Gamit ito programa sa matematika Maaari mong lutasin ang isang sistema ng dalawang linear equation sa dalawang variable gamit ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag.

Ang programa ay hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ngunit nagbibigay din ng isang detalyadong solusyon na may mga paliwanag ng mga hakbang sa solusyon sa dalawang paraan: ang paraan ng pagpapalit at ang paraan ng pagdaragdag.

Maaaring maging kapaki-pakinabang ang programang ito para sa mga mag-aaral sa high school sa mga sekondaryang paaralan bilang paghahanda para sa mga pagsubok at mga pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang Pagsusulit ng Estado, para makontrol ng mga magulang ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin sa matematika o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan maaari mong gastusin ang iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa kanilang mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang ang antas ng edukasyon sa lugar ng mga problemang nalutas ay tumataas.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga equation

Anumang Latin na titik ay maaaring kumilos bilang isang variable.
Halimbawa: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), atbp.

Kapag nagpapasok ng mga equation maaari kang gumamit ng panaklong. Sa kasong ito, ang mga equation ay unang pinasimple. Ang mga equation pagkatapos ng mga pagpapasimple ay dapat na linear, i.e. ng anyong ax+by+c=0 na may katumpakan ng pagkakasunud-sunod ng mga elemento.
Halimbawa: 6x+1 = 5(x+y)+2

Sa mga equation, maaari mong gamitin hindi lamang ang mga buong numero, kundi pati na rin ang mga fraction sa anyo ng mga decimal at ordinaryong mga fraction.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga decimal fraction.
Integer at fractional na mga bahagi sa mga decimal maaaring paghiwalayin ng tuldok o kuwit.
Halimbawa: 2.1n + 3.5m = 55

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga ordinaryong fraction.
Isang buong numero lamang ang maaaring kumilos bilang numerator, denominator at integer na bahagi ng isang fraction.
Ang denominator ay hindi maaaring negatibo.
Kapag nagpapasok ng isang numerical fraction, ang numerator ay pinaghihiwalay mula sa denominator sa pamamagitan ng isang tanda ng dibisyon: /
Buong bahagi pinaghihiwalay mula sa fraction ng isang ampersand: &

Mga halimbawa.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Lutasin ang sistema ng mga equation

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Naka-disable ang JavaScript sa iyong browser.
Para lumitaw ang solusyon, kailangan mong paganahin ang JavaScript.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Feedback Form.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Pamamaraan ng pagpapalit

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagpapalit:
1) ipahayag ang isang variable mula sa ilang equation ng system sa mga tuntunin ng isa pa;
2) palitan ang resultang expression sa isa pang equation ng system sa halip na ang variable na ito;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Ipahayag natin ang y sa mga tuntunin ng x mula sa unang equation: y = 7-3x. Ang pagpapalit ng expression na 7-3x sa pangalawang equation sa halip na y, nakuha namin ang system:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Madaling ipakita na ang una at pangalawang sistema ay may parehong mga solusyon. Sa pangalawang sistema, ang pangalawang equation ay naglalaman lamang ng isang variable. Lutasin natin ang equation na ito:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Ang pagpapalit ng 1 sa halip na x sa pagkakapantay-pantay na y=7-3x, makikita natin ang katumbas na halaga ng y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Pares (1;4) - solusyon ng system

Ang mga sistema ng mga equation sa dalawang variable na may parehong mga solusyon ay tinatawag katumbas. Ang mga system na walang mga solusyon ay itinuturing din na katumbas.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation sa pamamagitan ng karagdagan

Isaalang-alang natin ang isa pang paraan upang malutas ang mga sistema ng mga linear na equation - ang paraan ng pagdaragdag. Kapag nilulutas ang mga sistema sa ganitong paraan, pati na rin kapag nilulutas sa pamamagitan ng pagpapalit, lumilipat tayo mula sa sistemang ito patungo sa isa pa, katumbas na sistema, kung saan ang isa sa mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang paraan ng pagdaragdag:
1) paramihin ang mga equation ng term ng system sa pamamagitan ng term, pagpili ng mga salik upang ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay maging kabaligtaran na mga numero;
2) idagdag ang kaliwa at kanang bahagi ng term ng system equation sa pamamagitan ng term;
3) lutasin ang resultang equation na may isang variable;
4) hanapin ang katumbas na halaga ng pangalawang variable.

Halimbawa. Lutasin natin ang sistema ng mga equation:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Sa mga equation ng sistemang ito, ang mga coefficient ng y ay magkasalungat na numero. Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng kaliwa at kanang bahagi ng mga equation term sa pamamagitan ng term, nakakakuha tayo ng equation na may isang variable na 3x=33. Palitan natin ang isa sa mga equation ng system, halimbawa ang una, ng equation na 3x=33. Kunin natin ang sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Mula sa equation na 3x=33 nakita natin na x=11. Ang pagpapalit ng x value na ito sa equation \(x-3y=38\) ay makakakuha tayo ng equation na may variable na y: \(11-3y=38\). Lutasin natin ang equation na ito:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Kaya, natagpuan namin ang solusyon sa sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagdaragdag: \(x=11; y=-9\) o \((11;-9)\)

Sinasamantala ang katotohanan na sa mga equation ng system ang mga coefficient ng y ay magkasalungat na mga numero, binawasan namin ang solusyon nito sa solusyon ng isang katumbas na sistema (sa pamamagitan ng pagsusuma sa magkabilang panig ng bawat isa sa mga equation ng orihinal na sistema), kung saan ang isa ng mga equation ay naglalaman lamang ng isang variable.

Mga aklat (mga aklat-aralin) Mga Abstract ng Unified State Examination at ang Unified State Examination na pagsusulit online Mga laro, puzzle Pag-plot ng mga graph ng mga function Diksyunaryo ng pagbabaybay ng wikang Russian Dictionary of youth slang Catalog of Russian schools Catalog of secondary educational institutions of Russia Catalog of Russian universities List ng mga gawain

§ 1 Pagpili ng mga ugat ng equation sa totoong sitwasyon

Isaalang-alang natin ang totoong sitwasyong ito:

Ang master at apprentice ay magkasamang gumawa ng 400 custom na bahagi. Bukod dito, ang master ay nagtrabaho ng 3 araw, at ang mag-aaral sa loob ng 2 araw. Ilang bahagi ang ginawa ng bawat tao?

