logarithmus einer beliebigen nicht negativen (d. h. positiven) Zahl „b“ zu ihrer Basis „a“ wird als Potenz „c“ betrachtet ” auf den die Basis „a“ angehoben werden muss, um letztlich den Wert „b“ zu erhalten. Lassen Sie uns den Logarithmus anhand von Beispielen analysieren. Nehmen wir an, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist ganz einfach: Sie müssen eine solche Potenz finden, dass Sie von 2 bis zur erforderlichen Potenz 8 erhalten. Nachdem wir einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das stimmt, denn 2 hoch 3 ergibt eine 8.

Arten von Logarithmen

Für viele Schüler erscheint dieses Thema kompliziert und unverständlich, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend. Die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich ihre Eigenschaften und einige Regeln zu merken. Es gibt drei verschiedene Arten logarithmischer Ausdrücke:

1. Natürlicher Logarithmus ln a, wobei die Basis die Euler-Zahl (e = 2,7) ist.
2. Dezimalzahl a, wobei die Basis 10 ist.
3. Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen wird auf Standardmethode gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduktion und anschließender Reduktion auf einen einzelnen Logarithmus unter Verwendung logarithmischer Theoreme. Um die korrekten Werte von Logarithmen zu erhalten, sollten Sie sich beim Lösen deren Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen merken.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regeln und Einschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie unterliegen keiner Diskussion und sind die Wahrheit. Beispielsweise ist es unmöglich, Zahlen durch Null zu dividieren, und es ist auch unmöglich, die gerade Wurzel negativer Zahlen zu ziehen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:

• die Basis „a“ muss immer sein größer als Null, und gleichzeitig nicht gleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, weil „1“ und „0“ in jedem Grad immer gleich ihren Werten sind;
• Wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass „c“ ebenfalls größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wird die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x = 100 zu finden. Das ist sehr einfach, Sie müssen eine Potenz wählen, indem Sie die Zahl zehn erhöhen, auf die wir 100 erhalten. Das ist natürlich 10 2 = 100.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck nun in logarithmischer Form darstellen. Wir erhalten log 10 · 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen, um die Potenz zu finden, mit der die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten.

Um den Wert eines unbekannten Grades genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit einer Gradtabelle zu arbeiten. Es sieht so aus:

Wie Sie sehen, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über technisches Verständnis und Kenntnisse der Multiplikationstabelle verfügen. Allerdings für große Werte Sie benötigen eine Gradtabelle. Es kann sogar von denen verwendet werden, die überhaupt keine Ahnung von Komplexen haben mathematische Themen. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe ist der Wert der Potenz c, mit der die Zahl a erhöht wird. Am Schnittpunkt enthalten die Zellen die Zahlenwerte, die die Antwort darstellen (a c =b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, wir erhalten den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der wahrste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, wann bestimmte Bedingungen Der Exponent ist der Logarithmus. Daher können alle mathematischen numerischen Ausdrücke als logarithmische Gleichheit geschrieben werden. Beispielsweise kann 3 4 =81 als Logarithmus zur Basis 3 von 81 gleich vier geschrieben werden (log 3 81 = 4). Für negative Potenzen gelten dieselben Regeln: 2 -5 = 1/32, wir schreiben es als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema „Logarithmen“. Wir werden uns unten Beispiele und Lösungen der Gleichungen ansehen, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Gegeben ist ein Ausdruck der folgenden Form: log 2 (x-1) > 3 – es handelt sich um eine logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert „x“ unter dem logarithmischen Vorzeichen steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gewünschten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (z. B. der Logarithmus 2 x = √9) einen oder mehrere bestimmte numerische Werte in der Antwort implizieren, während bei der Lösung einer Ungleichung beide Bereiche akzeptabel sind Werte und die Punkte werden durch Brechen dieser Funktion bestimmt. Folglich handelt es sich bei der Antwort nicht um eine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Antwort auf eine Gleichung, sondern um eine kontinuierliche Reihe oder Menge von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Bei der Lösung primitiver Aufgaben zur Ermittlung der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später Beispiele für Gleichungen ansehen; schauen wir uns zunächst jede Eigenschaft genauer an.

