Ajuda na Tele2, tarifas, dúvidas

Teoria da probabilidade

1. Petya escolhe um número de três dígitos. Encontre a probabilidade de que seja divisível por 50.
2. Petya escolhe um número de três dígitos. Encontre a probabilidade de que seja divisível por 11.
3. São 10 tortas no prato: 2 com carne, 6 com repolho e 2 com cerejas. Petya escolhe uma torta aleatoriamente. Encontre a probabilidade de ele acabar com uma cereja.
4. São 30 tortas no prato: 3 com carne, 18 com repolho e 9 com cerejas. Vova escolhe uma torta aleatoriamente. Encontre a probabilidade de ele acabar com uma cereja.
5. Na empresa de táxi este momento 30 carros disponíveis: 7 pretos, 6 amarelos e 17 verdes. Um dos carros, que por acaso estava mais próximo do cliente, atendeu à chamada. Encontre a probabilidade de um táxi amarelo vir até ele.
6. Pelos termos da promoção, cada décima lata de café contém um prêmio. Os prêmios são distribuídos aleatoriamente entre os potes. Petya compra uma lata de café na esperança de ganhar um prêmio. Encontre a probabilidade de Petya não encontrar o prêmio em sua jarra.
7. Igor e seu pai decidiram andar na roda gigante. São ao todo vinte cabines na roda, sendo 3 azuis, 14 verdes e as demais vermelhas. As cabines se revezam na aproximação à plataforma de embarque. Encontre a probabilidade de Igor andar no táxi vermelho.
8. Petya e papai decidiram andar na roda gigante. Há um total de doze cabines na roda, das quais 3 são azuis, 6 são verdes e as demais são vermelhas. As cabines se revezam na aproximação à plataforma de embarque. Encontre a probabilidade de Petya andar no carro vermelho.
9. O avô tem 10 xícaras: 7 com flores vermelhas, as demais com flores azuis. O avô serve chá em uma xícara selecionada aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que seja uma xícara com flores azuis.
10. A vovó tem 20 xícaras: 4 com flores vermelhas, as demais com flores azuis. A avó serve chá em uma xícara selecionada aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que seja uma xícara com flores azuis.
11. São 50 ingressos para o exame. Petya não aprendeu 9 deles. Encontre a probabilidade de ele encontrar o bilhete aprendido.
12. São 50 ingressos para o exame. Petya não aprendeu nenhum deles. Encontre a probabilidade de ele encontrar o bilhete aprendido.
13. A comissão de pais comprou 10 quebra-cabeças para presentes de fim de ano para as crianças, 2 deles com carros e 8 com vistas de cidades. Os presentes são distribuídos aleatoriamente. Encontre a probabilidade de Vova acertar o quebra-cabeça com o carro.
14. A comissão de pais comprou 25 quebra-cabeças para presentes de fim de ano para as crianças, 22 deles com carros e 3 com vistas de cidades. Os presentes são distribuídos aleatoriamente. Encontre a probabilidade de Dima acertar o quebra-cabeça com o carro.
15. Em média, para cada 100 lanternas, sete estão com defeito. Encontre a probabilidade de comprar uma lanterna funcionando.
16. Em média, para cada 75 lanternas, sete estão com defeito. Encontre a probabilidade de comprar uma lanterna funcionando.
17. Em média, de cada 100 baterias vendidas, 91 baterias são carregadas. Encontre a probabilidade de a bateria adquirida não estar carregada.
18. Em média, de cada 80 baterias vendidas, 68 baterias são carregadas. Encontre a probabilidade de a bateria adquirida não estar carregada.
19. Sasha escolhe aleatoriamente número de dois dígitos. Encontre a probabilidade de terminar em 6.
20. Determine a probabilidade de que, ao lançar um dado, você obtenha um número ímpar de pontos.
21. Determine a probabilidade de que, ao lançar um dado, você obtenha 1.
22. Duas moedas simétricas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de obter cara e coroa?
23. Três moedas simétricas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter duas caras e uma coroa?
24. Há 21 alunos na turma, entre eles dois amigos - Petya e Vasya. Numa aula de educação física, a turma é dividida aleatoriamente em 7 grupos iguais. Encontre a probabilidade de Petya e Vasya estarem no mesmo grupo.
25. Antes do início de uma partida de futebol, o árbitro joga uma moeda para determinar qual time terá a posse de bola primeiro. A equipe A deve jogar três partidas - com a equipe B, com a equipe C e com a equipe D. Encontre a probabilidade de a equipe A ter a posse de bola primeiro em todas as partidas.
26. 6 atletas da Grécia, 4 atletas da Bulgária, 3 atletas da Roménia e 7 da Hungria participam na competição de lançamento do peso. A ordem em que os atletas competem é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de o atleta que compete por último ser da Hungria.
27. 4 atletas da Dinamarca, 8 atletas da Suécia, 4 atletas da Roménia e 9 da Hungria participam na competição de lançamento do peso. A ordem em que os atletas competem é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de o atleta que compete por último ser da Suécia.
28. Em um experimento aleatório, dois são lançados dados. Encontre a probabilidade de que o total seja 9 pontos. Arredonde o resultado para centésimos.
29. Em um experimento aleatório, três dados são lançados. Encontre a probabilidade de que o total seja 10 pontos. Arredonde o resultado para centésimos.
30. Na prova de geometria, o aluno pega um problema da coleção. A probabilidade de este problema estar no tópico "Triângulos" é de 0,5. A probabilidade de que este seja um problema no tópico “Círculo” é de 0,25. Não há problemas na coleção que se relacionem simultaneamente com esses dois temas. Encontre a probabilidade de um aluno conseguir uma tarefa em um desses dois tópicos no exame.
31. Na prova de geometria, o aluno pega um problema da coleção. A probabilidade de este problema estar no tópico "Círculo" é de 0,45. A probabilidade de que isso seja um problema no tópico “Ângulos” é de 0,5. Não há problemas na coleção que se relacionem simultaneamente com esses dois temas. Encontre a probabilidade de um aluno conseguir uma tarefa em um desses dois tópicos no exame.
32. O atirador atira em alvos quatro vezes. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é de 0,5. Encontre a probabilidade de o atirador acertar os alvos nas primeiras 3 vezes e última vez perdido.
33. O atirador atira três vezes nos alvos. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é de 0,7. Encontre a probabilidade de o atirador acertar os alvos na primeira vez e errar nas duas últimas vezes.
34. O atirador atira três vezes nos alvos. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é de 0,9. Encontre a probabilidade de o atirador acertar o alvo duas vezes e errar uma vez.
35. O atirador atira três vezes nos alvos. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é de 0,5. Encontre a probabilidade de o atirador acertar o alvo duas vezes e errar uma vez.
36. Há 24 meninos e 6 meninas na nona classe econômica. Por sorteio, eles escolhem um oficial de plantão por turma. Qual é a probabilidade de ser um menino?
37. Há 2 meninos e 23 meninas na nona aula de matemática. Por sorteio, eles escolhem um oficial de plantão por turma. Qual é a probabilidade de ser uma menina?
38. A probabilidade de um novo computador durar mais de um ano é de 0,98. A probabilidade de durar mais de dois anos é de 0,84. Encontre a probabilidade de durar menos de dois anos, mas mais de um ano.
39. A probabilidade de um novo scanner durar mais de um ano é de 0,96. A probabilidade de durar mais de dois anos é de 0,87. Encontre a probabilidade de durar menos de dois anos, mas mais de um ano.
40. Qual é a probabilidade de que um selecionado aleatoriamente número natural 25 a 39 é divisível por 5?
41. Qual é a probabilidade de um número natural selecionado aleatoriamente entre 15 e 36 ser divisível por 2?
42. Na Olimpíada de Química, os participantes ficam sentados em três salas de aula. Nos dois primeiros são 180 pessoas cada; os demais são levados para um auditório reserva em outro prédio. Ao contar, descobriu-se que havia 450 participantes no total. Encontre a probabilidade de um participante selecionado aleatoriamente ter escrito o concurso em uma sala de aula livre.
43. Na Olimpíada de Matemática, os participantes ficam sentados em três salas de aula. Nos dois primeiros são 120 pessoas cada, os demais são levados para um auditório reserva em outro prédio. Ao contar, descobriu-se que havia 300 participantes no total. Encontre a probabilidade de um participante selecionado aleatoriamente ter escrito o concurso em uma sala de aula livre.
44. A probabilidade de Petya resolver corretamente mais de 11 problemas no teste de física é de 0,65. A probabilidade de ele resolver corretamente mais de 10 problemas é de 0,71. Encontre a probabilidade de Petya resolver exatamente 11 problemas corretamente.
45. A probabilidade de Vasya resolver corretamente mais de 12 problemas no teste de matemática é de 0,7. A probabilidade de ele resolver corretamente mais de 11 problemas é de 0,79. Encontre a probabilidade de Vasya resolver exatamente 12 problemas corretamente.
46. Um ônibus circula diariamente do centro do distrito para a vila. A probabilidade de haver menos de 22 passageiros no ônibus na segunda-feira é de 0,86. A probabilidade de haver menos de 9 passageiros é de 0,5. Encontre a probabilidade de que o número de passageiros seja de 9 a 21.
47. Um ônibus circula diariamente do centro do distrito para a vila. A probabilidade de haver menos de 21 passageiros no ônibus na segunda-feira é de 0,96. A probabilidade de haver menos de 11 passageiros é de 0,51. Encontre a probabilidade de que o número de passageiros seja de 11 a 20.
48. Uma linha automática produz baterias. A probabilidade de uma bateria acabada estar com defeito é de 0,05. Antes da embalagem, cada bateria passa por um sistema de controle. A probabilidade de o sistema rejeitar uma bateria defeituosa é de 0,99. A probabilidade de o sistema rejeitar erroneamente uma bateria em funcionamento é de 0,03. Encontre a probabilidade de que uma bateria fabricada selecionada aleatoriamente seja rejeitada pelo sistema de inspeção.
49. Uma linha automática produz baterias. A probabilidade de uma bateria acabada estar com defeito é de 0,03. Antes da embalagem, cada bateria passa por um sistema de controle. A probabilidade de o sistema rejeitar uma bateria defeituosa é de 0,97. A probabilidade de o sistema rejeitar erroneamente uma bateria em funcionamento é de 0,05. Encontre a probabilidade de que uma bateria fabricada selecionada aleatoriamente seja rejeitada pelo sistema de inspeção.

