Tele2, கட்டணங்கள், கேள்விகளில் உதவி

உங்களுக்குத் தெரியும், வெளிப்பாடுகளை சக்திகளுடன் பெருக்கும்போது, ​​அவற்றின் அடுக்குகள் எப்போதும் சேர்க்கப்படுகின்றன (a b *a c = a b+c). இந்த கணித விதி ஆர்க்கிமிடீஸால் பெறப்பட்டது, பின்னர், 8 ஆம் நூற்றாண்டில், விராசென் என்ற கணிதவியலாளர் முழு எண் அடுக்குகளின் அட்டவணையை உருவாக்கினார். மடக்கைகளின் மேலும் கண்டுபிடிப்புக்கு அவர்கள்தான் உதவினார்கள். இந்தச் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், எளிமையான கூட்டல் மூலம் சிக்கலான பெருக்கத்தை எளிதாக்க வேண்டிய எல்லா இடங்களிலும் காணலாம். இந்தக் கட்டுரையைப் படிக்க நீங்கள் 10 நிமிடங்கள் செலவழித்தால், மடக்கைகள் என்றால் என்ன, அவற்றுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது என்பதை நாங்கள் உங்களுக்கு விளக்குவோம். எளிமையான மற்றும் அணுகக்கூடிய மொழியில்.

கணிதத்தில் வரையறை

மடக்கை என்பது பின்வரும் படிவத்தின் வெளிப்பாடாகும்: log a b=c, அதாவது, எந்த எதிர்மில்லாத எண்ணின் மடக்கை (அதாவது, ஏதேனும் நேர்மறை) "b" அதன் அடிப்படையான "a" க்கு "c" சக்தியாகக் கருதப்படுகிறது. ”இதற்கு, இறுதியில் "b" மதிப்பைப் பெற, "a" அடிப்படையை உயர்த்துவது அவசியம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி மடக்கையை பகுப்பாய்வு செய்வோம், வெளிப்பாடு பதிவு 2 இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம் 8. பதிலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இது மிகவும் எளிமையானது, 2ல் இருந்து தேவையான சக்தி 8 வரை நீங்கள் ஒரு சக்தியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். உங்கள் தலையில் சில கணக்கீடுகளைச் செய்த பிறகு, நாங்கள் எண் 3 ஐப் பெறுகிறோம்! அது உண்மைதான், ஏனென்றால் 2-க்கு 3-ன் பலம் 8-ஆக பதில் அளிக்கிறது.

மடக்கைகளின் வகைகள்

பல மாணவர்கள் மற்றும் மாணவர்களுக்கு, இந்த தலைப்பு சிக்கலானதாகவும் புரிந்துகொள்ள முடியாததாகவும் தோன்றுகிறது, ஆனால் உண்மையில் மடக்கைகள் அவ்வளவு பயமாக இல்லை, முக்கிய விஷயம் அவற்றின் பொதுவான பொருளைப் புரிந்துகொள்வதும் அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் சில விதிகளை நினைவில் கொள்வதும் ஆகும். மடக்கை வெளிப்பாடுகளில் மூன்று தனித்தனி வகைகள் உள்ளன:

1. இயற்கை மடக்கை ln a, இங்கு அடிப்படையானது யூலர் எண்ணாகும் (e = 2.7).
2. தசம a, இங்கு அடிப்படை 10 ஆகும்.
3. எந்த எண்ணின் மடக்கை b க்கு அடிப்படை a>1.

அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு நிலையான வழியில் தீர்க்கப்படுகின்றன, இதில் எளிமைப்படுத்தல், குறைத்தல் மற்றும் மடக்கைத் தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தி ஒற்றை மடக்கைக்கு அடுத்தடுத்த குறைப்பு ஆகியவை அடங்கும். மடக்கைகளின் சரியான மதிப்புகளைப் பெற, அவற்றைத் தீர்க்கும்போது அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் செயல்களின் வரிசையை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