Gumawa tayo ng algebraic na modelo ng sitwasyong ito. Hayaang gumawa ang master ng mga bahagi sa loob ng 1 araw. At ang estudyante ay nasa mga detalye. Pagkatapos ang master ay gagawa ng 3 bahagi sa 3 araw, at ang mag-aaral ay gagawa ng 2 bahagi sa 2 araw. Magkasama silang gagawa ng 3 + 2 bahagi. Dahil, ayon sa kondisyon, isang kabuuang 400 bahagi ang ginawa, nakuha namin ang equation:

Ang resultang equation ay tinatawag na linear equation sa dalawang variable. Dito kailangan nating maghanap ng isang pares ng mga numerong x at y kung saan ang equation ay nasa anyo ng isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Tandaan na kung x = 90, y = 65, makuha natin ang pagkakapantay-pantay:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Dahil nakuha ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero, ang pares ng mga numero 90 at 65 ay magiging solusyon sa equation na ito. Ngunit ang solusyon na natagpuan ay hindi lamang isa. Kung x = 96 at y = 56, makuha natin ang pagkakapantay-pantay:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Ito rin ay isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero, na nangangahulugan na ang pares ng mga numero 96 at 56 ay isa ring solusyon sa equation na ito. Ngunit ang isang pares ng mga numerong x = 73 at y = 23 ay hindi magiging solusyon sa equation na ito. Sa katunayan, ang 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 ay magbibigay sa atin ng maling pagkakapantay-pantay ng numero 265 = 400. Dapat tandaan na kung isasaalang-alang natin ang equation na may kaugnayan sa totoong sitwasyong ito, magkakaroon ng mga pares ng mga numero na, pagiging isang solusyon sa equation na ito, ay hindi magiging solusyon sa problema. Halimbawa, isang pares ng mga numero:

x = 200 at y = -100

ay isang solusyon sa equation, ngunit ang mag-aaral ay hindi makakagawa ng -100 na bahagi, at samakatuwid ang gayong pares ng mga numero ay hindi maaaring maging sagot sa tanong ng problema. Kaya, sa bawat tiyak na totoong sitwasyon kinakailangan na kumuha ng makatwirang diskarte sa pagpili ng mga ugat ng equation.

Ibuod natin ang mga unang resulta:

Ang isang equation ng form na ax + bу + c = 0, kung saan ang a, b, c ay anumang mga numero, ay tinatawag na linear equation na may dalawang variable.

Ang solusyon sa isang linear equation sa dalawang variable ay isang pares ng mga numero na tumutugma sa x at y, kung saan ang equation ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero.

§ 2 Graph ng isang linear equation

Ang mismong pag-record ng pares (x;y) ay humahantong sa amin na isipin ang posibilidad na ilarawan ito bilang isang punto na may mga coordinate na xy y sa isang eroplano. Nangangahulugan ito na makakakuha tayo ng isang geometric na modelo tiyak na sitwasyon. Halimbawa, isaalang-alang ang equation:

2x + y - 4 = 0

Pumili tayo ng ilang pares ng mga numero na magiging solusyon sa equation na ito at bumuo ng mga puntos gamit ang mga nakitang coordinate. Hayaan itong maging mga punto:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).

Tandaan na ang lahat ng mga punto ay nasa parehong linya. Ang linyang ito ay tinatawag na graph ng isang linear equation sa dalawang variable. Ito ay isang graphical (o geometric) na modelo ng isang ibinigay na equation.

Kung ang isang pares ng mga numero (x;y) ay isang solusyon sa equation

ax + vy + c = 0, kung gayon ang puntong M(x;y) ay kabilang sa graph ng equation. Masasabi natin ang kabaligtaran: kung ang puntong M(x;y) ay kabilang sa graph ng equation na ax + y + c = 0, kung gayon ang pares ng mga numero (x;y) ay isang solusyon sa equation na ito.

Mula sa kursong geometry alam natin:

Upang makabuo ng isang tuwid na linya, kailangan mo ng 2 puntos, kaya upang mag-plot ng isang graph ng isang linear equation na may dalawang variable, sapat na upang malaman lamang ang 2 pares ng mga solusyon. Ngunit ang paghula sa mga ugat ay hindi palaging isang maginhawa o makatuwirang pamamaraan. Maaari kang kumilos ayon sa isa pang tuntunin. Dahil ang abscissa ng isang punto (variable x) ay isang malayang variable, maaari mo itong bigyan ng anumang maginhawang halaga. Ang pagpapalit ng numerong ito sa equation, makikita natin ang halaga ng variable na y.

Halimbawa, hayaang ibigay ang equation:

Hayaan ang x = 0, pagkatapos ay makuha natin ang 0 - y + 1 = 0 o y = 1. Nangangahulugan ito na kung x = 0, pagkatapos ay y = 1. Ang isang pares ng mga numero (0;1) ay ang solusyon sa equation na ito. Magtakda tayo ng isa pang halaga para sa variable na x: x = 2. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng 2 - y + 1 = 0 o y = 3. Ang pares ng mga numero (2;3) ay isa ring solusyon sa equation na ito. Gamit ang dalawang puntos na natagpuan, posible nang bumuo ng isang graph ng equation na x - y + 1 = 0.

Magagawa mo ito: magtalaga muna ng ilang partikular na halaga sa variable na y, at pagkatapos lamang kalkulahin ang halaga ng x.

§ 3 Sistema ng mga equation

Maghanap ng dalawa natural na mga numero, ang kabuuan nito ay 11 at ang pagkakaiba ay 1.

Upang malutas ang problemang ito, lumikha muna kami ng isang modelo ng matematika (ibig sabihin, isang algebraic). Hayaang ang unang numero ay x at ang pangalawang numero ay y. Pagkatapos ang kabuuan ng mga numero x + y = 11 at ang pagkakaiba ng mga numero x - y = 1. Dahil ang parehong mga equation ay humaharap sa parehong mga numero, ang mga kundisyong ito ay dapat matugunan nang sabay-sabay. Kadalasan sa mga ganitong kaso ay ginagamit ang isang espesyal na rekord. Ang mga equation ay nakasulat sa ibaba ng isa at pinagsama sa isang curly brace.

Ang nasabing talaan ay tinatawag na sistema ng mga equation.