1. Die Hauptidentität sieht so aus: a logaB =B. Dies gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins und B größer als Null ist.
2. Der Logarithmus des Produkts kann in der folgenden Formel dargestellt werden: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In diesem Fall Voraussetzung ist: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Sie können einen Beweis für diese logarithmische Formel mit Beispielen und Lösung geben. Sei log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2, dann a f1 = s 1, a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (Eigenschaften von Grad ), und dann per Definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was bewiesen werden musste.
3. Der Logarithmus des Quotienten sieht folgendermaßen aus: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Der Satz in Form einer Formel hat die folgende Form: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird „Eigenschaft des Logarithmusgrades“ genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und das ist nicht überraschend, da die gesamte Mathematik auf natürlichen Postulaten basiert. Schauen wir uns den Beweis an.

Sei log a b = t, es ergibt sich a t =b. Potenzieren wir beide Teile m: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n, also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmenproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie finden sich in fast allen Aufgabenbüchern und sind auch Pflichtbestandteil von Mathematikprüfungen. Für die Zulassung zum Studium oder das Bestehen Aufnahmeprüfungen In der Mathematik muss man wissen, wie man solche Probleme richtig löst.

Leider gibt es keinen einheitlichen Plan oder Schema zur Lösung und Bestimmung unbekannter Wert Es gibt keinen Logarithmus, aber Sie können ihn auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung anwenden. bestimmte Regeln. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder vereinfacht werden kann allgemeines Erscheinungsbild. Sie können lange logarithmische Ausdrücke vereinfachen, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig verwenden. Lernen wir sie schnell kennen.

Beim Lösen logarithmischer Gleichungen müssen wir bestimmen, um welche Art von Logarithmus es sich handelt: Ein Beispielausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass sie die Potenz bestimmen müssen, mit der die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Um natürliche Logarithmen zu lösen, müssen Sie logarithmische Identitäten oder deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung logarithmischer Probleme verschiedener Art an.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: Mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Verwendung der grundlegenden Sätze über Logarithmen an.

1. Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen eine Erweiterung erforderlich ist großer Wert Zahlen b in einfachere Faktoren. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 – wie Sie sehen können, ist es uns mithilfe der vierten Eigenschaft der Logarithmuspotenz gelungen, einen scheinbar komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Sie müssen lediglich die Basis faktorisieren und dann die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnehmen.

Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen

Logarithmen kommen häufig vor Aufnahmeprüfungen, insbesondere viele logarithmische Probleme im Einheitlichen Staatsexamen (Staatsexamen für alle Schulabsolventen). Typischerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten Prüfungsteil der Prüfung) enthalten, sondern auch in Teil C (die komplexesten und umfangreichsten Aufgaben). Die Prüfung erfordert genaue und perfekte Kenntnisse des Themas „Natürliche Logarithmen“.

Beispiele und Problemlösungen stammen aus offiziellen Quellen Optionen für das einheitliche Staatsexamen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2, durch die Definition des Logarithmus erhalten wir 2x-1 = 2 4, also 2x = 17; x = 8,5.

• Damit die Lösung nicht umständlich und unübersichtlich wird, reduziert man am besten alle Logarithmen auf die gleiche Basis.
• Alle Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen werden als positiv angezeigt. Wenn daher der Exponent eines Ausdrucks, der unter dem Logarithmuszeichen steht und dessen Basis ist, als Multiplikator herausgenommen wird, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.

Wir studieren weiterhin Logarithmen. In diesem Artikel werden wir darüber sprechen Logarithmen berechnen, dieser Vorgang wird aufgerufen Logarithmus. Zunächst werden wir die Berechnung von Logarithmen per Definition verstehen. Schauen wir uns als Nächstes an, wie die Werte von Logarithmen anhand ihrer Eigenschaften ermittelt werden. Danach konzentrieren wir uns auf die Berechnung von Logarithmen anhand der ursprünglich angegebenen Werte anderer Logarithmen. Lassen Sie uns abschließend lernen, wie man Logarithmustabellen verwendet. Die gesamte Theorie wird mit Beispielen mit detaillierten Lösungen versehen.

