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Descrever e como “uma constante aproximadamente igual a 2,71828...” é como chamar pi de “um número irracional aproximadamente igual a 3,1415...”. Isto é sem dúvida verdade, mas a questão ainda nos escapa.

Pi é a razão entre a circunferência e o diâmetro, a mesma para todos os círculos. Esta é a proporção fundamental partilhada por todos os círculos e, portanto, está envolvida no cálculo da circunferência, área, volume e área de superfície para círculos, esferas, cilindros, etc. Pi mostra que todos os círculos estão relacionados, sem falar nas funções trigonométricas derivadas dos círculos (seno, cosseno, tangente).

O número e é a taxa básica de crescimento para todos os processos em crescimento contínuo. O número e permite pegar uma taxa de crescimento simples (onde a diferença só é visível no final do ano) e calcular os componentes desse indicador, crescimento normal, em que a cada nanossegundo (ou até mais rápido) tudo cresce um pouco mais.

O número e está envolvido em sistemas de crescimento exponencial e constante: população, decaimento radioativo, cálculo percentual e muitos, muitos outros. Mesmo sistemas escalonados que não crescem uniformemente podem ser aproximados usando o número e.

Assim como qualquer número pode ser considerado uma versão “escalada” de 1 (a unidade base), qualquer círculo pode ser considerado uma versão “escalada” do círculo unitário (com raio 1). E qualquer fator de crescimento pode ser considerado como uma versão “escalada” de e (o fator de crescimento “unitário”).

Portanto, o número e não é um número aleatório obtido ao acaso. O número e incorpora a ideia de que todos os sistemas em crescimento contínuo são versões em escala da mesma métrica.

Conceito de crescimento exponencial

Vamos começar examinando o sistema básico que dobra por um determinado período de tempo. Por exemplo:

• As bactérias se dividem e “dobram” de número a cada 24 horas
• Conseguiremos o dobro de macarrão se o partirmos ao meio
• Seu dinheiro dobra a cada ano se você obtiver 100% de lucro (sorte!)

E é algo assim:

Dividir por dois ou duplicar é uma progressão muito simples. Claro, podemos triplicar ou quadruplicar, mas duplicar é mais conveniente para explicação.

Matematicamente, se tivermos x divisões, obtemos 2^x vezes mais bom do que era no início. Se apenas 1 partição for feita, obteremos 2 ^ 1 vezes mais. Se houver 4 partições, obtemos 2 ^ 4 = 16 partes. A fórmula geral é assim:

altura= 2 x

Em outras palavras, uma duplicação é um aumento de 100%. Podemos reescrever esta fórmula assim:

altura= (1+100%) x

Esta é a mesma igualdade, apenas dividimos “2” em suas partes componentes, que em essência é este número: o valor inicial (1) mais 100%. Inteligente, certo?

Claro, podemos substituir qualquer outro número (50%, 25%, 200%) em vez de 100% e obter a fórmula de crescimento para este novo coeficiente. A fórmula geral para x períodos da série temporal será:

altura = (1+crescimento)x

Isso significa simplesmente que usamos a taxa de retorno, (1 + ganho), “x” vezes seguidas.

Vamos olhar mais de perto

Nossa fórmula pressupõe que o crescimento ocorre em etapas discretas. Nossas bactérias esperam e esperam e então bam!, e no último minuto elas dobram de número. Nosso lucro sobre os juros do depósito aparece magicamente em exatamente 1 ano. Com base na fórmula escrita acima, os lucros crescem gradativamente. Pontos verdes aparecem de repente.

Mas o mundo nem sempre é assim. Se ampliarmos, podemos ver que nossas amigas bactérias estão constantemente se dividindo:

O sujeito verde não surge do nada: ele cresce lentamente a partir do pai azul. Após 1 período de tempo (24 horas no nosso caso), o amigo verde já está totalmente maduro. Tendo amadurecido, ele se torna um membro azul completo do rebanho e pode criar ele mesmo novas células verdes.

Essa informação mudará nossa equação de alguma forma?

Não. No caso das bactérias, as células verdes semi-formadas ainda não podem fazer nada até crescerem e se separarem completamente dos seus pais azuis. Portanto a equação está correta.

O expoente é denotado como ou.

Número e

A base do grau do expoente é número e. Este é um número irracional. É aproximadamente igual
e ≈ 2,718281828459045...

O número e é determinado através do limite da sequência. Este é o chamado segundo limite maravilhoso:
.

O número e também pode ser representado como uma série:
.