Ngayon ay bumuo tayo ng mga hanay ng mga solusyon sa bawat equation, i.e. mga graph ng bawat isa sa mga equation. Kunin natin ang unang equation:

Kung x = 4, kung gayon y = 7. Kung x = 9, kung gayon y = 2.

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga puntos (4;7) at (9;2).

Kunin natin ang pangalawang equation x - y = 1. Kung x = 5, pagkatapos ay y = 4. Kung x = 7, pagkatapos ay y = 6. Gumuhit din kami ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga puntos (5;4) at (7;6). ). Nakuha namin ang isang geometric na modelo ng problema. Ang pares ng mga numero na interesado tayo sa (x;y) ay dapat na isang solusyon sa parehong mga equation. Sa figure makikita natin ang isang punto na nasa magkabilang linya;

Ang mga coordinate nito ay (6;5). Samakatuwid, ang solusyon sa problema ay: ang unang kinakailangang numero ay 6, ang pangalawa ay 5.

Listahan ng ginamit na panitikan:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7th grade sa 2 bahagi, Part 1, Textbook para sa institusyong pang-edukasyon/ A.G. Mordkovich. – Ika-10 ed., binago – Moscow, “Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra ika-7 baitang sa 2 bahagi, Bahagi 2, Aklat ng problema para sa mga institusyong pang-edukasyon / [A.G. Mordkovich at iba pa]; inedit ni A.G. Mordkovich - ika-10 edisyon, binago - Moscow, "Mnemosyne", 2007
3. SIYA. Tulcinskaya, Algebra ika-7 baitang. Blitz survey: isang manwal para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pangkalahatang edukasyon, ika-4 na edisyon, binago at pinalawak, Moscow, Mnemosyne, 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra ika-7 baitang. Thematic gawaing pagsubok V bagong anyo para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon, na-edit ni A.G. Mordkovich, Moscow, "Mnemosyne", 2011
5. Alexandrova L.A. Algebra ika-7 baitang. Pansariling gawain para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon, na-edit ni A.G. Mordkovich - ika-6 na edisyon, stereotypical, Moscow, "Mnemosyne", 2010

Linear equation na may dalawang variable - anumang equation na may sumusunod na anyo: a*x + b*y =с. Narito ang x at y ay dalawang variable, a,b,c ay ilang mga numero.

Ang solusyon sa linear equation na a*x + b*y = c ay anumang pares ng mga numero (x,y) na nakakatugon sa equation na ito, ibig sabihin, ginagawang tamang pagkakapantay-pantay ng numero ang equation na may mga variable na x at y. Ang isang linear equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Kung ang bawat pares ng mga numero na mga solusyon sa isang linear equation sa dalawang variable ay inilalarawan sa coordinate plane bilang mga puntos, ang lahat ng mga puntong ito ay bumubuo sa graph ng isang linear equation sa dalawang variable. Ang mga coordinate ng mga puntos ay ang aming mga halaga ng x at y. Sa kasong ito, ang x value ay ang abscissa, at ang y value ay ang ordinate.

Graph ng isang Linear Equation sa Dalawang Variable

Ang graph ng isang linear equation na may dalawang variable ay ang set ng lahat ng posibleng puntos sa coordinate plane, ang mga coordinate na magiging solusyon sa linear equation na ito. Madaling hulaan na ang graph ay magiging isang tuwid na linya. Iyon ang dahilan kung bakit ang mga naturang equation ay tinatawag na linear.

Algoritmo ng konstruksiyon

Algorithm para sa paglalagay ng linear equation sa dalawang variable.

1. Gumuhit coordinate axes, lagyan ng label ang mga ito at markahan ang sukat ng yunit.

2. Sa isang linear equation, ilagay ang x = 0, at lutasin ang resultang equation para sa y. Markahan ang resultang punto sa graph.

3. Sa isang linear equation, kunin ang numerong 0 bilang y, at lutasin ang resultang equation para sa x. Markahan ang resultang punto sa graph

4. Kung kinakailangan, kumuha ng arbitraryong halaga ng x at lutasin ang resultang equation para sa y. Markahan ang resultang punto sa graph.

5. Ikonekta ang mga resultang punto at ipagpatuloy ang graph sa kabila ng mga ito. Lagdaan ang resultang tuwid na linya.

Halimbawa: I-graph ang equation na 3*x - 2*y =6;

Ilagay natin ang x=0, pagkatapos - 2*y =6; y= -3;

Ilagay natin ang y=0, pagkatapos ay 3*x = 6; x=2;

Minarkahan namin ang mga nakuha na puntos sa graph, gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga ito at lagyan ng label ito. Tingnan ang figure sa ibaba, dapat na ganito ang hitsura ng graph.

Tulad ng alam mo, may mga equation na naglalaman ng dalawang variable, halimbawa, mga expression ng form:

Bilang karagdagan sa mga numerical na halaga, ang mga naturang expression ay naglalaman ng dalawang monomial na kinasasangkutan ng mga hindi kilalang variable. Sa mga nakaraang video ay tiningnan na natin ang mga katangian ng naturang mga expression, pati na rin ang mga pamamaraan para sa paghahanap ng mga ugat.

Ang anumang equation na may dalawang variable ay may sagot sa anyo ng isang pares ng mga numero na ang mga halaga ng x at y. Kadalasan, mayroong isang walang katapusang hanay ng mga sagot, na tumutugma sa dalawang hanay ng mga numerong x at y. Bilang karagdagan, ang mga naturang equation ay maaaring magkaroon lamang ng isang ugat o walang sagot. Ngunit, sa anumang kaso, kung ang isang tiyak na halaga x ay ibinigay, kung gayon kung mayroong isang tunay na pagkakapantay-pantay, isang katumbas na halaga y ay matatagpuan. Sa madaling salita, ang sagot sa isang equation sa dalawang variable ay palaging isang pares ng mga numero.

Equation ng form:

ay maaaring mabago nang magkapareho, nakakakuha ng katumbas na expression:

y = 2.5 - 0.5x

Sa pamamagitan ng paglipat ng mga termino upang iwanan ang y sa kaliwang bahagi, at x at lahat ng iba pang monomial sa kanan, at paghahati din sa magkabilang panig ng expression sa 2, nakakakuha tayo ng katumbas na equation. Ito ay, sa esensya, isang uri ng relasyon sa pagitan ng argumentong x at ng halagang y. Sa expression na ito, ang dependence na ito ay kinakatawan ng isang analytical linear form. Ngunit maaari rin itong ilarawan nang grapiko sa pamamagitan ng pagpapakita ng mathematical graph sa isang Cartesian coordinate system. Para dito, ang mga halaga ng argumento ay kinakalkula kasama ang abscissa axis, at ang mga halaga ng function ay kinakalkula kasama ang ordinate axis.