Tarefas de preparação para o OGE e o Exame Estadual Unificado em probabilidade

6 atletas da Grécia, 4 atletas da Bulgária, 3 atletas da Roménia e 7 da Hungria participam na competição de lançamento do peso. A ordem em que os atletas competem é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de o atleta que compete por último ser da Hungria.

Solução: Resultados totais 4+6+7+3=20; Favorável – 7. Resposta: 7/20=0,35

Um ônibus circula diariamente do centro do distrito para a vila. A probabilidade de haver menos de 30 passageiros no ônibus na segunda-feira é de 0,94. A probabilidade de haver menos de 20 passageiros é de 0,56. Encontre a probabilidade de que o número de passageiros seja de 20 a 29.

Solução: A probabilidade necessária é P=0,94−0,56=0,38. Resposta 0,38

A conferência científica é realizada durante 5 dias. Estão previstos um total de 75 relatórios – os primeiros três dias têm 17 relatórios cada, os restantes são distribuídos igualmente entre o quarto e o quinto dias. A ordem dos relatórios é determinada por sorteio. Qual é a probabilidade de o relatório do Professor Preobrazhensky ser agendado para o último dia da conferência?

Solução: Vamos usar a definição clássica de probabilidade. De acordo com as condições do problema, são 12 relatos no último dia, e são 75 no total, então a probabilidade exigida é P = 12/75 = 0,16. Resposta 0,16

3 cientistas da Noruega, 3 da Rússia e 4 da Espanha compareceram ao seminário. A ordem dos relatórios é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de que o oitavo relatório seja um relatório de um cientista da Rússia. Resposta: 0,3

O seminário contou com a participação de 3 cientistas da Indonésia, 3 do Camboja, 4 do Chile e mais 10 cientistas de países europeus. A ordem dos relatórios é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de o oitavo relatório ser de um cientista indonésio. Resposta: 0,15

A competição de arremesso de peso inclui 6 atletas da Grã-Bretanha, 3 atletas da França, 6 atletas da Alemanha e 10 da Itália. A ordem em que os atletas competem é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de o atleta que compete por último ser francês.

Solução: Resultados totais 6+3+6+10=25; Favorável – 3. Resposta: 3/25=0,12. Resposta: 0,12

São 6 clubes de futebol participantes do Torneio dos Campeões: Barcelona, ​​Juventus, Bayern de Munique, Chelsea, Porto e PSG. As equipes são distribuídas aleatoriamente em dois grupos de três equipes. Qual é a probabilidade de Barcelona e Bayern acabarem no mesmo grupo?

Deixe Barcelona e Bayern ficarem no primeiro grupo. A probabilidade do Barcelona chegar lá é 3/6 = 1/2, já que há 3 vagas no grupo, e há 6 times no total. A probabilidade do Bayern também entrar no primeiro grupo é 2/5, então. pois já restam 2 vagas no grupo, e no total escolhemos entre as 5 equipes restantes. Portanto, a probabilidade de ambas as equipes estarem no primeiro grupo é 1/2∗ 2/5=0,2. Como existem dois grupos, as probabilidades se somam (ambas as equipes terminarão no primeiro OU no segundo grupo). Então a probabilidade necessária é 0,4. Resposta: 0,4.

A comissão de pais comprou 10 quebra-cabeças para presentes de fim de ano para as crianças, 3 deles com carros e 7 com vistas de cidades. Os presentes são distribuídos aleatoriamente. Encontre a probabilidade de Vasya acertar o quebra-cabeça com o carro. Solução 3/10. Resposta: 0,3

Compras de empresas agrícolas ovos de galinha em duas famílias. 40% dos ovos da primeira granja são ovos da categoria mais alta, e da segunda granja - 20% dos ovos da categoria mais alta. No total, 35% dos ovos recebem a categoria mais alta. Encontre a probabilidade de que um ovo comprado desta empresa agrícola venha da primeira fazenda. Solução: Vamos denotar por x a probabilidade desejada de que o ovo comprado tenha sido produzido na primeira fazenda. Então 1− x- a probabilidade de o ovo comprado ter sido produzido por uma segunda exploração. Vamos aplicar a fórmula da probabilidade total e obter 0,4x+0,2(1−x)=0,35 ⇒ x=0,75. Resposta: 0,75

A comissão de pais comprou 20 quebra-cabeças para presentes de fim de ano para as crianças, 6 deles com carros e 14 com vistas de cidades. Os presentes são distribuídos aleatoriamente. Encontre a probabilidade de Volodya conseguir um quebra-cabeça com uma cidade. Resposta: 14/20 = 0,7

No prato estão tortas idênticas: 4 com carne, 8 com repolho e 3 com maçã. Petya escolhe uma torta aleatoriamente. Encontre a probabilidade de a torta conter maçãs. Resposta: 0,2

Na arrecadação de ingressos de física existem apenas 25 ingressos, 13 deles contêm uma pergunta sobre óptica. Encontre a probabilidade de que um tíquete de exame selecionado aleatoriamente contenha um tíquete óptico.

