x இலிருந்து மகிழ்ச்சி. கணிதத்தின் சிறந்த ஆசிரியர்களில் ஒருவரின் புத்தகத்திலிருந்து ஒரு பகுதி

என்ற மகிழ்ச்சி எக்ஸ்

ஒன்று முதல் முடிவிலி வரை கணிதம் பற்றிய வழிகாட்டுதல் பயணம்

ஸ்டீவன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ், c/o Brockman, Inc இன் அனுமதியுடன் வெளியிடப்பட்டது.

அனைத்து உரிமைகளும் பாதுகாக்கப்பட்டவை. இந்தப் புத்தகத்தின் மின்னணுப் பதிப்பின் எந்தப் பகுதியையும் பதிப்புரிமை உரிமையாளரின் எழுத்துப்பூர்வ அனுமதியின்றி, தனிப்பட்ட மற்றும் பொது பயன்பாட்டிற்காக, இணையம் மற்றும் கார்ப்பரேட் நெட்வொர்க்குகளில் இடுகையிடுவது உட்பட, எந்த வடிவத்திலும் அல்லது எந்த வகையிலும் மீண்டும் உருவாக்க முடியாது.

பதிப்பகத்தின் சட்ட ஆதரவு வழங்கப்படுகிறது சட்ட நிறுவனம்"வேகாஸ் லெக்ஸ்"

* * *

இந்த புத்தகம் நன்கு பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

குவாண்டா

ஸ்காட் பேட்டர்சன்

பிரைனியாக்

கென் ஜென்னிங்ஸ்

பணப்பந்து

மைக்கேல் லூயிஸ்

நெகிழ்வான மனம்

கரோல் டுவெக்

பங்குச் சந்தையின் இயற்பியல்

ஜேம்ஸ் வெதர்ஆல்

முன்னுரை

எனக்கு ஒரு நண்பர் இருக்கிறார், அவருடைய வர்த்தகம் இருந்தபோதிலும் (அவர் ஒரு கலைஞர்), அறிவியலில் ஆர்வமுள்ளவர். எப்பொழுது ஒன்று சேர்ந்தாலும் உற்சாகமாகப் பேசுவார் சமீபத்திய சாதனைகள்உளவியல் அல்லது குவாண்டம் இயக்கவியலில். ஆனால் நாம் கணிதத்தைப் பற்றி பேசும்போது, அவருக்கு முழங்கால்களில் ஒரு நடுக்கம் ஏற்படுகிறது, அது அவரை பெரிதும் வருத்தப்படுத்துகிறது. இந்த விசித்திரமான கணிதக் குறியீடுகள் தன்னை மீறுவது மட்டுமல்லாமல், சில சமயங்களில் அவற்றை எப்படி உச்சரிப்பது என்று கூட அவருக்குத் தெரியாது என்று அவர் புகார் கூறுகிறார்.

உண்மையில், அவர் கணிதத்தை விரும்பாததற்கான காரணம் மிகவும் ஆழமானது. இந்த ஆதாரம் நேர்த்தியானது என்று கணிதவியலாளர்கள் பொதுவாக என்ன செய்கிறார்கள், அவர்கள் என்ன சொல்கிறார்கள் என்பதை அவர் ஒருபோதும் புரிந்து கொள்ள மாட்டார். சில சமயங்களில் நான் உட்கார்ந்து, 1 + 1 = 2 என்ற அடிப்படையிலிருந்து அவருக்குக் கற்பிக்கத் தொடங்க வேண்டும், மேலும் அவரால் முடிந்தவரை கணிதத்திற்குச் செல்ல வேண்டும் என்று நாங்கள் கேலி செய்கிறோம்.

இந்த யோசனை பைத்தியக்காரத்தனமாகத் தோன்றினாலும், அதைத்தான் இந்த புத்தகத்தில் செயல்படுத்த முயற்சிக்கிறேன். கணிதம் முதல் மேம்பட்ட கணிதம் வரை அறிவியலின் அனைத்து முக்கிய பிரிவுகளிலும் நான் உங்களுக்கு வழிகாட்டுவேன், இதன் மூலம் இரண்டாவது வாய்ப்பை விரும்புவோர் இறுதியாக அதைப் பெற முடியும். இந்த நேரத்தில் நீங்கள் உங்கள் மேஜையில் உட்கார வேண்டியதில்லை. இந்தப் புத்தகம் உங்களை கணிதத்தில் நிபுணராக்காது. ஆனால் இந்த ஒழுக்கம் எதைப் படிக்கிறது மற்றும் அதைப் புரிந்துகொள்பவர்களுக்கு ஏன் மிகவும் உற்சாகமாக இருக்கிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்ள இது உதவும்.

நம்மால் கட்டுப்படுத்த முடியாத எண்களின் வாழ்க்கை மற்றும் அவற்றின் நடத்தை ஆகியவற்றின் மூலம் நான் என்ன சொல்கிறேன் என்பதை தெளிவுபடுத்துவதற்காக, ஃபர்ரி பாவ்ஸ் ஹோட்டலுக்குத் திரும்புவோம். ஹம்ப்ரி ஆர்டரை வழங்கப் போகிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் மற்றொரு அறையிலிருந்து பெங்குவின் எதிர்பாராதவிதமாக அவரை அழைத்து அதே அளவு மீன்களையும் கேட்டது. இரண்டு ஆர்டர்களைப் பெற்ற பிறகு ஹம்ப்ரி "மீன்" என்ற வார்த்தையை எத்தனை முறை கத்த வேண்டும்? எண்கள் பற்றி எதுவும் தெரியாவிட்டால், இரண்டு அறைகளிலும் மொத்தம் எத்தனை பென்குயின்கள் இருக்கிறதோ, அவ்வளவு முறை கத்த வேண்டியிருக்கும். அல்லது, எண்களைப் பயன்படுத்தி, சமையல்காரரிடம் ஒரு எண்ணுக்கு ஆறு மீன்கள் தேவை என்று அவர் விளக்கலாம். ஆனால் அவருக்கு உண்மையில் ஒரு புதிய கருத்து தேவை: கூட்டல். அதில் தேர்ச்சி பெற்றவுடன், சிக்ஸ் பிளஸ் சிக்ஸ் (அல்லது, போசராக இருந்தால், பன்னிரெண்டு) மீன் வேண்டும் என்று பெருமையாகச் சொல்வார்.

நாங்கள் எண்களைக் கொண்டு வந்த அதே ஆக்கப்பூர்வமான செயல்முறை இதுவாகும். எண்கள் ஒரு நேரத்தில் பட்டியலிடுவதை விட எண்ணுவதை எளிதாக்குவது போல், கூட்டல் எந்த தொகையையும் கணக்கிடுவதை எளிதாக்குகிறது. அதே சமயம் கணக்கீடு செய்பவன் கணிதவியலாளனாக உருவாகிறான். விஞ்ஞானரீதியாக, இந்த எண்ணத்தை பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்: சரியான சுருக்கங்களைப் பயன்படுத்துவது சிக்கலின் சாராம்சத்தைப் பற்றிய ஆழமான நுண்ணறிவுக்கும் அதைத் தீர்ப்பதில் அதிக சக்திக்கும் வழிவகுக்கிறது.

விரைவில், ஒருவேளை ஹம்ப்ரி கூட இப்போது அவர் எப்போதும் எண்ண முடியும் என்பதை உணரலாம்.

இருப்பினும், அத்தகைய முடிவற்ற முன்னோக்கு இருந்தபோதிலும், எங்கள் படைப்பாற்றல் எப்போதும் சில வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. 6 மற்றும் + என்பதன் அர்த்தம் என்ன என்பதை நாம் தீர்மானிக்கலாம், ஆனால் ஒருமுறை செய்தால், 6 + 6 போன்ற வெளிப்பாடுகளின் முடிவுகள் நம் கட்டுப்பாட்டில் இல்லை. தர்க்கம் இங்கே நமக்கு வேறு வழியில்லை. இந்த அர்த்தத்தில், கணிதம் எப்போதும் இரண்டு கண்டுபிடிப்புகளையும் உள்ளடக்கியது, அதனால்கண்டுபிடிப்பு: நாங்கள் கண்டுபிடித்தல்கருத்துக்கள், ஆனால் திறந்தஅவற்றின் விளைவுகள். பின்வரும் அத்தியாயங்களில் தெளிவுபடுத்துவது போல, கணிதத்தில் நமது சுதந்திரம் கேள்விகளைக் கேட்கும் திறனிலும், அவற்றுக்கு விடாமுயற்சியுடன் பதில்களைத் தேடும் திறனிலும் உள்ளது, ஆனால் அவற்றை நாமே கண்டுபிடிக்காமல்.

