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Instruções

Se os comprimentos de ambas as bases (b e c) e os mesmos lados laterais (a) por definição forem conhecidos, então um triângulo retângulo pode ser usado para calcular o valor de um de seus ângulos agudos (γ). Para fazer isso, abaixe a altura de qualquer canto adjacente à base curta. Um triângulo retângulo será formado por uma altura (), um lado (hipotenusa) e um segmento da base longa entre a altura e o lado próximo (a segunda perna). O comprimento deste segmento pode ser encontrado subtraindo o comprimento do menor do comprimento da base maior e dividindo o resultado pela metade: (c-b)/2.

Tendo obtido os comprimentos de dois lados adjacentes de um triângulo retângulo, proceda ao cálculo do ângulo entre eles. A razão entre o comprimento da hipotenusa (a) e o comprimento da perna ((cb)/2) fornece o valor do cosseno deste ângulo (cos (γ)), ​​​​e a função arco cosseno ajudará a convertê-lo no ângulo em graus: γ=arccos(2*a/(c-b )). Assim você obterá o valor de um dos ângulos agudos, e por ser isósceles, o segundo ângulo agudo terá o mesmo valor. A soma de todos os ângulos deve ser 360°, o que significa que a soma de dois ângulos será igual à diferença entre este e o dobro do ângulo agudo. Como os dois ângulos obtusos também serão iguais, para encontrar o valor de cada um deles (α), essa diferença deve ser dividida pela metade: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2* a/(c-b)) . Agora você tem cálculos de todos os ângulos de um trapézio isósceles, dados os comprimentos conhecidos de seus lados.

Se os comprimentos dos lados da figura forem desconhecidos, mas sua altura (h) for fornecida, será necessário proceder de acordo com o mesmo esquema. Neste caso, em triângulo retângulo, composto por uma lateral e um pedaço curto de base longa, você saberá o comprimento das duas pernas. Sua proporção determina a tangente do ângulo que você precisa, e essa função trigonométrica também possui seu próprio antípoda, que converte o valor da tangente no valor do ângulo - arco tangente. Transforme as fórmulas para ângulos agudos e obtusos obtidas na etapa anterior adequadamente: γ = arctg(2*h/(c-b)) e α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

Para resolver este problema usando métodos de álgebra vetorial, você precisa conhecer os seguintes conceitos: soma geométrica vetorial e produto escalar de vetores, e também deve lembrar a propriedade da soma dos ângulos internos de um quadrilátero.

Você vai precisar

• - papel;
• - caneta;
• - governante.

Instruções

Um vetor é um segmento direcionado, ou seja, uma quantidade que é considerada totalmente especificada se forem dados seu comprimento e direção (ângulo) para um determinado eixo. A posição do vetor não é mais limitada por nada. Dois vetores com comprimentos e a mesma direção são considerados iguais. Portanto, ao usar coordenadas, os vetores são representados pelos vetores de raio dos pontos de sua extremidade (a origem está na origem).

Por definição: o vetor resultante de uma soma geométrica de vetores é um vetor que começa no início do primeiro e tem o fim do segundo, desde que o final do primeiro seja combinado com o início do segundo. Isso pode ser continuado, construindo uma cadeia de vetores localizados de forma semelhante.
Desenhe o ABCD dado com os vetores a, b, c e d na Fig. 1. Obviamente, com este arranjo o vetor resultante é d=a+ b+c.

