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A teoria dos números é um ramo da matemática que estuda as propriedades dos números.

O principal objeto da teoria dos números são os números naturais (ver Número). Sua principal propriedade, considerada pela teoria dos números, é a divisibilidade. A primeira série de problemas na teoria dos números é a fatoração de números. Os principais “blocos de construção” nesta decomposição são os números primos, ou seja, números divisíveis apenas por 1 e por eles próprios; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 - estes são os primeiros dez números primos(o número 1 não é considerado primo). Um teorema notável, denominado teorema fundamental da aritmética, afirma: todo número natural pode ser decomposto em fatores primos, e de uma forma única (até a ordem de seu arranjo). Ao fatorar dois números em fatores primos, é fácil determinar se um deles é divisível pelo outro ou não. Mas ainda pode ser difícil descobrir se isso é grande número simples, ou seja se é divisível por qualquer número diferente de ele mesmo e um.

Várias funções aritméticas estão associadas à fatoração de números em fatores primos. Vamos apontar alguns deles. φ(n) - Função de Euler - o número de números de 1 a n que são coprimos com o número n (ou seja, não possuem fatores comuns com n exceto um); α(n) é o número de divisores do número n, t(n) é a soma de todos os divisores do número n, π(n) é a função de Chebyshev - o número de números primos que não excede n. Essas funções expressam muitas propriedades dos números naturais. O teorema de Euclides afirma que existem infinitos números primos. Isso significa que π(n)→∞ conforme o número n aumenta. Conseguimos descobrir com que rapidez a função π(n) tende ao infinito. Descobriu-se que é aproximadamente igual à função

Este teorema é chamado de lei assintótica de distribuição de números primos. Foi formulado e amplamente comprovado por P. L. Chebyshev (1849), e foi totalmente comprovado apenas 50 anos depois.

A lei assintótica de distribuição de números primos é o resultado da chamada teoria analítica dos números, que utiliza amplamente métodos de análise matemática para estudar funções teóricas dos números. Descoberto na segunda metade do século XIX. o fato de conectar um objeto tão discreto como inteiros com as propriedades profundas das funções teve um impacto grande influência sobre o desenvolvimento da teoria dos números.

A fatoração de números leva em consideração apenas a estrutura do conjunto de números naturais associados à multiplicação, o mais profundo e tarefas difíceis as teorias dos números surgem da comparação entre adição e multiplicação. Tais problemas incluem, por exemplo, o problema de Goldbach - qualquer número par pode ser representado como a soma de dois números primos; O último teorema de Fermat (ver o último teorema de Fermat) - é possível enésima potência apresente os números como uma soma enésimas potências quaisquer dois números, etc.

A teoria dos números é atraente porque contém muitas formulações simples, mas difíceis e tarefas interessantes. Muitos desses problemas, resolvidos e não resolvidos, acumularam-se, e a teoria dos números muitas vezes parece uma coleção de quebra-cabeças elegantes e díspares. No entanto, não é. A teoria dos números criou seus próprios métodos maravilhosos, e muitos deles foram desenvolvidos ativamente nas últimas décadas, o que injetou uma nova corrente viva nesta parte mais antiga da matemática.

O método clássico da teoria dos números é o método das comparações. Ao identificar números que dão restos idênticos quando divididos por um número escolhido, muitas vezes é possível estabelecer a impossibilidade de qualquer relação. Por exemplo, considerando os restos da divisão por 3 (ou, como dizem, módulo 3), é fácil provar a insolubilidade da equação 3x 2 + 4y 2 = 5z 2 em números naturais.

O método analítico consiste, como já dissemos, no facto de, a partir dos números, construírem funções que são estudadas através dos métodos de análise matemática. Assim, o cientista acadêmico soviético I.M. Vinogradov provou uma versão do problema de Goldbach - a representabilidade de um número ímpar suficientemente grande como uma soma de três primos.

Ilustramos o método geométrico da teoria dos números usando o último teorema de Fermat como exemplo. Neste teorema estamos falando sobre sobre a solubilidade da equação x n + y n = z n em números inteiros. Dividindo ambos os lados da equação por z n e substituindo x/z por m e y/z por v, obtemos a equação u n + v n = 1. Esta equação define uma determinada curva no plano com coordenadas (u, v). As soluções da equação original em números inteiros correspondem às soluções da nova equação em números racionais. Cada uma dessas soluções (u, v) pode ser considerada um ponto com coordenadas racionais neste plano. Agora podemos tentar aplicar métodos geométricos à curva u n + v n = 1 para estudar o conjunto de pontos nela com coordenadas racionais.

Uma grande seção da teoria dos números, que trata de encontrar soluções para equações em números inteiros e racionais, é chamada de teoria das equações diofantinas, em homenagem ao antigo cientista grego Diofanto (século III).