2. கல் எண்கணிதம்

வாழ்க்கையின் எந்த நிகழ்வையும் போலவே, எண்கணிதமும் இரண்டு பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது: முறையான மற்றும் பொழுதுபோக்கு (அல்லது விளையாட்டுத்தனமானது).

பள்ளியில் முறையான பகுதியைப் படித்தோம். எண்களின் நெடுவரிசைகளுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது, அவற்றைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல், வரிக் கணக்கை நிரப்புதல் மற்றும் தயாரிப்பின் போது விரிதாள்களில் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது அவற்றை எவ்வாறு திணிப்பது என்பதை அவர்கள் எங்களுக்கு விளக்கினர். ஆண்டு அறிக்கைகள். எண்கணிதத்தின் இந்தப் பக்கம் நடைமுறைக் கண்ணோட்டத்தில் பலருக்கு முக்கியமானதாகத் தோன்றுகிறது, ஆனால் முற்றிலும் இருண்டதாக இருக்கிறது.

உயர் கணிதத்தைப் படிக்கும் செயல்பாட்டில் மட்டுமே எண்கணிதத்தின் பொழுதுபோக்கு பக்கத்தை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள முடியும். {3}. இருப்பினும், அவள் ஒரு குழந்தையின் ஆர்வத்தைப் போலவே இயல்பானவள். {4}.

"கணிதவியலாளரின் புலம்பல்" என்ற கட்டுரையில், பால் லாக்ஹார்ட் எண்களை வழக்கத்தை விட குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுடன் படிக்க பரிந்துரைக்கிறார்: பல கற்களின் வடிவத்தில் அவற்றைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துமாறு அவர் கேட்கிறார். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 6 பின்வரும் கூழாங்கற்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது:

நீங்கள் இங்கே அசாதாரணமான எதையும் பார்க்க முடியாது. அது தான் வழி. எண்களைக் கையாளத் தொடங்கும் வரை, அவை கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். நாம் ஒரு பணியைப் பெறும்போது விளையாட்டு தொடங்குகிறது.

உதாரணமாக, 1 முதல் 10 கற்களைக் கொண்ட செட்களைப் பார்த்து, அவற்றிலிருந்து சதுரங்களை உருவாக்க முயற்சிப்போம். இதை 4 மற்றும் 9 கற்கள் கொண்ட இரண்டு செட் மூலம் மட்டுமே செய்ய முடியும், ஏனெனில் 4 = 2 × 2 மற்றும் 9 = 3 × 3. இந்த எண்களை வேறு சில எண்களை வகுப்பதன் மூலம் (அதாவது, கற்களை சதுரப்படுத்துவதன் மூலம்) பெறுகிறோம்.

இங்கே ஒரு பணி உள்ளது மேலும்தீர்வுகள்: சம எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளுடன் இரண்டு வரிசைகளில் கற்களை அடுக்கினால், எந்த செட் செவ்வகத்தை உருவாக்கும் என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். 2, 4, 6, 8 அல்லது 10 கற்களின் தொகுப்புகள் இங்கே பொருத்தமானவை; எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும். மீதமுள்ள செட்களை இரண்டு வரிசைகளில் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான கற்களால் ஏற்பாடு செய்ய முயற்சித்தால், எப்பொழுதும் ஒரு கூடுதல் கல் இருக்கும்.

ஆனால் இந்த சங்கடமான எண்களுக்கு எல்லாம் இழக்கப்படவில்லை! அத்தகைய இரண்டு தொகுப்புகளை நாம் எடுத்துக் கொண்டால், கூடுதல் உறுப்புகள் தங்களுக்கு ஒரு ஜோடியைக் கண்டுபிடிக்கும், மேலும் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும்: ஒற்றைப்படை எண் + ஒற்றைப்படை எண் = ஒரு இரட்டை எண்.

இந்த விதிகளை 10க்குப் பிறகு எண்களுக்கு நீட்டித்து, ஒரு செவ்வகத்தில் உள்ள வரிசைகளின் எண்ணிக்கை இரண்டுக்கும் அதிகமாக இருக்கலாம் என்று கருதினால், சில ஒற்றைப்படை எண்கள் அத்தகைய செவ்வகங்களைச் சேர்க்க அனுமதிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 15 ஆனது 3×5 செவ்வகத்தை உருவாக்கும்.

எனவே, 15 என்பது சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி ஒற்றைப்படை எண்ணாக இருந்தாலும், அது ஒரு கூட்டு எண் மற்றும் ஐந்து கற்கள் கொண்ட மூன்று வரிசைகளாகக் குறிப்பிடப்படலாம். இதேபோல், பெருக்கல் அட்டவணையில் உள்ள எந்தவொரு நுழைவும் அதன் சொந்த செவ்வகக் கூழாங்கற்களை உருவாக்குகிறது.

ஆனால் 2, 3, 5 மற்றும் 7 போன்ற சில எண்கள் முற்றிலும் நம்பிக்கையற்றவை. ஒரு எளிய கோடு (ஒரு வரிசை) வடிவத்தில் அவற்றை ஏற்பாடு செய்வதைத் தவிர, அவற்றில் எதையும் அமைக்க முடியாது. இந்த விசித்திரமான பிடிவாதமான மக்கள் பிரபலமான பகா எண்கள்.

எனவே, எண்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட தன்மையைக் கொடுக்கும் வினோதமான அமைப்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம் என்பதைக் காண்கிறோம். ஆனால் அவர்களின் நடத்தையின் முழு வரம்பையும் கற்பனை செய்ய, ஒருவர் தனிப்பட்ட எண்களிலிருந்து பின்வாங்கி, அவர்களின் தொடர்புகளின் போது என்ன நடக்கிறது என்பதைக் கவனிக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களைச் சேர்ப்பதற்குப் பதிலாக, 1 இல் தொடங்கி ஒற்றைப்படை எண்களின் சாத்தியமான அனைத்து வரிசைகளையும் சேர்ப்போம்:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

ஆச்சரியப்படும் விதமாக, இந்தத் தொகைகள் எப்போதும் சரியான சதுரங்களாக மாறிவிடும். (4 மற்றும் 9 ஐ எவ்வாறு சதுரங்களாகக் குறிப்பிடலாம் என்பதைப் பற்றி நாங்கள் ஏற்கனவே பேசினோம், மேலும் இது 16 = 4 × 4 மற்றும் 25 = 5 × 5 க்கும் பொருந்தும்.) இந்த விதியானது பெரிய ஒற்றைப்படை எண்களுக்கும் உள்ளது மற்றும் வெளிப்படையாகத் தெரிகிறது என்பதை ஒரு விரைவான கணக்கீடு காட்டுகிறது. எல்லையில்லாததை நோக்கி. ஆனால் ஒற்றைப்படை எண்களுக்கு அவற்றின் "கூடுதல்" கற்களுக்கும் சதுரங்களை உருவாக்கும் பாரம்பரிய சமச்சீர் எண்களுக்கும் என்ன தொடர்பு? கற்களை சரியாக நிலைநிறுத்துவதன் மூலம், என்ன என்பதை நாம் தெளிவாக்கலாம் தனிச்சிறப்புநேர்த்தியான ஆதாரம். {5}

ஒற்றைப்படை எண்களை சமபக்க மூலைகளாகக் குறிப்பிடலாம் என்பதை அவதானிப்பதே அதற்கு முக்கியமானது, அவை ஒன்றின் மேல் ஒன்றின் மேல் ஒரு சதுரத்தை உருவாக்குகின்றன!