விதிகள் மற்றும் சில கட்டுப்பாடுகள்

கணிதத்தில், பல விதிகள்-கட்டுப்பாடுகள் உள்ளன, அவை ஒரு கொள்கையாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றன, அதாவது அவை விவாதத்திற்கு உட்பட்டவை அல்ல, உண்மை. எடுத்துக்காட்டாக, எண்களை பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க இயலாது, மேலும் எதிர்மறை எண்களின் சம மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கவும் இயலாது. மடக்கைகளும் அவற்றின் சொந்த விதிகளைக் கொண்டுள்ளன, அதைத் தொடர்ந்து நீண்ட மற்றும் திறன் கொண்ட மடக்கை வெளிப்பாடுகளுடன் கூட எளிதாக வேலை செய்ய கற்றுக்கொள்ளலாம்:

• அடிப்படை "a" எப்போதும் இருக்க வேண்டும் பூஜ்ஜியத்திற்கு மேல், மற்றும் அதே நேரத்தில் 1 க்கு சமமாக இருக்கக்கூடாது, இல்லையெனில் வெளிப்பாடு அதன் அர்த்தத்தை இழக்கும், ஏனெனில் எந்த அளவிற்கு "1" மற்றும் "0" எப்போதும் அவற்றின் மதிப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கும்;
• a > 0, a b >0 எனில், “c” பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும்.

மடக்கைகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

எடுத்துக்காட்டாக, 10 x = 100 என்ற சமன்பாட்டிற்கான பதிலைக் கண்டறியும் பணி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இது மிகவும் எளிதானது, நீங்கள் 100 ஐப் பெறும் எண்ணை உயர்த்துவதன் மூலம் ஒரு சக்தியைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். இது நிச்சயமாக 10 2 = 100

இப்போது இந்த வெளிப்பாட்டை மடக்கை வடிவத்தில் குறிப்பிடுவோம். நாம் பதிவு 10 100 = 2 ஐப் பெறுகிறோம். மடக்கைகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட எண்ணைப் பெறுவதற்கு மடக்கையின் அடிப்பகுதியை உள்ளிட வேண்டிய சக்தியைக் கண்டறிய அனைத்து செயல்களும் நடைமுறையில் ஒன்றிணைகின்றன.

அறியப்படாத பட்டத்தின் மதிப்பை துல்லியமாக தீர்மானிக்க, டிகிரி அட்டவணையுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது என்பதை நீங்கள் கற்றுக் கொள்ள வேண்டும். இது போல் தெரிகிறது:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நீங்கள் ஒரு தொழில்நுட்ப மனம் மற்றும் பெருக்கல் அட்டவணையின் அறிவு இருந்தால், சில அடுக்குகளை உள்ளுணர்வாக யூகிக்க முடியும். இருப்பினும் பெரிய மதிப்புகள்உங்களுக்கு டிகிரி அட்டவணை தேவைப்படும். சிக்கலானது பற்றி எதுவும் தெரியாதவர்கள் கூட இதைப் பயன்படுத்தலாம் கணித தலைப்புகள். இடது நெடுவரிசையில் எண்கள் உள்ளன (அடிப்படை a), எண்களின் மேல் வரிசையானது சக்தி c இன் மதிப்பாகும், அதில் எண் a உயர்த்தப்படுகிறது. குறுக்குவெட்டில், செல்கள் எண் மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கின்றன, அவை பதில் (a c =b). எடுத்துக்காட்டாக, எண் 10 ஐக் கொண்ட முதல் கலத்தை எடுத்து அதை சதுரமாக எடுத்துக்கொள்வோம், நமது இரண்டு கலங்களின் குறுக்குவெட்டில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட மதிப்பு 100 ஐப் பெறுகிறோம். எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது மற்றும் எளிதானது, மிகவும் உண்மையான மனிதநேயவாதி கூட புரிந்துகொள்வார்!

சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

அது எப்போது என்று மாறிவிடும் சில நிபந்தனைகள்அடுக்கு என்பது மடக்கை ஆகும். எனவே, எந்த கணித எண் வெளிப்பாடுகளையும் மடக்கை சமத்துவமாக எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 3 4 =81 ஐ நான்கிற்கு சமமான 81 இன் அடிப்படை 3 மடக்கையாக எழுதலாம் (பதிவு 3 81 = 4). எதிர்மறை சக்திகளுக்கு விதிகள் ஒரே மாதிரியானவை: 2 -5 = 1/32 அதை ஒரு மடக்கையாக எழுதுகிறோம், பதிவு 2 (1/32) = -5 கிடைக்கும். கணிதத்தின் மிகவும் கவர்ச்சிகரமான பிரிவுகளில் ஒன்று "மடக்கை" என்ற தலைப்பு. கீழே உள்ள சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகளைப் பார்ப்போம், அவற்றின் பண்புகளைப் படித்த உடனேயே. இப்போது ஏற்றத்தாழ்வுகள் எப்படி இருக்கும் மற்றும் சமன்பாடுகளிலிருந்து அவற்றை எவ்வாறு வேறுபடுத்துவது என்பதைப் பார்ப்போம்.

