Termeh-Vorträge. Vorlesungsreihe zur Theoretischen Mechanik

Einführung

Die Theoretische Mechanik ist eine der wichtigsten grundlegenden allgemeinen wissenschaftlichen Disziplinen. Sie spielt bedeutende Rolle in der Ausbildung von Ingenieuren jeglicher Fachrichtung. Allgemeine Ingenieurdisziplinen basieren auf den Ergebnissen der theoretischen Mechanik: Festigkeit von Materialien, Maschinenteilen, Theorie von Mechanismen und Maschinen und anderen.

Die Hauptaufgabe der theoretischen Mechanik ist die Untersuchung der Bewegung materieller Körper unter dem Einfluss von Kräften. Eine wichtige besondere Aufgabe ist die Untersuchung des Gleichgewichts von Körpern unter dem Einfluss von Kräften.

Vorlesungskurs. Theoretische Mechanik

    Die Struktur der theoretischen Mechanik. Grundlagen der Statik

    Gleichgewichtsbedingungen für ein beliebiges Kräftesystem.

    Gleichgewichtsgleichungen für einen starren Körper.

    Flaches Kräftesystem.

    Sonderfälle des Starrkörpergleichgewichts.

    Gleichgewichtsproblem für einen Balken.

    Bestimmung von Schnittgrößen in Stabtragwerken.

    Grundlagen der Punktkinematik.

    Natürliche Koordinaten.

    Eulers Formel.

    Verteilung der Beschleunigungen von Punkten eines starren Körpers.

    Translations- und Rotationsbewegungen.

    Planparallele Bewegung.

    Komplexe Punktbewegung.

    Grundlagen der Punktdynamik.

    Differentialgleichungen der Bewegung eines Punktes.

    Besondere Arten von Kraftfeldern.

    Grundlagen der Dynamik eines Punktesystems.

    Allgemeine Sätze zur Dynamik eines Punktesystems.

    Dynamik der Rotationsbewegung des Körpers.

    Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurs der theoretischen Mechanik. M., Höhere Schule, 1983.

    Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Kurs der theoretischen Mechanik, Teil 1 und 2. M., Higher School, 1971.

    Petkewitsch V.V. Theoretische Mechanik. M., Nauka, 1981.

    Sammlung von Aufgaben für Kursarbeit in der theoretischen Mechanik. Ed. A.A. Yablonsky. M., Höhere Schule, 1985.

Vorlesung 1. Die Struktur der theoretischen Mechanik. Grundlagen der Statik

IN Theoretische Mechanik Untersucht wird die Bewegung von Körpern relativ zu anderen Körpern, die physikalische Bezugssysteme sind.

Die Mechanik ermöglicht es, die Bewegung von Körpern nicht nur zu beschreiben, sondern auch vorherzusagen und kausale Zusammenhänge in einem bestimmten, sehr breiten Spektrum von Phänomenen herzustellen.

Grundlegende abstrakte Modelle realer Körper:

    materieller Punkt – hat Masse, aber keine Größe;

    absolut starrer Körper – ein Volumen mit endlichen Abmessungen, das vollständig mit einer Substanz gefüllt ist und bei dem sich die Abstände zwischen zwei beliebigen Punkten des das Volumen füllenden Mediums während der Bewegung nicht ändern;

    kontinuierlich verformbares Medium – füllt ein endliches Volumen oder einen unbegrenzten Raum; Die Abstände zwischen Punkten in einem solchen Medium können variieren.

Davon Systeme:

System kostenloser Materialpunkte;

Verbundene Systeme;

Ein absolut fester Körper mit einem mit Flüssigkeit usw. gefüllten Hohlraum.

"Degenerieren" Modelle:

Unendlich dünne Stäbchen;

Unendlich dünne Platten;

Schwerelose Stäbe und Fäden, die Materialpunkte usw. verbinden.

Aus Erfahrung: Mechanische Phänomene treten an verschiedenen Stellen des physikalischen Bezugssystems unterschiedlich auf. Diese Eigenschaft ist die Heterogenität des Raumes, bestimmt durch das physikalische Bezugssystem. Unter Heterogenität wird hier die Abhängigkeit der Art des Auftretens eines Phänomens vom Ort verstanden, an dem wir dieses Phänomen beobachten.

Eine weitere Eigenschaft ist die Anisotropie (Nichtisotropie), die Bewegung eines Körpers relativ zu einem physikalischen Bezugssystem kann je nach Richtung unterschiedlich sein. Beispiele: Flussfluss entlang des Meridians (von Norden nach Süden - Wolga); Projektilflug, Foucaultsches Pendel.

Die Eigenschaften des Referenzsystems (Inhomogenität und Anisotropie) erschweren die Beobachtung der Bewegung eines Körpers.

Praktisch frei davon - geozentrisch System: Der Mittelpunkt des Systems liegt im Mittelpunkt der Erde und das System dreht sich nicht relativ zu den „Fixsternen“. Das geozentrische System eignet sich zur Berechnung von Bewegungen auf der Erde.

Für Himmelsmechanik(für Körper des Sonnensystems): heliozentrisches Bezugssystem, das sich mit dem Massenschwerpunkt bewegt Sonnensystem und dreht sich nicht relativ zu den „Fixsternen“. Für dieses System noch nicht entdeckt Heterogenität und Anisotropie des Raumes

in Bezug auf mechanische Phänomene.

Daher wird die Zusammenfassung eingeführt Trägheit Bezugssystem, für das der Raum homogen und isotrop ist in Bezug auf mechanische Phänomene.

Trägheitsreferenzrahmen- jemand, dessen eigene Bewegung durch kein mechanisches Experiment nachgewiesen werden kann. Gedankenexperiment: „Ein Punkt allein auf der ganzen Welt“ (isoliert) ist entweder in Ruhe oder bewegt sich geradlinig und gleichmäßig.

Alle Bezugssysteme, die sich relativ zum ursprünglichen geradlinig und gleichmäßig bewegen, sind träge. Dies ermöglicht die Einführung eines einheitlichen kartesischen Koordinatensystems. Ein solcher Raum heißt Euklidisch.

Konventionelle Vereinbarung - Nehmen Sie das richtige Koordinatensystem (Abb. 1).

IN Zeit– in der klassischen (nichtrelativistischen) Mechanik absolut, für alle Bezugssysteme gleich, d. h. das Anfangsmoment ist willkürlich. Im Gegensatz zur relativistischen Mechanik, wo das Relativitätsprinzip zur Anwendung kommt.

Der Bewegungszustand des Systems zum Zeitpunkt t wird durch die Koordinaten und Geschwindigkeiten der Punkte in diesem Moment bestimmt.

Reale Körper interagieren und es entstehen Kräfte, die den Bewegungszustand des Systems verändern. Dies ist die Essenz der theoretischen Mechanik.

Wie wird theoretische Mechanik studiert?

    Die Lehre vom Gleichgewicht einer Menge von Körpern eines bestimmten Bezugsrahmens - Abschnitt Statik.

    Kapitel Kinematik: Teil der Mechanik, in dem Abhängigkeiten zwischen Größen untersucht werden, die den Bewegungszustand von Systemen charakterisieren, die Gründe, die eine Änderung des Bewegungszustands verursachen, jedoch nicht berücksichtigt werden.

Anschließend betrachten wir den Einfluss von Kräften [HAUPTTEIL].

    Kapitel Dynamik: Teilgebiet der Mechanik, das sich mit dem Einfluss von Kräften auf den Bewegungszustand von Systemen materieller Objekte befasst.

Grundsätze für den Aufbau des Hauptgangs – Dynamik:

1) basierend auf einem Axiomensystem (basierend auf Erfahrungen, Beobachtungen);

Ständig – rücksichtslose Kontrolle der Praxis. Zeichen der exakten Wissenschaft – Vorhandensein einer internen Logik (ohne sie – Reihe unabhängiger Rezepte)!

Statisch wird der Teil der Mechanik genannt, in dem die Bedingungen untersucht werden, die die auf ein System materieller Punkte einwirkenden Kräfte erfüllen müssen, damit das System im Gleichgewicht ist, sowie die Bedingungen für die Äquivalenz von Kräftesystemen.

Gleichgewichtsprobleme der Elementarstatik werden ausschließlich mit geometrischen Methoden betrachtet, die auf den Eigenschaften von Vektoren basieren. Dieser Ansatz wird verwendet in geometrische Statik(im Gegensatz zur analytischen Statik, die hier nicht betrachtet wird).

Die Positionen verschiedener materieller Körper werden auf das Koordinatensystem bezogen, das wir als stationär betrachten.

Ideale Modelle materieller Körper:

1) materieller Punkt – ein geometrischer Punkt mit Masse.

2) Ein absolut starrer Körper ist eine Ansammlung materieller Punkte, deren Abstände durch keine Aktionen verändert werden können.

Durch Kräfte wir rufen an objektive Gründe, die das Ergebnis der Wechselwirkung materieller Objekte sind und in der Lage sind, die Bewegung von Körpern aus dem Ruhezustand zu bewirken oder deren bestehende Bewegung zu verändern.

Da die Kraft durch die von ihr verursachte Bewegung bestimmt wird, ist sie je nach Wahl des Bezugssystems auch relativer Natur.

Es wird die Frage nach der Natur der Kräfte betrachtet in der Physik.

Ein System materieller Punkte befindet sich im Gleichgewicht, wenn es im Ruhezustand keine Bewegung durch die auf es einwirkenden Kräfte erfährt.

Aus der Alltagserfahrung: Kräfte haben vektorielle Natur, also Größe, Richtung, Wirkungslinie, Angriffspunkt. Die Bedingung für das Gleichgewicht der auf einen starren Körper wirkenden Kräfte wird auf die Eigenschaften von Vektorsystemen reduziert.

Galileo und Newton fassten ihre Erfahrungen beim Studium der physikalischen Naturgesetze zusammen und formulierten die Grundgesetze der Mechanik, die als Axiome der Mechanik betrachtet werden können, da sie es sind basieren auf experimentellen Fakten.

Axiom 1. Die Wirkung mehrerer Kräfte auf einen Punkt eines starren Körpers entspricht der Wirkung einer einzigen resultierende Kraft konstruiert nach der Regel der Vektoraddition (Abb. 2).

Folge. Die auf einen Punkt eines starren Körpers wirkenden Kräfte summieren sich nach der Parallelogrammregel.

Axiom 2. Zwei Kräfte wirken auf einen starren Körper gegenseitig ausgeglichen genau dann, wenn sie gleich groß, in entgegengesetzte Richtungen gerichtet sind und auf derselben Geraden liegen.

Axiom 3. Die Wirkung eines Kräftesystems auf einen starren Körper ändert sich nicht, wenn diesem System hinzufügen oder daraus verwerfen zwei Kräfte gleicher Größe, die in entgegengesetzte Richtungen gerichtet sind und auf derselben Geraden liegen.

Folge. Die auf einen Punkt eines starren Körpers wirkende Kraft kann entlang der Wirkungslinie der Kraft übertragen werden, ohne dass sich das Gleichgewicht ändert (d. h. die Kraft ist ein gleitender Vektor, Abb. 3).

1) Aktiv – erzeugen oder sind in der Lage, die Bewegung eines starren Körpers zu erzeugen. Zum Beispiel Gewichtskraft.

2) Passiv – keine Bewegung erzeugen, sondern die Bewegung eines festen Körpers einschränken und Bewegung verhindern. Zum Beispiel die Spannkraft eines nicht dehnbaren Fadens (Abb. 4).

Axiom 4. Die Wirkung eines Körpers auf einen zweiten ist der Wirkung dieses zweiten Körpers auf den ersten gleich und entgegengesetzt ( Aktion ist gleich Reaktion).

Wir werden die geometrischen Bedingungen nennen, die die Bewegung von Punkten begrenzen Verbindungen.