Resposta: 13/25=0,52

Na coleção de tickets de física existem apenas 15 tickets, 12 deles contém uma pergunta sobre eletrostática. Encontre a probabilidade de que uma prova selecionada aleatoriamente não contenha uma prova sobre eletrostática. Resposta: 3/15 = 0,2

Relógios mecânicos com mostrador de doze horas, em algum momento eles quebraram e pararam de funcionar. Encontre a probabilidade de o ponteiro das horas congelar, chegando às 5 horas, mas não chegando às 11 horas.

Solução: No total, o mostrador de números de 1 a 12 é dividido em 12 setores favoráveis ​​para nós são de 5 a 11. Então P = 6/12 = 0,5. Resposta: 0,5

Um relógio mecânico com mostrador de doze horas quebrou em algum momento e parou de funcionar. Encontre a probabilidade de o ponteiro das horas estar congelado, chegando às 4 horas, mas não às 7 horas.

Solução: Existem 12 setores no total. Favorável – 3. Então P = 3/12 = 0,25. Resposta: 0,25

Uma equipe de bobsleigh consiste em quatro pessoas. Se pelo menos um atleta adoecer, a equipe não vai para a largada. A probabilidade de adoecer para o primeiro membro da equipe é de 0,1, para o segundo – 0,2, para o terceiro – 0,3 e para o quarto – 0,4. Qual é a probabilidade de a equipe de bobsled não começar?

Solução. Vamos encontrar a probabilidade de a equipe começar: P 1 =(1−0,1)∗ (1− 0,2)∗ (1− 0,3)∗ (1− 0,4)=0,3024. Então a probabilidade de a equipe não começar é P=1−P 1 =1-0,3024= 0,6976. A resposta é 0,6976.

São 30 pessoas no grupo de turistas. Eles são lançados de helicóptero em uma área de difícil acesso em várias etapas, 6 pessoas por voo. A ordem em que o helicóptero transporta os turistas é aleatória. Encontre a probabilidade de o turista P. fazer o primeiro voo de helicóptero. Resposta 6/30=0,2

São 16 pessoas no grupo turístico. Eles são lançados de helicóptero em uma área de difícil acesso em várias etapas, 4 pessoas por voo. A ordem em que o helicóptero transporta os turistas é aleatória. Encontre a probabilidade de o turista A. fazer o primeiro voo de helicóptero. Resposta: 4/16 = 0,25

EM13 atletas da Rússia, 2 atletas da Noruega e 5 atletas da Suécia participam no esqui cross-country. A ordem de largada dos atletas é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de um atleta não russo largar primeiro. Resposta: 20/07 = 0,35

São 35 ingressos no exame, Stas não aprendeu 7 deles. Encontre a probabilidade de que quando seleção aleatória ele encontrará um ticket aprendido. Resposta: 28/35=0,8

Pelos termos da promoção, cada vigésima quinta lata de café contém um prêmio. Os prêmios são distribuídos aleatoriamente entre os potes. Kolya compra uma lata de café na esperança de ganhar um prêmio. Encontre a probabilidade de Kolya não encontrar o prêmio em seu banco.

Solução: Como, de acordo com as condições, cada vigésima quinta lata de café contém um prêmio,

então nos 24 restantes não há prêmio. Então, a probabilidade de Kolya não encontrar o prêmio em seu banco é igual a

24/25 = 0,96 Resposta: 0,96:

Dos 600 teclados de computador, em média 12 estão com defeito. Qual é a probabilidade de um teclado selecionado aleatoriamente estar funcionando? Resposta: 1- 12/600 = 0,98

Em média, para cada 147 brocas em funcionamento, há três com defeito. Encontre a probabilidade de que o exercício selecionado esteja funcionando. Resposta: 147/150=0,98

Petya, Katya, Vanya, Dasha e Natasha, alunos do nono ano, lançaram a sorte sobre quem deveria iniciar o jogo. Encontre a probabilidade de Katya não conseguir o lote para iniciar o jogo. Resposta 4/5=0,8

Petya, Katya, Vanya, Dasha e Natasha, alunos do nono ano, lançaram a sorte sobre quem deveria iniciar o jogo. Encontre a probabilidade de um menino começar o jogo. Resposta: 0,4

No bolso de Seryozha havia quatro doces - “Andorinha”, “Chapeuzinho Vermelho”, “Máscara” e “Take Off”, além das chaves do apartamento. Ao tirar as chaves, Seryozha acidentalmente deixou cair um doce do bolso. Encontre a probabilidade de o doce Chapeuzinho Vermelho ser perdido. Resposta: 1/4=0,25

Antes do início da primeira rodada do campeonato de tênis, os participantes são divididos aleatoriamente em pares por sorteio. No total, 76 tenistas participam do campeonato, incluindo 7 atletas da Rússia, incluindo Anatoly Moskvin. Encontre a probabilidade de que na primeira rodada Anatoly Moskvin jogue com qualquer tenista da Rússia. Resposta: 6/75=0,08

A competição performática é realizada durante 5 dias. Foram anunciadas um total de 80 apresentações – uma de cada país participante da competição. Um artista da Rússia participa da competição. Estão programadas 8 apresentações no primeiro dia, as restantes são distribuídas igualmente entre os restantes dias. A ordem das apresentações é determinada por sorteio. Qual é a probabilidade de um artista da Rússia se apresentar no terceiro dia de competição?

Solução: descubra quantas apresentações estão programadas para o terceiro dia: (80-8)/4=18

Então, a probabilidade de um artista da Rússia se apresentar no terceiro dia de competição é igual a

P = 18/80=0,225 Resposta: 0,225

Segundo dados estatísticos, a probabilidade de um telemóvel Samsung adquirido numa loja Euroset durar mais de quatro anos é de 0,83. A probabilidade de durar mais de cinco anos é de 0,66. Encontre a probabilidade de um telefone desta marca falhar no quinto ano de operação.

Solução: A probabilidade do evento desejado é P = 0,83−0,66 = 0,17. A resposta é 0,17.

Qual é a probabilidade de um número natural selecionado aleatoriamente de 30 a 54 ser divisível por 2?

Solução. De 30 a 54 25 números. Pares de 13.(30 31; 32 33; 34 35;… 52 53; e 54) Resposta 13/25=0,52

Existem 5 bolas vermelhas e 3 bolas azuis na urna. Para dar sorte, escolha três deles. Qual é a probabilidade de dois deles serem azuis.

Solução. (2/3*1/5)/3/8=2/15*8/3=16/45=0,3(5)

Existem 30 bolas em uma urna: 10 vermelhas, 5 azuis e 15 brancas. Encontre a probabilidade de aparecer uma bola colorida.

Dois eventos incompatíveis P(A+B)=P(A)+P(B)= 5/30+10/30=15/30=0,5

Kolya escolhe um número de três dígitos. Encontre a probabilidade de que seja divisível por 5.

Solução. Existem 900 números de três dígitos, de 180 números são múltiplos de 5, então P = 180/900 = 0,2 Resposta: 0,2

Uma urna contém 10 bolas brancas, 15 pretas, 20 azuis e 25 vermelhas. Uma bola foi retirada. Encontre a probabilidade de a bola sorteada ser: branca, preta, azul, vermelha, branca ou preta, azul ou vermelha, branca ou preta ou azul?

