Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Panimula

Ang teoretikal na mekanika ay isa sa pinakamahalagang pangunahing pangkalahatang siyentipikong disiplina. Naglalaro siya malaki ang bahagi sa pagsasanay ng mga inhinyero ng anumang espesyalisasyon. Ang mga pangkalahatang disiplina sa engineering ay batay sa mga resulta ng teoretikal na mekanika: lakas ng mga materyales, mga bahagi ng makina, teorya ng mga mekanismo at makina, at iba pa.

Ang pangunahing gawain ng teoretikal na mekanika ay ang pag-aaral ng paggalaw ng mga materyal na katawan sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersa. Ang isang mahalagang partikular na gawain ay ang pag-aaral ng ekwilibriyo ng mga katawan sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersa.

Kurso ng lecture. Teoretikal na mekanika

Ang istraktura ng teoretikal na mekanika. Mga pangunahing kaalaman sa statics

Mga kondisyon ng ekwilibriyo para sa isang arbitraryong sistema ng pwersa.

Mga equation ng equilibrium para sa isang matibay na katawan.

Flat na sistema ng pwersa.

Mga espesyal na kaso ng matibay na balanse ng katawan.

Problema sa balanse para sa isang sinag.

Pagpapasiya ng mga panloob na puwersa sa mga istruktura ng baras.

Mga pangunahing kaalaman ng point kinematics.

Mga likas na coordinate.

formula ni Euler.

Pamamahagi ng mga acceleration ng mga punto ng isang matibay na katawan.

Mga paggalaw ng pagsasalin at pag-ikot.

Plane-parallel na paggalaw.

Kumplikadong paggalaw ng punto.

Mga pangunahing kaalaman ng point dynamics.

Differential equation ng paggalaw ng isang punto.

Mga partikular na uri ng mga patlang ng puwersa.

Mga batayan ng dinamika ng isang sistema ng mga puntos.

Pangkalahatang theorems sa dynamics ng isang sistema ng mga puntos.

Dynamics ng rotational motion ng isang katawan.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurso ng teoretikal na mekanika. M., Mas Mataas na Paaralan, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Kurso ng theoretical mechanics, bahagi 1 at 2. M., Higher School, 1971.

Petkevich V.V. Teoretikal na mekanika. M., Nauka, 1981.

Koleksyon ng mga gawain para sa coursework sa teoretikal na mekanika. Ed. A.A. Yablonsky. M., Mas Mataas na Paaralan, 1985.

Lektura 1. Ang istraktura ng teoretikal na mekanika. Mga pangunahing kaalaman sa statics

SA teoretikal na mekanika Ang paggalaw ng mga katawan na may kaugnayan sa ibang mga katawan, na mga pisikal na sistema ng sanggunian, ay pinag-aaralan.

Ang mga mekanika ay nagbibigay-daan hindi lamang upang ilarawan, kundi pati na rin upang mahulaan ang paggalaw ng mga katawan, na nagtatatag ng mga ugnayang sanhi sa isang tiyak, napakalawak na hanay ng mga phenomena.

Mga pangunahing abstract na modelo ng mga totoong katawan:

materyal na punto - may masa, ngunit walang sukat;

ganap na matigas na katawan – isang dami ng may hangganang sukat, ganap na puno ng isang sangkap, at ang mga distansya sa pagitan ng alinmang dalawang punto ng daluyan na pumupuno sa volume ay hindi nagbabago sa panahon ng paggalaw;

tuloy-tuloy na deformable medium – pinupuno ang isang may hangganang dami o walang limitasyong espasyo; ang mga distansya sa pagitan ng mga punto sa naturang medium ay maaaring mag-iba.

Sa mga ito, ang mga system:

Sistema ng mga libreng materyal na puntos;

Mga konektadong sistema;

Isang ganap na solidong katawan na may isang lukab na puno ng likido, atbp.

"Degenerate" mga modelo:

Walang katapusang manipis na mga tungkod;

Walang katapusang manipis na mga plato;

Mga walang timbang na pamalo at sinulid na nagkokonekta sa mga punto ng materyal, atbp.

Mula sa karanasan: ang mga mekanikal na phenomena ay nangyayari sa iba't ibang lugar ng pisikal na reference system. Ang property na ito ay ang heterogeneity ng espasyo, na tinutukoy ng physical reference system. Dito, ang heterogeneity ay nauunawaan bilang ang pag-asa ng likas na katangian ng paglitaw ng isang kababalaghan sa lugar kung saan natin naobserbahan ang phenomenon na ito.

Ang isa pang pag-aari ay anisotropy (non-isotropy), ang paggalaw ng isang katawan na may kaugnayan sa isang pisikal na sistema ng sanggunian ay maaaring mag-iba depende sa direksyon. Mga halimbawa: daloy ng ilog sa kahabaan ng meridian (mula hilaga hanggang timog - Volga); paglipad ng projectile, Foucault pendulum.

Ang mga katangian ng reference system (inhomogeneity at anisotropy) ay nagpapahirap sa pag-obserba ng paggalaw ng isang katawan.

Praktikal libre mula dito - geocentric system: ang sentro ng system ay nasa gitna ng Earth at ang system ay hindi umiikot na may kaugnayan sa "fixed" na mga bituin). Ang geocentric system ay maginhawa para sa pagkalkula ng mga paggalaw sa Earth.

Para sa celestial mechanics(para sa mga katawan ng solar system): heliocentric frame of reference, na gumagalaw sa gitna ng masa solar system at hindi umiikot na may kaugnayan sa "nakapirming" mga bituin. Para sa sistemang ito hindi pa natuklasan heterogeneity at anisotropy ng espasyo

kaugnay ng mga mekanikal na phenomena.

Kaya, ipinakilala ang abstract inertial frame of reference kung saan ang espasyo ay homogenous at isotropic kaugnay ng mga mekanikal na phenomena.

Inertial reference frame- isa na ang sariling galaw ay hindi matukoy ng anumang mekanikal na eksperimento. Eksperimento sa pag-iisip: "isang puntong nag-iisa sa buong mundo" (nakahiwalay) ay alinman sa pahinga o gumagalaw sa isang tuwid na linya at pare-pareho.

Ang lahat ng reference system na gumagalaw na may kaugnayan sa orihinal na rectilinearly at pare-pareho ay magiging inertial. Pinapayagan nito ang pagpapakilala ng isang pinag-isang Cartesian coordinate system. Ang nasabing espasyo ay tinatawag Euclidean.

Maginoo na kasunduan - kunin ang tamang sistema ng coordinate (Larawan 1).

SA oras– sa klasikal (di-relativistikong) mekanika ganap, pareho para sa lahat ng mga sistema ng sanggunian, iyon ay, ang paunang sandali ay arbitrary. Sa kaibahan sa relativistic mechanics, kung saan inilalapat ang prinsipyo ng relativity.

Ang estado ng paggalaw ng system sa oras na t ay tinutukoy ng mga coordinate at bilis ng mga punto sa sandaling ito.

Ang mga tunay na katawan ay nakikipag-ugnayan at lumitaw ang mga puwersa na nagbabago sa estado ng paggalaw ng system. Ito ang kakanyahan ng theoretical mechanics.

Paano pinag-aaralan ang teoretikal na mekanika?

Ang doktrina ng ekwilibriyo ng isang hanay ng mga katawan ng isang tiyak na frame ng sanggunian - seksyon statics.

Kabanata kinematika: bahagi ng mekanika kung saan pinag-aaralan ang mga dependency sa pagitan ng mga dami na nagpapakilala sa estado ng paggalaw ng mga sistema, ngunit hindi isinasaalang-alang ang mga dahilan na nagdudulot ng pagbabago sa estado ng paggalaw.

Pagkatapos nito, isasaalang-alang natin ang impluwensya ng pwersa [MAIN PART].

Kabanata dynamics: bahagi ng mekanika na tumatalakay sa impluwensya ng mga puwersa sa estado ng paggalaw ng mga sistema ng mga materyal na bagay.

Mga prinsipyo para sa pagbuo ng pangunahing kurso - dinamika:

1) batay sa isang sistema ng mga axiom (batay sa karanasan, mga obserbasyon);

Patuloy - walang awa na kontrol sa pagsasanay. Tanda ng eksaktong agham – pagkakaroon ng panloob na lohika (kung wala ito - isang hanay ng mga hindi nauugnay na mga recipe)!

Static ay tinatawag na bahagi ng mekanika kung saan pinag-aaralan ang mga kundisyon na dapat matugunan ng mga puwersang kumikilos sa isang sistema ng mga materyal na punto upang ang sistema ay nasa ekwilibriyo, at ang mga kundisyon para sa pagkakapantay-pantay ng mga sistema ng pwersa.

Ang mga problema sa ekwilibriyo sa elementarya ay isasaalang-alang gamit ang mga eksklusibong geometric na pamamaraan batay sa mga katangian ng mga vector. Ang pamamaraang ito ay ginagamit sa geometric statics(sa kaibahan sa analytical statics, na hindi isinasaalang-alang dito).

Ang mga posisyon ng iba't ibang materyal na katawan ay maiuugnay sa sistema ng coordinate, na gagawin natin bilang nakatigil.

Mga ideal na modelo ng materyal na katawan:

1) materyal na punto - isang geometric na punto na may masa.

2) ang isang ganap na matibay na katawan ay isang koleksyon ng mga materyal na puntos, ang mga distansya sa pagitan ng kung saan ay hindi mababago ng anumang mga aksyon.

Sa pamamagitan ng pwersa tatawagan natin mga layuning dahilan, na resulta ng pakikipag-ugnayan ng mga materyal na bagay, na may kakayahang magdulot ng paggalaw ng mga katawan mula sa isang estado ng pahinga o pagbabago ng umiiral na paggalaw ng huli.

Dahil ang puwersa ay tinutukoy ng kilusang dulot nito, mayroon din itong kamag-anak na katangian, depende sa pagpili ng sistema ng sanggunian.

Ang tanong ng kalikasan ng mga puwersa ay isinasaalang-alang sa pisika.

Ang isang sistema ng mga materyal na punto ay nasa ekwilibriyo kung, sa pamamahinga, hindi ito tumatanggap ng anumang paggalaw mula sa mga puwersang kumikilos dito.

Mula sa pang-araw-araw na karanasan: ang mga puwersa ay may likas na vector, iyon ay, magnitude, direksyon, linya ng pagkilos, punto ng aplikasyon. Ang kondisyon para sa balanse ng mga puwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan ay nabawasan sa mga katangian ng mga sistema ng vector.

Sa pagbubuod ng karanasan sa pag-aaral ng mga pisikal na batas ng kalikasan, sina Galileo at Newton ay bumalangkas ng mga pangunahing batas ng mekanika, na maaaring ituring bilang mga axiom ng mekanika, dahil mayroon silang ay batay sa mga eksperimentong katotohanan.

Axiom 1. Ang pagkilos ng ilang pwersa sa isang punto ng isang matibay na katawan ay katumbas ng pagkilos ng isa resultang puwersa itinayo ayon sa panuntunan ng pagdaragdag ng vector (Larawan 2).

Bunga. Ang mga puwersa na inilapat sa isang punto sa isang matibay na katawan ay nagdaragdag ayon sa panuntunan ng paralelogram.

Axiom 2. Dalawang puwersa ang inilapat sa isang matibay na katawan kapwa balanse kung at kung sila ay magkapareho sa laki, nakadirekta sa magkasalungat na direksyon at nakahiga sa parehong tuwid na linya.

Axiom 3. Ang pagkilos ng isang sistema ng pwersa sa isang matibay na katawan ay hindi magbabago kung idagdag sa system na ito o itapon mula dito dalawang puwersa na magkapareho ang magnitude, nakadirekta sa magkasalungat na direksyon at nakahiga sa parehong tuwid na linya.

Bunga. Ang puwersa na kumikilos sa isang punto ng isang matibay na katawan ay maaaring ilipat sa linya ng pagkilos ng puwersa nang hindi binabago ang balanse (iyon ay, ang puwersa ay isang sliding vector, Fig. 3)

1) Aktibo - lumikha o may kakayahang lumikha ng paggalaw ng isang matibay na katawan. Halimbawa, lakas ng timbang.

2) Passive - huwag lumikha ng paggalaw, ngunit limitahan ang paggalaw ng isang solidong katawan, na pumipigil sa paggalaw. Halimbawa, ang puwersa ng pag-igting ng isang hindi nababagong thread (Larawan 4).