பின்வரும் வெளிப்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது: பதிவு 2 (x-1) > 3 - இது ஒரு மடக்கை சமத்துவமின்மை, ஏனெனில் அறியப்படாத மதிப்பு “x” மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் உள்ளது. மேலும் வெளிப்பாட்டில் இரண்டு அளவுகள் ஒப்பிடப்படுகின்றன: அடிப்படை இரண்டிற்கு தேவையான எண்ணின் மடக்கை எண் மூன்றை விட அதிகமாக உள்ளது.

மடக்கை சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்கு இடையே உள்ள மிக முக்கியமான வேறுபாடு என்னவென்றால், மடக்கைகளுடன் கூடிய சமன்பாடுகள் (உதாரணமாக, மடக்கை 2 x = √9) பதிலில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட குறிப்பிட்ட எண் மதிப்புகளைக் குறிக்கிறது, அதே சமயம் ஒரு சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கும்போது, ​​ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய வரம்பு இரண்டும் மதிப்புகள் மற்றும் புள்ளிகள் இந்த செயல்பாட்டை உடைத்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, பதில் ஒரு சமன்பாட்டிற்கான பதிலைப் போல தனிப்பட்ட எண்களின் எளிய தொகுப்பு அல்ல, ஆனால் தொடர்ச்சியான தொடர் அல்லது எண்களின் தொகுப்பு.

மடக்கைகளைப் பற்றிய அடிப்படைக் கோட்பாடுகள்

மடக்கையின் மதிப்புகளைக் கண்டறியும் பழமையான பணிகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​அதன் பண்புகள் அறியப்படாமல் இருக்கலாம். இருப்பினும், மடக்கை சமன்பாடுகள் அல்லது ஏற்றத்தாழ்வுகள் என்று வரும்போது, ​​முதலில், மடக்கைகளின் அனைத்து அடிப்படை பண்புகளையும் தெளிவாகப் புரிந்துகொண்டு நடைமுறையில் பயன்படுத்த வேண்டியது அவசியம். சமன்பாடுகளின் உதாரணங்களை பின்னர் பார்ப்போம்;

1. முக்கிய அடையாளம் இது போல் தெரிகிறது: a logaB =B. a 0 ஐ விட அதிகமாகவும், ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லாமல், மற்றும் B பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவும் இருக்கும்போது மட்டுமே இது பொருந்தும்.
2. தயாரிப்பின் மடக்கை பின்வரும் சூத்திரத்தில் குறிப்பிடப்படலாம்: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. இந்த வழக்கில் முன்நிபந்தனைஎன்பது: d, s 1 மற்றும் s 2 > 0; a≠1. இந்த மடக்கைச் சூத்திரத்திற்கு நீங்கள் எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகளுடன் ஒரு ஆதாரத்தை வழங்கலாம். a s 1 = f 1 ஐ பதிவு செய்து, a s 2 = f 2 ஐ பதிவு செய்யலாம், பின்னர் a f1 = s 1, a f2 = s 2. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (பண்புகள் டிகிரி ), பின்னர் வரையறையின்படி: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.
3. விகுதியின் மடக்கை இது போல் உள்ளது: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ஒரு சூத்திரத்தின் வடிவில் உள்ள தேற்றம் பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்: log a q b n = n/q log a b.