Gráfico exponencial

Gráfico exponencial, y = e x .

O gráfico mostra o expoente e até certo ponto X.
sim (x) = e x
O gráfico mostra que o expoente aumenta monotonicamente.

Fórmulas

As fórmulas básicas são as mesmas da função exponencial com base de grau e.

;
;
;

Expressão de uma função exponencial com base arbitrária de grau a através de uma exponencial:
.

Valores privados

Deixe você (x) = e x. Então
.

Propriedades do Expoente

O expoente tem as propriedades de uma função exponencial com base de potência e > 1 .

Domínio, conjunto de valores

Expoente y (x) = e x definido para todo x.
Seu domínio de definição:
- ∞ < x + ∞ .
Seus muitos significados:
0 < y < + ∞ .

Extremos, aumentando, diminuindo

A exponencial é uma função monotonicamente crescente, portanto não possui extremos. Suas principais propriedades são apresentadas na tabela.

Função inversa

O inverso do expoente é o logaritmo natural.
;
.

Derivada do expoente

Derivado e até certo ponto X igual a e até certo ponto X :
.
Derivada de enésima ordem:
.
Derivando fórmulas >>>

Integrante

Números complexos

As operações com números complexos são realizadas usando Fórmulas de Euler:
,
onde está a unidade imaginária:
.

Expressões através de funções hiperbólicas

; ;
.

Expressões usando funções trigonométricas

; ;
;
.

Expansão da série de potências

Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.

NÚMERO e. Um número aproximadamente igual a 2,718, frequentemente encontrado em matemática e Ciências Naturais. Por exemplo, quando uma substância radioativa decai ao longo do tempo t da quantidade original da substância permanece uma fração igual a e–kt, Onde k– um número que caracteriza a taxa de decomposição de uma determinada substância. Recíproco de 1/ ké chamado de tempo de vida médio de um átomo de uma determinada substância, uma vez que, em média, um átomo existe por um tempo de 1/ antes de decair k. Valor 0,693/ ké chamada de meia-vida de uma substância radioativa, ou seja, o tempo durante o qual metade da quantidade original de uma substância se desintegra; o número 0,693 é aproximadamente igual a log e 2, ou seja logaritmo do número 2 até a base e. Da mesma forma, se as bactérias num meio nutriente se multiplicarem a uma taxa proporcional ao seu número em atualmente, então depois de um tempo t número inicial de bactérias N torna-se em Não. Atenuação de corrente elétrica EU em um circuito simples com conexão em série, resistência R e indutância eu acontece de acordo com a lei eu = eu 0 e–kt, Onde k = R/L, EU 0 – força atual no momento t= 0. Fórmulas semelhantes descrevem o relaxamento de tensão em um fluido viscoso e o amortecimento campo magnético. Número 1/ k muitas vezes chamado de tempo de relaxamento. Nas estatísticas, o valor e–kt ocorre como a probabilidade de que ao longo do tempo t não houve eventos ocorrendo aleatoriamente com uma frequência média k eventos por unidade de tempo. Se S- a quantidade de dinheiro investido sob R juros com acumulação contínua em vez de acumulação em intervalos discretos, então no momento t o valor inicial aumentará para Setr/100.

A razão da “onipresença” do número e reside no fato de que as fórmulas de análise matemática contendo funções exponenciais ou logaritmos são escritas de forma mais simples se os logaritmos forem levados à base e, e não 10 ou qualquer outra base. Por exemplo, a derivada de log 10 x igual a (1/ x)registro 10 e, enquanto a derivada de log e-xé simplesmente igual a 1/ x. Da mesma forma, a derivada de 2 xé igual a 2 x registro e 2, enquanto a derivada de e-xé simplesmente igual e-x. Isto significa que o número e pode ser definido como a base b, em que o gráfico da função você = registro b x tem no ponto x= 1 tangente s declive, igual a 1, ou em que a curva y =bx Tem em x= 0 tangente com inclinação igual a 1. Logaritmos para a base e são chamados de “naturais” e são designados em x. Às vezes também são chamados de “Nepier”, o que é incorreto, pois na verdade J. Napier (1550–1617) inventou logaritmos com uma base diferente: o logaritmo de Nepier do número xé igual a 10 7 log 1/ e (x/10 7) .

