Usando isso programa de matemática Você pode resolver um sistema de duas equações lineares em duas variáveis ​​usando o método de substituição e o método de adição.

O programa não apenas dá a resposta ao problema, mas também fornece uma solução detalhada com explicações das etapas da solução de duas maneiras: o método de substituição e o método de adição.

Este programa pode ser útil para estudantes do ensino médio em escolas secundárias em preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado, para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro contratar um tutor ou comprar novos livros? Ou você apenas quer fazer isso o mais rápido possível? trabalho de casa

em matemática ou álgebra? Neste caso, você também pode utilizar nossos programas com soluções detalhadas. Dessa forma você pode gastar seu treinamento próprio

e/ou treinando seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto aumenta o nível de escolaridade na área dos problemas a serem resolvidos.

Regras para inserir equações
Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.

Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc. Ao inserir equações você pode usar parênteses
. Neste caso, as equações são primeiro simplificadas.

As equações após simplificações devem ser lineares, ou seja, da forma ax+by+c=0 com a precisão da ordem dos elementos.

Por exemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2
Nas equações, você pode usar não apenas números inteiros, mas também frações na forma de decimais e frações ordinárias. Regras para inserir frações decimais. Partes inteiras e fracionárias em
decimais

podem ser separados por ponto ou vírgula.
Por exemplo: 2,1n + 3,5m = 55
Regras para inserir frações ordinárias.
Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
Parte inteira separado da fração por um e comercial: &

Exemplos.
-1 e 2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2 e 1/8q)

Resolver sistema de equações

Foi descoberto que alguns scripts necessários para resolver este problema não foram carregados e o programa pode não funcionar.
Você pode ter o AdBlock ativado.
Neste caso, desative-o e atualize a página.

JavaScript está desabilitado em seu navegador.
Para que a solução apareça, você precisa habilitar o JavaScript.
Aqui estão instruções sobre como habilitar o JavaScript em seu navegador.

Porque Tem muita gente disposta a resolver o problema, seu pedido ficou na fila.
Em alguns segundos a solução aparecerá abaixo.
Por favor, aguarde segundo...

Se você notei um erro na solução, então você pode escrever sobre isso no Formulário de Feedback.
Não se esqueça indique qual tarefa você decide o que entre nos campos.

Nossos jogos, quebra-cabeças, emuladores:

Um pouco de teoria.

Resolução de sistemas de equações lineares. Método de substituição

A sequência de ações ao resolver um sistema de equações lineares usando o método de substituição:
1) expressar uma variável de alguma equação do sistema em termos de outra;
2) substituir a expressão resultante em outra equação do sistema em vez desta variável;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Vamos expressar y em termos de x da primeira equação: y = 7-3x. Substituindo a expressão 7-3x na segunda equação em vez de y, obtemos o sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

É fácil mostrar que o primeiro e o segundo sistemas têm as mesmas soluções. No segundo sistema, a segunda equação contém apenas uma variável. Vamos resolver esta equação:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Substituindo o número 1 em vez de x na igualdade y=7-3x, encontramos o valor correspondente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - solução do sistema

Sistemas de equações em duas variáveis ​​​​que possuem as mesmas soluções são chamados equivalente. Sistemas que não possuem soluções também são considerados equivalentes.

Resolvendo sistemas de equações lineares por adição

Consideremos outra maneira de resolver sistemas de equações lineares - o método de adição. Ao resolver sistemas desta forma, bem como ao resolver por substituição, passamos deste sistema para outro sistema equivalente, em que uma das equações contém apenas uma variável.

A sequência de ações ao resolver um sistema de equações lineares usando o método de adição:
1) multiplicar as equações do sistema termo a termo, selecionando os fatores de forma que os coeficientes de uma das variáveis ​​se tornem números opostos;
2) somar os lados esquerdo e direito das equações do sistema termo a termo;
3) resolver a equação resultante com uma variável;
4) encontre o valor correspondente da segunda variável.

Exemplo. Vamos resolver o sistema de equações:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Nas equações deste sistema, os coeficientes de y são números opostos. Somando os lados esquerdo e direito das equações termo a termo, obtemos uma equação com uma variável 3x=33. Vamos substituir uma das equações do sistema, por exemplo a primeira, pela equação 3x=33. Vamos pegar o sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Da equação 3x=33 descobrimos que x=11. Substituindo este valor de x na equação \(x-3y=38\) obtemos uma equação com a variável y: \(11-3y=38\). Vamos resolver esta equação:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Assim, encontramos a solução do sistema de equações por adição: \(x=11; y=-9\) ou \((11;-9)\)

Aproveitando que nas equações do sistema os coeficientes de y são números opostos, reduzimos a sua solução à solução de um sistema equivalente (somando ambos os lados de cada uma das equações do sistema original), em que um das equações contém apenas uma variável.

Livros (livros didáticos) Resumos do Exame do Estado Unificado e testes do Exame do Estado Unificado jogos online, quebra-cabeças Traçando gráficos de funções Dicionário de ortografia da língua russa Dicionário de gírias juvenis Catálogo de escolas russas Catálogo de instituições de ensino secundário da Rússia Catálogo de universidades russas Lista de tarefas

§ 1 Seleção de raízes de equações em situações reais

Vamos considerar esta situação real:

O mestre e o aprendiz fizeram juntos 400 peças personalizadas. Além disso, o mestre trabalhou 3 dias e o aluno 2 dias. Quantas peças cada pessoa fez?

