Definição

Pirâmideé um poliedro composto por um polígono \(A_1A_2...A_n\) e \(n\) triângulos com um vértice comum \(P\) (não situado no plano do polígono) e lados opostos a ele, coincidindo com o lados do polígono.
Designação: \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemplo: pirâmide pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triângulos \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), etc. são chamados faces laterais pirâmides, segmentos \(PA_1, PA_2\), etc. – costelas laterais, polígono \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, ponto \(P\) – principal.

Altura pirâmides são uma perpendicular que desce do topo da pirâmide até o plano da base.

Uma pirâmide com um triângulo na base é chamada tetraedro.

A pirâmide é chamada correto, se sua base for um polígono regular e uma das seguintes condições for atendida:

\((a)\) as arestas laterais da pirâmide são iguais;

\((b)\) a altura da pirâmide passa pelo centro do círculo circunscrito próximo à base;

\((c)\) as costelas laterais estão inclinadas em relação ao plano da base no mesmo ângulo.

\((d)\) as faces laterais estão inclinadas em relação ao plano da base no mesmo ângulo.

Tetraedro regularé uma pirâmide triangular, cujas faces são triângulos equiláteros iguais.

Teorema

As condições \((a), (b), (c), (d)\) são equivalentes.

Prova

Vamos encontrar a altura da pirâmide \(PH\) . Seja \(\alpha\) o plano da base da pirâmide.

1) Vamos provar que \((a)\) implica \((b)\) . Seja \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Porque \(PH\perp \alpha\), então \(PH\) é perpendicular a qualquer linha situada neste plano, o que significa que os triângulos são retângulos. Isso significa que esses triângulos são iguais na perna comum \(PH\) e na hipotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Então, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Isso significa que os pontos \(A_1, A_2, ..., A_n\) estão à mesma distância do ponto \(H\), portanto, estão no mesmo círculo com o raio \(A_1H\) . Este círculo, por definição, é circunscrito ao polígono \(A_1A_2...A_n\) .

2) Vamos provar que \((b)\) implica \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) retangular e igual em duas pernas. Isso significa que seus ângulos também são iguais, portanto, \(\ângulo PA_1H=\ângulo PA_2H=...=\ângulo PA_nH\).

3) Vamos provar que \((c)\) implica \((a)\) .

Semelhante ao primeiro ponto, triângulos \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) retangular tanto ao longo da perna quanto no ângulo agudo. Isso significa que suas hipotenusas também são iguais, ou seja, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Vamos provar que \((b)\) implica \((d)\) .

Porque em um polígono regular os centros dos círculos circunscritos e inscritos coincidem (de modo geral, este ponto é chamado de centro de um polígono regular), então \(H\) é o centro do círculo inscrito. Vamos traçar perpendiculares do ponto \(H\) aos lados da base: \(HK_1, HK_2\), etc. Estes são os raios do círculo inscrito (por definição). Então, de acordo com TTP (\(PH\) é perpendicular ao plano, \(HK_1, HK_2\), etc. são projeções perpendiculares aos lados) inclinado \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular aos lados \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivamente. Então, por definição \(\ângulo PK_1H, \ângulo PK_2H\) iguais aos ângulos entre as faces laterais e a base. Porque triângulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) são iguais (como retangulares em dois lados), então os ângulos \(\ângulo PK_1H, \ângulo PK_2H, ...\) são iguais.

5) Vamos provar que \((d)\) implica \((b)\) .

Semelhante ao quarto ponto, os triângulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) são iguais (como retangulares ao longo da perna e ângulo agudo), o que significa que os segmentos \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) são igual. Isso significa que, por definição, \(H\) é o centro de um círculo inscrito na base. Mas porque Para polígonos regulares, os centros dos círculos inscritos e circunscritos coincidem, então \(H\) é o centro do círculo circunscrito. Ctd.

Consequência

As faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles iguais.

Definição

A altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada a partir de seu vértice é chamada apótema.
Os apótemas de todas as faces laterais de uma pirâmide regular são iguais entre si e também são medianas e bissetoras.

Anotações importantes

1. A altura está correta pirâmide triangular cai no ponto de intersecção das alturas (ou bissetoras, ou medianas) da base (a base é um triângulo regular).

2. A altura de uma pirâmide quadrangular regular cai no ponto de intersecção das diagonais da base (a base é um quadrado).

3. A altura de uma pirâmide hexagonal regular cai no ponto de intersecção das diagonais da base (a base é um hexágono regular).

