“Paradoxo de Condorcet”: as armas não são simples. O paradoxo do voto
A página de título do ensaio em que Condorcet formulou seu paradoxo.
Experiência na aplicação de análise ao problema de probabilidade de decisões majoritáriasO paradoxo de Condorcet- o paradoxo da teoria da escolha pública, descrito pela primeira vez pelo Marquês Condorcet em 1785.
Reside no facto de que se houver mais de duas alternativas e mais de dois eleitores, a classificação colectiva das alternativas pode ser cíclica (não transitiva), mesmo que as classificações de todos os eleitores não sejam cíclicas (transitivas). Assim, as expressões de vontade grupos diferentes os eleitores, cada um representando uma maioria, podem entrar em conflito paradoxal entre si.
Na prática, a ideia da necessidade de classificação dos candidatos é implementada na votação pelo método Schulze.
Condorcet definiu uma regra segundo a qual a comparação das alternativas selecionadas (candidatos) é feita levando-se em consideração informações ordinais completas sobre as preferências dos eleitores.
De acordo com o princípio de Condorcet, para determinar a verdadeira vontade da maioria, cada eleitor deve classificar todos os candidatos por ordem de preferência. Depois disso, para cada par de candidatos é determinado quantos eleitores preferem um candidato a outro - é formada uma matriz completa de preferências dos eleitores aos pares.
Com base nesta matriz, utilizando a transitividade da relação de preferência, pode-se tentar construir um ranking coletivo de candidatos.
Comparemos esta conclusão com o resultado possível da votação num sistema maioritário de maioria relativa ou absoluta.
Entendemos que as regras do jogo determinarão o vencedor, e esses vencedores serão diferentes para diferentes regras de votação. Pelo segundo procedimento, muito utilizado no mundo, pode vencer o candidato que, na votação pareada, perderia para o candidato eliminado no primeiro turno numa proporção de até 1 para 1,99... A natureza paradoxal do tal situação em eleições reais é por vezes confundida com o próprio paradoxo de Condorcet. O princípio de Condorcet elimina tais erros associados à consideração incompleta das preferências dos eleitores na primeira volta, mas pode levar a uma contradição insolúvel.
Devido à simetria nesta forma, o paradoxo não pode ser resolvido por nenhum truque. Mas se substituirmos os eleitores individuais neste exemplo por três grupos com interesses próximos, mas não o mesmo número eleitores, por exemplo, 9, 10 e 11, então o método Schulze permite determinar formalmente o vencedor. Embora a natureza cíclica paradoxal da classificação colectiva permaneça.
De outra forma, o paradoxo de Condorcet surge quando uma determinada resolução ou lei é aprovada artigo por artigo, quando cada um dos artigos da lei é aprovado por maioria de votos, e a lei colocada em votação como um todo é rejeitada (às vezes até por uma maioria de cem por cento dos eleitores). Ou, pelo contrário, é bem possível que sejam tomadas decisões colectivas que nenhum dos eleitores apoiou a nível individual.
Exemplo. Vamos ter três pessoas votando em três questões. O primeiro deles vota “sim” na primeira questão, “sim” na segunda e “não” na terceira (“sim”/“sim”/“não”), o segundo vota “sim”/“não” /“sim”, o terceiro é “não”/“sim”/“sim”. O resultado total da votação é calculado como a razão entre as somas dos votos “sim” e “não” de cada questão. No caso considerado, o resultado total da votação será “sim”/“sim”/“sim”. Este resultado não reflecte a opinião de nenhum dos eleitores e, naturalmente, não satisfaz ninguém.
Nesta lição falaremos sobre o problema da escolha. Enfrentamos esse problema todos os dias: ir à loja, escolher um lugar para relaxar, votar no chefe da turma. Mas acontece que este problema também existe a nível estadual, nomeadamente: durante as eleições do presidente, do parlamento e do prefeito da cidade.