Vamos criar um modelo algébrico desta situação. Deixe o mestre produzir peças em 1 dia. E o aluno está atento aos detalhes. Então o mestre fará 3 peças em 3 dias, e o aluno fará 2 peças em 2 dias. Juntos eles produzirão 3 + 2 peças. Como, de acordo com a condição, foram fabricadas um total de 400 peças, obtemos a equação:

A equação resultante é chamada de equação linear em duas variáveis. Aqui precisamos encontrar um par de números xey para os quais a equação assumirá a forma de uma verdadeira igualdade numérica. Observe que se x = 90, y = 65, então obtemos a igualdade:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Como a igualdade numérica correta foi obtida, o par de números 90 e 65 será uma solução para esta equação. Mas a solução encontrada não é a única. Se x = 96 e y = 56, então obtemos a igualdade:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Esta também é uma verdadeira igualdade numérica, o que significa que o par de números 96 e 56 também é uma solução para esta equação. Mas um par de números x = 73 ey = 23 não será uma solução para esta equação. Na verdade, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 nos dará a igualdade numérica incorreta 265 = 400. Deve-se notar que se considerarmos a equação em relação a esta situação real, então haverá pares de números que, sendo uma solução para esta equação, não será uma solução para o problema. Por exemplo, alguns números:

x = 200 ey = -100

é uma solução para a equação, mas o aluno não pode formar -100 partes e, portanto, tal par de números não pode ser a resposta para a questão do problema. Assim, em cada situação real específica é necessário adotar uma abordagem razoável para a seleção das raízes da equação.

Vamos resumir os primeiros resultados:

Uma equação da forma ax + bу + c = 0, onde a, b, c são quaisquer números, é chamada de equação linear com duas variáveis.

A solução para uma equação linear em duas variáveis ​​​​é um par de números correspondentes a x e y, para os quais a equação se transforma em uma verdadeira igualdade numérica.

§ 2 Gráfico de uma equação linear

O próprio registro do par (x;y) nos leva a pensar na possibilidade de representá-lo como um ponto de coordenadas xy y em um plano. Isso significa que podemos obter um modelo geométrico situação específica. Por exemplo, considere a equação:

2x + y - 4 = 0

Vamos selecionar vários pares de números que serão soluções para esta equação e construir pontos com as coordenadas encontradas. Que estes sejam pontos:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).

Observe que todos os pontos estão na mesma linha. Esta linha é chamada de gráfico de uma equação linear em duas variáveis. É um modelo gráfico (ou geométrico) de uma determinada equação.

Se um par de números (x;y) é uma solução para a equação

ax + vy + c = 0, então o ponto M(x;y) pertence ao gráfico da equação. Podemos dizer o contrário: se o ponto M(x;y) pertence ao gráfico da equação ax + y + c = 0, então o par de números (x;y) é uma solução para esta equação.

Do curso de geometria sabemos:

Para traçar uma reta são necessários 2 pontos, portanto, para traçar o gráfico de uma equação linear com duas variáveis, basta conhecer apenas 2 pares de soluções. Mas adivinhar as raízes nem sempre é um procedimento conveniente ou racional. Você pode agir de acordo com outra regra. Como a abcissa de um ponto (variável x) é uma variável independente, você pode atribuir a ela qualquer valor conveniente. Substituindo esse número na equação, encontramos o valor da variável y.

Por exemplo, seja dada a equação:

Seja x = 0, então obtemos 0 - y + 1 = 0 ou y = 1. Isso significa que se x = 0, então y = 1. Um par de números (0;1) é a solução para esta equação. Vamos definir outro valor para a variável x: x = 2. Então obtemos 2 - y + 1 = 0 ou y = 3. O par de números (2;3) também é uma solução para esta equação. Utilizando os dois pontos encontrados já é possível construir um gráfico da equação x - y + 1 = 0.

Você pode fazer isso: primeiro atribua algum valor específico à variável y, e só então calcule o valor de x.

§ 3 Sistema de equações

Encontre dois números naturais, cuja soma é 11 e a diferença é 1.

Para resolver este problema, primeiro criamos um modelo matemático (ou seja, um modelo algébrico). Seja o primeiro número x e o segundo número y. Então a soma dos números x + y = 11 e a diferença dos números x - y = 1. Como ambas as equações tratam dos mesmos números, essas condições devem ser atendidas simultaneamente. Normalmente, nesses casos, um registro especial é usado. As equações são escritas uma abaixo da outra e combinadas com chaves.

Tal registro é chamado de sistema de equações.

Agora vamos construir conjuntos de soluções para cada equação, ou seja, gráficos de cada uma das equações. Vamos pegar a primeira equação:

Se x = 4, então y = 7. Se x = 9, então y = 2.

Vamos traçar uma linha reta passando pelos pontos (4;7) e (9;2).