4. A altura da pirâmide é perpendicular a qualquer linha reta situada na base.

Definição

A pirâmide é chamada retangular, se uma de suas arestas laterais for perpendicular ao plano da base.

Anotações importantes

1. Em uma pirâmide retangular, a aresta perpendicular à base é a altura da pirâmide. Ou seja, \(SR\) é a altura.

2. Porque \(SR\) é perpendicular a qualquer linha da base, então \(\triângulo SRM, \triângulo SRP\)– triângulos retângulos.

3. Triângulos \(\triângulo SRN, \triângulo SRK\)- também retangular.
Ou seja, qualquer triângulo formado por esta aresta e a diagonal que emerge do vértice desta aresta situada na base será retangular.

\[(\Large(\text(Volume e área de superfície da pirâmide)))\]

Teorema

O volume da pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide: \

Consequências

Seja \(a\) o lado da base, \(h\) a altura da pirâmide.

1. O volume de uma pirâmide triangular regular é \(V_(\text(triângulo retângulo.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. O volume de uma pirâmide quadrangular regular é \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. O volume de uma pirâmide hexagonal regular é \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. O volume de um tetraedro regular é \(V_(\text(tetr. direito))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual à metade do produto do perímetro da base pelo apótema.

\[(\Grande(\texto(Frustum)))\]

Definição

Considere uma pirâmide arbitrária \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Desenhemos um plano paralelo à base da pirâmide através de um certo ponto situado na borda lateral da pirâmide. Este plano dividirá a pirâmide em dois poliedros, um dos quais é uma pirâmide (\(PB_1B_2...B_n\)), e o outro é chamado pirâmide truncada(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

A pirâmide truncada tem duas bases - polígonos \(A_1A_2...A_n\) e \(B_1B_2...B_n\) que são semelhantes entre si.

A altura de uma pirâmide truncada é uma perpendicular traçada de algum ponto da base superior ao plano da base inferior.

Anotações importantes

1. Todas as faces laterais de uma pirâmide truncada são trapézios.

2. O segmento que conecta os centros das bases de uma pirâmide truncada regular (ou seja, uma pirâmide obtida pela seção transversal de uma pirâmide regular) é a altura.

• apótema- a altura da face lateral de uma pirâmide regular, que é traçada a partir de seu vértice (além disso, o apótema é o comprimento da perpendicular, que desce do meio do polígono regular até um de seus lados);
• faces laterais (ASB, BSC, CSD, DSA) - triângulos que se encontram no vértice;
• costelas laterais ( COMO , B.S. , C.S. , D.S. ) — lados comuns das faces laterais;
• topo da pirâmide (t.S) - um ponto que liga as nervuras laterais e que não fica no plano da base;
• altura ( ENTÃO ) - um segmento perpendicular traçado do topo da pirâmide até o plano de sua base (as extremidades desse segmento serão o topo da pirâmide e a base da perpendicular);
• seção diagonal da pirâmide- uma seção da pirâmide que passa pelo topo e pela diagonal da base;
• base (ABCD) - um polígono que não pertence ao vértice da pirâmide.

Propriedades da pirâmide.

1. Quando todas as bordas laterais tiverem o mesmo tamanho, então:

• é fácil descrever um círculo próximo à base da pirâmide, e o topo da pirâmide será projetado no centro desse círculo;
• as costelas laterais formam ângulos iguais com o plano da base;
• Além disso, o oposto também é verdadeiro, ou seja, quando as costelas laterais formam ângulos iguais com o plano da base, ou quando um círculo pode ser descrito ao redor da base da pirâmide e o topo da pirâmide será projetado no centro deste círculo, significa que todas as arestas laterais da pirâmide são do mesmo tamanho.

2. Quando as faces laterais têm um ângulo de inclinação em relação ao plano da base do mesmo valor, então:

• é fácil descrever um círculo próximo à base da pirâmide, e o topo da pirâmide será projetado no centro desse círculo;
• as alturas das faces laterais têm o mesmo comprimento;
• a área da superfície lateral é igual a ½ produto do perímetro da base pela altura da face lateral.

3. Uma esfera pode ser descrita em torno de uma pirâmide se na base da pirâmide houver um polígono em torno do qual um círculo possa ser descrito (uma condição necessária e suficiente). O centro da esfera será o ponto de intersecção dos planos que passam pelos meios das arestas da pirâmide perpendiculares a eles. Deste teorema concluímos que uma esfera pode ser descrita tanto em torno de qualquer pirâmide triangular quanto em torno de qualquer pirâmide regular.

4. Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide se os planos bissetores dos ângulos diédricos internos da pirâmide se cruzarem no primeiro ponto (uma condição necessária e suficiente). Este ponto se tornará o centro da esfera.

A pirâmide mais simples.

Com base no número de ângulos, a base da pirâmide é dividida em triangular, quadrangular e assim por diante.

Haverá uma pirâmide triangular, quadrangular, e assim por diante, quando a base da pirâmide é um triângulo, um quadrilátero e assim por diante. Uma pirâmide triangular é um tetraedro - um tetraedro. Quadrangular - pentagonal e assim por diante.

Este tutorial em vídeo ajudará os usuários a ter uma ideia do tema Pirâmide. Pirâmide correta. Nesta lição conheceremos o conceito de pirâmide e daremos uma definição. Vamos considerar o que é uma pirâmide regular e quais propriedades ela possui. Depois provamos o teorema sobre a superfície lateral de uma pirâmide regular.

Nesta lição conheceremos o conceito de pirâmide e daremos uma definição.

Considere um polígono Um 1 Um 2...Um, que está no plano α, e o ponto P, que não está no plano α (Fig. 1). Vamos conectar os pontos P com picos A 1, A 2, A 3, … Um. Nós temos n triângulos: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R e assim por diante.

Definição. Poliedro RA 1 A 2 ...A n, feito de n-quadrado Um 1 Um 2...Um E n triângulos RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 é chamado n-pirâmide de carvão. Arroz. 1.

Arroz. 1

Considere uma pirâmide quadrangular PABCD(Figura 2).

R- o topo da pirâmide.

ABCD- a base da pirâmide.

RA- costela lateral.

AB- costela base.

Do ponto R vamos diminuir a perpendicular Enfermeiro para o plano base ABCD. A perpendicular desenhada é a altura da pirâmide.

Arroz. 2

A superfície completa da pirâmide consiste na superfície lateral, ou seja, a área de todas as faces laterais, e a área da base:

S completo = S lado + S principal

Uma pirâmide é chamada correta se:

• sua base é um polígono regular;
• o segmento que liga o topo da pirâmide ao centro da base é a sua altura.

Explicação usando o exemplo de uma pirâmide quadrangular regular

Considere uma pirâmide quadrangular regular PABCD(Fig. 3).

R- o topo da pirâmide. Base da pirâmide ABCD- um quadrilátero regular, ou seja, um quadrado. Ponto SOBRE, o ponto de intersecção das diagonais, é o centro do quadrado. Significa, ROé a altura da pirâmide.

Arroz. 3

Explicação: no correto n Num triângulo, o centro do círculo inscrito e o centro da circunferência circunscrita coincidem. Este centro é chamado de centro do polígono. Às vezes dizem que o vértice é projetado no centro.

A altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada a partir de seu vértice é chamada apótema e é designado ha.

1. todas as arestas laterais de uma pirâmide regular são iguais;

2. As faces laterais são triângulos isósceles iguais.

Daremos uma prova dessas propriedades usando o exemplo de uma pirâmide quadrangular regular.

Dado: PABCD- pirâmide quadrangular regular,

ABCD- quadrado,

RO- altura da pirâmide.

Provar:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Ver Fig. 4.

Arroz. 4

Prova.

RO- altura da pirâmide. Ou seja, direto RO perpendicular ao plano abc e, portanto, direto JSC, VO, SO E FAZER deitado nele. Então triângulos ROA, ROV, ROS, ROD- retangular.

Considere um quadrado ABCD. Das propriedades de um quadrado segue-se que AO = VO = CO = FAZER.

Então os triângulos retângulos ROA, ROV, ROS, ROD perna RO- geral e pernas JSC, VO, SO E FAZER são iguais, o que significa que esses triângulos são iguais em dois lados. Da igualdade dos triângulos segue a igualdade dos segmentos, RA = PB = RS = PD. O ponto 1 foi comprovado.

Segmentos AB E Sol são iguais porque são lados do mesmo quadrado, RA = PB = RS. Então triângulos AVR E VSR- isósceles e iguais em três lados.

De maneira semelhante, descobrimos que os triângulos ABP, VCP, CDP, DAP são isósceles e iguais, conforme exige a comprovação do parágrafo 2º.

A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual à metade do produto do perímetro da base pelo apótema:

Para provar isto, vamos escolher uma pirâmide triangular regular.

Dado: RAVS- pirâmide triangular regular.