Produto escalar neste caso é mais conveniente usar os vetores a e d. Produto escalar, denotado por (a, d)= |a||d|cosф1. Aqui φ1 é o ângulo entre os vetores a e d.
Produto escalar de vetores, dado por coordenadas, é determinado pelo seguinte:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, então
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

Propriedades de um trapézio retangular

• você trapézio retangular e dois ângulos devem ser retos
• Ambos os ângulos retos de um trapézio retangular pertencem necessariamente a vértices adjacentes
• Ambos os ângulos retos em um trapézio retangular eles são necessariamente adjacentes ao mesmo lado
• Diagonais de um trapézio retangular formar um triângulo retângulo de um lado
• Comprimento lateral de um trapézio perpendicular às bases é igual à sua altura
• Em um trapézio retangular as bases são paralelas, um lado é perpendicular às bases e o segundo lado é inclinado às bases
• Em um trapézio retangular dois ângulos são retos e os outros dois são agudos e obtusos

Tarefa

Ângulos de um trapézio isósceles. Olá! Este artigo se concentrará na solução de problemas com trapézios. Este conjunto de tarefas faz parte do exame; os problemas são simples. Calcularemos os ângulos do trapézio, base e altura. Resolver uma série de problemas se resume a resolver, como dizem: onde estamos sem o teorema de Pitágoras?

Trabalharemos com um trapézio isósceles. Possui lados e ângulos iguais nas bases. Há um artigo sobre trapézio no blog.

Observemos uma pequena e importante nuance que não descreveremos em detalhes no processo de resolução das próprias tarefas. Veja, se tivermos duas bases, então a base maior com as alturas abaixadas é dividida em três segmentos - um é igual à base menor (esses são os lados opostos do retângulo), os outros dois são iguais a cada outro (estes são os catetos de triângulos retângulos iguais):

Um exemplo simples: dadas duas bases de um trapézio isósceles 25 e 65. A base maior é dividida em segmentos da seguinte forma:

*E ainda mais! Não incluído nas tarefas designações de letras. Isto foi feito deliberadamente para não sobrecarregar a solução com refinamentos algébricos. Concordo que isso é matematicamente analfabeto, mas o objetivo é deixar claro o que quero dizer. E você sempre pode fazer designações para vértices e outros elementos e escrever uma solução matematicamente correta.

Vamos considerar as tarefas:

27439. As bases de um trapézio isósceles são 51 e 65. Os lados são 25. Encontre o seno do ângulo agudo do trapézio.

Para encontrar o ângulo, você precisa construir as alturas. No esboço denotamos os dados na condição de quantidade. A base inferior é 65, com alturas está dividida nos segmentos 7, 51 e 7:

Em um triângulo retângulo, conhecemos a hipotenusa e o cateto, podemos encontrar o segundo cateto (a altura do trapézio) e então calcular o seno do ângulo.

De acordo com o teorema de Pitágoras, a perna indicada é igual a:

Por isso:

Resposta: 0,96

27440. As bases de um trapézio isósceles são 43 e 73. O cosseno de um ângulo agudo de um trapézio é 5/7. Encontre o lado.

Vamos construir as alturas e anotar os dados na condição de magnitude; a base inferior é dividida nos segmentos 15, 43 e 15:

27441. A base maior de um trapézio isósceles é 34. O lado é 14. O seno de um ângulo agudo é (2√10)/7. Encontre a base menor.

Vamos construir alturas. Para encontrar a base menor, precisamos descobrir a que é igual o segmento que é a perna do triângulo retângulo (indicado em azul):

Podemos calcular a altura do trapézio e então encontrar a perna:

Usando o teorema de Pitágoras calculamos a perna:

Então a base menor é:

27442. As bases de um trapézio isósceles são 7 e 51. A tangente de um ângulo agudo é 5/11. Encontre a altura do trapézio.

Vamos construir as alturas e marcar os dados na condição de magnitude. A base inferior é dividida em segmentos:

O que fazer? Expressamos a tangente do ângulo que conhecemos na base de um triângulo retângulo:

27443. A base menor de um trapézio isósceles é 23. A altura do trapézio é 39. A tangente de um ângulo agudo é 13/8. Encontre uma base maior.

Construímos as alturas e calculamos a que a perna é igual:

Assim a base maior será igual a:

27444. As bases de um trapézio isósceles são 17 e 87. A altura do trapézio é 14. Encontre a tangente do ângulo agudo.

Construímos alturas e marcamos valores conhecidos no esboço. A base inferior é dividida nos segmentos 35, 17, 35:

Por definição de tangente:

77152. As bases de um trapézio isósceles são 6 e 12. O seno de um ângulo agudo de um trapézio é 0,8. Encontre o lado.

Vamos construir um esboço, construir alturas e marcar valores conhecidos, a base maior é dividida nos segmentos 3, 6 e 3:

Vamos expressar a hipotenusa, designada como x, através do cosseno:

Do principal identidade trigonométrica vamos encontrar cosα

Por isso:

27818. O que é igual a ângulo maior trapézio isósceles, se se sabe que a diferença entre os ângulos opostos é 50 0? Dê sua resposta em graus.

Do curso de geometria sabemos que se tivermos duas retas paralelas e uma transversal, a soma dos ângulos unilaterais internos é igual a 180 0. No nosso caso é

A condição diz que a diferença entre ângulos opostos é 50 0, ou seja

À simples pergunta “Como encontrar a altura de um trapézio?” Existem várias respostas, tudo porque podem ser dados valores iniciais diferentes. Portanto, as fórmulas serão diferentes.

Essas fórmulas podem ser memorizadas, mas não são difíceis de derivar. Você só precisa aplicar teoremas aprendidos anteriormente.

Notações usadas em fórmulas

Em todas as notações matemáticas abaixo, essas leituras das letras estão corretas.

Nos dados de origem: todos os lados

Para encontrar a altura de um trapézio no caso geral, você precisará usar a seguinte fórmula:

n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). Número 1.

Não é o mais curto, mas também raramente é encontrado em problemas. Normalmente você pode usar outros dados.

A fórmula que lhe dirá como encontrar a altura de um trapézio isósceles na mesma situação é muito mais curta:

n = √(c 2 - (a - c) 2/4). Número 2.

O problema dá: lados laterais e ângulos na base inferior

Supõe-se que o ângulo α é adjacente ao lado com a designação “c”, respectivamente, o ângulo β é ao lado d. Então a fórmula para encontrar a altura de um trapézio terá a forma geral:

n = c * sen α = d * sen β. Número 3.

Se a figura for isósceles, você poderá usar esta opção:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. Número 4.

Conhecido: diagonais e ângulos entre elas

Normalmente, esses dados são acompanhados por outras quantidades conhecidas. Por exemplo, as bases ou a linha média. Se as razões forem apresentadas, então, para responder à questão de como encontrar a altura de um trapézio, a seguinte fórmula será útil:

n = (d 1 * d 2 * sen γ) / (a ​​​​+ b) ou n = (d 1 * d 2 * sen δ) / (a ​​​​+ b). Número 5.

Isto é para visão geral figuras. Se for dado um isósceles, a notação mudará assim:

n = (d 1 2 * sen γ) / (a ​​​​+ b) ou n = (d 1 2 * sen δ) / (a ​​​​+ b). Número 6.

Quando em uma tarefa estamos falando sobre sobre a linha média de um trapézio, então as fórmulas para encontrar sua altura tornam-se:

n = (d 1 * d 2 * sen γ) / 2m ou n = (d 1 * d 2 * sen δ) / 2m. Número 5a.

n = (d 1 2 * sen γ) / 2m ou n = (d 1 2 * sen δ) / 2m. Número 6a.

Entre as grandezas conhecidas: área com bases ou linha média

Estas são talvez as fórmulas mais curtas e simples para encontrar a altura de um trapézio. Para uma figura arbitrária será assim:

n=2S/(a+b). Número 7.

É a mesma coisa, mas com uma linha média conhecida:

n = S/m. Número 7a.

Curiosamente, mas para um trapézio isósceles as fórmulas serão as mesmas.

Tarefas

Nº 1. Para determinar os ângulos na base inferior do trapézio.

Doença. Dado um trapézio isósceles cujo lado mede 5 cm e suas bases medem 6 e 12 cm.