Vamos pegar a segunda equação x - y = 1. Se x = 5, então y = 4. Se x = 7, então y = 6. Também traçamos uma linha reta através dos pontos (5;4) e (7;6 ). Obtivemos um modelo geométrico do problema. O par de números em que estamos interessados ​​(x;y) deve ser uma solução para ambas as equações. Na figura vemos um único ponto que fica em ambas as retas; este é o ponto de intersecção das retas.

Suas coordenadas são (6;5). Portanto, a solução para o problema será: o primeiro número necessário é 6, o segundo é 5.

Lista de literatura usada:

1. Mordkovich A.G., Álgebra 7ª série em 2 partes, Parte 1, Livro didático para instituições educacionais/ A.G. Mordkovich. – 10ª ed., revisada – Moscou, “Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Álgebra 7ª série em 2 partes, Parte 2, Livro de problemas para instituições de ensino / [A.G. Mordkovich e outros]; editado por A.G. Mordkovich - 10ª edição, revisada - Moscou, “Mnemosyne”, 2007
3. DELA. Tulchinskaya, Álgebra 7ª série. Pesquisa Blitz: um manual para estudantes de instituições de ensino geral, 4ª edição, revisada e ampliada, Moscou, “Mnemosyne”, 2008
4. Alexandrova L.A., Álgebra 7ª série. Temático trabalho de teste V novo formulário para estudantes de instituições de ensino geral, editado por A.G. Mordkovich, Moscou, “Mnemosyne”, 2011
5. Alexandrova L. A. Álgebra 7º ano. Trabalho independente para estudantes de instituições de ensino geral, editado por A.G. Mordkovich - 6ª edição, estereotipado, Moscou, “Mnemosyne”, 2010

Equação linear com duas variáveis ​​- qualquer equação que tenha a seguinte forma: a*x + b*y =с. Aqui xey são duas variáveis, a,b,c são alguns números.

A solução da equação linear a*x + b*y = c é qualquer par de números (x,y) que satisfaça esta equação, ou seja, transforme a equação com as variáveis ​​​​x e y em uma igualdade numérica correta. Uma equação linear tem um número infinito de soluções.

Se cada par de números que são soluções para uma equação linear em duas variáveis ​​​​for representado no plano de coordenadas como pontos, então todos esses pontos formam o gráfico de uma equação linear em duas variáveis. As coordenadas dos pontos serão nossos valores x e y. Neste caso, o valor de x será a abcissa e o valor de y será a ordenada.

Gráfico de uma equação linear em duas variáveis

O gráfico de uma equação linear com duas variáveis ​​​​é o conjunto de todos os pontos possíveis no plano coordenado, cujas coordenadas serão soluções para esta equação linear. É fácil adivinhar que o gráfico será uma linha reta. É por isso que tais equações são chamadas lineares.

Algoritmo de construção

Algoritmo para traçar uma equação linear em duas variáveis.

1. Desenhar eixos coordenados, rotule-os e marque a escala da unidade.

2. Em uma equação linear, coloque x = 0 e resolva a equação resultante para y. Marque o ponto resultante no gráfico.

3. Em uma equação linear, considere o número 0 como y e resolva a equação resultante para x. Marque o ponto resultante no gráfico

4. Se necessário, tome um valor arbitrário de x e resolva a equação resultante para y. Marque o ponto resultante no gráfico.

5. Conecte os pontos resultantes e continue o gráfico além deles. Assine a linha reta resultante.

Exemplo: Faça um gráfico da equação 3*x - 2*y =6;

Vamos colocar x=0, então - 2*y =6; y= -3;

Vamos colocar y=0, então 3*x = 6; x=2;

Marcamos os pontos obtidos no gráfico, traçamos uma linha reta através deles e rotulamos. Observe a figura abaixo, o gráfico deve ficar exatamente assim.

Como você sabe, existem equações contendo duas variáveis, por exemplo, expressões da forma:

Além dos valores numéricos, tais expressões contêm dois monômios envolvendo variáveis ​​desconhecidas. Nos vídeos anteriores já vimos as propriedades de tais expressões, bem como os métodos para encontrar raízes.

Qualquer equação com duas variáveis ​​tem uma resposta na forma de um par de números que são os valores de x e y. Na maioria das vezes, existe um conjunto infinito de respostas, correspondendo a dois conjuntos de números x e y. Além disso, tais equações podem ter apenas uma raiz ou nenhuma resposta. Mas, em qualquer caso, se for dado um certo valor x, então, se houver uma igualdade real, será encontrado um valor correspondente y. Em outras palavras, a resposta a uma equação em duas variáveis ​​é sempre um par de números.

Equação da forma:

pode ser transformado de forma idêntica, obtendo uma expressão equivalente:

y = 2,5 - 0,5x

Movendo os termos de modo a deixar y no lado esquerdo, ex e todos os outros monômios no lado direito, e também dividindo ambos os lados da expressão por 2, obtemos uma equação equivalente. É, em essência, algum tipo de relação entre o argumento x e o valor y. Nesta expressão, esta dependência é representada por uma forma linear analítica. Mas também pode ser representado graficamente exibindo um gráfico matemático num sistema de coordenadas cartesianas. Para isso, os valores dos argumentos são calculados ao longo do eixo das abcissas e os valores da função são calculados ao longo do eixo das ordenadas.