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Logarithmen per Definition berechnen

In den einfachsten Fällen ist eine recht schnelle und unkomplizierte Durchführung möglich Finden des Logarithmus per Definition. Schauen wir uns genauer an, wie dieser Prozess abläuft.

Sein Wesen besteht darin, die Zahl b in der Form a c darzustellen, wobei nach der Definition eines Logarithmus die Zahl c der Wert des Logarithmus ist. Das heißt, per Definition entspricht die folgende Gleichungskette dem Finden des Logarithmus: log a b=log a a c =c.

Bei der Berechnung eines Logarithmus geht es also per Definition darum, eine Zahl c zu finden, für die a c = b gilt, und die Zahl c selbst ist der gewünschte Wert des Logarithmus.

Unter Berücksichtigung der Informationen in den vorherigen Absätzen können Sie, wenn die Zahl unter dem Logarithmuszeichen durch eine bestimmte Potenz der Logarithmusbasis gegeben ist, sofort angeben, was der Logarithmus ist – er ist gleich dem Exponenten. Lassen Sie uns Lösungen anhand von Beispielen zeigen.

Beispiel.

Finden Sie log 2 2 −3 und berechnen Sie auch den natürlichen Logarithmus der Zahl e 5,3.

Lösung.

Die Definition des Logarithmus erlaubt es uns sofort zu sagen, dass log 2 2 −3 =−3. Tatsächlich ist die Zahl unter dem Logarithmuszeichen gleich der Basis 2 hoch −3.

Ebenso finden wir den zweiten Logarithmus: lne 5,3 =5,3.

Antwort:

log 2 2 −3 =−3 und lne 5,3 =5,3.

Wenn die Zahl b unter dem Logarithmuszeichen nicht als Potenz der Basis des Logarithmus angegeben ist, müssen Sie sorgfältig prüfen, ob es möglich ist, eine Darstellung der Zahl b in der Form a c zu finden. Oftmals ist diese Darstellung recht offensichtlich, insbesondere wenn die Zahl unter dem Logarithmuszeichen gleich der Basis hoch 1, 2, oder 3, ... ist.

Beispiel.

Berechnen Sie die Logarithmen log 5 25 , und .

Lösung.

Es ist leicht zu erkennen, dass 25=5 2 ist. Dadurch können Sie den ersten Logarithmus berechnen: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Fahren wir mit der Berechnung des zweiten Logarithmus fort. Die Zahl kann als Potenz von 7 dargestellt werden: (siehe ggf.). Somit, .

Schreiben wir den dritten Logarithmus in der folgenden Form um. Jetzt können Sie das sehen , woraus wir schließen . Daher nach der Definition des Logarithmus .

Kurz gesagt könnte die Lösung wie folgt geschrieben werden: .

Antwort:

log 5 25=2 , Und .

Wenn unter dem Logarithmuszeichen ein ausreichend großes Zeichen steht natürliche Zahl, dann würde es nicht schaden, es in Primfaktoren zu zerlegen. Es hilft oft, eine solche Zahl als eine Potenz der Basis des Logarithmus darzustellen und diesen Logarithmus daher per Definition zu berechnen.

Beispiel.

Finden Sie den Wert des Logarithmus.

Lösung.

Einige Eigenschaften von Logarithmen ermöglichen es Ihnen, den Wert von Logarithmen sofort anzugeben. Zu diesen Eigenschaften gehören die Eigenschaft des Logarithmus von Eins und die Eigenschaft des Logarithmus einer Zahl gleich der Basis: log 1 1=log a a 0 =0 und log a a=log a a 1 =1. Das heißt, wenn unter dem Vorzeichen des Logarithmus eine Zahl 1 oder eine Zahl a gleich der Basis des Logarithmus steht, dann sind die Logarithmen in diesen Fällen gleich 0 bzw. 1.