As dificuldades que surgem na escolha são descritas O paradoxo de Condorcet (paradoxo da contradição). Uma observação que servirá de intriga, de interesse. A Grande Revolução Francesa está em curso, Condorcet participa destes eventos, e nível superior. E de repente ele começa a lidar com esse paradoxo. Acontece que sua decisão é necessária – sem ela não há como fazer escolhas razoáveis. Eles correm, atiram, guilhotinam e assim por diante, e ele faz matemática (como se viu, a coisa mais importante). A compreensão de como deveriam ser as eleições num Estado democrático veio em grande parte da França, depois de revolução Francesa. E o trabalho de Condorcet teve um papel importante nisso.
Vamos considerar este exemplo. Existem três candidatos à eleição: , , . Após a votação, recebemos a seguinte distribuição de votos (Fig. 1).
Parece que o candidato deveria se tornar presidente. Mas vamos imaginar que será realizado um segundo turno. Contará com a presença de dois candidatos que obtiveram maior pontuação no primeiro turno. grande quantidade votos: candidatos e . Pode acontecer que os eleitores do candidato fiquem do lado do candidato (Figura 2).
Descobriu-se que um candidato deveria ser presidente. Como poderia haver dois resultados tão contraditórios?
Agora suponhamos que, ao entrevistarmos as pessoas, descobrimos não apenas quem elas escolheriam, mas também quais dos outros candidatos elas mais gostam. Ou seja, convidamos cada eleitor a classificar os candidatos em ordem decrescente de atratividade (Fig. 3).
Arroz. 3. Resultados da pesquisa
Vemos pela tabela que o candidato teria vencido no primeiro turno (foram 23 eleitores para ele). No segundo turno (Fig. 4), o candidato vence (35 eleitores o apoiam).
Agora vamos comparar os candidatos em pares. Comparando e, obtemos: 
. E ao comparar candidatos e com, descobrimos que ganha nas duas vezes: 
, 
. Ou seja, as regras eleitorais determinam completamente o vencedor. No nosso exemplo, cada um dos candidatos poderia vencer.
Vamos considerar um exemplo mais próximo do nosso Vida cotidiana. São três pessoas que querem ir a algum lugar nas férias. Cada um deles oferece a sua opção de férias: no mar, na floresta, na montanha. Como escolher? Parece impossível fazer uma escolha aqui. Geralmente em tal situação sugerimos passar dois dias em um lugar, depois três em outro, etc. Mas também pode haver uma situação em que a divisão em partes não funcione (por exemplo, há uma pequena quantia de dinheiro e todos querem comprar algo para si).
Uma solução é avaliar a sua escolha em percentagem (Fig. 5).
Arroz. 5. Resultados da seleção
Com esta opção, é improvável que não haja vencedor. Mas há um problema com esta escolha: duas pessoas ainda não ficarão satisfeitas com ela.
Mais um exemplo. Imagine que você está escolhendo um casaco. Existem três opções. Ao mesmo tempo, é mais quente, mais quente, ou seja, por enquanto você pode optar por. Mas é muito mais bonito, então é possível que você escolha. Nós conseguimos isso e. O paradoxo de Condorcet examina essas preferências cíclicas. EM a respeito disso violado transitividade.
Agora sabemos que tal problema existe. Vamos pensar por que isso ocorre, quando e como pode ser resolvido. A diferença entre o problema do casaco e a comparação usual ( uma maçã é mais pesada que uma pêra, uma pêra é mais pesada que uma laranja, o que significa que uma maçã é mais pesada que uma laranja) é que a escolha é feita de acordo com dois parâmetros. Se estivéssemos escolhendo o casaco mais quente, escolheríamos, se fosse o mais bonito, então. Mas ao escolher melhor opção para nós há um salto: primeiro precisamos decidir qual parâmetro é mais importante para nós.