Axiom 4. Ang pagkilos ng isang katawan sa isang segundo ay katumbas at kabaligtaran sa pagkilos ng pangalawang katawan na ito sa una ( kilos ay katumbas ng reaksyon).

Tatawagin natin ang mga geometric na kondisyon na naglilimita sa paggalaw ng mga puntos mga koneksyon.

Mga tuntunin ng komunikasyon: halimbawa,

- baras ng hindi direktang haba l.

- nababaluktot na hindi nababanat na sinulid na may haba l.

Ang mga puwersang dulot ng mga koneksyon at pagpigil sa paggalaw ay tinatawag pwersa ng mga reaksyon.

Axiom 5. Ang mga koneksyon na ipinataw sa isang sistema ng mga materyal na punto ay maaaring mapalitan ng mga puwersa ng reaksyon, na ang pagkilos ay katumbas ng pagkilos ng mga koneksyon.

Kapag hindi mabalanse ng mga passive force ang pagkilos ng mga aktibong pwersa, magsisimula ang paggalaw.

Dalawang partikular na problema ng statics

1. Sistema ng nagtatagpong pwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan

Isang sistema ng nagtatagpong pwersa Ito ay tinatawag na isang sistema ng mga puwersa na ang mga linya ng aksyon ay nagsalubong sa isang punto, na maaaring palaging kunin bilang pinagmulan ng mga coordinate (Larawan 5).

Mga projection ng resulta:

;

;

.

Kung , kung gayon ang puwersa ay nagiging sanhi ng paggalaw ng matibay na katawan.

Kondisyon ng ekwilibriyo para sa nagtatagpong sistema ng mga puwersa:

2. Balanse ng tatlong pwersa

Kung ang tatlong pwersa ay kumilos sa isang matibay na katawan, at ang mga linya ng pagkilos ng dalawang pwersa ay nagsalubong sa isang punto A, ang ekwilibriyo ay posible kung at kung ang linya ng pagkilos ng ikatlong puwersa ay dumaan din sa punto A, at ang puwersa mismo ay katumbas ng magnitude at kabaligtaran ng direksyon sa kabuuan (Larawan 6).

Mga halimbawa:

Sandali ng puwersa tungkol sa punto O tukuyin natin ito bilang isang vector, sa laki katumbas ng dalawang beses ang lugar ng isang tatsulok, ang base nito ay ang force vector na may vertex sa isang naibigay na punto O; direksyon– orthogonal sa eroplano ng tatsulok na pinag-uusapan sa direksyon kung saan nakikita ang pag-ikot na ginawa ng puwersa sa paligid ng punto O. counterclockwise. ay ang sandali ng sliding vector at ay libreng vector(Larawan.9).

Kaya: o

,

saan ;;.

Kung saan ang F ay ang modulus ng puwersa, ang h ay ang balikat (ang distansya mula sa punto hanggang sa direksyon ng puwersa).

Sandali ng puwersa tungkol sa axis ay ang algebraic na halaga ng projection papunta sa axis na ito ng vector ng moment of force na nauugnay sa isang arbitrary point O na kinuha sa axis (Larawan 10).

Ito ay isang scalar na independyente sa pagpili ng punto. Talaga, palawakin natin :|| at sa eroplano.

Tungkol sa mga sandali: hayaan ang O 1 na maging punto ng intersection sa eroplano. Pagkatapos:

a) mula sa - sandali => projection = 0.

b) mula sa - sandali kasama => ay isang projection.

Kaya, Ang sandali tungkol sa isang axis ay ang sandali ng bahagi ng puwersa sa isang eroplano na patayo sa axis na may kaugnayan sa punto ng intersection ng eroplano at ng axis.

Varignon's theorem para sa isang sistema ng nagtatagpong pwersa:

Sandali ng resultang puwersa para sa isang sistema ng nagtatagpong pwersa kamag-anak sa isang di-makatwirang punto A ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng lahat ng pwersa ng sangkap na nauugnay sa parehong punto A (Larawan 11).

Patunay sa teorya ng convergent vectors.

Paliwanag: pagdaragdag ng mga puwersa ayon sa tuntunin ng paralelogram => ang nagresultang puwersa ay nagbibigay ng kabuuang sandali.

Mga tanong sa pagkontrol:

1. Pangalanan ang mga pangunahing modelo ng mga tunay na katawan sa theoretical mechanics.

2. Bumuo ng mga axiom ng statics.

3. Ano ang tinatawag na sandali ng puwersa tungkol sa isang punto?

Lektura 2. Mga kondisyon ng ekwilibriyo para sa isang arbitraryong sistema ng pwersa

Mula sa mga pangunahing axiom ng statics, ang mga elementarya na operasyon sa mga puwersa ay sumusunod:

1) ang puwersa ay maaaring ilipat sa linya ng aksyon;

2) mga puwersa na ang mga linya ng aksyon ay bumalandra ay maaaring idagdag ayon sa parallelogram rule (ayon sa panuntunan ng vector karagdagan);

3) sa sistema ng mga puwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan, maaari kang palaging magdagdag ng dalawang puwersa, pantay sa magnitude, na nakahiga sa parehong tuwid na linya at nakadirekta sa magkasalungat na direksyon.

Ang mga pagpapatakbo sa elementarya ay hindi nagbabago sa mekanikal na estado ng system.

Tawagin natin ang dalawang sistema ng pwersa katumbas, kung ang isa mula sa isa ay maaaring makuha gamit ang elementarya na operasyon (tulad ng sa teorya ng sliding vectors).

Ang isang sistema ng dalawang magkatulad na puwersa, na katumbas ng magnitude at nakadirekta sa magkasalungat na direksyon, ay tinatawag na isang pares ng pwersa(Larawan 12).

Sandali ng ilang pwersa- isang vector na katumbas ng laki sa lugar ng parallelogram na binuo sa mga vectors ng pares, at nakadirekta nang orthogonally sa eroplano ng pares sa direksyon kung saan ang pag-ikot na ibinibigay ng mga vector ng pares ay nakikitang nangyayari counterclockwise .

, iyon ay, ang sandali ng puwersa na nauugnay sa punto B.

Ang isang pares ng mga puwersa ay ganap na nailalarawan sa pamamagitan ng sandali nito.

Ang isang pares ng pwersa ay maaaring ilipat sa pamamagitan ng elementarya na mga operasyon sa anumang eroplanong parallel sa eroplano ng pares; baguhin ang magnitude ng mga puwersa ng pares sa kabaligtaran na proporsyon sa mga balikat ng pares.

Ang mga pares ng pwersa ay maaaring idagdag, at ang mga sandali ng mga pares ng pwersa ay idinagdag ayon sa tuntunin ng pagdaragdag ng (libre) na mga vector.

Ang pagdadala ng isang sistema ng mga puwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan sa isang arbitrary na punto (sentro ng pagbabawas)- nangangahulugan ng pagpapalit ng kasalukuyang sistema ng isang mas simple: isang sistema ng tatlong pwersa, ang isa ay dumadaan sa isang paunang natukoy na punto, at ang iba pang dalawa ay kumakatawan sa isang pares.

Maaari itong mapatunayan gamit ang elementarya na operasyon (Larawan 13).

Isang sistema ng nagtatagpong pwersa at isang sistema ng mga pares ng pwersa.

- resultang puwersa.

Nagreresultang pares.

Iyon ang kailangang ipakita.

Dalawang sistema ng pwersa kalooban katumbas kung at kung ang parehong mga sistema ay nabawasan sa isang resultang puwersa at isang resultang pares, iyon ay, kapag ang mga kondisyon ay natutugunan:

Pangkalahatang kaso ng equilibrium ng isang sistema ng mga puwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan

Bawasan natin ang sistema ng pwersa sa (Fig. 14):

Nagresultang puwersa sa pamamagitan ng pinagmulan;

Ang resultang pares, bukod dito, sa pamamagitan ng punto O.

Iyon ay, humantong sila sa at - dalawang puwersa, ang isa ay dumaan sa isang naibigay na punto O.

Ekwilibriyo, kung ang dalawa sa parehong tuwid na linya ay magkapantay at magkasalungat sa direksyon (axiom 2).

Pagkatapos ay dumadaan ito sa punto O, iyon ay.

Kaya, pangkalahatang kondisyon para sa ekwilibriyo ng isang solidong katawan:

Ang mga kundisyong ito ay may bisa para sa isang arbitrary na punto sa espasyo.

Mga tanong sa pagkontrol:

1. Ilista ang mga pangunahing operasyon sa mga pwersa.

2. Anong mga sistema ng pwersa ang tinatawag na katumbas?

3. Isulat ang mga pangkalahatang kondisyon para sa ekwilibriyo ng isang matibay na katawan.

Lektura 3. Mga equation ng equilibrium para sa isang matibay na katawan

Hayaan ang O ang pinagmulan ng mga coordinate; – resultang puwersa; – sandali ng resultang pares. Hayaang ang point O1 ang bagong sentro ng pagbabawas (Larawan 15).

Bagong sistema ng kuryente:

Kapag nagbago ang reduction point, => nagbabago lang (sa isang direksyon na may isang sign, sa kabilang direksyon na may isa pa). Iyon ang punto: magkatugma ang mga linya

Analytical: (colinearity ng mga vectors)

; mga coordinate ng point O1.

Ito ang equation ng isang tuwid na linya, para sa lahat ng mga punto kung saan ang direksyon ng nagresultang vector ay tumutugma sa direksyon ng sandali ng nagresultang pares - ang tuwid na linya ay tinatawag dinamo.

Kung ang dynamism => sa axis, kung gayon ang sistema ay katumbas ng isang resultang puwersa, na tinatawag na resultang puwersa ng sistema. At the same time, palagi, ganun.

Apat na kaso ng pagdadala ng pwersa:

1.);- dinamismo.

2.) ;- resulta.

3.);- pares.

4.);- balanse.

Dalawang vector equilibrium equation: ang pangunahing vector at ang pangunahing sandali ay katumbas ng zero,.

O anim na scalar equation sa mga projection sa Cartesian coordinate axes:

dito:

Ang pagiging kumplikado ng uri ng mga equation ay nakasalalay sa pagpili ng punto ng pagbabawas => ang kasanayan ng calculator.

Paghahanap ng mga kondisyon ng ekwilibriyo para sa isang sistema ng mga solidong katawan sa pakikipag-ugnayan<=>ang problema ng balanse ng bawat katawan nang hiwalay, at ang katawan ay kumikilos sa pamamagitan ng mga panlabas na pwersa at panloob na pwersa (ang pakikipag-ugnayan ng mga katawan sa mga punto ng pakikipag-ugnay na may pantay at magkasalungat na direksyon na pwersa - axiom IV, Fig. 17).

Pumili tayo para sa lahat ng katawan ng system isang adduction center. Pagkatapos para sa bawat katawan na may numero ng kondisyon ng balanse:

, , (= 1, 2, …, k)

kung saan , ay ang nagresultang puwersa at sandali ng nagresultang pares ng lahat ng pwersa, maliban sa mga panloob na reaksyon.

Ang nagresultang puwersa at sandali ng nagresultang pares ng mga puwersa ng mga panloob na reaksyon.

Pormal na nagsusuma at isinasaalang-alang ang IV axiom

nakukuha namin mga kinakailangang kondisyon para sa balanse ng isang solidong katawan:

,

Halimbawa.

Ekwilibriyo: = ?

Mga tanong sa pagkontrol:

1. Pangalanan ang lahat ng kaso ng pagdadala ng isang sistema ng pwersa sa isang punto.

2. Ano ang dinamismo?

3. Bumuo ng mga kinakailangang kondisyon para sa ekwilibriyo ng isang sistema ng mga solidong katawan.

Lektura 4. Sistema ng flat force

Isang espesyal na kaso ng pangkalahatang paghahatid ng problema.

Hayaang ang lahat ng kumikilos na pwersa ay nasa parehong eroplano - halimbawa, isang sheet. Piliin natin ang punto O bilang sentro ng pagbabawas - sa parehong eroplano. Nakukuha namin ang nagresultang puwersa at ang nagresultang singaw sa parehong eroplano, iyon ay (Fig. 19)

Magkomento.

Ang sistema ay maaaring mabawasan sa isang resultang puwersa.