Beispiel.

Was sind Logarithmen und log10 gleich?

Lösung.

Da folgt aus der Definition des Logarithmus .

Im zweiten Beispiel stimmt die Zahl 10 unter dem Logarithmuszeichen mit ihrer Basis überein, sodass der dezimale Logarithmus von zehn gleich eins ist, d. h. lg10=lg10 1 =1.

Antwort:

UND lg10=1 .

Beachten Sie, dass die Berechnung von Logarithmen per Definition (die wir im vorherigen Absatz besprochen haben) die Verwendung der Gleichheit log a a p =p impliziert, was eine der Eigenschaften von Logarithmen ist.

In der Praxis ist es sehr praktisch, die Formel zu verwenden, wenn eine Zahl unter dem Logarithmuszeichen und die Basis des Logarithmus leicht als Potenz einer bestimmten Zahl dargestellt werden können , was einer der Eigenschaften von Logarithmen entspricht. Schauen wir uns ein Beispiel zum Finden eines Logarithmus an, das die Verwendung dieser Formel veranschaulicht.

Beispiel.

Berechnen Sie den Logarithmus.

Lösung.

Antwort:

.

Auch Eigenschaften von Logarithmen, die oben nicht erwähnt wurden, werden in Berechnungen verwendet, wir werden jedoch in den folgenden Abschnitten darüber sprechen.

Finden von Logarithmen anhand anderer bekannter Logarithmen

Die Informationen in diesem Absatz führen das Thema der Nutzung der Eigenschaften von Logarithmen bei deren Berechnung fort. Der Hauptunterschied besteht jedoch darin, dass die Eigenschaften von Logarithmen verwendet werden, um den ursprünglichen Logarithmus durch einen anderen Logarithmus auszudrücken, dessen Wert bekannt ist. Lassen Sie uns zur Verdeutlichung ein Beispiel geben. Nehmen wir an, wir wissen, dass log 2 3≈1,584963, dann können wir beispielsweise log 2 6 finden, indem wir eine kleine Transformation unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus durchführen: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Im obigen Beispiel hat es uns gereicht, die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts zu nutzen. Allerdings ist es viel häufiger notwendig, ein breiteres Arsenal an Eigenschaften von Logarithmen zu verwenden, um den ursprünglichen Logarithmus anhand der gegebenen zu berechnen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Logarithmus von 27 zur Basis 60, wenn Sie wissen, dass log 60 2=a und log 60 5=b.

Lösung.

Wir müssen also log 60 27 finden. Es ist leicht zu erkennen, dass 27 = 3 3 und der ursprüngliche Logarithmus aufgrund der Eigenschaft des Logarithmus der Potenz als 3·log 60 3 umgeschrieben werden kann.

Sehen wir uns nun an, wie man log 60 3 durch bekannte Logarithmen ausdrückt. Die Eigenschaft des Logarithmus einer Zahl gleich der Basis ermöglicht es uns, die Gleichheit log 60 60=1 zu schreiben. Andererseits ist log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Daher, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Somit, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Abschließend berechnen wir den ursprünglichen Logarithmus: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Antwort:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Unabhängig davon ist die Bedeutung der Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus der Form zu erwähnen . Es ermöglicht Ihnen, von Logarithmen mit beliebiger Basis zu Logarithmen mit einer bestimmten Basis zu wechseln, deren Werte bekannt sind oder deren Werte ermittelt werden können. Normalerweise gehen sie vom ursprünglichen Logarithmus mithilfe der Übergangsformel zu Logarithmen in einer der Basen 2, e oder 10 über, da es für diese Basen Logarithmentabellen gibt, die dies zulassen bis zu einem gewissen Grad Berechnen Sie ihre Werte genau. Im nächsten Absatz zeigen wir, wie das geht.