Em outras palavras, no caso de equações com duas variáveis, podemos transformá-las de forma idêntica em fórmulas convenientes equivalentes, e então usar pares de raízes correspondentes à solução correta desta equação como coordenadas de pontos no sistema cartesiano. Várias soluções para as equações darão vários pontos conectados em um único gráfico - uma espécie de linha curva.

Ao mesmo tempo, as dependências que podem ser traçadas entre as variáveis ​​​​de uma equação nem sempre são funções na definição estrita deste conceito. Por exemplo, considere duas equações:

À primeira vista, ambas as igualdades são bastante semelhantes. Vamos construir um gráfico de dependência para cada um deles. Como podemos ver no vídeo, os gráficos destas expressões são bastante diferentes entre si. Se para a equação y + x = 9 o gráfico é uma linha reta que não passa pelo centro coordenado, então y 2 + x 2 = 9 tem um gráfico na forma de um círculo regular circunscrito com o centro no ponto ( 0, 0). Se tentarmos usar um gráfico para determinar o valor de y para um determinado x, veremos que cada argumento corresponde a dois valores de y. Qualquer perpendicular traçada ao eixo x dentro do círculo cruzará necessariamente o círculo em dois pontos com o mesmo argumento, mas com valores de y opostos. Matematicamente isso pode ser explicado da seguinte forma:

x 2 + y 2 = uma

y 2 = a - x 2

y = raiz quadrada (a - x 2)

Qualquer valor negativo não pode dar raízes quadradas, e qualquer valor positivo sempre forma um par de números como resposta, iguais em valor, mas opostos em sinal. Em outras palavras, cada valor de y com tal dependência corresponderá a dois argumentos, o que contradiz o princípio básico da função.

Uma expressão da forma y + x = 9, entretanto, é uma função linear comum, pois atende plenamente aos seus requisitos. Quaisquer equações com duas variáveis ​​podem ou não ser funções.

Considere uma expressão abstrata:

Qualquer igualdade correspondente a esta fórmula é chamada de equação linear com duas variáveis. Seu gráfico, em geral, é uma reta, e suas raízes, via de regra, são um conjunto de pares de x e y. Exceções são possíveis quando qualquer coeficiente - a, b ou termo livre c - é zerado. Se b = 0, mas se a não for igual a 0, então as respostas da equação serão um conjunto de pares de valores em que x será sempre igual a um número e y será sempre igual a qualquer valor . Na verdade, na equação:

x é sempre igual a 3 e y pode ser igual a qualquer número, pois esta variável ainda está definida como zero.

Se a = 0, b = 0, mas o termo livre não for igual a 0, então a equação não tem soluções corretas, pois em qualquer caso o princípio da igualdade é violado. O gráfico desta equação será o conjunto vazio. E, finalmente, se todos a, b, c = 0, então qualquer combinação de x e y é uma solução correta para a equação, e o gráfico cobre todo o conjunto numérico (o plano da rede cartesiana).

Para consolidar o material, vamos construir um gráfico da equação:

Vamos transformar a expressão em uma equação linear com duas variáveis:

1/3(x) + 0y = 1

0y = 1 - 1/3(x)

O gráfico desta expressão será uma linha reta perpendicular ao eixo x no ponto (3, 0). Para qualquer y, o valor do argumento é sempre 3.

Definição: ax + by + c = 0, onde a, b e c são números (também chamados de coeficientes) e aeb não são iguais a zero, x e y são variáveis, chamadas de equação linear com uma equação da forma duas variáveis. Exemplo 1: 5 x – 2 y + 10 = 0 – equação linear com duas variáveis: a = 5, b = -2, c = 10, x e y são variáveis. Exemplo 2: – 4 x = 6 y – 14 – também é uma equação linear em duas variáveis. Se movermos todos os termos da equação para o lado esquerdo, obteremos a mesma equação escrita na forma geral: – 4 x – 6 y + 14 = 0, onde a = – 4, b = – 6, c = 14, x e y – variáveis. Visão geral uma equação linear com duas variáveis ​​​​é chamada de entrada: ax + by + c = 0, quando todos os termos da equação são escritos no lado esquerdo do sinal = e zero é escrito no lado direito. Exemplo 3: 3 z – 5 w + 15 = 0 – também é uma equação linear em duas variáveis. Neste caso, as variáveis ​​são z e w. Variáveis ​​em vez de x e y podem ser quaisquer letras do alfabeto latino.

Assim, uma equação linear com duas variáveis ​​​​pode ser chamada de qualquer equação contendo duas variáveis, com exceção de dois casos: 1. Quando as variáveis ​​​​da equação são elevadas a uma potência diferente da primeira! Exemplo 1: -5 x 2 + 3 y + 9 = 0 – não é uma equação linear, pois a variável x está elevada à segunda potência. Exemplo 2: 6 x – y 5 + 12 = 0 – não é uma equação linear, pois a variável y está elevada à quinta potência. 2. Quando uma equação contém uma variável no denominador! Exemplo 3: 2 x + 3/y + 18 = 0 não é uma equação linear, pois a variável y está contida no denominador. Exemplo 4: 1/x – 2/y + 3 = 0 – não é uma equação linear, pois as variáveis ​​x e y estão contidas no denominador.

