Com este vídeo inicio uma série de lições dedicadas a sistemas de equações. Hoje falaremos sobre resolução de sistemas equações lineares método de adição- este é um dos mais maneiras simples, mas ao mesmo tempo um dos mais eficazes.

O método de adição consiste em três simples passos:

1. Observe o sistema e escolha uma variável que tenha coeficientes iguais (ou opostos) em cada equação;
2. Realizar subtração algébrica (para números opostos - adição) de equações entre si e, em seguida, trazer termos semelhantes;
3. Resolva a nova equação obtida após a segunda etapa.

Se tudo for feito corretamente, na saída obteremos uma única equação com uma variável- não será difícil resolvê-lo. Então resta apenas substituir a raiz encontrada no sistema original e obter a resposta final.

Porém, na prática nem tudo é tão simples. Há várias razões para isso:

• A resolução de equações usando o método de adição implica que todas as linhas devem conter variáveis ​​com coeficientes iguais/opostos. O que fazer se esse requisito não for atendido?
• Nem sempre, após somar/subtrair equações da forma indicada, obtemos uma bela construção que pode ser facilmente resolvida. É possível simplificar de alguma forma os cálculos e agilizar os cálculos?

Para obter a resposta a essas perguntas e, ao mesmo tempo, entender algumas sutilezas adicionais nas quais muitos alunos falham, assista à minha vídeo-aula:

Com esta lição iniciamos uma série de palestras dedicadas a sistemas de equações. E começaremos pelos mais simples deles, nomeadamente aqueles que contêm duas equações e duas variáveis. Cada um deles será linear.

Sistemas é material da 7ª série, mas esta lição também será útil para alunos do ensino médio que desejam aprimorar seus conhecimentos sobre o assunto.

Em geral, existem dois métodos para resolver tais sistemas:

1. Método de adição;
2. Um método de expressar uma variável em termos de outra.

Hoje trataremos do primeiro método - usaremos o método de subtração e adição. Mas para fazer isso, você precisa entender o seguinte fato: depois de ter duas ou mais equações, você pode pegar duas delas e adicioná-las. Eles são adicionados membro por membro, ou seja, “X” são adicionados a “X” e semelhantes são dados, “Y” com “Y” são semelhantes novamente, e o que está à direita do sinal de igual também é adicionado um ao outro, e semelhantes também são dados lá .

O resultado de tais maquinações será uma nova equação, que, se tiver raízes, certamente estará entre as raízes da equação original. Portanto, nossa tarefa é fazer a subtração ou adição de tal forma que $x$ ou $y$ desapareçam.

Como conseguir isso e qual ferramenta usar para isso - falaremos sobre isso agora.

Resolvendo problemas fáceis usando adição

Assim, aprendemos a usar o método de adição usando o exemplo de duas expressões simples.

Tarefa nº 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Observe que $y$ tem um coeficiente de $-4$ na primeira equação e $+4$ na segunda. Eles são mutuamente opostos, por isso é lógico supor que, se os somarmos, na soma resultante os “jogos” serão mutuamente destruídos. Some e obtenha:

Vamos resolver a construção mais simples:

Ótimo, encontramos o "x". O que devemos fazer com isso agora? Temos o direito de substituí-lo em qualquer uma das equações. Vamos substituir no primeiro:

\[-4y=12\esquerda| :\esquerda(-4 \direita) \direita.\]

Resposta: $\esquerda(2;-3 \direita)$.

Problema nº 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

A situação aqui é completamente semelhante, apenas com “X’s”. Vamos adicioná-los:

Temos a equação linear mais simples, vamos resolvê-la:

Agora vamos encontrar $x$:

Resposta: $\esquerda(-3;3 \direita)$.

Pontos importantes

Assim, acabamos de resolver dois sistemas simples de equações lineares usando o método de adição. Pontos-chave novamente:

1. Se houver coeficientes opostos para uma das variáveis, é necessário somar todas as variáveis ​​da equação. Neste caso, um deles será destruído.
2. Substituímos a variável encontrada em qualquer uma das equações do sistema para encontrar a segunda.
3. O registro da resposta final pode ser apresentado de diferentes maneiras. Por exemplo, assim - $x=...,y=...$, ou na forma de coordenadas de pontos - $\left(...;... \right)$. A segunda opção é preferível. A principal coisa a lembrar é que a primeira coordenada é $x$ e a segunda é $y$.
4. A regra de escrever a resposta na forma de coordenadas de pontos nem sempre é aplicável. Por exemplo, não pode ser utilizado quando as variáveis ​​não são $x$ e $y$, mas, por exemplo, $a$ e $b$.