Um dos problemas muito antigos e conhecidos da teoria dos números é o problema de representar números por somas de quadrados. Listamos alguns dos resultados obtidos:

cada número inteiro pode ser representado como a soma de quatro quadrados de números inteiros (por exemplo: 7 = 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2);

todo número primo da forma 4n + 1 pode ser representado como a soma de dois quadrados de inteiros (por exemplo: 5 = 2 2 + 1 2, 41 = 4 2 + 5 2, etc.), mas não um único número inteiro ( não apenas um número primo) um número da forma 4n + 3 não pode ser representado nesta forma;

Todo número primo, exceto números da forma 8n - 1, pode ser representado como a soma de três quadrados de inteiros.

Identidade algébrica simples

(a 2 + b 2) (x 2 + y 2) = (machado + por) 2 + (ay - bx) 2

permite-nos concluir: se dois números são representáveis ​​como a soma de dois quadrados, então o seu produto também é representável como a soma de dois quadrados. Métodos algébricos V Ultimamente amplamente utilizado na teoria dos números. Isso foi facilitado pelo desenvolvimento de um conceito algébrico geral como um campo, cujo próprio surgimento foi amplamente estimulado por problemas na teoria dos números.

Por que a teoria dos números é tão valiosa? Afinal, é difícil encontrar aplicação direta para seus resultados. No entanto, os problemas da teoria dos números atraíram jovens curiosos e cientistas durante muitos séculos. Qual é o problema aqui? Em primeiro lugar, estes problemas, como já mencionado, são muito interessantes e bonitos. Em todos os momentos, as pessoas ficaram surpresas com o fato de perguntas simplesÉ tão difícil encontrar uma resposta sobre números. A busca por essas respostas muitas vezes levou a descobertas cujo significado excede em muito o escopo da teoria dos números. Basta mencionar a chamada teoria dos ideais do matemático alemão do século XIX. E. Kummer, que nasceu em conexão com as tentativas de provar o último teorema de Fermat.

Teoria dos Números tem como assunto os números e suas propriedades, ou seja, os números aparecem aqui não como meio ou instrumento, mas como objeto de estudo. A série natural 1, 2, 3, 4, …, 9, 10, 11, …, 99, 100, 101, … - o conjunto dos números naturais, é a área de pesquisa mais importante, extremamente significativa, importante e interessante.

Pesquisa sobre números naturais

O início do estudo dos números naturais foi estabelecido em Grécia antiga. Aqui foram estudadas as propriedades da divisibilidade dos números, comprovada a infinidade do conjunto dos números primos e descobertos métodos para sua construção (Euclides, Eratóstenes). Problemas relacionados à resolução de equações indefinidas em números inteiros foram objeto de pesquisa de Diofante, e os cientistas os estudaram Índia Antiga E China antiga, países da Ásia Central.

A teoria dos números, é claro, pertence aos ramos fundamentais da matemática. Ao mesmo tempo, algumas das suas tarefas estão diretamente relacionadas com atividades práticas. Por exemplo, graças principalmente às exigências da criptografia e à utilização generalizada de computadores, a investigação sobre questões algorítmicas da teoria dos números está actualmente a passar por um período de desenvolvimento rápido e muito frutífero. As necessidades criptográficas estimularam a pesquisa dos problemas clássicos da teoria dos números, em alguns casos levaram à sua solução, e também se tornaram uma fonte para a formulação de novos problemas fundamentais.

A tradição de estudar problemas de teoria dos números na Rússia provavelmente vem de Euler (1707-1783), que viveu aqui por 30 anos e muito fez pelo desenvolvimento da ciência. Sob a influência de suas obras, foi formada a obra de P.L.~Chebyshev (1821-1894), um notável cientista e talentoso professor, que publicou os trabalhos de aritmética de Euler junto com V.Ya.~Bunyakovsky (1804-1889). P.L.~Chebyshev criou a escola de teoria dos números de São Petersburgo, cujos representantes foram A.N. Korkin (1837-1908), EI ~ Zolotarev (1847-1878) e AA ~ Markov (1856-1922). GF ~ Voronoi (1868-1908), que estudou em São Petersburgo com AA Markov e Yu V Sokhotsky (1842-1927), fundou a escola de teoria dos números em Varsóvia. Dele surgiram vários especialistas notáveis ​​​​em teoria dos números, e, em particular, W. Sierpinski (1842-1927). Outro graduado da Universidade de São Petersburgo, D.A. Grave (1863-1939), fez muito para ensinar teoria dos números e álgebra na Universidade de Kiev. Seus alunos foram O.Yu. Schmidt (1891-1956), N.G. Chebotarev (1894-1947), BN Delaunay (1890-1980). A pesquisa teórica dos números também foi realizada nas Universidades de Moscou, Kazan e Odessa.

Leitura recomendada

Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Teoria dos Números.