Definição: A solução para uma equação linear com duas variáveis ​​​​ax + by + c = 0 é qualquer par de números (x; y), que, quando substituído nesta equação, a transforma em uma verdadeira igualdade. Exemplo 1: Para a equação linear 5 x – 2 y + 10 = 0, a solução é um par de números (-4; -5). Isso é fácil de verificar se você substituir x = -4 e y = -5 na equação: 5·(-4) – 2·(-5) + 10 = 0 -20 + 20 = 0 – igualdade correta. Exemplo 2: Para a mesma equação 5 x – 2 y + 10 = 0, o par de números (1; 4) não é uma solução: 5 1 – 2 4 + 10 = 0 5 – 8 + 10 = 0 7 = 0 – não é a verdadeira igualdade.

Para qualquer equação linear com duas variáveis, você pode selecionar um número infinito de pares de números (x; y) que serão suas soluções. Na verdade, para a equação linear do exemplo anterior 5 x – 2 y + 10 = 0, além do par de números (-4; -5), as soluções serão pares de números: (0; 5), ( -2; 0), (2; 10), (-3; -2, 5), (-1; 2, 5), etc. Esses pares de números podem ser selecionados infinitamente. Nota: A solução de uma equação linear com duas variáveis ​​é escrita entre parênteses, com o valor da variável x sempre escrito em primeiro lugar, e o valor da variável y sempre escrito em segundo lugar!

O gráfico de uma equação linear com duas variáveis ​​ax + by + c = 0 é uma linha reta. Por exemplo: o gráfico da equação 2 x + y – 2 = 0 se parece com o mostrado na figura. Todos os pontos de uma linha reta em um gráfico são soluções para uma determinada equação linear. O gráfico de uma equação linear em duas variáveis ​​​​é um modelo geométrico desta equação: assim, usando um gráfico, pode-se representar um número infinito de soluções para uma equação linear em duas variáveis.

Como representar graficamente a equação linear ax + by + c = 0? Vamos anotar o plano de ação: 1. Definimos um sistema de coordenadas retangulares para representar todas as soluções da equação linear (x; y), usaremos um sistema de coordenadas retangulares, onde traçaremos os valores da variável x ao longo do eixo Ox, e os valores da variável y ao longo do eixo Oy. 2. Selecione dois pares de números: (x1; y1) e (x2; y2), que são soluções para esta equação linear. Na verdade, podemos selecionar quantas soluções quisermos (x; y), todas elas irão. deitar na mesma linha reta. Mas para desenhar uma linha reta - o gráfico de uma equação linear, precisamos apenas de duas dessas soluções, porque sabemos que apenas uma linha reta pode ser traçada através de dois pontos. É costume anotar as soluções selecionadas em forma de tabela: x x1 x2 y y1 y2 3. Desenhe os pontos (x1; y1) e (x2; y2) em um sistema de coordenadas retangular. Desenhe uma linha reta passando por esses dois pontos - será o gráfico da equação ax + by + c = 0.

Exemplo: vamos construir um gráfico da equação linear 5 x – 2 y + 10 = 0: 1. Vamos definir um sistema de coordenadas retangulares x. Оу: 2. Vamos selecionar duas soluções para nossa equação e escrevê-las -4 -2 x na tabela: y -5 0 Para a equação 5 x – 2 y + 10 = 0, as soluções são, por exemplo, pares de números : (-4; - 5) e (-2; 0) (ver slide 5). Vamos anotá-los em uma tabela. Observação: um par de números (2; 10) também é uma solução para nossa equação (ver slide 5), mas é inconveniente construir a coordenada y = 10 em nosso sistema de coordenadas, pois temos apenas 7 células ao longo do y- eixo para cima e continue o eixo não há lugar. Portanto: para construir um gráfico de uma equação linear, de todo o conjunto infinito de soluções, selecionamos os pares de números (x; y) que são mais convenientes para construir em um sistema de coordenadas retangulares!

Exemplo: vamos construir um gráfico da equação linear 5 x – 2 y + 10 = 0: x -4 -2 y -5 0 3. Vamos construir um gráfico: Vamos construir um ponto (-4; -5) na coordenada sistema: traçamos a coordenada -4 ao longo do eixo x. Ao longo do eixo y, traçamos a coordenada -5. Na interseção das coordenadas, obtemos o primeiro ponto. Da mesma forma, construímos um ponto com coordenadas (-2; 0): Ao longo do eixo x traçamos a coordenada -2. Ao longo do eixo y traçamos a coordenada 0. Na intersecção das coordenadas obtemos o segundo ponto. -4 -2 0 -5 Desenhe uma linha reta passando por dois pontos - gráfico da equação linear 5 x – 2 y + 10 = 0

Função linear. Se expressarmos a variável y da equação linear ax + by + c = 0, ou seja, reescrever a equação na forma onde y está no lado esquerdo da equação e todo o resto está à direita: ax + by + c = 0 - mova ax e c para o lado direito por = – ax – с – vamos expressar y y = (– ax – с) : b, onde b ≠ 0 у = – a/b · х – с/b, denota – a/b = k e – с/b = m y = kx + m – obtivemos uma representação mais simples de uma equação linear com duas variáveis. Assim, uma equação linear com duas variáveis, escrita como: y = kx + m, onde as variáveis ​​k e m são coeficientes, é chamada de função linear. xy – A variável x é chamada de variável independente ou argumento. A variável y é chamada de variável dependente ou valor da função.