Mga kondisyon ng balanse:

o scalar:

Napakakaraniwan sa mga aplikasyon tulad ng lakas ng mga materyales.

Halimbawa.

Sa alitan ng bola sa board at sa eroplano. Kondisyon ng ekwilibriyo: = ?

Ang problema ng ekwilibriyo ng isang di-libreng matibay na katawan.

Ang isang matibay na katawan na ang paggalaw ay pinipigilan ng mga bono ay tinatawag na hindi malaya. Halimbawa, iba pang mga katawan, hinged fastenings.

Kapag tinutukoy ang mga kondisyon ng ekwilibriyo: ang isang di-libreng katawan ay maaaring ituring na libre, na pinapalitan ang mga bono ng hindi kilalang mga puwersa ng reaksyon.

Halimbawa.

Mga tanong sa pagkontrol:

1. Ano ang tinatawag na plane system of forces?

2. Isulat ang mga kondisyon ng ekwilibriyo para sa sistema ng mga puwersa ng eroplano.

3. Aling solidong katawan ang tinatawag na di-malaya?

Lektura 5. Mga espesyal na kaso ng matibay na balanse ng katawan

Teorama. Tatlong pwersa ang nagbabalanse sa isang matibay na katawan kung lahat sila ay nasa iisang eroplano.

Patunay.

Pumili tayo ng isang punto sa linya ng pagkilos ng ikatlong puwersa bilang punto ng pagbabawas. Pagkatapos (Larawan 22)

Iyon ay, ang mga eroplano na S1 at S2 ay nag-tutugma, at para sa anumang punto sa axis ng puwersa, atbp. (Mas simple: sa eroplano doon lamang para sa pagbabalanse).

Bilang bahagi ng anumang kursong pang-edukasyon, ang pag-aaral ng pisika ay nagsisimula sa mekanika. Hindi mula sa teoretikal, hindi mula sa inilapat o computational, ngunit mula sa mahusay na lumang klasikal na mekanika. Ang mechanics na ito ay tinatawag ding Newtonian mechanics. Ayon sa alamat, ang isang siyentipiko ay naglalakad sa hardin at nakakita ng isang mansanas na nahuhulog, at ito ang kababalaghan na nag-udyok sa kanya upang matuklasan ang batas ng unibersal na grabitasyon. Siyempre, ang batas ay palaging umiiral, at binigyan lamang ito ni Newton ng isang form na naiintindihan ng mga tao, ngunit ang kanyang merito ay hindi mabibili ng salapi. Sa artikulong ito hindi namin ilalarawan ang mga batas ng Newtonian mechanics sa mas maraming detalye hangga't maaari, ngunit ilalarawan namin ang mga pangunahing kaalaman, pangunahing kaalaman, mga kahulugan at mga formula na palaging maaaring i-play sa iyong mga kamay.

Ang mekanika ay isang sangay ng pisika, isang agham na nag-aaral sa paggalaw ng mga materyal na katawan at ang mga pakikipag-ugnayan sa pagitan nila.

Ang salita mismo ay mayroon Pinagmulan ng Greek at isinalin bilang "ang sining ng paggawa ng mga makina." Ngunit bago tayo bumuo ng mga makina, tayo ay katulad pa rin ng Buwan, kaya't sundan natin ang mga yapak ng ating mga ninuno at pag-aralan ang paggalaw ng mga batong ibinabato sa isang anggulo hanggang sa abot-tanaw, at mga mansanas na nahuhulog sa ating mga ulo mula sa taas h.

Bakit nagsisimula ang pag-aaral ng pisika sa mechanics? Dahil ito ay ganap na natural, hindi ba tayo dapat magsimula sa thermodynamic equilibrium?!

Ang mekanika ay isa sa mga pinakalumang agham, at sa kasaysayan ang pag-aaral ng pisika ay nagsimula nang tumpak sa mga pundasyon ng mekanika. Inilagay sa loob ng balangkas ng oras at espasyo, ang mga tao, sa katunayan, ay hindi maaaring magsimula sa ibang bagay, gaano man nila gusto. Ang mga gumagalaw na katawan ang una nating binibigyang pansin.

Ano ang paggalaw?

Ang mekanikal na paggalaw ay isang pagbabago sa posisyon ng mga katawan sa espasyo na may kaugnayan sa bawat isa sa paglipas ng panahon.

Ito ay pagkatapos ng kahulugan na ito na tayo ay natural na dumating sa konsepto ng isang frame of reference. Pagbabago ng posisyon ng mga katawan sa espasyo na may kaugnayan sa bawat isa. Mga keyword dito: kamag-anak sa isa't isa . Pagkatapos ng lahat, ang isang pasahero sa isang kotse ay gumagalaw na may kaugnayan sa taong nakatayo sa gilid ng kalsada sa isang tiyak na bilis, at nakapahinga na may kaugnayan sa kanyang kapitbahay sa upuan sa tabi niya, at kumikilos sa ibang bilis na may kaugnayan sa pasahero sa sasakyan na nag-overtake sa kanila.

Iyon ang dahilan kung bakit, upang normal na masukat ang mga parameter ng mga gumagalaw na bagay at hindi malito, kailangan natin reference system - rigidly interconnected reference body, coordinate system at orasan. Halimbawa, ang mundo ay gumagalaw sa paligid ng araw sa isang heliocentric frame of reference. Sa pang-araw-araw na buhay, ginagawa namin ang halos lahat ng aming mga sukat sa isang geocentric na reference system na nauugnay sa Earth. Ang daigdig ay isang katawan ng sanggunian na nauugnay sa kung saan gumagalaw ang mga sasakyan, eroplano, tao, at hayop.

Ang mekanika, bilang isang agham, ay may sariling gawain. Ang gawain ng mekanika ay alamin ang posisyon ng isang katawan sa kalawakan anumang oras. Sa madaling salita, ang mga mekanika ay bumubuo ng isang matematikal na paglalarawan ng paggalaw at nakakahanap ng mga koneksyon sa pagitan ng mga pisikal na dami na nagpapakilala dito.

Upang makasulong pa, kailangan natin ang konsepto " materyal na punto " Sinasabi nila na ang pisika ay isang eksaktong agham, ngunit alam ng mga pisiko kung gaano karaming mga pagtatantya at pagpapalagay ang kailangang gawin upang magkasundo sa mismong katumpakan na ito. Wala pang nakakita ng materyal na punto o nakaamoy ng perpektong gas, ngunit umiiral ang mga ito! Mas madali silang pakisamahan.

Ang materyal na punto ay isang katawan na ang laki at hugis ay maaaring mapabayaan sa konteksto ng problemang ito.

Mga seksyon ng klasikal na mekanika

Ang mekanika ay binubuo ng ilang mga seksyon

• Kinematics
• Dynamics
• Statics

Kinematics mula sa pisikal na pananaw, eksaktong pinag-aaralan nito kung paano gumagalaw ang isang katawan. Sa madaling salita, ang seksyong ito ay tumatalakay sa mga quantitative na katangian ng paggalaw. Maghanap ng bilis, landas - karaniwang mga problema sa kinematics

Dynamics nalulutas ang tanong kung bakit ito gumagalaw sa paraang ginagawa nito. Iyon ay, isinasaalang-alang nito ang mga puwersang kumikilos sa katawan.

Statics pinag-aaralan ang balanse ng mga katawan sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersa, iyon ay, sumasagot sa tanong: bakit hindi ito bumagsak?

Mga limitasyon ng kakayahang magamit ng mga klasikal na mekanika.

Ang mga klasikal na mekanika ay hindi na inaangkin na isang agham na nagpapaliwanag ng lahat (sa simula ng huling siglo ang lahat ay ganap na naiiba), at may malinaw na balangkas ng kakayahang magamit. Sa pangkalahatan, ang mga batas ng klasikal na mekanika ay may bisa sa mundong nakasanayan natin sa laki (macroworld). Huminto sila sa pagtatrabaho sa kaso ng mundo ng particle, kapag pinapalitan ng quantum mechanics ang classical mechanics. Gayundin, ang mga klasikal na mekanika ay hindi naaangkop sa mga kaso kapag ang paggalaw ng mga katawan ay nangyayari sa bilis na malapit sa bilis ng liwanag. Sa ganitong mga kaso, ang relativistic effect ay nagiging binibigkas. Sa halos pagsasalita, sa loob ng balangkas ng quantum at relativistic mechanics - classical mechanics, ito ay isang espesyal na kaso kapag ang mga sukat ng katawan ay malaki at ang bilis ay maliit. Maaari kang matuto nang higit pa tungkol dito mula sa aming artikulo.

Sa pangkalahatan, ang mga quantum at relativistic na epekto ay hindi mawawala; nangyayari rin ang mga ito sa panahon ng ordinaryong paggalaw ng mga macroscopic na katawan sa bilis na mas mababa kaysa sa bilis ng liwanag. Ang isa pang bagay ay ang epekto ng mga epektong ito ay napakaliit na hindi ito lalampas sa pinakatumpak na mga sukat. Ang mga klasikal na mekanika ay hindi mawawala ang pangunahing kahalagahan nito.

Patuloy nating pag-aaralan ang mga pisikal na pundasyon ng mekanika sa mga artikulo sa hinaharap. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa mga mekanika, maaari mong palaging bumaling sa kanila, na isa-isang magbibigay liwanag sa madilim na lugar ng pinakamahirap na gawain.

1 slide

Kurso ng mga lektura sa theoretical mechanics Dynamics (Bahagi I) Bondarenko A.N. Moscow - 2007 Ang elektronikong kurso sa pagsasanay ay isinulat batay sa mga lektura na ibinigay ng may-akda para sa mga mag-aaral na nag-aaral sa mga specialty ng SZhD, PGS at SDM sa NIIZhT at MIIT (1974-2006). Materyal na pang-edukasyon tumutugma mga plano sa kalendaryo para sa tatlong semestre. Upang ganap na maipatupad ang mga epekto ng animation sa panahon ng isang pagtatanghal, dapat kang gumamit ng Power Point viewer na hindi mas mababa kaysa sa naka-built in Microsoft Office operating system na Windows-XP Professional. Ang mga komento at mungkahi ay maaaring ipadala sa pamamagitan ng e-mail: [email protected]. Moscow Pambansang Unibersidad Railways (MIIT) Department of Theoretical Mechanics Scientific and Technical Center para sa Transport Technologies

2 slide

Nilalaman ng Lektura 1. Panimula sa dinamika. Mga batas at axiom ng dinamika ng isang materyal na punto. Pangunahing equation ng dynamics. Differential at natural na mga equation ng paggalaw. Dalawang pangunahing problema ng dinamika. Mga halimbawa ng paglutas ng direktang suliranin ng dinamika Lektura 2. Solusyon ng kabaligtaran na suliranin ng dinamika. Pangkalahatang mga tagubilin para sa paglutas ng kabaligtaran na problema ng dinamika. Mga halimbawa ng paglutas ng baligtad na problema ng dinamika. Ang paggalaw ng isang katawan na itinapon sa isang anggulo sa pahalang, nang hindi isinasaalang-alang ang paglaban ng hangin. Lecture 3. Rectilinear oscillations ng isang materyal na punto. Kondisyon para sa paglitaw ng mga oscillations. Pag-uuri ng mga vibrations. Libreng panginginig ng boses nang hindi isinasaalang-alang ang mga puwersa ng paglaban. Damped oscillations. Pagbawas ng mga oscillation. Lecture 4. Sapilitang mga oscillations ng isang materyal na punto. Resonance. Ang impluwensya ng paglaban sa paggalaw sa panahon ng sapilitang vibrations. Lecture 5. Relatibong galaw ng isang materyal na punto. Inertia pwersa. Mga espesyal na kaso ng paggalaw para sa iba't ibang uri ng portable na paggalaw. Ang impluwensya ng pag-ikot ng Earth sa balanse at paggalaw ng mga katawan. Lecture 6. Dynamics ng isang mekanikal na sistema. Mekanikal na sistema. Panlabas at panloob na pwersa. Sentro ng masa ng sistema. Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa. Mga batas sa konserbasyon. Isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang theorem sa paggalaw ng sentro ng masa. Lektura 7. Puwersa ang salpok. Dami ng paggalaw. Theorem sa pagbabago ng momentum. Mga batas sa konserbasyon. Ang teorama ni Euler. Isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang theorem sa pagbabago ng momentum. Momentum. Theorem sa pagbabago ng angular momentum.Lecture 8. Conservation laws. Mga elemento ng teorya ng mga sandali ng pagkawalang-galaw. Kinetic moment ng isang matibay na katawan. Differential equation para sa pag-ikot ng isang matibay na katawan. Isang halimbawa ng paglutas ng problema gamit ang theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang system. Elementarya na teorya ng gyroscope. Inirerekomendang pagbabasa 1. Yablonsky A.A. Kurso ng teoretikal na mekanika. Bahagi 2. M.: Mas mataas na paaralan. 1977 368 p. 2. Meshchersky I.V. Koleksyon ng mga problema sa teoretikal na mekanika. M.: Agham. 1986 416 p. 3. Koleksyon ng mga takdang-aralin para sa mga term paper / Ed. A.A. Yablonsky. M.: Mas mataas na paaralan. 1985 366 p. 4. Bondarenko A.N. “Theoretical mechanics sa mga halimbawa at problema. Dynamics” (electronic manual www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