இதேபோன்ற பகுத்தறிவு சமீபத்தில் வெளியிடப்பட்ட மற்றொரு புத்தகத்தில் வழங்கப்படுகிறது. யோகோ ஒகாவாவின் அழகான நாவலான தி ஹவுஸ் கீப்பர் மற்றும் இந்தபேராசிரியர் ஒரு புத்திசாலி ஆனால் படிக்காத இளம் பெண் மற்றும் அவரது பத்து வயது மகன். ஒரு வயதான கணிதவியலாளரைப் பராமரிக்க ஒரு பெண் பணியமர்த்தப்பட்டுள்ளார், அவரது குறுகிய கால நினைவாற்றல் மூளைக் காயம் காரணமாக அவரது வாழ்க்கையின் கடைசி 80 நிமிடங்களைப் பற்றிய தகவல்களை மட்டுமே வைத்திருக்கிறது. நிகழ்காலத்தில் தொலைந்து போய், எண்களைத் தவிர வேறெதுவும் இல்லாத அவனது இழிவான குடிசையில், பேராசிரியர் வீட்டுப் பணிப்பெண்ணுடன் தனக்குத் தெரிந்த ஒரே வழி: அவளது காலணி அளவு அல்லது பிறந்த தேதியைப் பற்றிக் கேட்டு அவளுடன் அவளது செலவுகளைப் பற்றி சிறு பேச்சு நடத்துகிறான். . பேராசிரியரும் உணவளிக்கிறார் சிறப்பு அனுதாபம்வீட்டுப் பணிப்பெண்ணின் மகனுக்கு, அவர் ரூத் (ரூட் - ரூட்) என்று அழைக்கிறார், ஏனென்றால் பையனின் மேல் ஒரு தட்டையான தலை உள்ளது, மேலும் இது அவருக்கு கணிதத்தில் உள்ள வர்க்க மூலத்திற்கான குறிப்பை நினைவூட்டுகிறது.

ஒரு நாள் பேராசிரியர் பையனுக்கு வழங்குகிறார் ஒரு எளிய பணி– 1 முதல் 10 வரையிலான அனைத்து எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும். ரூத் அனைத்து எண்களையும் கவனமாகச் சேர்த்துவிட்டு (55) பதிலுடன் திரும்பிய பிறகு, பேராசிரியர் அவரிடம் எளிதான வழியைத் தேடுமாறு கேட்கிறார். அவர் பதில் கண்டுபிடிக்க முடியுமா இல்லாமல்எண்களின் எளிய கூட்டல்? ரூத் ஒரு நாற்காலியை உதைத்து, "அது நியாயமில்லை!"

கொஞ்சம் கொஞ்சமாக, வீட்டுப் பணிப்பெண்ணும் எண்களின் உலகில் ஈர்க்கப்படுகிறார், மேலும் இந்த சிக்கலை ரகசியமாக தீர்க்க முயற்சிக்கிறார். "நடைமுறையில் எந்தப் பயனும் இல்லாத ஒரு குழந்தைகளுக்கான புதிரை நான் ஏன் எடுத்துச் சென்றேன் என்று எனக்குப் புரியவில்லை," என்று அவர் கூறுகிறார். "முதலில் நான் பேராசிரியரைப் பிரியப்படுத்த விரும்பினேன், ஆனால் படிப்படியாக இந்த செயல்பாடு எனக்கும் எண்களுக்கும் இடையிலான போராக மாறியது. நான் காலையில் எழுந்தபோது, சமன்பாடு ஏற்கனவே எனக்காகக் காத்திருந்தது:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

பள்ளிக் கணிதத்தின் முக்கியப் பிரச்சனை என்னவென்றால், அதில் எந்தப் பிரச்சனையும் இல்லை. ஆம், வகுப்பறையில் உள்ள பிரச்சனைகளுக்கு என்ன உதவுகிறது என்று எனக்குத் தெரியும்: அந்த சுவையற்ற, சலிப்பான பயிற்சிகள். "இங்கே பணி உள்ளது. அதை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது இங்கே. ஆம், அவை பரீட்சைகளில் நடக்கும். வீட்டுப் பணிகள் 1-15. கணிதத்தைக் கற்றுக்கொள்வதற்கான ஒரு மந்தமான வழி: பயிற்சி பெற்ற சிம்பன்சி ஆகுங்கள்.
பால் லாக்ஹார்ட்
"கணிதவியலாளரின் புலம்பல்" என்ற கட்டுரையிலிருந்து

கணிதம் என்பது அறிவியலின் விசித்திரமான கிளைகளில் ஒன்றாகும். வேறு எந்த விஷயத்திலும் எதிரெதிர்கள் அவ்வளவு வலுவாக ஒன்றிணைவதில்லை: முறையான சான்றுகளின் கடுமையிலிருந்து சில கட்டுமானங்களை "பார்க்கும்" திறன் வரை. கணிதம் அக அழகு மற்றும் புற அழகு இரண்டையும் கொண்டுள்ளது. ஒரு முடிவை விட உற்சாகமானது எதுவும் இல்லை கணித பிரச்சனைகள். மேலும் பள்ளியில் இவ்வளவு திறமையாக வேறு எந்த பாடமும் கற்பிக்கப்படவில்லை.

கணிதப் படிப்பு பொதுவாக பள்ளியில் எவ்வாறு தொடங்குகிறது? 7-8 வயது குழந்தைகளுக்கு புரியாத சின்னங்கள் மற்றும் வரையறைகளை வழங்குவதில் இருந்து, இந்த அப்ரகாடப்ராவைப் பயன்படுத்துவதற்கான வழிமுறைகளின் அமைப்பு. தனித்தனி விஷயங்கள், எடுத்துக்காட்டாக, பெருக்கல் அட்டவணை, மனப்பாடம்.

அடுத்த வகுப்புகளில், இந்த முறையின் அடிப்படையில், மாணவர்களுக்குச் சொல்லப்பட்டு, உழைப்புப் பிரச்சினைகளைத் தீர்க்க அனுமதிக்கும் ஷாமனிக் சடங்குகளின் தொகுப்பை மனப்பாடம் செய்யுமாறு கட்டாயப்படுத்தப்படுவார்கள். "சரியான பின்னம்" மற்றும் " போன்ற புதிய வரையறைகள் எழும். தகாப்பின்னம்அது எங்கிருந்து வந்தது மற்றும் மிக முக்கியமாக, ஏன் என்ற சிறிய விளக்கம் இல்லாமல். சிறப்பு கவனம்அல்காரிதம்களைப் போலவே யதார்த்தத்துடன் தொடர்புடைய பயனற்ற மற்றும் உழைக்கும் உரைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் அர்ப்பணிப்புடன் இருக்கும்.

ஒரு சிறிய சோதனையாக, நாங்கள் நினைவில் வைக்க முன்வருகிறோம்: உங்கள் வாழ்க்கையில் எத்தனை முறை சரியான அல்லது முறையற்ற பகுதியை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்?

நான் இதயப்பூர்வமாகக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டிய கட்டாயம் ஏற்பட்டது: இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்கம் அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், அவற்றின் இரட்டைப் பெருக்கத்தால் அதிகரிக்கப்பட்டது. அது என்ன அர்த்தம் என்று எனக்கு சிறிதும் தெரியாது; இந்த வார்த்தைகள் எனக்கு நினைவில் இல்லாதபோது, ஆசிரியர் ஒரு புத்தகத்தால் என் தலையில் அடித்தார், இருப்பினும், அது என் அறிவாற்றலை சிறிதும் தூண்டவில்லை.
பெர்ட்ரான்ட் ரஸ்ஸல்
ஆங்கில தத்துவஞானி, தர்க்கவாதி மற்றும் கணிதவியலாளர்

அதே நேரத்தில், ஆசிரியர்கள் எந்த கருத்து வேறுபாடுகளையும் இரக்கமின்றி அடக்குவார்கள். 2 1/2 க்கு பதிலாக 5/2 ஐ எழுத முயற்சிக்கவும் (நீங்கள் எப்பொழுதும் எதிர்க்க விரும்புகிறீர்கள்: என்னிடம் மூன்று ஆப்பிள்கள் இருந்தால், ஒவ்வொன்றும் பாதியாகப் பிரிக்கப்பட்டிருந்தால், நான் 5 பகுதிகளை எடுப்பேன், 2 ஆப்பிள்கள் மற்றும் 1 பாதி அல்ல).