Kommunikationsbedingungen: zum Beispiel,

- Stab der indirekten Länge l.

- flexibler, nicht dehnbarer Faden der Länge l.

Als Kräfte werden Kräfte bezeichnet, die durch Verbindungen entstehen und die Bewegung behindern Reaktionskräfte.

Axiom 5. Die einem System materieller Punkte auferlegten Verbindungen können durch Reaktionskräfte ersetzt werden, deren Wirkung der Wirkung der Verbindungen äquivalent ist.

Wenn passive Kräfte die Wirkung aktiver Kräfte nicht ausgleichen können, beginnt Bewegung.

Zwei besondere Probleme der Statik

1. System konvergierender Kräfte, die auf einen starren Körper wirken

Ein System konvergierender Kräfte Man spricht hier von einem Kräftesystem, dessen Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden, der stets als Koordinatenursprung angenommen werden kann (Abb. 5).

Projektionen des Ergebnisses:

;

;

.

Wenn , dann verursacht die Kraft die Bewegung des starren Körpers.

Gleichgewichtsbedingung für ein konvergierendes Kräftesystem:

2. Gleichgewicht dreier Kräfte

Wenn drei Kräfte auf einen starren Körper einwirken und sich die Wirkungslinien der beiden Kräfte in einem Punkt A schneiden, ist ein Gleichgewicht genau dann möglich, wenn die Wirkungslinie der dritten Kraft ebenfalls durch Punkt A verläuft und die Kraft selbst es ist gleich groß und entgegengesetzt zur Summe (Abb. 6).

Beispiele:

Kraftmoment um Punkt O Definieren wir es als Vektor, in Größe gleich der doppelten Fläche eines Dreiecks, dessen Basis der Kraftvektor mit dem Scheitelpunkt an einem gegebenen Punkt O ist; Richtung– orthogonal zur Ebene des betreffenden Dreiecks in der Richtung, aus der die durch die Kraft um den Punkt O erzeugte Drehung sichtbar ist gegen den Uhrzeigersinn. ist das Moment des Gleitvektors und ist kostenloser Vektor(Abb.9).

Also: oder

,

Wo ;;.

Dabei ist F der Kraftmodul und h die Schulter (der Abstand vom Punkt zur Kraftrichtung).

Kraftmoment um die Achse ist der algebraische Wert der Projektion des Vektors des Kraftmoments relativ zu einem beliebigen Punkt O auf dieser Achse auf diese Achse (Abb. 10).

Dies ist ein Skalar, der von der Wahl des Punktes unabhängig ist. Lassen Sie uns in der Tat erweitern :|| und im Flugzeug.

Zu den Momenten: O 1 sei der Schnittpunkt mit der Ebene. Dann:

a) von - Moment => Projektion = 0.

b) von - Moment entlang => ist eine Projektion.

Also, Das Moment um eine Achse ist das Moment der Kraftkomponente in einer Ebene senkrecht zur Achse relativ zum Schnittpunkt der Ebene und der Achse.

Satz von Varignon für ein System konvergierender Kräfte:

Moment der resultierenden Kraft für ein System konvergierender Kräfte relativ zu einem beliebigen Punkt A ist gleich der Summe der Momente aller Komponentenkräfte relativ zu demselben Punkt A (Abb. 11).

Nachweisen in der Theorie konvergenter Vektoren.

Erläuterung: Addition der Kräfte nach der Parallelogrammregel => die resultierende Kraft ergibt ein Gesamtmoment.

Kontrollfragen:

1. Nennen Sie die wichtigsten Modelle realer Körper in der theoretischen Mechanik.

2. Formulieren Sie die Axiome der Statik.

3. Wie nennt man das Kraftmoment um einen Punkt?

Vorlesung 2. Gleichgewichtsbedingungen für ein beliebiges Kräftesystem

Aus den Grundaxiomen der Statik ergeben sich elementare Kräfteoperationen:

1) Kraft kann entlang der Wirkungslinie übertragen werden;

2) Kräfte, deren Wirkungslinien sich schneiden, können nach der Parallelogrammregel (nach der Vektoradditionsregel) addiert werden;

3) Zu dem auf einen starren Körper wirkenden Kräftesystem können immer zwei Kräfte gleicher Größe hinzugefügt werden, die auf derselben Geraden liegen und in entgegengesetzte Richtungen gerichtet sind.

Elementare Operationen verändern den mechanischen Zustand des Systems nicht.

Nennen wir zwei Kräftesysteme gleichwertig, wenn das eine vom anderen durch elementare Operationen erhalten werden kann (wie in der Theorie der gleitenden Vektoren).

Ein System aus zwei parallelen Kräften gleicher Größe und entgegengesetzter Richtung wird genannt ein paar Kräfte(Abb. 12).

Moment ein paar Kräfte- ein Vektor, dessen Größe der Fläche des aus den Vektoren des Paares aufgebauten Parallelogramms entspricht und orthogonal zur Ebene des Paares in der Richtung gerichtet ist, von der aus gesehen wird, dass die durch die Vektoren des Paares verliehene Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn erfolgt .

, also das Kraftmoment relativ zum Punkt B.

Ein Kräftepaar wird vollständig durch sein Moment charakterisiert.

Ein Kräftepaar kann durch elementare Operationen auf jede Ebene parallel zur Ebene des Paares übertragen werden; Ändern Sie die Größe der Kräfte des Paares umgekehrt proportional zu den Schultern des Paares.

Kräftepaare können addiert werden, und die Momente von Kräftepaaren werden nach der Additionsregel (freier) Vektoren addiert.

Bringen eines Systems von Kräften, die auf einen starren Körper wirken, an einen beliebigen Punkt (Reduktionszentrum)- bedeutet, das derzeitige System durch ein einfacheres zu ersetzen: ein System aus drei Kräften, von denen eine durch einen vorgegebenen Punkt verläuft und die anderen beiden ein Paar darstellen.

Dies lässt sich mit elementaren Operationen beweisen (Abb. 13).

Ein System konvergierender Kräfte und ein System von Kräftepaaren.

- resultierende Kraft.

Resultierendes Paar.

Das musste gezeigt werden.

Zwei Kräftesysteme Wille Äquivalent genau dann, wenn beide Systeme auf eine resultierende Kraft und ein resultierendes Paar reduziert werden, d. h. wenn die Bedingungen erfüllt sind:

Allgemeiner Fall des Gleichgewichts eines Kräftesystems, das auf einen starren Körper einwirkt

Reduzieren wir das Kräftesystem auf (Abb. 14):

Resultierende Kraft durch den Ursprung;

Das resultierende Paar verläuft außerdem durch Punkt O.

Das heißt, sie führten zu und - zwei Kräften, von denen eine durch einen bestimmten Punkt O geht.

Gleichgewicht, wenn die beiden auf derselben Geraden gleich und entgegengesetzt gerichtet sind (Axiom 2).

Dann passiert es den Punkt O, das heißt.

Also, allgemeine Bedingungen für das Gleichgewicht eines festen Körpers:

Diese Bedingungen gelten für einen beliebigen Punkt im Raum.

Kontrollfragen:

1. Listen Sie die elementaren Operationen auf Kräften auf.

2. Welche Kräftesysteme werden als äquivalent bezeichnet?

3. Schreiben Sie die allgemeinen Bedingungen für das Gleichgewicht eines starren Körpers auf.

Vorlesung 3. Gleichgewichtsgleichungen für einen starren Körper

Sei O der Koordinatenursprung; – resultierende Kraft; – Moment des resultierenden Paares. Punkt O1 sei das neue Reduktionszentrum (Abb. 15).

Neues Energiesystem:

Wenn sich der Reduktionspunkt ändert, ändert sich => nur (in eine Richtung mit einem Vorzeichen, in die andere Richtung mit einem anderen). Das ist der Punkt: Die Zeilen stimmen überein

Analytisch: (Kolinearität von Vektoren)

; Koordinaten von Punkt O1.

Dies ist die Gleichung einer Geraden, für alle Punkte, deren Richtung des resultierenden Vektors mit der Richtung des Moments des resultierenden Paares übereinstimmt – die Gerade heißt Dynamo.

Wenn die Dynamik => auf der Achse ist, dann entspricht das System einer resultierenden Kraft, die aufgerufen wird resultierende Kraft des Systems. Zur gleichen Zeit, also immer.

Vier Fälle von Kräfteeinbringung:

1.) ;- Dynamik.

2.) ;- Resultierend.

3.) ;- Paar.

4.) ;- Bilanz.

Zwei Vektorgleichgewichtsgleichungen: Der Hauptvektor und das Hauptmoment sind gleich Null.

Oder sechs Skalargleichungen in Projektionen auf kartesische Koordinatenachsen:

Hier:

Die Komplexität der Art der Gleichungen hängt von der Wahl des Reduktionspunktes => der Geschicklichkeit des Rechners ab.

Finden der Gleichgewichtsbedingungen für ein System fester Körper in Wechselwirkung<=>das Problem des Gleichgewichts jedes Körpers einzeln, und auf den Körper wirken äußere Kräfte und innere Kräfte (die Wechselwirkung von Körpern an Kontaktpunkten mit gleichen und entgegengesetzt gerichteten Kräften - Axiom IV, Abb. 17).

Wählen wir für alle Körper des Systems ein Adduktionszentrum. Dann gilt für jeden Körper mit der Gleichgewichtsbedingungsnummer:

, , (= 1, 2, …, k)

wobei , die resultierende Kraft und das resultierende Moment des resultierenden Paares aller Kräfte mit Ausnahme interner Reaktionen ist.

Die resultierende Kraft und das resultierende Moment des resultierenden Kräftepaares interner Reaktionen.

Formales Summieren nach und unter Berücksichtigung des IV-Axioms

wir bekommen notwendige Bedingungen für das Gleichgewicht eines festen Körpers:

,

Beispiel.

Gleichgewicht: = ?

Kontrollfragen:

1. Nennen Sie alle Fälle, in denen ein Kräftesystem an einen Punkt gebracht wird.

2. Was ist Dynamik?

3. Formulieren Sie die notwendigen Bedingungen für das Gleichgewicht eines Systems fester Körper.

Vorlesung 4. Flaches Kraftsystem

Ein Sonderfall der allgemeinen Problemstellung.

Lassen Sie alle wirkenden Kräfte in derselben Ebene liegen – zum Beispiel einem Blatt. Wählen wir Punkt O als Reduktionszentrum – in derselben Ebene. Wir erhalten die resultierende Kraft und den resultierenden Dampf in derselben Ebene, das heißt (Abb. 19)

Kommentar.

Das System kann auf eine resultierende Kraft reduziert werden.

Gleichgewichtsbedingungen:

oder Skalar:

Sehr häufig bei Anwendungen wie der Festigkeitsprüfung von Materialien.

Beispiel.

Mit der Reibung des Balls auf dem Brett und auf der Ebene. Gleichgewichtszustand: = ?

Das Problem des Gleichgewichts eines unfreien starren Körpers.

Ein starrer Körper, dessen Bewegung durch Bindungen eingeschränkt wird, wird als unfrei bezeichnet. Zum Beispiel andere Aufbauten, Scharnierbefestigungen.

Bei der Bestimmung der Gleichgewichtsbedingungen gilt: Ein unfreier Körper kann als frei betrachtet werden und Bindungen mit unbekannten Reaktionskräften ersetzen.

Beispiel.

Kontrollfragen:

1. Was nennt man ein ebenes Kräftesystem?

2. Schreiben Sie die Gleichgewichtsbedingungen für ein ebenes Kräftesystem.

3. Welcher Festkörper heißt unfrei?

Vorlesung 5. Sonderfälle des Starrkörpergleichgewichts

Satz. Drei Kräfte gleichen einen starren Körper nur dann aus, wenn sie alle in derselben Ebene liegen.