Bukhshtab A.A., Teoria dos números.

Venkov BA, Teoria elementar dos números.

Vinogradov I.M., Fundamentos da teoria dos números.

Gauss K.F., trabalha na teoria dos números.

Dirichlet P.G.L., Palestras sobre teoria dos números.

Karatsuba A.A., Fundamentos da teoria analítica dos números.

Nesterenko Yu.V., teoria dos números.

Shidlovsky A.B., aproximações diofantinas e números transcendentais.

A teoria dos números ou aritmética superior é um ramo da matemática que estuda números inteiros e objetos semelhantes.

A teoria dos números trata do estudo das propriedades dos inteiros. Atualmente, a teoria dos números inclui significativamente mais círculo amplo questões que vão além do estudo dos números naturais.

Na teoria dos números, não apenas os números naturais são considerados, mas também o conjunto de todos os inteiros, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números algébricos. A teoria moderna dos números é caracterizada pelo uso de métodos de pesquisa muito diversos. Na moderna teoria dos números, os métodos de análise matemática são amplamente utilizados.

Teoria moderna os números podem ser divididos nas seguintes seções:

1) Teoria elementar dos números. Esta seção inclui questões de teoria dos números, que são um desenvolvimento direto da teoria da divisibilidade, e questões sobre a representabilidade dos números em uma determinada forma. Um problema mais geral é o problema de resolução de sistemas de equações diofantinas, ou seja, equações nas quais os valores das incógnitas devem necessariamente ser inteiros.

2) Teoria algébrica dos números. Esta seção inclui questões relacionadas ao estudo de várias classes de números algébricos.

3) Aproximações diofantinas. Esta seção inclui questões relacionadas ao estudo da aproximação de números reais por frações racionais. Intimamente relacionadas ao mesmo círculo de ideias, as aproximações diofantinas estão intimamente relacionadas ao estudo da natureza aritmética de várias classes de números.

4) Teoria analítica dos números. Esta seção inclui questões de teoria dos números, para cujo estudo é necessário aplicar métodos de análise matemática.

Conceitos Básicos:

1) A divisibilidade é um dos conceitos básicos da aritmética e da teoria dos números associados à operação de divisão. Do ponto de vista da teoria dos conjuntos, a divisibilidade dos inteiros é uma relação definida no conjunto dos inteiros.

Se para algum inteiro a e um inteiro b existe um inteiro q tal que bq = a, então dizemos que o número a é divisível por b ou que b divide a. Nesse caso, o número b é chamado de divisor do número a, o dividendo de a será um múltiplo do número b e o número q é chamado de quociente de a dividido por b.

2) Um número simples? é um número natural que possui exatamente dois divisores naturais distintos: um e ele mesmo. Todos os outros números, exceto um, são chamados de números compostos.

3) Número perfeito? (grego antigo ἀριθμὸς τέλειος) - um número natural igual à soma de todos os seus próprios divisores (ou seja, todos os divisores positivos diferentes do próprio número).

O primeiro número perfeito é 6 (1 + 2 + 3 = 6), o próximo é 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). À medida que os números naturais aumentam, os números perfeitos tornam-se menos comuns.

4) O máximo divisor comum (MDC) para dois inteiros m e n é o maior de seus divisores comuns. Exemplo: Para os números 70 e 105, o máximo divisor comum é 35.

O máximo divisor comum existe e é determinado exclusivamente se pelo menos um dos números m ou n não for zero.

5) O mínimo múltiplo comum (LCM) de dois inteiros m e n é o menor número natural divisível por m e n.

6) Os números m e n são chamados coprimos se não tiverem divisores comuns diferentes de um. Para tais números GCD(m,n) = 1. Por outro lado, se GCD(m,n) = 1, então os números são coprimos.

7) Algoritmo euclidiano - um algoritmo para encontrar o máximo divisor comum de dois inteiros ou a maior medida comum de duas quantidades homogêneas.

Você também pode encontrar as informações de seu interesse no mecanismo de busca científica Otvety.Online. Use o formulário de pesquisa:

Mais sobre o tópico nº 17. Conceitos básicos da teoria dos números:

1. 2. A essência e as condições de aplicabilidade da teoria das probabilidades. Conceitos básicos e teoremas da teoria das probabilidades.
2. 6. Várias abordagens para a formação do conceito de número natural e zero. Métodos de estudo da numeração de números até 10. Tipos, processos, formas de pensamento dos alunos mais jovens. Significado pedagógico do conceito “abordagem”; principais componentes da abordagem.
3. Consideremos os conceitos de mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum dos números naturais, conhecidos no curso escolar de matemática, e formulemos suas propriedades básicas, omitindo todas as provas.
4. Na construção axiomática da teoria dos números naturais, a subtração é geralmente definida como a operação inversa da adição.

Nome: Teoria dos Números. 2008.