Agendar função linear. Como uma função linear é uma forma especial de uma equação linear com duas variáveis, e o gráfico de uma equação linear é uma linha reta, podemos tirar a seguinte conclusão: o gráfico de uma função linear y = kx + m é uma linha reta . Como representar graficamente uma função linear? Definimos um sistema de coordenadas retangular. Encontramos pares de números: (x1; y1) e (x2; y2), x x1 x2, que são soluções para a função linear y1 y2 e os escrevemos na tabela. Para encontrar soluções para uma função linear, não é necessário selecioná-las de cabeça, como fizemos para uma equação linear. Precisamos atribuir a variável x valores específicos x1 e x2, e, substituindo-os alternadamente na função, calcule os valores de y1 = kx 1 + m e y2 = kx 2 + m. Observação: a variável x pode receber absolutamente quaisquer valores, mas é aconselhável usar números que sejam convenientes para construirmos em um sistema de coordenadas retangulares, por exemplo, os números 0, 1, -1. 3. Construímos os pontos (x1; y1) e (x2; y2) e traçamos uma linha reta através deles - este será o gráfico da função linear.

Exemplo 1: vamos construir um gráfico da função linear y = 0,5 x + 4: 1. Vamos definir um sistema de coordenadas retangular. 2. Preencha a tabela: x 0 -2 y 4 3 Vamos dar à variável x valores específicos x1 e x2: é mais conveniente tomar x1 = 0, pois é mais fácil contar com zero, obtemos: y1 = 0,5 0 + 4 = 4 x2 pode ser considerado igual a 1, mas então y2 será um número fracionário: 0,5 1 + 4 = 4,5 - é inconveniente construí-lo no plano de coordenadas, é mais conveniente tomá-lo; x2 igual a 2 ou -2. Seja x2 = -2, obtemos: y2 = 0,5·(-2) + 4 = -1 + 4 = 3 4 3 -2 0 3. Vamos construir os pontos (0; 4) e (-2; 3) no plano coordenado ) desenhe uma linha reta através desses pontos - obtemos um gráfico da função linear y = 0,5 x + 4

Exemplo 2: vamos construir um gráfico da função linear y = -2 x + 1: 1. Vamos definir um sistema de coordenadas retangular. 2. Preencha a tabela: x 0 1 y 1 -1 Vamos dar à variável x valores específicos x1 e x2: por exemplo x1 = 0, obtemos: y1 = -2 0 + 1 = 1 1 1 -1 0 seja x2 = 1, obtemos: y2 = -2 1 + 1 = -2 + 1 = -1 3. Vamos construir os pontos (0; 1) e (1; -1) no plano coordenado e traçar uma linha reta através esses pontos - obtemos um gráfico da função linear y = -2 x + 1

Exemplo 3: represente graficamente a função linear y = -2 x + 1 e encontre o maior e menor valor funções no intervalo [-2; 3] 1. Vamos construir um gráfico da função (ver slide anterior). O valor da função é o valor da variável y. Assim, você precisa encontrar y o maior e y o menor se a variável x o menor só puder assumir valores do intervalo [-2; 3]. 2. Marque o segmento [-2; 3] 3. Pelas extremidades do segmento traçamos retas paralelas ao eixo Oy, Oy e marcamos os pontos de intersecção dessas retas com o gráfico. Como de acordo com a condição nos é dado um segmento, desenhamos pontos sombreados! 5 - maior 1 1 -2 0 3 menor - -5 4. Encontre as ordenadas dos pontos obtidos: y = 5 e y = -5. -5 É óbvio que o maior valor de y vem do intervalo [-5; 5] é y = 5 e 5 é o menor - y = -5. -5

Opção 3. Tarefa nº 1: construir um gráfico da função linear y = 1/2 x – 2. 1. Defina um sistema de coordenadas retangular. 2. Preencha a tabela: x 0 2 y -2 -1 Vamos dar à variável x valores específicos x1 e x2: por exemplo x1 = 0, obtemos: y1 = 1/2 0 – 2 = -2 seja x2 = 2, obtemos: y2 = 1/2 · 2 – 2 = 1 – 2 = -1 0 2 -1 -2 3. Vamos construir os pontos (0; -2) e (2; -1) no plano de coordenadas e desenhe uma linha reta passando por esses pontos - obteremos um gráfico das funções lineares y = 1/2 x – 2

Tarefa nº 1: Usando um gráfico, encontre: a) o menor e valor mais alto funções no intervalo [-2; 4] O valor da função é o valor da variável y. Assim, você precisa encontrar y o maior e y o menor se a variável x o menor só puder assumir valores do intervalo [-2; 4]. 1. Marque o segmento [-2; 4] 2. Através das extremidades do segmento até cruzar com o gráfico, desenhe linhas retas paralelas ao eixo Oy. Оу Marcamos os pontos de intersecção dessas linhas com o gráfico. Como de acordo com a condição nos é dado um segmento, desenhamos pontos sombreados! maior - 0 -2 -1 -2 2 4 -3 - menor 3. Encontre as ordenadas dos pontos obtidos: y = 0 e y = -3. -3 É óbvio que o maior valor de y vem do intervalo [-3; 0] é y = 0, e o menor é y = -3. -3