Nos problemas seguintes consideraremos a técnica de subtração quando os coeficientes não são opostos.

Resolvendo problemas fáceis usando o método de subtração

Tarefa nº 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Observe que não há coeficientes opostos aqui, mas existem coeficientes idênticos. Portanto, subtraímos a segunda da primeira equação:

Agora substituímos o valor $x$ em qualquer uma das equações do sistema. Vamos primeiro:

Resposta: $\esquerda(2;5\direita)$.

Problema nº 2

\[\esquerda\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Vemos novamente o mesmo coeficiente de $5$ para $x$ na primeira e na segunda equação. Portanto, é lógico supor que é necessário subtrair a segunda da primeira equação:

Calculamos uma variável. Agora vamos encontrar o segundo, por exemplo, substituindo o valor $y$ na segunda construção:

Resposta: $\esquerda(-3;-2 \direita)$.

Nuances da solução

Então, o que vemos? Essencialmente, o esquema não difere da solução dos sistemas anteriores. A única diferença é que não adicionamos equações, mas as subtraímos. Estamos fazendo subtração algébrica.

Em outras palavras, assim que você vir um sistema que consiste em duas equações em duas incógnitas, a primeira coisa que você precisa observar são os coeficientes. Se forem iguais em qualquer lugar, as equações são subtraídas e, se forem opostas, utiliza-se o método de adição. Isso é feito sempre para que uma delas desapareça, e na equação final, que permanece após a subtração, resta apenas uma variável.

Claro, isso não é tudo. Agora consideraremos sistemas nos quais as equações são geralmente inconsistentes. Aqueles. Não há variáveis ​​neles que sejam iguais ou opostas. Neste caso, para resolver tais sistemas, é utilizada uma técnica adicional, nomeadamente, multiplicar cada uma das equações por um coeficiente especial. Como encontrá-lo e como resolver tais sistemas em geral, falaremos sobre isso agora.

Resolvendo problemas multiplicando por um coeficiente

Exemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vemos que nem para $x$ nem para $y$ os coeficientes não são apenas mutuamente opostos, mas também não estão de forma alguma correlacionados com a outra equação. Esses coeficientes não desaparecerão de forma alguma, mesmo se somarmos ou subtrairmos as equações umas das outras. Portanto, é necessário aplicar a multiplicação. Vamos tentar nos livrar da variável $y$. Para fazer isso, multiplicamos a primeira equação pelo coeficiente de $y$ da segunda equação, e a segunda equação pelo coeficiente de $y$ da primeira equação, sem tocar no sinal. Multiplicamos e obtemos um novo sistema:

\[\esquerda\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Vejamos: em $y$ os coeficientes são opostos. Em tal situação, é necessário utilizar o método de adição. Vamos adicionar:

Agora precisamos encontrar $y$. Para fazer isso, substitua $x$ na primeira expressão:

\[-9y=18\esquerda| :\esquerda(-9 \direita) \direita.\]

Resposta: $\esquerda(4;-2 \direita)$.

Exemplo nº 2

\[\esquerda\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Novamente, os coeficientes para nenhuma das variáveis ​​são consistentes. Vamos multiplicar pelos coeficientes de $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\esquerda\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Nosso novo sistema é equivalente ao anterior, mas os coeficientes de $y$ são mutuamente opostos e, portanto, é fácil aplicar o método de adição aqui:

Agora vamos encontrar $y$ substituindo $x$ na primeira equação:

Resposta: $\esquerda(-2;1 \direita)$.

Nuances da solução

A regra principal aqui é a seguinte: sempre multiplicamos apenas por números positivos - isso evitará erros estúpidos e ofensivos associados à mudança de sinais. Em geral, o esquema de solução é bastante simples:

1. Observamos o sistema e analisamos cada equação.
2. Se observarmos que nem $y$ nem $x$ os coeficientes são consistentes, ou seja, eles não são iguais nem opostos, então fazemos o seguinte: selecionamos a variável da qual precisamos nos livrar e depois olhamos os coeficientes dessas equações. Se multiplicarmos a primeira equação pelo coeficiente da segunda, e a segunda, correspondentemente, multiplicarmos pelo coeficiente da primeira, então no final obteremos um sistema completamente equivalente ao anterior, e os coeficientes de $ y$ será consistente. Todas as nossas ações ou transformações visam apenas obter uma variável em uma equação.
3. Encontramos uma variável.
4. Substituímos a variável encontrada em uma das duas equações do sistema e encontramos a segunda.
5. Escrevemos a resposta na forma de coordenadas de pontos se tivermos as variáveis ​​$x$ e $y$.