3 slide

Ang Lecture 1 Dynamics ay isang seksyon ng theoretical mechanics na nag-aaral ng mekanikal na paggalaw mula sa pinaka-pangkalahatang pananaw. Ang paggalaw ay isinasaalang-alang na may kaugnayan sa mga puwersa na kumikilos sa isang bagay. Ang seksyon ay binubuo ng tatlong seksyon: Dynamics ng isang materyal na punto Dinamika ng isang mekanikal na sistema Analytical mechanics ■ Dynamics ng isang punto - pinag-aaralan ang paggalaw ng isang materyal na punto, na isinasaalang-alang ang mga puwersang nagdudulot ng paggalaw na ito. Ang pangunahing bagay ay isang materyal na punto - isang materyal na katawan na may masa, ang mga sukat nito ay maaaring mapabayaan. Pangunahing pagpapalagay: – may ganap na espasyo (may purong geometriko na mga katangian na hindi nakasalalay sa bagay at sa paggalaw nito. – may ganap na oras (independiyente sa bagay at sa paggalaw nito). Ito ay sumusunod mula rito: – mayroong ganap na hindi gumagalaw na frame ng sanggunian. – ang oras ay hindi nakasalalay sa galaw ng sistema ng sanggunian. – ang masa ng mga gumagalaw na punto ay hindi nakadepende sa galaw ng reference frame. Ang mga pagpapalagay na ito ay ginagamit sa klasikal na mekanika, na nilikha nina Galileo at Newton. Mayroon pa rin itong patas malawak na saklaw ng aplikasyon, dahil ang mga mekanikal na sistema na isinasaalang-alang sa mga inilapat na agham ay walang ganoong malalaking masa at bilis ng paggalaw, kung saan kinakailangang isaalang-alang ang kanilang impluwensya sa geometry ng espasyo, oras, paggalaw, tulad ng ginagawa sa relativistic mechanics (relativity theory).■ Basic laws of dynamics - unang natuklasan ni Galileo at binuo ni Newton ang naging batayan ng lahat ng pamamaraan para sa paglalarawan at pagsusuri sa paggalaw ng mga mekanikal na sistema at ang kanilang dinamikong interaksyon sa ilalim ng impluwensya ng iba't ibang pwersa. ■ Batas ng pagkawalang-galaw (Batas ng Galileo-Newton) – Ang isang nakahiwalay na materyal na punto, isang katawan, ay nagpapanatili ng estado ng pahinga o pare-parehong linear na paggalaw hanggang sa puwersahin ito ng mga puwersang inilapat na baguhin ang estadong ito. Ito ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng estado ng pahinga at paggalaw sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw (Galileo's law of relativity). Ang reference system na may kaugnayan sa kung saan ang batas ng inertia ay tinatawag na inertial. Ang pag-aari ng isang materyal na punto upang magsikap na mapanatili ang pare-pareho ang bilis ng paggalaw nito (ang kinematic state nito) ay tinatawag na inertia. ■ Batas ng proporsyonalidad ng puwersa at acceleration (Basic equation of dynamics - Newton's II law) – Ang acceleration na ibinibigay sa isang materyal na punto ng isang puwersa ay direktang proporsyonal sa puwersa at inversely proportional sa masa ng puntong ito: o Narito ang m ay ang masa ng punto (isang sukat ng pagkawalang-galaw), sinusukat sa kg, ayon sa bilang na katumbas na timbang na hinati sa acceleration dahil sa gravity: F ay ang kumikilos na puwersa, na sinusukat sa N (1 N ay nagbibigay ng acceleration ng 1 m/s2 sa isang puntong tumitimbang 1 kg, 1 N = 1/9. 81 kg-s). ■ Dynamics ng isang mekanikal na sistema - pinag-aaralan ang paggalaw ng isang set ng mga materyal na punto at matibay na katawan na pinagsama pangkalahatang batas pakikipag-ugnayan, isinasaalang-alang ang mga puwersang nagdudulot ng kilusang ito. ■ Analytical mechanics – pinag-aaralan ang galaw ng mga constrained mechanical system gamit ang pangkalahatang analytical na pamamaraan. 1

4 slide

Lecture 1 (ipinagpatuloy – 1.2) Differential equation ng motion ng isang material point: - differential equation ng motion ng isang point sa vector form. - differential equation ng paggalaw ng isang punto sa coordinate form. Ang resultang ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pormal na pagpapakita ng vector differential equation (1). Pagkatapos ng pagpapangkat, ang vector relationship ay nahahati sa tatlong scalar equation: Sa coordinate form: Ginagamit namin ang koneksyon sa pagitan ng radius vector na may mga coordinate at ang force vector na may mga projection: o: Pinapalitan namin ang acceleration ng isang point ng vector motion na tinukoy sa basic equation of dynamics: Ang mga natural na equation ng paggalaw ng isang materyal na punto ay nakukuha sa pamamagitan ng pag-project ng vector differential equation ng motion sa natural (moving) coordinate axes: o: - natural na equation ng motion ng isang point. ■ Pangunahing equation ng dynamics: - tumutugma sa paraan ng vector ng pagtukoy sa paggalaw ng isang punto. ■ Batas ng pagsasarili ng pagkilos ng mga puwersa - Ang pagbilis ng isang materyal na punto sa ilalim ng pagkilos ng ilang pwersa ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga acceleration ng punto mula sa pagkilos ng bawat isa sa mga puwersa nang hiwalay: o Ang batas ay may bisa para sa anumang kinematic na estado ng mga katawan. Mga puwersa ng pakikipag-ugnayan, na inilalapat sa iba't ibang puntos(katawan) ay hindi balanse. ■ Batas ng pagkakapantay-pantay ng aksyon at reaksyon (Newton’s III law) – Ang bawat aksyon ay tumutugma sa isang pantay na magnitude at magkasalungat na direksyon na reaksyon: 2

5 slide

Dalawang pangunahing problema ng dynamics: 1. Direktang problema: Motion ay ibinigay (equation of motion, trajectory). Ito ay kinakailangan upang matukoy ang mga puwersa sa ilalim ng impluwensya kung saan ang isang naibigay na paggalaw ay nangyayari. 2. Baliktad na problema: Ang mga puwersang nasa ilalim ng impluwensya kung saan nagaganap ang paggalaw ay ibinibigay. Kinakailangang hanapin ang mga parameter ng paggalaw (equation of motion, trajectory of motion). Ang parehong mga problema ay nalutas gamit ang pangunahing equation ng dynamics at ang projection nito sa mga coordinate axes. Kung ang paggalaw ng isang di-libreng punto ay isinasaalang-alang, kung gayon, tulad ng sa statics, ang prinsipyo ng pagpapalaya mula sa mga koneksyon ay ginagamit. Bilang resulta, ang mga reaksyon ng mga bono ay kasama sa mga puwersang kumikilos sa materyal na punto. Ang solusyon sa unang problema ay nauugnay sa mga operasyon ng pagkita ng kaibhan. Ang paglutas ng kabaligtaran na problema ay nangangailangan ng pagsasama ng kaukulang mga equation ng kaugalian at ito ay mas mahirap kaysa sa pagkita ng kaibhan. Ang kabaligtaran na problema ay mas mahirap kaysa sa direktang problema. Tingnan natin ang solusyon sa direktang problema ng dynamics gamit ang mga halimbawa: Halimbawa 1. Ang elevator cabin na tumitimbang ng G ay itinataas ng cable na may acceleration a. Tukuyin ang cable tension. 1. Pumili ng isang bagay (ang elevator car ay gumagalaw sa pagsasalin at maaaring ituring bilang isang materyal na punto). 2. Itinatapon namin ang koneksyon (cable) at palitan ito ng reaksyong R. 3. Binubuo namin ang pangunahing equation ng dynamics: Tukuyin ang reaksyon ng cable: Tukuyin ang tensyon ng cable: Sa pare-parehong paggalaw ng cabin, ay = 0 at ang tensyon ng cable ay katumbas ng timbang: T = G. Kung masira ang cable, T = 0 at ang acceleration ng cabin ay katumbas ng acceleration ng gravity: ay = -g. 3 4. Ipinapalabas namin ang pangunahing equation ng dynamics sa y-axis: y Halimbawa 2. Ang isang punto na may mass m ay gumagalaw sa pahalang na ibabaw (Oxy plane) ayon sa mga equation: x = a coskt, y = b coskt. Tukuyin ang puwersang kumikilos sa punto. 1. Pumili ng isang bagay (materyal point). 2. Itinatapon namin ang koneksyon (eroplano) at pinapalitan ito ng reaksyong N. 3. Nagdaragdag kami ng hindi kilalang puwersa F sa sistema ng mga puwersa. 4. Binubuo namin ang pangunahing equation ng dynamics: 5. Ipinapalabas namin ang pangunahing equation ng dynamics sa ang x, y axes: Tinutukoy namin ang mga projection ng puwersa: Force modulus: Direction cosines : Kaya, ang magnitude ng puwersa ay proporsyonal sa distansya ng punto sa gitna ng mga coordinate at nakadirekta patungo sa gitna kasama ang linya na kumukonekta ang punto sa gitna. Ang trajectory ng isang punto ay isang ellipse na may sentro sa pinanggalingan: O r Lecture 1 (ipinagpapatuloy – 1.3)

6 slide

Lecture 1 (ipinagpapatuloy 1.4) Halimbawa 3: Ang isang load ng timbang G ay sinuspinde sa isang cable na may haba l at gumagalaw sa isang pabilog na landas sa isang pahalang na eroplano na may tiyak na bilis. Ang anggulo ng paglihis ng cable mula sa vertical ay pantay. Tukuyin ang pag-igting sa cable at ang bilis ng pagkarga. 1. Pumili ng isang bagay (kargamento). 2. Itinatapon namin ang koneksyon (cable) at palitan ito ng reaksyon R. 3. Binubuo namin ang pangunahing equation ng dynamics: Mula sa ikatlong equation natutukoy namin ang reaksyon ng cable: Tinutukoy namin ang pag-igting ng cable: Pinapalitan namin ang halaga ng reaksyon ng cable, ang normal na acceleration sa pangalawang equation at matukoy ang bilis ng load: 4. Iproyekto namin ang pangunahing equation dynamics sa axis,n,b: Halimbawa 4: Ang isang kotse na may timbang G ay gumagalaw sa isang matambok tulay (radius ng curvature katumbas ng R) na may bilis V. Tukuyin ang presyon ng kotse sa tulay. 1. Pumili ng isang bagay (kotse, pabayaan ang mga sukat at isaalang-alang ito bilang isang punto). 2. Itinatapon namin ang koneksyon (magaspang na ibabaw) at palitan ito ng mga reaksyon N at friction force Ftr. 3. Binubuo namin ang pangunahing equation ng dynamics: 4. Ipinoproyekto namin ang pangunahing equation ng dynamics sa n axis: Mula dito tinutukoy namin ang normal na reaksyon: Tinutukoy namin ang presyon ng kotse sa tulay: Mula dito matutukoy namin ang bilis katumbas ng zero pressure sa tulay (Q = 0): 4

