Funções de uma variável complexa.
Diferenciação de funções de uma variável complexa.

Este artigo inicia uma série de lições nas quais examinarei tarefas típicas, relacionado à teoria das funções de uma variável complexa. Para dominar os exemplos com sucesso, você deve ter conhecimento básico sobre números complexos. Para consolidar e repetir o material basta visitar a página. Você também precisará de habilidades para encontrar derivadas parciais de segunda ordem. Aqui estão elas, essas derivadas parciais... mesmo agora fiquei um pouco surpreso com a frequência com que elas ocorrem...

O tema que começamos a examinar não apresenta dificuldades particulares e nas funções de uma variável complexa, em princípio, tudo é claro e acessível. O principal é seguir a regra básica que deduzi experimentalmente. Leia!

Conceito de função de uma variável complexa

Primeiro, vamos atualizar nosso conhecimento sobre a função escolar de uma variável:

Função de variável únicaé uma regra segundo a qual cada valor da variável independente (do domínio de definição) corresponde a um e apenas um valor da função. Naturalmente, “x” e “y” são números reais.

No caso complexo, a dependência funcional é especificada de forma semelhante:

Função de valor único de uma variável complexa- esta é a regra segundo a qual todos compreensivo o valor da variável independente (do domínio de definição) corresponde a um e apenas um compreensivo valor da função. A teoria também considera funções de múltiplos valores e alguns outros tipos de funções, mas para simplificar, focarei em uma definição.

Qual é a diferença entre uma função variável complexa?

A principal diferença: números complexos. Não estou sendo irônico. Essas perguntas muitas vezes deixam as pessoas estupefatas; no final do artigo contarei uma história engraçada. Na lição Números complexos para manequins consideramos um número complexo na forma. Desde agora a letra “z” tornou-se variável, então iremos denotá-lo da seguinte forma: , enquanto “x” e “y” podem assumir diferentes válido significados. Grosso modo, a função de uma variável complexa depende das variáveis ​​e , que assumem valores “comuns”. De este fato O seguinte ponto segue logicamente:

A função de uma variável complexa pode ser escrita como:
, onde e são duas funções de dois válido variáveis.

A função é chamada parte real funções
A função é chamada parte imaginária funções

Ou seja, a função de uma variável complexa depende de duas funções reais e. Para finalmente esclarecer tudo, vejamos exemplos práticos:

Exemplo 1

Solução: A variável independente “zet”, como você lembra, é escrita na forma , portanto:

(1) Nós substituímos.

(2) Para o primeiro termo foi utilizada a fórmula abreviada de multiplicação. No termo, os parênteses foram abertos.

(3) Cuidadosamente esquadrado, sem esquecer que

(4) Rearranjo de termos: primeiro reescrevemos os termos , em que não há unidade imaginária(primeiro grupo), depois os termos onde existem (segundo grupo). Deve-se notar que não é necessário embaralhar os termos e esta etapa pode ser ignorada (realizando-a oralmente).

(5) Para o segundo grupo, retiramos dos colchetes.

Como resultado, nossa função acabou sendo representada na forma

Responder:
– parte real da função.
– parte imaginária da função.

Que tipo de funções essas acabaram sendo? As funções mais comuns de duas variáveis ​​​​nas quais você pode encontrar essas funções populares derivadas parciais. Sem piedade, vamos encontrá-lo. Mas um pouco mais tarde.

Resumidamente, o algoritmo para o problema resolvido pode ser escrito da seguinte forma: substituímos , na função original, fazemos simplificações e dividimos todos os termos em dois grupos - sem unidade imaginária (parte real) e com unidade imaginária (parte imaginária) .

Exemplo 2

Encontre a parte real e imaginária da função

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Antes de você correr para a batalha no plano complexo com suas peças desenhadas, deixe-me dar-lhe o máximo conselho importante neste tópico:

TOME CUIDADO!É claro que você precisa ter cuidado em todos os lugares, mas em números complexos você deve ter mais cuidado do que nunca! Lembre-se que, abrindo cuidadosamente os colchetes, não perca nada. Segundo minhas observações, o erro mais comum é a perda de uma placa. Não se apresse!

Solução completa e resposta no final da lição.