Solução. Eventos tiram a bola branco ou tire uma bola preta que não seja compatível. Portanto, na solução utilizamos o teorema da adição. São 70 bolas no total.

Vamos encontrar P(b)=10/70: P(h)=15/70: P(s)=20/70: P(k)=25/70

Pelo teorema da soma obtemos P(b+h) = P(b)+ P(h)= 10/70+15/70=25/70= 5/14; P(s+k)= P(s)+P(k)= 20/70+25/70=45/70=9/14; R(b+h+s) = R(b)+R(s)+ R(h)=10/70+20/70+15/70=45/70=9/14

Kolya escolhe um número de três dígitos. Encontre a probabilidade de que seja divisível por 4.

A primeira caixa contém 2 bolas brancas e 10 pretas, a segunda caixa contém 8 bolas brancas e 4 pretas. Tiramos 1 bola de cada caixa. Qual é a probabilidade de ambas as bolas serem brancas? Solução. Vamos considerar os eventos:

A e B são eventos independentes, portanto P(A*B)= P(A)*P(B)=1/6*2/3=1/9 Resposta 1/9

Stas escolhe um número de três dígitos. Encontre a probabilidade de que seja divisível por 48.

A primeira caixa contém 2 bolas brancas e 10 pretas, a segunda caixa contém 8 bolas brancas e 4 pretas. Tiramos 1 bola de cada caixa. Qual é a probabilidade de uma bola sorteada ser branca e a outra preta? Solução.

A – retire uma bola branca de 1 caixa P(A)=2/12

B – retire a bola branca de 2 caixas Р(В)=8/12

C – retire a bola preta de 1 caixa P(C)=10/12

D- retire a bola preta de 2 caixas P(D)=4/12

Quais são os possíveis casos de R(AD) R(BC). Como as caixas são independentes umas das outras, os eventos serão independentes. Então P(AD) = P(A)*P(D)= 1/6 *1/3 = 1/18 ; Р(ВС) = Р(В)*Р(С) = 2/3 *5/6 = 5/9

Como resultado, temos dois eventos incompatíveis e obtemos P = P(AD) + P(BC) = 11/18.

Vova escolhe um número de três dígitos. Encontre a probabilidade de ser divisível por 49. Solução. Existem 900 números de três algarismos. O primeiro número divisível por 49 é 147. Máximo: resolvido pela desigualdade 49*n.< 1000 n < 20 20/49 т.е. n =20-2=18 Ответ 18/900=0,02

Em um exame de geometria, o aluno responde a uma pergunta de uma lista de questões do exame. A probabilidade de que esta seja uma questão de trigonometria é de 0,3. A probabilidade de que esta seja uma questão sobre o tema “Círculo Inscrito” é de 0,25. Não há perguntas que se relacionem simultaneamente com esses dois tópicos. Encontre a probabilidade de um aluno receber uma pergunta sobre um desses dois tópicos no exame. Solução.P(A UB)=P(A)+P(B)-P(AB) P=0,3+0,25=0,55 P(AB)=0

EM shopping center duas máquinas idênticas vendem café. A probabilidade de a máquina ficar sem café no final do dia é de 0,3. A probabilidade de ambas as máquinas ficarem sem café é de 0,12. Encontre a probabilidade de que no final do dia ainda haja café em ambas as máquinas.

Solução. Considere os eventos: A = o café acabará na primeira máquina,

B = o café acabará na segunda máquina. Então

A B = o café acabará nas duas máquinas,

A + B = o café acabará em pelo menos uma máquina.

Pela condição P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

Os eventos A e B são conjuntos, a probabilidade da soma de dois eventos conjuntos é igual à soma das probabilidades desses eventos, reduzida pela probabilidade de seu produto: P (A + B)= P (A)+ P ( B) − P (AB)=0,3 +0,3−0,12=0,48.

Portanto, a probabilidade do evento oposto, de que o café permaneça nas duas máquinas, é 1 − 0,48 = 0,52. Resposta: 0,52.

Vamos dar outra solução.

A probabilidade de o café permanecer na primeira máquina é 1 − 0,3 = 0,7. A probabilidade de o café permanecer na segunda máquina é 1 − 0,3 = 0,7. A probabilidade de o café permanecer na primeira ou na segunda máquina é 1 − 0,12 = 0,88. Como P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), temos: 0,88 = 0,7 + 0,7 − x, daí a probabilidade desejada x = 0,52. Observação.

Observe que os eventos A e B não são independentes. Na verdade, a probabilidade de produzir eventos independentes seria igual ao produto das probabilidades desses eventos: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, porém, de acordo com a condição, esta probabilidade é igual a 0,12.

Num shopping center, duas máquinas idênticas vendem café. A manutenção das máquinas é feita à noite, após o fechamento. A probabilidade de a máquina ficar sem café no final do dia é de 0,25. Existe a mesma probabilidade de que à noite o café acabe na segunda máquina. A probabilidade de ambas as máquinas ficarem sem café é de 0,15. Encontre a probabilidade de que no final do dia ainda haja café em ambas as máquinas. Solução. P (АUB)=P (A)+P (B)-P (AB)=0,25+0,25-0,15 – em pelo menos uma, então se de 1-0,35=0,65 - o café permanecerá em ambas as máquinas

A probabilidade de um novo computador pessoal durar mais de um ano é de 0,98. a probabilidade de durar mais de dois anos é de 0,84. encontre a probabilidade de que dure menos de dois anos, mas mais de um ano. Solução. Vai durar mais de um ano - isso significa mais de dois anos, ou vai quebrar no intervalo de 1 a 2 anos. P(>1)=P(1-2)+P(>2) P=0,98-0,84

A probabilidade de um aluno P. resolver corretamente mais de 12 problemas durante uma prova de matemática é de 0,7. A probabilidade de P. resolver corretamente mais de 11 problemas é de 0,79. Encontre a probabilidade de P. resolver exatamente 12 problemas corretamente. Resposta P=0,79-0,7=0,09

Antes do início de uma partida de futebol, o árbitro joga uma moeda para determinar qual time terá a bola primeiro. A equipe A deve jogar duas partidas - com a equipe B e com a equipe C. Encontre a probabilidade de que em ambas as partidas a equipe A tenha a primeira bola. Solução ½*1/2=0,25.

Antes do início de uma partida de vôlei, os capitães dos times fazem sorteio para determinar qual time iniciará o jogo com a bola. A equipe “Engenheiro” se reveza no jogo com as equipes “Rotor”, “Stator” e “Motor”. Encontre a probabilidade de o “Fitter” iniciar apenas o primeiro jogo.

Solução: O capitão da equipe “Engenheiro” fará sorteio três vezes: com o capitão da equipe “Rotor”, depois com o capitão da equipe “Stator” e com o capitão da equipe “Motor”.

No primeiro sorteio, a probabilidade de iniciar o jogo é de 0,5. Além disso, a probabilidade de não iniciar o jogo com “Estator” e com “Motor” também é igual a 0,5. Assim, a probabilidade de iniciar apenas o primeiro jogo é P=0,5∗ 0,5∗ 0,5=0,125. Resposta: 0,125

Qual é a probabilidade de que um selecionado aleatoriamente número de telefone termina com dois números pares?