Tarefa nº 1: Usando um gráfico, encontre: a) os menores e maiores valores da função no segmento [-2; 4] Nota: a partir do gráfico nem sempre é possível determinar com precisão as coordenadas de um determinado ponto, isso se deve ao fato de que os tamanhos das células do caderno podem não ser perfeitamente uniformes, ou podemos traçar uma linha reta através de dois pontos um pouco tortos. E o resultado de tal erro pode ser que os maiores e menores valores da função sejam encontrados incorretamente. Portanto: se encontrarmos as coordenadas de determinados pontos do gráfico, não deixe de verificar a seguir, substituindo as coordenadas encontradas na equação da função! Confira: vamos substituir as coordenadas do hnaim. = -2 e unal. = -3 na função y = 1/2 x – 2: -3 = 1/2 · (-2) – 2 -3 = -1 – 2 -3 = -3 – correto. Vamos substituir as coordenadas de hnaib. = 4 e unib. = 0 na função y = 1/2 x – 2: 0 = 1/2 · 4 – 2 0=2– 2 0 = 0 – correto. Resposta: unaib = 0, unaim = -3

Tarefa nº 1: Usando um gráfico, encontre: b) os valores da variável x para os quais y ≤ 0. No plano de coordenadas, todos os valores da variável y - menores que zero - estão localizados abaixo do Boi eixo. Boi Assim, para resolver a desigualdade y ≤ 0, é necessário considerar a parte do gráfico 2 localizada abaixo do eixo do Boi e, usando a lacuna 4 -∞ 0, anotar quais valores a variável -1 x assume . -2 1. Marque a parte do gráfico localizada abaixo do eixo do Boi 2. Marque o ponto de intersecção do gráfico com o eixo do Boi, Ox é o ponto com coordenada x = 4. Como não temos uma desigualdade estrita “≤ ”, o ponto deve estar sombreado! 3. Marque a parte do eixo do Boi correspondente à parte selecionada do gráfico; esta e Ox será a área desejada. Anotamos a resposta: x pertence ao intervalo (-∞; 4] – colchete, pois na condição a desigualdade não é estrita “≤” !

Tarefa nº 2: Encontre as coordenadas do ponto de intersecção das retas y = 3 x e y = -2 x - 5 Esta tarefa pode ser resolvida de duas maneiras. Método 1 - gráfico: Vamos construir gráficos dessas funções lineares em um plano de coordenadas: 1. Defina um sistema de coordenadas retangular. 2. Preencha a tabela 0 x para a função 0 y y = 3 x pegue x1 = 0, obtemos: y1 = 3 0 = 0 3 1 3 pegue x2 = 1, obtemos: y2 = 3 1 = 3 3. Construa nos pontos do plano coordenado (0; 0) e (1; 3) desenhe um gráfico – uma linha reta – através desses pontos. 0 1

Tarefa nº 2: Encontre as coordenadas do ponto de intersecção das retas y = 3 x e y = -2 x - 5 4. Preencha a tabela 0 -1 x para a função -5 -3 y = -2 x - 5 y pegue x1 = 0, obtemos: y1 = -2 · 0 – 5 = -5 tome x2 = -1, obtemos: y2 = -2 · (-1) – 5 = 2 – 5 = -3 5. Construa pontos (0; -5) no plano de coordenadas e (-1; -3) 3 -1 0 1 -3 desenhe um gráfico -5 6 através desses pontos. Encontre a abcissa e a ordenada do ponto de intersecção dos gráficos resultantes: x = -1 ey = -3. -3 Nota: se decidirmos graficamente, então, assim que encontrarmos a abcissa e a ordenada do ponto de intersecção dos gráficos, é imperativo verificar substituindo as coordenadas encontradas em ambas as equações! Verifique: para y = 3 x: -3 = 3 · (-1) para y = -2 x – 5: -3 = -2 · (-1) – 5 -3 = -3 - resposta correta: (-1 -3)

Tarefa nº 2: Encontre as coordenadas do ponto de intersecção das retas y = 3 x e y = -2 x - 5 Método 2 - analítico: deixe essas retas se cruzarem no ponto A(x; y), as coordenadas x ey dos quais devemos encontrar. Considere as funções y = 3 x e y = -2 x – 5 como equações lineares com duas variáveis. Como ambas as retas passam pelo ponto A, as coordenadas deste ponto: um par de números (x; y) - é uma solução para ambas as equações, ou seja, precisamos selecionar um par de números (x; y) para que quando substituindo na primeira e na segunda equação, o resultado é uma igualdade correta. E encontraremos este par de números da seguinte forma: como os lados esquerdos das equações são iguais a y = y, então, respectivamente, podemos igualar os lados direitos dessas equações: 3 x = -2 x – 5. Escrevendo 3 x = -2 x – 5 – Esta é uma equação linear com uma variável, vamos resolvê-la e encontrar a variável x: Solução: 3 x = -2 x – 5 3 x + 2 x = -5 5 x = -5: 5 x = -1 Obtemos x = -1. Agora só falta substituir x = -1 em qualquer uma das equações e encontrar a variável y. É mais conveniente substituir y = 3 x na primeira equação, obtemos: y = 3 · (-1) = -3 Obtemos o ponto A com coordenadas (-1; -3). Resposta: (-1; -3)