Mas mesmo um algoritmo tão simples tem suas próprias sutilezas, por exemplo, os coeficientes de $x$ ou $y$ podem ser frações e outros números “feios”. Consideraremos agora esses casos separadamente, porque neles você pode agir de maneira um pouco diferente do que de acordo com o algoritmo padrão.

Resolvendo problemas com frações

Exemplo 1

\[\esquerda\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Primeiro, observe que a segunda equação contém frações. Mas observe que você pode dividir $4$ por $0,8$. Receberemos $ 5$. Vamos multiplicar a segunda equação por $5$:

\[\esquerda\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Subtraímos as equações uma da outra:

Encontramos $n$, agora vamos contar $m$:

Resposta: $n=-4;m=5$

Exemplo nº 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ certo.\]

Aqui, como no sistema anterior, existem coeficientes fracionários, mas para nenhuma das variáveis ​​os coeficientes se encaixam um número inteiro de vezes. Portanto, usamos o algoritmo padrão. Livre-se de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Usamos o método de subtração:

Vamos encontrar $p$ substituindo $k$ na segunda construção:

Resposta: $p=-4;k=-2$.

Nuances da solução

Isso é tudo otimização. Na primeira equação, não multiplicamos por nada, mas multiplicamos a segunda equação por $5$. Como resultado, obtivemos uma equação consistente e até idêntica para a primeira variável. No segundo sistema seguimos um algoritmo padrão.

Mas como você encontra os números pelos quais multiplicar as equações? Afinal, se multiplicarmos por frações, obtemos novas frações. Portanto, as frações devem ser multiplicadas por um número que dê um novo inteiro, e em seguida as variáveis ​​devem ser multiplicadas por coeficientes, seguindo o algoritmo padrão.

Concluindo, gostaria de chamar a atenção para o formato de registro da resposta. Como já disse, como aqui não temos $x$ e $y$, mas sim outros valores, usamos uma notação não padrão da forma:

Resolvendo sistemas complexos de equações

Como nota final para o vídeo tutorial de hoje, vamos dar uma olhada em alguns sistemas realmente complexos. A sua complexidade consistirá no facto de terem variáveis ​​tanto à esquerda como à direita. Portanto, para resolvê-los teremos que aplicar o pré-processamento.

Sistema nº 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \direita)-1=5\esquerda(2x-1 \direita)+8 \\\fim(alinhar) \direita.\]

Cada equação carrega uma certa complexidade. Portanto, vamos tratar cada expressão como uma construção linear regular.

No total, obtemos o sistema final, que equivale ao original:

\[\esquerda\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Vejamos os coeficientes de $y$: $3$ cabe em $6$ duas vezes, então vamos multiplicar a primeira equação por $2$:

\[\esquerda\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Os coeficientes de $y$ agora são iguais, então subtraímos a segunda da primeira equação: $$

Agora vamos encontrar $y$:

Resposta: $\esquerda(0;-\frac(1)(3) \direita)$

Sistema nº 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\esquerda(a-5 \direita)+b \\\fim(alinhar) \direita.\]

Vamos transformar a primeira expressão:

Vamos lidar com o segundo:

\[-3\esquerda(b-2a \direita)-12=2\esquerda(a-5 \direita)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

No total, nosso sistema inicial terá a seguinte forma:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Olhando para os coeficientes de $a$, vemos que a primeira equação precisa ser multiplicada por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Subtraia a segunda da primeira construção:

Agora vamos encontrar $a$:

Resposta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Isso é tudo. Espero que este vídeo tutorial ajude você a entender este tópico difícil, ou seja, resolver sistemas de equações lineares simples. Haverá muito mais lições sobre este tópico: veremos mais exemplos complexos, onde haverá mais variáveis, e as próprias equações já serão não lineares. Ver você de novo!

Nesta lição continuaremos a estudar o método de resolução de sistemas de equações, a saber: o método adição algébrica. Primeiro, vejamos a aplicação deste método usando o exemplo das equações lineares e sua essência. Vamos lembrar também como equalizar coeficientes em equações. E resolveremos vários problemas usando este método.