Sa madaling salita, sa kaso ng mga equation na may dalawang variable, maaari nating baguhin ang mga ito nang magkapareho sa mga katumbas na maginhawang formula, at pagkatapos ay gumamit ng mga pares ng mga ugat na tumutugma sa tamang solusyon ng equation na ito bilang mga coordinate ng mga puntos sa Cartesian system. Ang ilang mga solusyon sa mga equation ay magbibigay ng ilang mga puntos na konektado sa isang solong graph - isang uri ng hubog na linya.

Kasabay nito, ang mga dependency na maaaring masubaybayan sa pagitan ng mga variable sa isang equation ay hindi palaging gumagana sa mahigpit na kahulugan ng konseptong ito. Halimbawa, isaalang-alang ang dalawang equation:

Sa unang sulyap, ang parehong pagkakapantay-pantay ay medyo magkatulad. Bumuo tayo ng dependence graph para sa bawat isa sa kanila. Tulad ng nakikita natin sa video, ang mga graph ng mga expression na ito ay medyo naiiba sa bawat isa. Kung para sa equation na y + x = 9 ang graph ay isang tuwid na linya na hindi dumadaan sa coordinate center, kung gayon ang y 2 + x 2 = 9 ay may graph sa anyo ng isang regular na bilog na nakapaligid sa gitna sa punto ( 0, 0). Kung susubukan naming gumamit ng graph upang matukoy ang halaga ng y para sa isang naibigay na x, makikita namin na ang bawat argument ay tumutugma sa dalawang halaga ng y. Anumang patayo na iguguhit sa x-axis sa loob ng bilog ay kinakailangang mag-intersect sa bilog sa dalawang punto na may parehong argumento, ngunit may kabaligtaran na mga halaga ng y. Sa matematika ito ay maaaring ipaliwanag tulad ng sumusunod:

x 2 + y 2 = a

y 2 = a - x 2

y = square root (a - x 2)

Ang anumang negatibong halaga ay hindi maaaring magbigay ng mga square root, at anumang positibong halaga ay palaging bumubuo ng isang pares ng mga numero bilang isang sagot, katumbas ng halaga ngunit magkasalungat sa sign. Sa madaling salita, ang bawat halaga ng y na may tulad na dependence ay tumutugma sa dalawang argumento, na sumasalungat sa pangunahing prinsipyo ng function.

Ang isang expression ng form na y + x = 9, gayunpaman, ay isang ordinaryong linear function, dahil ito ay ganap na nakakatugon sa mga kinakailangan nito. Anumang mga equation na may dalawang variable ay maaaring function o hindi.

Isaalang-alang natin ang abstract expression:

Anumang pagkakapantay-pantay na naaayon sa formula na ito ay tinatawag na linear equation na may dalawang variable. Ang graph nito, sa pangkalahatan, ay isang tuwid na linya, at ang mga ugat nito, bilang panuntunan, ay isang hanay ng mga pares ng x at y. Posible ang mga pagbubukod kapag ang anumang koepisyent - a, b, o libreng termino c - ay na-reset sa zero. Kung b = 0, ngunit kung ang a ay hindi katumbas ng 0, kung gayon ang mga sagot sa equation ay isang hanay ng mga pares ng mga halaga kung saan ang x ay palaging magiging katumbas ng isang numero, at ang y ay palaging katumbas ng anumang halaga . Sa katunayan, sa equation:

Ang x ay palaging katumbas ng 3, at ang y ay maaaring katumbas ng anumang numero, dahil ang variable na ito ay nakatakda pa rin sa zero.

Kung a = 0, b = 0, ngunit ang libreng termino ay hindi katumbas ng 0, kung gayon ang equation ay walang tamang solusyon, dahil sa anumang kaso ang prinsipyo ng pagkakapantay-pantay ay nilabag. Ang graph ng equation na ito ay ang walang laman na set. At sa wakas, kung ang lahat ng a, b, c = 0, kung gayon ang anumang kumbinasyon ng x at y ay isang tamang solusyon sa equation, at ang graph ay sumasaklaw sa buong hanay ng numero (ang Cartesian network plane).

Upang pagsama-samahin ang materyal, bumuo tayo ng isang graph ng equation:

Ibahin natin ang expression sa isang linear equation na may dalawang variable:

1/3(x) + 0y = 1

0y = 1 - 1/3(x)

Ang graph ng expression na ito ay magiging isang tuwid na linya na patayo sa x-axis sa punto (3, 0). Para sa anumang y, ang halaga ng argumento ay palaging 3.

Kahulugan: ax + by + c = 0, kung saan ang a, b at c ay mga numero (tinatawag ding coefficients), at ang a at b ay hindi katumbas ng zero, ang x at y ay mga variable, na tinatawag na linear equation na may equation ng form dalawang variable. Halimbawa 1: 5 x – 2 y + 10 = 0 – linear equation na may dalawang variable: a = 5, b = -2, c = 10, x at y ay mga variable. Halimbawa 2: – 4 x = 6 y – 14 – ay isa ring linear equation sa dalawang variable. Kung ililipat natin ang lahat ng termino ng equation sa kaliwang bahagi, makukuha natin ang parehong equation na nakasulat sa pangkalahatang anyo: – 4 x – 6 y + 14 = 0, kung saan a = – 4, b = – 6, c = 14, x at y – mga variable. Pangkalahatang view ang isang linear equation na may dalawang variable ay tinatawag na entry: ax + by + c = 0, kapag ang lahat ng terms ng equation ay nakasulat sa kaliwang bahagi ng = sign, at zero ang nakasulat sa kanang bahagi. Halimbawa 3: 3 z – 5 w + 15 = 0 – ay isa ring linear equation sa dalawang variable. Sa kasong ito, ang mga variable ay z at w. Ang mga variable sa halip na x at y ay maaaring maging anumang mga titik ng alpabetong Latin.