இந்த தலைப்பை சிறிது நேரம் தொடரலாம். மேலும், இது ஏற்கனவே பால் லாக்ஹார்ட்டின் "கணிதவியலாளரின் புலம்பல்" கட்டுரையில் செய்யப்பட்டுள்ளது. இது "யார் குற்றம்" என்பதை நன்றாக காட்டுகிறது. ஆனால் இரண்டாவது முக்கியமான கேள்விக்கு - "என்ன செய்வது" என்ற பதில் கொடுக்கப்படவில்லை.

இந்த கேள்விக்கான பதில் சமீபத்தில் ரஷ்ய மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்ட ஒரு அற்புதமான புத்தகத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. புத்தகம் The Pleasure of x என்று அழைக்கப்படுகிறது.

x இலிருந்து மகிழ்ச்சி

ஆறு வயது குழந்தைக்கு உங்களால் ஏதாவது விளக்க முடியவில்லை என்றால், உங்களுக்கே அது புரியாது.
ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன்

அந்த புத்தகம் இது டெஸ்க்டாப்பாக இருக்க வேண்டும்எந்தவொரு தொழில்நுட்ப பாடத்தின் ஆசிரியருக்கும், அது கணிதம் அல்லது கணினி அறிவியல்.

இந்த மகிழ்ச்சியின் ஆசிரியர், ஸ்டீவன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ், ஒரு உலகத் தரம் வாய்ந்த கணிதவியலாளர், அமெரிக்காவில் உள்ள கார்னெல் பல்கலைக்கழகத்தில் (உலகின் முன்னணி தொழில்நுட்ப பல்கலைக்கழகங்களில் ஒன்று) பயன்பாட்டு கணித ஆசிரியர் ஆவார். மேலும், புத்தகத்தின் மூலம் ஆராயும்போது, இந்த நபர் இரண்டு அற்புதமான குணங்களை இணைத்து இந்த வேலையை சிறந்த விற்பனையாளராக மாற்றினார்: ஸ்டீவன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ் ஒரு நபரில் ஒரு வலுவான கணிதவியலாளர் மற்றும் ஆசிரியர்.

நீங்கள் கற்பிக்க முடியும், ஆனால் பாடத்தை நன்கு அறிய முடியாது. நீங்கள் பாடத்தை நன்கு அறிந்திருக்கலாம், ஆனால் கற்பிக்க முடியாது. நீங்கள் இரண்டையும் செய்ய முடியும், ஆனால் சாதாரணமானது. ஸ்டீபன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ் வேறு வகையைச் சேர்ந்தவர்: அவருக்குத் தெரியும், சரியாகக் கற்பிப்பது எப்படி என்று அவருக்குத் தெரியும்.

இந்தப் புத்தகம் எதைப் பற்றியது? உண்மையில், எப்படியாவது கணிதத்துடன் இணைக்கப்பட்ட அனைத்தையும் பற்றி. முதல் பார்வையில் புத்தகத்தின் பிரிவுகள் குழப்பமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டன (எண்கள், விகிதங்கள், புள்ளிவிவரங்கள், மாற்றங்களின் நேரம், மாறுபட்ட தரவு, எல்லைகள் சாத்தியம்), ஆனால் நீங்கள் படிக்கும்போது, ஆசிரியர் என்ன சொல்ல விரும்புகிறார் என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளத் தொடங்குகிறீர்கள். புத்தகம் ஆராய்ச்சியை அடிப்படையாகக் கொண்டது. வாசகருடன் சேர்ந்து ஆசிரியரால் நடத்தப்பட்ட ஆராய்ச்சி.

பரிசீலனையில் உள்ள பணிகளின் வரம்பு மிகப்பெரியது. எந்தவொரு நபரும், கணிதத்தைப் பற்றிய சிறந்த அறிவு கூட, அதிலிருந்து புதிதாக ஒன்றைக் கற்றுக்கொள்வார். அதே நேரத்தில், அவை கருதப்படுகின்றன நடைமுறை பணிகள்(உதாரணமாக, முதலீடு செய்யப்பட்ட பங்குகளில் கிடைக்கும் வட்டியைக் கணக்கிடுதல் பங்கு சந்தை), மற்றும் முற்றிலும் சுருக்கம்.

பல பணிகள் வரலாற்று பின்னணியில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. நான் இங்கே தனித்தனியாக வாழ விரும்புகிறேன்: இப்போது, கணிதத்தின் வளர்ச்சியின் வரலாறு கிட்டத்தட்ட எல்லா பாடப்புத்தகங்களிலிருந்தும் தூக்கி எறியப்பட்டுள்ளது. இதற்கிடையில், வரலாற்று சூழலைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலம் மட்டுமே, ஒருவர் எல்லா வழிகளிலும் செல்ல முடியும் - இருந்து எளிய எண்கணிதம்நவீன கணிதக் கோட்பாடுகளுக்கு.

உதாரணமாக, இருபடி சமன்பாடுகளைக் கவனியுங்கள். மந்திரத்தை மனப்பாடம் செய்யும் முயற்சியில் மாணவர்களும் ஆசிரியர்களும் எத்தனை கண்ணீர் சிந்தினார்கள்: X ஒன்று-இரண்டு என்பது மைனஸ் பா பிளஸ் அல்லது மைனஸ் ba ஸ்கொயர் மைனஸ் நான்கு a-tse இன் ரூட்டிற்கு சமம் மற்றும் அனைத்தையும் இரண்டால் வகுக்கவும் a.

மூலம், புதிய கணிதத் தரங்களின்படி எழுதும் இந்த முறை இனி சரியாக இருக்காது - தோராயமாக. ஆசிரியர்.

நல்ல நினைவாற்றல் மற்றும் / அல்லது "பொருளில்" உள்ளவர்கள் வியட்டாவின் தேற்றத்தை இன்னும் நினைவில் வைத்திருக்க முடியும். ஆனால் இவை அனைத்திற்கும் பதிலாக, ஸ்டீபன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ் ஒரு நேர்த்தியான விளக்கத்தை அளிக்கிறார், அல்-குவாரிஸ்மி கண்டுபிடித்தார், இதன் உதவியுடன், எந்த சூத்திரமும் இல்லாமல், நீங்கள் எளிதாகவும் இயற்கையாகவும் ஒரு தீர்வைக் காணலாம் (முழுமையற்றதாக இருந்தாலும்: அந்த நாட்களில், எதிர்மறை எண்கள் இன்னும் இல்லை. பரவலாக பயன்படுத்தப்படும்). இந்த முடிவைப் படிக்கும் எவரும் அதை எப்போதும் நினைவில் வைத்திருப்பார்கள் என்று நான் உங்களுக்கு உறுதியளிக்கிறேன். முதல் முறை.

அத்தியாயத்திலிருந்து அத்தியாயத்திற்கு, பணிகளின் சிக்கலானது அதிகரிக்கிறது. ஆனால் புரிதல் இழக்கப்படவில்லை, இது x இன் இன்பத்தைப் படிப்பதன் சிறப்பு இன்பம். ஆசிரியர் தனக்காக உருவாக்கிய வளிமண்டலத்தில், நடைமுறையில், ஒரு துணிச்சலான புதிய உலகில் வாசகர் மூழ்கியிருக்கிறார்.

இந்தப் புத்தகத்தை எதனுடன் ஒப்பிடுவது என்று எனக்குத் தெரியவில்லை. ஒருவேளை இயற்பியல் பற்றிய புகழ்பெற்ற ஃபேமன் விரிவுரைகள் அல்லது "நீங்கள் நகைச்சுவையாக இருக்க வேண்டும், மிஸ்டர் ஃபேமன்". ஆனால் ஒன்று மட்டும் நிச்சயம்: இந்தப் புத்தகம் அதைப் படிப்பவர்களின் உள்ளத்தில் தடம் பதிக்கும்.

கணிதம் மிகவும் துல்லியமானது மற்றும் உலகளாவிய மொழிஅறிவியல், ஆனால் எண்களின் உதவியுடன் மனித உணர்வுகளை விளக்க முடியுமா? காதல் சூத்திரங்கள், குழப்பத்தின் விதைகள் மற்றும் காதல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் - T&P ஒரு புத்தகத்திலிருந்து ஒரு அத்தியாயத்தை வெளியிடுகிறது சிறந்த ஆசிரியர்கள்மான், இவானோவ் மற்றும் ஃபெர்பர் ஆகியோரால் வெளியிடப்பட்ட ஸ்டீவன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ் "தி ப்ளேஷர் ஆஃப் எக்ஸ்" உலகில் கணிதம்.