Nachweisen.

Als Reduktionspunkt wählen wir einen Punkt auf der Wirkungslinie der dritten Kraft. Dann (Abb. 22)

Das heißt, die Ebenen S1 und S2 fallen zusammen, und zwar für jeden Punkt auf der Kraftachse usw. (Einfacher: im Flugzeug nur zum Ausbalancieren da).

Im Rahmen eines jeden Bildungsgangs beginnt das Studium der Physik mit der Mechanik. Nicht aus der Theorie, nicht aus der angewandten oder rechnerischen, sondern aus der guten alten klassischen Mechanik. Diese Mechanik wird auch Newtonsche Mechanik genannt. Der Legende nach ging ein Wissenschaftler durch den Garten und sah einen Apfel fallen. Dieses Phänomen veranlasste ihn, das Gesetz der universellen Gravitation zu entdecken. Natürlich hat es das Gesetz schon immer gegeben und Newton hat ihm nur eine für die Menschen verständliche Form gegeben, aber sein Verdienst ist unbezahlbar. In diesem Artikel werden wir die Gesetze der Newtonschen Mechanik nicht so detailliert wie möglich beschreiben, aber wir werden die Grundlagen skizzieren, Grundwissen, Definitionen und Formeln, die Ihnen immer in die Hände spielen können.

Die Mechanik ist ein Zweig der Physik, eine Wissenschaft, die die Bewegung materieller Körper und die Wechselwirkungen zwischen ihnen untersucht.

Das Wort selbst hat Griechischer Ursprung und bedeutet übersetzt „die Kunst, Maschinen zu bauen“. Aber bevor wir Maschinen bauen, sind wir immer noch wie der Mond, also lasst uns in die Fußstapfen unserer Vorfahren treten und die Bewegung von Steinen studieren, die schräg zum Horizont geworfen werden, und von Äpfeln, die aus einer Höhe h auf unseren Kopf fallen.


Warum beginnt das Studium der Physik mit der Mechanik? Da dies völlig natürlich ist, sollten wir nicht mit dem thermodynamischen Gleichgewicht beginnen?!

Die Mechanik ist eine der ältesten Wissenschaften, und historisch gesehen begann das Studium der Physik genau mit den Grundlagen der Mechanik. Im Rahmen von Zeit und Raum konnten die Menschen tatsächlich nicht mit etwas anderem beginnen, egal wie sehr sie wollten. Sich bewegende Körper sind das Erste, worauf wir achten.

Was ist Bewegung?

Mechanische Bewegung ist eine zeitliche Änderung der Position von Körpern im Raum relativ zueinander.

Nach dieser Definition kommen wir ganz natürlich zum Konzept eines Bezugsrahmens. Ändern der Position von Körpern im Raum relativ zueinander. Stichworte Hier: relativ zueinander . Schließlich bewegt sich ein Passagier in einem Auto relativ zu der am Straßenrand stehenden Person mit einer bestimmten Geschwindigkeit, ruht relativ zu seinem Sitznachbarn auf dem Sitz neben ihm und bewegt sich relativ zu dem Passagier mit einer anderen Geschwindigkeit in dem Auto, das sie überholt.


Deshalb brauchen wir, um die Parameter sich bewegender Objekte normal zu messen und nicht verwirrt zu werden Bezugssystem – starr miteinander verbundener Bezugskörper, Koordinatensystem und Uhr. Beispielsweise bewegt sich die Erde in einem heliozentrischen Bezugssystem um die Sonne. Im Alltag führen wir fast alle unsere Messungen in einem mit der Erde verbundenen geozentrischen Bezugssystem durch. Die Erde ist ein Bezugskörper, relativ zu dem sich Autos, Flugzeuge, Menschen und Tiere bewegen.


Die Mechanik als Wissenschaft hat ihre eigene Aufgabe. Die Aufgabe der Mechanik besteht darin, jederzeit die Position eines Körpers im Raum zu kennen. Mit anderen Worten: Die Mechanik erstellt eine mathematische Beschreibung der Bewegung und findet Verbindungen zwischen den physikalischen Größen, die sie charakterisieren.

Um weiterzukommen, brauchen wir das Konzept „ materieller Punkt " Man sagt, die Physik sei eine exakte Wissenschaft, aber Physiker wissen, wie viele Näherungen und Annahmen gemacht werden müssen, um sich auf genau diese Genauigkeit zu einigen. Niemand hat jemals einen materiellen Punkt gesehen oder ein ideales Gas gerochen, aber es gibt sie! Es ist einfach viel einfacher, mit ihnen zu leben.

Ein materieller Punkt ist ein Körper, dessen Größe und Form im Rahmen dieses Problems vernachlässigt werden kann.

Abschnitte der klassischen Mechanik

Die Mechanik besteht aus mehreren Abschnitten

  • Kinematik
  • Dynamik
  • Statik

Kinematik Aus physikalischer Sicht untersucht es genau, wie sich ein Körper bewegt. Mit anderen Worten: In diesem Abschnitt geht es um die quantitativen Merkmale der Bewegung. Geschwindigkeit, Weg finden – typische Kinematikprobleme

Dynamik löst die Frage, warum es sich so bewegt, wie es sich bewegt. Das heißt, es berücksichtigt die auf den Körper wirkenden Kräfte.

Statik untersucht das Gleichgewicht von Körpern unter dem Einfluss von Kräften, beantwortet also die Frage: Warum fällt es überhaupt nicht?

Grenzen der Anwendbarkeit der klassischen Mechanik.

Die klassische Mechanik erhebt nicht mehr den Anspruch, eine Wissenschaft zu sein, die alles erklärt (zu Beginn des letzten Jahrhunderts war alles noch völlig anders), sondern hat einen klaren Rahmen für die Anwendbarkeit. Im Allgemeinen gelten die Gesetze der klassischen Mechanik in der Welt, die wir in ihrer Größe gewohnt sind (Makrowelt). Im Fall der Teilchenwelt funktionieren sie nicht mehr, wenn die Quantenmechanik die klassische Mechanik ersetzt. Außerdem ist die klassische Mechanik nicht auf Fälle anwendbar, in denen die Bewegung von Körpern mit einer Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit erfolgt. In solchen Fällen treten relativistische Effekte deutlich hervor. Grob gesagt ist dies im Rahmen der Quantenmechanik und der relativistischen Mechanik – der klassischen Mechanik – ein Sonderfall, wenn die Abmessungen des Körpers groß und die Geschwindigkeit klein ist. Mehr dazu erfahren Sie in unserem Artikel.


Im Allgemeinen verschwinden Quanteneffekte und relativistische Effekte nie; sie treten auch bei der gewöhnlichen Bewegung makroskopischer Körper mit einer Geschwindigkeit auf, die viel geringer als die Lichtgeschwindigkeit ist. Eine andere Sache ist, dass der Effekt dieser Effekte so gering ist, dass er nicht über die genauesten Messungen hinausgeht. Die klassische Mechanik wird daher nie ihre grundlegende Bedeutung verlieren.

Wir werden uns in zukünftigen Artikeln weiterhin mit den physikalischen Grundlagen der Mechanik befassen. Um die Mechanik besser zu verstehen, können Sie sich jederzeit an sie wenden, die individuell Licht in den dunklen Fleck der schwierigsten Aufgabe bringen.

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Vorlesungsreihe zur theoretischen Mechanik Dynamik (Teil I) Bondarenko A.N. Moskau – 2007 Der elektronische Schulungskurs wurde auf der Grundlage von Vorlesungen des Autors für Studierende der Fachrichtungen SZhD, PGS und SDM am NIIZhT und MIIT (1974-2006) verfasst. Unterrichtsmaterial entspricht Kalenderpläne für drei Semester. Um Animationseffekte während einer Präsentation vollständig umzusetzen, müssen Sie einen PowerPoint-Viewer verwenden, der mindestens dem integrierten entspricht Microsoft Office Betriebssystem Windows-XP Professional. Kommentare und Anregungen können per E-Mail gesendet werden: [email protected]. Moskau Staatliche Universität Eisenbahnen (MIIT), Abteilung für Theoretische Mechanik, Wissenschaftliches und Technisches Zentrum für Verkehrstechnologien

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Inhalt Vorlesung 1. Einführung in die Dynamik. Gesetze und Axiome der Dynamik eines materiellen Punktes. Grundgleichung der Dynamik. Differential- und natürliche Bewegungsgleichungen. Zwei Hauptprobleme der Dynamik. Beispiele für die Lösung eines direkten Problems der Dynamik Vorlesung 2. Lösung eines inversen Problems der Dynamik. Allgemeine Anweisungen zur Lösung des inversen Problems der Dynamik. Beispiele zur Lösung des inversen Problems der Dynamik. Die Bewegung eines schräg zur Horizontalen geworfenen Körpers, ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands. Vorlesung 3. Geradlinige Schwingungen eines materiellen Punktes. Voraussetzung für das Auftreten von Schwingungen. Klassifizierung von Schwingungen. Freie Schwingungen ohne Berücksichtigung von Widerstandskräften. Gedämpfte Schwingungen. Abnahme der Schwingungen. Vorlesung 4. Erzwungene Schwingungen eines materiellen Punktes. Resonanz. Der Einfluss des Bewegungswiderstands bei erzwungenen Vibrationen. Vorlesung 5. Relative Bewegung eines materiellen Punktes. Trägheitskräfte. Spezielle Bewegungsfälle für verschiedene Arten von tragbaren Bewegungen. Der Einfluss der Erdrotation auf das Gleichgewicht und die Bewegung von Körpern. Vorlesung 6. Dynamik eines mechanischen Systems. Mechanisches System. Äußere und innere Kräfte. Schwerpunkt des Systems. Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts. Naturschutzgesetze. Ein Beispiel für die Lösung eines Problems mit dem Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts. Vorlesung 7. Kraftimpuls. Bewegungsmenge. Satz über die Impulsänderung. Naturschutzgesetze. Satz von Euler. Ein Beispiel für die Lösung eines Problems mit dem Satz über die Impulsänderung. Schwung. Satz über die Änderung des Drehimpulses. Vorlesung 8. Erhaltungssätze. Elemente der Theorie der Trägheitsmomente. Kinetisches Moment eines starren Körpers. Differentialgleichung für die Rotation eines starren Körpers. Ein Beispiel für die Lösung eines Problems mithilfe des Satzes über die Änderung des Drehimpulses eines Systems. Elementare Theorie des Gyroskops. Empfohlene Lektüre 1. Yablonsky A.A. Kurs der theoretischen Mechanik. Teil 2. M.: Höhere Schule. 1977 368 S. 2. Meshchersky I.V. Sammlung von Problemen zur theoretischen Mechanik. M.: Wissenschaft. 1986 416 S. 3. Aufgabensammlung für Hausarbeiten / Ed. A.A. Jablonsky. M.: Höhere Schule. 1985 366 S. 4. Bondarenko A.N. „Theoretische Mechanik in Beispielen und Problemen. Dynamics“ (elektronisches Handbuch www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