Kaya, ang isang linear equation na may dalawang variable ay maaaring tawaging anumang equation na naglalaman ng dalawang variable, maliban sa dalawang kaso: 1. Kapag ang mga variable sa equation ay itinaas sa isang kapangyarihan maliban sa una! Halimbawa 1: -5 x 2 + 3 y + 9 = 0 – ay hindi isang linear equation, dahil ang variable na x ay nasa pangalawang kapangyarihan. Halimbawa 2: 6 x – y 5 + 12 = 0 – ay hindi isang linear equation, dahil ang variable na y ay nasa ikalimang kapangyarihan. 2. Kapag ang isang equation ay naglalaman ng variable sa denominator! Halimbawa 3: 2 x + 3/y + 18 = 0 ay hindi isang linear equation, dahil ang variable na y ay nasa denominator. Halimbawa 4: 1/x – 2/y + 3 = 0 – ay hindi isang linear equation, dahil ang mga variable na x at y ay nakapaloob sa denominator.

Depinisyon: Ang solusyon sa isang linear na equation na may dalawang variable na ax + by + c = 0 ay anumang pares ng mga numero (x; y), na, kapag ipinalit sa equation na ito, nagiging tunay na pagkakapantay-pantay. Halimbawa 1: Para sa linear equation 5 x – 2 y + 10 = 0, ang solusyon ay isang pares ng mga numero (-4; -5). Madali itong i-verify kung papalitan mo ang x = -4 at y = -5 sa equation: 5·(-4) – 2·(-5) + 10 = 0 -20 + 20 = 0 – tamang pagkakapantay-pantay. Halimbawa 2: Para sa parehong equation na 5 x – 2 y + 10 = 0, ang pares ng mga numero (1; 4) ay hindi solusyon: 5 1 – 2 4 + 10 = 0 5 – 8 + 10 = 0 7 = 0 – hindi tunay na pagkakapantay-pantay.

Para sa anumang linear equation na may dalawang variable, maaari kang pumili ng walang katapusang bilang ng mga pares ng numero (x; y) na magiging mga solusyon nito. Sa katunayan, para sa linear equation mula sa nakaraang halimbawa 5 x – 2 y + 10 = 0, bilang karagdagan sa pares ng mga numero (-4; -5), ang mga solusyon ay magiging mga pares ng mga numero: (0; 5), ( -2; 0), (2 ; 10), (-3; -2, 5), (-1; 2, 5), atbp. Ang ganitong mga pares ng mga numero ay maaaring mapili nang walang katapusan. Tandaan: Ang solusyon sa isang linear equation na may dalawang variable ay nakasulat sa panaklong, na ang halaga ng variable na x ay palaging nakasulat sa unang lugar, at ang halaga ng variable na y ay palaging nakasulat sa pangalawang lugar!

Ang graph ng isang linear equation na may dalawang variable na ax + by + c = 0 ay isang tuwid na linya. Halimbawa: ang graph ng equation 2 x + y – 2 = 0 ay mukhang ipinapakita sa figure. Ang lahat ng mga punto sa isang tuwid na linya sa isang graph ay mga solusyon sa isang ibinigay na linear equation. Ang graph ng isang linear equation sa dalawang variable ay isang geometric na modelo ng equation na ito: kaya, gamit ang isang graph, maaaring ilarawan ng isa ang isang walang katapusang bilang ng mga solusyon sa isang linear equation sa dalawang variable.

Paano i-graph ang linear equation ax + by + c = 0? Isulat natin ang action plan: 1. Magtakda ng rectangular coordinate system upang mailarawan ang lahat ng solusyon sa linear equation (x; y), gagamit tayo ng rectangular coordinate system, kung saan ilalagay natin ang mga value ng variable x kasama ang Ox axis, at ang mga halaga ng variable y kasama ang Oy axis . 2. Pumili ng dalawang pares ng mga numero: (x1; y1) at (x2; y2), na mga solusyon para sa linear na equation na ito humiga sa parehong tuwid na linya. Ngunit upang gumuhit ng isang tuwid na linya - isang graph ng isang linear equation, kailangan lang namin ng dalawang ganoong solusyon, dahil alam namin na isang tuwid na linya lamang ang maaaring iguhit sa pamamagitan ng dalawang puntos. Nakaugalian na isulat ang mga napiling solusyon sa anyo ng isang talahanayan: x x1 x2 y y1 y2 3. Iguhit ang mga puntos (x1; y1) at (x2; y2) sa isang rectangular coordinate system. Gumuhit ng tuwid na linya sa dalawang puntong ito - ito ang magiging graph ng equation na ax + by + c = 0.

Halimbawa: bumuo tayo ng graph ng linear equation 5 x – 2 y + 10 = 0: 1. Magtakda tayo ng rectangular coordinate system x. Оу: 2. Pumili tayo ng dalawang solusyon para sa ating equation at isulat ang mga ito -4 -2 x sa talahanayan: y -5 0 Para sa equation na 5 x – 2 y + 10 = 0, ang mga solusyon ay, halimbawa, mga pares ng mga numero : (-4; - 5) at (-2; 0) (tingnan ang slide 5). Isulat natin ang mga ito sa isang talahanayan. Tandaan: ang isang pares ng mga numero (2; 10) ay isa ring solusyon sa ating equation (tingnan ang slide 5), ngunit hindi maginhawang buuin ang coordinate y = 10 sa ating coordinate system, dahil mayroon lamang tayong 7 cell sa kahabaan ng y- axis up, at ipagpatuloy ang axis walang lugar. Samakatuwid: upang makabuo ng isang graph ng isang linear na equation, mula sa buong walang katapusang hanay ng mga solusyon, pipiliin namin ang mga pares ng mga numero (x; y) na mas maginhawang gawin sa isang rectangular coordinate system!