Solução. A- Penúltimo par – P(A)=1/2. B-último par P(B)=1/2

P = 0,5*0,5 = 0,25 ou um total de 5 dígitos pares na última posição e 5 na penúltima posição também. Apenas dois números últimos lugares 10*10=100. Resposta 25/100=0,25

Se o grande mestre A. jogar com as brancas, ele vencerá o grande mestre B. com probabilidade de 0,5. Se A. jogar com as pretas, então A. vence B. com probabilidade de 0,3. Os Grandes Mestres A. e B. jogam duas partidas, e na segunda partida mudam a cor das peças. Encontre a probabilidade de A. ganhar pelo menos um jogo.

Solução: Encontre a probabilidade de que o grande mestre A não ganhe um único jogo. É igual a P 1 =0,5∗ 0,7=0,35. Então, a probabilidade de que A. ganhará pelo menos um jogo, é igual (de acordo com a fórmula para a probabilidade de um evento oposto) P = 1−P 1 = 0,65. Resposta: 0,65.

Se o grande mestre A. jogar com as brancas, ele vencerá o grande mestre B. com probabilidade de 0,5. Se A. jogar com as pretas, então A. vence B. com probabilidade de 0,32. Os Grandes Mestres A. e B. jogam duas partidas, e na segunda partida mudam a cor das peças. Encontre a probabilidade de A. vencer ambas as vezes. Resposta 0,5*0,32=0,16

Se o grande mestre A. jogar com as brancas, ele vencerá o grande mestre B. com probabilidade de 0,52. Se A. jogar com as pretas, então A. vence B. com probabilidade de 0,3. Os Grandes Mestres A. e B. jogam duas partidas, e na segunda partida mudam a cor das peças. Encontre a probabilidade de A. vencer ambas as vezes.

Solução: A possibilidade de vencer o primeiro e o segundo jogos não depende uma da outra. A probabilidade de um produto de eventos independentes é igual ao produto de suas probabilidades: 0,52 · 0,3 = 0,156. Resposta: 0,156

A empresa Flash produz lanternas. A probabilidade de que uma lanterna selecionada aleatoriamente de um lote esteja com defeito é 0,02. Qual é a probabilidade de duas lanternas selecionadas aleatoriamente do mesmo lote não apresentarem defeito? Resposta 0,98*0,98=0,9604

Cowboy John tem 0,9 chance de acertar uma mosca na parede se disparar um revólver zerado. Se John disparar um revólver sem mira, ele acerta a mosca com probabilidade 0,3. Há 10 revólveres sobre a mesa, dos quais apenas 2 foram disparados. Cowboy John vê uma mosca na parede, pega aleatoriamente o primeiro revólver que encontra e atira na mosca. Encontre a probabilidade de John errar.

Solução: A probabilidade de a pistola ser zerada é 2/10 = 0,2, e de a pistola não ser zerada é 8/10 = 0,8
A probabilidade de John levar um tiro e ser atingido é 0,2 · 0,9 = 0,18
A probabilidade de John ser pego sem mirar e acertar é 0,8 · 0,3 = 0,24

Probabilidade de acertar: 0,18 + 0,24 = 0,42
Probabilidade de erro: P = 1 - 0,42 = 0,58 Resposta: 0,58

A expedição editorial enviou jornais para três agências de correios. A probabilidade de entrega oportuna de jornais ao primeiro departamento é de 0,95, ao segundo - 0,9, ao terceiro - 0,8. Encontre a probabilidade dos seguintes eventos:

a) apenas um departamento receberá os jornais em dia;

b) pelo menos um departamento receberá jornais com atraso.

Solução. Solução: vamos apresentar eventos

A1 = (jornais entregues dentro do prazo no primeiro departamento),

A2 = (jornais entregues dentro do prazo ao segundo departamento),

A3 = (jornais entregues dentro do prazo ao terceiro departamento),

por condição P(A1)=0,95;P(A2)=0,9;P(A3)=0,8

Vamos encontrar a probabilidade do evento X = (apenas um departamento receberá os jornais em dia).

O evento X ocorrerá se

ou os jornais foram entregues dentro do prazo ao departamento 1, mas não entregues dentro do prazo aos departamentos 2 e 3,

ou os jornais foram entregues dentro do prazo ao departamento 2 e não entregues dentro do prazo aos departamentos 1 e 3,

ou os jornais foram entregues dentro do prazo ao 3º departamento, e não entregues dentro do prazo ao 1º e 2º.

Por isso,

X =A 1⋅ A 2*⋅ A 3*+A 1* ⋅ A 2⋅ A 3*+A 1*⋅ A 2*⋅ A 3.

Como os eventos A1, A2, A3 são independentes, usando os teoremas de adição e multiplicação obtemos

P(X)=P(A1) ⋅ P(A2 * ) ⋅ P(A3 * )+P(A1 * ) ⋅ P(A2) ⋅ P(A3 * )+P(A1 * ) ⋅ P(A2 * ) ⋅ P(A3)=

0,95⋅ 0,1⋅ 0,2+0,05⋅ 0,9⋅ 0,2+0,05⋅ 0,1⋅ 0,8=0,032.

Vamos encontrar a probabilidade do evento Y=(pelo menos um departamento receberá jornais com atraso). Vamos apresentar o evento oposto Y*=(todos os departamentos receberão jornais em dia). Probabilidade deste evento

P(S*)=P(A1 ⋅ A2 ⋅ A3)=P(A1) ⋅ P(A2) ⋅ P(A3)=0,95 ⋅ 0,9 ⋅ 0,8=0,684.

Então a probabilidade do evento Y: P(Y)=1−P(Y*)=1−0,684=0,316. Resposta: 0,032; 0,316.

A tabela mostra os resultados de quatro atiradores mostrados durante o treinamento.

Número do atirador

Número de tiros

Número de acessos

O técnico decidiu enviar para a competição o arremessador cujo índice de acerto relativo fosse maior. Qual atirador o treinador escolherá? Por favor inclua o seu número na sua resposta.

Solução. Vamos comparar frações

26/44 45/70 14/40 48/67 Melhor resultado 4. Resposta 4.

O biatleta acerta o alvo com probabilidade de 0,8. Ele atira cinco vezes. Cinco tiros em cinco alvos diferentes. Qual é a probabilidade de um biatleta atingir exatamente três alvos?

Solução. Como existem vários tiros no problema e a probabilidade de acerto é a mesma para cada tiro, então estamos falando sobre sobre o esquema de Bernoulli P n (k)=C k n ⋅ p k ⋅ (1− p) n − k .

Resposta = 10 * 0,8 3 * 0,2 2 = 0,2048

Qual é a probabilidade de que em 8 lançamentos de moeda o brasão apareça 5 vezes?

Solução. Como existem várias tentativas no problema e a probabilidade de ocorrência do evento (brasão) é a mesma em cada tentativa, estamos falando de um esquema de Bernoulli. Vamos escrever a fórmula de Bernoulli, que descreve a probabilidade de que em n lançamentos de moeda o brasão apareça exatamente k vezes: P n (k)=C k n ⋅ p k ⋅ (1− p) n − k .

Anotamos os dados das condições do problema: n=8,p=0,5 (a probabilidade de um brasão cair em cada lançamento é 0,5) e k=5. Substituímos e obtemos a probabilidade:

P(X)=P 8 (5)=C 5 8 ⋅ 0,5 5 ⋅ (1− 0,5) 8 − 5 = 8! / 5!3!⋅ 0,5 8 = (6⋅ 7⋅ 8)/(1⋅ 2⋅ 3) ⋅ 0,58 = 0,219. A resposta é 0,219.

Para sinalizar um acidente, são instalados dois alarmes que funcionam de forma independente. A probabilidade de o alarme disparar durante um acidente é de 0,95 para o primeiro alarme e de 0,9 para o segundo. Encontre a probabilidade de que durante um acidente apenas um alarme dispare.