Você pode pegar um exemplo dos esportes. Na corrida, quem correr mais rápido vence. Tudo é simples aqui, pois a escolha é baseada em um parâmetro - o tempo. E em patinação artística Existem muitos mais parâmetros: arte, técnica, complexidade, etc. Portanto, nesses esportes muitas vezes há disputas sobre os vencedores. Portanto, existe um problema geral de seleção ao longo de vários parâmetros.
Voltemos à Revolução Francesa. Durante ele foi apresentado o lema: “Liberdade, igualdade e fraternidade”. Mas a liberdade e a igualdade estão frequentemente em conflito. Igualdade implica justiça e liberdade significa liberdade, todos podem fazer o que quiserem. Como resultado, aqueles que apoiam a igualdade estão mais inclinados a regular, isto é, a limitar a liberdade. Algumas pessoas querem que todos ganhem um pouco de dinheiro, rublos, mas igualmente. E outros são a favor de alguém ganhar mais rublos, se ao mesmo tempo ele próprio receber rublos. Isto é bastante natural, a única questão é: o que fazer para resolver estas contradições?
Já consideramos uma das opções: esta é uma classificação que indica preferência percentual. Por exemplo, indique que a beleza de um casaco é importante para mim, mas o quão quente ele é é importante para mim. Ou seja, introduzimos uma única medida (porcentagem), então a comparação torna-se linear (em relação a um parâmetro) e a transitividade é cumprida para ela. Note-se que, na verdade, fomos além do âmbito da tarefa: expandimos-a e introduzimos uma única medida. A principal condição para tal decisão é que todos os participantes aceitem esta medida. Caso contrário, surgem conflitos, por exemplo, políticos. Um é pela liberdade, o outro é pela igualdade. Se você não for além dessas diferenças, resta apenas uma opção - persuasão e, na maioria das vezes, pela força (é assim que guerras civis). Se for possível ir além do âmbito da tarefa (por exemplo, dividir a terra proporcionalmente aos interesses do povo), então uma solução pacífica poderá ser encontrada: a Checoslováquia foi dividida em República Checa e Eslováquia. Para resolver conflitos de forma pacífica, marido e mulher divorciam-se (ultrapassam o âmbito do casamento) se não conseguirem resolver diretamente o problema da reconciliação.
O jogo intransitivo mais simples que conhecemos desde a infância - “pedra, papel, tesoura” (Fig. 6).
Arroz. 6. Jogo de pedra, papel e tesoura
E embora a condição do papel vencer a pedra não pareça natural, é um elemento importante para o jogo. É a natureza cíclica que permite jogar, pois a aleatoriedade da escolha de dois jogadores significa a imprevisibilidade do resultado. Se não houvesse ciclicidade, você sempre poderia escolher a opção vencedora.
Considere o dilema do prisioneiro. Dilema do Prisioneiroé um problema fundamental na teoria dos jogos, que afirma que os jogadores nem sempre cooperarão uns com os outros, mesmo que seja do seu interesse fazê-lo. Presume-se que o jogador (o “prisioneiro”) maximize seu próprio pagamento sem se preocupar com o ganho dos outros.
Se você jogar muitas vezes, poderá começar a prever os resultados analisando a lógica do seu oponente. A mesma ideia pode ser usada em outros jogos, como dados. Não tenhamos cubos comuns, mas sim os mostrados na figura (Fig. 7).
Quando, no final do século XVIII, o cientista francês Jean-Antoine-Nicolas de Condorcet começou a estudar os princípios da tomada de decisão colectiva, percebeu que, se a regra da maioria fosse observada, seriam possíveis resultados muito inesperados. Acontece que geralmente é impossível tomar qualquer decisão coletiva acordada, ou mesmo é tomada uma decisão que não é apoiada por nenhum dos eleitores. Por exemplo, uma vez que a Academia Francesa, da qual Condorcet era membro, votou primeiro que era melhor realizar a próxima reunião em Versalhes do que em Paris, depois - que era melhor em Fontainebleau do que em Versalhes, e, finalmente, que foi melhor em Paris do que em Fontainebleau. Este fenômeno na economia política moderna é chamado de paradoxo de Condorcet.