Tópico: Sistemas de equações

Lição: Método de adição algébrica

1. Método de adição algébrica usando sistemas lineares como exemplo

Vamos considerar método de adição algébrica usando o exemplo de sistemas lineares.

Exemplo 1. Resolva o sistema

Se somarmos essas duas equações, então y se cancela, deixando uma equação para x.

Se subtrairmos a segunda da primeira equação, os x se cancelam e obtemos uma equação para y. Este é o significado do método de adição algébrica.

Resolvemos o sistema e lembramos do método de adição algébrica. Vamos repetir sua essência: podemos somar e subtrair equações, mas devemos garantir que obteremos uma equação com apenas uma incógnita.

2. Método de adição algébrica com equalização preliminar de coeficientes

Exemplo 2. Resolva o sistema

O termo está presente em ambas as equações, portanto o método de adição algébrica é conveniente. Vamos subtrair a segunda da primeira equação.

Resposta: (2; -1).

Assim, após analisar o sistema de equações, pode-se perceber que o método de adição algébrica é conveniente para ele e aplicá-lo.

Vamos considerar outro sistema linear.

3. Solução de sistemas não lineares

Exemplo 3. Resolva o sistema

Queremos eliminar y, mas os coeficientes de y são diferentes nas duas equações. Vamos equalizá-los, para isso multiplique a primeira equação por 3, a segunda por 4.

Exemplo 4. Resolva o sistema

Vamos equalizar os coeficientes para x

Você pode fazer isso de maneira diferente - equalize os coeficientes de y.

Resolvemos o sistema aplicando o método de adição algébrica duas vezes.

O método de adição algébrica também é aplicável à resolução de sistemas não lineares.

Exemplo 5. Resolva o sistema

Vamos somar essas equações e nos livraremos de y.

O mesmo sistema pode ser resolvido aplicando duas vezes o método de adição algébrica. Vamos adicionar e subtrair outra de uma equação.

Exemplo 6. Resolva o sistema

Responder:

Exemplo 7. Resolva o sistema

Usando o método de adição algébrica, eliminaremos o termo xy. Vamos multiplicar a primeira equação por .

A primeira equação permanece inalterada, em vez da segunda escrevemos a soma algébrica.

Responder:

Exemplo 8. Resolva o sistema

Multiplique a segunda equação por 2 para isolar um quadrado perfeito.

Nossa tarefa se reduziu a resolver quatro sistemas simples.

4. Conclusão

Examinamos o método de adição algébrica usando o exemplo de resolução de sistemas lineares e não lineares. Sobre próxima lição Consideremos o método de introdução de novas variáveis.

1. Mordkovich A. G. e outros Álgebra 9ª série: Livro didático. Para educação geral Instituições.- 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: il.

2. Mordkovich A. G. e outros Álgebra 9ª série: livro de problemas para alunos instituições educacionais/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina e outros - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: il.

3. Makarychev Yu N. Álgebra. 9º ano: educacional. para estudantes do ensino geral. instituições / Yu.N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7ª ed., Rev. e adicional - M.: Mnemósine, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. Álgebra. 9 º ano. 16ª edição. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Álgebra. 9 º ano. Em 2 partes Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino geral / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12ª ed., apagada. - M.: 2010. - 224 p.: il.

6. Álgebra. 9 º ano. Em 2 partes Parte 2. Livro de problemas para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina e outros; Ed. A. G. Mordkovich. - 12ª ed., rev. - M.: 2010.-223 p.: il.

1. Seção universitária. ru em matemática.

2. Projeto de Internet “Tarefas”.

3. Portal educacional“VOU RESOLVER O USO.”

1. Mordkovich A. G. e outros Álgebra 9ª série: Livro de problemas para alunos de instituições de ensino geral / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina e outros - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: il. Nº 125 - 127.

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Método de adição algébrica

Você pode resolver um sistema de equações com duas incógnitas jeitos diferentes- método gráfico ou método de substituição de variável.

Nesta lição, conheceremos outro método de resolução de sistemas que você provavelmente gostará - este é o método de adição algébrica.

De onde veio a ideia de colocar algo nos sistemas? Ao resolver sistemas problema principalé a presença de duas variáveis, porque não sabemos resolver equações com duas variáveis. Isso significa que um deles deve ser excluído de alguma forma legal. E essas formas legítimas são regras e propriedades matemáticas.