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Vorlesung 1 Dynamik ist ein Abschnitt der theoretischen Mechanik, der mechanische Bewegung aus allgemeinster Sicht untersucht. Bewegung wird im Zusammenhang mit den auf ein Objekt wirkenden Kräften betrachtet. Der Abschnitt besteht aus drei Abschnitten: Dynamik eines materiellen Punktes Dynamik Dynamik eines mechanischen Systems Analytische Mechanik ■ Dynamik eines Punktes – untersucht die Bewegung eines materiellen Punktes unter Berücksichtigung der Kräfte, die diese Bewegung verursachen. Das Hauptobjekt ist ein materieller Punkt – ein materieller Körper mit Masse, dessen Abmessungen vernachlässigt werden können. Grundannahmen: – Es gibt einen absoluten Raum (hat rein geometrische Eigenschaften, die nicht von der Materie und ihrer Bewegung abhängen. – Es gibt eine absolute Zeit (unabhängig von der Materie und ihrer Bewegung). Daraus folgt: – Es gibt einen absolut bewegungslosen Rahmen von Referenz. – Die Zeit hängt nicht von der Bewegung des Referenzsystems ab. Diese Annahmen werden in der klassischen Mechanik von Galileo und Newton verwendet breites Anwendungsspektrum, da die in den angewandten Wissenschaften betrachteten mechanischen Systeme keine so großen Bewegungsgeschwindigkeiten aufweisen, für die es notwendig ist, ihren Einfluss auf die Geometrie von Raum, Zeit und Bewegung zu berücksichtigen, wie dies in der Relativistik der Fall ist Mechanik (Relativitätstheorie) ■ Die Grundgesetze der Dynamik – erstmals von Galileo entdeckt und von Newton formuliert – bilden die Grundlage aller Methoden zur Beschreibung und Analyse der Bewegung mechanischer Systeme und ihrer dynamischen Wechselwirkung unter dem Einfluss verschiedener Kräfte. ■ Trägheitsgesetz (Galileo-Newton-Gesetz) – Ein isolierter materieller Punkt, ein Körper, behält seinen Ruhezustand oder seine gleichmäßige lineare Bewegung bei, bis ihn einwirkende Kräfte zwingen, diesen Zustand zu ändern. Dies impliziert die Äquivalenz von Ruhe- und Bewegungszustand durch Trägheit (Galileis Relativitätsgesetz). Das Bezugssystem, in Bezug auf das das Trägheitsgesetz gilt, wird Trägheit genannt. Die Eigenschaft eines materiellen Punktes, die Geschwindigkeit seiner Bewegung (seinen kinematischen Zustand) konstant zu halten, wird als Trägheit bezeichnet. ■ Gesetz der Proportionalität von Kraft und Beschleunigung (Grundgleichung der Dynamik – Newtons II. Gesetz) – Die Beschleunigung, die durch eine Kraft auf einen materiellen Punkt ausgeübt wird, ist direkt proportional zur Kraft und umgekehrt proportional zur Masse dieses Punktes: oder Hier ist m die Masse des Punktes (ein Maß für die Trägheit), gemessen in kg, numerisch gleich Gewicht dividiert durch die Erdbeschleunigung: F ist die wirkende Kraft, gemessen in N (1 N verleiht einem Punkt eine Beschleunigung von 1 m/s2). 1 kg, 1 N = 1/9. 81 kg-s). ■ Dynamik eines mechanischen Systems – untersucht die Bewegung einer Reihe materieller Punkte und starrer Körper in Kombination allgemeine Gesetze Interaktion unter Berücksichtigung der Kräfte, die diese Bewegung verursachen. ■ Analytische Mechanik – untersucht die Bewegung eingeschränkter mechanischer Systeme mithilfe allgemeiner analytischer Methoden. 1

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Vorlesung 1 (Fortsetzung – 1.2) Differentialgleichungen der Bewegung eines materiellen Punktes: - Differentialgleichung der Bewegung eines Punktes in Vektorform. - Differentialgleichungen der Bewegung eines Punktes in Koordinatenform. Dieses Ergebnis kann durch formale Projektion der Vektordifferentialgleichung (1) erhalten werden. Nach der Gruppierung zerfällt die Vektorbeziehung in drei Skalargleichungen: In Koordinatenform: Wir verwenden die Verbindung zwischen dem Radiusvektor mit Koordinaten und dem Kraftvektor mit Projektionen: oder: Wir ersetzen die Beschleunigung eines Punktes durch eine in der angegebene Vektorbewegung Grundgleichung der Dynamik: Natürliche Bewegungsgleichungen eines materiellen Punktes erhält man durch Projektion der Vektordifferentialgleichung der Bewegung auf natürliche (bewegte) Koordinatenachsen: oder: - natürliche Bewegungsgleichungen eines Punktes. ■ Grundgleichung der Dynamik: - entspricht der Vektormethode zur Angabe der Bewegung eines Punktes. ■ Gesetz der Unabhängigkeit der Krafteinwirkung – Die Beschleunigung eines materiellen Punktes unter der Einwirkung mehrerer Kräfte ist gleich der geometrischen Summe der Beschleunigungen des Punktes durch die Einwirkung jeder einzelnen Kraft: oder Das Gesetz gilt für jeder kinematische Zustand von Körpern. Wechselwirkungskräfte, die angewendet werden verschiedene Punkte(Körper) sind nicht ausgeglichen. ■ Gesetz der Gleichheit von Aktion und Reaktion (Newtons III. Gesetz) – Jede Aktion entspricht einer gleich großen und entgegengesetzt gerichteten Reaktion: 2

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Zwei Hauptprobleme der Dynamik: 1. Direktes Problem: Bewegung ist gegeben (Bewegungsgleichungen, Trajektorie). Es gilt, die Kräfte zu bestimmen, unter deren Einfluss eine bestimmte Bewegung auftritt. 2. Inverses Problem: Gegeben sind die Kräfte, unter deren Einfluss die Bewegung erfolgt. Es ist erforderlich, die Bewegungsparameter (Bewegungsgleichungen, Bewegungsbahn) zu finden. Beide Probleme werden mithilfe der Grundgleichung der Dynamik und ihrer Projektion auf die Koordinatenachsen gelöst. Betrachtet man die Bewegung eines unfreien Punktes, so kommt wie in der Statik das Prinzip der Befreiung von Zusammenhängen zum Einsatz. Dadurch gehen die Reaktionen der Bindungen in die auf den Materialpunkt wirkenden Kräfte ein. Die Lösung des ersten Problems hängt mit Differenzierungsoperationen zusammen. Die Lösung des inversen Problems erfordert die Integration der entsprechenden Differentialgleichungen, und dies ist viel schwieriger als die Differentiation. Das inverse Problem ist schwieriger als das direkte Problem. Schauen wir uns die Lösung des direkten Problems der Dynamik anhand von Beispielen an: Beispiel 1. Eine Aufzugskabine mit dem Gewicht G wird an einem Seil mit der Beschleunigung a angehoben. Bestimmen Sie die Seilspannung. 1. Wählen Sie ein Objekt aus (die Aufzugskabine bewegt sich translatorisch und kann als materieller Punkt betrachtet werden). 2. Wir verwerfen die Verbindung (Kabel) und ersetzen sie durch die Reaktion R. 3. Wir stellen die Grundgleichung der Dynamik auf: Bestimmen Sie die Reaktion des Kabels: Bestimmen Sie die Spannung des Kabels: Bei gleichmäßiger Bewegung der Kabine ist ay = 0 und die Spannung des Seils ist gleich dem Gewicht: T = G. Wenn das Seil reißt, ist T = 0 und die Beschleunigung der Kabine ist gleich der Erdbeschleunigung: ay = -g. 3 4. Wir projizieren die Grundgleichung der Dynamik auf die y-Achse: y Beispiel 2. Ein Punkt mit der Masse m bewegt sich entlang einer horizontalen Fläche (Oxy-Ebene) gemäß den Gleichungen: x = a coskt, y = b coskt. Bestimmen Sie die auf den Punkt wirkende Kraft. 1. Wählen Sie ein Objekt (Materialpunkt) aus. 2. Wir verwerfen die Verbindung (Ebene) und ersetzen sie durch die Reaktion N. 3. Wir fügen dem Kräftesystem eine unbekannte Kraft F hinzu. 4. Wir stellen die Grundgleichung der Dynamik auf: 5. Wir projizieren die Grundgleichung der Dynamik auf die x-, y-Achsen: Wir bestimmen die Projektionen der Kraft: Kraftmodul: Richtungskosinus : Somit ist die Größe der Kraft proportional zum Abstand des Punktes zum Koordinatenmittelpunkt und ist entlang der Verbindungslinie zum Mittelpunkt gerichtet den Punkt zur Mitte. Die Flugbahn eines Punktes ist eine Ellipse mit einem Mittelpunkt im Ursprung: O r Vorlesung 1 (Fortsetzung – 1.3)

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Vorlesung 1 (Fortsetzung 1.4) Beispiel 3: Eine Last mit dem Gewicht G hängt an einem Seil der Länge l und bewegt sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn in einer horizontalen Ebene. Der Abweichungswinkel des Kabels von der Vertikalen ist gleich. Bestimmen Sie die Spannung im Seil und die Geschwindigkeit der Last. 1. Wählen Sie ein Objekt (Fracht) aus. 2. Wir verwerfen die Verbindung (Kabel) und ersetzen sie durch die Reaktion R. 3. Wir stellen die Grundgleichung der Dynamik auf: Aus der dritten Gleichung bestimmen wir die Reaktion des Kabels: Wir bestimmen die Spannung des Kabels: Wir ersetzen den Wert der Reaktion des Kabels, der Normalbeschleunigung in der zweiten Gleichung und bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Last: 4. Wir projizieren die Dynamik der Hauptgleichung auf die Achse,n,b: Beispiel 4: Ein Auto mit dem Gewicht G bewegt sich auf einer konvexen Fläche Brücke (Krümmungsradius gleich R) mit Geschwindigkeit V. Bestimmen Sie den Druck des Autos auf der Brücke. 1. Wählen Sie ein Objekt aus (Auto, vernachlässigen Sie die Abmessungen und betrachten Sie es als Punkt). 2. Wir verwerfen die Verbindung (raue Oberfläche) und ersetzen sie durch Reaktionen N und Reibungskraft Ftr. 3. Wir stellen die Grundgleichung der Dynamik auf: 4. Wir projizieren die Grundgleichung der Dynamik auf die n-Achse: Von hier aus bestimmen wir die normale Reaktion: Wir bestimmen den Druck des Autos auf der Brücke: Von hier aus können wir die Geschwindigkeit bestimmen entsprechend Nulldruck auf der Brücke (Q = 0): 4

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Vorlesung 2 Nachdem wir die gefundenen Werte der Konstanten ersetzt haben, erhalten wir: Somit kann ein materieller Punkt unter dem Einfluss desselben Kräftesystems eine ganze Klasse von Bewegungen ausführen, die durch die Anfangsbedingungen bestimmt werden. Die Anfangskoordinaten berücksichtigen die Anfangsposition des Punktes. Die durch die Projektionen angegebene Anfangsgeschwindigkeit berücksichtigt den Einfluss der auf den Punkt einwirkenden Kräfte auf seine Bewegung entlang des betrachteten Abschnitts der Flugbahn, bevor dieser Abschnitt erreicht wird, d.h. anfänglicher kinematischer Zustand. Lösung des inversen Problems der Dynamik – Im allgemeinen Fall der Bewegung eines Punktes sind die auf den Punkt wirkenden Kräfte zeit-, koordinaten- und geschwindigkeitsabhängige Variablen. Die Bewegung eines Punktes wird durch ein System aus drei Differentialgleichungen zweiter Ordnung beschrieben: Nach der Integration jeder dieser Gleichungen ergeben sich sechs Konstanten C1, C2,…., C6: Die Werte der Konstanten C1, C2,…. , C6 werden aus sechs Anfangsbedingungen bei t = 0 ermittelt: Beispiel 1 Lösung Umkehrproblem: Ein freier materieller Punkt der Masse m bewegt sich unter der Wirkung einer Kraft F, die in Modul und Größe konstant ist. . Im Anfangsmoment betrug die Geschwindigkeit des Punktes v0 und stimmte in der Richtung mit der Kraft überein. Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung eines Punktes. 1. Wir bilden die Grundgleichung der Dynamik: 3. Wir verringern die Ordnung der Ableitung: 2. Wir wählen einen kartesischen Bezugsrahmen, richten die x-Achse entlang der Richtung der Kraft und projizieren die Grundgleichung der Dynamik auf diese Achse : oder x y z 4. Wir trennen die Variablen: 5. Wir berechnen die Integrale beider Seiten der Gleichung: 6. Stellen wir uns die Geschwindigkeitsprojektion als Ableitung der Koordinate nach der Zeit vor: 8. Wir berechnen die Integrale beider Seiten der Gleichung: 7. Wir trennen die Variablen: 9. Um die Werte der Konstanten C1 und C2 zu bestimmen, verwenden wir die Anfangsbedingungen t = 0, vx = v0, x = x0: Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung der gleichmäßig alternierenden Bewegung (entlang der x-Achse): 5