வசந்த காலத்தில், டென்னிசன் எழுதினார், கற்பனை இளைஞன்எளிதில் காதல் எண்ணங்களுக்கு மாறுகிறது. ஐயோ, ஒரு இளைஞனின் சாத்தியமான பங்குதாரர் காதலைப் பற்றி தனது சொந்த யோசனைகளைக் கொண்டிருக்கலாம், பின்னர் அவர்களின் உறவு கொந்தளிப்பான ஏற்ற தாழ்வுகள் நிறைந்ததாக இருக்கும், அது காதலை மிகவும் உற்சாகமாகவும் மிகவும் வேதனையாகவும் ஆக்குகிறது. கோரப்படாத சில பாதிக்கப்பட்டவர்கள் மதுவில் இந்த காதல் ஊசலாட்டம் பற்றிய விளக்கத்தை தேடுகிறார்கள், மற்றவர்கள் - கவிதைகளில். மற்றும் கணக்கீடுகளுடன் நாங்கள் கலந்தாலோசிப்போம்.

கீழேயுள்ள பகுப்பாய்வு கேலிக்குரிய முரண்பாடாக இருக்கும், ஆனால் அது தீவிரமான கருப்பொருள்களைத் தொடுகிறது. மேலும், அன்பின் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது நம்மைத் தவிர்க்க முடிந்தால், உயிரற்ற உலகின் சட்டங்கள் இப்போது நன்கு படிக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் தற்போதைய மதிப்புகளைப் பொறுத்து, ஒன்றோடொன்று தொடர்புடைய மாறிகள் எவ்வாறு கணத்திலிருந்து கணம் மாறுகின்றன என்பதை விவரிக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் வடிவத்தை அவை எடுக்கின்றன. இத்தகைய சமன்பாடுகள் காதலுடன் அதிகம் தொடர்பு கொள்ளாமல் இருக்கலாம், ஆனால் குறைந்த பட்சம் மற்றொரு கவிஞரின் வார்த்தைகளில், "உண்மையான அன்பின் பாதை ஒருபோதும் சீராக இருந்ததில்லை" என்பதை அவர்கள் வெளிச்சம் போட்டுக் காட்டலாம். வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் முறையை விளக்குவதற்கு, ரோமியோ ஜூலியட்டை நேசிக்கிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் கதையின் எங்கள் பதிப்பில், ஜூலியட் ஒரு காற்றோட்டமான காதலி. ரோமியோ அவளை எவ்வளவு அதிகமாக நேசிக்கிறானோ, அவ்வளவு அதிகமாக அவனிடமிருந்து மறைக்க விரும்புகிறாள். ஆனால் ரோமியோ அவளை நோக்கி குளிர்ந்தவுடன், அவன் வழக்கத்திற்கு மாறாக அவளிடம் கவர்ச்சியாக தோன்றத் தொடங்குகிறான். இருப்பினும், இளம் காதலன் அவளுடைய உணர்வுகளை பிரதிபலிக்க முனைகிறான்: அவள் அவனை நேசிக்கும்போது அவன் ஒளிர்வான், அவள் அவனை வெறுக்கும்போது குளிர்ச்சியடைகிறான்.

நம் துரதிர்ஷ்டவசமான காதலர்களுக்கு என்ன நடக்கும்? காதல் எப்படி அவர்களை உள்வாங்கிக்கொண்டு காலப்போக்கில் அவர்களை விட்டு செல்கிறது? இங்குதான் வேறுபட்ட கால்குலஸ் மீட்புக்கு வருகிறது. ரோமியோ மற்றும் ஜூலியட்டின் உணர்வுகளின் வளர்பிறை மற்றும் குறைவைச் சுருக்கமாக சமன்பாடுகளை உருவாக்கி, பின்னர் அவற்றைத் தீர்ப்பதன் மூலம், தம்பதியரின் உறவின் போக்கை நாம் கணிக்க முடியும். அவளுக்கான இறுதி முன்கணிப்பு காதல் மற்றும் வெறுப்பின் சோகமான முடிவில்லாத சுழற்சியாக இருக்கும். இந்த நேரத்தில் குறைந்தது கால் பகுதியாவது அவர்கள் பரஸ்பர அன்பைக் கொண்டிருப்பார்கள்.

இந்த முடிவுக்கு வர, ரோமியோவின் நடத்தை ஒரு வித்தியாசமான சமன்பாட்டின் மூலம் வடிவமைக்கப்படலாம் என்று நான் கருதினேன்,

அவரது காதல் ® அடுத்த நொடியில் (dt) எப்படி மாறுகிறது என்பதை விவரிக்கிறது. இந்த சமன்பாட்டின் படி, மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை (dR) ஜூலியட்டின் காதலுக்கு (J) நேரடியாக விகிதாசாரமாகும் (ஒரு விகிதாசார காரணி a உடன்). இந்த உறவு நாம் ஏற்கனவே அறிந்ததை பிரதிபலிக்கிறது: ஜூலியட் அவரை நேசிக்கும்போது ரோமியோவின் காதல் அதிகரிக்கிறது, ஆனால் ஜூலியட் அவரை எவ்வளவு நேசிக்கிறார் என்பதற்கு நேரடி விகிதத்தில் ரோமியோவின் காதல் வளர்கிறது. ஒரு நேரியல் உறவின் இந்த அனுமானம் உணர்ச்சி ரீதியாக நம்பமுடியாதது, ஆனால் இது சமன்பாட்டின் தீர்வை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது.

இதற்கு நேர்மாறாக, ஜூலியட்டின் நடத்தை சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வடிவமைக்கப்படலாம்

ரோமியோவின் காதல் தீவிரமடைகையில் அவளது காதல் குளிர்ச்சியடைகிறது என்பதை நிலையான b க்கு முன் இருக்கும் எதிர்மறை அடையாளம் பிரதிபலிக்கிறது.

அவர்களின் ஆரம்ப உணர்வுகளை மட்டுமே தீர்மானிக்க எஞ்சியுள்ளது (அதாவது, R மற்றும் J இன் மதிப்புகள் t = 0). அதன் பிறகு, தேவையான அனைத்து அளவுருக்கள் அமைக்கப்படும். மேலே விவரிக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின்படி R மற்றும் J இன் மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் மெதுவாக முன்னேற கணினியைப் பயன்படுத்தலாம். உண்மையில், ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் அடிப்படை தேற்றத்தின் உதவியுடன், பகுப்பாய்வு ரீதியாக நாம் தீர்வைக் காணலாம். மாதிரி எளிமையானது என்பதால், ரோமியோ ஜூலியட் எதிர்காலத்தில் எந்த நேரத்திலும் ஒருவரையொருவர் எவ்வளவு விரும்புவார்கள் (அல்லது வெறுப்பார்கள்) என்பதைச் சொல்லும் இரண்டு முழுமையான சூத்திரங்களை ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸ் உருவாக்குகிறது.

மேலே வழங்கப்பட்டுள்ள வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் இயற்பியல் மாணவர்களுக்கு நன்கு தெரிந்திருக்க வேண்டும்: ரோமியோ மற்றும் ஜூலியட் எளிமையான ஹார்மோனிக் ஆஸிலேட்டர்களைப் போல நடந்து கொள்கிறார்கள். எனவே, காலப்போக்கில் அவற்றின் உறவில் ஏற்படும் மாற்றத்தை விவரிக்கும் R (t) மற்றும் J (t) செயல்பாடுகள் சைனூசாய்டுகளாக இருக்கும் என்று மாதிரி கணித்துள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றும் அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும், ஆனால் அவற்றின் அதிகபட்ச மதிப்புகள் ஒத்துப்போவதில்லை.

"விளக்க முட்டாள்தனமான யோசனை காதல் உறவுநான் முதல் முறையாக காதலித்தபோது வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் உதவியுடன் என் நினைவுக்கு வந்தது மற்றும் என் காதலியின் புரிந்துகொள்ள முடியாத நடத்தையைப் புரிந்து கொள்ள முயன்றேன்.