Uma dessas propriedades é: a soma dos números opostos é zero. Isso significa que se uma das variáveis ​​​​tiver coeficientes opostos, então sua soma será igual a zero e poderemos excluir esta variável da equação. É claro que não temos o direito de adicionar apenas termos à variável que precisamos. Você precisa adicionar todas as equações, ou seja, adicione separadamente termos semelhantes no lado esquerdo e depois no lado direito. Como resultado, obtemos uma nova equação contendo apenas uma variável. Vejamos o que foi dito com exemplos específicos.

Vemos que na primeira equação existe uma variável y, e na segunda existe o número oposto -y. Isso significa que esta equação pode ser resolvida por adição.

Uma das equações é deixada como está. Qualquer um que você mais goste.

Mas a segunda equação será obtida adicionando estas duas equações termo a termo. Aqueles. Adicionamos 3x com 2x, adicionamos y com -y, adicionamos 8 com 7.

Obtemos um sistema de equações

A segunda equação deste sistema é uma equação simples com uma variável. A partir dele encontramos x = 3. Substituindo o valor encontrado na primeira equação, encontramos y = -1.

Resposta: (3; - 1).

Projeto de amostra:

Resolva um sistema de equações usando o método de adição algébrica

Não existem variáveis ​​com coeficientes opostos neste sistema. Mas sabemos que ambos os lados da equação podem ser multiplicados pelo mesmo número. Vamos multiplicar a primeira equação do sistema por 2.

Então a primeira equação assumirá a forma:

Agora vemos que a variável x tem coeficientes opostos. Isso significa que faremos o mesmo que no primeiro exemplo: deixaremos uma das equações inalterada. Por exemplo, 2y + 2x = 10. E obtemos o segundo por adição.

Agora temos um sistema de equações:

Encontramos facilmente na segunda equação y = 1 e, em seguida, na primeira equação x = 4.

Projeto de amostra:

Vamos resumir:

Aprendemos como resolver sistemas de duas equações lineares com duas incógnitas usando o método de adição algébrica. Assim, conhecemos agora três métodos principais para resolver tais sistemas: gráfico, método de substituição de variáveis ​​​​e método de adição. Quase qualquer sistema pode ser resolvido usando esses métodos. Em casos mais complexos, é utilizada uma combinação destas técnicas.

Lista de literatura usada:

1. Mordkovich A.G., Álgebra 7ª série em 2 partes, Parte 1, Livro didático para instituições de ensino geral / A.G. Mordkovich. – 10ª ed., revisada – Moscou, “Mnemosyne”, 2007.
2. Mordkovich A.G., Álgebra 7ª série em 2 partes, Parte 2, Livro de problemas para instituições de ensino / [A.G. Mordkovich e outros]; editado por A.G. Mordkovich - 10ª edição, revisada - Moscou, “Mnemosyne”, 2007.
3. DELA. Tulchinskaya, Álgebra 7ª série. Pesquisa Blitz: um manual para estudantes de instituições de ensino geral, 4ª edição, revisada e ampliada, Moscou, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Álgebra 7ª série. Temático trabalho de teste V nova forma para estudantes de instituições de ensino geral, editado por A.G. Mordkovich, Moscou, “Mnemosyne”, 2011.
5. Alexandrova L. A. Álgebra 7º ano. Trabalho independente para estudantes de instituições de ensino geral, editado por A.G. Mordkovich - 6ª edição, estereotipado, Moscou, “Mnemosyne”, 2010.

Usando isso programa de matemática Você pode resolver um sistema de duas equações lineares em duas variáveis ​​usando o método de substituição e o método de adição.

O programa não apenas dá a resposta ao problema, mas também fornece uma solução detalhada com explicações das etapas da solução de duas maneiras: o método de substituição e o método de adição.

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Regras para inserir equações

Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Ao inserir equações você pode usar parênteses. Neste caso, as equações são primeiro simplificadas. As equações após simplificações devem ser lineares, ou seja, da forma ax+by+c=0 com a precisão da ordem dos elementos.
Por exemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2

Nas equações, você pode usar não apenas números inteiros, mas também frações na forma de decimais e frações ordinárias.