Várias combinações de graus e Eles ocorrem com tanta frequência na matemática que recebem nomes especiais. Estas são, por exemplo, funções hiperbólicas

Gráfico de uma função sim= ch x chamada linha catenária; Esta é a forma de um fio ou corrente pesado e inextensível suspenso nas pontas. Fórmulas de Euler

Onde eu 2 = –1, número de ligação e com trigonometria. Caso especial x = p leva à famosa relação e ip+ 1 = 0, conectando os 5 números mais famosos da matemática.

O número “e” é uma das constantes matemáticas mais importantes, da qual todos ouviram falar nas aulas de matemática escolar. Concepture publica um ensaio popular, escrito por um humanista para humanistas, no qual linguagem acessível dirá por que e por que o número de Euler existe.

O que o nosso dinheiro e o número de Euler têm em comum?

Enquanto o número π (pi) há uma definição muito definida significado geométrico e foi usado por matemáticos antigos, então o número e(O número de Euler) conquistou o seu merecido lugar na ciência há relativamente pouco tempo e as suas raízes vão directamente... às questões financeiras.

Muito pouco tempo se passou desde a invenção do dinheiro até que as pessoas perceberam que a moeda poderia ser emprestada ou emprestada a uma determinada taxa de juros. Naturalmente, os empresários “antigos” não usavam o conceito familiar de “porcentagem”, mas um aumento no valor de um determinado indicador durante um determinado período de tempo era familiar para eles.

Na foto: nota de 10 francos com imagem de Leonhard Euler (1707-1783).

Não nos aprofundaremos no exemplo com 20% ao ano, pois demora muito para chegarmos ao número de Euler. Vamos usar a explicação mais comum e clara do significado desta constante, e para isso teremos que imaginar um pouco e imaginar que algum banco está nos oferecendo para depositar dinheiro a 100% ao ano.

Experimento financeiro de pensamento

Para este experimento mental, você pode pegar qualquer valor e o resultado será sempre idêntico, mas a partir de 1, podemos chegar diretamente ao primeiro valor aproximado do número e. Portanto, digamos que investimos 1 dólar no banco, a uma taxa de 100% ao ano no final do ano teremos 2 dólares.

Mas isso só acontece se os juros forem capitalizados (adicionados) uma vez por ano. E se eles capitalizarem duas vezes por ano? Ou seja, 50% serão provisionados semestralmente, e os segundos 50% não serão mais provisionados sobre o valor inicial, mas sim sobre o valor acrescido dos primeiros 50%. Isso será mais lucrativo para nós?

Infográfico visual mostrando o significado geométrico do número π .

Claro que vai. Com a capitalização duas vezes ao ano, após seis meses teremos US$ 1,50 na conta. Até o final do ano, serão adicionados mais 50% de US$ 1,50, portanto o valor total será de US$ 2,25. O que acontecerá se a capitalização for feita todos os meses?

Seremos creditados 100/12% (ou seja, aproximadamente 8,(3)%) todos os meses, o que se tornará ainda mais lucrativo - até o final do ano teremos US$ 2,61. A fórmula geral para calcular o valor total para um número arbitrário de capitalizações (n) por ano é semelhante a esta:

Valor total = 1(1+1/n)n

Acontece que com um valor de n = 365 (ou seja, se nossos juros forem capitalizados todos os dias), obtemos esta fórmula: 1(1+1/365) 365 = $2,71. Sabemos pelos livros didáticos e livros de referência que e é aproximadamente igual a 2,71828, ou seja, considerando a capitalização diária da nossa fabulosa contribuição, já nos aproximamos do valor aproximado de e, que já é suficiente para muitos cálculos.

O crescimento de n pode continuar indefinidamente, e quanto maior for o seu valor, mais precisamente poderemos calcular o número de Euler, até a casa decimal que precisamos por algum motivo.

Esta regra, claro, não se limita apenas aos nossos interesses financeiros. As constantes matemáticas estão longe de ser “especialistas” - elas funcionam igualmente bem, independentemente do campo de aplicação. Portanto, se você cavar fundo, poderá encontrá-los em quase todas as áreas da vida.

Acontece que o número e é algo como uma medida de todas as mudanças e “a linguagem natural da análise matemática”. Afinal, “matan” está intimamente ligado aos conceitos de diferenciação e integração, e ambas as operações lidam com mudanças infinitesimais, tão perfeitamente caracterizadas pelo número e .

Propriedades únicas do número de Euler

Tendo considerado o exemplo mais inteligível de explicação da construção de uma das fórmulas de cálculo de um número e, vamos examinar brevemente mais algumas questões diretamente relacionadas a ele. E uma delas: o que há de tão único no número de Euler?