Solução: vamos introduzir eventos independentes:

A1= (em caso de acidente, o primeiro alarme dispara);

A2 = (em caso de acidente, o segundo alarme dispara);

de acordo com as condições do problema P(A1)=0,95, P(A2)=0,9 P(A1)=0,95, P(A2)=0,9.

Vamos inserir o evento X = (em caso de acidente, apenas um alarme disparará). Este evento ocorrerá se durante um acidente o primeiro alarme disparar e o segundo não funcionar, ou se durante um acidente o segundo alarme disparar e o primeiro não funcionar, ou seja, X=A1⋅ A2* +A1 *⋅A2. Então a probabilidade do evento X de acordo com os teoremas de adição e multiplicação de probabilidades é igual a

P(X)=P(A1) ⋅ P(A2 * )+P(A1 * ) ⋅ P(A2)=0,95 ⋅ 0,1+0,05 ⋅ 0,9=0,14. Resposta: 0,14.

A primeira urna contém 10 bolas brancas e 4 pretas, e a segunda urna contém 5 bolas brancas e 9 pretas. Foi retirada uma bola de cada urna. Qual é a probabilidade de ambas as bolas serem pretas?

SOLUÇÃO. Vamos apresentar o evento X = (ambas as bolas sorteadas são pretas).

Vamos introduzir eventos auxiliares independentes: H 1× = (Uma bola preta é retirada da primeira urna),

H 2× = (Uma bola preta é retirada da segunda urna).

Vamos encontrar as probabilidades desses eventos usando a definição clássica de probabilidade: P (H 1×)=4/14

P (H 2×) = 9/14. Então P (X) = P (H 1x) *P (H 2x) = 2/7 * 9/14 = 9/49 = 0,184. RESPONDER . 0,184.

Três alunos fazem um exame e resolvem o mesmo problema independentemente um do outro. As probabilidades de resolução por esses alunos são de 0,8, 0,7 e 0,6, respectivamente. Encontre a probabilidade de que pelo menos um aluno resolva o problema.

Solução. Vamos apresentar o evento X = (Pelo menos um aluno resolverá o problema) e o evento oposto X* = (Nenhum aluno resolverá o problema). Vamos introduzir eventos auxiliares: A1 = (O primeiro aluno resolveu o problema), A2 = (O segundo aluno resolveu o problema), A3 = (O terceiro aluno resolveu o problema), probabilidades P (A1) = 0,8, P (A2) = 0,7, P(A3)) = 0,6. Vamos expressar o evento X*=A1* A2* A3* . Consideramos a probabilidade como a probabilidade de um produto de eventos independentes: P(X*) = (1 - 0,8)(1 - 0,7)(1 - 0,6) = 0,2* 0,3* 0,4 = 0,024.

Então a probabilidade do evento desejado P (X) = 1- P(X*) = 1 - 0,024 = 0,976. RESPONDER . 0,976.

O biatleta acerta o alvo com probabilidade de 0,8. Ele atira cinco vezes. Encontre a probabilidade de ele atingir o alvo exatamente uma vez.

Antes do início de uma partida de futebol, o árbitro joga uma moeda para determinar qual time terá a posse de bola primeiro. A equipe Branca se reveza jogando com as equipes Vermelha, Azul e Verde. Encontre a probabilidade de que em exatamente duas das três partidas a equipe branca tenha a primeira posse de bola.

Solução: Fazemos uma lista de todos os resultados possíveis nestes três jogos com os Vermelhos (R), Azuis (C) e Verdes (G).
P é o primeiro a ter a bola, N não.

PPP PPN PNP NPP PNN NPN NNP INN

e veja quantos deles contêm exatamente 2 vezes P, ou seja, em exatamente duas partidas a equipe branca terá a primeira posse de bola.
Existem 3 dessas opções e 8 opções no total. Então a probabilidade exigida é 3/8 = 0,375. Resposta: 0,375

Duas fábricas produzem vidros idênticos para faróis de automóveis. A primeira fábrica produz 45% desses vidros, a segunda - 55%. A primeira fábrica produz 3% de vidros defeituosos e a segunda - 1%. Encontre a probabilidade de que o vidro comprado acidentalmente em uma loja esteja com defeito.

Solução: Probabilidade do vidro ter sido comprado na primeira fábrica e estar com defeito: 0,45 · 0,03 = 0,0135

Probabilidade de o vidro ter sido comprado em uma segunda fábrica e estar com defeito: 0,55 · 0,01= 0,0055

De acordo com a fórmula da probabilidade total, a probabilidade de o vidro comprado acidentalmente em uma loja apresentar defeito é 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Resposta: 0,019

Eventos que acontecem na realidade ou na nossa imaginação podem ser divididos em 3 grupos. Estes são certos eventos que acontecerão com certeza, eventos impossíveis e eventos aleatórios. A teoria da probabilidade estuda eventos aleatórios, ou seja, eventos que podem ou não acontecer. Este artigo apresentará em em resumo fórmulas da teoria das probabilidades e exemplos de resolução de problemas na teoria das probabilidades que estarão na tarefa 4 do Exame Estadual Unificado em matemática (nível de perfil).

Por que precisamos da teoria da probabilidade?

Historicamente, a necessidade de estudar estes problemas surgiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento e profissionalização jogatina e o surgimento dos cassinos. Este foi um fenômeno real que exigiu seu próprio estudo e pesquisa.

Jogar cartas, dados e roleta criaram situações em que qualquer um de um número finito de eventos igualmente possíveis poderia ocorrer. Havia a necessidade de fornecer estimativas numéricas da possibilidade de ocorrência de um determinado evento.

No século 20, ficou claro que esta ciência aparentemente frívola desempenha um papel importante na compreensão dos processos fundamentais que ocorrem no microcosmo. Foi criado teoria moderna probabilidades.

Conceitos básicos da teoria das probabilidades

O objeto de estudo da teoria das probabilidades são os eventos e suas probabilidades. Se um evento for complexo, ele poderá ser dividido em componentes simples, cujas probabilidades serão fáceis de encontrar.

A soma dos eventos A e B é chamada de evento C, que consiste no fato de que o evento A, ou o evento B, ou os eventos A e B ocorreram simultaneamente.

O produto dos eventos A e B é um evento C, o que significa que ocorreram tanto o evento A quanto o evento B.

Os eventos A e B são chamados de incompatíveis se não puderem ocorrer simultaneamente.

Um evento A é dito impossível se não puder acontecer. Tal evento é indicado pelo símbolo.

Um evento A é dito certo se é certo que acontecerá. Tal evento é indicado pelo símbolo.

Seja cada evento A associado a um número P(A). Este número P(A) é chamado de probabilidade do evento A se as seguintes condições forem atendidas com esta correspondência.

Um caso especial importante é a situação em que existem resultados elementares igualmente prováveis, e arbitrários desses resultados formam os eventos A. Nesse caso, a probabilidade pode ser inserida usando a fórmula. A probabilidade introduzida desta forma é chamada de probabilidade clássica. Pode-se provar que neste caso as propriedades 1-4 são satisfeitas.

Os problemas da teoria da probabilidade que aparecem no Exame de Estado Unificado em matemática estão principalmente relacionados à probabilidade clássica. Essas tarefas podem ser muito simples. Particularmente simples são os problemas da teoria das probabilidades em opções de demonstração. É fácil calcular o número de resultados favoráveis; o número de todos os resultados está escrito na condição.

Obtemos a resposta usando a fórmula.