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Allgemeine Anweisungen zur Lösung direkter und inverser Probleme. Lösungsvorgehen: 1. Aufstellung einer Bewegungsdifferentialgleichung: 1.1. Wählen Sie ein Koordinatensystem – rechteckig (fest) für eine unbekannte Flugbahn, natürlich (bewegt) für eine bekannte Flugbahn, zum Beispiel einen Kreis oder eine gerade Linie. Im letzteren Fall können Sie eine geradlinige Koordinate verwenden. Der Referenzpunkt sollte an der Anfangsposition des Punktes (bei t = 0) oder an der Gleichgewichtsposition des Punktes ausgerichtet sein, falls diese vorhanden ist, beispielsweise wenn der Punkt oszilliert. 6 1.2. Zeichnen Sie einen Punkt an einer Position, die einem beliebigen Zeitpunkt entspricht (bei t > 0), sodass die Koordinaten positiv sind (s > 0, x > 0). Gleichzeitig glauben wir auch, dass die Geschwindigkeitsprojektion in dieser Position ebenfalls positiv ist. Bei Schwingungen wechselt die Geschwindigkeitsprojektion beispielsweise beim Zurückkehren in die Gleichgewichtslage das Vorzeichen. Hierbei ist davon auszugehen, dass sich der Punkt zum betrachteten Zeitpunkt von der Gleichgewichtslage entfernt. Das Befolgen dieser Empfehlung ist in Zukunft wichtig, wenn mit geschwindigkeitsabhängigen Widerstandskräften gearbeitet wird. 1.3. Befreien Sie den materiellen Punkt von Verbindungen, ersetzen Sie ihre Aktionen durch Reaktionen, fügen Sie aktive Kräfte hinzu. 1.4. Schreiben Sie das Grundgesetz der Dynamik in Vektorform auf, projizieren Sie es auf die ausgewählten Achsen, drücken Sie die angegebenen oder reaktiven Kräfte durch die Variablen Zeit, Koordinaten oder Geschwindigkeiten aus, sofern sie davon abhängen. 2. Differentialgleichungen lösen: 2.1. Verringern Sie die Ableitung, wenn die Gleichung nicht auf die kanonische (Standard-)Form reduziert wird. zum Beispiel: oder 2.2. Separate Variablen, zum Beispiel: oder 2.4. Berechnen Sie die unbestimmten Integrale auf der linken und rechten Seite der Gleichung, zum Beispiel: 2,3. Wenn die Gleichung drei Variablen enthält, ändern Sie die Variablen, zum Beispiel: und dividieren Sie dann die Variablen. Kommentar. Anstatt unbestimmte Integrale auszuwerten, können Sie bestimmte Integrale mit einer variablen Obergrenze auswerten. Die unteren Grenzen stellen die Anfangswerte der Variablen (Anfangsbedingungen) dar. Dann muss nicht separat eine Konstante gefunden werden, die automatisch in die Lösung einbezogen wird, z. B. unter Verwendung der Anfangsbedingungen t = 0 , vx = vx0, bestimmen Sie die Integrationskonstante: 2,5. Drücken Sie die Geschwindigkeit beispielsweise durch die Ableitung der Koordinate nach der Zeit aus und wiederholen Sie die Absätze 2.2 bis 2.4. Hinweis. Wenn die Gleichung auf eine kanonische Form reduziert wird, die eine Standardlösung hat, wird diese vorgefertigte Lösung verwendet. Die Integrationskonstanten werden weiterhin aus den Anfangsbedingungen ermittelt. Siehe zum Beispiel Schwingungen (Vorlesung 4, S. 8). Vorlesung 2 (Fortsetzung 2.2)

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Vorlesung 2 (Fortsetzung 2.3) Beispiel 2 zur Lösung des inversen Problems: Kraft hängt von der Zeit ab. Eine Last mit dem Gewicht P beginnt sich unter dem Einfluss einer Kraft F, deren Größe proportional zur Zeit ist (F = kt), entlang einer glatten horizontalen Fläche zu bewegen. Bestimmen Sie die von der Last in der Zeit t zurückgelegte Strecke. 3. Wir bilden die Grundgleichung der Dynamik: 5. Wir verringern die Ordnung der Ableitung: 4. Wir projizieren die Grundgleichung der Dynamik auf die x-Achse: oder 7 6. Wir trennen die Variablen: 7. Wir berechnen die Integrale beider Seiten der Gleichung: 9. Wir stellen uns die Projektion der Geschwindigkeit als Ableitung der Koordinate nach der Zeit vor: 10. Wir berechnen die Integrale von beiden Seiten der Gleichung: 9. Wir trennen die Variablen: 8. Wir bestimmen der Wert der Konstante C1 aus der Anfangsbedingung t = 0, vx = v0=0: Als Ergebnis erhalten wir die Bewegungsgleichung (entlang der x-Achse), die den Wert der in der Zeit t zurückgelegten Strecke angibt: 1 . Wählen Sie ein Referenzsystem ( Kartesischen Koordinaten), sodass der Körper eine positive Koordinate hat: 2. Wir nehmen das Bewegungsobjekt als materiellen Punkt (der Körper bewegt sich translatorisch), lösen ihn aus der Verbindung (Bezugsebene) und ersetzen ihn durch eine Reaktion (die normale Reaktion von a glatte Oberfläche): 11. Bestimmen Sie den Wert der Konstante C2 aus der Anfangsbedingung t = 0, x = x0=0: Beispiel 3 zur Lösung des inversen Problems: Die Kraft hängt von der Koordinate ab. Ein materieller Punkt der Masse m wird mit der Geschwindigkeit v0 von der Erdoberfläche nach oben geschleudert. Die Schwerkraft der Erde ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands von einem Punkt zum Schwerpunkt (Erdmittelpunkt). Bestimmen Sie die Abhängigkeit der Geschwindigkeit vom Abstand y zum Erdmittelpunkt. 1. Wir wählen ein Bezugssystem (kartesische Koordinaten), sodass der Körper eine positive Koordinate hat: 2. Wir stellen die Grundgleichung der Dynamik auf: 3. Wir projizieren die Grundgleichung der Dynamik auf die y-Achse: oder den Proportionalitätskoeffizienten kann mithilfe des Gewichts eines Punktes auf der Erdoberfläche ermittelt werden: R Daher hat die Differentialgleichung die Form: oder 4. Wir verringern die Ordnung der Ableitung: 5. Wir nehmen eine Änderung der Variablen vor: 6. Wir trennen die Variablen : 7. Wir berechnen die Integrale beider Seiten der Gleichung: 8. Wir ersetzen die Grenzen: Als Ergebnis erhalten wir einen Ausdruck für die Geschwindigkeit als Funktion der y-Koordinate: Der maximale Höhenflug kann durch Gleichsetzen der Geschwindigkeit ermittelt werden auf Null: Maximale Flughöhe, wenn der Nenner auf Null geht: Von hier aus erhalten wir beim Festlegen des Erdradius und der Erdbeschleunigung II Fluchtgeschwindigkeit:

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Vorlesung 2 (Fortsetzung 2.4) Beispiel 2 zur Lösung des inversen Problems: Kraft hängt von Geschwindigkeit ab. Ein Schiff der Masse m hatte eine Geschwindigkeit v0. Der Widerstand des Wassers gegen die Bewegung des Schiffes ist proportional zur Geschwindigkeit. Bestimmen Sie die Zeit, in der die Geschwindigkeit des Schiffes nach dem Abstellen des Motors um die Hälfte sinkt, sowie die Strecke, die das Schiff zurücklegt, bis es vollständig zum Stillstand kommt. 8 1. Wir wählen ein Bezugssystem (kartesische Koordinaten), sodass der Körper eine positive Koordinate hat: 2. Wir nehmen das Bewegungsobjekt als materiellen Punkt (das Schiff bewegt sich translatorisch), befreien es von Verbindungen (Wasser) und ersetzen es mit einer Reaktion (Auftriebskraft – die Archimedes-Kraft) und auch der Kraft des Bewegungswiderstands. 3. Wirkkraft (Schwerkraft) hinzufügen. 4. Wir stellen die Grundgleichung der Dynamik auf: 5. Wir projizieren die Grundgleichung der Dynamik auf die x-Achse: oder 6. Wir verringern die Ordnung der Ableitung: 7. Wir trennen die Variablen: 8. Wir berechnen die Integrale von beide Seiten der Gleichung: 9. Wir ersetzen die Grenzen: Man erhält einen Ausdruck, der Geschwindigkeit und Zeit t in Beziehung setzt, aus dem man die Zeit der Bewegung bestimmen kann: Zeit der Bewegung, während der die Geschwindigkeit um die Hälfte sinkt: Es ist interessant zu Beachten Sie, dass die Bewegungszeit gegen Unendlich tendiert, wenn sich die Geschwindigkeit Null nähert, d. h. Die Endgeschwindigkeit darf nicht Null sein. Warum nicht „Perpetuum mobile“? Der zurückgelegte Weg bis zum Stopp ist jedoch ein endlicher Wert. Um die zurückgelegte Strecke zu bestimmen, wenden wir uns dem Ausdruck zu, der nach Herabsetzung der Ordnung der Ableitung erhalten wird, und nehmen eine Änderung der Variablen vor: Nach Integration und Substitution der Grenzen erhalten wir: Zurückgelegte Strecke bis zum Stopp: ■ Die Bewegung eines auf einen geworfenen Punktes Winkel zum Horizont in einem gleichmäßigen Schwerkraftfeld ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands Durch Eliminieren der Zeit aus den Bewegungsgleichungen erhalten wir die Flugbahngleichung: Die Flugzeit wird durch Gleichsetzen der y-Koordinate mit Null bestimmt: Die Flugreichweite wird durch Ersetzen bestimmt die Flugzeit:

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Vorlesung 3 Geradlinige Schwingungen eines materiellen Punktes - Die oszillierende Bewegung eines materiellen Punktes erfolgt unter der Bedingung: Es gibt eine Rückstellkraft, die dazu neigt, den Punkt bei jeder Abweichung von dieser Position in die Gleichgewichtsposition zurückzubringen. 9 Es gibt eine Rückstellkraft, die Gleichgewichtslage ist stabil. Es gibt keine Rückstellkraft, die Gleichgewichtslage ist instabil. Es gibt keine Rückstellkraft, die Gleichgewichtslage ist indifferent. Es gibt eine Rückstellkraft, die Gleichgewichtslage ist stabil. Eine Analyse ist notwendig. Die Elastizität Die Kraft einer Feder ist ein Beispiel für eine lineare Rückstellkraft. Der immer auf die Gleichgewichtsposition gerichtete Wert ist direkt proportional zur linearen Dehnung (Verkürzung) der Feder, gleich der Abweichung des Körpers von der Gleichgewichtsposition: c ist der Federsteifigkeitskoeffizient, numerisch gleich der unter dem Einfluss wirkenden Kraft davon ändert die Feder ihre Länge um eins, gemessen in N/m im System SI. x y O Schwingungsarten eines materiellen Punktes: 1. Freie Schwingungen (ohne Berücksichtigung des Widerstands des Mediums). 2. Freie Schwingungen unter Berücksichtigung des Widerstandes des Mediums (gedämpfte Schwingungen). 3. Erzwungene Vibrationen. 4. Erzwungene Schwingungen unter Berücksichtigung des Widerstands des Mediums. ■ Freie Schwingungen – treten nur unter dem Einfluss der Rückstellkraft auf. Schreiben wir das Grundgesetz der Dynamik auf: Wählen wir ein Koordinatensystem mit dem Mittelpunkt an der Gleichgewichtsposition (Punkt O) und projizieren die Gleichung auf die x-Achse: Bringen wir die resultierende Gleichung in die Standardform (kanonisch): Diese Gleichung ist eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren Lösungstyp durch die Wurzeln der durch universelle Substitution erhaltenen charakteristischen Gleichung bestimmt wird: Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind imaginär und gleich: Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung hat die Form: Punktgeschwindigkeit: Anfangsbedingungen: Definieren wir die Konstanten: Die Gleichung der freien Schwingungen hat also die Form: Die Gleichung kann durch einen Ein-Term-Ausdruck dargestellt werden: wobei a die Amplitude und die Anfangsphase ist. Die neuen Konstanten a und - hängen mit den konstanten Beziehungen C1 und C2 zusammen: Definieren wir a und: Die Ursache freier Schwingungen ist die Anfangsverschiebung x0 und/oder die Anfangsgeschwindigkeit v0.