Em teoria, absolutamente qualquer constante matemática é única e cada uma tem sua própria história, mas, veja você, a reivindicação ao título linguagem natural a análise matemática é uma afirmação bastante pesada.

Os primeiros mil valores de ϕ(n) para a função de Euler.

No entanto, o número e Existem razões para isso. Ao traçar um gráfico da função y = e x, um fato surpreendente fica claro: não apenas y é igual a e x, mas o gradiente da curva e a área sob a curva também são iguais ao mesmo indicador. Ou seja, a área sob a curva de um determinado valor de y até menos infinito.

Nenhum outro número pode se orgulhar disso. Para nós, humanistas (ou simplesmente NÃO matemáticos), tal afirmação diz pouco, mas os próprios matemáticos afirmam que isso é muito importante. Por que isso é importante? Tentaremos entender essa questão em outra ocasião.

Logaritmo como pré-requisito para o Número de Euler

Talvez alguém se lembre da escola que o número de Euler também é a base do logaritmo natural. Bem, isso é consistente com a sua natureza como medida de todas as mudanças. Ainda assim, o que Euler tem a ver com isso? Para ser justo, deve-se notar que e às vezes também é chamado de número de Napier, mas sem Euler a história estaria incompleta, bem como sem mencionar logaritmos.

A invenção dos logaritmos no século XVII pelo matemático escocês John Napier tornou-se uma das Eventos importantes história da matemática. Na celebração do aniversário deste evento, ocorrido em 1914, Lord Moulton falou dele da seguinte forma:

“A invenção dos logaritmos foi para mundo científico como um raio vindo do nada. Nenhum trabalho anterior levou a isso, previu ou prometeu esta descoberta. Ele se destaca, ele irrompe de pensamento humano de repente, sem tomar emprestado nada do trabalho de outras mentes e sem seguir as direções então já conhecidas do pensamento matemático.”

Pierre-Simon Laplace, o famoso matemático e astrónomo francês, expressou a importância desta descoberta de forma ainda mais dramática: “A invenção dos logaritmos, ao reduzir as horas de trabalho árduo, duplicou a vida do astrónomo.” O que foi que impressionou tanto Laplace? E a razão é muito simples: os logaritmos permitiram aos cientistas reduzir significativamente o tempo normalmente gasto em cálculos complicados.

Em geral, os logaritmos simplificaram os cálculos – eles desceram um nível na escala de complexidade. Simplificando, em vez de multiplicar e dividir, tivemos que realizar operações de adição e subtração. E isso é muito mais eficaz.

e- base do logaritmo natural

Suponhamos que Napier foi um pioneiro no campo dos logaritmos - seu inventor. Pelo menos ele publicou suas descobertas primeiro. Neste caso surge a questão: qual é o mérito de Euler?

É simples - ele pode ser chamado de herdeiro ideológico de Napier e o homem que levou o trabalho da vida do cientista escocês à sua conclusão logarítmica (leia-se lógica). Interessante, isso é mesmo possível?

Algum gráfico muito importante construído usando o logaritmo natural.

Mais especificamente, Euler derivou a base do logaritmo natural, agora conhecido como número e ou o número de Euler. Além disso, ele escreveu seu nome na história da ciência mais vezes do que Vasya jamais poderia sonhar, que, ao que parece, conseguiu “visitar” todos os lugares.

Infelizmente, os princípios específicos de trabalho com logaritmos são o tema de um grande artigo separado. Então, por enquanto, basta dizer que, graças ao trabalho de vários cientistas dedicados que literalmente dedicaram anos de suas vidas à compilação de tabelas logarítmicas, numa época em que ninguém nunca tinha ouvido falar de calculadoras, o progresso da ciência foi enormemente acelerado. .

Na foto: John Napier - matemático escocês, inventor do logaritmo (1550-1617).

É engraçado, mas esse progresso acabou levando à obsolescência dessas tabelas, e a razão para isso foi justamente o advento das calculadoras manuais, que assumiram completamente a tarefa de realizar esse tipo de cálculo.

Talvez você também tenha ouvido falar sobre regras de cálculo? Era uma vez, engenheiros ou matemáticos não podiam viver sem eles, mas agora é quase como um astrolábio - ferramenta interessante, mas mais em termos de história da ciência do que de prática cotidiana.

Por que é tão importante ser a base de um logaritmo?

Acontece que a base do logaritmo pode ser qualquer número (por exemplo, 2 ou 10), mas precisamente devido às propriedades únicas do número de Euler, o logaritmo da base e chamado natural. Está, por assim dizer, embutido na estrutura da realidade - não há como escapar dela, e não há necessidade, porque simplifica muito a vida dos cientistas que trabalham em vários campos.