Logarithmentabellen und ihre Verwendung

Zur näherungsweisen Berechnung können Logarithmuswerte verwendet werden Logarithmustabellen. Die am häufigsten verwendete Logarithmustabelle zur Basis 2, die natürliche Logarithmustabelle und die dezimale Logarithmustabelle. Wenn Sie im dezimalen Zahlensystem arbeiten, ist es praktisch, eine Logarithmentabelle zur Basis zehn zu verwenden. Mit seiner Hilfe lernen wir, die Werte von Logarithmen zu finden.

Mit der vorgestellten Tabelle können Sie die Werte der Dezimallogarithmen von Zahlen von 1.000 bis 9.999 (mit drei Dezimalstellen) mit einer Genauigkeit von einem Zehntausendstel ermitteln. Wir werden das Prinzip analysieren, den Wert eines Logarithmus mithilfe einer Tabelle mit Dezimallogarithmen zu ermitteln konkretes Beispiel– so ist es klarer. Suchen wir log1.256.

In der linken Spalte der Tabelle der Dezimallogarithmen finden wir die ersten beiden Ziffern der Zahl 1,256, also 1,2 (diese Zahl ist der Übersichtlichkeit halber blau eingekreist). Die dritte Ziffer der Zahl 1.256 (Ziffer 5) steht in der ersten bzw. letzten Zeile links von der Doppelzeile (diese Zahl ist rot umkreist). Die vierte Ziffer der ursprünglichen Zahl 1.256 (Ziffer 6) befindet sich in der ersten oder letzten Zeile rechts von der Doppellinie (diese Zahl ist mit einer grünen Linie umkreist). Nun finden wir die Zahlen in den Zellen der Logarithmentabelle am Schnittpunkt der markierten Zeile und der markierten Spalten (diese Zahlen sind hervorgehoben). orange). Die Summe der markierten Zahlen ergibt den gewünschten Wert des dezimalen Logarithmus mit einer Genauigkeit auf die vierte Dezimalstelle, d. h. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ist es möglich, anhand der obigen Tabelle die Werte von Dezimallogarithmen von Zahlen zu ermitteln, die mehr als drei Nachkommastellen haben, sowie solche, die über den Bereich von 1 bis 9,999 hinausgehen? Ja, das kannst du. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie das geht.

Berechnen wir lg102.76332. Zuerst müssen Sie aufschreiben Nummer in Standardform: 102,76332=1,0276332·10 2. Danach sollte die Mantisse auf die dritte Dezimalstelle gerundet werden, wir haben 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, während der ursprüngliche Dezimallogarithmus ungefähr dem Logarithmus der resultierenden Zahl entspricht, das heißt, wir nehmen log102,76332≈lg1,028·10 2. Nun wenden wir die Eigenschaften des Logarithmus an: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Schließlich finden wir den Wert des Logarithmus lg1,028 aus der Tabelle der dezimalen Logarithmen lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Infolgedessen sieht der gesamte Prozess der Berechnung des Logarithmus wie folgt aus: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Zusammenfassend ist festzuhalten, dass Sie mithilfe einer Tabelle mit Dezimallogarithmen den ungefähren Wert jedes Logarithmus berechnen können. Dazu genügt es, mit der Übergangsformel zu Dezimallogarithmen zu gelangen, deren Werte in der Tabelle zu finden und die restlichen Berechnungen durchzuführen.

Berechnen wir zum Beispiel log 2 3 . Gemäß der Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus haben wir . Aus der Tabelle der dezimalen Logarithmen finden wir log3≈0,4771 und log2≈0,3010. Daher, .

Referenzen.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 – 11 allgemeinbildender Einrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).

log a r b r =log a b oder log a b= log a r b r

Der Wert des Logarithmus ändert sich nicht, wenn die Basis des Logarithmus und die Zahl unter dem Logarithmuszeichen gleich potenziert werden.

Unter dem Logarithmuszeichen können nur positive Zahlen stehen, und die Basis des Logarithmus ist ungleich eins.

Beispiele.