Descoberto há mais de 200 anos, o paradoxo de Condorcet ficou esquecido por muito tempo. EM final do século XIX século, foi redescoberta pelo matemático inglês Charles Dodgson (o conhecemos melhor como o escritor L. Carroll), mas esta descoberta secundária também passou despercebida aos seus contemporâneos. O verdadeiro triunfo das ideias de Condorcet começou apenas na década de 1950, quando o economista americano Kenneth Arrow (vencedor do Prémio Nobel de Economia em 1972) deu-lhes forma completa no seu teorema sobre a impossibilidade de uma democracia consistente.
Na sua tese de doutoramento, Arrow analisou as condições sob as quais as decisões de grupo são tomadas democraticamente, respeitando as preferências individuais (seguindo a analogia da política com o mercado). Utilizando modelos económicos e matemáticos, ele provou que a tomada de decisões consistentemente democrática é fundamentalmente impossível!
Mais precisamente, o significado do teorema de Arrow é que é impossível encontrar regras de votação tais que todas as seguintes regras elementares de tomada de decisão coletiva sejam sempre observadas:
- Transitividade (se, por exemplo, um eleitor prefere Putin a Yeltsin e considera Yeltsin melhor que Zhirinovsky, então ele, portanto, considera Putin melhor que Zhirinovsky);
- Eficiência de Pareto (uma solução que melhora o bem-estar de pelo menos uma pessoa sem piorar a vida de outras pessoas é considerada mais eficaz);
- Ausência de ditadura (é impossível alguém tomar sozinho decisões responsáveis, impondo-as aos outros);
- Independência de alternativas estranhas (se, por exemplo, a questão da escolha entre Yeltsin e Putin for colocada em votação, então o eleitor não deve votar no Yeltsin menos agradável na esperança de “abrir caminho” para o Yavlinsky mais atraente, que não está concorrendo nestas eleições).
Três amigos decidem como passar a noite. Um prefere o teatro, outro prefere o cinema, o terceiro prefere o circo. Mas ninguém insiste particularmente por conta própria; concordo, na pior das hipóteses, em ir a qualquer lugar com amigos. Além disso, não sabem onde é mais fácil conseguir ingressos. Andrey sugere o seguinte caminho: primeiro à bilheteria do teatro, depois ao cinema e depois ao circo. Boris pensa diferente: circo, teatro, cinema. Os desejos de Vadim: cinema, circo, teatro. Bem, teremos que decidir votando. Onde a maioria quiser, todos irão para lá.
Então, teatro ou cinema? Andrey e Boris preferem o teatro, só Vadim prefere o cinema. Por dois votos a um, o teatro vence o cinema. Cinema ou circo? Andrey e Vadim estão mais inclinados a ir ao cinema, Boris - ao circo. O filme é escolhido por maioria de votos.
Circo ou teatro? Por dois votos a um, é tomada a decisão de ir ao circo. Você provavelmente já percebeu que votar não rendeu nada. Não está claro o que a maioria quer. Vá ao cinema? No entanto, mais votos foram dados para o teatro. Então - para o teatro? Mas mais pessoas falaram pelo circo do que pelo teatro. Devo ir ao circo? Os resultados da votação mostraram que a maioria preferia o cinema ao circo. Em uma palavra, acabou sendo um círculo vicioso.
O filósofo e matemático francês Condorcet dedicou um extenso estudo ao estranho paradoxo que surge na contagem de votos a favor e contra. Aqui está outro exemplo de paradoxo com o nome deste matemático.
60 membros do parlamento devem escolher um presidente entre três candidatos. Para simplificar, iremos denotá-los pelas primeiras letras de seus sobrenomes: A, B e C.