Daremos uma explicação inteligível da natureza do logaritmo no site de Pavel Berdov. Logaritmo para base a do argumento xé a potência à qual o número a deve ser elevado para obter o número x. Graficamente isso é indicado da seguinte forma:

log a x = b, onde a é a base, x é o argumento, b é o que o logaritmo é igual.

Por exemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (o logaritmo de 8 na base 2 é 3 porque 2 3 = 8).

Acima vimos o número 2 na imagem da base do logaritmo, mas os matemáticos dizem que o mais ator talentoso Este papel é desempenhado pelo número de Euler. Vamos acreditar na palavra deles... E então confira para ver por nós mesmos.

conclusões

Provavelmente é ruim que esteja dentro ensino superior tão fortemente separados são naturais e ciências humanitárias. Às vezes, isso leva a muita “inclinação” e acontece que é absolutamente desinteressante conversar sobre outros tópicos com uma pessoa que é bem versada, digamos, em física e matemática.

E vice-versa, você pode ser um especialista literário de primeira classe, mas, ao mesmo tempo, estar completamente indefeso quando se trata da mesma física e matemática. Mas todas as ciências são interessantes à sua maneira.

Esperamos que nós, tentando superar nossas próprias limitações no âmbito do programa improvisado “Sou humanista, mas estou em tratamento”, tenhamos ajudado você a aprender e, o mais importante, a compreender algo novo de um campo científico pouco familiar.

Pois bem, para quem deseja aprender mais sobre o número de Euler, podemos recomendar diversas fontes que mesmo uma pessoa distante da matemática pode entender se desejar: Eli Maor em seu livro “e: a história de um número” ") descreve em detalhes e claramente o contexto e a história do número de Euler.

Além disso, na seção “Recomendado” deste artigo você pode encontrar os nomes dos canais do YouTube e vídeos que foram filmados por matemáticos profissionais tentando explicar claramente o número de Euler para que fosse compreensível até mesmo para não especialistas. Legendas em russo estão disponíveis.

Como algo insignificante. Isso aconteceu em 1618. No apêndice do trabalho de Napier sobre logaritmos, foi fornecida uma tabela de logaritmos naturais de vários números. No entanto, ninguém percebeu que se tratava de logaritmos na base, uma vez que o conceito de logaritmo naquela época não incluía base. Isto é o que agora chamamos de logaritmo, a potência à qual a base deve ser elevada para obter o número requerido. Voltaremos a isso mais tarde. A tabela no apêndice foi provavelmente feita por Augthred, embora o autor não tenha sido identificado. Alguns anos depois, em 1624, aparece novamente na literatura matemática, mas novamente de forma velada. Este ano Briggs deu uma aproximação numérica do logaritmo decimal, mas o número em si não é mencionado em seu trabalho.

A próxima aparição do número é novamente duvidosa. Em 1647, Saint-Vincent calculou a área do setor da hipérbole. Se ele entendeu a conexão com os logaritmos só pode ser adivinhado, mas mesmo que ele entendesse, é improvável que pudesse chegar ao número em si. Somente em 1661 Huygens compreendeu a conexão entre a hipérbole equilátera e os logaritmos. Ele provou que a área sob o gráfico de uma hipérbole equilátera de uma hipérbole equilátera no intervalo de a é igual a. Essa propriedade constitui a base dos logaritmos naturais, mas isso não era compreendido pelos matemáticos da época, mas aos poucos eles foram se aproximando desse entendimento.

Huygens deu o passo seguinte em 1661. Ele definiu uma curva que chamou de logarítmica (em nossa terminologia a chamaremos de exponencial). Esta é uma curva de tipo. E novamente aparece o logaritmo decimal, que Huygens considera com precisão de 17 dígitos decimais. No entanto, surgiu de Huygens como uma espécie de constante e não estava associada ao logaritmo de um número (então, novamente eles chegaram perto de , mas o número em si permanece não reconhecido).

Em trabalhos posteriores sobre logaritmos, o número novamente não aparece explicitamente. No entanto, o estudo dos logaritmos continua. Em 1668, Nicolaus Mercator publicou uma obra Logaritmotécnia, que contém uma expansão em série. Neste trabalho, Mercator usa pela primeira vez o nome “logaritmo natural” para o logaritmo base. O número claramente não aparece novamente, mas permanece indescritível em algum lugar ao lado.