மாதிரியை பல வழிகளில் மிகவும் யதார்த்தமாக மாற்றலாம். உதாரணமாக, ரோமியோ ஜூலியட்டின் உணர்வுகளுக்கு மட்டுமல்ல, அவருடைய சொந்த உணர்வுகளுக்கும் பதிலளிக்கலாம். அவர் கைவிடப்படுவார் என்று பயந்தவர்களில் ஒருவராக இருந்தால், அவர் தனது உணர்வுகளை குளிர்விப்பார். அல்லது துன்பப்படுவதை விரும்பும் மற்றொரு வகை தோழர்களைக் குறிக்கிறது - அதனால்தான் அவர் அவளை நேசிக்கிறார்.

இந்தக் காட்சிகளில் ரோமியோவின் மேலும் இரண்டு நடத்தைகளைச் சேர்க்கவும் - ஜூலியட்டின் பாசத்திற்கு அவர் தனது சொந்த பாசத்தை வலுப்படுத்துவதன் மூலம் அல்லது பலவீனப்படுத்துவதன் மூலம் பதிலளிப்பார் - மேலும் காதல் உறவுகளில் நான்கு வெவ்வேறு நடத்தைகள் இருப்பதை நீங்கள் காண்பீர்கள். வொர்செஸ்டர் பாலிடெக்னிக் நிறுவனத்தில் உள்ள எனது மாணவர்களும் பீட்டர் கிறிஸ்டோஃபர் குழுவின் மாணவர்களும் இந்த வகைகளுக்குப் பின்வருமாறு பெயரிட பரிந்துரைத்தனர்: ஜூலியட்டிலிருந்து வெளியேறும் ரோமியோவுக்கு ஹெர்மிட் அல்லது ஈவில் மிசாந்த்ரோப், மற்றும் நாசீசிஸ்டிக் ஃபூல் மற்றும் ஃபிர்டேஷியஸ் ஃபிங்க். அவரது தீவிரம், ஆனால் ஜூலியட்டால் நிராகரிக்கப்பட்டது. (நீங்கள் கொண்டு வரலாம் சரியான பெயர்கள்இந்த அனைத்து வகைகளுக்கும்).

கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் அருமையாக இருந்தாலும், அவற்றை விவரிக்கும் சமன்பாடுகளின் வகைகள் மிகவும் தகவலறிந்தவை. பொருள் உலகத்தைப் புரிந்துகொள்வதற்காக மனிதகுலம் உருவாக்கிய மிக சக்திவாய்ந்த கருவிகள் அவை. சர் ஐசக் நியூட்டன் கோள்களின் இயக்கத்தின் இரகசியங்களைக் கண்டறிய வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தினார். இந்த சமன்பாடுகளின் உதவியுடன், அவர் நில மற்றும் வான கோளங்களை ஒருங்கிணைத்தார், அதே இயக்க விதிகள் இரண்டிற்கும் பொருந்தும்.

நியூட்டனுக்கு 350 ஆண்டுகளுக்குப் பிறகு, இயற்பியல் விதிகள் எப்போதும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் மொழியில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதை மனிதகுலம் புரிந்துகொண்டது. வெப்பம், காற்று மற்றும் நீர் ஓட்டங்களை விவரிக்கும் சமன்பாடுகள், மின்சாரம் மற்றும் காந்தவியல் விதிகளுக்கு, குவாண்டம் இயக்கவியல் ஆட்சி செய்யும் அணுவிற்கும் இது உண்மை.

அனைத்து வழக்குகளில் தத்துவார்த்த இயற்பியல்சரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகளைக் கண்டறிந்து அவற்றைத் தீர்க்க வேண்டும். நியூட்டன் பிரபஞ்சத்தின் மர்மங்களுக்கான இந்தத் திறவுகோலைக் கண்டுபிடித்து அதன் முக்கியத்துவத்தை உணர்ந்தபோது, அவர் அதை லத்தீன் அனகிராம் என்று வெளியிட்டார். ஒரு இலவச மொழிபெயர்ப்பில், இது போல் தெரிகிறது: "வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும்."

காதல் உறவுகளை வித்தியாசமான சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி விவரிக்கும் முட்டாள்தனமான யோசனை, நான் முதல் முறையாக காதலித்தபோது, என் காதலியின் புரிந்துகொள்ள முடியாத நடத்தையைப் புரிந்துகொள்ள முயற்சிக்கும்போது என் மனதில் தோன்றியது. இது இருந்தது கோடை காதல்கல்லூரியின் இரண்டாம் ஆண்டு இறுதியில். முதல் ரோமியோவை நான் மிகவும் நினைவுபடுத்தினேன், அவள் முதல் ஜூலியட். தள்ளுதல் மற்றும் இழுத்தல் என்ற எளிய விதிக்கு இணங்க, நாங்கள் இருவரும் செயலற்ற தன்மையிலிருந்து செயல்படுகிறோம் என்பதை நான் உணரும் வரை எங்கள் உறவின் சுழற்சி இயல்பு என்னைப் பைத்தியமாக்கியது. ஆனால் கோடையின் முடிவில், என் சமன்பாடு வீழ்ச்சியடையத் தொடங்கியது, மேலும் நான் இன்னும் குழப்பமடைந்தேன். அது நடந்தது தெரிய வந்தது குறிப்பிடத்தக்க நிகழ்வு, நான் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவில்லை: அவள் முன்னாள் காதலன்அதை திருப்பி கொடுக்க விரும்பினார்.

கணிதத்தில், அத்தகைய பிரச்சனையை நாம் மூன்று உடல் பிரச்சனை என்று அழைக்கிறோம். இது வெளிப்படையாக தீர்க்க முடியாதது, குறிப்பாக வானியல் சூழலில், அது முதலில் எழுந்தது. நியூட்டன் இரண்டு-உடல் பிரச்சனைக்கான வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்த்த பிறகு (கோள்கள் ஏன் சூரியனைச் சுற்றி நீள்வட்டப் பாதையில் நகர்கின்றன என்பதை இது விளக்குகிறது), அவர் தனது கவனத்தை சூரியன், பூமி மற்றும் சந்திரன் ஆகிய மூன்று உடல் பிரச்சனையில் திருப்பினார். அவராலும் மற்ற விஞ்ஞானிகளாலும் தீர்க்க முடியவில்லை. மூன்று உடல்களின் பிரச்சனை குழப்பத்தின் விதைகளைக் கொண்டுள்ளது என்று பின்னர் மாறியது, அதாவது, நீண்ட காலத்திற்கு, அவர்களின் நடத்தை கணிக்க முடியாதது.

நியூட்டனுக்கு குழப்பத்தின் இயக்கவியல் பற்றி எதுவும் தெரியாது, ஆனால் அவரது நண்பர் எட்மண்ட் ஹாலியின் கூற்றுப்படி, அவர் மூன்று உடல் பிரச்சனை தனக்கு தலைவலியை ஏற்படுத்தியதாகவும், மீண்டும் அதைப் பற்றி யோசிக்காதபடி அடிக்கடி விழித்திருப்பதாகவும் புகார் கூறினார்.

ஐசக், இதோ உங்களுடன் இருக்கிறேன்.

இந்த புத்தகம் நன்கு பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

குவாண்டா

ஸ்காட் பேட்டர்சன்

பிரைனியாக்

கென் ஜென்னிங்ஸ்

பணப்பந்து

மைக்கேல் லூயிஸ்

நெகிழ்வான மனம்

கரோல் டுவெக்

பங்குச் சந்தையின் இயற்பியல்

ஜேம்ஸ் வெதர்ஆல்

என்ற மகிழ்ச்சி எக்ஸ்

ஒன்று முதல் முடிவிலி வரை கணிதம் பற்றிய வழிகாட்டுதல் பயணம்

ஸ்டீபன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ்

இருந்து மகிழ்ச்சி எக்ஸ்

ஒரு வேடிக்கையான பயணம்உலகின் சிறந்த ஆசிரியர்களில் ஒருவரிடமிருந்து கணித உலகில்

வெளியீட்டாளரிடமிருந்து தகவல்

முதல் முறையாக ரஷ்ய மொழியில் வெளியிடப்பட்டது

ஸ்டீவன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ், c/o Brockman, Inc இன் அனுமதியுடன் வெளியிடப்பட்டது.

ஸ்ட்ரோகாட்ஸ், பி.

இருந்து மகிழ்ச்சி எக்ஸ். உலகின் சிறந்த ஆசிரியர்களில் ஒருவரான ஸ்டீபன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸிடமிருந்து கணித உலகில் ஒரு அற்புதமான பயணம்; ஒன்றுக்கு. ஆங்கிலத்தில் இருந்து. - எம்.: மான், இவனோவ் மற்றும் ஃபெர்பர், 2014.