Um exemplo de problema do Exame Estadual Unificado em matemática sobre determinação de probabilidade

São 20 tortas na mesa - 5 com repolho, 7 com maçã e 8 com arroz. Marina quer levar a torta. Qual é a probabilidade de ela aceitar o bolo de arroz?

Solução.

Existem 20 resultados elementares igualmente prováveis, ou seja, Marina pode pegar qualquer uma das 20 tortas. Mas precisamos estimar a probabilidade de Marina levar a torta de arroz, ou seja, onde A é a escolha da torta de arroz. Isso significa que o número de resultados favoráveis ​​(escolhas de tortas com arroz) é de apenas 8. Então a probabilidade será determinada pela fórmula:

Eventos Independentes, Opostos e Arbitrários

Porém, tarefas mais complexas começaram a ser encontradas no banco de tarefas aberto. Portanto, chamemos a atenção do leitor para outras questões estudadas na teoria das probabilidades.

Os eventos A e B são considerados independentes se a probabilidade de cada um não depender da ocorrência do outro evento.

O evento B é aquele evento A não aconteceu, ou seja, o evento B é oposto ao evento A. A probabilidade do evento oposto é igual a um menos a probabilidade do evento direto, ou seja, .

Teoremas de adição e multiplicação de probabilidade, fórmulas

Para eventos arbitrários A e B, a probabilidade da soma desses eventos é igual à soma de suas probabilidades sem a probabilidade de seu evento conjunto, ou seja, .

Para eventos independentes A e B, a probabilidade de ocorrência desses eventos é igual ao produto de suas probabilidades, ou seja, nesse caso .

As duas últimas afirmações são chamadas de teoremas de adição e multiplicação de probabilidades.

Contar o número de resultados nem sempre é tão simples. Em alguns casos é necessário utilizar fórmulas combinatórias. Neste caso, o mais importante é contar o número de eventos que satisfazem certas condições. Às vezes, esses tipos de cálculos podem se tornar tarefas independentes.

De quantas maneiras 6 alunos podem sentar-se em 6 lugares vazios? O primeiro aluno ocupará qualquer uma das 6 vagas. Cada uma dessas opções corresponde a 5 formas de o segundo aluno ocupar uma vaga. Restam 4 vagas para o terceiro aluno, 3 para o quarto, 2 para o quinto e o sexto ocupará a única vaga restante. Para saber o número de todas as opções, você precisa encontrar o produto, que é indicado pelo símbolo 6! e lê “seis fatoriais”.

No caso geral, a resposta a esta questão é dada pela fórmula do número de permutações de n elementos.

Consideremos agora outro caso com nossos alunos. De quantas maneiras 2 alunos podem sentar-se em 6 lugares vazios? O primeiro aluno ocupará qualquer uma das 6 vagas. Cada uma dessas opções corresponde a 5 formas de o segundo aluno ocupar uma vaga. Para saber o número de todas as opções, você precisa encontrar o produto.

Em geral, a resposta a esta questão é dada pela fórmula do número de colocações de n elementos sobre k elementos

No nosso caso .

E o último caso desta série. De quantas maneiras você pode escolher três alunos entre 6? O primeiro aluno pode ser selecionado de 6 maneiras, o segundo - de 5 maneiras, o terceiro - de quatro maneiras. Mas entre essas opções, os mesmos três alunos aparecem 6 vezes. Para encontrar o número de todas as opções, você precisa calcular o valor: . Em geral, a resposta a esta questão é dada pela fórmula do número de combinações de elementos por elemento:

No nosso caso .

Exemplos de resolução de problemas do Exame Estadual Unificado em matemática para determinar probabilidade

Tarefa 1. Da coleção editada por. Yashchenko.

São 30 tortas no prato: 3 com carne, 18 com repolho e 9 com cerejas. Sasha escolhe uma torta aleatoriamente. Encontre a probabilidade de ele acabar com uma cereja.

.

Resposta: 0,3.

Tarefa 2. Da coleção editada por. Yashchenko.

Em cada lote de 1.000 lâmpadas, em média, 20 estão com defeito. Encontre a probabilidade de que uma lâmpada retirada aleatoriamente de um lote esteja funcionando.

Solução: O número de lâmpadas funcionando é 1000-20=980. Então a probabilidade de que uma lâmpada retirada aleatoriamente de um lote esteja funcionando:

Resposta: 0,98.

A probabilidade de o aluno U resolver mais de 9 problemas corretamente durante uma prova de matemática é de 0,67. A probabilidade de U. resolver corretamente mais de 8 problemas é de 0,73. Encontre a probabilidade de U resolver exatamente 9 problemas corretamente.

Se imaginarmos uma reta numérica e marcarmos os pontos 8 e 9 nela, veremos que a condição “U. resolverá exatamente 9 problemas corretamente” está incluído na condição “U. resolverá mais de 8 problemas corretamente”, mas não se aplica à condição “U. resolverá mais de 9 problemas corretamente.”

No entanto, a condição “U. resolverá mais de 9 problemas corretamente” está contido na condição “U. resolverá mais de 8 problemas corretamente.” Assim, se designarmos eventos: “U. resolverá exatamente 9 problemas corretamente" - até A, "U. resolverá mais de 8 problemas corretamente" - até B, "U. resolverá corretamente mais de 9 problemas” até C. Essa solução será semelhante a esta:

Resposta: 0,06.

Em um exame de geometria, o aluno responde a uma pergunta de uma lista de questões do exame. A probabilidade de que esta seja uma questão de trigonometria é 0,2. A probabilidade de que esta seja uma questão sobre ângulos externos é de 0,15. Não há perguntas que se relacionem simultaneamente com esses dois tópicos. Encontre a probabilidade de um aluno receber uma pergunta sobre um desses dois tópicos no exame.

Vamos pensar em quais eventos temos. Recebemos dois eventos incompatíveis. Ou seja, ou a questão estará relacionada ao tema “Trigonometria” ou ao tema “Ângulos externos”. Segundo o teorema da probabilidade, a probabilidade de eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades de cada evento, devemos encontrar a soma das probabilidades desses eventos, ou seja:

Resposta: 0,35.

A sala é iluminada por uma lanterna com três lâmpadas. A probabilidade de uma lâmpada queimar em um ano é de 0,29. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma lâmpada não queime durante o ano.

Vamos considerar eventos possíveis. Temos três lâmpadas, cada uma das quais pode ou não queimar independentemente de qualquer outra lâmpada. Estes são eventos independentes.

A seguir indicaremos as opções para tais eventos. Vamos usar as seguintes notações: - a lâmpada está acesa, - a lâmpada está queimada. E imediatamente a seguir calculamos a probabilidade do evento. Por exemplo, a probabilidade de um evento em que ocorreram três eventos independentes “a lâmpada está queimada”, “a lâmpada está acesa”, “a lâmpada está acesa”: , onde a probabilidade do evento “a lâmpada está acesa” está acesa” é calculada como a probabilidade do evento oposto ao evento “a lâmpada não está acesa”, a saber: .

Descrição da apresentação por slides individuais:

1 diapositivo

Descrição do slide:

Tarefas-chave na teoria das probabilidades Preparação para o OGE No. 9 MBOU “Gymnasium No. COMO. Pushkin" Autor-compilador: Sofina N.Yu.

2 slides

Descrição do slide:

Requisitos básicos verificáveis ​​para treinamento matemático Nº 9 OGE em matemática Resolver problemas práticos, exigindo uma busca sistemática de opções; comparar as chances de ocorrência de eventos aleatórios, avaliar as probabilidades de um evento aleatório, comparar e explorar modelos da situação real usando o aparato de probabilidade e estatística. Nº 9 – tarefa básica. A pontuação máxima para completar a tarefa é 1.