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10 Vorlesung 3 (Fortsetzung 3.2) Gedämpfte Schwingungen eines materiellen Punktes – Die oszillierende Bewegung eines materiellen Punktes erfolgt in Gegenwart einer Rückstellkraft und einer Bewegungswiderstandskraft. Die Abhängigkeit der Bewegungswiderstandskraft von der Verschiebung oder Geschwindigkeit wird durch die physikalische Beschaffenheit des Mediums oder der Verbindung bestimmt, die die Bewegung behindert. Die einfachste Abhängigkeit ist eine lineare Abhängigkeit von der Geschwindigkeit (viskoser Widerstand): - Viskositätskoeffizient x y O Grundgleichung der Dynamik: Projektion der Dynamikgleichung auf die Achse: Bringen wir die Gleichung in die Standardform: wobei die charakteristische Gleichung Wurzeln hat : Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung hat je nach den Werten der Wurzeln eine andere Form: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k – Fall eines hohen viskosen Widerstands: - Die Wurzeln sind real, unterschiedlich. oder - diese Funktionen sind aperiodisch: 3. n = k: - Wurzeln sind reell, mehrfach. diese Funktionen sind auch aperiodisch:

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Vorlesung 3 (Fortsetzung 3.3) Klassifikation von Lösungen freier Schwingungen. Methoden zum Verbinden von Federn. Äquivalente Härte. j j 11 Diff. Charaktergleichung. Gleichung Wurzeln des Charakters. Gleichungen Lösung der Differentialgleichung Graph nk n=k

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Vorlesung 4 Erzwungene Schwingungen eines materiellen Punktes - Neben der Rückstellkraft wirkt eine sich periodisch ändernde Kraft, die sogenannte Störkraft. Die Störkraft kann unterschiedlicher Natur sein. Beispielsweise führt die Trägheitswirkung der Unwuchtmasse m1 eines rotierenden Rotors in einem bestimmten Fall zu harmonisch variierenden Kraftprojektionen: Grundgleichung der Dynamik: Projektion der Dynamikgleichung auf die Achse: Reduzieren wir die Gleichung auf die Standardform : 12 Die Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung besteht aus zwei Teilen x = x1 + x2: x1 ist die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung und x2 ist die besondere Lösung der inhomogenen Gleichung: Wir wählen eine besondere Lösung in der Form rechte Seite: Die resultierende Gleichheit muss für jedes t erfüllt sein. Dann: oder So führt ein materieller Punkt bei gleichzeitiger Einwirkung von Rückstell- und Störkräften eine komplexe Schwingungsbewegung aus, die das Ergebnis der Addition (Überlagerung) von freien (x1) und erzwungenen (x2) Schwingungen ist. Wenn P< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (erzwungene Schwingungen hoher Frequenz), dann ist die Phase der Schwingungen der Phase der Störkraft entgegengesetzt:

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Vorlesung 4 (Fortsetzung 4.2) 13 Dynamischer Koeffizient – ​​das Verhältnis der Amplitude erzwungener Schwingungen zur statischen Auslenkung eines Punktes unter dem Einfluss einer konstanten Kraft H = const: Amplitude erzwungener Schwingungen: Statische Abweichung kann aus der Gleichgewichtsgleichung ermittelt werden : Hier: Von hier: So, auf S< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (hohe Frequenz erzwungener Schwingungen) dynamischer Koeffizient: Resonanz – tritt auf, wenn die Frequenz erzwungener Schwingungen mit der Frequenz natürlicher Schwingungen übereinstimmt (p = k). Dies geschieht am häufigsten beim Starten und Stoppen der Drehung schlecht ausgewuchteter Rotoren, die auf elastischen Aufhängungen montiert sind. Differentialgleichung von Schwingungen mit gleichen Frequenzen: Eine bestimmte Lösung in Form der rechten Seite kann nicht angenommen werden, weil Sie erhalten eine linear abhängige Lösung (siehe allgemeine Lösung). Allgemeine Lösung: Einsetzen in die Differentialgleichung: Nehmen Sie eine bestimmte Lösung in der Form und berechnen Sie die Ableitungen: So erhält man die Lösung: oder Erzwungene Schwingungen während der Resonanz haben eine Amplitude, die proportional zur Zeit ins Unendliche zunimmt. Der Einfluss des Bewegungswiderstands bei erzwungenen Vibrationen. Die Differentialgleichung bei Vorhandensein eines viskosen Widerstands hat die Form: Die allgemeine Lösung wird aus der Tabelle (Vorlesung 3, Seite 11) in Abhängigkeit vom Verhältnis von n und k ausgewählt (siehe). Wir nehmen die Teillösung in der Form und berechnen die Ableitungen: Setzen Sie sie in die Differentialgleichung ein: Durch Gleichsetzen der Koeffizienten für die gleichen trigonometrischen Funktionen erhalten wir ein Gleichungssystem: Indem wir beide Gleichungen potenzieren und addieren, erhalten wir die Amplitude erzwungener Schwingungen: Durch Division der zweiten Gleichung durch die erste erhalten wir die Phasenverschiebung erzwungener Schwingungen: Damit ergibt sich die Bewegungsgleichung für erzwungene Schwingungen unter Berücksichtigung des Bewegungswiderstands, beispielsweise für n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

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Vorlesung 5 Relative Bewegung eines materiellen Punktes – Nehmen wir an, dass sich das bewegte (nicht träge) Koordinatensystem Oxyz nach einem bestimmten Gesetz relativ zum festen (trägen) Koordinatensystem O1x1y1z1 bewegt. Die Bewegung des materiellen Punktes M (x, y, z) relativ zum bewegten System Oxyz ist relativ, relativ zum festen System O1x1y1z1 ist absolut. Die Bewegung des mobilen Systems Oxyz relativ zum festen System O1x1y1z1 ist tragbare Bewegung. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Grundgleichung der Dynamik: Absolute Beschleunigung eines Punktes: Setzen wir die absolute Beschleunigung eines Punktes in die Grundgleichung der Dynamik ein: Verschieben wir die Terme mit tragbarer und Coriolis-Beschleunigung auf die rechte Seite: Die übertragenen Terme haben die Dimension von Kräften und werden als entsprechende Trägheitskräfte betrachtet, gleich: Dann kann die relative Bewegung des Punktes als absolut betrachtet werden, wenn wir zu den wirkenden Kräften die Übertragungs- und Coriolis-Trägheitskräfte addieren: In Projektionen auf die Achsen des bewegten Koordinatensystems haben wir: Sonderfälle der Relativbewegung des Punktes für verschiedene Arten tragbare Bewegung: 1. Rotation um eine feste Achse: Wenn die Rotation gleichmäßig ist, dann ist εe = 0: 2. Translationskrummlinige Bewegung: Wenn die Bewegung geradlinig ist, dann =: Wenn die Bewegung geradlinig und gleichmäßig ist, dann ist das bewegte System Trägheits- und Relativbewegungen können als absolut betrachtet werden: Kein mechanisches Phänomen kann eine geradlinige gleichförmige Bewegung erkennen (das Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik). Der Einfluss der Erdrotation auf das Gleichgewicht von Körpern - Nehmen wir an, dass sich der Körper auf der Erdoberfläche auf einem beliebigen Breitengrad φ (parallel) im Gleichgewicht befindet. Die Erde dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von West nach Ost um ihre Achse: Der Erdradius beträgt etwa 6370 km. S R – Gesamtreaktion einer nicht glatten Oberfläche. G ist die Anziehungskraft der Erde zum Mittelpunkt. F – Zentrifugalkraft der Trägheit. Bedingung des relativen Gleichgewichts: Die Resultierende der Anziehungs- und Trägheitskräfte ist die Schwerkraft (Gewicht): Der Betrag der Schwerkraft (Gewicht) auf der Erdoberfläche beträgt P = mg. Die Zentrifugalkraft der Trägheit macht einen kleinen Bruchteil der Schwerkraft aus: Auch die Abweichung der Schwerkraft von der Richtung der Anziehungskraft ist gering: Somit ist der Einfluss der Erdrotation auf das Gleichgewicht der Körper gering äußerst klein und wird in praktischen Berechnungen nicht berücksichtigt. Der Maximalwert der Trägheitskraft (bei φ = 0 – am Äquator) beträgt nur 0,00343 der Schwerkraft

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Vorlesung 5 (Fortsetzung 5.2) 15 Der Einfluss der Erdrotation auf die Bewegung von Körpern im Schwerefeld der Erde – Nehmen wir an, dass ein Körper aus einer bestimmten Höhe H über der Erdoberfläche auf dem Breitengrad φ auf die Erde fällt. Wählen wir ein bewegtes Bezugssystem, das starr mit der Erde verbunden ist und dessen x- und y-Achse tangential zur Parallele und zum Meridian ausgerichtet ist: Gleichung der Relativbewegung: Berücksichtigt wird die Kleinheit der Zentrifugalkraft der Trägheit im Vergleich zur Schwerkraft Konto hier. Somit wird die Schwerkraft mit der Schwerkraft identifiziert. Darüber hinaus glauben wir, dass die Schwerkraft aufgrund der geringen Abweichung, wie oben erläutert, senkrecht zur Erdoberfläche gerichtet ist. Die Coriolis-Beschleunigung ist gleich und parallel zur y-Achse nach Westen gerichtet. Die Coriolis-Trägheitskraft ist in die entgegengesetzte Richtung gerichtet. Projizieren wir die Gleichung der Relativbewegung auf die Achse: Die Lösung der ersten Gleichung ergibt: Anfangsbedingungen: Die Lösung der dritten Gleichung ergibt: Anfangsbedingungen: Die dritte Gleichung hat die Form: Anfangsbedingungen: Ihre Lösung ergibt: Die resultierende Lösung zeigt, dass der Körper beim Fallen nach Osten abweicht. Berechnen wir die Größe dieser Abweichung beispielsweise bei einem Fall aus 100 m Höhe. Die Fallzeit ermitteln wir aus der Lösung der zweiten Gleichung: Der Einfluss der Erdrotation auf die Bewegung von Körpern ist also äußerst gering für praktische Höhen und Geschwindigkeiten und wird bei technischen Berechnungen nicht berücksichtigt. Aus der Lösung der zweiten Gleichung folgt auch die Existenz einer Geschwindigkeit entlang der y-Achse, die auch die entsprechende Beschleunigung und Coriolis-Trägheitskraft verursachen sollte und auch verursacht. Der Einfluss dieser Geschwindigkeit und der damit verbundenen Trägheitskraft auf die Bewegungsänderung wird sogar geringer sein als die betrachtete Coriolis-Trägheitskraft, die mit der Vertikalgeschwindigkeit verbunden ist.