AB = BC = AC.

RO- altura.

Provar: . Veja a Fig. 5.

Arroz. 5

Prova.

RAVS- pirâmide triangular regular. Aquilo é AB= AC = AC. Deixar SOBRE- centro do triângulo abc, Então ROé a altura da pirâmide. Na base da pirâmide encontra-se um triângulo equilátero abc. notar que .

Triângulos RAV, RVS, RSA- triângulos isósceles iguais (por propriedade). Uma pirâmide triangular tem três faces laterais: RAV, RVS, RSA. Isso significa que a área da superfície lateral da pirâmide é:

Lado S = 3S RAW

O teorema foi provado.

O raio de um círculo inscrito na base de uma pirâmide quadrangular regular é 3 m, a altura da pirâmide é 4 m.

Dado: pirâmide quadrangular regular ABCD,

ABCD- quadrado,

R= 3m,

RO- altura da pirâmide,

RO= 4m.

Encontrar: Lado S. Veja a Fig. 6.

Arroz. 6

Solução.

De acordo com o teorema provado, .

Vamos primeiro encontrar o lado da base AB. Sabemos que o raio de um círculo inscrito na base de uma pirâmide quadrangular regular é 3 m.

Então, M.

Encontre o perímetro do quadrado ABCD com um lado de 6 m:

Considere um triângulo BCD. Deixar M- meio da lateral CC. Porque SOBRE- meio BD, Que (m).

Triângulo DPC- isósceles. M- meio CC. Aquilo é, RM- mediana e, portanto, a altura no triângulo DPC. Então RM- apótema da pirâmide.

RO- altura da pirâmide. Então, direto RO perpendicular ao plano abc e, portanto, direto OM, deitado nele. Vamos encontrar o apótema RM de triângulo retângulo ROM.

Agora podemos encontrar a superfície lateral da pirâmide:

Responder: 60 m2.

O raio do círculo circunscrito à base de uma pirâmide triangular regular é igual a m. A área da superfície lateral é 18 m 2. Encontre o comprimento do apótema.

Dado: ABCP- pirâmide triangular regular,

AB = BC = SA,

R=m,

Lado S = 18 m2.

Encontrar: . Veja a Fig. 7.

Arroz. 7

Solução.

Em um triângulo retângulo abc O raio do círculo circunscrito é dado. Vamos encontrar um lado AB este triângulo usando a lei dos senos.

Conhecendo o lado de um triângulo regular (m), encontramos seu perímetro.

Pelo teorema da superfície lateral de uma pirâmide regular, onde ha- apótema da pirâmide. Então:

Responder: 4m.

Então, vimos o que é uma pirâmide, o que é uma pirâmide regular e provamos o teorema sobre a superfície lateral de uma pirâmide regular. Sobre próxima lição conheceremos uma pirâmide truncada.

Bibliografia

1. Geometria. 10ª a 11ª séries: livro didático para alunos instituições educacionais(básico e níveis de perfil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ª ed., rev. e adicional - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: il.
2. Geometria. 10ª a 11ª série: livro didático para educação geral instituições educacionais/ Sharygin I.F. - M.: Abetarda, 1999. - 208 p.: il.
3. Geometria. 10ª série: Livro didático para instituições de ensino geral com estudo aprofundado e especializado de matemática /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6ª ed., estereótipo. - M.: Abetarda, 008. - 233 p.: il.

1. Portal da Internet "Yaklass" ()
2. Portal da Internet "Festival ideias pedagógicas"Primeiro de setembro" ()
3. Portal da Internet “Slideshare.net” ()

Trabalho de casa

1. Um polígono regular pode ser a base de uma pirâmide irregular?
2. Prove que as arestas disjuntas de uma pirâmide regular são perpendiculares.
3. Encontre o valor do ângulo diédrico ao lado da base de uma pirâmide quadrangular regular se o apótema da pirâmide for igual ao lado de sua base.
4. RAVS- pirâmide triangular regular. Construa o ângulo linear do ângulo diédrico na base da pirâmide.

Pirâmide. Pirâmide truncada

Pirâmideé um poliedro, uma de cujas faces é um polígono ( base ), e todas as outras faces são triângulos com um vértice comum ( faces laterais ) (Fig. 15). A pirâmide é chamada correto , se sua base for um polígono regular e o topo da pirâmide for projetado no centro da base (Fig. 16). Uma pirâmide triangular com todas as arestas iguais é chamada tetraedro .