7 slide

Lektura 2 Matapos palitan ang mga nahanap na halaga ng mga constant, nakuha namin: Kaya, sa ilalim ng impluwensya ng parehong sistema ng mga puwersa, ang isang materyal na punto ay maaaring magsagawa ng isang buong klase ng mga paggalaw na tinutukoy ng mga paunang kondisyon. Isinasaalang-alang ng mga paunang coordinate ang paunang posisyon ng punto. Ang paunang bilis na tinukoy ng mga projection ay isinasaalang-alang ang impluwensya sa paggalaw nito kasama ang isinasaalang-alang na seksyon ng tilapon ng mga puwersa na kumikilos sa punto bago dumating sa seksyong ito, i.e. paunang kinematikong estado. Solusyon ng kabaligtaran na problema ng dinamika - Sa pangkalahatang kaso ng paggalaw ng isang punto, ang mga puwersang kumikilos sa punto ay mga variable depende sa oras, coordinate at bilis. Ang paggalaw ng isang punto ay inilalarawan ng isang sistema ng tatlong second-order differential equation: Pagkatapos pagsamahin ang bawat isa sa kanila ay magkakaroon ng anim na constants C1, C2,…., C6: Ang mga halaga ng constants C1, C2,…. , C6 ay matatagpuan mula sa anim na paunang kundisyon sa t = 0: Halimbawa 1 solusyon kabaligtaran problema: Ang isang libreng materyal na punto ng mass m ay gumagalaw sa ilalim ng pagkilos ng isang puwersa F, pare-pareho sa modulus at magnitude. . Sa paunang sandali, ang bilis ng punto ay v0 at nag-tutugma sa direksyon ng puwersa. Tukuyin ang equation ng paggalaw ng isang punto. 1. Binubuo namin ang pangunahing equation ng dynamics: 3. Ibinababa namin ang pagkakasunud-sunod ng derivative: 2. Pinipili namin ang isang Cartesian frame of reference, na nagdidirekta sa x axis sa direksyon ng puwersa at ipinapalabas ang pangunahing equation ng dynamics sa axis na ito : o x y z 4. Pinaghihiwalay namin ang mga variable: 5. Kinakalkula namin ang mga integral ng magkabilang panig ng equation : 6. Isipin natin ang velocity projection bilang derivative ng coordinate na may kinalaman sa oras: 8. Kinakalkula namin ang mga integral ng pareho panig ng equation: 7. Pinaghihiwalay namin ang mga variable: 9. Upang matukoy ang mga halaga ng mga constants C1 at C2, ginagamit namin ang mga paunang kondisyon t = 0, vx = v0, x = x0: Bilang resulta, nakuha namin ang equation ng pare-parehong alternating motion (sa kahabaan ng x axis): 5

8 slide

Pangkalahatang mga tagubilin para sa paglutas ng direkta at kabaligtaran na mga problema. Pamamaraan ng solusyon: 1. Pagguhit ng differential equation ng paggalaw: 1.1. Pumili ng coordinate system - hugis-parihaba (fixed) para sa isang hindi kilalang trajectory, natural (gumagalaw) para sa isang kilalang trajectory, halimbawa, isang bilog o isang tuwid na linya. Sa huling kaso, maaari kang gumamit ng isang rectilinear coordinate. Ang reference point ay dapat na nakahanay sa unang posisyon ng punto (sa t = 0) o sa equilibrium na posisyon ng punto, kung ito ay umiiral, halimbawa, kapag ang punto ay nag-oscillates. 6 1.2. Gumuhit ng isang punto sa isang posisyon na tumutugma sa isang arbitrary na sandali sa oras (sa t > 0) upang ang mga coordinate ay positibo (s > 0, x > 0). Kasabay nito, naniniwala din kami na positibo rin ang projection ng velocity sa posisyong ito. Sa kaso ng mga oscillations, ang velocity projection ay nagbabago ng sign, halimbawa, kapag bumabalik sa posisyon ng equilibrium. Dito dapat ipagpalagay na sa oras na isinasaalang-alang ang punto ay lumalayo mula sa posisyon ng ekwilibriyo. Ang pagsunod sa rekomendasyong ito ay mahalaga sa hinaharap kapag nagtatrabaho sa mga puwersa ng paglaban na nakasalalay sa bilis. 1.3. Palayain ang materyal na punto mula sa mga koneksyon, palitan ang kanilang mga aksyon ng mga reaksyon, magdagdag ng mga aktibong pwersa. 1.4. Isulat ang pangunahing batas ng dynamics sa vector form, i-project ito sa mga napiling axes, ipahayag ang tinukoy o reaktibong pwersa sa pamamagitan ng mga variable na oras, coordinate o bilis, kung sila ay nakasalalay sa kanila. 2. Paglutas ng mga differential equation: 2.1. Ibaba ang derivative kung ang equation ay hindi nabawasan sa canonical (standard) form. halimbawa: o 2.2. Paghiwalayin ang mga variable, halimbawa: o 2.4. Kalkulahin ang mga hindi tiyak na integral sa kaliwa at kanang bahagi ng equation, halimbawa: 2.3. Kung mayroong tatlong mga variable sa equation, pagkatapos ay gumawa ng pagbabago ng mga variable, halimbawa: at pagkatapos ay hatiin ang mga variable. Magkomento. Sa halip na suriin ang mga hindi tiyak na integral, maaari mong suriin ang mga tiyak na integral na may variable na upper limit. Ang mas mababang mga limitasyon ay kumakatawan sa mga paunang halaga ng mga variable (paunang kundisyon). Pagkatapos ay hindi na kailangang hiwalay na maghanap ng isang pare-pareho, na awtomatikong kasama sa solusyon, halimbawa: Gamit ang mga paunang kundisyon, halimbawa, t = 0 , vx = vx0, tukuyin ang integration constant: 2.5. Ipahayag ang bilis sa pamamagitan ng derivative ng coordinate na may paggalang sa oras, halimbawa, at ulitin ang mga talata 2.2 -2.4 Tandaan. Kung ang equation ay nabawasan sa isang kanonikal na anyo na may karaniwang solusyon, kung gayon ang handa na solusyon na ito ay ginagamit. Ang mga constant ng integration ay matatagpuan pa rin mula sa mga paunang kondisyon. Tingnan, halimbawa, ang mga oscillation (Lecture 4, p. 8). Lecture 2 (patuloy 2.2)

Slide 9

Lecture 2 (continued 2.3) Halimbawa 2 ng paglutas sa baligtad na problema: Ang puwersa ay nakasalalay sa oras. Ang isang load ng timbang P ay nagsisimulang gumalaw kasama ang isang makinis na pahalang na ibabaw sa ilalim ng impluwensya ng isang puwersa F, ang magnitude nito ay proporsyonal sa oras (F = kt). Tukuyin ang layo na nilakbay ng load sa oras t. 3. Binubuo namin ang pangunahing equation ng dynamics: 5. Ibinababa namin ang pagkakasunud-sunod ng derivative: 4. Ipinapalabas namin ang pangunahing equation ng dynamics sa x-axis: o 7 6. Pinaghihiwalay namin ang mga variable: 7. Kinakalkula namin ang mga integral ng magkabilang panig ng equation: 9. Iniisip namin ang projection ng velocity bilang derivative ng coordinate na may paggalang sa oras: 10. Kinakalkula namin ang mga integral mula sa magkabilang panig ng equation: 9. Pinaghihiwalay namin ang mga variable: 8. Tinutukoy namin ang halaga ng pare-parehong C1 mula sa paunang kondisyon t = 0, vx = v0=0: Bilang resulta, nakuha namin ang equation ng paggalaw (kasama ang x axis), na nagbibigay ng halaga ng distansya na nilakbay sa oras t: 1 Pumili ng reference system ( Mga coordinate ng Cartesian) upang ang katawan ay may positibong coordinate: 2. Isinasaalang-alang natin ang bagay ng paggalaw bilang isang materyal na punto (ang katawan ay gumagalaw sa pagsasalin), bitawan ito mula sa koneksyon (reference plane) at palitan ito ng isang reaksyon (ang normal na reaksyon ng isang makinis na ibabaw): 11. Tukuyin ang halaga ng pare-parehong C2 mula sa inisyal na kondisyon t = 0, x = x0=0: Halimbawa 3 ng paglutas ng inverse na problema: Ang puwersa ay nakasalalay sa coordinate. Ang isang materyal na punto ng mass m ay itinapon paitaas mula sa ibabaw ng Earth na may bilis na v0. Ang puwersa ng gravity ng Earth ay inversely proportional sa square ng distansya mula sa isang punto hanggang sa sentro ng gravity (ang sentro ng Earth). Tukuyin ang dependence ng bilis sa layo y sa gitna ng Earth. 1. Pinipili namin ang isang reference system (Cartesian coordinates) upang ang katawan ay may positibong coordinate: 2. Binubuo namin ang pangunahing equation ng dynamics: 3. I-proyekto namin ang pangunahing equation ng dynamics papunta sa y-axis: o Ang coefficient of proportionality ay matatagpuan gamit ang bigat ng isang punto sa ibabaw ng Earth: R Kaya ang differential ang equation ay may anyo: o 4. Ibinababa namin ang pagkakasunud-sunod ng derivative: 5. Gumagawa kami ng pagbabago ng variable: 6. Pinaghihiwalay namin ang mga variable : 7. Kinakalkula namin ang mga integral ng magkabilang panig ng equation: 8. Pinapalitan namin ang mga limitasyon: Bilang resulta, nakakakuha kami ng isang expression para sa bilis bilang isang function ng y coordinate: Ang maximum na taas na paglipad ay matatagpuan sa pamamagitan ng equating ang bilis sa zero: Pinakamataas na flight altitude kapag ang denominator ay napunta sa zero: Mula dito, kapag itinatakda ang radius ng Earth at ang acceleration ng gravity, nakukuha natin ang II Tumakas:

10 slide

Lecture 2 (continued 2.4) Halimbawa 2 ng paglutas ng baligtad na problema: Ang puwersa ay nakasalalay sa bilis. Ang isang sisidlan ng mass m ay may bilis na v0. Ang paglaban ng tubig sa paggalaw ng sisidlan ay proporsyonal sa bilis. Tukuyin ang oras kung kailan ang bilis ng barko ay bababa ng kalahati pagkatapos patayin ang makina, pati na rin ang distansya na nilakbay ng barko hanggang sa ganap itong huminto. 8 1. Pinipili namin ang isang reference system (Cartesian coordinates) upang ang katawan ay may positibong coordinate: 2. Kinukuha namin ang object of motion bilang isang materyal na punto (ang barko ay gumagalaw sa pagsasalin), palayain ito mula sa mga koneksyon (tubig) at palitan ito na may reaksyon (buoyant force - ang Archimedes force), at gayundin ang puwersa ng paglaban sa paggalaw. 3. Magdagdag ng aktibong puwersa (gravity). 4. Binubuo namin ang pangunahing equation ng dynamics: 5. Ipinapalabas namin ang pangunahing equation ng dynamics sa x-axis: o 6. Ibinababa namin ang pagkakasunud-sunod ng derivative: 7. Pinaghihiwalay namin ang mga variable: 8. Kinakalkula namin ang mga integral ng magkabilang panig ng equation: 9. Pinapalitan namin ang mga limitasyon: Nakuha ang isang expression na nag-uugnay sa bilis at oras t, kung saan matutukoy mo ang oras ng paggalaw: Oras ng paggalaw kung saan ang bilis ay bababa ng kalahati: Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na habang ang bilis ay lumalapit sa zero, ang oras ng paggalaw ay may posibilidad na infinity, i.e. ang huling bilis ay hindi maaaring maging zero. Bakit hindi "perpetual motion"? Gayunpaman, ang distansya na nilakbay patungo sa hintuan ay may hangganan na halaga. Upang matukoy ang distansyang nilakbay, bumaling tayo sa expression na nakuha pagkatapos ibaba ang pagkakasunud-sunod ng derivative at gumawa ng pagbabago ng variable: Pagkatapos ng pagsasama at pagpapalit ng mga limitasyon, nakuha natin ang: Distansya na nilakbay upang huminto: ■ Ang paggalaw ng isang puntong itinapon sa isang anggulo sa abot-tanaw sa isang pare-parehong larangan ng grabidad nang hindi isinasaalang-alang ang air resistance Tinatanggal ang oras mula sa mga equation ng paggalaw, nakuha natin ang trajectory equation: Natutukoy ang oras ng paglipad sa pamamagitan ng pagtutumbas ng y coordinate sa zero: Ang hanay ng paglipad ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagpapalit ang oras ng paglipad:

11 slide

Lecture 3 Rectilinear oscillations ng isang materyal na punto - Ang oscillatory motion ng isang materyal na punto ay nangyayari sa ilalim ng kondisyon: mayroong isang puwersang nagpapanumbalik na may posibilidad na ibalik ang punto sa posisyon ng ekwilibriyo para sa anumang paglihis mula sa posisyong ito. 9 May puwersang nagpapanumbalik, matatag ang posisyon ng ekwilibriyo Walang puwersang nagpapanumbalik, ang posisyon ng ekwilibriyo ay hindi matatag Walang puwersang nagpapanumbalik, ang posisyon ng ekwilibriyo ay walang malasakit May puwersang nagpapanumbalik, ang posisyon ng ekwilibriyo ay matatag Kinakailangan ang pagsusuri Ang elastiko Ang puwersa ng isang bukal ay isang halimbawa ng isang linear na puwersa sa pagpapanumbalik. Palaging nakadirekta sa posisyon ng balanse, ang halaga ay direktang proporsyonal sa linear elongation (pagikli) ng spring, katumbas ng paglihis ng katawan mula sa posisyon ng balanse: c ay ang spring stiffness coefficient, ayon sa numero na katumbas ng puwersa sa ilalim ng impluwensya kung saan binabago ng tagsibol ang haba nito ng isa, sinusukat sa N/m sa system SI. x y O Mga uri ng vibrations ng isang materyal na punto: 1. Libreng vibrations (nang hindi isinasaalang-alang ang resistensya ng medium). 2. Libreng mga oscillations na isinasaalang-alang ang paglaban ng medium (damped oscillations). 3. Sapilitang panginginig ng boses. 4. Sapilitang vibrations na isinasaalang-alang ang paglaban ng medium. ■ Libreng panginginig ng boses – nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng pagpapanumbalik ng puwersa lamang. Isulat natin ang pangunahing batas ng dynamics: Pumili tayo ng coordinate system na ang sentro ay nasa posisyon ng ekwilibriyo (punto O) at i-project ang equation sa x-axis: Dalhin natin ang resultang equation sa standard (canonical) form: This equation ay isang homogenous na linear differential equation ng pangalawang order, ang uri ng solusyon na tinutukoy ng mga ugat ng characteristic equation na nakuha gamit ang universal substitution: Ang mga ugat ng characteristic equation ay haka-haka at pantay: Ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay may ang form: Point velocity: Mga paunang kondisyon: Tukuyin natin ang mga constant: Kaya, ang equation ng mga libreng oscillations ay may anyo: Ang equation ay maaaring kinakatawan ng isang pang-matagalang expression: kung saan ang a ay ang amplitude, ay ang unang bahagi. Ang mga bagong constant na a at - ay nauugnay sa pare-parehong C1 at C2 na relasyon: Tukuyin natin ang a at: Ang sanhi ng mga libreng oscillations ay ang inisyal na displacement x0 at/o ang paunang bilis v0.

12 slide

10 Lektura 3 (ipinagpapatuloy 3.2) Damped oscillations ng isang materyal na punto - Ang oscillatory motion ng isang materyal na punto ay nangyayari sa pagkakaroon ng puwersang nagpapanumbalik at puwersa ng paglaban sa paggalaw. Ang pag-asa ng puwersa ng paglaban sa paggalaw sa displacement o bilis ay tinutukoy ng pisikal na katangian ng daluyan o koneksyon na humahadlang sa paggalaw. Ang pinakasimpleng dependence ay isang linear dependence sa bilis (viscous resistance): - viscosity coefficient x y O Basic equation of dynamics: Projection of the equation of dynamics on the axis: Let us bring the equation to the standard form: where The characteristic equation has roots : Ang pangkalahatang solusyon ng differential equation na ito ay may ibang anyo depende sa mga halaga ng mga ugat: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k – kaso ng mataas na malapot na pagtutol: - ang mga ugat ay totoo, iba. o - ang mga function na ito ay aperiodic: 3. n = k: - ang mga ugat ay totoo, maramihang. ang mga function na ito ay aperiodic din:

Slide 13

Lektura 3 (ipinagpapatuloy 3.3) Pag-uuri ng mga solusyon ng mga libreng vibrations. Mga pamamaraan para sa pagkonekta ng mga bukal. Katumbas na tigas. y y 11 Pagkakaiba. Equation ng character. equation Mga ugat ng karakter. equation Solusyon ng differential equation Graph nk n=k

Slide 14

Lektura 4 Sapilitang mga oscillations ng isang materyal na punto - Kasabay ng pagpapanumbalik ng puwersa, ang isang pana-panahong nagbabagong puwersa ay kumikilos, na tinatawag na nakakagambalang puwersa. Ang nakakagambalang puwersa ay maaaring may iba't ibang kalikasan. Halimbawa, sa isang partikular na kaso, ang inertial na pagkilos ng hindi balanseng mass m1 ng umiikot na rotor ay nagdudulot ng magkakatugmang pagkakaiba-iba ng mga projection ng puwersa: Basic equation ng dynamics: Projection ng equation ng dynamics papunta sa axis: Bawasan natin ang equation sa standard form : 12 Ang solusyon sa inhomogeneous differential equation na ito ay binubuo ng dalawang bahagi x = x1 + x2: x1 ay ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogeneous equation at x2 ay ang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation: Pumili tayo ng partikular na solusyon sa anyo ng kanang bahagi: Ang resultang pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan para sa anumang t. Pagkatapos: o Kaya, sa sabay-sabay na pagkilos ng pagpapanumbalik at nakakagambalang mga puwersa, ang isang materyal na punto ay nagsasagawa ng isang kumplikadong oscillatory motion, na resulta ng pagdaragdag (superposisyon) ng libre (x1) at sapilitang (x2) na mga oscillations. Kung p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (sapilitang mga oscillations ng mataas na dalas), pagkatapos ay ang yugto ng mga oscillations ay kabaligtaran sa yugto ng nakakagambalang puwersa:

15 slide

Lecture 4 (continued 4.2) 13 Dynamic coefficient - ang ratio ng amplitude ng forced oscillations sa static deflection ng isang point sa ilalim ng impluwensya ng constant force H = const: Amplitude ng forced oscillations: Ang static deviation ay makikita mula sa equilibrium equation : Dito: Mula rito: Kaya, sa p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (high frequency of forced oscillations) dynamic coefficient: Resonance - nangyayari kapag ang frequency ng forced oscillations ay tumutugma sa frequency ng natural oscillations (p = k). Ito ay kadalasang nangyayari kapag sinimulan at itinitigil ang pag-ikot ng mga mahinang balanseng rotor na naka-mount sa nababanat na mga suspensyon. Differential equation ng mga oscillations na may pantay na frequency: Ang isang partikular na solusyon sa anyo ng kanang bahagi ay hindi maaaring kunin, dahil makakakuha ka ng isang linearly dependent na solusyon (tingnan ang pangkalahatang solusyon). Pangkalahatang solusyon: Palitan sa differential equation: Kumuha ng partikular na solusyon sa anyo at kalkulahin ang mga derivatives: Kaya, ang solusyon ay nakuha: o Ang sapilitang oscillations sa panahon ng resonance ay may amplitude na tumataas nang walang katiyakan sa proporsyon sa oras. Ang impluwensya ng paglaban sa paggalaw sa panahon ng sapilitang vibrations. Ang differential equation sa pagkakaroon ng viscous resistance ay may anyo: Ang pangkalahatang solusyon ay pinili mula sa talahanayan (Lektura 3, pahina 11) depende sa ratio ng n at k (tingnan). Kinukuha namin ang bahagyang solusyon sa anyo at kalkulahin ang mga derivatives: I-substitute ito sa differential equation: Pag-equate ng mga coefficient para sa parehong trigonometriko function, nakakakuha kami ng isang sistema ng mga equation: Sa pamamagitan ng pagtaas ng parehong equation sa kapangyarihan at pagdaragdag ng mga ito, nakukuha namin ang amplitude ng sapilitang mga oscillations: Sa pamamagitan ng paghahati sa pangalawang equation sa una ay nakukuha natin ang phase shift ng forced oscillations: Kaya , ang equation ng motion para sa forced oscillations na isinasaalang-alang ang paglaban sa paggalaw, halimbawa para sa n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 slide

Lecture 5 Relative motion ng isang material point – Ipagpalagay natin na ang gumagalaw (non-inertial) coordinate system na Oxyz ay gumagalaw ayon sa isang partikular na batas na may kaugnayan sa fixed (inertial) coordinate system O1x1y1z1. Ang paggalaw ng materyal na punto M (x, y, z) na may kaugnayan sa gumagalaw na sistema Oxyz ay kamag-anak, na may kaugnayan sa nakapirming sistema O1x1y1z1 ay ganap. Ang paggalaw ng mobile system na Oxyz na nauugnay sa fixed system na O1x1y1z1 ay portable na paggalaw. . Ang mga inilipat na termino ay may dimensyon ng mga puwersa at itinuturing na katumbas na mga puwersang inertial, pantay: Kung gayon ang kamag-anak na paggalaw ng punto ay maaaring ituring na ganap, kung idaragdag natin ang paglipat at mga puwersa ng pagkawalang-galaw ng Coriolis sa mga kumikilos na pwersa: Sa mga projection sa axes ng gumagalaw na coordinate system na mayroon tayo: Mga espesyal na kaso ng relatibong paggalaw ng punto para sa iba't ibang uri portable na paggalaw: 1. Pag-ikot sa paligid ng isang nakapirming axis: Kung ang pag-ikot ay pare-pareho, pagkatapos ay εe = 0: 2. Translational curvilinear motion: Kung ang paggalaw ay rectilinear, kung gayon =: Kung ang paggalaw ay rectilinear at pare-pareho, kung gayon ang gumagalaw na sistema ay ang inertial at relative motion ay maituturing na absolute : Walang mekanikal na phenomena ang makaka-detect ng rectilinear uniform motion (ang prinsipyo ng relativity ng classical mechanics). Ang impluwensya ng pag-ikot ng Earth sa equilibrium ng mga katawan - Ipagpalagay natin na ang katawan ay nasa equilibrium sa ibabaw ng Earth sa isang arbitrary latitude φ (parallel). Ang Earth ay umiikot sa paligid ng axis nito mula kanluran hanggang silangan sa isang angular na bilis: Ang radius ng Earth ay humigit-kumulang 6370 km. S R – kabuuang reaksyon ng isang hindi makinis na ibabaw. Ang G ay ang puwersa ng pag-akit ng Earth sa gitna. F - sentripugal na puwersa ng pagkawalang-galaw. Kondisyon ng relatibong equilibrium: Ang resulta ng mga puwersa ng pagkahumaling at pagkawalang-galaw ay ang puwersa ng grabidad (timbang): Ang magnitude ng puwersa ng grabidad (timbang) sa ibabaw ng Earth ay P = mg. Ang sentripugal na puwersa ng pagkawalang-galaw ay isang maliit na bahagi ng puwersa ng grabidad: Ang paglihis ng puwersa ng grabidad mula sa direksyon ng puwersa ng pagkahumaling ay maliit din: Kaya, ang impluwensya ng pag-ikot ng Daigdig sa ekwilibriyo ng mga katawan ay napakaliit at hindi isinasaalang-alang sa mga praktikal na kalkulasyon. Ang pinakamataas na halaga ng puwersa ng inertia (sa φ = 0 - sa ekwador) ay 0.00343 lamang ng puwersa ng grabidad

Slide 17

Lecture 5 (continued 5.2) 15 Ang impluwensya ng pag-ikot ng Earth sa paggalaw ng mga katawan sa gravitational field ng Earth - Ipagpalagay natin na ang isang katawan ay nahulog sa Earth mula sa isang tiyak na taas H sa ibabaw ng Earth sa latitude φ. Pumili tayo ng gumagalaw na reference system na mahigpit na konektado sa Earth, na nagdidirekta sa x, y axes nang tangential sa parallel at sa meridian: Equation of relative motion: Ang liit ng centrifugal force ng inertia kumpara sa puwersa ng gravity ay isinasaalang-alang. account dito. Kaya, ang puwersa ng grabidad ay kinikilala sa puwersa ng grabidad. Bilang karagdagan, naniniwala kami na ang puwersa ng grabidad ay nakadirekta patayo sa ibabaw ng Earth dahil sa liit ng paglihis nito, tulad ng tinalakay sa itaas. Ang Coriolis acceleration ay katumbas at nakadirekta parallel sa y-axis sa kanluran. Ang Coriolis inertial force ay nakadirekta sa tapat na direksyon. I-proyekto natin ang equation ng relative motion sa axis: Ang solusyon ng unang equation ay nagbibigay ng: Initial conditions: Ang solusyon ng ikatlong equation ay nagbibigay ng: Initial conditions: Ang ikatlong equation ay nasa anyo: Initial conditions: Its solution gives: The resulting solution nagpapakita na ang katawan ay lumilihis sa silangan kapag bumabagsak. Kalkulahin natin ang magnitude ng paglihis na ito, halimbawa, kapag bumabagsak mula sa taas na 100 m. Hahanapin natin ang oras ng taglagas mula sa solusyon ng pangalawang equation: Kaya, ang impluwensya ng pag-ikot ng Earth sa paggalaw ng mga katawan ay napakaliit. para sa mga praktikal na taas at bilis at hindi isinasaalang-alang sa mga teknikal na kalkulasyon. Mula sa solusyon ng pangalawang equation ay sinusundan din nito ang pagkakaroon ng bilis sa kahabaan ng y axis, na dapat ding maging sanhi at sanhi ng katumbas na acceleration at Coriolis inertial force. Ang impluwensya ng bilis na ito at ang inertial na puwersa na nauugnay dito sa pagbabago ng paggalaw ay magiging mas mababa kaysa sa itinuturing na Coriolis inertial force na nauugnay sa vertical na bilis.