ISBN 978-500057-008-1

இந்த புத்தகம் கணிதம் குறித்த உங்கள் அணுகுமுறையை அடியோடு மாற்ற வல்லது. இது குறுகிய அத்தியாயங்களைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றிலும் நீங்கள் புதிதாக ஒன்றைக் கண்டுபிடிப்பீர்கள். உங்களைச் சுற்றியுள்ள உலகத்தைப் படிக்கவும், வடிவவியலின் அழகைப் புரிந்து கொள்ளவும், ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் நேர்த்தியைப் பற்றி அறிந்து கொள்ளவும், புள்ளிவிவரங்களின் முக்கியத்துவத்தைப் பார்க்கவும் மற்றும் முடிவிலியுடன் தொடர்பு கொள்ளவும் எண்கள் எவ்வளவு பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்வீர்கள். ஆசிரியர் அடிப்படைக் கணிதக் கருத்துக்களை எளிமையாகவும் நேர்த்தியாகவும் விளக்கி, அனைவருக்கும் புரியும் வகையில் அற்புதமான உதாரணங்களைத் தந்துள்ளார்.

அனைத்து உரிமைகளும் பாதுகாக்கப்பட்டவை.

பதிப்புரிமைதாரர்களின் எழுத்துப்பூர்வ அனுமதியின்றி இந்தப் புத்தகத்தின் எந்தப் பகுதியையும் எந்த வடிவத்திலும் மீண்டும் உருவாக்க முடியாது.

பதிப்பகத்தின் சட்ட ஆதரவு சட்ட நிறுவனமான "வேகாஸ்-லெக்ஸ்" மூலம் வழங்கப்படுகிறது.

முன்னுரை

எனக்கு ஒரு நண்பர் இருக்கிறார், அவருடைய வர்த்தகம் இருந்தபோதிலும் (அவர் ஒரு கலைஞர்), அறிவியலில் ஆர்வமுள்ளவர். நாங்கள் ஒன்று கூடும் போதெல்லாம், உளவியல் அல்லது குவாண்டம் இயக்கவியலில் சமீபத்திய முன்னேற்றங்களைப் பற்றி அவர் ஆர்வத்துடன் பேசுகிறார். ஆனால் நாம் கணிதத்தைப் பற்றி பேசும்போது, அவருக்கு முழங்கால்களில் ஒரு நடுக்கம் ஏற்படுகிறது, அது அவரை பெரிதும் வருத்தப்படுத்துகிறது. இந்த விசித்திரமான கணிதக் குறியீடுகள் தன்னை மீறுவது மட்டுமல்லாமல், சில சமயங்களில் அவற்றை எப்படி உச்சரிப்பது என்று கூட அவருக்குத் தெரியாது என்று அவர் புகார் கூறுகிறார்.

மைக்கேல் ஜோர்டானின் ஸ்லாம் டங்க்கள் எவ்வாறு கால்குலஸின் அடிப்படைகளை விளக்க உதவும் என்பதை நாம் அறிந்து கொள்வோம். யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைத் தேற்றம் - பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் புரிந்துகொள்வதற்கான எளிய மற்றும் அற்புதமான வழியைக் காண்பிப்பேன். வாழ்க்கையின் சில பெரிய மற்றும் சிறிய மர்மங்களின் அடிப்பகுதியைப் பெற முயற்சிப்போம்: ஜே சிம்ப்சன் தனது மனைவியைக் கொன்றாரா; மெத்தையை மாற்றுவது எப்படி, அது முடிந்தவரை நீடிக்கும்; ஒரு திருமணத்தை விளையாடுவதற்கு முன் எத்தனை கூட்டாளிகள் மாற்றப்பட வேண்டும் - மேலும் சில முடிவிலிகள் ஏன் மற்றவர்களை விட பெரியவை என்று பார்ப்போம்.

கணிதம் எல்லா இடங்களிலும் உள்ளது, நீங்கள் அதை அடையாளம் காண கற்றுக்கொள்ள வேண்டும். நீங்கள் ஒரு வரிக்குதிரையின் பின்புறத்தில் சைனூசாய்டைக் காணலாம், சுதந்திரப் பிரகடனத்தில் யூக்ளிட்டின் கோட்பாடுகளின் எதிரொலிகளைக் கேட்கலாம்; நான் என்ன சொல்ல முடியும், முதல் உலகப் போருக்கு முந்தைய உலர் அறிக்கைகளில் கூட எதிர்மறை எண்கள் உள்ளன. எப்படி என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம் இன்றைய வாழ்க்கைகணிதத்தின் புதிய கிளைகள் நம்மைப் பாதிக்கின்றன, உதாரணமாக, நாம் ஒரு கணினியின் உதவியுடன் உணவகங்களைத் தேடும்போது அல்லது குறைந்தபட்சம் புரிந்துகொள்ள முயற்சிக்கும் போது, அல்லது இன்னும் சிறப்பாக, பங்குச் சந்தையின் பயமுறுத்தும் ஏற்ற இறக்கங்களைத் தக்கவைக்கிறோம்.

இந்த புத்தகம் நன்கு பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

குவாண்டா

ஸ்காட் பேட்டர்சன்

பிரைனியாக்

கென் ஜென்னிங்ஸ்

பணப்பந்து

மைக்கேல் லூயிஸ்

நெகிழ்வான மனம்

கரோல் டுவெக்

பங்குச் சந்தையின் இயற்பியல்

ஜேம்ஸ் வெதர்ஆல்

என்ற மகிழ்ச்சி எக்ஸ்

ஒன்று முதல் முடிவிலி வரை கணிதம் பற்றிய வழிகாட்டுதல் பயணம்

ஸ்டீபன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ்

இருந்து மகிழ்ச்சி எக்ஸ்

உலகின் சிறந்த ஆசிரியர்களில் ஒருவரிடமிருந்து கணித உலகில் ஒரு அற்புதமான பயணம்

வெளியீட்டாளரிடமிருந்து தகவல்

முதல் முறையாக ரஷ்ய மொழியில் வெளியிடப்பட்டது

ஸ்டீவன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ், c/o Brockman, Inc இன் அனுமதியுடன் வெளியிடப்பட்டது.

ஸ்ட்ரோகாட்ஸ், பி.

ISBN 978-500057-008-1

அனைத்து உரிமைகளும் பாதுகாக்கப்பட்டவை.

முன்னுரை

கணிதம் எல்லா இடங்களிலும் உள்ளது, நீங்கள் அதை அடையாளம் காண கற்றுக்கொள்ள வேண்டும். நீங்கள் ஒரு வரிக்குதிரையின் பின்புறத்தில் சைனூசாய்டைக் காணலாம், சுதந்திரப் பிரகடனத்தில் யூக்ளிட்டின் கோட்பாடுகளின் எதிரொலிகளைக் கேட்கலாம்; நான் என்ன சொல்ல முடியும், முதல் உலகப் போருக்கு முந்தைய உலர் அறிக்கைகளில் கூட எதிர்மறை எண்கள் உள்ளன. கணிதத்தின் புதிய பகுதிகள் இன்று நம் வாழ்க்கையை எவ்வாறு பாதிக்கின்றன என்பதையும் நீங்கள் பார்க்கலாம், உதாரணமாக, நாம் ஒரு கணினியைப் பயன்படுத்தி உணவகங்களைத் தேடும்போது அல்லது குறைந்தபட்சம் புரிந்து கொள்ள முயற்சிக்கும் போது அல்லது இன்னும் சிறப்பாக, பங்குச் சந்தையில் பயமுறுத்தும் ஏற்ற இறக்கங்களைத் தக்கவைத்துக் கொள்ளலாம்.