Costela lateral de uma pirâmide é o lado da face lateral que não pertence à base Altura pirâmide é a distância do seu topo ao plano da base. Todas as arestas laterais de uma pirâmide regular são iguais entre si, todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. A altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada a partir do vértice é chamada apótema . Seção diagonal é chamada de seção de uma pirâmide por um plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Superfície lateral pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais. Superfície total é chamada de soma das áreas de todas as faces laterais e da base.

Teoremas

1. Se em uma pirâmide todas as arestas laterais estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito próximo à base.

2. Se em uma pirâmide todas as arestas laterais têm comprimentos iguais, então o topo da pirâmide é projetado no centro de um círculo circunscrito próximo à base.

3. Se todas as faces de uma pirâmide estiverem igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide será projetado no centro de um círculo inscrito na base.

Para calcular o volume de uma pirâmide arbitrária, a fórmula correta é:

Onde V- volume;

base S– área base;

H– altura da pirâmide.

Para uma pirâmide regular, as seguintes fórmulas estão corretas:

Onde p– perímetro da base;

ha– apótema;

H- altura;

Está cheio

Lado S

base S– área base;

V– volume de uma pirâmide regular.

Pirâmide truncada chamada de parte da pirâmide delimitada entre a base e um plano de corte paralelo à base da pirâmide (Fig. 17). Pirâmide truncada regular chamada de parte de uma pirâmide regular delimitada entre a base e um plano de corte paralelo à base da pirâmide.

Terrenos pirâmide truncada - polígonos semelhantes. Faces laterais – trapézios. Altura de uma pirâmide truncada é a distância entre suas bases. Diagonal uma pirâmide truncada é um segmento que conecta seus vértices que não estão na mesma face. Seção diagonal é uma seção de uma pirâmide truncada por um plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Para uma pirâmide truncada, as seguintes fórmulas são válidas:

(4)

Onde S 1 , S 2 – áreas das bases superior e inferior;

Está cheio– área superficial total;

Lado S– superfície lateral;

H- altura;

V– volume de uma pirâmide truncada.

Para uma pirâmide truncada regular a fórmula está correta:

Onde p 1 , p 2 – perímetros das bases;

ha– apótema de uma pirâmide truncada regular.

Exemplo 1. Em uma pirâmide triangular regular, o ângulo diédrico na base é 60º. Encontre a tangente do ângulo de inclinação da aresta lateral ao plano da base.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 18).

A pirâmide é regular, o que significa que na base existe um triângulo equilátero e todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. O ângulo diédrico na base é o ângulo de inclinação da face lateral da pirâmide em relação ao plano da base. O ângulo linear é o ângulo a entre duas perpendiculares: etc. O topo da pirâmide é projetado no centro do triângulo (o centro do círculo circunscrito e do círculo inscrito do triângulo abc). O ângulo de inclinação da borda lateral (por exemplo SB) é o ângulo entre a própria aresta e sua projeção no plano da base. Para a costela SB este ângulo será o ângulo SBD. Para encontrar a tangente você precisa conhecer as pernas ENTÃO E O.B.. Deixe o comprimento do segmento BDé igual a 3 A. Ponto SOBRE segmento de linha BDé dividido em partes: e De encontramos ENTÃO: De encontramos:

Responder:

Exemplo 2. Encontre o volume de uma pirâmide quadrangular truncada regular se as diagonais de suas bases forem iguais a cm e cm e sua altura for 4 cm.

Solução. Para encontrar o volume de uma pirâmide truncada, usamos a fórmula (4). Para encontrar a área das bases, é necessário encontrar os lados dos quadrados da base, conhecendo suas diagonais. Os lados das bases são iguais a 2 cm e 8 cm, respectivamente. Isso significa as áreas das bases e Substituindo todos os dados na fórmula, calculamos o volume da pirâmide truncada:

Responder: 112cm3.

Exemplo 3. Encontre a área da face lateral de uma pirâmide truncada triangular regular, cujos lados das bases são 10 cm e 4 cm, e a altura da pirâmide é 2 cm.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 19).

A face lateral desta pirâmide é um trapézio isósceles. Para calcular a área de um trapézio, você precisa conhecer a base e a altura. As bases são dadas de acordo com a condição, apenas a altura permanece desconhecida. Nós a encontraremos de onde A 1 E perpendicular a um ponto A 1 no plano da base inferior, A 1 D– perpendicular a A 1 por AC. A 1 E= 2 cm, pois esta é a altura da pirâmide. Encontrar DE Faremos um desenho adicional mostrando a vista superior (Fig. 20). Ponto SOBRE– projeção dos centros das bases superior e inferior. desde (ver Fig. 20) e Por outro lado OK– raio inscrito na circunferência e OM– raio inscrito em um círculo:

MK = DE.