1) Vergleichen Sie Protokoll 3 9 und Protokoll 9 81.

log 3 9=2, da 3 2 =9;

log 9 81=2, da 9 2 =81.

Also log 3 9=log 9 81.

Beachten Sie, dass die Basis des zweiten Logarithmus gleich dem Quadrat der Basis des ersten Logarithmus ist: 9=3 2, und die Zahl unter dem Vorzeichen des zweiten Logarithmus ist gleich dem Quadrat der Zahl unter dem Vorzeichen des ersten Logarithmus: 81=9 2. Es stellt sich heraus, dass sowohl die Zahl als auch die Basis des ersten Logarithmus log 3 9 auf die zweite Potenz erhöht wurden und sich der Wert des Logarithmus dadurch nicht geändert hat:

Als nächstes seit dem Extrahieren der Wurzel N Abschluss unter uns A ist das Erhöhen einer Zahl A bis zum Grad ( 1/n), dann können Sie aus log 9 81 log 3 9 erhalten, indem Sie die Quadratwurzel der Zahl und die Basis des Logarithmus ziehen:

2) Gleichheit prüfen: log 4 25=log 0,5 0,2.

Schauen wir uns den ersten Logarithmus an. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus der Basis 4 und aus der Mitte 25 ; wir erhalten: log 4 25=log 2 5.

Schauen wir uns den zweiten Logarithmus an. Logarithmusbasis: 0,5= 1 / 2. Die Zahl unter dem Vorzeichen dieses Logarithmus: 0,2= 1/5. Erhöhen wir jede dieser Zahlen auf die erste Minus-Potenz:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Also log 0,5 0,2 = log 2 5. Fazit: Diese Gleichheit ist wahr.

Lösen Sie die Gleichung:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Reduzieren wir den Logarithmus vom linken zum Basislogarithmus 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Ziehen Sie die Quadratwurzel aus der Zahl und die Basis des ersten Logarithmus. Extrahieren Sie die vierte Wurzel der Zahl und die Basis des zweiten Logarithmus.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Wandeln Sie die Summe der Logarithmen in den Logarithmus des Produkts um.

3x 2 =5x+2. Nach der Potenzierung erhalten.

3x 2 -5x-2=0. Wir lösen eine quadratische Gleichung mit der allgemeinen Formel für eine vollständige quadratische Gleichung:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 echte Wurzeln.

Prüfung.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

log 2 12=log 2 12;

log a n b=(1/ N)∙ log a b

Logarithmus einer Zahl B bezogen auf ein gleich dem Produkt des Bruchs 1/ N zum Logarithmus einer Zahl B bezogen auf A.

Finden:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , wenn das bekannt ist log 2 3=b,log 5 2=c.

Lösung.

Gleichungen lösen:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Lösung.

Reduzieren wir diese Logarithmen auf die Basis 2. Wenden wir die Formel an: log a n b=(1/ N)∙ log a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log 2 x+0,5log 2 x+0,25log 2 x=5,25. Hier sind ähnliche Begriffe:

(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

log 2 x=3. Per Definition des Logarithmus:

2) 0,5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0,25.

Lösung. Lassen Sie uns den Logarithmus zur Basis 16 in die Basis 4 umwandeln.

0,5log 4 (x-2)+0,5log 4 (x-3)=0,25 |:0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0,5. Lassen Sie uns die Summe der Logarithmen in den Logarithmus des Produkts umwandeln.

log 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6)=0,5;

log 4 (x 2 -5x+6)=0,5. Per Definition des Logarithmus:

x 2 -5x+4=0. Nach dem Satz von Vieta:

x 1 =1; x 2 =4. Der erste Wert von x wird nicht funktionieren, da bei x = 1 die Logarithmen dieser Gleichheit nicht existieren, weil Nur positive Zahlen können unter dem Logarithmuszeichen stehen.

Überprüfen wir diese Gleichung bei x=4.

Prüfung.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logarithmus einer Zahl B bezogen auf A gleich dem Logarithmus der Zahl B auf neuer Basis Mit, dividiert durch den Logarithmus der alten Basis A auf neuer Basis Mit.