Normalmente, a votação secreta nesses casos é realizada da seguinte forma: cada deputado escreve os nomes dos candidatos na ordem de preferência por ele. Temos seis combinações possíveis: ABC, AVB, BAV, BVA, VAB, VBA. Aqui estão cinco deles. 23 votos para a sequência ABC, 2 votos para a sequência BAV, 17 votos para a sequência BBA, 10 votos para a sequência BAB, 8 votos para a sequência VBA.
Acontece que A é preferível a B para 33 deputados, B é preferível a A para 27 deputados, B é preferível a C para 42 deputados, C é preferível a B para 18 deputados. E por último, B é preferível a A para 35 deputados, A é preferível a B para 25 deputados.
Em outras palavras, A é um candidato mais adequado para a maioria do que B, B é mais adequado do que C e C é mais adequado do que A.
Novamente nos encontramos em um círculo vicioso. O resultado da votação não é claro, mais uma vez o paradoxo de Condorcet. As estatísticas mostram que este paradoxo ocorre em 6 a 9 casos em cada 100 votos no sistema de preferências. Muita pesquisa matemática tem sido dedicada à busca de uma saída em tais situações. Mas até agora tudo foi em vão.
P.S. Do que mais os cientistas britânicos estão falando: que seria engraçado se o paradoxo de Condorcet fosse resolvido aleatoriamente por algum jovem prodígio que resolvesse Tarefas do OGE matemática. Falando em OGE, acesse o link para conhecer a programação do OGE 2017.
Este fenômeno é chamado de “paradoxo do voto”. O paradoxo é que ao votar número grande participantes, nenhum dos votos individuais poderá influenciar significativamente os seus resultados. Além disso, nenhum dos participantes votantes incorrerá em custos para obter informações e aproveitar a falha
Outra dificuldade com a votação por maioria é chamada de paradoxo da votação. Esta é uma situação em que a sociedade não consegue priorizar claramente as suas preferências através do voto.
As decisões políticas (públicas) são tomadas com base na identificação das preferências dos cidadãos ou membros de qualquer outra comunidade. Na maioria das vezes em condições modernas isso envolve votar anunciando sua posição por cada sujeito votante e um determinado procedimento para tomar uma decisão pública. O princípio de tomada de decisão de votação mais comum é a regra da maioria. Quando uma decisão é tomada por maioria de votos, é possível que a sociedade não consiga determinar claramente a prioridade das suas preferências - o chamado paradoxo do voto. Isto acontece quando as preferências de cada eleitor são transitivas, mas as preferências da sociedade como um todo não são transitivas. Muitas vezes, as decisões públicas tomadas por maioria de votos reflectem a posição do “eleitor médio”, cujas preferências se situam no meio de alguma escala possível. Por exemplo, o volume de produção de algum bem público estará, nesses casos, próximo do valor médio entre as suas quantidades máximas e mínimas.
Contudo, a escolha colectiva nem sempre conduz a resultados sustentáveis. Para verificar isso, alteremos ligeiramente o perfil de preferência considerado do terceiro grupo, trocando as alternativas T e C. Como resultado, obtemos um perfil de preferência que dá origem ao chamado paradoxo do voto
O teorema da impossibilidade de Arrow desenvolve a ideia do fracasso da escolha pública (coletiva), mostrada no paradoxo da votação. Do ponto de vista de Arrow, a função de bem-estar social não consiste apenas em certas preferências sociais ordenadas em relação a estados sociais alternativos, mas no próprio mecanismo (procedimento) de tal ordenação, uma espécie de conjunto de regras (constituição). Na verdade, é óbvio que, para passar das preferências individuais para as sociais, é necessário algum mecanismo para agregar as primeiras às segundas. A tendência natural em resposta ao paradoxo do voto é tentar conceber este mecanismo (a função de bem-estar social de Arrow) de tal forma que garanta a transitividade das preferências públicas. Ao mesmo tempo, Arrow propôs quatro requisitos mínimos e muito moderados que este mecanismo deve cumprir.