De acordo com o teorema de Pitágoras de

Área lateral da face:

Responder:

Exemplo 4. Na base da pirâmide encontra-se um trapézio isósceles, cujas bases A E b (a> b). Cada face lateral forma um ângulo igual ao plano da base da pirâmide j. Encontre a área total da superfície da pirâmide.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 21). Superfície total da pirâmide SABCD igual à soma das áreas e à área do trapézio ABCD.

Usemos a afirmação de que se todas as faces da pirâmide estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o vértice é projetado no centro do círculo inscrito na base. Ponto SOBRE– projeção de vértice S na base da pirâmide. Triângulo SODé a projeção ortogonal do triângulo CSD ao plano da base. Usando o teorema da área da projeção ortogonal de uma figura plana, obtemos:

Da mesma forma significa Assim, o problema se reduziu a encontrar a área do trapézio ABCD. Vamos desenhar um trapézio ABCD separadamente (Fig. 22). Ponto SOBRE– o centro de um círculo inscrito em um trapézio.

Como um círculo pode ser inscrito em um trapézio, então ou Do teorema de Pitágoras temos

Tutorial em vídeo 2: Problema da pirâmide. Volume da pirâmide

Tutorial em vídeo 3: Problema da pirâmide. Pirâmide correta

Palestra: Pirâmide, sua base, costelas laterais, altura, superfície lateral; pirâmide triangular; pirâmide regular

Pirâmide- Esse corpo volumétrico, que tem um polígono em sua base e todas as suas faces consistem em triângulos.

Um caso especial de pirâmide é um cone com um círculo na base.

Vejamos os principais elementos da pirâmide:

Apótema- este é um segmento que conecta o topo da pirâmide com o meio da borda inferior da face lateral. Em outras palavras, esta é a altura da borda da pirâmide.

Na figura você pode ver os triângulos ADS, ABS, BCS, CDS. Se você olhar atentamente os nomes, verá que cada triângulo tem uma letra comum em seu nome - S. Ou seja, isso significa que todas as faces laterais (triângulos) convergem em um ponto, que é chamado de topo da pirâmide .

O segmento OS que conecta o vértice ao ponto de intersecção das diagonais da base (no caso de triângulos - no ponto de intersecção das alturas) é denominado altura da pirâmide.

Uma seção diagonal é um plano que passa pelo topo da pirâmide, bem como por uma das diagonais da base.

Como a superfície lateral da pirâmide é composta por triângulos, para encontrar a área total da superfície lateral é necessário encontrar a área de cada face e somá-las. O número e a forma das faces dependem da forma e do tamanho dos lados do polígono que fica na base.

O único plano de uma pirâmide que não pertence ao seu vértice é denominado base pirâmides.

Na figura vemos que a base é um paralelogramo, porém pode ser qualquer polígono arbitrário.

Propriedades:

Considere o primeiro caso de uma pirâmide, em que ela possui arestas do mesmo comprimento:

• Um círculo pode ser desenhado ao redor da base dessa pirâmide. Se você projetar o topo dessa pirâmide, sua projeção estará localizada no centro do círculo.
• Os ângulos na base da pirâmide são iguais em cada face.
• Nesse caso, uma condição suficiente para que um círculo possa ser descrito em torno da base da pirâmide, e também para que todas as arestas tenham comprimentos diferentes, podem ser considerados os mesmos ângulos entre a base e cada aresta das faces.

Se você se deparar com uma pirâmide na qual os ângulos entre as faces laterais e a base são iguais, então as seguintes propriedades são verdadeiras:

• Você será capaz de descrever um círculo ao redor da base da pirâmide, cujo vértice está projetado exatamente no centro.
• Se você desenhar cada borda lateral da altura até a base, elas terão o mesmo comprimento.
• Para encontrar a área da superfície lateral dessa pirâmide, basta encontrar o perímetro da base e multiplicá-lo pela metade do comprimento da altura.
• S bp = 0,5P oc H.
• Tipos de pirâmide.
• Dependendo de qual polígono está na base da pirâmide, eles podem ser triangulares, quadrangulares, etc. Se um polígono regular (com lados iguais) estiver na base da pirâmide, então essa pirâmide será chamada de regular.

Pirâmide triangular regular