Beispiele:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Berechnen:

1) Protokoll 5 7, wenn das bekannt ist LG7≈0,8451; LG5≈0,6990.

C B / Protokoll C A.

log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Antwort: Protokoll 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) Protokoll 5 7 , wenn das bekannt ist ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Lösung. Wenden Sie die Formel an: log a b =log C B / Protokoll C A.

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Antwort: Protokoll 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Finden Sie x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Wir verwenden die Formel: log C B / Protokoll C a = log a b . Wir bekommen:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x=log 3 (4∙6∙8);

log 3 x=log 3 192;

x=192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Wir verwenden die Formel: log C B / Protokoll C a = log a b . Wir bekommen:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lassen Sie es uns einfacher erklären. Beispielsweise ist \(\log_(2)(8)\) gleich der Potenz, mit der \(2\) erhöht werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende „Anatomie“:

Das Argument eines Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt näher am Logarithmuszeichen geschrieben. Und dieser Eintrag lautet wie folgt: „Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis fünf.“

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Auf welche Potenz muss die Basis erhöht werden, um das Argument zu erhalten?

Zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Auf welche Potenz muss \(4\) erhöht werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das zweite. Deshalb:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(5)\) erhöht werden, um \(1\) zu erhalten? Welche Macht macht eine Nummer eins? Null, natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(7)\) erhöht werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Erstens ist jede Zahl in der ersten Potenz gleich sich selbst.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Auf welche Potenz muss \(3\) erhöht werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Wir wissen, dass es sich um eine Bruchpotenz handelt, was bedeutet, dass die Quadratwurzel die Potenz von \(\frac(1)(2)\) ist.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechnen Sie den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösung :

Antwort : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichheit funktioniert. Natürlich ist \(x=2\).

Lösen Sie nun die Gleichung: \(3^(x)=8\). Womit ist x gleich? Das ist der Punkt.

Die Klügsten werden sagen: „X ist etwas kleiner als zwei.“ Wie genau schreibt man diese Nummer? Um diese Frage zu beantworten, wurde der Logarithmus erfunden. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass \(\log_(3)(8)\), wie Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es in das Formular schreiben wollten dezimal, dann würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Lösen Sie die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Lösung :

Antwort : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimale und natürliche Logarithmen

Wie in der Definition eines Logarithmus angegeben, kann seine Basis jede positive Zahl außer eins \((a>0, a\neq1)\) sein. Und unter all den möglichen Basen gibt es zwei, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: ein Logarithmus, dessen Basis die Eulersche Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Das heißt, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimallogarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird als \(\lg(a)\) geschrieben.

Das heißt, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Eine davon heißt „Basic Logarithmic Identity“ und sieht folgendermaßen aus:

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie genau diese Formel zustande kam.

Erinnern wir uns kurze Anmerkung Definitionen von Logarithmus:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir in der Formel \(a^(b)=c\) \(\log_(a)(c)\) anstelle von \(b\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) die wichtigste logarithmische Identität ist.

Weitere Eigenschaften von Logarithmen finden Sie hier. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen, die schwer direkt zu berechnen sind, vereinfachen und berechnen.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösung :

Antwort : \(25\)

Wie schreibe ich eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Das Umgekehrte gilt auch: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Wir wissen zum Beispiel, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie \(\log_(2)(4)\) statt zwei schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), was bedeutet, dass wir auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben können. Ebenso mit \(\log_(5)(25)\), und mit \(\log_(9)(81)\) usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Bei Bedarf können wir also zwei als Logarithmus mit beliebiger Basis an beliebiger Stelle schreiben (sei es in einer Gleichung, in einem Ausdruck oder in einer Ungleichung) – wir schreiben einfach das Quadrat der Basis als Argument.

Das Gleiche gilt für das Tripel – es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\) oder als \(\log_(4)( 64) \)... Hier schreiben wir die Basis im Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit der Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lösung :

Antwort : \(1\)

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