Agora o cubo. Usando a fórmula de multiplicação abreviada, derivamos:
.

As fórmulas são muito convenientes de usar na prática, pois aceleram significativamente o processo de solução.

Diferenciação de funções de uma variável complexa.

Tenho duas notícias: boas e ruins. Vou começar com o bom. Para uma função de uma variável complexa, as regras de diferenciação e a tabela de derivadas são válidas funções elementares. Assim, a derivada é obtida exatamente da mesma forma que no caso de uma função de variável real.

A má notícia é que para muitas funções variáveis ​​complexas não existe nenhuma derivada, e você tem que descobrir é diferenciável uma função ou outra. E “descobrir” como seu coração se sente está associado a problemas adicionais.

Vamos considerar a função de uma variável complexa. A fim de esta função era diferenciável necessário e suficiente:

1) Portanto, existem derivadas parciais de primeira ordem. Esqueça imediatamente essas notações, pois na teoria das funções de uma variável complexa uma notação diferente é tradicionalmente usada: .

2) Para realizar o chamado Condições de Cauchy-Riemann:

Somente neste caso a derivada existirá!

Exemplo 3

Soluçãoé dividido em três etapas sucessivas:

1) Vamos encontrar as partes reais e imaginárias da função. Esta tarefa foi discutida em exemplos anteriores, então vou anotá-la sem comentários:

Desde então:

Por isso:

– parte imaginária da função.

Deixe-me abordar mais um ponto técnico: em que ordem escreva os termos nas partes real e imaginária? Sim, em princípio, não importa. Por exemplo, a parte real pode ser escrita assim: , e o imaginário – assim: .

2) Verifiquemos o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Existem dois deles.

Vamos começar verificando a condição. Nós achamos derivadas parciais:

Assim, a condição é satisfeita.

Claro, a boa notícia é que as derivadas parciais são quase sempre muito simples.

Verificamos o cumprimento da segunda condição:

Aconteceu a mesma coisa, mas com sinais opostos, ou seja, a condição também é satisfeita.

As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas, portanto a função é diferenciável.

3) Vamos encontrar a derivada da função. A derivada também é muito simples e é encontrada de acordo com as regras usuais:

A unidade imaginária é considerada uma constante durante a diferenciação.

Responder: – parte real, – parte imaginária.
As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas.

Existem mais duas maneiras de encontrar a derivada, elas são, obviamente, usadas com menos frequência, mas as informações serão úteis para a compreensão da segunda lição - Como encontrar uma função de uma variável complexa?

A derivada pode ser encontrada usando a fórmula:

Nesse caso:

Por isso

Temos que resolver o problema inverso - na expressão resultante precisamos isolar. Para isso é necessário nos termos e fora dos colchetes:

A ação inversa, como muitos notaram, é um pouco mais difícil de verificar, é sempre melhor pegar a expressão em rascunho ou abrir oralmente os colchetes, certificando-se de que o resultado é exato;

Fórmula espelhada para encontrar a derivada:

Nesse caso: , É por isso:

Exemplo 4

Determine as partes reais e imaginárias de uma função . Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Se as condições de Cauchy-Riemann forem atendidas, encontre a derivada da função.

Uma breve solução e uma amostra aproximada do desenho final no final da aula.

As condições de Cauchy-Riemann são sempre satisfeitas? Teoricamente, eles não são cumpridos com mais frequência do que são cumpridos. Mas em exemplos práticos Não me lembro de nenhum caso em que elas não tenham sido cumpridas =) Assim, se suas derivadas parciais “não convergem”, então com uma probabilidade muito alta você pode dizer que cometeu um erro em algum lugar.

Vamos complicar nossas funções:

Exemplo 5

Determine as partes reais e imaginárias de uma função . Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Calcular

Solução: O algoritmo de solução é completamente preservado, mas no final será adicionado um novo ponto: encontrar a derivada em um ponto. Para o cubo, a fórmula necessária já foi derivada:

Vamos definir as partes reais e imaginárias desta função:

Atenção e atenção novamente!

Desde então:


Por isso:
– parte real da função;
– parte imaginária da função.

Verificando a segunda condição:

O resultado é o mesmo, mas com sinais opostos, ou seja, a condição também é cumprida.