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Vorlesung 6 Dynamik eines mechanischen Systems. Ein System materieller Punkte oder ein mechanisches System – Eine Menge materieller Punkte oder materieller Punkte, die durch allgemeine Wechselwirkungsgesetze verbunden sind (die Position oder Bewegung jedes Punktes oder Körpers hängt von der Position und Bewegung aller anderen ab). Ein System der Freiheit Punkte – deren Bewegung durch keine Verbindungen begrenzt ist (zum Beispiel ein Planetensystem, in dem Planeten als materielle Punkte betrachtet werden). Ein System unfreier Punkte oder ein unfreies mechanisches System – die Bewegung materieller Punkte oder Körper wird durch dem System auferlegte Verbindungen (z. B. ein Mechanismus, eine Maschine usw.) begrenzt. 16 Auf das System einwirkende Kräfte. Zusätzlich zur bisher bestehenden Klassifikation der Kräfte (aktive und reaktive Kräfte) wird eine neue Klassifikation der Kräfte eingeführt: 1. Äußere Kräfte (e) – wirken auf Punkte und Körper des Systems von Punkten oder Körpern, die nicht Teil dieses Systems sind System. 2. Innere Kräfte (i) – Kräfte der Wechselwirkung zwischen materiellen Punkten oder Körpern, die in einem bestimmten System enthalten sind. Die gleiche Kraft kann sowohl äußerlich als auch sein innere Stärke. Es hängt alles davon ab, welche Art von mechanischem System in Betracht gezogen wird. Zum Beispiel: Im System Sonne, Erde und Mond sind alle Gravitationskräfte zwischen ihnen innerlich. Wenn man das System Erde und Mond betrachtet, sind die von der Sonne ausgeübten Gravitationskräfte äußerer Natur: C Z L Basierend auf dem Gesetz von Wirkung und Reaktion entspricht jede innere Kraft Fk einer anderen inneren Kraft Fk’, gleich groß und entgegengesetzt gerichtet. Daraus ergeben sich zwei bemerkenswerte Eigenschaften von Schnittgrößen: Der Hauptvektor aller Schnittgrößen des Systems gleich Null: Das Hauptmoment aller Schnittgrößen des Systems relativ zu jedem Mittelpunkt ist gleich Null: Oder in Projektionen auf die Koordinatenachsen: Hinweis. Obwohl diese Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen ähneln, handelt es sich nicht um Gleichgewichtsgleichungen, da auf sie innere Kräfte wirken verschiedene Punkte oder Körper des Systems und können die Bewegung dieser Punkte (Körper) relativ zueinander verursachen. Aus diesen Gleichungen folgt, dass innere Kräfte keinen Einfluss auf die Bewegung des als Ganzes betrachteten Systems haben. Schwerpunkt eines Systems materieller Punkte. Um die Bewegung des Systems als Ganzes zu beschreiben, wird ein geometrischer Punkt namens Massenschwerpunkt eingeführt, dessen Radiusvektor durch den Ausdruck bestimmt wird, wobei M die Masse des gesamten Systems ist: Oder in Projektionen auf die Koordinate Achsen: Die Formeln für den Massenschwerpunkt ähneln den Formeln für den Schwerpunkt. Das Konzept des Massenschwerpunkts ist jedoch allgemeiner, da es nicht mit Gravitationskräften oder Gravitationskräften zusammenhängt.

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Vorlesung 6 (Fortsetzung 6.2) 17 Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts eines Systems – Betrachten Sie ein System von n materiellen Punkten. Wir teilen die an jedem Punkt wirkenden Kräfte in äußere und innere Kräfte auf und ersetzen sie durch die entsprechenden Resultierenden Fke und Fki. Schreiben wir für jeden Punkt die Grundgleichung der Dynamik auf: oder Summieren wir diese Gleichungen über alle Punkte: Tragen Sie auf der linken Seite der Gleichung die Massen unter dem Vorzeichen der Ableitung ein und ersetzen Sie die Summe der Ableitungen durch die Ableitung der Summe: Aus der Definition des Massenschwerpunkts: Setzen Sie in die resultierende Gleichung ein: Nachdem wir die Masse des Systems aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen haben, erhalten wir oder: Das Produkt aus der Masse des Systems und der Beschleunigung seiner Schwerpunktmasse ist gleich dem Hauptvektor der äußeren Kräfte. Bei Projektionen auf Koordinatenachsen: Der Massenschwerpunkt des Systems bewegt sich als materieller Punkt mit einer Masse gleich der Masse des Gesamtsystems, auf den alle auf das System einwirkenden äußeren Kräfte wirken. Folgerungen aus dem Satz über die Bewegung des Massenschwerpunkts des Systems (Erhaltungssätze): 1. Wenn im Zeitintervall der Hauptvektor der äußeren Kräfte des Systems Null ist, Re = 0, dann ist die Geschwindigkeit des Zentrums der Masse ist konstant, vC = const (der Massenschwerpunkt bewegt sich gleichmäßig geradlinig – das Gesetz der Bewegungserhaltung des Massenschwerpunkts). 2. Wenn im Zeitintervall die Projektion des Hauptvektors der äußeren Kräfte des Systems auf die x-Achse Null ist, Rxe = 0, dann ist die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts entlang der x-Achse konstant, vCx = const ( der Schwerpunkt bewegt sich gleichmäßig entlang der Achse). Ähnliche Aussagen gelten für die y- und z-Achse. Beispiel: Zwei Personen mit den Massen m1 und m2 sitzen in einem Boot mit der Masse m3. Im ersten Moment ruhte das Boot mit den Menschen. Bestimmen Sie die Verschiebung des Bootes, wenn sich eine Person mit der Masse m2 im Abstand a zum Bug des Bootes bewegt. 3. Wenn im Zeitintervall der Hauptvektor der äußeren Kräfte des Systems Null ist, Re = 0, und im Anfangsmoment die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts Null ist, vC = 0, dann ist der Radiusvektor des Mittelpunkts Der Massenschwerpunkt bleibt konstant, rC = const (der Massenschwerpunkt ruht – Gesetz zur Erhaltung der Lage des Massenschwerpunkts). 4. Wenn im Zeitintervall die Projektion des Hauptvektors der äußeren Kräfte des Systems auf die x-Achse Null ist, Rxe = 0, und im Anfangsmoment die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts entlang dieser Achse Null ist, vCx = 0, dann bleibt die Koordinate des Massenschwerpunkts entlang der x-Achse konstant, xC = const (der Massenschwerpunkt bewegt sich nicht entlang dieser Achse). Ähnliche Aussagen gelten für die y- und z-Achse. 1. Bewegungsobjekt (Boot mit Menschen): 2. Verbindungen verwerfen (Wasser): 3. Verbindung durch Reaktion ersetzen: 4. Wirkkräfte hinzufügen: 5. Satz über den Massenschwerpunkt aufschreiben: Projizieren Sie auf die x-Achse: O Bestimmen Sie, wie weit Sie sich zu einer Person mit der Masse m1 bewegen müssen, damit das Boot an Ort und Stelle bleibt: Das Boot bewegt sich um die Strecke l in die entgegengesetzte Richtung.

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Vorlesung 7 Kraftimpuls ist ein Maß für die mechanische Wechselwirkung, das die Übertragung mechanischer Bewegung von Kräften charakterisiert, die über einen bestimmten Zeitraum auf einen Punkt einwirken: 18 Bei Projektionen auf die Koordinatenachsen: Bei konstanter Kraft: Bei Projektionen auf die Koordinatenachsen: Der resultierende Impuls ist gleich der geometrischen Summe der auf den Kraftpunkt ausgeübten Impulse im gleichen Zeitraum: Mit dt multiplizieren: Über einen bestimmten Zeitraum integrieren: Der Impuls eines Punktes ist ein Maß für mechanische Bewegung, bestimmt durch einen Vektor, der dem Produkt der Masse eines Punktes und dem Vektor seiner Geschwindigkeit entspricht: Satz über die Änderung des Impulses eines Systems - Betrachten Sie ein System mit n materiellen Punkten. Wir teilen die an jedem Punkt wirkenden Kräfte in äußere und innere Kräfte auf und ersetzen sie durch die entsprechenden Resultierenden Fke und Fki. Schreiben wir für jeden Punkt die Grundgleichung der Dynamik auf: oder Der Impuls eines Systems materieller Punkte ist die geometrische Summe der Bewegungsgrößen materieller Punkte: Per Definition des Massenschwerpunkts: Der Impulsvektor des Systems ist gleich dem Produkt der Masse des Gesamtsystems mit dem Geschwindigkeitsvektor des Massenschwerpunkts des Systems. Dann gilt: Bei Projektionen auf die Koordinatenachsen: Die zeitliche Ableitung des Impulsvektors des Systems ist gleich dem Hauptvektor der äußeren Kräfte des Systems. Fassen wir diese Gleichungen über alle Punkte zusammen: Tragen Sie auf der linken Seite der Gleichung die Massen unter dem Vorzeichen der Ableitung ein und ersetzen Sie die Summe der Ableitungen durch die Ableitung der Summe: Aus der Definition des Impulses des Systems: Bei Projektionen auf die Koordinatenachsen:

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Satz von Euler – Anwendung des Satzes über die Impulsänderung eines Systems auf die Bewegung eines kontinuierlichen Mediums (Wasser). 1. Wir wählen als Bewegungsobjekt das Wasservolumen aus, das sich im krummlinigen Kanal der Turbine befindet: 2. Wir verwerfen die Verbindungen und ersetzen ihre Wirkung durch Reaktionen (Rsur ist die Resultierende der Oberflächenkräfte) 3. Wir fügen aktive Kräfte hinzu ( Rob ist die Resultante volumetrischer Kräfte): 4. Wir schreiben den Satz über die Änderung des Impulses des Systems: Wir stellen den Impuls des Wassers zu den Zeitpunkten t0 und t1 als Summen dar: Änderung des Impulses des Wassers im Zeitintervall: Änderung im Impuls von Wasser über ein infinitesimales Zeitintervall dt: , wobei F1 F2 Wenn wir das Produkt aus Dichte, Querschnittsfläche und Geschwindigkeit für die zweite Masse nehmen, erhalten wir: Wenn wir das Differential des Impulses des Systems in den Änderungssatz einsetzen, erhalten wir: Folgerungen aus dem Satz über die Impulsänderung des Systems (Erhaltungssätze): 1. Wenn im Zeitintervall der Hauptvektor der äußeren Kräfte des Systems Null ist, Re = 0, dann ist der Größenvektor Bewegung konstant, Q = const – das Gesetz der Impulserhaltung des Systems). 2. Wenn im Zeitintervall die Projektion des Hauptvektors der äußeren Kräfte des Systems auf die x-Achse Null ist, Rxe = 0, dann ist die Projektion des Impulses des Systems auf die x-Achse konstant, Qx = const . Ähnliche Aussagen gelten für die y- und z-Achse. Vorlesung 7 (Fortsetzung von 7.2) Beispiel: Eine mit der Geschwindigkeit v fliegende Granate der Masse M explodierte in zwei Teile. Die Geschwindigkeit eines der Fragmente der Masse m1 erhöhte sich in Bewegungsrichtung auf einen Wert v1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des zweiten Fragments. 1. Bewegungsobjekt (Granate): 2. Objekt ist ein freies System, es gibt keine Verbindungen und deren Reaktionen. 3. Addieren Sie aktive Kräfte: 4. Schreiben Sie den Satz über die Impulsänderung: Projizieren Sie auf die Achse: β Trennen Sie die Variablen und integrieren Sie: Das rechte Integral ist praktisch gleich Null, weil Explosionszeit t