18 slide

Lecture 6 Dynamics ng isang mekanikal na sistema. Isang sistema ng mga materyal na punto o isang mekanikal na sistema - Isang hanay ng mga materyal na punto o mga materyal na, pinagsama ng mga pangkalahatang batas ng pakikipag-ugnayan (ang posisyon o paggalaw ng bawat punto o katawan ay nakasalalay sa posisyon at paggalaw ng lahat ng iba pa) Isang sistema ng malaya mga punto - ang paggalaw nito ay hindi limitado ng anumang mga koneksyon (halimbawa, isang planetary system , kung saan ang mga planeta ay itinuturing na mga materyal na punto). Isang sistema ng mga di-libreng puntos o isang di-libreng mekanikal na sistema - ang paggalaw ng mga materyal na punto o katawan ay limitado sa pamamagitan ng mga koneksyon na ipinataw sa sistema (halimbawa, isang mekanismo, isang makina, atbp.). 16 Mga puwersang kumikilos sa sistema. Bilang karagdagan sa dati nang umiiral na pag-uuri ng mga puwersa (aktibo at reaktibong pwersa), isang bagong klasipikasyon ng mga puwersa ang ipinakilala: 1. Mga panlabas na puwersa (e) - kumikilos sa mga punto at katawan ng system mula sa mga punto o katawan na hindi bahagi nito sistema. 2. Panloob na pwersa (i) – pwersa ng interaksyon sa pagitan ng mga materyal na punto o katawan na kasama sa isang ibinigay na sistema. Ang parehong puwersa ay maaaring parehong panlabas at lakas ng loob. Ang lahat ay nakasalalay sa kung anong uri ng mekanikal na sistema ang isinasaalang-alang. Halimbawa: Sa sistema ng Araw, Lupa at Buwan, lahat ng puwersa ng gravitational sa pagitan nila ay panloob. Kung isasaalang-alang ang sistema ng Earth at Moon, ang mga puwersa ng gravitational na inilapat mula sa Araw ay panlabas: C Z L Batay sa batas ng pagkilos at reaksyon, ang bawat panloob na puwersa Fk ay tumutugma sa isa pang panloob na puwersa Fk’, katumbas ng magnitude at magkasalungat sa direksyon. Dalawang kapansin-pansing katangian ng panloob na pwersa ang sumusunod mula rito: Ang pangunahing vector ng lahat ng panloob na pwersa ng system katumbas ng zero: Ang pangunahing sandali ng lahat ng panloob na pwersa ng system na nauugnay sa anumang sentro ay katumbas ng zero: O sa mga projection papunta sa mga coordinate axes: Tandaan. Bagama't ang mga equation na ito ay katulad ng equilibrium equation, hindi sila equilibrium equation dahil ang mga panloob na pwersa ay inilalapat sa iba't ibang puntos o katawan ng sistema at maaaring maging sanhi ng paggalaw ng mga puntong ito (katawan) na may kaugnayan sa isa't isa. Mula sa mga equation na ito ay sumusunod na ang mga panloob na pwersa ay hindi nakakaapekto sa paggalaw ng sistema na isinasaalang-alang bilang isang buo. Sentro ng masa ng isang sistema ng mga materyal na puntos. Upang ilarawan ang paggalaw ng system sa kabuuan, ipinakilala ang isang geometric na punto, na tinatawag na sentro ng masa, ang radius vector nito ay tinutukoy ng expression, kung saan ang M ay ang masa ng buong sistema: O sa mga projection papunta sa coordinate axes: Ang mga formula para sa sentro ng masa ay katulad ng mga formula para sa sentro ng grabidad. Gayunpaman, ang konsepto ng center of mass ay mas pangkalahatan dahil hindi ito nauugnay sa gravitational forces o gravitational forces.

Slide 19

Lecture 6 (continued 6.2) 17 Theorem on the motion of the center of mass of a system – Isaalang-alang ang isang sistema ng n materyal na puntos. Hinahati namin ang mga puwersang inilapat sa bawat punto sa panlabas at panloob at palitan ang mga ito ng katumbas na resultang Fke at Fki. Isulat natin ang pangunahing equation ng dynamics para sa bawat punto: o Isama natin ang mga equation na ito sa lahat ng punto: Sa kaliwang bahagi ng equation, ilagay ang mga masa sa ilalim ng sign ng derivative at palitan ang sum ng derivatives ng derivative ng sum: Mula sa kahulugan ng sentro ng masa: Palitan sa resultang equation: Pagkatapos kunin ang masa ng sistema mula sa tanda ng derivative na nakukuha natin o: Ang produkto ng masa ng system at ang acceleration ng center mass nito ay katumbas ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa. Sa mga projection sa mga coordinate axes: Ang sentro ng masa ng system ay gumagalaw bilang isang materyal na punto na may mass na katumbas ng masa ng buong system, kung saan ang lahat ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system ay inilalapat. Corollaries mula sa theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng system (mga batas sa konserbasyon): 1. Kung sa pagitan ng oras ang pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system ay zero, Re = 0, kung gayon ang bilis ng sentro ng mass ay pare-pareho, vC = const (ang sentro ng masa ay gumagalaw nang pare-pareho nang patuwid - ang batas ng konserbasyon ng paggalaw na sentro ng masa). 2. Kung sa pagitan ng oras ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system papunta sa x axis ay zero, Rxe = 0, kung gayon ang bilis ng sentro ng masa kasama ang x axis ay pare-pareho, vCx = const ( ang sentro ng masa ay gumagalaw nang pantay sa axis). Ang mga katulad na pahayag ay totoo para sa y at z axes. Halimbawa: Dalawang tao na may masa m1 at m2 ay nasa isang bangka na may mass na m3. Sa unang sandali ng oras, ang bangka na may mga tao ay nagpapahinga. Tukuyin ang displacement ng bangka kung ang isang tao na may mass m2 ay lumipat sa busog ng bangka sa layo a. 3. Kung sa pagitan ng oras ang pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system ay zero, Re = 0, at sa unang sandali ang bilis ng sentro ng masa ay zero, vC = 0, kung gayon ang radius vector ng sentro ng masa ay nananatiling pare-pareho, rC = const (ang sentro ng masa ay nasa pamamahinga - batas ng konserbasyon ng posisyon ng sentro ng masa). 4. Kung sa pagitan ng oras ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system papunta sa x axis ay zero, Rxe = 0, at sa unang sandali ang bilis ng sentro ng masa kasama ang axis na ito ay zero, vCx = 0, kung gayon ang coordinate ng sentro ng masa sa kahabaan ng x axis ay nananatiling pare-pareho, xC = const (ang sentro ng masa ay hindi gumagalaw kasama ang axis na ito). Ang mga katulad na pahayag ay totoo para sa y at z axes. 1. Layon ng paggalaw (bangka kasama ng mga tao): 2. Itapon ang mga koneksyon (tubig): 3. Palitan ang koneksyon ng reaksyon: 4. Magdagdag ng mga aktibong pwersa: 5. Isulat ang teorama tungkol sa sentro ng masa: Proyekto sa x-axis: O Tukuyin kung gaano kalayo ang kailangan mong ilipat sa isang tao na may mass m1, upang ang bangka ay manatili sa lugar: Ang bangka ay lilipat sa isang distansya l sa kabilang direksyon.

20 slide

Lecture 7 Force impulse ay isang sukatan ng mekanikal na interaksyon na nagpapakilala sa paghahatid ng mekanikal na paggalaw mula sa mga puwersang kumikilos sa isang punto para sa isang takdang panahon: 18 Sa mga projection papunta sa coordinate axes: Sa kaso ng isang pare-parehong puwersa: Sa mga projection papunta sa ang coordinate axes: Ang resultang impulse ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga inilapat na impulses sa punto ng pwersa sa parehong yugto ng panahon: Multiply sa dt: Pagsamahin sa loob ng isang takdang panahon: Ang momentum ng isang punto ay isang sukat ng mekanikal na paggalaw, na tinutukoy ng isang vector na katumbas ng produkto ng mass ng isang punto at ang vector ng bilis nito: Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang system - Isaalang-alang ang isang sistema n mga materyal na puntos. Hinahati namin ang mga puwersang inilapat sa bawat punto sa panlabas at panloob at palitan ang mga ito ng katumbas na resultang Fke at Fki. Isulat natin para sa bawat punto ang pangunahing equation ng dynamics: o Ang momentum ng isang sistema ng mga materyal na puntos ay ang geometric na kabuuan ng mga dami ng paggalaw ng mga materyal na puntos: Sa pamamagitan ng kahulugan ng sentro ng masa: Ang momentum vector ng system ay katumbas ng produkto ng masa ng buong sistema sa pamamagitan ng velocity vector ng sentro ng masa ng system. Pagkatapos: Sa mga projection papunta sa mga coordinate axes: Ang derivative ng oras ng momentum vector ng system ay katumbas ng pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system. Ibuod natin ang mga equation na ito sa lahat ng mga punto: Sa kaliwang bahagi ng equation, ilagay ang mga masa sa ilalim ng sign ng derivative at palitan ang kabuuan ng mga derivative ng derivative ng kabuuan: Mula sa kahulugan ng momentum ng system: Sa mga projection sa coordinate axes:

21 slide

Euler's theorem - Paglalapat ng theorem sa pagbabago ng momentum ng isang sistema sa paggalaw ng tuluy-tuloy na daluyan (tubig). 1. Pinipili namin bilang object of motion ang volume ng tubig na matatagpuan sa curvilinear channel ng turbine: 2. Itinatapon namin ang mga koneksyon at pinapalitan ang kanilang aksyon ng mga reaksyon (Ang Rsur ay ang resulta ng mga puwersa sa ibabaw) 3. Nagdaragdag kami ng mga aktibong pwersa ( Ang Rob ay ang resulta ng volumetric forces): 4. Isinulat namin ang theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng system: Ipinakikita namin ang momentum ng tubig sa mga oras na t0 at t1 bilang mga kabuuan: Pagbabago sa momentum ng tubig sa pagitan ng oras: Pagbabago sa momentum ng tubig sa isang infinitesimal na agwat ng oras dt: , kung saan F1 F2 Pagkuha ng produkto ng density, cross-sectional area at bilis para sa pangalawang masa na ating nakukuha: Ang pagpapalit ng differential ng momentum ng system sa change theorem, makuha natin: Corollaries mula sa theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng system (mga batas sa konserbasyon): 1. Kung sa pagitan ng oras ang pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system ay zero, Re = 0, kung gayon ang dami ng paggalaw ng vector ay pare-pareho, Q = const – ang batas ng konserbasyon ng momentum ng system). 2. Kung sa pagitan ng oras ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system papunta sa x-axis ay zero, Rxe = 0, kung gayon ang projection ng momentum ng system papunta sa x-axis ay pare-pareho, Qx = const . Ang mga katulad na pahayag ay totoo para sa y at z axes. Lecture 7 (continued from 7.2) Halimbawa: Isang granada ng mass M, na lumilipad sa bilis v, ay sumabog sa dalawang bahagi. Ang bilis ng isa sa mga fragment ng mass m1 ay tumaas sa direksyon ng paggalaw sa isang halaga v1. Tukuyin ang bilis ng pangalawang fragment. 1. Bagay ng paggalaw (grenade): 2. Bagay ay isang libreng sistema, walang mga koneksyon at ang kanilang mga reaksyon. 3. Magdagdag ng mga aktibong pwersa: 4. Isulat ang theorem tungkol sa pagbabago ng momentum: Project sa axis: β Paghiwalayin ang mga variable at pagsamahin: Ang tamang integral ay halos katumbas ng zero, dahil oras ng pagsabog t