As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas, portanto a função é diferenciável:

Vamos calcular o valor da derivada no ponto desejado:

Responder:, , as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas,

Funções com cubos são comuns, então aqui vai um exemplo para reforçar:

Exemplo 6

Determine as partes reais e imaginárias de uma função . Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Calcular.

Solução e exemplo de finalização no final da aula.

Em teoria Análise abrangente Outras funções de um argumento complexo também são definidas: expoente, seno, cosseno, etc. Essas funções têm propriedades incomuns e até bizarras – e isso é realmente interessante! Eu realmente quero contar a você, mas aqui, por acaso, não é um livro de referência ou livro didático, mas um livro de soluções, então considerarei o mesmo problema com algumas funções comuns.

Primeiro sobre o chamado Fórmulas de Euler:

Para qualquer um válido números, as seguintes fórmulas são válidas:

Você também pode copiá-lo em seu caderno como material de referência.

A rigor, existe apenas uma fórmula, mas geralmente, por conveniência, eles também escrevem um caso especial com menos no expoente. O parâmetro não precisa ser uma única letra; expressão complexa, função, só é importante que eles aceitem válido apenas significados. Na verdade, veremos isso agora:

Exemplo 7

Encontre a derivada.

Solução: A linha geral do partido permanece inabalável - é necessário distinguir as partes reais e imaginárias da função. Darei uma solução detalhada e comentarei cada etapa abaixo:

Desde então:

(1) Substitua “z”.

(2) Após a substituição, você precisa selecionar as partes reais e imaginárias primeiro no indicador expositores. Para fazer isso, abra os colchetes.

(3) Agrupamos a parte imaginária do indicador, colocando a unidade imaginária fora dos colchetes.

(4) Usamos a ação escolar com diplomas.

(5) Para o multiplicador usamos a fórmula de Euler, e .

(6) Abra os colchetes, resultando em:

– parte real da função;
– parte imaginária da função.

Outras ações são padrão; vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann:

Exemplo 9

Determine as partes reais e imaginárias de uma função . Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Assim seja, não encontraremos a derivada.

Solução: O algoritmo de solução é muito semelhante aos dois exemplos anteriores, mas existem pontos importantes, É por isso Primeira etapa Vou comentar novamente passo a passo:

Desde então:

1) Substitua “z”.

(2) Primeiro, selecionamos as partes reais e imaginárias dentro do seio. Para isso, abrimos os colchetes.

(3) Usamos a fórmula, e .

(4) Usamos paridade do cosseno hiperbólico: E estranheza do seno hiperbólico: . A hiperbólica, embora fora deste mundo, lembra em muitos aspectos funções trigonométricas semelhantes.

Eventualmente:
– parte real da função;
– parte imaginária da função.

Atenção! O sinal de menos refere-se à parte imaginária e em hipótese alguma devemos perdê-lo! Para uma ilustração clara, o resultado acima pode ser reescrito da seguinte forma:

Vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann:

As condições de Cauchy-Riemann estão satisfeitas.

Responder:, , as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas.

Senhoras e senhores, vamos descobrir por conta própria:

Exemplo 10

Determine as partes reais e imaginárias da função. Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann.

Escolhi deliberadamente exemplos mais difíceis, porque todos parecem ser capazes de lidar com alguma coisa, como amendoim sem casca. Ao mesmo tempo, você treinará sua atenção! Quebra-nozes no final da aula.

Bem, para concluir, vou considerar mais um exemplo interessante, quando o argumento complexo está no denominador. Já aconteceu algumas vezes na prática, vamos ver algo simples. Ei, estou ficando velho...

Exemplo 11

Determine as partes reais e imaginárias da função. Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann.

Solução: Novamente é necessário distinguir as partes reais e imaginárias da função.
Se então

Surge a pergunta: o que fazer quando “Z” está no denominador?

Tudo é simples - o padrão ajudará método de multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada, já foi utilizado nos exemplos da lição Números complexos para manequins. Vamos lembrar a fórmula escolar. Já temos no denominador, o que significa que a expressão conjugada será. Assim, você precisa multiplicar o numerador e o denominador por: