Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Magplano para sa isang workshop para sa mga guro ng matematika sa institusyong pang-edukasyon ng lungsod ng Tula sa paksang "Paglutas ng mga gawain sa Unified State Examination sa matematika mula sa mga seksyon: combinatorics, probability theory. Pamamaraan ng Pagtuturo"

Paggastos ng oras: 12 00 ; 15 00

Lokasyon: MBOU "Lyceum No. 1", opisina. No. 8

ako. Paglutas ng mga probabilidad na problema

1. Paglutas ng mga problemang kinasasangkutan ng klasikal na pagpapasiya ng probabilidad

Alam na namin, bilang mga guro, na ang mga pangunahing uri ng problema sa Unified State Exam sa probability theory ay batay sa klasikal na kahulugan ng probabilidad. Tandaan natin ang tinatawag na probabilidad ng isang pangyayari?

Probability ng kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable sa isang naibigay na kaganapan sa kabuuang bilang ng mga kinalabasan.

Ang aming pang-agham at metodolohikal na samahan ng mga guro sa matematika ay nabuo pangkalahatang pamamaraan paglutas ng mga probabilidad na problema. Nais kong ipakita ito sa iyong pansin. Sa pamamagitan ng paraan, ibinahagi namin ang aming karanasan sa trabaho, at sa mga materyales na ibinigay namin sa iyong pansin para sa magkasanib na talakayan ng paglutas ng problema, ibinigay namin ang diagram na ito. Gayunpaman, nais kong ipahayag ito.

Sa aming opinyon, ang pamamaraan na ito ay nakakatulong upang mabilis na lohikal na pag-uri-uriin ang lahat sa mga piraso, at pagkatapos nito ang problema ay maaaring malutas nang mas madali para sa parehong guro at mga mag-aaral.

Kaya, nais kong pag-aralan nang detalyado ang sumusunod na gawain.

Nais kong makipag-usap sa iyo nang magkasama upang ipaliwanag ang pamamaraan, kung paano ihatid sa mga lalaki ang gayong solusyon, kung saan mauunawaan ng mga bata ang karaniwang problemang ito, at pagkatapos ay mauunawaan nila ang mga problemang ito sa kanilang sarili.

Ano ang random na eksperimento sa problemang ito? Ngayon ay kailangan nating ihiwalay ang isang elementarya na kaganapan sa eksperimentong ito. Ano itong elementary event? Ilista natin sila.

Mga tanong tungkol sa gawain?

Mahal na mga kasamahan, ikaw rin ay malinaw na tumingin sa mga probabilidad na problema sa dice. Sa tingin ko kailangan nating pag-aralan ito, dahil mayroon itong sariling mga nuances. Suriin natin ang problemang ito ayon sa pamamaraan na iminungkahi namin sa iyo. Dahil sa bawat panig ng kubo ay mayroong isang numero mula 1 hanggang 6, kung gayon ang mga elementarya na kaganapan ay ang mga numero 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nalaman namin na ang kabuuang bilang ng mga elementarya na kaganapan ay 6. Alamin natin kung aling mga elementarya ang pabor sa kaganapan. Dalawang kaganapan lamang ang pabor sa kaganapang ito - 5 at 6 (dahil sumusunod ito sa kundisyon na 5 at 6 na puntos ay dapat mahulog).

Ipaliwanag na ang lahat ng elementarya na kaganapan ay pantay na posible. Anong mga katanungan ang magkakaroon tungkol sa gawain?

Paano mo malalaman na ang isang barya ay simetriko? Ituwid natin ito, kung minsan ang ilang mga parirala ay nagdudulot ng hindi pagkakaunawaan. Unawain natin ang problemang ito sa konsepto. Alamin natin kasama mo sa eksperimento na inilalarawan kung ano ang maaaring maging resulta ng elementarya. May ideya ba kayong lahat kung saan ang ulo at kung saan ang buntot? Ano ang mga posibleng dropout na opsyon? Mayroon bang iba pang mga kaganapan? Ano ang kabuuang bilang ng mga kaganapan? Ayon sa problema, alam na ang mga ulo ay dumating nang eksaktong isang beses. Nangangahulugan ito na ang kaganapang itoAng mga elementary event mula sa apat na OR at RO na ito ay paborable; hindi ito maaaring mangyari nang dalawang beses. Ginagamit namin ang formula na kinakalkula ang posibilidad ng isang kaganapan. Bilang paalala, ang mga sagot sa Bahagi B ay dapat na isang buong numero o isang decimal.

Ipinapakita namin ito sa interactive na board. Nabasa namin ang problema. Ano ang elementarya na kinalabasan sa eksperimentong ito? Linawin na ang pares ay nakaayos - iyon ay, ang numero ay nahulog sa unang mamatay at sa pangalawang mamatay. Sa anumang problema may mga sandali kung kailan kailangan mong pumili ng mga makatwirang pamamaraan, mga form at ipakita ang solusyon sa anyo ng mga talahanayan, diagram, atbp. Sa problemang ito ay maginhawang gumamit ng gayong mesa. Binibigyan kita ng isang handa na solusyon, ngunit sa panahon ng solusyon ay lumalabas na sa problemang ito ay makatuwiran na gumamit ng isang solusyon sa anyo ng isang talahanayan. Ipinapaliwanag namin kung ano ang ibig sabihin ng talahanayan. Maiintindihan mo kung bakit sinasabi ng mga column ang 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Gumuhit tayo ng parisukat. Ang mga linya ay tumutugma sa mga resulta ng unang paghagis - mayroong anim sa kanila, dahil ang mamatay ay may anim na panig. Ganun din ang mga column. Sa bawat cell isinulat namin ang kabuuan ng mga puntos na iginuhit. Ipinapakita namin ang nakumpletong talahanayan. Kulayan natin ang mga cell kung saan ang kabuuan ay katumbas ng walo (dahil kinakailangan ito sa kondisyon).

Naniniwala ako na ang susunod na problema, pagkatapos suriin ang mga nauna, ay maaaring ibigay sa mga bata upang malutas sa kanilang sarili.

Sa mga sumusunod na problema ay hindi na kailangang isulat ang lahat ng elementarya na kinalabasan. Ito ay sapat na bilangin lamang ang kanilang numero.

(Walang solusyon) Ibinigay ko ang problemang ito sa mga lalaki upang malutas sa kanilang sarili. Algorithm para sa paglutas ng problema

1. Tukuyin kung ano ang binubuo ng isang random na eksperimento at kung ano ang isang random na kaganapan.

2. Hanapin ang kabuuang bilang ng mga kaganapan sa elementarya.

3. Hanapin ang bilang ng mga kaganapan na paborable sa kaganapang tinukoy sa pahayag ng problema.

4. Hanapin ang posibilidad ng isang kaganapan gamit ang formula.

Maaaring tanungin ang mga mag-aaral ng isang katanungan: kung ang 1000 na baterya ay ibinebenta, at kabilang sa kanila ang 6 ay may sira, kung gayon ang napiling baterya ay tinutukoy ng kung paano? Ano ang nasa ating gawain? Susunod na itatanong ko ang tanong ng paghahanap kung ano ang ginagamit bilang isang numero ditoat iminumungkahi kong hanapin mo itonumero. Sunod kong itatanong, ano ang kaganapan dito? Ilang accumulator ang nag-aambag sa kaganapan? Susunod, gamit ang formula, kinakalkula namin ang posibilidad na ito.

Dito maaaring mag-alok ang mga lalaki ng pangalawang solusyon. Talakayin natin kung ano ang pamamaraang ito?

1. Anong kaganapan ang maaari nating isaalang-alang ngayon?

2. Paano mahahanap ang posibilidad ng isang naibigay na kaganapan?

Kailangang masabihan ang mga lalaki tungkol sa mga formula na ito. Ang mga ito ay ang mga sumusunod

Ang ikawalong problema ay maaaring ihandog sa mga bata sa kanilang sarili, dahil ito ay katulad ng ikaanim na problema. Maaari itong ihandog sa kanila bilang pansariling gawain, o sa isang card na malapit sa board.

Ang gawaing ito maaaring malutas kaugnay ng Olympics, na kasalukuyang nagaganap. Sa kabila ng katotohanan na ang iba't ibang mga kaganapan ay kasangkot sa mga gawain, ang mga gawain ay tipikal.

2. Ang pinakasimpleng mga panuntunan at formula para sa pagkalkula ng mga probabilidad (kabaligtaran ng mga kaganapan, kabuuan ng mga kaganapan, produkto ng mga kaganapan)

Ito ay isang gawain mula sa GAMITIN ang koleksyon. Ipinapakita namin ang solusyon sa pisara. Anong mga tanong ang dapat nating itanong sa mga mag-aaral upang maunawaan ang problemang ito?

1. Ilang makina ang naroon? Kung mayroong dalawang makina, pagkatapos ay mayroon nang dalawang kaganapan. Nagtatanong ako sa mga bata - ano ang magiging kaganapan?? Ano ang magiging pangalawang kaganapan?

2. ay ang posibilidad ng isang kaganapan. Hindi namin kailangang kalkulahin ito, dahil ito ay ibinigay sa kondisyon. Ayon sa mga kondisyon ng problema, ang posibilidad na "maubos ang kape sa parehong mga makina" ay 0.12. May event A, may event B. At may lalabas na bagong event? Nagtatanong ako sa mga bata - alin? Ito ang kaganapan kapag ang parehong mga makina ay naubusan ng kape. Sa kasong ito, sa teorya ng posibilidad, ito ay isang bagong kaganapan, na tinatawag na intersection ng dalawang kaganapan A at B at itinalaga sa ganitong paraan.

Gamitin natin ang probability addition formula. Ang formula ay ang mga sumusunod

Ibinibigay namin ito sa iyo sa reference na materyal at ang mga lalaki ay maaaring bigyan ng formula na ito. Pinapayagan ka nitong mahanap ang posibilidad ng isang kabuuan ng mga kaganapan. Tinanong kami ng posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan, ang posibilidad ng kung saan ay matatagpuan gamit ang formula.

Ang Problema 13 ay gumagamit ng konsepto ng isang produkto ng mga kaganapan, ang pormula para sa paghahanap ng posibilidad na ibinigay sa apendiks.

3. Mga problema sa paggamit ng kahoy posibleng mga opsyon

Batay sa mga kondisyon ng problema, madaling gumuhit ng isang diagram at hanapin ang ipinahiwatig na mga probabilidad.

Sa tulong ng kung saan teoretikal na materyal Natalakay mo na ba ang paglutas ng mga ganitong problema sa mga mag-aaral? Gumamit ka na ba ng isang posibleng puno o iba pang paraan upang malutas ang mga ganitong problema? Naibigay mo na ba ang konsepto ng mga graph? Sa ikalimang o ikaanim na baitang, ang mga bata ay may ganitong mga problema, ang pagsusuri kung saan ay nagbibigay ng konsepto ng mga graph.

Nais kong tanungin ka, napag-isipan mo ba at ng iyong mga mag-aaral na gumamit ng isang puno ng mga posibleng opsyon kapag nilulutas ang mga probabilidad na problema? Ang katotohanan ay hindi lamang ang Unified State Exam ang may ganitong mga gawain, ngunit medyo kumplikadong mga problema ang lumitaw na ngayon ay malulutas natin.

Talakayin natin sa iyo ang pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang problema - kung ito ay kasabay ng aking pamamaraan, tulad ng ipinaliwanag ko sa mga lalaki, kung gayon mas madali para sa akin na magtrabaho sa iyo, kung hindi, pagkatapos ay tutulungan kitang harapin ang problemang ito.

Pag-usapan natin ang mga pangyayari. Anong mga kaganapan sa problema 17 ang maaaring ihiwalay?

Kapag nagtatayo ng isang puno sa isang eroplano, ang isang punto ay itinalaga, na tinatawag na ugat ng puno. Susunod, sisimulan nating isaalang-alang ang mga kaganapanAt. Gagawa tayo ng segment (sa probability theory tinatawag itong branch). Ang kondisyon ay nagsasaad na ang unang pabrika ay gumagawa ng 30% mga mobile phone ang brand na ito (alin? Yung pino-produce nila), which means in sa sandaling ito Tanong ko sa mga estudyante, ano ang posibilidad na ang unang pabrika ay makagawa ng mga telepono ng tatak na ito, ang mga ginawa nila? Dahil ang kaganapan ay ang paglabas ng isang telepono sa unang pabrika, ang posibilidad ng kaganapang ito ay 30% o 0.3. Ang natitirang mga telepono ay ginawa sa pangalawang pabrika - ginagawa namin ang pangalawang segment, at ang posibilidad ng kaganapang ito ay 0.7.

Tinatanong ang mga mag-aaral: anong uri ng telepono ang maaaring gawin ng unang pabrika? May depekto man o wala. Ano ang posibilidad na ang isang telepono na ginawa ng unang pabrika ay may depekto? Sinasabi ng kondisyon na ito ay katumbas ng 0.01. Tanong: Ano ang posibilidad na ang teleponong ginawa ng unang pabrika ay walang depekto? Dahil ang kaganapang ito ay kabaligtaran sa ibinigay, ang posibilidad nito ay pantay.

Kailangan mong hanapin ang posibilidad na ang telepono ay may depekto. Maaaring mula sa unang pabrika, o maaaring mula sa pangalawa. Pagkatapos ay ginagamit namin ang formula para sa pagdaragdag ng mga probabilidad at nalaman na ang buong posibilidad ay ang kabuuan ng mga probabilidad na ang teleponong may depekto ay mula sa unang pabrika, at ang teleponong may depekto ay mula sa pangalawang pabrika. Hahanapin natin ang posibilidad na ang telepono ay may depekto at ginawa sa unang pabrika gamit ang product of probabilities formula, na ibinigay sa appendix.

4. Isa sa pinaka kumplikadong mga gawain mula sa Unified State Exam bank para sa posibilidad

Tingnan natin, halimbawa, ang No. 320199 mula sa FIPI Task Bank. Isa ito sa pinakamahirap na gawain sa B6.

Upang makapasok sa instituto para sa espesyalidad na "Linguistics", ang aplikante na si Z. ay dapat na makaiskor ng hindi bababa sa 70 puntos sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado sa bawat isa sa tatlong paksa - matematika, wikang Ruso at isang wikang banyaga. Upang magpatala sa espesyalidad na "Commerce", kailangan mong makakuha ng hindi bababa sa 70 puntos sa bawat isa sa tatlong paksa - matematika, wikang Ruso at pag-aaral sa lipunan.

Ang posibilidad na ang aplikanteng Z. ay makakatanggap ng hindi bababa sa 70 puntos sa matematika ay 0.6, sa Russian - 0.8, sa Wikang banyaga- 0.7 at sa araling panlipunan - 0.5.

Hanapin ang posibilidad na si Z. ay makakapag-enroll sa kahit isa sa dalawang nabanggit na specialty.

Tandaan na ang problema ay hindi nagtatanong kung ang isang aplikanteng nagngangalang Z. ay mag-aaral ng parehong linggwistika at komersiyo nang sabay-sabay at makakatanggap ng dalawang diploma. Dito kailangan nating hanapin ang posibilidad na makapag-enroll si Z. sa hindi bababa sa isa sa dalawang specialty na ito - iyon ay, makakapuntos siya ng kinakailangang bilang ng mga puntos.

Upang makapasok sa hindi bababa sa isa sa dalawang espesyalidad, ang Z. ay dapat na makaiskor ng hindi bababa sa 70 puntos sa matematika. At sa Russian. At gayundin - araling panlipunan o dayuhan.

Ang posibilidad na makaiskor siya ng 70 puntos sa matematika ay 0.6.

Ang posibilidad ng mga puntos ng pagmamarka sa matematika at Ruso ay pantay.

Harapin natin ang mga dayuhan at araling panlipunan. Ang mga opsyon na nababagay sa amin ay kapag ang aplikante ay nakakuha ng mga puntos sa araling panlipunan, dayuhang pag-aaral, o pareho. Ang opsyon ay hindi angkop kapag hindi siya nakakuha ng anumang puntos sa alinman sa wika o "lipunan". Nangangahulugan ito na ang posibilidad na makapasa sa araling panlipunan o wikang banyaga na may hindi bababa sa 70 puntos ay pantay. Bilang resulta, pantay ang posibilidad na makapasa sa matematika, Russian at social studies o dayuhan

Ito ang sagot.

II . Paglutas ng mga problemang kombinatorial

1. Bilang ng mga kumbinasyon at factorial

Tingnan natin sandali ang teoretikal na materyal.

Pagpapahayagn ! binabasa bilang "en-factorial" at nagsasaad ng produkto ng lahat natural na mga numero mula 1 hanggangn kasama:n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·n .

Bilang karagdagan, sa matematika, sa pamamagitan ng kahulugan, naniniwala sila na 0! = 1. Ang ganitong expression ay bihira, ngunit nangyayari pa rin sa mga problema sa probability theory.

Kahulugan

Hayaang magkaroon ng mga bagay (mga lapis, kendi, anuman) kung saan mo gustong pumili ng eksaktong magkakaibang mga bagay. Pagkatapos ay tinawag ang bilang ng mga pagpipilian para sa naturang pagpipilianbilang ng mga kumbinasyon mula sa mga elemento sa pamamagitan ng. Ang numerong ito ay itinalaga at kinakalkula gamit ang isang espesyal na formula.

Pagtatalaga

Ano ang ibinibigay sa atin ng formula na ito? Sa katunayan, halos walang seryosong problema ang malulutas kung wala ito.

Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, tingnan natin ang ilang simpleng kombinatoryal na problema:

Gawain

Ang bartender ay may 6 na uri ng green tea. Upang magsagawa ng seremonya ng tsaa, kailangan mong maghatid ng eksaktong 3 iba't ibang uri ng green tea. Sa ilang paraan maaaring punan ng bartender ang isang order?

Solusyon

Ang lahat ay simple dito: mayroonn = 6 na varieties na mapagpipiliank = 3 uri. Ang bilang ng mga kumbinasyon ay matatagpuan gamit ang formula:

Sagot

Palitan sa formula. Hindi natin kayang lutasin ang lahat ng problema, ngunit karaniwang mga gawain Isinulat namin ang mga ito at ipinakita ang mga ito sa iyong pansin.

Gawain

Sa isang grupo ng 20 mag-aaral, kailangan mong pumili ng 2 kinatawan na magsasalita sa kumperensya. Sa ilang paraan ito magagawa?

Solusyon

Muli, iyon lang ang mayroon tayon = 20 mag-aaral, ngunit kailangan mong pumilik = 2 mag-aaral. Hanapin ang bilang ng mga kumbinasyon:

Pakitandaan: ang mga kadahilanan na kasama sa iba't ibang mga factorial ay minarkahan ng pula. Ang mga multiplier na ito ay maaaring mabawasan nang walang sakit at sa gayon ay makabuluhang bawasan ang kabuuang halaga ng mga kalkulasyon.

Sagot

190

Gawain

17 server na may iba't ibang mga depekto ang naihatid sa bodega, na nagkakahalaga ng 2 beses na mas mababa kaysa sa mga normal na server. Bumili ang direktor ng 14 na naturang server para sa paaralan, at ginamit ang perang naipon sa halagang 200,000 rubles para makabili ng iba pang kagamitan. Sa ilang paraan makakapili ang direktor ng mga may sira na server?

Solusyon

Ang problema ay naglalaman ng napakaraming dagdag na data na maaaring nakalilito. Karamihan mahahalagang katotohanan: nandiyan ang lahatn = 17 server, at kailangan ng direktork = 14 na server. Binibilang namin ang bilang ng mga kumbinasyon:

Ang mga multiplier na binabawasan ay muling ipinahiwatig sa pula. Sa kabuuan, mayroong 680 na kumbinasyon. Sa pangkalahatan, maraming mapagpipilian ang direktor.

Sagot

680

Nakakalito ang gawaing ito dahil may dagdag na data sa gawaing ito. Inililigaw nila ang maraming estudyante sa paggawa ng tamang desisyon. Mayroong 17 server sa kabuuan, at ang direktor ay kailangang pumili ng 14. Ang pagpapalit sa formula, makakakuha tayo ng 680 na kumbinasyon.

2. Batas ng pagpaparami

Kahulugan

Batas ng pagpaparami sa combinatorics: ang bilang ng mga kumbinasyon (paraan, kumbinasyon) sa mga independiyenteng hanay ay pinarami.

Sa madaling salita, let there beA mga paraan upang maisagawa ang isang aksyon atB mga paraan upang magsagawa ng isa pang aksyon. Ang landas din ay ang mga pagkilos na ito ay independyente, i.e. ay hindi nauugnay sa isa't isa sa anumang paraan. Pagkatapos ay mahahanap mo ang bilang ng mga paraan upang maisagawa ang una at pangalawang pagkilos gamit ang formula:C = A · B .

Gawain

Ang Petya ay mayroong 4 na barya na 1 ruble at 2 barya na 10 rubles. Si Petya, nang hindi tumitingin, ay kumuha mula sa kanyang bulsa ng 1 barya na may halagang 1 ruble at isa pang 1 barya na may halagang 10 rubles upang bumili ng panulat para sa 11 rubles. Sa ilang paraan niya mapipili ang mga baryang ito?

Solusyon

Kaya, unang nakukuha ni Petyak = 1 coin mula san = 4 na magagamit na mga barya na may halaga ng mukha na 1 ruble. Ang bilang ng mga paraan upang gawin ito ayC 4 1 = ... = 4.

Pagkatapos ay dumukot muli si Petya sa kanyang bulsa at inilabask = 1 coin mula san = 2 magagamit na mga barya na may halaga ng mukha na 10 rubles. Dito ang bilang ng mga kumbinasyon ay katumbas ngC 2 1 = ... = 2.

Dahil ang mga pagkilos na ito ay independyente, ang kabuuang bilang ng mga opsyon ay katumbas ngC = 4 · 2 = 8.

Sagot

Gawain

Mayroong 8 puting bola at 12 itim na bola sa isang basket. Sa ilang paraan makakakuha ka ng 2 puting bola at 2 itim na bola mula sa basket na ito?

Solusyon

Kabuuan sa cartn = 8 puting bola na mapagpipiliank = 2 bola. Pwedeng magawaC 8 2 = ... = 28 iba't ibang paraan.

Bilang karagdagan, naglalaman ang cartn = 12 itim na bola, kung saan dapat kang pumili mulik = 2 bola. Ang bilang ng mga paraan upang gawin ito ayC 12 2 = ... = 66.

Dahil ang pagpili ng isang puting bola at ang pagpili ng isang itim na bola ay independiyenteng mga kaganapan, ang kabuuang bilang ng mga kumbinasyon ay kinakalkula ayon sa batas ng pagpaparami:C = 28 · 66 = 1848. Gaya ng nakikita mo, maaaring mayroong napakaraming pagpipilian.

Sagot

1848

Ang batas ng multiplikasyon ay nagpapakita kung gaano karaming mga paraan ang isang kumplikadong aksyon ay maaaring gawin na binubuo ng dalawa o higit pang mga simple - sa kondisyon na ang mga ito ay independiyenteng lahat.

3. Batas ng karagdagan

Kung ang batas ng multiplikasyon ay gumagana sa "nakahiwalay" na mga kaganapan na hindi nakasalalay sa isa't isa, kung gayon sa batas ng karagdagan ang kabaligtaran ay totoo. Nakikitungo ito sa mga kaganapang hindi magkakasabay na nangyayari nang sabay-sabay.

Halimbawa, "Si Petya ay kumuha ng 1 barya mula sa kanyang bulsa" at "Petya ay hindi naglabas ng isang barya mula sa kanyang bulsa" ay kapwa eksklusibong mga kaganapan, dahil imposibleng kumuha ng isang barya nang hindi kumukuha ng anuman.

Gayundin, ang mga kaganapang "Random na bola ay puti" at "Random na bola ay itim" ay kapwa eksklusibo.

Kahulugan

Batas ng karagdagan sa combinatorics: kung ang dalawang magkaparehong eksklusibong aksyon ay maaaring maisagawaA AtB mga pamamaraan nang naaayon, kung gayon ang mga kaganapang ito ay maaaring pagsamahin. Ito ay lilikha ng isang bagong kaganapan na maaari mong isagawaX = A + B mga paraan.

Sa madaling salita, kapag pinagsasama-sama ang parehong eksklusibong mga aksyon (mga kaganapan, mga pagpipilian), ang bilang ng kanilang mga kumbinasyon ay nagdaragdag.

Masasabi nating ang batas ng pagdaragdag ay isang lohikal na "OR" sa combinatorics, kapag nasiyahan tayo sa alinman sa mga opsyon na kapwa eksklusibo. Sa kabaligtaran, ang batas ng multiplikasyon ay isang lohikal na "AT", kung saan kami ay interesado sa sabay-sabay na pagpapatupad ng una at pangalawang aksyon.

Gawain

Mayroong 9 na itim na bola at 7 pulang bola sa isang basket. Naglabas ang batang lalaki ng 2 bola na may parehong kulay. Sa ilang paraan niya ito magagawa?

Solusyon

Kung magkapareho ang kulay ng mga bola, kakaunti ang mga pagpipilian: pareho silang itim o pula. Malinaw, ang mga pagpipiliang ito ay kapwa eksklusibo.

Sa unang kaso, ang batang lalaki ay kailangang pumilik = 2 itim na bola mula san = 9 ang magagamit. Ang bilang ng mga paraan upang gawin ito ayC 9 2 = ... = 36.

Katulad nito, sa pangalawang kaso pipiliin namink = 2 pulang bola mula san = 7 posible. Ang bilang ng mga paraan ay pantayC 7 2 = ... = 21.

Ito ay nananatili upang mahanap ang kabuuang bilang ng mga paraan. Dahil ang mga opsyon na may itim at pulang bola ay kapwa eksklusibo, ayon sa batas ng karagdagan mayroon tayo:X = 36 + 21 = 57.

Sagot57

Gawain

Ang stall ay nagbebenta ng 15 rosas at 18 tulips. Isang mag-aaral sa ika-9 na baitang ang gustong bumili ng 3 bulaklak para sa kanyang kaklase, at dapat pareho ang lahat ng bulaklak. Sa ilang paraan siya makakagawa ng gayong palumpon?

Solusyon

Ayon sa kondisyon, ang lahat ng mga bulaklak ay dapat na pareho. Ibig sabihin, 3 rosas o 3 tulips ang bibilhin namin. Anyway,k = 3.

Sa kaso ng mga rosas kailangan mong pumili mula san = 15 mga pagpipilian, kaya ang bilang ng mga kumbinasyon ayC 15 3 = ... = 455. Para sa tulipsn = 18, at ang bilang ng mga kumbinasyon ayC 18 3 = ... = 816.

Dahil ang mga rosas at tulips ay magkaparehong eksklusibong mga opsyon, nagtatrabaho kami ayon sa batas ng karagdagan. Nakukuha namin ang kabuuang bilang ng mga opsyonX = 455 + 816 = 1271. Ito ang sagot.

Sagot

1271

Mga karagdagang tuntunin at paghihigpit

Kadalasan, ang teksto ng problema ay naglalaman ng mga karagdagang kundisyon na nagpapataw ng mga makabuluhang paghihigpit sa mga kumbinasyon ng interes sa amin. Paghambingin ang dalawang pangungusap:

Mayroong isang set ng 5 panulat sa iba't ibang kulay. Sa ilang paraan maaari kang pumili ng 3 panulat upang balangkasin ang isang guhit?

Mayroong isang set ng 5 panulat sa iba't ibang kulay. Sa ilang paraan maaari kang pumili ng 3 panulat para sa pagbalangkas ng isang guhit kung ang pula ay dapat na kabilang sa mga ito?

Sa unang kaso, may karapatan kaming kumuha ng anumang mga kulay na gusto namin - walang karagdagang mga paghihigpit. Sa pangalawang kaso, ang lahat ay mas kumplikado, dahil kailangan nating pumili ng isang pulang panulat (pinapalagay na ito ay nasa orihinal na hanay).

Malinaw, ang anumang mga paghihigpit ay makabuluhang binabawasan ang panghuling bilang ng mga pagpipilian. Well, paano mo mahahanap ang bilang ng mga kumbinasyon sa kasong ito? Tandaan lamang ang panuntunang ito:

Hayaang magkaroon ng isang set ngn mga elemento kung saan pipiliink mga elemento. Kapag nagpapakilala ng mga karagdagang paghihigpit sa numeron Atk bawasan ng parehong halaga.

Sa madaling salita, kung sa 5 panulat kailangan mong pumili ng 3, at isa sa mga ito ay dapat na pula, pagkatapos ay kailangan mong pumili mula san = 5 − 1 = 4 na elemento bawat isak = 3 − 1 = 2 elemento. Kaya sa halip naC 5 3 dapat bilanginC 4 2 .

Ngayon tingnan natin kung paano gumagana ang panuntunang ito tiyak na mga halimbawa:

Gawain

Sa isang grupo ng 20 mag-aaral, kabilang ang 2 mahuhusay na mag-aaral, dapat kang pumili ng 4 na tao na lalahok sa kumperensya. Sa ilang paraan mapipili ang apat na ito kung ang mahuhusay na mag-aaral ay kailangang makapunta sa kumperensya?

Solusyon

Kaya mayroong isang grupo ngn = 20 mag-aaral. Ngunit kailangan mo lamang pumilik = 4 sa kanila. Kung walang karagdagang mga paghihigpit, ang bilang ng mga opsyon ay magiging katumbas ng bilang ng mga kumbinasyonC 20 4 .

Gayunpaman, binigyan kami ng karagdagang kundisyon: 2 mahuhusay na mag-aaral ay dapat kabilang sa apat na ito. Kaya, ayon sa panuntunan sa itaas, binabawasan namin ang mga numeron Atk ng 2. Mayroon kaming:

Sagot

153

Gawain

Si Petya ay may 8 barya sa kanyang bulsa, kung saan 6 ay ruble coins at 2 ay 10 ruble coins. Inilipat ni Petya ang ilang tatlong barya sa isa pang bulsa. Sa ilang paraan magagawa ito ni Petya kung alam na ang parehong 10 ruble na barya ay napunta sa kabilang bulsa?

Solusyon

Kaya meronn = 8 barya. Lumipat si Petyak = 3 barya, 2 nito ay sampung ruble na barya. Out of 3 coin na ililipat, 2 na ang naayos kaya ang numbersn Atk dapat bawasan ng 2. Mayroon kaming:

Sagot

III . Paglutas ng mga pinagsamang problema gamit ang mga formula ng combinatorics at probability theory

Gawain

Si Petya ay mayroong 4 na ruble na barya at 2 ruble na barya sa kanyang bulsa. Si Petya, nang hindi tumitingin, ay naglipat ng ilang tatlong barya sa isa pang bulsa. Hanapin ang posibilidad na ang dalawang-ruble na barya ay nasa parehong bulsa.

Solusyon

Ipagpalagay na ang parehong dalawang-ruble na barya ay talagang napunta sa parehong bulsa, pagkatapos ay posible ang 2 pagpipilian: alinman sa Petya ay hindi inilipat ang mga ito, o inilipat niya ang pareho nang sabay-sabay.

Sa unang kaso, kapag ang dalawang-ruble na barya ay hindi inilipat, kakailanganin mong ilipat ang 3 ruble na barya. Dahil mayroong 4 na mga barya sa kabuuan, ang bilang ng mga paraan upang gawin ito ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng 4 sa pamamagitan ng 3:C 4 3 .

Sa pangalawang kaso, kapag ang dalawang ruble na barya ay nailipat, isa pang ruble coin ang kailangang ilipat. Dapat itong mapili mula sa 4 na umiiral na, at ang bilang ng mga paraan upang gawin ito ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng 4 by 1:C 4 1 .

Ngayon, hanapin natin ang kabuuang bilang ng mga paraan upang muling ayusin ang mga barya. Dahil mayroong 4 + 2 = 6 na barya sa kabuuan, at kailangan mo lamang pumili ng 3 sa mga ito, ang kabuuang bilang ng mga opsyon ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng 6 sa 3:C 6 3 .

Ito ay nananatili upang mahanap ang posibilidad:

Sagot

0,4

Ipakita sa interactive na whiteboard. Bigyang-pansin ang katotohanan na, ayon sa mga kondisyon ng problema, si Petya, nang hindi tumitingin, ay naglagay ng tatlong barya sa isang bulsa. Sa pagsagot sa tanong na ito, maaari nating ipagpalagay na ang dalawang dalawang-ruble na barya ay talagang nanatili sa isang bulsa. Sumangguni sa formula para sa pagdaragdag ng mga probabilidad. Ipakita muli ang formula.

Gawain

Si Petya ay mayroong 2 barya na 5 rubles at 4 na barya na 10 rubles sa kanyang bulsa. Si Petya, nang hindi tumitingin, ay naglipat ng mga 3 barya sa isa pang bulsa. Hanapin ang posibilidad na ang limang-ruble na barya ay nasa magkaibang bulsa na ngayon.

Solusyon

Upang mapanatili ang limang ruble na barya sa iba't ibang mga bulsa, kailangan mong ilipat ang isa lamang sa mga ito. Ang bilang ng mga paraan upang gawin ito ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng 2 by 1:C 2 1 .

Dahil naglipat si Petya ng 3 barya sa kabuuan, kakailanganin niyang maglipat ng 2 pang barya na 10 rubles bawat isa. Ang Petya ay may 4 na gayong mga barya, kaya ang bilang ng mga paraan ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng 4 sa pamamagitan ng 2:C 4 2 .

Ito ay nananatili upang malaman kung gaano karaming mga pagpipilian ang mayroon upang ilipat ang 3 mga barya sa 6 na magagamit. Ang dami na ito, tulad ng sa nakaraang problema, ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng 6 by 3:C 6 3 .

Nahanap namin ang posibilidad:

SA huling hakbang pinarami namin ang bilang ng mga paraan upang pumili ng dalawang-ruble na barya at ang bilang ng mga paraan upang pumili ng sampung-ruble na barya, dahil ang mga kaganapang ito ay independyente.

Sagot

0,6

Kaya, ang mga problema sa barya ay may sariling probability formula. Ito ay napakasimple at mahalaga na maaari itong mabalangkas bilang isang teorama.

Teorama

Hayaang ihagis ang baryan minsan. Pagkatapos ang posibilidad na ang mga ulo ay eksaktong mapuntak beses, ay matatagpuan gamit ang formula:

saanC n k - bilang ng mga kumbinasyon ngn mga elemento sa pamamagitan ngk , na kinakalkula ng formula:

Kaya, upang malutas ang problema sa barya, kailangan mo ng dalawang numero: ang bilang ng mga tosses at ang bilang ng mga ulo. Kadalasan, ang mga numerong ito ay direktang ibinibigay sa teksto ng problema. Bukod dito, hindi mahalaga kung ano ang eksaktong binibilang mo: mga buntot o ulo. Magiging pareho ang sagot.

Sa unang sulyap, ang teorama ay tila napakahirap. Ngunit sa sandaling magsanay ka nang kaunti, hindi mo na gugustuhing bumalik sa karaniwang algorithm na inilarawan sa itaas.

Ang barya ay inihagis ng apat na beses. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng mga ulo nang eksaktong tatlong beses.

Solusyon

Ayon sa problema, ang kabuuang throws ayn = 4. Kinakailangang bilang ng mga agila:k = 3. Kapalitn Atk sa formula:

Madali mong bilangin ang bilang ng mga ulo:k = 4 − 3 = 1. Magiging pareho ang sagot.

Sagot

0,25

Gawain [ Workbook“Pinag-isang State Examination 2012 sa matematika. Mga Problema B6"]

Ang barya ay inihagis ng tatlong beses. Hanapin ang posibilidad na hindi ka magkakaroon ng mga ulo.

Solusyon

Sinusulat muli ang mga numeron Atk . Dahil ang barya ay inihagis ng 3 beses,n = 3. At dahil hindi dapat magkaroon ng mga ulo,k = 0. Ito ay nananatiling palitan ang mga numeron Atk sa formula:

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na 0! = 1 ayon sa kahulugan. kaya langC 3 0 = 1.

Sagot

0,125

Problema [Trial Unified State Exam in Mathematics 2012. Irkutsk]

Sa isang random na eksperimento, ang isang simetriko na barya ay inihahagis ng 4 na beses. Hanapin ang posibilidad na ang mga ulo ay lilitaw nang mas maraming beses kaysa sa mga buntot.

Solusyon

Upang magkaroon ng mas maraming ulo kaysa sa mga buntot, dapat silang lumitaw nang 3 beses (pagkatapos ay magkakaroon ng 1 buntot) o 4 na beses (pagkatapos ay walang mga buntot). Hanapin natin ang posibilidad ng bawat isa sa mga kaganapang ito.

Hayaanp 1 - ang posibilidad na lumitaw ang mga ulo ng 3 beses. Pagkataposn = 4, k = 3. Mayroon kaming:

Ngayon hanapin natinp 2 - ang posibilidad na ang mga ulo ay lilitaw sa lahat ng 4 na beses. Sa kasong iton = 4, k = 4. Mayroon kaming:

Upang makuha ang sagot, ang natitira lamang ay ang pagdaragdag ng mga probabilidadp 1 Atp 2 . Tandaan: maaari ka lamang magdagdag ng mga probabilidad para sa mga kaganapang kapwa eksklusibo. Meron kami:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Sagot

0,3125

Upang makatipid ng iyong oras kapag naghahanda kasama ang mga lalaki para sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado at Pagsusuri ng Estado, ipinakita namin ang mga solusyon sa marami pang mga problema na maaari mong piliin at lutasin kasama ang mga lalaki.

Mga materyales ng GIA, Pinag-isang Estado na Pagsusuri ng iba't-ibang taon, aklat-aralin at mga website.

IV. Sangguniang materyal

Maaaring hatiin sa 3 grupo ang mga pangyayaring nangyayari sa realidad o sa ating imahinasyon. Ito ang mga tiyak na kaganapan na tiyak na mangyayari, imposibleng mga kaganapan at random na mga kaganapan. Ang teorya ng probabilidad ay nag-aaral ng mga random na kaganapan, i.e. mga pangyayaring maaaring mangyari o hindi. Ang artikulong ito ay maglalahad sa sa madaling sabi probability theory formula at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa probability theory na nasa gawain 4 ng Unified State Exam sa mathematics (profile level).

Bakit kailangan natin ng probability theory?

Sa kasaysayan, ang pangangailangan na pag-aralan ang mga problemang ito ay lumitaw noong ika-17 siglo na may kaugnayan sa pag-unlad at propesyonalisasyon pagsusugal at ang paglitaw ng mga casino. Ito ay isang tunay na kababalaghan na nangangailangan ng sarili nitong pag-aaral at pananaliksik.

Ang paglalaro ng mga baraha, dice, at roulette ay lumikha ng mga sitwasyon kung saan maaaring mangyari ang alinman sa isang limitadong bilang ng mga pantay na posibleng kaganapan. Nagkaroon ng pangangailangan na magbigay ng mga numerical na pagtatantya ng posibilidad ng paglitaw ng isang partikular na kaganapan.

Noong ika-20 siglo, naging malinaw na ang tila walang kuwentang agham na ito ay may mahalagang papel sa pag-unawa sa mga pangunahing proseso na nagaganap sa microcosm. Nilikha modernong teorya mga probabilidad.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad

Ang object ng pag-aaral ng probability theory ay ang mga pangyayari at ang kanilang mga probabilities. Kung kumplikado ang isang kaganapan, maaari itong hatiin sa mga simpleng bahagi, ang mga posibilidad na madaling mahanap.

Ang kabuuan ng mga kaganapan A at B ay tinatawag na kaganapan C, na binubuo sa katotohanan na alinman sa kaganapan A, o kaganapan B, o mga kaganapan A at B naganap nang sabay-sabay.

Ang produkto ng mga kaganapan A at B ay isang kaganapan C, na nangangahulugan na ang parehong kaganapan A at kaganapan B ay naganap.

Ang mga kaganapan A at B ay tinatawag na hindi magkatugma kung hindi sila maaaring mangyari nang sabay-sabay.

Ang isang pangyayari A ay tinatawag na imposible kung hindi ito mangyayari. Ang ganitong kaganapan ay ipinahiwatig ng simbolo.

Ang isang kaganapan A ay tinatawag na tiyak kung ito ay tiyak na mangyayari. Ang ganitong kaganapan ay ipinahiwatig ng simbolo.

Hayaang maiugnay ang bawat kaganapan A sa isang numerong P(A). Ang numerong P(A) na ito ay tinatawag na probabilidad ng kaganapan A kung ang mga sumusunod na kondisyon ay natutugunan sa sulat na ito.

Ang isang mahalagang espesyal na kaso ay ang sitwasyon kung saan mayroong pantay na posibilidad na mga resulta ng elementarya, at ang arbitraryo ng mga kinalabasan na ito ay bumubuo ng mga kaganapan A. Sa kasong ito, ang posibilidad ay maaaring ilagay gamit ang formula. Ang posibilidad na ipinakilala sa ganitong paraan ay tinatawag na klasikal na posibilidad. Maaari itong mapatunayan na sa kasong ito ang mga katangian 1-4 ay nasiyahan.

Ang mga problema sa teorya ng probabilidad na lumalabas sa Unified State Examination sa matematika ay pangunahing nauugnay sa classical na probabilidad. Ang ganitong mga gawain ay maaaring napakasimple. Partikular na simple ang mga problema sa probability theory in mga pagpipilian sa demo. Madaling kalkulahin ang bilang ng mga kanais-nais na resulta; ang bilang ng lahat ng mga kinalabasan ay nakasulat mismo sa kundisyon.

Nakukuha namin ang sagot gamit ang formula.

Isang halimbawa ng problema mula sa Unified State Examination sa matematika sa pagtukoy ng probabilidad

Mayroong 20 pie sa mesa - 5 may repolyo, 7 may mansanas at 8 may kanin. Gustong kunin ni Marina ang pie. Ano ang posibilidad na kunin niya ang rice cake?

Solusyon.

Mayroong 20 pantay na posibleng resulta sa elementarya, iyon ay, maaaring kunin ni Marina ang alinman sa 20 pie. Ngunit kailangan nating tantiyahin ang posibilidad na kunin ni Marina ang rice pie, iyon ay, kung saan ang A ang pipiliin ng rice pie. Nangangahulugan ito na ang bilang ng mga kanais-nais na resulta (mga pagpipilian ng mga pie na may kanin) ay 8 lamang. Pagkatapos ay matutukoy ang posibilidad ng formula:

Independent, Opposite at Arbitrary Events

Gayunpaman, sa bukas na garapon Ang mas kumplikadong mga gawain ay nagsimulang makatagpo. Samakatuwid, ituon natin ang atensyon ng mambabasa sa iba pang mga isyu na pinag-aralan sa teorya ng posibilidad.

Ang mga kaganapan A at B ay sinasabing independyente kung ang posibilidad ng bawat isa ay hindi nakasalalay sa kung ang iba pang kaganapan ay nangyayari.

Ang Kaganapan B ay ang pangyayaring A ay hindi nangyari, i.e. Ang kaganapan B ay kabaligtaran ng kaganapan A. Ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan ay katumbas ng isang minus ang posibilidad ng direktang kaganapan, i.e. .

Probability addition at multiplication theorems, formula

Para sa mga arbitrary na kaganapan A at B, ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapang ito ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad nang walang posibilidad ng kanilang magkasanib na kaganapan, i.e. .

Para sa mga independiyenteng kaganapan A at B, ang posibilidad ng paglitaw ng mga kaganapang ito ay katumbas ng produkto ng kanilang mga probabilidad, i.e. sa kasong ito.

Ang huling 2 pahayag ay tinatawag na theorems of addition and multiplication of probabilities.

Ang pagbibilang ng bilang ng mga kinalabasan ay hindi palaging napakasimple. Sa ilang mga kaso kinakailangan na gumamit ng mga pormula ng combinatorics. Sa kasong ito, ang pinakamahalagang bagay ay ang bilangin ang bilang ng mga kaganapan na nagbibigay-kasiyahan ilang kundisyon. Minsan ang mga ganitong uri ng kalkulasyon ay maaaring maging mga independiyenteng gawain.

Sa ilang paraan maaaring maupo ang 6 na estudyante sa 6 na bakanteng upuan? Ang unang mag-aaral ay kukuha ng alinman sa 6 na lugar. Ang bawat isa sa mga opsyong ito ay tumutugma sa 5 mga paraan para sa pangalawang mag-aaral na kumuha ng lugar. May 4 na libreng puwang na natitira para sa ikatlong mag-aaral, 3 para sa ikaapat, 2 para sa ikalima, at ang ikaanim ay kukuha ng tanging natitirang puwesto. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga pagpipilian, kailangan mong hanapin ang produkto, na tinutukoy ng simbolo 6! at nagbabasa ng "six factorial".

Sa pangkalahatang kaso, ang sagot sa tanong na ito ay ibinibigay ng formula para sa bilang ng mga permutasyon ng n elemento. Sa aming kaso.

Isaalang-alang natin ngayon ang isa pang kaso sa ating mga mag-aaral. Sa ilang paraan maaaring maupo ang 2 estudyante sa 6 na bakanteng upuan? Ang unang mag-aaral ay kukuha ng alinman sa 6 na lugar. Ang bawat isa sa mga opsyong ito ay tumutugma sa 5 mga paraan para sa pangalawang mag-aaral na kumuha ng lugar. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga opsyon, kailangan mong hanapin ang produkto.

Sa pangkalahatan, ang sagot sa tanong na ito ay ibinibigay ng formula para sa bilang ng mga pagkakalagay ng n elemento sa k elemento

Sa kaso natin .

At ang huling kaso sa seryeng ito. Sa ilang paraan maaari kang pumili ng tatlong mag-aaral sa 6? Maaaring piliin ang unang mag-aaral sa 6 na paraan, ang pangalawa - sa 5 paraan, ang pangatlo - sa apat na paraan. Ngunit kabilang sa mga pagpipiliang ito, ang parehong tatlong mag-aaral ay lumilitaw nang 6 na beses. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga opsyon, kailangan mong kalkulahin ang halaga: . Sa pangkalahatan, ang sagot sa tanong na ito ay ibinibigay ng formula para sa bilang ng mga kumbinasyon ng mga elemento ayon sa elemento:

Sa kaso natin .

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema mula sa Unified State Exam sa matematika upang matukoy ang posibilidad

Gawain 1. Mula sa koleksyong inedit ni. Yashchenko.

Mayroong 30 pie sa plato: 3 na may karne, 18 na may repolyo at 9 na may seresa. Pumili si Sasha ng isang pie nang random. Hanapin ang posibilidad na mapunta siya sa isang cherry.

.

Sagot: 0.3.

Gawain 2. Mula sa koleksyong inedit ni. Yashchenko.

Sa bawat batch ng 1000 na bombilya, sa karaniwan, 20 ang may depekto. Hanapin ang posibilidad na ang isang bumbilya na kinuha nang random mula sa isang batch ay gagana.

Solusyon: Ang bilang ng mga gumaganang bombilya ay 1000-20=980. Pagkatapos ang posibilidad na ang isang bumbilya na kinuha nang random mula sa isang batch ay gagana:

Sagot: 0.98.

Ang posibilidad na malutas ng mag-aaral U ang higit sa 9 na problema nang tama sa panahon ng pagsusulit sa matematika ay 0.67. Ang posibilidad na malutas ng U. nang tama ang higit sa 8 mga problema ay 0.73. Hanapin ang posibilidad na malulutas ng U ang eksaktong 9 na problema nang tama.

Kung maiisip natin ang isang linya ng numero at markahan ang mga puntos 8 at 9 dito, makikita natin na ang kundisyon na "U. will solve exactly 9 problems correctly” ay kasama sa kondisyong “U. ay malulutas nang tama ang higit sa 8 mga problema", ngunit hindi nalalapat sa kondisyong "U. ay malulutas nang tama ang higit sa 9 na problema.”

Gayunpaman, ang kondisyong "U. will solve more than 9 problems correctly” ay nakapaloob sa kondisyong “U. ay malulutas nang tama ang higit sa 8 problema.” Kaya, kung itinalaga natin ang mga kaganapan: "U. ay malulutas nang tama ang eksaktong 9 na problema" - sa pamamagitan ng A, "U. ay malulutas nang tama ang higit sa 8 mga problema" - sa pamamagitan ng B, "U. ay wastong malulutas ang higit sa 9 na problema” sa pamamagitan ng C. Ang solusyong iyon ay magiging ganito:

Sagot: 0.06.

Sa isang pagsusulit sa geometry, sinasagot ng isang mag-aaral ang isang tanong mula sa isang listahan ng mga tanong sa pagsusulit. Ang posibilidad na ito ay isang tanong na Trigonometry ay 0.2. Ang posibilidad na ito ay isang tanong sa External Angles ay 0.15. Walang mga tanong na magkasabay na nauugnay sa dalawang paksang ito. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng tanong ang isang mag-aaral sa isa sa dalawang paksang ito sa pagsusulit.

Isipin natin kung anong mga kaganapan ang mayroon tayo. Binigyan tayo ng dalawang hindi magkatugmang pangyayari. Iyon ay, alinman sa tanong ay nauugnay sa paksang "Trigonometry" o sa paksang "Mga panlabas na anggulo". Ayon sa probability theorem, ang posibilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng bawat kaganapan, dapat nating hanapin ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, iyon ay:

Sagot: 0.35.

Ang silid ay iluminado ng isang parol na may tatlong lampara. Ang posibilidad na masunog ang isang lampara sa loob ng isang taon ay 0.29. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isang lampara ang hindi masunog sa buong taon.

Isaalang-alang natin ang mga posibleng kaganapan. Mayroon kaming tatlong bombilya, na ang bawat isa ay maaaring masunog o hindi maubos nang hiwalay sa anumang iba pang bumbilya. Ito ay mga malayang kaganapan.

Pagkatapos ay ipahiwatig namin ang mga pagpipilian para sa mga naturang kaganapan. Gamitin natin ang mga sumusunod na notasyon: - ang bumbilya ay nakabukas, - ang bumbilya ay nasunog. At sa tabi mismo nito ay kalkulahin natin ang posibilidad ng kaganapan. Halimbawa, ang posibilidad ng isang kaganapan kung saan ang tatlong independiyenteng kaganapan ay "nasunog ang bombilya", "nakabukas ang bumbilya", "nakabukas ang bumbilya": , kung saan naganap ang posibilidad ng kaganapan na "ang bumbilya ay naka-on" ay kinakalkula bilang ang posibilidad ng kaganapan na kabaligtaran ng kaganapan "ang bumbilya ay hindi naka-on", ibig sabihin: .

Pansin sa mga aplikante! Ang ilang mga gawain sa PAGGAMIT ay tinalakay dito. Ang natitira, mas kawili-wili, ay nasa aming libreng video. Panoorin at gawin!

Magsisimula tayo sa mga simpleng gawain at mga pangunahing konsepto ng probability theory.
Random Ang isang kaganapan na hindi tumpak na mahulaan nang maaga ay tinatawag. Maaari itong mangyari o hindi.
Nanalo ka sa lottery - isang random na kaganapan. Inimbitahan mo ang mga kaibigan na ipagdiwang ang iyong panalo, at habang papunta sa iyo ay na-stuck sila sa elevator - isa ring random na kaganapan. Totoo, ang master ay naging malapit at pinalaya ang buong kumpanya sa loob ng sampung minuto - at maaari rin itong ituring na isang masayang aksidente...

Ang buhay natin ay puno ng mga random na pangyayari. Tungkol sa bawat isa sa kanila ay masasabi nating mangyayari ito sa ilan probabilidad. Malamang, pamilyar ka sa konseptong ito. Ibibigay natin ngayon ang mathematical na kahulugan ng probabilidad.

Magsimula tayo sa simula pa lang simpleng halimbawa. Mag-flip ka ng barya. Ulo o buntot?

Ang ganitong aksyon, na maaaring humantong sa isa sa ilang mga resulta, ay tinatawag sa probability theory pagsusulit.

Mga ulo at buntot - dalawang posible kinalabasan mga pagsubok.

Ang mga ulo ay mahuhulog sa isang kaso sa dalawang posible. Sabi nila probabilidad na ang barya ay mapunta sa mga ulo ay .

Mag-dice tayo. Ang mamatay ay may anim na panig, kaya mayroon ding anim na posibleng resulta.

Halimbawa, nais mong lumitaw ang tatlong puntos. Ito ay isang resulta sa anim na posible. Sa probability theory ito ay tatawagin kanais-nais na kinalabasan.

Ang posibilidad na makakuha ng tatlo ay pantay (isang paborableng resulta sa anim na posible).

Ang posibilidad ng apat ay din

Ngunit ang posibilidad na lumitaw ang pito ay zero. Pagkatapos ng lahat, walang gilid na may pitong puntos sa kubo.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga kanais-nais na resulta sa kabuuang bilang ng mga resulta.

Malinaw, ang posibilidad ay hindi maaaring higit sa isa.

Narito ang isa pang halimbawa. May mga mansanas sa isang bag, ang iba ay pula, ang iba ay berde. Ang mga mansanas ay hindi naiiba sa hugis o sukat. Inilagay mo ang iyong kamay sa bag at kumuha ng mansanas nang random. Ang posibilidad ng pagguhit ng pulang mansanas ay katumbas ng , at ang posibilidad ng pagguhit ng berdeng mansanas ay katumbas ng .

Ang posibilidad na makakuha ng pula o berdeng mansanas ay pantay.

Suriin natin ang mga problema sa teorya ng posibilidad na kasama sa mga koleksyon para sa paghahanda para sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.

. Ang kumpanya ng taxi ay kasalukuyang may mga libreng kotse: pula, dilaw at berde. Isa sa mga kotse na nagkataong pinakamalapit sa customer ang tumugon sa tawag. Hanapin ang posibilidad na may darating sa kanya na dilaw na taxi.

Mayroong isang kabuuang mga kotse, iyon ay, isa sa labinlimang ay darating sa customer. Mayroong siyam na dilaw, na nangangahulugan na ang posibilidad ng isang dilaw na kotse na dumating ay katumbas ng , ibig sabihin.

. (Bersyon ng demo) Sa koleksyon ng mga tiket sa biology ng lahat ng mga tiket, sa dalawa sa kanila ay may tanong tungkol sa mga kabute. Sa panahon ng pagsusulit, ang mag-aaral ay tumatanggap ng isang random na napiling tiket. Hanapin ang posibilidad na ang tiket na ito ay hindi naglalaman ng isang katanungan tungkol sa mga kabute.

Malinaw, ang posibilidad ng pagguhit ng isang tiket nang hindi nagtatanong tungkol sa mga kabute ay katumbas ng , iyon ay.

. Ang Komite ng Magulang ay bumili ng mga puzzle para sa mga regalo sa pagtatapos para sa mga bata. taon ng paaralan, kung saan may mga painting mga sikat na artista at may mga larawan ng mga hayop. Ang mga regalo ay ibinahagi nang random. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng palaisipan si Vovochka sa isang hayop.

Ang problema ay nalulutas sa katulad na paraan.

Sagot: .

. Ang mga atleta mula sa Russia, mula sa USA, at ang iba pa mula sa China ay kalahok sa kampeonato ng gymnastics. Ang pagkakasunud-sunod kung saan gumaganap ang mga gymnast ay tinutukoy ng lot. Hanapin ang posibilidad na ang huling atleta na lumaban ay mula sa China.

Isipin natin na ang lahat ng mga atleta ay sabay-sabay na lumapit sa sumbrero at naglabas ng mga piraso ng papel na may mga numero mula dito. Ang ilan sa kanila ay makakakuha ng numero dalawampu. Ang posibilidad na bunutin ito ng isang Chinese na atleta ay pantay (dahil ang mga atleta ay mula sa China). Sagot: .

. Hinilingan ang mag-aaral na pangalanan ang numero mula sa hanggang. Ano ang posibilidad na pangalanan niya ang isang numero na multiple ng lima?

Bawat ikalima ang isang numero mula sa set na ito ay nahahati sa . Nangangahulugan ito na ang posibilidad ay katumbas ng .

Isang mamatay ang itinapon. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng kakaibang bilang ng mga puntos.

Kakaibang numero; - kahit. Ang posibilidad ng isang kakaibang bilang ng mga puntos ay .

Sagot: .

. Ang barya ay inihagis ng tatlong beses. Ano ang posibilidad ng dalawang ulo at isang buntot?

Tandaan na ang problema ay maaaring mabuo nang iba: tatlong barya ang itinapon sa parehong oras. Hindi ito makakaapekto sa desisyon.

Gaano karaming mga posibleng resulta sa tingin mo ang mayroon?

Naghahagis kami ng barya. Ang pagkilos na ito ay may dalawang posibleng resulta: ulo at buntot.

Dalawang barya - mayroon nang apat na resulta:

Tatlong barya? Tama, kinalabasan, dahil .

Lumilitaw ang dalawang ulo at isang buntot ng tatlo sa walong beses.

Sagot: .

. Sa isang random na eksperimento, dalawang dice ang pinagsama. Hanapin ang posibilidad na ang kabuuan ay mga puntos. Bilugan ang resulta sa hundredths.

Itatapon namin ang unang mamatay - anim na resulta. At para sa bawat isa sa kanila anim pa ang posible - kapag itinapon namin ang pangalawang mamatay.

Nakukuha namin na ang aksyon na ito - pagkahagis ng dalawa dais- kabuuang posibleng mga resulta, dahil .

At ngayon - kanais-nais na mga resulta:

Ang posibilidad na makakuha ng walong puntos ay .

>. Ang tagabaril ay tumama sa target na may posibilidad. Hanapin ang posibilidad na maabot niya ang target ng apat na beses na magkakasunod.

Kung ang posibilidad ng isang hit ay pantay, kung gayon ang posibilidad ng isang miss ay . Nangangatuwiran kami sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang problema. Ang posibilidad ng dalawang hit sa isang hilera ay pantay. At pantay ang posibilidad ng apat na sunud-sunod na hit.

Probability: brute force logic.

Narito ang isang problema mula sa gawaing diagnostic na nahihirapan sa maraming tao.

Si Petya ay may mga barya na nagkakahalaga ng rubles at mga barya na nagkakahalaga ng rubles sa kanyang bulsa. Si Petya, nang hindi tumitingin, ay naglipat ng ilang mga barya sa isa pang bulsa. Hanapin ang posibilidad na ang limang-ruble na barya ay nasa magkaibang bulsa na ngayon.

Alam namin na ang posibilidad ng isang kaganapan ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga kanais-nais na resulta sa kabuuang bilang ng mga resulta. Ngunit paano makalkula ang lahat ng mga kinalabasan na ito?

Siyempre, maaari mong italaga ang limang ruble na barya na may mga numero, at sampung ruble na barya na may mga numero - at pagkatapos ay bilangin kung gaano karaming mga paraan ang maaari mong piliin ang tatlong elemento mula sa set.

Gayunpaman, mayroong isang mas simpleng solusyon:

Kino-code namin ang mga barya na may mga numero: , (ito ay limang-ruble na barya), (ito ay sampung-ruble na barya). Ang kondisyon ng problema ay maaari na ngayong mabalangkas tulad ng sumusunod:

Mayroong anim na chips na may mga numero mula hanggang . Sa ilang paraan maaari silang maipamahagi nang pantay sa dalawang bulsa, upang ang mga chip na may mga numero ay hindi magkakasama?

Isulat natin kung ano ang mayroon tayo sa ating unang bulsa.

Para magawa ito, bubuuin namin ang lahat ng posibleng kumbinasyon mula sa set. Ang isang set ng tatlong chip ay magiging isang tatlong-digit na numero. Malinaw, sa aming mga kondisyon at ang parehong hanay ng mga chips. Upang hindi makaligtaan ang anuman o ulitin ang ating sarili, inaayos namin ang kaukulang tatlong-digit na numero sa pataas na pagkakasunud-sunod:

Lahat! Dumaan kami sa lahat ng posibleng kumbinasyon simula sa . Ituloy natin:

Kabuuang posibleng mga resulta.

Mayroon kaming kundisyon - ang mga chip na may mga numero ay hindi dapat magkasama. Nangangahulugan ito, halimbawa, na ang kumbinasyon ay hindi angkop sa amin - nangangahulugan ito na ang parehong mga chip ay natapos hindi sa una, ngunit sa pangalawang bulsa. Ang mga kinalabasan na kanais-nais para sa atin ay ang mga kung saan mayroon lamang, o lamang. Nandito na sila:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - kabuuang kanais-nais na mga resulta.

Kung gayon ang kinakailangang probabilidad ay katumbas ng .

Anong mga gawain ang naghihintay sa iyo sa Unified State Examination sa matematika?

Suriin natin ang isa sa mga kumplikadong problema sa teorya ng posibilidad.

Upang makapasok sa instituto para sa espesyalidad na "Linguistics", ang aplikante na si Z. ay dapat na makaiskor ng hindi bababa sa 70 puntos sa Pinag-isang Pagsusuri ng Estado sa bawat isa sa tatlong paksa - matematika, wikang Ruso at isang wikang banyaga. Upang magpatala sa espesyalidad na "Commerce", kailangan mong makakuha ng hindi bababa sa 70 puntos sa bawat isa sa tatlong paksa - matematika, wikang Ruso at pag-aaral sa lipunan.

Ang posibilidad na ang aplikante na si Z. ay makakatanggap ng hindi bababa sa 70 puntos sa matematika ay 0.6, sa Russian - 0.8, sa isang banyagang wika - 0.7 at sa panlipunang pag-aaral - 0.5.
Hanapin ang posibilidad na si Z. ay makakapag-enroll sa kahit isa sa dalawang nabanggit na specialty.

Tandaan na ang problema ay hindi nagtatanong kung ang isang aplikanteng nagngangalang Z. ay mag-aaral ng parehong linggwistika at komersiyo nang sabay-sabay at makakatanggap ng dalawang diploma. Dito kailangan nating hanapin ang posibilidad na makapag-enroll si Z. sa hindi bababa sa isa sa dalawang specialty na ito - iyon ay, makakapuntos siya ng kinakailangang bilang ng mga puntos.
Upang makapasok sa hindi bababa sa isa sa dalawang espesyalidad, ang Z. ay dapat na makaiskor ng hindi bababa sa 70 puntos sa matematika. At sa Russian. At gayundin - araling panlipunan o dayuhan.
Ang posibilidad na makaiskor siya ng 70 puntos sa matematika ay 0.6.
Ang posibilidad ng mga puntos ng pagmamarka sa matematika at Russian ay 0.6 0.8.

Harapin natin ang mga dayuhan at araling panlipunan. Ang mga opsyon na nababagay sa amin ay kapag ang aplikante ay nakakuha ng mga puntos sa araling panlipunan, dayuhang pag-aaral, o pareho. Ang opsyon ay hindi angkop kapag hindi siya nakakuha ng anumang puntos sa alinman sa wika o "lipunan". Nangangahulugan ito na ang posibilidad na makapasa sa araling panlipunan o wikang banyaga na may hindi bababa sa 70 puntos ay katumbas ng
1 – 0,5 0,3.
Bilang resulta, pantay ang posibilidad na makapasa sa matematika, Russian at social studies o dayuhan
0.6 0.8 (1 - 0.5 0.3) = 0.408. Ito ang sagot.

Random na kaganapan – anumang pangyayari na maaaring mangyari o hindi bilang resulta ng ilang karanasan.

Probability ng pangyayari R katumbas ng ratio ng bilang ng mga kanais-nais na resulta k sa bilang ng mga posibleng resulta n, ibig sabihin.

p=\frac(k)(n)

Mga formula para sa pagdaragdag at pagpaparami ng teorya ng posibilidad

Kaganapan \bar(A) tinawag kabaligtaran ng kaganapan A, kung hindi nangyari ang kaganapan A.

Kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na mga kaganapan ay katumbas ng isa, i.e.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Ang posibilidad ng isang kaganapan ay hindi maaaring higit sa 1.
• Kung ang posibilidad ng isang kaganapan ay 0, hindi ito mangyayari.
• Kung ang posibilidad ng isang kaganapan ay 1, kung gayon ito ay mangyayari.

Probability addition theorem:

"Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga posibilidad ng mga kaganapang ito."

P(A+B) = P(A) + P(B)

Probability mga halaga dalawang magkasanib na kaganapan katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito nang hindi isinasaalang-alang ang magkasanib na pangyayari:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Probability multiplication theorem

"Ang posibilidad ng dalawang kaganapan na naganap ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng isa sa mga ito at ang kondisyon na posibilidad ng isa pa, na kinakalkula sa ilalim ng kondisyon na ang unang nangyari."

P(AB)=P(A)*P(B)

Mga kaganapan ay tinatawag hindi magkatugma, kung ang hitsura ng isa sa kanila ay hindi kasama ang hitsura ng iba. Ibig sabihin, isang partikular na kaganapan lamang o iba pa ang maaaring mangyari.

Mga kaganapan ay tinatawag magkadugtong, kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi ibinubukod ang paglitaw ng isa pa.

Dalawang random na kaganapan A at B ay tinatawag malaya, kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi nagbabago sa posibilidad ng paglitaw ng isa pa. Kung hindi, ang mga kaganapan A at B ay tinatawag na umaasa.

Lesson-lecture sa paksang "probability theory"

Gawain Blg. 4 mula sa Unified State Exam 2016.

Antas ng profile.

1 Pangkat: mga gawain sa paggamit ng classical probability formula.

• Ehersisyo 1. Ang kumpanya ng taxi ay mayroong 60 na magagamit mga pampasaherong sasakyan; 27 sa kanila ay itim na may dilaw na inskripsiyon sa mga gilid, ang iba ay kulay dilaw may mga itim na inskripsiyon. Hanapin ang posibilidad na ang isang dilaw na kotse na may itim na letra ay tutugon sa isang random na tawag.

• Gawain 2. Sina Misha, Oleg, Nastya at Galya ay nagparami kung sino ang dapat magsimula ng laro. Hanapin ang posibilidad na hindi sisimulan ni Galya ang laro.

• Gawain 3. Sa karaniwan, sa 1000 na mga bomba sa hardin na nabenta, 7 ang tumagas. Hanapin ang posibilidad na ang isang bomba na random na pinili para sa kontrol ay hindi tumagas.

• Gawain 4. Mayroon lamang 15 na mga tiket sa koleksyon ng mga tiket para sa kimika, 6 sa mga ito ay naglalaman ng isang katanungan sa paksang "Mga Acid". Hanapin ang posibilidad na makakuha ng tanong ang isang mag-aaral sa paksang "Mga Acid" sa isang random na napiling tiket sa pagsusulit.

• Gawain 5. 45 na atleta ang nakikipagkumpitensya sa diving championship, kabilang ang 4 na diver mula sa Spain at 9 na diver mula sa USA. Ang pagkakasunud-sunod ng mga pagtatanghal ay natutukoy sa pamamagitan ng pagguhit ng maraming. Hanapin ang posibilidad na ang isang US jumper ay magiging ikadalawampu't apat.

• Gawain 6. Ang siyentipikong kumperensya ay gaganapin sa loob ng 3 araw. Isang kabuuang 40 ulat ang binalak - 8 ulat sa unang araw, ang iba ay pantay na ibinahagi sa pagitan ng ikalawa at ikatlong araw. Ang pagkakasunud-sunod ng mga ulat ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagguhit ng mga palabunutan. Ano ang posibilidad na ang ulat ni Propesor M. ay maiiskedyul para sa huling araw ng kumperensya?

• Ehersisyo 1. Bago magsimula ang unang round ng tennis championship, ang mga kalahok ay random na hinati sa mga pares ng paglalaro gamit ang lot. Sa kabuuan, 26 na manlalaro ng tennis ang kalahok sa kampeonato, kabilang ang 9 na kalahok mula sa Russia, kabilang si Timofey Trubnikov. Hanapin ang posibilidad na sa unang round ay makikipaglaro si Timofey Trubnikov sa sinumang manlalaro ng tennis mula sa Russia.

• Gawain 2. Bago magsimula ang unang round ng kampeonato sa badminton, ang mga kalahok ay random na hinati sa mga pares ng paglalaro gamit ang lot. May kabuuang 76 na manlalaro ng badminton ang kalahok sa kampeonato, kabilang ang 22 atleta mula sa Russia, kabilang si Viktor Polyakov. Hanapin ang posibilidad na sa unang round ay makalaro si Viktor Polyakov sa sinumang manlalaro ng badminton mula sa Russia.