Halimbawa: gumawa tayo ng graph ng linear equation 5 x – 2 y + 10 = 0: x -4 -2 y -5 0 3. Bumuo tayo ng graph: Bumuo tayo ng point (-4; -5) sa coordinate system: I-plot namin ang coordinate -4 kasama ang x-axis Sa kahabaan ng y-axis namin i-plot ang coordinate -5 Sa intersection ng mga coordinate nakuha namin ang unang punto. Sa katulad na paraan, bumuo kami ng isang punto na may mga coordinate (-2; 0): Sa kahabaan ng x-axis ay inilalagay namin ang coordinate -2 Sa kahabaan ng y-axis ay inilalagay namin ang coordinate 0. Sa intersection ng mga coordinate nakuha namin ang pangalawang punto. -4 -2 0 -5 Gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng dalawang puntos - graph ng linear equation 5 x – 2 y + 10 = 0

Linear function. Kung ipahayag natin ang variable na y mula sa linear equation ax + by + c = 0, iyon ay, muling isulat ang equation sa anyo kung saan ang y ay nasa kaliwang bahagi ng equation, at lahat ng iba ay nasa kanan: ax + by + c = 0 - ilipat ang ax at c sa kanang bahagi ng = – ax – с – ipahayag natin ang y y = (– ax – с): b, kung saan b ≠ 0 у = – a/b · х – с/b, ipahiwatig – a/b = k at – с/b = m y = kx + m – nakakuha kami ng mas simpleng pag-record ng isang linear equation na may dalawang variable. Kaya, ang isang linear equation na may dalawang variable, na nakasulat sa anyo: y = kx + m, kung saan ang mga variable, k at m ay coefficients, ay tinatawag na linear function. xy – Ang variable na x ay tinatawag na independent variable o argument. Ang variable na y ay tinatawag na dependent variable o ang halaga ng function.

Iskedyul linear function. Dahil ang linear function ay isang espesyal na anyo ng isang linear equation na may dalawang variable, at ang graph ng isang linear equation ay isang tuwid na linya, maaari nating gawin ang sumusunod na konklusyon: ang graph ng isang linear function na y = kx + m ay isang tuwid na linya . Paano mag-graph ng isang linear function? Nagtatakda kami ng isang rectangular coordinate system. Nakahanap tayo ng mga pares ng mga numero: (x1; y1) at (x2; y2), x x1 x2, na mga solusyon para sa linear function na y1 y2 at isulat ang mga ito sa talahanayan. Upang makahanap ng mga solusyon sa isang linear function, hindi kinakailangang piliin ang mga ito sa iyong ulo, tulad ng ginawa namin para sa isang linear equation. Kailangan nating italaga ang variable na x mga tiyak na halaga x1 at x2, at, palitan ang mga ito nang halili sa function, kalkulahin ang mga halaga ng y1 = kx 1 + m at y2 = kx 2 + m. Tandaan: ang variable na x ay maaaring bigyan ng ganap na anumang mga halaga, ngunit ipinapayong kumuha ng mga numero na magiging maginhawa para sa amin upang bumuo sa isang hugis-parihaba na coordinate system, halimbawa, ang mga numero 0, 1, -1. 3. Bumubuo kami ng mga puntos (x1; y1) at (x2; y2), at gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga ito - ito ang magiging graph ng linear function.

Halimbawa 1: bumuo tayo ng graph ng linear function na y = 0.5 x + 4: 1. Magtakda tayo ng rectangular coordinate system. 2. Punan ang talahanayan: x 0 -2 y 4 3 Bigyan natin ang variable x specific values ​​​​x1 at x2: mas maginhawang kumuha ng x1 = 0, dahil mas madaling magbilang ng zero, makuha natin ang: y1 = 0. 5 0 + 4 = 4 x2 ay maaaring kunin na katumbas ng 1, ngunit ang y2 ay magiging isang fractional na numero: 0.5 1 + 4 = 4.5 - ito ay hindi maginhawa upang itayo ito sa coordinate plane; x2 katumbas ng 2 o -2. Hayaan ang x2 = -2, makuha natin ang: y2 = 0.5·(-2) + 4 = -1 + 4 = 3 4 3 -2 0 3. Bumuo tayo ng mga puntos (0; 4) at (-2; 3) sa coordinate plane ) gumuhit ng tuwid na linya sa mga puntong ito - nakakakuha tayo ng graph ng linear function na y = 0.5 x + 4

Halimbawa 2: bumuo tayo ng graph ng linear function na y = -2 x + 1: 1. Magtakda tayo ng rectangular coordinate system. 2. Punan ang talahanayan: x 0 1 y 1 -1 Bigyan natin ang variable x specific values ​​​​x1 at x2: halimbawa x1 = 0, makuha natin ang: y1 = -2 0 + 1 = 1 1 1 -1 0 hayaan ang x2 = 1, makuha natin ang: y2 = -2 1 + 1 = -2 + 1 = -1 3. Bumuo tayo ng mga puntos (0; 1) at (1; -1) sa coordinate plane at gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng ang mga puntong ito - nakakakuha kami ng isang graph ng linear function na y = -2 x + 1

Halimbawa 3: i-graph ang linear function na y = -2 x + 1, at hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga mga function sa pagitan [-2; 3] 1. Bumuo tayo ng graph ng function (tingnan ang nakaraang slide). Ang halaga ng function ay ang halaga ng variable y. Kaya, kailangan mong hanapin ang y ang pinakamalaki at y ang pinakamaliit kung ang variable x ang pinakamaliit ay maaari lamang kumuha ng mga halaga mula sa pagitan [-2; 3]. 2. Markahan ang segment [-2; 3] 3. Sa mga dulo ng segment ay gumuhit kami ng mga tuwid na linya parallel sa Oy axis, Oy at markahan ang mga punto ng intersection ng mga linyang ito gamit ang graph. Dahil, ayon sa kondisyon, binigyan kami ng isang segment, gumuhit kami ng mga shaded na puntos! 5 - pinakamalaking 1 1 -2 0 3 pinakamaliit - -5 4. Hanapin ang mga ordinate ng mga nakuhang puntos: y = 5 at y = -5. -5 Malinaw na ang pinakamalaking halaga ng y ay mula sa pagitan [-5; 5] ay y = 5, at 5 ang pinakamaliit - y = -5. -5

Pagpipilian 3. Gawain Blg. 1: bumuo ng graph ng linear function na y = 1/2 x – 2. 1. Magtakda ng rectangular coordinate system. 2. Punan ang talahanayan: x 0 2 y -2 -1 Bigyan natin ang variable x specific values ​​​​x1 at x2: halimbawa x1 = 0, makuha natin ang: y1 = 1/2 0 – 2 = -2 let x2 = 2, makuha natin ang: y2 = 1/2 · 2 – 2 = 1 – 2 = -1 0 2 -1 -2 3. Bumuo tayo ng mga puntos (0; -2) at (2; -1) sa coordinate plane at gumuhit ng isang tuwid na linya sa mga puntong ito - makakakuha tayo ng isang graph ng mga linear na function y = 1/2 x – 2