Solução. Por conveniência, você deve inserir uma designação. Seja A o vértice inferior esquerdo, todo o resto no sentido horário: B, C, D. Assim, a base inferior será designada AD, a superior - BC.

É necessário traçar alturas a partir dos vértices B e C. Os pontos que indicam os extremos das alturas serão designados H 1 e H 2, respectivamente. Como todos os ângulos na figura BCH 1 H 2 são ângulos retos, é um retângulo. Isso significa que o segmento H 1 H 2 tem 6 cm.

Agora precisamos considerar dois triângulos. Eles são iguais porque são retangulares com as mesmas hipotenusas e catetos verticais. Segue-se disso que suas pernas menores são iguais. Portanto, eles podem ser definidos como o quociente da diferença. Este último é obtido subtraindo o superior da base inferior. Será dividido por 2. Ou seja, 12 - 6 deve ser dividido por 2. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).

Agora, a partir do teorema de Pitágoras, você precisa encontrar a altura do trapézio. É necessário encontrar o seno de um ângulo. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Usando o conhecimento de como o seno de um ângulo agudo é encontrado em um triângulo com ângulo reto, podemos escrever a seguinte expressão: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.

Responder. O seno necessário é 0,8.

Nº 2. Para encontrar a altura de um trapézio usando uma tangente conhecida.

Doença. Para um trapézio isósceles, você precisa calcular a altura. Sabe-se que suas bases têm 15 e 28 cm. A tangente do ângulo agudo é dada: 11/13.

Solução. A designação dos vértices é a mesma do problema anterior. Novamente você precisa desenhar duas alturas de cantos superiores. Por analogia com a solução do primeiro problema, é necessário encontrar AN 1 = N 2 D, que é definido como a diferença de 28 e 15 dividida por dois. Após os cálculos verifica-se: 6,5 cm.

Como a tangente é a razão entre dois catetos, podemos escrever a seguinte igualdade: tan α = AH 1 / VN 1 . Além disso, essa proporção é igual a 11/13 (conforme condição). Como AN 1 é conhecido, a altura pode ser calculada: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Cálculos simples dão um resultado de 5,5 cm.

Responder. A altura necessária é de 5,5 cm.

N ° 3. Para calcular a altura usando diagonais conhecidas.

Doença. Sabe-se que o trapézio tem diagonais de 13 e 3 cm. É preciso saber sua altura se a soma das bases for 14 cm.

Solução. Deixe a designação da figura ser a mesma de antes. Vamos supor que AC seja a diagonal menor. Do vértice C você precisa desenhar a altura desejada e designá-la CH.

Agora você precisa fazer algumas construções adicionais. Do canto C você precisa traçar uma linha reta paralela à diagonal maior e encontrar o ponto de sua intersecção com a continuação do lado AD. Este será D 1. O resultado é um novo trapézio, dentro do qual é desenhado um triângulo ASD 1. Isso é o que é necessário para resolver ainda mais o problema.

A altura desejada também estará no triângulo. Portanto, você pode utilizar as fórmulas estudadas em outro tópico. A altura de um triângulo é definida como o produto do número 2 pela área dividida pelo lado ao qual ele foi desenhado. E o lado acaba sendo igual à soma das bases do trapézio original. Isto vem da regra pela qual a construção adicional foi feita.

No triângulo em consideração, todos os lados são conhecidos. Por conveniência, introduzimos a notação x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Agora você pode calcular a área usando o teorema de Heron. O semiperímetro será igual a p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Então a fórmula da área após a substituição dos valores ficará assim: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).

Responder. A altura é 6√10/7 cm.

Nº 4. Para encontrar a altura nas laterais.

Doença. Dado um trapézio, cujos três lados têm 10 cm e o quarto tem 24 cm, você precisa descobrir sua altura.

Solução. Como a figura é isósceles, você precisará da fórmula número 2. Basta substituir todos os valores nela e contar. Isso parecerá assim:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2/4) = √51 (cm).

Responder. n = √51 cm.