• Gawain 3. Mayroong 16 na mag-aaral sa klase, kasama ng dalawang kaibigan - sina Oleg at Mikhail. Ang klase ay sapalarang nahahati sa 4 na pantay na grupo. Hanapin ang posibilidad na sina Oleg at Mikhail ay nasa parehong grupo.

• Gawain 4. Mayroong 33 mag-aaral sa klase, kasama ng dalawang kaibigan - sina Andrey at Mikhail. Ang mga mag-aaral ay sapalarang nahahati sa 3 pantay na grupo. Hanapin ang posibilidad na sina Andrey at Mikhail ay nasa parehong grupo.

• Ehersisyo 1: Sa isang ceramic tableware factory, 20% ng mga plate na ginawa ay may sira. Sa panahon ng kontrol sa kalidad ng produkto, natukoy ang 70% ng mga may sira na plato. Ang natitirang mga plato ay ibinebenta. Hanapin ang posibilidad na ang isang plato na random na napili sa pagbili ay walang mga depekto. Bilugan ang iyong sagot sa pinakamalapit na ikadaan.

• Gawain 2. Sa isang pabrika ng ceramic tableware, 30% ng mga plate na ginawa ay may depekto. Sa panahon ng kontrol sa kalidad ng produkto, natukoy ang 60% ng mga may sira na plato. Ang natitirang mga plato ay ibinebenta. Hanapin ang posibilidad na ang isang plato na random na pinili sa panahon ng pagbili ay may depekto. Bilugan ang iyong sagot sa pinakamalapit na ikadaan.

• Gawain 3: Dalawang pabrika ang gumagawa ng parehong salamin para sa mga headlight ng kotse. Ang unang pabrika ay gumagawa ng 30% ng mga basong ito, ang pangalawa - 70%. Ang unang pabrika ay gumagawa ng 3% ng may sira na salamin, at ang pangalawa - 4%. Hanapin ang posibilidad na ang baso na hindi sinasadyang binili sa isang tindahan ay magiging may depekto.

2 Pangkat: paghahanap ng posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan.

• Ehersisyo 1. Ang posibilidad na matamaan ang gitna ng target mula sa layo na 20 m para sa isang propesyonal na tagabaril ay 0.85. Hanapin ang posibilidad na mawala ang gitna ng target.

• Gawain 2. Kapag gumagawa ng mga bearings na may diameter na 67 mm, ang posibilidad na ang diameter ay mag-iiba mula sa tinukoy na isa nang mas mababa sa 0.01 mm ay 0.965. Hanapin ang posibilidad na ang isang random na tindig ay magkakaroon ng diameter na mas mababa sa 66.99 mm o mas malaki sa 67.01 mm.

3 Pangkat: Paghahanap ng posibilidad ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa mga hindi tugmang kaganapan. Formula para sa pagdaragdag ng mga probabilidad.

• Ehersisyo 1. Hanapin ang posibilidad na kapag naghagis ng die makakakuha ka ng 5 o 6 na puntos.

• Gawain 2. Mayroong 30 bola sa isang urn: 10 pula, 5 asul at 15 puti. Hanapin ang posibilidad ng pagguhit ng may kulay na bola.

• Gawain 3. Ang tagabaril ay bumaril sa isang target na nahahati sa 3 lugar. Ang posibilidad na matamaan ang unang lugar ay 0.45, ang pangalawa ay 0.35. Hanapin ang posibilidad na ang tagabaril ay matamaan ang una o ang pangalawang lugar sa isang shot.

• Gawain 4. Isang bus ang tumatakbo araw-araw mula sa sentro ng distrito hanggang sa nayon. Ang posibilidad na magkakaroon ng mas kaunti sa 18 na pasahero sa bus sa Lunes ay 0.95. Ang posibilidad na magkakaroon ng mas kaunti sa 12 pasahero ay 0.6. Hanapin ang posibilidad na ang bilang ng mga pasahero ay mula 12 hanggang 17.

• Gawain 5. Ang posibilidad na ang isang bagong electric kettle ay tatagal ng higit sa isang taon ay 0.97. Ang posibilidad na tatagal ito ng higit sa dalawang taon ay 0.89. Hanapin ang posibilidad na tatagal ito ng wala pang dalawang taon ngunit higit sa isang taon.

• Gawain 6. Ang posibilidad na ang mag-aaral na si U. ay makalutas nang tama ng higit sa 9 na problema sa panahon ng pagsusulit sa biology ay 0.61. Ang posibilidad na malutas ng U. nang tama ang higit sa 8 mga problema ay 0.73. Hanapin ang posibilidad na malulutas ng U ang eksaktong 9 na problema nang tama.

4 pangkat: Ang posibilidad ng sabay-sabay na paglitaw ng mga independiyenteng kaganapan. Formula ng pagpaparami ng posibilidad.

• Ehersisyo 1. Ang silid ay iluminado ng isang parol na may dalawang lampara. Ang posibilidad na masunog ang isang lampara sa loob ng isang taon ay 0.3. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isang lampara ang hindi masunog sa buong taon.

• Gawain 2. Ang silid ay iluminado ng isang parol na may tatlong lampara. Ang posibilidad na masunog ang isang lampara sa loob ng isang taon ay 0.3. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isang lampara ang hindi masunog sa buong taon.

• Gawain 3. May dalawang nagbebenta sa tindahan. Ang bawat isa sa kanila ay abala sa isang kliyente na may posibilidad na 0.4. Hanapin ang posibilidad na sa isang random na sandali ng oras ang parehong mga nagbebenta ay abala sa parehong oras (ipagpalagay na ang mga customer ay pumapasok nang hiwalay sa isa't isa).

• Gawain 4. May tatlong nagbebenta sa tindahan. Ang bawat isa sa kanila ay abala sa isang kliyente na may posibilidad na 0.2. Hanapin ang posibilidad na sa isang random na sandali ng oras ang lahat ng tatlong nagbebenta ay abala sa parehong oras (ipagpalagay na ang mga customer ay pumapasok nang hiwalay sa isa't isa).

• Gawain 5: Batay sa mga pagsusuri ng customer, tinasa ni Mikhail Mikhailovich ang pagiging maaasahan ng dalawang online na tindahan. Ang posibilidad na ang nais na produkto ay maihatid mula sa tindahan A ay 0.81. Ang posibilidad na maihatid ang produktong ito mula sa tindahan B ay 0.93. Nag-order si Mikhail Mikhailovich ng mga kalakal mula sa parehong mga tindahan nang sabay-sabay. Ipagpalagay na ang mga online na tindahan ay gumagana nang hiwalay sa isa't isa, hanapin ang posibilidad na walang tindahan ang maghahatid ng produkto.

• Gawain 6: Kung maglaro ng puti si grandmaster A., ​​mananalo siya laban kay grandmaster B. na may posibilidad na 0.6. Kung si A. ay naglalaro ng itim, si A. ay nanalo laban sa B. na may posibilidad na 0.4. Ang mga Grandmaster A. at B. ay naglalaro ng dalawang laro, at sa ikalawang laro ay binago nila ang kulay ng mga piraso. Hanapin ang posibilidad na manalo si A. sa parehong beses.

5 pangkat: Mga problemang kinasasangkutan ng paggamit ng parehong mga formula.

• Ehersisyo 1: Ang lahat ng mga pasyente na may pinaghihinalaang hepatitis ay sumasailalim sa pagsusuri ng dugo. Kung ang pagsusuri ay nagpapakita ng hepatitis, ang resulta ng pagsusuri ay tinatawag na positibo. Sa mga pasyenteng may hepatitis, ang pagsusuri ay nagbibigay ng positibong resulta na may posibilidad na 0.9. Kung ang pasyente ay walang hepatitis, ang pagsusuri ay maaaring magbigay ng maling positibong resulta na may posibilidad na 0.02. Nabatid na 66% ng mga pasyenteng na-admit na may pinaghihinalaang hepatitis ay talagang mayroong hepatitis. Hanapin ang posibilidad na ang isang pasyente na ipinasok sa klinika na may pinaghihinalaang hepatitis ay magpositibo sa pagsusuri.

• Gawain 2. Si Cowboy John ay may 0.9 na tsansa na makatama ng langaw sa dingding kung magpapaputok siya ng zeroed revolver. Kung si John ay nagpaputok ng isang unsighted revolver, tinamaan niya ang langaw na may posibilidad na 0.2. Mayroong 10 revolver sa mesa, 4 lamang ang nabaril. Si Cowboy John ay nakakita ng langaw sa dingding, random na kinuha ang unang rebolber na kanyang nadatnan at binaril ang langaw. Hanapin ang posibilidad na hindi nakuha ni John.

Gawain 3:

Sa ilang lugar, ipinakita ng mga obserbasyon:

1. Kung ang umaga ng Hunyo ay malinaw, kung gayon ang posibilidad ng pag-ulan sa araw na iyon ay 0.1. 2. Kung maulap ang umaga ng Hunyo, ang posibilidad ng pag-ulan sa araw ay 0.4. 3. Ang posibilidad na ang umaga sa Hunyo ay maulap ay 0.3.

Hanapin ang posibilidad na walang ulan sa isang random na araw sa Hunyo.

Gawain 4. Sa panahon ng pagpapaputok ng artilerya, ang awtomatikong sistema ay nagpapaputok ng isang putok sa target. Kung ang target ay hindi nawasak, ang system ay magpapaputok ng pangalawang shot. Ang mga pagbaril ay paulit-ulit hanggang sa masira ang target. Ang posibilidad na sirain ang isang tiyak na target sa unang shot ay 0.3, at sa bawat kasunod na shot ito ay 0.9. Ilang shot ang kakailanganin upang matiyak na ang posibilidad na masira ang target ay hindi bababa sa 0.96?