Tarefa nº 3: a) Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico da equação linear 3 x + 5 y + 15 = 0 com os eixos coordenados. O gráfico de uma equação linear, como você já sabe, é um. linha reta, e pode cruzar os eixos coordenados Ox e Oy em um ponto , se passar pela origem, e este ponto (0; 0); ou em dois pontos: 1. (x; 0) – o ponto de intersecção do gráfico com o eixo do Boi 2. (0; y) – o ponto de intersecção do gráfico com o eixo Oy. Vamos encontrar estes pontos: 1. Substitua o valor y = 0 na equação, obtemos: 3 x + 5 0 + 15 = 0 - resolva esta equação e encontre x. 3 x + 15 = 0 3 x = -15 Obtivemos um ponto com coordenadas: (-5; 0) – este é o ponto de intersecção x = -15: 3 gráficos com o eixo do Boi x = -5 2. Substitua o valor x = 0 na equação, obtemos: 3·0 + 5 y + 15 = 0 – resolva esta equação e encontre y. 5 y + 15 = 0 5 y = -15 Recebemos um ponto com coordenadas: (0; -3) - este é o ponto de intersecção do gráfico y = -15:5 com o eixo Oy y = -3 Resposta: ( -5;0) e (0; -3)

Tarefa nº 3: b) Determine se o ponto C(1/3; -3, 2) pertence ao gráfico da equação 3 x + 5 y + 15 = 0. Se o ponto C(1/3; -3, 2 ) pertence ao gráfico desta equação, então é uma solução para esta equação, ou seja, ao substituir os valores x = 1/3 e y = -3,2 na equação, deve-se obter a igualdade correta! Caso contrário, se não for obtida uma verdadeira igualdade, este ponto não pertence ao gráfico desta equação. Vamos substituir x = 1/3 e y = -3, 2 na equação e verificar: 3 1/3 + 5 (-3, 2) + 15 = 0 1 – 16 + 15 = 0 – 15 + 15 = 0 0 = 0 – igualdade verdadeira. Portanto, o ponto C pertence ao gráfico da equação 3 x + 5 y + 15 = 0 Resposta: o ponto C(1/3; -3, 2) pertence ao gráfico da equação 3 x + 5 y + 15 = 0

Tarefa nº 4: a) Defina a função linear y = kx por uma fórmula se for conhecido que seu gráfico é paralelo à linha reta 6 x - y - 5 = 0. b) Determine se a função linear que você especificou aumenta ou diminui. Teorema sobre a posição relativa de gráficos de funções lineares: Dadas duas funções lineares y = k 1 x + m 1 e y = k 2 x + m 2: Se k 1 = k 2, enquanto m 1 ≠ m 2, então os gráficos dessas funções são paralelas. Se k 1 ≠ k 2 e m 1 ≠ m 2 , então os gráficos dessas funções se cruzam. Se k 1 = k 2 e m 1 = m 2, então os gráficos dessas funções coincidem. a) De acordo com o teorema da posição relativa dos gráficos de funções lineares: se as retas y = kx e 6 x – y – 5 = 0 são paralelas, então o coeficiente k da função y = kx, kx é igual a o coeficiente k da função 6 x – y – 5 = 0. 0 Vamos reduzir a equação 6 x – y – 5 = 0 à forma de uma função linear e escrever seus coeficientes: 6 x – y – 5 = 0 – mova -y para a direita, obtemos: 6 x – 5 = y ou y = 6 x – 5, k = 6, m = – 5. 6 5 Portanto, a função y = kx tem a forma: y = 6 x . 6 x b) A função aumenta se k > 0 e diminui se k 0! 0 Resposta: y = 6 x, a função é crescente. 6x

Tarefa nº 5: Em que valor de p a solução da equação 2 px + 3 y + 5 p = 0 é um par de números (1, 5, -4)? Como o par de números (1, 5; -4) é uma solução para esta equação, substituímos os valores x = 1, 5 e y = -4 na equação 2 px + 3 y + 5 p = 0, obtemos: 2 p 1 , 5 + 3 · (-4) + 5 p = 0 – faça a multiplicação 3 p – 12 + 5 p = 0 – resolva esta equação e encontre p 3 p + 5 p = 12 8 p = 12: 8 p = 1, 5 Portanto, para p = 1,5, a solução para a equação 2 px + 3 y + 5 p = 0 é um par de números (1, 5; -4) Verifique: para p = 1,5 nós obtenha a equação: 2 1,5 x + 3 y + 5 1, 5 = 0 3 x + 3 y + 7, 5 = 0 – substitua x = 1, 5 e y = -4 nesta equação, obtemos: 3 1, 5 + 3 (-4 ) + 7, 5 = 0 4, 5 – 12 + 7, 5 = 0 0 = 0 – correto. Resposta: p = 1,5