22 slide

Lektura 7 (ipinagpapatuloy 7.3) 20 Ang angular momentum ng isang punto o ang angular na momentum ng isang punto na may kaugnayan sa ilang sentro ay isang sukatan ng mekanikal na paggalaw na tinutukoy ng isang vector na katumbas ng produkto ng vector ng radius vector ng isang materyal na punto at ng vector ng momentum nito: Ang angular momentum ng isang sistema ng mga materyal na punto na nauugnay sa ilang sentro ay geometric ang kabuuan ng angular na momentum ng lahat ng mga materyal na punto na nauugnay sa parehong sentro: Sa mga projection sa axis: Sa mga projection sa axis: Theorem sa pagbabago ang angular momentum ng system – Isaalang-alang ang isang sistema ng n mga materyal na puntos. Hinahati namin ang mga puwersang inilapat sa bawat punto sa panlabas at panloob at palitan ang mga ito ng katumbas na resultang Fke at Fki. Isulat natin ang pangunahing equation ng dynamics para sa bawat punto: o Isama natin ang mga equation na ito sa lahat ng punto: Palitan natin ang sum ng derivatives ng derivative ng sum: Ang expression sa mga bracket ay ang angular momentum ng system. Kaya: I-multiply natin ang bawat isa sa mga pagkakapantay-pantay sa radius vector sa kaliwa: Tingnan natin kung maaari nating ilipat ang sign ng derivative lampas produkto ng vector: Kaya, nakuha namin: Ang derivative ng oras ng angular momentum vector ng system na may kaugnayan sa ilang sentro ay katumbas ng pangunahing sandali ng mga panlabas na puwersa ng system na may kaugnayan sa parehong sentro. Sa mga projection sa mga coordinate axes: Ang derivative ng momentum ng system na may kaugnayan sa isang tiyak na axis sa oras ay katumbas ng principal moment ng mga panlabas na pwersa ng system na may kaugnayan sa parehong axis.

Slide 23

Lecture 8 21 ■ Corollaries mula sa theorem sa pagbabago ng angular momentum ng isang system (mga batas sa konserbasyon): 1. Kung sa isang agwat ng oras ang vector ng pangunahing sandali ng mga panlabas na puwersa ng system na may kaugnayan sa ilang sentro ay zero, MOe = 0, pagkatapos ay ang angular momentum vector ng system na may kaugnayan sa parehong center constant, KO = const – batas ng konserbasyon ng angular momentum ng system). 2. Kung sa agwat ng oras ang pangunahing sandali ng mga panlabas na pwersa ng sistema na may kaugnayan sa x axis ay katumbas ng zero, Mxe = 0, kung gayon ang angular na momentum ng system na nauugnay sa x axis ay pare-pareho, Kx = const. Ang mga katulad na pahayag ay totoo para sa y at z axes. 2. Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang matibay na katawan na may kaugnayan sa axis: Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa axis ay katumbas ng produkto ng masa ng punto sa pamamagitan ng parisukat ng distansya ng punto sa axis. Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang matibay na katawan na may kaugnayan sa axis ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng masa ng bawat punto at ang parisukat ng distansya ng puntong ito sa axis. ■ Mga elemento ng theory of moments of inertia – Sa rotational motion ng isang matibay na katawan, ang sukat ng inertia (resistance to change in motion) ay ang moment of inertia relative sa axis ng rotation. Isaalang-alang natin ang mga pangunahing konsepto ng kahulugan at mga paraan ng pagkalkula ng mga sandali ng pagkawalang-galaw. 1. Moment of inertia ng isang material point na may kaugnayan sa axis: Kapag pumasa mula sa discrete small mass hanggang sa infinitesimal mass ng isang point, ang limitasyon ng naturang sum ay tinutukoy ng integral: axial moment of inertia ng isang matibay na katawan. Bilang karagdagan sa axial moment ng inertia ng solid body, may iba pang uri ng inertia: ang centrifugal moment ng inertia ng solid body. polar moment of inertia ng isang matibay na katawan. 3. Theorem on the moments of inertia of a rigid body relative to parallel axes - ang formula para sa transition to parallel axes: Moment of inertia relative to the reference axis Static moments of inertia relative to the reference axes Body mass Distansya sa pagitan ng mga axes z1 at z2 Kaya: Kung ang z1 axis ay dumaan sa gitna ng masa, ang mga static na sandali ay zero:

24 slide

Lecture 8 (continued 8.2) 22 Moment of inertia of a homogenous rod of constant cross-section relative to the axis: x z L Piliin ang elementary volume dV = Adx sa layo x: x dx Elementary mass: Upang kalkulahin ang moment of inertia relative sa gitnang axis (pagdaraan sa gitna ng grabidad), sapat na upang baguhin ang lokasyon ng axis at itakda ang mga limitasyon ng pagsasama (-L/2, L/2). Dito ipinapakita namin ang formula para sa paglipat sa parallel axes: zC 5. Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang homogenous solid cylinder na may kaugnayan sa axis ng symmetry: H dr r Piliin natin ang elementary volume dV = 2πrdrH (manipis na silindro ng radius r) : Elementary mass: Ang pormula para sa volume ng silindro V = πR2H ay ginagamit dito. Upang makalkula ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang guwang (makapal) na silindro, sapat na upang itakda ang mga limitasyon ng pagsasama mula R1 hanggang R2 (R2> R1): 6. Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na silindro na may kaugnayan sa axis ng symmetry (t).

25 slide

Lecture 8 (continued 8.3) 23 ■ Differential equation para sa pag-ikot ng isang matibay na katawan tungkol sa isang axis: Sumulat tayo ng isang theorem tungkol sa pagbabago sa kinetic moment ng isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang fixed axis: Ang kinetic moment ng isang rotating matibay katawan ay katumbas ng: Ang sandali ng mga panlabas na pwersa na nauugnay sa axis ng pag-ikot ay katumbas ng metalikang kuwintas (reaksyon at puwersa ng gravity na mga sandali ay hindi lumilikha): Pinapalitan natin ang kinetic moment at torque sa theorem Halimbawa: Dalawang tao ng parehong timbang Ang G1 = G2 ay nakasabit sa isang lubid na inihagis sa isang solidong bloke ng timbang G3 = G1/4. Sa ilang mga punto, ang isa sa kanila ay nagsimulang umakyat sa lubid na may kamag-anak na bilis u. Tukuyin ang rate ng pagtaas ng bawat tao. 1. Piliin ang object ng paggalaw (harang sa mga tao): 2. Itapon ang mga koneksyon (suportadong aparato ng block): 3. Palitan ang koneksyon ng mga reaksyon (bearing): 4. Magdagdag ng mga aktibong pwersa (gravity forces): 5. Isulat ang theorem tungkol sa pagbabago sa kinetic moment ng system na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot ng block: R Dahil ang moment ng external forces ay zero, ang kinetic moment ay dapat manatiling pare-pareho: Sa unang sandali ng oras t = 0 nagkaroon ng equilibrium at Kz0 = 0. Matapos magsimula ang paggalaw ng isang tao na may kaugnayan sa lubid, nagsimulang gumalaw ang buong sistema, ngunit dapat manatiling katumbas ng zero ang kinetic moment system: Kz = 0. Ang kinetic moment ng system ay binubuo ng mga kinetic moments ng parehong mga tao at ang block: Narito ang v2 ay ang bilis ng pangalawang tao, katumbas ng bilis ng cable. Halimbawa: Tukuyin ang panahon ng maliliit na libreng oscillations ng isang homogenous rod ng mass M at haba l, na sinuspinde ng isang dulo hanggang ang nakapirming axis ng pag-ikot. O: Sa kaso ng maliliit na oscillations sinφ φ: Panahon ng oscillation: Moment of inertia ng rod:

26 slide

Lektura 8 (ipinagpatuloy mula sa 8.4 - karagdagang materyal) 24 ■ Elementarya na teorya ng gyroscope: Ang gyroscope ay isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang axis ng material symmetry, ang isa sa mga punto ay hindi gumagalaw. Libreng gyroscope - naayos upang ang sentro ng masa nito ay mananatiling nakatigil, at ang axis ng pag-ikot ay dumadaan sa gitna ng masa at maaaring tumagal ng anumang posisyon sa espasyo, i.e. ang axis ng pag-ikot ay nagbabago ng posisyon nito tulad ng axis ng sariling pag-ikot ng katawan sa panahon ng spherical motion. Ang pangunahing pagpapalagay ng tinatayang (elementarya) na teorya ng isang gyroscope ay ang angular momentum vector (kinetic moment) ng rotor ay itinuturing na nakadirekta sa sarili nitong axis ng pag-ikot. Kaya, sa kabila ng katotohanan na sa pangkalahatang kaso ang rotor ay nakikilahok sa tatlong pag-ikot, tanging ang angular na bilis ng sarili nitong pag-ikot ω = dφ/dt ay isinasaalang-alang. Ang dahilan nito ay sa makabagong teknolohiya Ang gyroscope rotor ay umiikot sa isang angular na bilis ng pagkakasunud-sunod ng 5000-8000 rad/s (mga 50000-80000 rpm), habang ang iba pang dalawang angular na bilis na nauugnay sa precession at nutation ng sarili nitong axis ng pag-ikot ay sampu-sampung libong beses na mas mababa. kaysa sa bilis na ito. Ang pangunahing pag-aari ng isang libreng gyroscope ay ang rotor axis ay nagpapanatili ng isang pare-parehong direksyon sa kalawakan na may paggalang sa inertial (stellar) na frame ng sanggunian (ipinakita ng Foucault pendulum, na nagpapanatili ng swing plane na hindi nagbabago tungkol sa mga bituin, 1852) . Ito ay sumusunod mula sa batas ng konserbasyon ng kinetic moment na may kaugnayan sa sentro ng masa ng rotor, sa kondisyon na ang alitan sa mga bearings ng rotor suspension axes, panlabas at panloob na mga frame ay napapabayaan: Ang pagkilos ng puwersa sa axis ng libreng gyroscope . Sa kaso ng puwersa na inilapat sa rotor axis, ang sandali ng mga panlabas na puwersa na nauugnay sa sentro ng masa ay hindi katumbas ng zero: ω ω C Ang derivative ng kinetic moment na may paggalang sa oras ay katumbas ng bilis ng pagtatapos. ng vector na ito (Resal's theorem): Nangangahulugan ito na ang rotor axis ay lilihis sa isang direksyon maliban sa action force, at patungo sa vector ng moment ng force na ito, i.e. ay iikot hindi tungkol sa x axis (panloob na suspensyon), ngunit tungkol sa y axis (panlabas na suspensyon). Kapag huminto ang puwersa, ang rotor axis ay mananatili sa isang hindi nagbabagong posisyon na tumutugma sa huling sandali ng puwersa, dahil mula sa sandaling ito sa oras ang sandali ng mga panlabas na pwersa ay muling nagiging katumbas ng zero. Sa kaganapan ng isang panandaliang puwersa (epekto), ang gyroscope axis ay halos hindi nagbabago sa posisyon nito. Kaya, ang mabilis na pag-ikot ng rotor ay nagbibigay sa gyroscope ng kakayahang humadlang sa mga random na impluwensya na may posibilidad na baguhin ang posisyon ng rotor axis ng pag-ikot, at sa patuloy na puwersa ay pinapanatili nito ang posisyon ng eroplano na patayo sa kumikilos na puwersa kung saan ang rotor pagsisinungaling ng axis. Ang mga katangiang ito ay ginagamit sa pagpapatakbo ng mga inertial navigation system.