Regras para inserir frações decimais.
As partes inteiras e fracionárias em frações decimais podem ser separadas por ponto ou vírgula.
Por exemplo: 2,1n + 3,5m = 55

Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.
O denominador não pode ser negativo.
Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
Parte inteira separado da fração por um e comercial: &

Exemplos.
-1 e 2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2 e 1/8q)

Resolver sistema de equações

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Resolução de sistemas de equações lineares. Método de substituição

A sequência de ações ao resolver um sistema de equações lineares usando o método de substituição:
1) expressar uma variável de alguma equação do sistema em termos de outra;
2) substituir a expressão resultante em outra equação do sistema em vez desta variável;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Vamos expressar y em termos de x da primeira equação: y = 7-3x. Substituindo a expressão 7-3x na segunda equação em vez de y, obtemos o sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

É fácil mostrar que o primeiro e o segundo sistemas têm as mesmas soluções. No segundo sistema, a segunda equação contém apenas uma variável. Vamos resolver esta equação:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Substituindo o número 1 em vez de x na igualdade y=7-3x, encontramos o valor correspondente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - solução do sistema

Sistemas de equações em duas variáveis ​​​​que possuem as mesmas soluções são chamados equivalente. Sistemas que não possuem soluções também são considerados equivalentes.

Resolvendo sistemas de equações lineares por adição

Consideremos outra maneira de resolver sistemas de equações lineares - o método de adição. Ao resolver sistemas desta forma, bem como ao resolver por substituição, passamos deste sistema para outro sistema equivalente, em que uma das equações contém apenas uma variável.

A sequência de ações ao resolver um sistema de equações lineares usando o método de adição:
1) multiplicar as equações do sistema termo a termo, selecionando os fatores de forma que os coeficientes de uma das variáveis ​​se tornem números opostos;
2) somar os lados esquerdo e direito das equações do sistema termo a termo;
3) resolver a equação resultante com uma variável;
4) encontre o valor correspondente da segunda variável.

Exemplo. Vamos resolver o sistema de equações:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Nas equações deste sistema, os coeficientes de y são números opostos. Somando os lados esquerdo e direito das equações termo a termo, obtemos uma equação com uma variável 3x=33. Vamos substituir uma das equações do sistema, por exemplo a primeira, pela equação 3x=33. Vamos pegar o sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Da equação 3x=33 descobrimos que x=11. Substituindo este valor de x na equação \(x-3y=38\) obtemos uma equação com a variável y: \(11-3y=38\). Vamos resolver esta equação:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Assim, encontramos a solução do sistema de equações por adição: \(x=11; y=-9\) ou \((11;-9)\)

Aproveitando que nas equações do sistema os coeficientes de y são números opostos, reduzimos a sua solução à solução de um sistema equivalente (somando ambos os lados de cada uma das equações do sistema original), em que um das equações contém apenas uma variável.

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Usando o método de adição, as equações de um sistema são somadas termo a termo, e uma ou ambas (várias) equações podem ser multiplicadas por qualquer número. Como resultado, chegam a um SLE equivalente, onde em uma das equações existe apenas uma variável.

Para resolver o sistema método de adição termo a termo (subtração) Siga esses passos:

1. Selecione uma variável para a qual serão feitos os mesmos coeficientes.

2. Agora você precisa somar ou subtrair as equações e obter uma equação com uma variável.

Solução do sistema- estes são os pontos de intersecção dos gráficos de funções.

Vejamos exemplos.

Exemplo 1.

Dado sistema:

Analisando este sistema, pode-se notar que os coeficientes da variável são iguais em magnitude e diferentes em sinais (-1 e 1). Neste caso, as equações podem ser facilmente adicionadas termo a termo:

Realizamos as ações circuladas em vermelho em nossas mentes.

O resultado da adição termo a termo foi o desaparecimento da variável sim. Este é precisamente o significado do método - livrar-se de uma das variáveis.

-4 - sim + 5 = 0 → sim = 1,

Na forma de sistema, a solução é mais ou menos assim:

Responder: x = -4 , sim = 1.

Exemplo 2.

Dado sistema:

Neste exemplo, você pode usar o método “escola”, mas tem uma grande desvantagem - ao expressar qualquer variável de qualquer equação, você obterá uma solução em frações ordinárias. Mas resolver frações leva muito tempo e a probabilidade de cometer erros aumenta.

Portanto, é melhor usar adição (subtração) termo a termo de equações. Vamos analisar os coeficientes das variáveis ​​correspondentes:

Você precisa encontrar um número que possa ser dividido por 3 e assim por diante 4 , e é necessário que esse número seja o mínimo possível. Esse mínimo múltiplo comum. Se for difícil encontrar o número certo, você pode multiplicar os coeficientes: .

Próxima Etapa:

Multiplicamos a 1ª equação por,

Multiplicamos a 3ª equação por,