இந்த சூத்திரம் "மடக்கையின் பட்டத்தின் சொத்து" என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது சாதாரண டிகிரிகளின் பண்புகளை ஒத்திருக்கிறது, மேலும் இது ஆச்சரியமல்ல, ஏனென்றால் எல்லா கணிதமும் இயற்கையான போஸ்டுலேட்டுகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது. ஆதாரத்தைப் பார்ப்போம்.

a b = t ஐ பதிவு செய்யலாம், அது t =b ஆக மாறும். இரண்டு பகுதிகளையும் சக்திக்கு உயர்த்தினால் m: a tn = b n ;

ஆனால் a tn = (a q) nt/q = b n ஆக இருப்பதால், a q b n = (n*t)/t ஐப் பதிவு செய்யவும், பின்னர் a q b n = n/q log a b ஐப் பதிவு செய்யவும். தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

சிக்கல்கள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

மடக்கைகளில் மிகவும் பொதுவான வகை சிக்கல்கள் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். அவை கிட்டத்தட்ட எல்லா சிக்கல் புத்தகங்களிலும் காணப்படுகின்றன, மேலும் அவை கணிதத் தேர்வுகளின் அவசியமான பகுதியாகும். பல்கலைக்கழகத்தில் சேருவதற்கு அல்லது தேர்ச்சி பெறுவதற்கு நுழைவுத் தேர்வுகள்கணிதத்தில் இதுபோன்ற சிக்கல்களை எவ்வாறு சரியாக தீர்க்க வேண்டும் என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

துரதிர்ஷ்டவசமாக, தீர்க்க மற்றும் தீர்மானிப்பதற்கான ஒரு திட்டமோ அல்லது திட்டமோ இல்லை அறியப்படாத மதிப்புமடக்கை என்று எதுவும் இல்லை, ஆனால் நீங்கள் அதை ஒவ்வொரு கணித சமத்துவமின்மை அல்லது மடக்கை சமன்பாட்டிற்கும் பயன்படுத்தலாம். சில விதிகள். முதலில், வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்க முடியுமா அல்லது வழிவகுக்கும் என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் பொது தோற்றம். நீங்கள் அவற்றின் பண்புகளை சரியாகப் பயன்படுத்தினால், நீண்ட மடக்கை வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம். அவற்றை விரைவில் அறிந்து கொள்வோம்.

மடக்கை சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​நம்மிடம் எந்த வகையான மடக்கை உள்ளது என்பதை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்: ஒரு எடுத்துக்காட்டு வெளிப்பாடு ஒரு இயற்கை மடக்கை அல்லது தசம ஒன்றைக் கொண்டிருக்கலாம்.

இங்கே உதாரணங்கள் ln100, ln1026. அடிப்படை 10 முறையே 100 மற்றும் 1026 க்கு சமமாக இருக்கும் சக்தியை அவர்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும் என்ற உண்மைக்கு அவற்றின் தீர்வு கொதிக்கிறது. இயற்கை மடக்கைகளைத் தீர்க்க, நீங்கள் மடக்கை அடையாளங்கள் அல்லது அவற்றின் பண்புகளைப் பயன்படுத்த வேண்டும். பல்வேறு வகையான மடக்கைச் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

மடக்கை சூத்திரங்களை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது: எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகளுடன்

எனவே, மடக்கைகளைப் பற்றிய அடிப்படைக் கோட்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

1. ஒரு பொருளின் மடக்கையின் பண்பு விரிவாக்கப்பட வேண்டிய பணிகளில் பயன்படுத்தப்படலாம் பெரும் முக்கியத்துவம்எண்கள் b எளிய காரணிகளாக. எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 2 4 + பதிவு 2 128 = பதிவு 2 (4*128) = பதிவு 2 512. பதில் 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மடக்கை சக்தியின் நான்காவது பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சிக்கலான மற்றும் தீர்க்க முடியாத வெளிப்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்க முடிந்தது. நீங்கள் அடித்தளத்தை காரணியாக்க வேண்டும், பின்னர் மடக்கையின் அடையாளத்திலிருந்து அடுக்கு மதிப்புகளை எடுக்க வேண்டும்.

ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் இருந்து பணிகள்

மடக்கைகள் பெரும்பாலும் காணப்படுகின்றன நுழைவுத் தேர்வுகள், குறிப்பாக ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் நிறைய மடக்கைச் சிக்கல்கள் (அனைத்து பள்ளி பட்டதாரிகளுக்கும் மாநிலத் தேர்வு). பொதுவாக, இந்தப் பணிகள் பகுதி A இல் (தேர்வின் எளிதான சோதனைப் பகுதி) மட்டுமல்ல, பகுதி C (மிகவும் சிக்கலான மற்றும் மிகப்பெரிய பணிகள்) உள்ளன. தேர்வுக்கு "இயற்கை மடக்கைகள்" என்ற தலைப்பில் துல்லியமான மற்றும் சரியான அறிவு தேவை.