3 slides

Descrição do slide:

A probabilidade de um evento A é a razão entre o número m de resultados favoráveis ​​a este evento e o número total n de todos os eventos incompatíveis igualmente possíveis que podem ocorrer como resultado de um teste ou observação. Definição clássica de probabilidade. fórmula para calcular a probabilidade clássica de um evento aleatório P = n m

4 slides

Descrição do slide:

Definição clássica de probabilidade Exemplo: O Comitê de Pais comprou 40 livros de colorir para crianças como presentes de formatura ano escolar. Destes, 14 são baseados em contos de fadas de A.S. Pushkin e 26 baseado nos contos de fadas de H. H. Andersen. Os presentes são distribuídos aleatoriamente. Encontre a probabilidade de Nastya receber um livro para colorir baseado nos contos de fadas de A.S. Pushkin. Solução: m= 14; n= 14 +26=40 P= 14/40= 0,35 Resposta: 0,35.

5 slides

Descrição do slide:

Exemplo: Havia 60 questões para o exame. Ivan não aprendeu três deles. Encontre a probabilidade de ele encontrar a questão aprendida. Solução: Aqui n=60. Ivan não aprendeu 3, o que significa que aprendeu todos os outros, ou seja, m= 60-3=57. P=57/60=0,95. Definição clássica de probabilidade Resposta: 0,95.

6 slides

Descrição do slide:

“A ordem é determinada por sorteio” ​​Exemplo: 20 atletas participam do campeonato de ginástica: 8 da Rússia, 7 dos EUA, o restante da China. A ordem de atuação das ginastas é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de o atleta que compete em quinto lugar ser da China. Solução: Na definição do problema existe uma palavra “mágica” “lote”, o que significa que esquecemos a ordem de apresentação. Assim, m= 20-8-7=5 (da China); n=20. P = 5/20 = 0,25. Resposta: 0,25.

7 slides

Descrição do slide:

Exemplo: Uma conferência científica é realizada durante 5 dias. Total planejado 75 relatórios - primeiro 3 dias de 17 relatórios, o restante é distribuído igualmente entre o 4º e o 5º dia. A ordem dos relatórios é determinada por sorteio. Qual é a probabilidade de o relatório do Professor Ivanov ser agendado para o último dia da conferência? Solução: vamos inserir os dados em uma tabela. Descobrimos que m=12; n=75. P = 12/75 = 0,16. Resposta: 0,16. “A ordem é determinada por sorteio” ​​Dia I II III IV V Número total de relatórios 17 17 17 12 12 75

8 slides

Descrição do slide:

Frequência de um evento Assim como a probabilidade, encontra-se a frequência de um evento, cujas tarefas também estão nos protótipos. Qual é a diferença? A probabilidade é um valor previsto e a frequência é uma afirmação de um fato. Exemplo: A probabilidade de um novo tablet ser reparado dentro da garantia dentro de um ano é de 0,045. Em determinada cidade, de 1.000 tablets vendidos no ano, 51 unidades foram recebidas pela oficina de garantia. Como a frequência do evento de “reparo em garantia” difere de sua probabilidade nesta cidade? Solução: Vamos encontrar a frequência do evento: 51/1000=0,051. E a probabilidade é de 0,045 (de acordo com a condição). Isso significa que nesta cidade o evento de “reparo em garantia” ocorre com mais frequência do que o esperado. Vamos encontrar a diferença ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Ao mesmo tempo, devemos levar em conta que o sinal da diferença NÃO é importante para nós, mas apenas o seu valor absoluto. Resposta: 0,006.

Diapositivo 9

Descrição do slide:

Problemas com enumeração de opções (“moedas”, “fósforos”) Seja k o número de lançamentos de moeda e, em seguida, o número de resultados possíveis: n = 2k. Exemplo: Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada duas vezes. Encontre a probabilidade de que cara apareça exatamente uma vez. Solução: Opções de queda de moeda: OO; OU; RR; RO. Assim, n=4. Desfechos favoráveis: RR e RO. Ou seja, m= 2. P=2/4 = 1/2 = 0,5. Resposta: 0,5.

10 slides

Descrição do slide:

Exemplo: Antes do início de uma partida de futebol, o árbitro lança uma moeda para determinar qual time terá a posse de bola primeiro. A equipe "Mercúrio" se reveza jogando com as equipes "Marte", "Júpiter", "Urano". Encontre a probabilidade de o time Mercury ganhar a bola em todas as partidas? Problemas com a enumeração de opções (“moedas”, “partidas”) Solução: Denotamos a posse da primeira bola do time “Mercúrio” em uma partida com uma das outras três equipes como “Tails”. Então o direito de posse da segunda bola desta equipe é “Águia”. Então, vamos anotar todos os resultados possíveis do lançamento de uma moeda três vezes. “O” é cara, “P” é coroa. ; isto é, n = 8; m=1. P = 1/8 = 0,125. Resposta: 0,125 n = 23 “Marte” “Júpiter” “Urano” O O O O O R O R O R O R R R R O O R O R R R R

11 slides

Descrição do slide:

Problemas com “dados” (dados) Seja k o número de lançamentos de dados, depois o número de resultados possíveis: n = 6k. Exemplo: Dasha lança os dados duas vezes. Encontre a probabilidade de que o total dela obtenha 8 pontos. Arredonde o resultado para centésimos. Resposta: 0,14. Solução: Os dois dados devem totalizar 8 pontos. Isto é possível se houver as seguintes combinações: 2 e 6 6 e 2 3 e 5 5 e 3 4 e 4 m= 5 (5 combinações adequadas) n =36 P= 5/36 = 0,13(8)

12 slides

Descrição do slide:

Eventos independentes e a lei da multiplicação A probabilidade de encontrar o primeiro, o segundo e o enésimo eventos é encontrada pela fórmula: P = P1*P2*…*Pn Exemplo: Um biatleta atira cinco vezes em alvos. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é de 0,8. Encontre a probabilidade de o biatleta acertar os alvos nas três primeiras vezes e errar nas duas últimas. Arredonde o resultado para centésimos. Resposta: 0,02. Solução: O resultado de cada próxima tacada não depende das anteriores. Portanto, os eventos “acertar no primeiro tiro”, “acertar no segundo tiro”, etc. independente. A probabilidade de cada acerto é de 0,8. Isso significa que a probabilidade de erro é 1 – 0,8 = 0,2. 1ª tacada: 0,8 2ª tacada: 0,8 3ª tacada: 0,8 4ª tacada: 0,2 5ª tacada: 0,2 Usando a fórmula para multiplicar as probabilidades de eventos independentes, obtemos: P = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0 ,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Diapositivo 13

Descrição do slide:

Combinações de leis “e” e leis “ou” Exemplo: Um escritório compra material de escritório para funcionários de 3 empresas diferentes. Além disso, os produtos da 1ª empresa representam 40% de todos os fornecimentos, e as restantes 2 - igualmente. Descobriu-se que 2% das canetas da 2ª empresa estavam com defeito. O percentual de defeitos na 1ª e 3ª empresas é de 1% e 3%, respectivamente. O funcionário A pegou uma caneta de um novo estoque. Encontre a probabilidade de que funcione. Solução: Os produtos de 2 e 3 empresas são (100% -40%): 2 = 30% dos suprimentos. P(casamento)= 0,4·0,01+ 0,3·0,02 + 0,3·0,03= 0,019. P (alças utilizáveis) = 1- 0,019 = 0,981. Resposta: 0,981.