O paradoxo da votação nem sempre surge. Na verdade, mostrámos anteriormente que, ao votar num determinado nível de bens públicos, existia um equilíbrio de votação por maioria simples bem definido que correspondia às preferências do eleitor mediano. O que distingue os casos em que existe equilíbrio daqueles em que ele não existe?
Paradoxo de Votação Preferências Máximas Seta Teorema da Impossibilidade Equilíbrio de Lindahl
Os economistas geralmente assumem que os consumidores individuais têm preferências estáveis. É claro que isto não pode ser completamente verdade; hoje muitas vezes ficamos surpresos com o motivo pelo qual compramos algo ontem, mesmo quando sabíamos exatamente o que estávamos comprando. Além disso, muitas questões relacionadas com o voto reaparecem quando pensamos na família como a principal unidade consumidora. As famílias procuram resolver o paradoxo do voto considerando apenas as preferências dos pais. (Mostre que o paradoxo da votação não pode surgir a menos que haja pelo menos três tomadores de decisão.)
Por que uma emenda constitucional ou lei comum As políticas de limitação do défice poderão ajudar a reduzir os défices ou a despesa se o Congresso não conseguir cortar a despesa agora. A resposta é que, devido ao conluio e ao paradoxo da votação, os níveis de despesa determinados sob pressão de todos os lados podem ser significativamente diferentes do que poderiam ter sido. . alcançado como resultado de concessões mútuas.
Pergunta chave. Explique o paradoxo da votação consultando a tabela abaixo, que mostra a prioridade dada a três bens públicos pelos eleitores Larry, Curley e Moe.
O paradoxo do voto é uma situação em que o voto baseado no princípio da maioria não garante a identificação da real estrutura das preferências da sociedade relativamente à oferta de bens e serviços.
Como resultado, as preferências de tal coletivo são intransitivas: a escola é preferida ao parque, o parque é preferido ao café e o café é preferido à escola. O círculo se fecha e uma decisão final não pode ser tomada. Existe um paradoxo na votação.
O paradoxo da votação também é chamado de paradoxo de Condorcet em homenagem ao filósofo e matemático francês Marquês M. J. A. Condorcet (1743-1794)
Paradoxo da votação - a dependência do resultado da classificação das alternativas, realizada por votação, da sequência de comparação das alternativas
A presença do paradoxo da votação abre caminho para a chamada manipulação processual; indivíduos que têm o direito de formular questões, determinar a sequência de votação e controlar outros aspectos do processo de tomada de decisão são capazes de tomar decisões que são benéficos para si mesmos. Vamos ilustrar esta tese usando nosso exemplo. Se o indivíduo 1 tiver o direito de determinar o procedimento de votação, ele poderá formular uma regra segundo a qual as opções rejeitadas serão excluídas de considerações posteriores.
Deve-se notar que a possibilidade de intransitividade é uma das consequências indesejáveis da natureza multidimensional da comparação de vários métodos empíricos. Isto é bastante análogo ao paradoxo da votação e pode surgir sempre que a escolha do método empírico é determinada pela decisão de qual dos métodos empíricos concorrentes tem mais características preferidas. Para uma discussão sobre o paradoxo da votação, consulte.
Até certo ponto, o logrolling ajuda a superar o paradoxo da votação. No nosso exemplo, que ilustra o paradoxo de Condorcet, se dois dos três grupos puderem concordar entre si sobre a escolha de dois programas e mudarem as suas preferências de tal forma que esses processos passem
Fazendo uma escolha através sistema político coloca problemas muito específicos. Um deles é o paradoxo da votação descrito na Caixa 4-2. Três ou mais pessoas pode não ser capaz de implementar a não oposição ao votar com base no princípio da maioria simples
Kenneth Arrow, de Stanforle, recebeu o Prémio Nobel de Economia, em parte, pelo seu trabalho que mostra que a sociedade não consegue encontrar um procedimento para tomar decisões consistentes e acordadas, a menos que essas decisões sejam deixadas ao critério de um único indivíduo. A demonstração deste ponto baseia-se no paradoxo da votação.