"கணிதத்தின் அடிப்படைகள்" என்ற பொதுத் தலைப்பின் கீழ் 15 கட்டுரைகளின் தொடர் ஜனவரி 2010 இறுதியில் ஆன்லைனில் வெளிவந்தது. அவர்களின் வெளியீட்டிற்கு பதிலளிக்கும் விதமாக, அனைத்து வயது வாசகர்களிடமிருந்தும் கடிதங்கள் மற்றும் கருத்துகள் கொட்டப்பட்டன, அவர்களில் பல மாணவர்கள் மற்றும் ஆசிரியர்கள் இருந்தனர். ஒரு காரணத்திற்காக அல்லது இன்னொரு காரணத்திற்காக, கணித அறிவியலைப் புரிந்துகொள்வதில் "தங்கள் வழியை இழந்த" வெறுமனே ஆர்வமுள்ள மக்களும் இருந்தனர்; இப்போது அவர்கள் எதையோ தவறவிட்டதாக உணர்கிறார்கள். பற்றிமீண்டும் முயற்சிக்க விரும்புகிறேன். எனது உதவியுடன் அவர்கள் தங்கள் குழந்தைகளுக்கு கணிதத்தை விளக்க முடிந்தது என்பதற்காக எனது பெற்றோரின் நன்றியுணர்வுடன் நான் குறிப்பாக மகிழ்ச்சியடைந்தேன், மேலும் அவர்களே அதை நன்கு புரிந்துகொள்ளத் தொடங்கினர். இந்த அறிவியலின் தீவிர அபிமானிகளான எனது சகாக்களும் தோழர்களும் கூட எனது சந்ததியினரை மேம்படுத்துவதற்கான அனைத்து வகையான பரிந்துரைகளையும் வழங்க ஒருவருக்கொருவர் போட்டியிட்ட தருணங்களைத் தவிர, கட்டுரைகளைப் படித்து மகிழ்ந்ததாகத் தோன்றியது.

பிரபலமான நம்பிக்கை இருந்தபோதிலும், சமூகத்தில் கணிதத்தில் தெளிவான ஆர்வம் உள்ளது, இருப்பினும் இந்த நிகழ்வுக்கு சிறிய கவனம் செலுத்தப்படுகிறது. கணிதத்தின் பயத்தைப் பற்றி மட்டுமே நாம் கேள்விப்படுகிறோம், இன்னும், பலர் அதை நன்றாகப் புரிந்துகொள்ள முயற்சிப்பார்கள். இது நடந்தவுடன், அவற்றைக் கிழிப்பது கடினம்.

இந்த புத்தகம் கணித உலகில் இருந்து மிகவும் சிக்கலான மற்றும் மேம்பட்ட யோசனைகளை உங்களுக்கு அறிமுகப்படுத்தும். அத்தியாயங்கள் சிறியவை, படிக்க எளிதானவை, உண்மையில் ஒன்றையொன்று சார்ந்து இல்லை. அவற்றில் நியூ யார்க் டைம்ஸ் கட்டுரைகளின் முதல் தொடரில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. எனவே நீங்கள் ஒரு சிறிய கணித பசியை உணர்ந்தவுடன், அடுத்த அத்தியாயத்தை எடுக்க தயங்க வேண்டாம். உங்களுக்கு ஆர்வமுள்ள சிக்கலை இன்னும் விரிவாகப் புரிந்து கொள்ள விரும்பினால், புத்தகத்தின் முடிவில் குறிப்புகள் உள்ளன கூடுதல் தகவல்மற்றும் அதைப் பற்றி வேறு என்ன படிக்க வேண்டும் என்பதற்கான பரிந்துரைகள்.

படிப்படியான அணுகுமுறையை விரும்பும் வாசகர்களின் வசதிக்காக, தலைப்புகளின் பாரம்பரிய வரிசைக்கு ஏற்ப விஷயங்களை ஆறு பகுதிகளாகப் பிரித்துள்ளேன்.

பகுதி I "எண்கள்" எண்கணிதத்துடன் நமது பயணத்தைத் தொடங்குகிறது மழலையர் பள்ளிமற்றும் ஆரம்ப பள்ளி. எண்கள் எவ்வளவு பயனுள்ளதாக இருக்கும் மற்றும் நம்மைச் சுற்றியுள்ள உலகத்தை விவரிப்பதில் அவை எவ்வாறு மாயமாக செயல்படுகின்றன என்பதை இது காட்டுகிறது.

பகுதி II "விகிதங்கள்" எண்களில் இருந்து அவற்றுக்கிடையேயான உறவுகளுக்கு கவனத்தை மாற்றுகிறது. இந்த யோசனைகள் இயற்கணிதத்தின் மையத்தில் உள்ளன மற்றும் ஒன்று மற்றொன்றை எவ்வாறு பாதிக்கிறது என்பதை விவரிக்கும் முதல் கருவியாகும், பல்வேறு விஷயங்களின் காரண உறவைக் காட்டுகிறது: வழங்கல் மற்றும் தேவை, தூண்டுதல் மற்றும் எதிர்வினை - சுருக்கமாக, உலகத்தை உருவாக்கும் அனைத்து வகையான உறவுகளும். மிகவும் மாறுபட்ட மற்றும் பணக்கார..

பகுதி III "புள்ளிவிவரங்கள்" என்பது எண்கள் மற்றும் சின்னங்களைப் பற்றியது அல்ல, ஆனால் புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் இடம் பற்றியது - வடிவியல் மற்றும் முக்கோணவியல் களம். இந்த தலைப்புகள், படிவங்கள் மூலம் காணக்கூடிய அனைத்து பொருட்களின் விளக்கத்துடன், தர்க்கரீதியான பகுத்தறிவு மற்றும் ஆதாரத்தின் உதவியுடன், கணிதத்தை உயர்த்துகிறது புதிய நிலைதுல்லியம்.

பகுதி IV "மாற்றத்தின் நேரம்" இல் நாம் கால்குலஸைப் பார்ப்போம் - கணிதத்தின் மிகவும் ஈர்க்கக்கூடிய மற்றும் பன்முகப் பகுதி. கால்குலஸ் கிரகங்களின் பாதை, அலைகளின் சுழற்சிகளை கணிக்க உதவுகிறது, மேலும் பிரபஞ்சத்திலும் நமக்குள்ளும் அவ்வப்போது மாறும் செயல்முறைகள் மற்றும் நிகழ்வுகளைப் புரிந்துகொள்வதையும் விவரிக்கவும் உதவுகிறது. இந்த பகுதியில் ஒரு முக்கியமான இடம் முடிவிலியின் ஆய்வுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் அமைதியானது கணக்கீடுகளை வேலை செய்ய அனுமதித்த ஒரு திருப்புமுனையாகும். கம்ப்யூட்டிங் பண்டைய உலகில் எழுந்த பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவியது, இது இறுதியில் அறிவியல் மற்றும் நவீன உலகில் ஒரு புரட்சிக்கு வழிவகுத்தது.

பகுதி V "தரவின் பல முகங்கள்" நிகழ்தகவு, புள்ளிவிவரங்கள், நெட்வொர்க்குகள் மற்றும் தரவு செயலாக்கம் ஆகியவற்றைக் கையாள்கிறது - இவை இன்னும் ஒப்பீட்டளவில் இளம் துறைகள், வாய்ப்பு மற்றும் அதிர்ஷ்டம், நிச்சயமற்ற தன்மை, ஆபத்து, நிலையற்ற தன்மை, சீரற்ற தன்மை போன்ற நம் வாழ்வின் எப்போதும் கட்டளையிடப்படாத அம்சங்களால் உருவாக்கப்படுகின்றன. , ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்திருத்தல். சரியான கணிதக் கருவிகள் மற்றும் சரியான தரவு வகைகளைப் பயன்படுத்தி, சீரற்ற தன்மையில் வடிவங்களைக் கண்டறிவது எப்படி என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

எங்கள் பயணத்தின் முடிவில், பகுதி VI "சாத்தியமான வரம்புகள்" இல், கணித அறிவின் வரம்புகளை அணுகுவோம், ஏற்கனவே அறிந்தவற்றிற்கும் இன்னும் மழுப்பலாகவும் அறியப்படாதவற்றிற்கும் இடையே உள்ள எல்லைப் பகுதி. நாம் ஏற்கனவே அறிந்த வரிசையில் தலைப்புகள் மூலம் மீண்டும் செல்வோம்: எண்கள், விகிதங்கள், வடிவங்கள், மாற்றங்கள் மற்றும் முடிவிலி - ஆனால் அதே நேரத்தில் அவை ஒவ்வொன்றையும் இன்னும் ஆழமாக, அதன் நவீன அவதாரத்தில் கருத்தில் கொள்வோம்.