É surpreendente que o número apareça pela primeira vez de forma explícita, não em relação a logaritmos, mas em relação a produtos infinitos. Em 1683, Jacob Bernoulli tenta encontrar

Ele usa o teorema binomial para provar que esse limite está entre e, o que podemos considerar como uma primeira aproximação de. Embora consideremos que esta é a definição de , esta é a primeira vez que um número é definido como limite. Bernoulli, é claro, não entendeu a conexão entre seu trabalho e o trabalho sobre logaritmos.

Foi mencionado anteriormente que os logaritmos no início do estudo não estavam de forma alguma relacionados com os expoentes. É claro que, a partir da equação, descobrimos isso, mas esta é uma forma muito posterior de perceber. Aqui, na verdade, entendemos uma função por logaritmo, enquanto a princípio o logaritmo era considerado apenas como um número que ajudava nos cálculos. Jacob Bernoulli pode ter sido o primeiro a perceber que a função logarítmica é a exponencial inversa. Por outro lado, a primeira pessoa a conectar logaritmos e potências pode ter sido James Gregory. Em 1684 ele certamente reconheceu a ligação entre logaritmos e potências, mas pode não ter sido o primeiro.

Sabemos que o número apareceu na sua forma atual em 1690. Leibniz, numa carta a Huygens, usou a designação para ele. Finalmente apareceu uma designação (embora não coincidisse com a moderna), e esta designação foi reconhecida.

Em 1697, Johann Bernoulli começou a estudar a função exponencial e publicou Princípios de cálculo exponencial seu percorrente. Neste trabalho são calculadas as somas de diversas séries exponenciais, e alguns resultados são obtidos pela sua integração termo a termo.

Euler introduziu tantas notações matemáticas que
não é de surpreender que a designação também lhe pertença. Parece ridículo dizer que ele usou a letra porque é a primeira letra do seu nome. Provavelmente não porque seja retirado da palavra “exponencial”, mas simplesmente porque é a próxima vogal depois de “a”, e Euler já havia usado a notação “a” em seu trabalho. Independentemente do motivo, a notação aparece pela primeira vez numa carta de Euler a Goldbach em 1731. Ele fez muitas descobertas à medida que estudava mais, mas só em 1748. Introdução em Analysin infinitorum ele deu justificativa completa para todas as idéias relacionadas. Ele mostrou que

Euler também encontrou as primeiras 18 casas decimais de um número:

no entanto, sem explicar como os conseguiu. Parece que ele mesmo calculou esse valor. Na verdade, se tomarmos cerca de 20 termos da série (1), obteremos a precisão que Euler obteve. Entre outros resultados interessantes seu trabalho mostra a conexão entre as funções seno e cosseno e complexo função exponencial, que Euler derivou da fórmula de Moivre.

É interessante que Euler tenha encontrado a decomposição de um número em frações contínuas e dado exemplos de tal decomposição. Em particular, ele recebeu
E
Euler não forneceu provas de que estas frações continuam da mesma maneira, mas sabia que se existisse tal prova, isso provaria a irracionalidade. Na verdade, se a fração continuada continuasse da mesma maneira que no exemplo acima (adicionamos cada vez), então ela nunca seria interrompida e (e, portanto) não poderia ser racional. Esta é obviamente a primeira tentativa de provar a irracionalidade.

O primeiro a calcular bastante grande número casas decimais do número eram Shanks em 1854. Glaisher mostrou que as primeiras 137 casas calculadas por Shanks estavam corretas, mas depois encontrou um erro. Shanks corrigiu e foram obtidas 205 casas decimais. Na realidade, você precisa de cerca de
120 termos de expansão (1) para obter 200 dígitos corretos do número.

Em 1864, Benjamin Peirce estava diante de um quadro onde estava escrito

Nas suas palestras ele poderia dizer aos seus alunos: “Senhores, não temos a menor ideia do que isto significa, mas podemos ter certeza de que significa algo muito importante”.

A maioria das pessoas acredita que Euler provou a irracionalidade do número. No entanto, isso foi feito por Hermite em 1873. A questão de saber se o número é algébrico ainda permanece em aberto. O resultado final nessa direção é que pelo menos um dos números é transcendental.

A seguir, foram calculadas as próximas casas decimais do número. Em 1884, Boorman calculou 346 dígitos, dos quais os primeiros 187 coincidiam com os dígitos de Shanks, mas os subsequentes eram diferentes. Em 1887, Adams calculou os 272 dígitos do logaritmo decimal.