Gawain Blg. 1: Gamit ang graph, hanapin: a) ang pinakamaliit at pinakamataas na halaga mga function sa pagitan [-2; 4] Ang halaga ng function ay ang halaga ng variable na y. Kaya, kailangan mong hanapin ang y ang pinakamalaki at y ang pinakamaliit kung ang variable x ang pinakamaliit ay maaari lamang kumuha ng mga halaga mula sa pagitan [-2; 4]. 1. Markahan ang segment [-2; 4] 2. Sa mga dulo ng segment hanggang sa mag-intersect ito sa graph, gumuhit ng mga tuwid na linya parallel sa Oy axis. Оу Minarkahan namin ang mga punto ng intersection ng mga linyang ito gamit ang graph. Dahil ayon sa kondisyon na binibigyan kami ng isang segment, gumuhit kami ng mga shaded na puntos! greatest - 0 -2 -1 -2 2 4 -3 - least 3. Hanapin ang mga ordinate ng mga nakuhang puntos: y = 0 at y = -3. -3 Malinaw na ang pinakamalaking halaga ng y ay mula sa pagitan [-3; 0] ay y = 0, at ang pinakamaliit ay y = -3. -3

Gawain Blg. 1: Gamit ang isang graph, hanapin: a) ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga ng function sa segment [-2; 4] Tandaan: mula sa graph ay hindi laging posible na tumpak na matukoy ang mga coordinate ng isang partikular na punto, ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga sukat ng mga cell sa notebook ay maaaring hindi perpektong pantay, o maaari kaming gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng dalawang puntos na medyo baluktot. At ang resulta ng naturang error ay maaaring ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function ay hindi tama na natagpuan. Samakatuwid: kung makita namin ang mga coordinate ng ilang mga punto sa graph, siguraduhing suriin pagkatapos sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga nahanap na coordinate sa equation ng function! Suriin: palitan natin ang mga coordinate ng hnaim. = -2 at unaim. = -3 sa function na y = 1/2 x – 2: -3 = 1/2 · (-2) – 2 -3 = -1 – 2 -3 = -3 – tama. Palitan natin ang mga coordinate ng hnaib. = 4 at unaib. = 0 sa function na y = 1/2 x – 2: 0 = 1/2 · 4 – 2 0=2– 2 0 = 0 – tama. Sagot: unaib = 0, unaim = -3

Gawain Blg. 1: Gamit ang isang graph, hanapin: b) ang mga halaga ng variable x kung saan y ≤ 0. Sa coordinate plane, lahat ng value ng variable y - mas mababa sa zero - ay matatagpuan sa ibaba ng Ox aksis. Ox Kaya, upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay y ≤ 0, kailangan mong isaalang-alang ang bahagi ng graph 2 na matatagpuan sa ibaba ng Ox axis at, gamit ang 4 -∞ 0 gap, isulat kung anong mga halaga ang kinukuha ng -1 variable x . -2 1. Markahan natin ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng Ox axis 2. Markahan natin ang punto ng intersection ng graph sa Ox axis, ang Ox ay ang punto na may coordinate x = 4. Dahil wala tayong mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. "≤", ang punto ay dapat na may kulay! 3. Markahan ang bahagi ng axis ng Ox na naaayon sa napiling bahagi ng graph at ito ang magiging gustong lugar. Isinulat namin ang sagot: x ay kabilang sa pagitan (-∞; 4] – square bracket, dahil sa kondisyon ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit na “≤” !

Gawain Blg. 2: Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang y = 3 x at y = -2 x - 5 Ang gawaing ito ay maaaring malutas sa dalawang paraan. Paraan 1 - graphical: Bumuo tayo ng mga graph ng mga linear na function na ito sa isang coordinate plane: 1. Magtakda ng rectangular coordinate system. 2. Punan ang 0 x table para sa 0 y function y = 3 x take x1 = 0, makuha natin ang: y1 = 3 0 = 0 3 1 3 take x2 = 1, makuha natin ang: y2 = 3 1 = 3 3. Bumuo sa coordinate plane points (0; 0) at (1; 3) gumuhit ng graph sa mga puntong ito - isang tuwid na linya. 0 1

Gawain Blg. 2: Hanapin ang mga coordinate ng intersection point ng mga linyang y = 3 x at y = -2 x - 5 4. Punan ang 0 -1 x table para sa -5 -3 function na y = -2 x - 5 y kunin ang x1 = 0, makuha namin ang: y1 = -2 · 0 – 5 = -5 kunin ang x2 = -1, makuha namin ang: y2 = -2 · (-1) – 5 = 2 – 5 = -3 5. Bumuo puntos (0; -5) sa coordinate plane at (-1; -3) 3 -1 0 1 -3 gumuhit ng graph -5 6 sa pamamagitan ng mga puntong ito Hanapin ang abscissa at ordinate ng intersection point ng mga resultang graph. x = -1 at y = -3. -3 Tandaan: kung tayo ang magpapasya graphically, at sa sandaling nahanap na natin ang abscissa at ordinate ng intersection point ng mga graph, kailangang suriin sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga nakitang coordinate sa parehong equation! Suriin: para sa y = 3 x: -3 = 3 · (-1) para sa y = -2 x – 5: -3 = -2 · (-1) – 5 -3 = -3 - tamang Sagot: (-1 ; -3)

Gawain Blg. 2: Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linyang y = 3 x at y = -2 x - 5 Paraan 2 - analytical: Hayaang mag-intersect ang mga linyang ito sa puntong A(x; y), ang mga coordinate x at y kung saan dapat nating mahanap. Isaalang-alang ang mga function na y = 3 x at y = -2 x – 5 bilang mga linear equation na may dalawang variable. Dahil ang parehong mga linya ay dumadaan sa punto A, ang mga coordinate ng puntong ito: isang pares ng mga numero (x; y) - ay isang solusyon para sa parehong mga equation, iyon ay, kailangan nating pumili ng isang pares ng mga numero (x; y) upang kapag pagpapalit sa una at sa pangalawang equation, ang resulta ay isang tamang pagkakapantay-pantay. At makikita natin ang pares ng mga numerong ito tulad ng sumusunod: dahil ang kaliwang panig ng mga equation ay katumbas ng y = y, kung gayon, nang naaayon, maaari nating itumbas ang mga kanang bahagi ng mga equation na ito: 3 x = -2 x – 5. Pagsulat 3 x = -2 x – 5 – Ito ay isang linear equation na may isang variable, lutasin natin ito at hanapin ang variable x: Solusyon: 3 x = -2 x – 5 3 x + 2 x = -5 5 x = -5: 5 x = -1 Nakukuha namin ang x = -1. Ngayon ang lahat na natitira ay upang palitan ang x = -1 sa alinman sa mga equation at hanapin ang variable na y. Ito ay mas maginhawa upang palitan ang y = 3 x sa unang equation, makuha namin ang: y = 3 · (-1) = -3 Nakukuha namin ang point A na may mga coordinate (-1; -3). Sagot: (-1; -3)