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Vorlesung 7 (Fortsetzung 7.3) 20 Der Drehimpuls eines Punktes oder der Drehimpuls eines Punktes relativ zu einem Mittelpunkt ist ein Maß für die mechanische Bewegung, die durch einen Vektor bestimmt wird, der dem Vektorprodukt des Radiusvektors eines materiellen Punktes und des Vektors entspricht seines Impulses: Der Drehimpuls eines Systems materieller Punkte relativ zu einem Mittelpunkt ist geometrisch die Summe der Drehimpulse aller materiellen Punkte relativ zu demselben Mittelpunkt: Bei Projektionen auf die Achse: Bei Projektionen auf die Achse: Theorem über die Veränderung der Drehimpuls des Systems – Betrachten Sie ein System aus n materiellen Punkten. Wir teilen die an jedem Punkt wirkenden Kräfte in äußere und innere Kräfte auf und ersetzen sie durch die entsprechenden Resultierenden Fke und Fki. Schreiben wir die Grundgleichung der Dynamik für jeden Punkt auf: oder Summieren wir diese Gleichungen über alle Punkte: Ersetzen wir die Summe der Ableitungen durch die Ableitung der Summe: Der Ausdruck in Klammern ist der Drehimpuls des Systems. Daher: Lassen Sie uns jede der Gleichungen vektoriell mit dem Radiusvektor auf der linken Seite multiplizieren: Mal sehen, ob wir das Vorzeichen der Ableitung darüber hinaus verschieben können Vektorprodukt: Somit erhalten wir: Die zeitliche Ableitung des Drehimpulsvektors des Systems relativ zu einem bestimmten Zentrum ist gleich dem Hauptmoment der äußeren Kräfte des Systems relativ zu demselben Zentrum. Bei Projektionen auf Koordinatenachsen gilt: Die Ableitung des Impulsmoments des Systems relativ zu einer bestimmten Achse in der Zeit ist gleich dem Hauptmoment der äußeren Kräfte des Systems relativ zu derselben Achse.

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Vorlesung 8 21 ■ Folgerungen aus dem Satz über die Änderung des Drehimpulses eines Systems (Erhaltungssätze): 1. Wenn in einem Zeitintervall der Vektor des Hauptmoments der äußeren Kräfte des Systems relativ zu einem Zentrum Null ist, ist MOe = 0, dann der Drehimpulsvektor des Systems relativ zur gleichen Zentrumskonstante, KO = const – Gesetz zur Erhaltung des Drehimpulses des Systems). 2. Wenn im Zeitintervall das Hauptmoment der äußeren Kräfte des Systems relativ zur x-Achse gleich Null ist, Mxe = 0, dann ist der Drehimpuls des Systems relativ zur x-Achse konstant, Kx = const. Ähnliche Aussagen gelten für die y- und z-Achse. 2. Trägheitsmoment eines starren Körpers relativ zur Achse: Das Trägheitsmoment eines materiellen Punktes relativ zur Achse ist gleich dem Produkt aus der Masse des Punktes und dem Quadrat des Abstands des Punktes zur Achse. Das Trägheitsmoment eines starren Körpers relativ zur Achse ist gleich der Summe der Produkte aus der Masse jedes Punktes und dem Quadrat des Abstands dieses Punktes zur Achse. ■ Elemente der Theorie der Trägheitsmomente – Bei der Rotationsbewegung eines starren Körpers ist das Maß der Trägheit (Widerstand gegen Bewegungsänderung) das Trägheitsmoment relativ zur Rotationsachse. Betrachten wir die grundlegenden Definitionskonzepte und Methoden zur Berechnung von Trägheitsmomenten. 1. Trägheitsmoment eines materiellen Punktes relativ zur Achse: Beim Übergang von einer diskreten kleinen Masse zu einer unendlich kleinen Masse eines Punktes wird die Grenze einer solchen Summe durch das Integral bestimmt: axiales Trägheitsmoment eines starren Körpers. Neben dem axialen Trägheitsmoment eines Festkörpers gibt es noch weitere Arten von Trägheitsmomenten: das Zentrifugalträgheitsmoment eines Festkörpers. polares Trägheitsmoment eines starren Körpers. 3. Der Satz über die Trägheitsmomente eines starren Körpers relativ zu parallelen Achsen – die Formel für den Übergang zu parallelen Achsen: Trägheitsmoment relativ zur Bezugsachse Statische Trägheitsmomente relativ zu den Bezugsachsen Körpermasse Abstand zwischen den Achsen z1 und z2 Also: Wenn die z1-Achse durch den Massenschwerpunkt geht, dann sind die statischen Momente Null:

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Vorlesung 8 (Fortsetzung 8.2) 22 Trägheitsmoment eines homogenen Stabes mit konstantem Querschnitt relativ zur Achse: x z L Wählen Sie das Elementarvolumen dV = Adx im Abstand x: x dx Elementarmasse: Zur Berechnung des relativen Trägheitsmoments zur Mittelachse (durch den Schwerpunkt) reicht es aus, die Position der Achse zu ändern und Integrationsgrenzen festzulegen (-L/2, L/2). Hier demonstrieren wir die Formel für den Übergang zu parallelen Achsen: zC 5. Das Trägheitsmoment eines homogenen Vollzylinders relativ zur Symmetrieachse: H dr r Wählen wir das Elementarvolumen dV = 2πrdrH (dünner Zylinder mit Radius r) : Elementarmasse: Hier wird die Formel für das Volumen des Zylinders V = πR2H verwendet. Um das Trägheitsmoment eines hohlen (dicken) Zylinders zu berechnen, reicht es aus, die Integrationsgrenzen von R1 bis R2 (R2> R1) festzulegen: 6. Trägheitsmoment eines dünnen Zylinders relativ zur Symmetrieachse (t

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Vorlesung 8 (Fortsetzung 8.3) 23 ■ Differentialgleichung für die Drehung eines starren Körpers um eine Achse: Schreiben wir einen Satz über die Änderung des kinetischen Moments eines starren Körpers, der sich um eine feste Achse dreht: Das kinetische Moment eines rotierenden starren Körpers Körper ist gleich: Das Moment der äußeren Kräfte relativ zur Rotationsachse ist gleich dem Drehmoment (Reaktions- und Kraftschwerkraftmomente erzeugen keine): Wir setzen das kinetische Moment und das Drehmoment in den Satz ein. Beispiel: Zwei Personen mit dem gleichen Gewicht G1 = G2 hängen an einem Seil, das über einen massiven Gewichtsblock geworfen wird G3 = G1/4. Irgendwann begann einer von ihnen mit einer Relativgeschwindigkeit von u. a. das Seil hochzuklettern. Bestimmen Sie die Aufstiegsgeschwindigkeit jeder Person. 1. Wählen Sie das Bewegungsobjekt (Block mit Personen): 2. Verwerfen Sie die Verbindungen (Stützvorrichtung des Blocks): 3. Ersetzen Sie die Verbindung durch Reaktionen (Lager): 4. Fügen Sie aktive Kräfte (Schwerkraftkräfte) hinzu: 5. Schreiben Sie der Satz über die Änderung des kinetischen Moments des Systems relativ zur Rotationsachse des Blocks: R Da das Moment der äußeren Kräfte Null ist, muss das kinetische Moment konstant bleiben: Zum Anfangszeitpunkt t = 0 herrschte Gleichgewicht und Kz0 = 0. Nachdem die Bewegung einer Person relativ zum Seil begonnen hatte, begann sich das gesamte System zu bewegen, aber das kinetische Momentsystem muss gleich Null bleiben: Kz = 0. Das kinetische Moment des Systems besteht aus den kinetischen Momenten der beiden Personen und des Blocks: Dabei ist v2 die Geschwindigkeit der zweiten Person, gleich der Geschwindigkeit des Kabels. Beispiel: Bestimmen Sie die Periode kleiner freier Schwingungen eines homogenen Stabes mit der Masse M und der Länge l, der an einem Ende aufgehängt ist die feste Drehachse. Oder: Bei kleinen Schwingungen sinφ φ: Schwingungsdauer: Trägheitsmoment des Stabes:

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Vorlesung 8 (Fortsetzung von 8.4 - Zusatzmaterial) 24 ■ Elementare Theorie des Gyroskops: Ein Gyroskop ist ein starrer Körper, der sich um eine materielle Symmetrieachse dreht, von dem einer der Punkte bewegungslos ist. Freier Kreisel – so fixiert, dass sein Massenschwerpunkt stationär bleibt und die Rotationsachse durch den Massenschwerpunkt verläuft und jede Position im Raum einnehmen kann, d.h. Die Rotationsachse verändert ihre Position wie die Achse der Körpereigenrotation bei einer Kugelbewegung. Die Hauptannahme der Näherungstheorie (Elementartheorie) eines Kreisels besteht darin, dass der Drehimpulsvektor (kinetisches Moment) des Rotors als entlang seiner eigenen Rotationsachse gerichtet betrachtet wird. Somit wird trotz der Tatsache, dass der Rotor im allgemeinen Fall an drei Drehungen teilnimmt, nur die Winkelgeschwindigkeit seiner eigenen Drehung ω = dφ/dt berücksichtigt. Der Grund dafür ist, dass in Moderne Technologie Der Gyroskoprotor dreht sich mit einer Winkelgeschwindigkeit in der Größenordnung von 5000–8000 rad/s (etwa 50000–80000 U/min), während die anderen beiden Winkelgeschwindigkeiten, die mit der Präzession und Nutation seiner eigenen Rotationsachse verbunden sind, Zehntausende Male geringer sind als diese Geschwindigkeit. Die Haupteigenschaft eines freien Kreisels besteht darin, dass die Rotorachse eine konstante Richtung im Raum in Bezug auf das Trägheits-(Stern-)Bezugssystem beibehält (bewiesen durch das Foucault-Pendel, das die Schwingungsebene in Bezug auf die Sterne unverändert beibehält, 1852). . Dies folgt aus dem Gesetz der Erhaltung des kinetischen Moments relativ zum Massenschwerpunkt des Rotors, sofern die Reibung in den Lagern der Rotoraufhängungsachsen, Außen- und Innenrahmen vernachlässigt wird: Die Krafteinwirkung auf die Achse des freien Kreisels . Bei einer auf die Rotorachse wirkenden Kraft ist das Moment der äußeren Kräfte relativ zum Massenschwerpunkt ungleich Null: ω ω C Die Ableitung des kinetischen Moments nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit des Endes dieses Vektors (Theorem von Resal): Dies bedeutet, dass die Rotorachse in eine andere Richtung als die Wirkungskraft abweicht, und zwar in Richtung des Momentenvektors dieser Kraft, d. h. dreht sich nicht um die x-Achse (interne Aufhängung), sondern um die y-Achse (äußere Aufhängung). Wenn die Kraft aufhört, bleibt die Rotorachse in einer unveränderten Position, die dem letzten Moment der Kraft entspricht, weil Ab diesem Zeitpunkt wird das Moment der äußeren Kräfte wieder gleich Null. Bei einer kurzzeitigen Krafteinwirkung (Stoß) verändert die Gyroskopachse ihre Position praktisch nicht. Durch die schnelle Drehung des Rotors kann das Gyroskop somit zufälligen Einflüssen entgegenwirken, die dazu neigen, die Position der Rotordrehachse zu ändern, und bei konstanter Kraft die Position der Ebene senkrecht zur wirkenden Kraft beibehalten, in der der Rotor wirkt Achse liegt. Diese Eigenschaften werden beim Betrieb von Trägheitsnavigationssystemen genutzt.



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