A base do livro didático são os resultados da teoria elementar dos números, formada nas obras dos clássicos - Fermat, Euler, Gauss, etc. Questões como números primos e compostos, funções aritméticas, teoria das comparações, raízes e índices primitivos, frações contínuas, números algébricos e transcendentais são considerados. São revisadas as propriedades dos números primos, a teoria das equações diofantinas, os aspectos algorítmicos da teoria dos números com aplicações em criptografia (teste de primalidade de grandes números primos, fatoração de números grandes, logaritmo discreto) e o uso de computadores.
Para estudantes universitários.

O objeto de estudo da teoria dos números são os números e suas propriedades, ou seja, os números aparecem aqui não como meio ou instrumento, mas como objeto de estudo. Série natural
1,2,3,4, ...,9,10,11, ...,99,100,101, ...
- o conjunto dos números naturais - é a área de pesquisa mais importante, extremamente informativa, importante e interessante.
O estudo dos números naturais começou na Grécia Antiga. Euclides e Eratóstenes descobriram as propriedades da divisibilidade dos números, provaram a infinidade do conjunto dos números primos e encontraram formas de construí-los. Problemas relacionados à resolução de equações indefinidas em números inteiros foram objeto de pesquisa de Diofanto, bem como de cientistas da Índia Antiga e da China Antiga, países da Ásia Central.

Índice
Introdução
Capítulo 1. Sobre a divisibilidade dos números
1.1. Propriedades de divisibilidade de números inteiros
1.2. Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum
1.3. Algoritmo de Euclides
1.4. Solução inteira equações lineares

Capítulo 2. Números primos e compostos
2.1. Números primos. Peneira de Eratóstenes. O infinito do conjunto dos números primos
2.2. Teorema Fundamental da Aritmética
2.3. Teoremas de Chebyshev
2.4. Função Riemann Zeta e propriedades dos números primos
Problemas para resolver de forma independente
Capítulo 3. Funções Aritméticas
3.1. Funções multiplicativas e suas propriedades
3.2. Função de Möbius e fórmulas de inversão
3.3. Função de Euler
3.4. Soma dos divisores e número de divisores número natural
3.5. Estimativas do valor médio de funções aritméticas
Problemas para resolver de forma independente
Capítulo 4: Comparações Numéricas
4.1. Comparações e suas propriedades básicas
4.2. Aulas de dedução. Anel de classes de resíduos para um determinado módulo
4.3. Sistemas de deduções completos e reduzidos
4.4. Teorema de Wilson
4.5. Teoremas de Euler e Fermat
4.6. Representação de números racionais como infinitos decimais
4.7. Testando a primalidade e construindo grandes números primos
4.8. Fatoração de inteiros e aplicações criptográficas
Problemas para resolver de forma independente
Capítulo 5. Comparações com uma incógnita
5.1.Definições básicas
5.2. Comparações do primeiro grau
5.3.Teorema do resto chinês
5.4. Comparações polinomiais módulo prime
5.5. Comparações polinomiais por módulo compostoProblemas para solução independente
Capítulo 6. Comparações do segundo grau
6.1. Comparações do segundo grau módulo prime
6.2. O símbolo de Legendre e suas propriedades
6.3. Lei de reciprocidade quadrática
6.4. Símbolo de Jacobi e suas propriedades
6.5. Somas de dois e quatro quadrados
6.6. Representação de zero por formas quadráticas em três variáveis
Problemas para resolver de forma independente
Capítulo 7. Raízes e índices antiderivados
7.1. Indicador de um número para um determinado módulo
7.2. Existência de raízes primitivas módulo prime
7.3. Construção de raízes primitivas usando módulos pk e 2pk
7.4. Teorema sobre a ausência de raízes primitivas em módulos diferentes de 2, 4, pk e 2pk
7.5. Índices e suas propriedades
7.6. Logaritmo discreto
7.7. Comparações binomiais
Problemas para resolver de forma independente
Capítulo 8. Frações Continuadas
8.1. Teorema de Dirichlet sobre a aproximação de números reais por números racionais
8.2. Frações contínuas finitas
8.3. Fração contínua de um número real
8.4. Melhores aproximações
8.5. Números equivalentes
8.6. Irracionalidades quadráticas e frações contínuas
8.7. Usando frações contínuas para resolver algumas equações diofantinas
8.8. Decomposição do número e em uma fração contínua
Problemas para resolver de forma independente
Capítulo 9. Números algébricos e transcendentais
9.1.Campo de números algébricos
9.2. Aproximações de números algébricos por números racionais. Existência de números transcendentais
9.3. A irracionalidade dos números er e n
9.4. Transcendência do número e
9.5. Transcendência do número n
9.6. Impossibilidade de quadratura de um círculo
Problemas para resolver de forma independente
Respostas e direções
Bibliografia

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