Gawain Blg. 3: a) Hanapin ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng graph ng linear equation 3 x + 5 y + 15 = 0 na may coordinate axes Ang graph ng isang linear equation, tulad ng alam mo na, ay a tuwid na linya, at maaari nitong i-intersect ang coordinate axes Ox at Oy sa isang punto , kung ito ay dumaan sa pinanggalingan, at ang puntong ito (0; 0); o sa dalawang punto: 1. (x; 0) – ang punto ng intersection ng graph sa Ox axis 2. (0; y) – ang punto ng intersection ng graph sa Oy axis. Hanapin natin ang mga puntong ito: 1. I-substitute ang value na y = 0 sa equation, makukuha natin: 3 x + 5 0 + 15 = 0 - lutasin ang equation na ito at hanapin ang x. 3 x + 15 = 0 3 x = -15 Nakakuha kami ng punto na may mga coordinate: (-5; 0) - ito ang intersection point x = -15: 3 graph na may Ox axis x = -5 2. Palitan ang halaga x = 0 sa equation, makukuha natin ang: 3·0 + 5 y + 15 = 0 – lutasin ang equation na ito at hanapin ang y. 5 y + 15 = 0 5 y = -15 Nakatanggap kami ng punto na may mga coordinate: (0; -3) - ito ang punto ng intersection ng y = -15: 5 graph na may Oy axis y = -3 Sagot: ( -5; 0) at ( 0; -3)

Gawain Blg. 3: b) Tukuyin kung ang punto C(1/3; -3, 2) ay kabilang sa graph ng equation na 3 x + 5 y + 15 = 0. Kung ang punto C(1/3; -3, 2) ) ay kabilang sa graph ng equation na ito, pagkatapos ito ay isang solusyon para sa equation na ito, iyon ay, kapag pinapalitan ang mga halaga x = 1/3 at y = -3, 2 sa equation, dapat makuha ang tamang pagkakapantay-pantay! Kung hindi, kung ang isang tunay na pagkakapantay-pantay ay hindi nakuha, ang puntong ito ay hindi kabilang sa graph ng equation na ito. I-substitute natin ang x = 1/3 at y = -3, 2 sa equation at suriin ang: 3 1/3 + 5 (-3, 2) + 15 = 0 1 – 16 + 15 = 0 – 15 + 15 = 0 0 = 0 – tunay na pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, ang punto C ay kabilang sa graph ng equation na 3 x + 5 y + 15 = 0 Sagot: ang punto C(1/3; -3, 2) ay kabilang sa graph ng equation na 3 x + 5 y + 15 = 0

Gawain Blg. 4: a) Tukuyin ang linear function na y = kx sa pamamagitan ng isang formula kung alam na ang graph nito ay parallel sa tuwid na linya 6 x - y - 5 = 0. b) Tukuyin kung ang linear function na iyong tinukoy ay tumataas o bumababa. Theorem sa relatibong posisyon ng mga graph ng mga linear na function: Dahil sa dalawang linear na function y = k 1 x + m 1 at y = k 2 x + m 2: Kung k 1 = k 2, habang m 1 ≠ m 2, pagkatapos ay ang mga graph ng mga function na ito ay parallel. Kung k 1 ≠ k 2 , at m 1 ≠ m 2 , kung gayon ang mga graph ng mga function na ito ay nagsalubong. Kung k 1 = k 2 , at m 1 = m 2 , kung gayon ang mga graph ng mga function na ito ay nag-tutugma. a) Ayon sa theorem sa relatibong posisyon ng mga graph ng mga linear na function: kung ang mga tuwid na linya y = kx at 6 x – y – 5 = 0 ay parallel, kung gayon ang coefficient k ng function na y = kx, kx ay katumbas ng ang coefficient k ng function na 6 x – y – 5 = 0. 0 Bawasan natin ang equation na 6 x – y – 5 = 0 sa anyo ng linear function at isulat ang mga coefficient nito: 6 x – y – 5 = 0 – ilipat -y sa kanan, makakakuha tayo ng: 6 x – 5 = y o y = 6 x – 5, k = 6, m = – 5. 6 5 Samakatuwid, ang function na y = kx ay may anyo: y = 6 x . 6 x b) Ang function ay tumataas kung k > 0 at bumababa kung k 0! 0 Sagot: y = 6 x, tumataas ang function. 6 x

Gawain Blg. 5: Sa anong halaga ng p ang solusyon sa equation na 2 px + 3 y + 5 p = 0 isang pares ng mga numero (1, 5, -4)? Dahil ang pares ng mga numero (1, 5; -4) ay isang solusyon para sa equation na ito, pinapalitan namin ang mga halaga ng x = 1, 5 at y = -4 sa equation na 2 px + 3 y + 5 p = 0, makuha natin ang: 2 p 1 , 5 + 3 · (-4) + 5 p = 0 – gawin ang multiplication 3 p – 12 + 5 p = 0 – lutasin ang equation na ito at hanapin ang p 3 p + 5 p = 12 8 p = 12: 8 p = 1, 5 Samakatuwid, para sa p = 1.5, ang solusyon sa equation na 2 px + 3 y + 5 p = 0 ay isang pares ng mga numero (1, 5; -4) Suriin: para sa p = 1.5 namin makuha ang equation: 2 1.5 x + 3 y + 5 1, 5 = 0 3 x + 3 y + 7, 5 = 0 – palitan ang x = 1, 5 at y = -4 sa equation na ito, makuha natin ang: 3 1, 5 + 3 (-4 ) + 7, 5 = 0 4, 5 – 12 + 7, 5 = 0 0 = 0 – tama. Sagot: p = 1.5