சிக்கல்களுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகள் அதிகாரிகளிடமிருந்து எடுக்கப்படுகின்றன ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு விருப்பங்கள். அத்தகைய பணிகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்.

கொடுக்கப்பட்ட பதிவு 2 (2x-1) = 4. தீர்வு:
வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம், அதை சிறிது லாக் 2 (2x-1) = 2 2 என்று எளிதாக்குவோம், மடக்கையின் வரையறையின்படி 2x-1 = 2 4, எனவே 2x = 17; x = 8.5.

• அனைத்து மடக்கைகளையும் ஒரே தளத்திற்குக் குறைப்பது சிறந்தது, இதனால் தீர்வு சிக்கலானதாகவும் குழப்பமாகவும் இருக்காது.
• மடக்கைக் குறியின் கீழ் உள்ள அனைத்து வெளிப்பாடுகளும் நேர்மறையாகக் குறிக்கப்படுகின்றன, எனவே, மடக்கைக் குறியின் கீழ் இருக்கும் ஒரு வெளிப்பாட்டின் அடுக்கு மற்றும் அதன் அடித்தளத்தை ஒரு பெருக்கியாக எடுத்துக் கொள்ளும்போது, ​​மடக்கையின் கீழ் மீதமுள்ள வெளிப்பாடு நேர்மறையாக இருக்க வேண்டும்.

மடக்கைகளை நாங்கள் தொடர்ந்து படிக்கிறோம். இந்த கட்டுரையில் நாம் பேசுவோம் மடக்கைகளை கணக்கிடுகிறது, இந்த செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது மடக்கை. முதலில் நாம் மடக்கைகளின் கணக்கீட்டை வரையறை மூலம் புரிந்துகொள்வோம். அடுத்து, மடக்கைகளின் மதிப்புகள் அவற்றின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி எவ்வாறு கண்டறியப்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம். இதற்குப் பிறகு, பிற மடக்கைகளின் ஆரம்பத்தில் குறிப்பிடப்பட்ட மதிப்புகள் மூலம் மடக்கைகளைக் கணக்கிடுவதில் கவனம் செலுத்துவோம். இறுதியாக, மடக்கை அட்டவணைகளை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். முழு கோட்பாடும் விரிவான தீர்வுகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகளுடன் வழங்கப்பட்டுள்ளது.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

வரையறையின்படி மடக்கைகளை கணக்கிடுதல்

எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், மிக விரைவாகவும் எளிதாகவும் செய்ய முடியும் வரையறை மூலம் மடக்கை கண்டறிதல். இந்த செயல்முறை எவ்வாறு நிகழ்கிறது என்பதை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

அதன் சாராம்சம் ஒரு சி வடிவத்தில் எண்ணை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதாகும், அதில் இருந்து, மடக்கையின் வரையறையின்படி, எண் சி என்பது மடக்கையின் மதிப்பாகும். அதாவது, வரையறையின்படி, பின்வரும் சமத்துவங்களின் சங்கிலி மடக்கைக் கண்டறிவதற்கு ஒத்திருக்கிறது: log a b=log a a c =c.

எனவே, ஒரு மடக்கையை வரையறையின்படி கணக்கிடுவது c = b என்ற எண்ணைக் கண்டறிவதாகும், மேலும் c எண்ணே மடக்கையின் விரும்பிய மதிப்பாகும்.

முந்தைய பத்திகளில் உள்ள தகவலை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண் மடக்கை அடிப்படையின் ஒரு குறிப்பிட்ட சக்தியால் கொடுக்கப்பட்டால், மடக்கை எதற்கு சமம் என்பதை நீங்கள் உடனடியாகக் குறிப்பிடலாம் - இது அடுக்குக்கு சமம். உதாரணங்களுக்கு தீர்வுகளை காண்போம்.

உதாரணமாக.

பதிவு 2 2 −3 ஐக் கண்டுபிடி, மேலும் e 5,3 எண்ணின் இயற்கை மடக்கையைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு.

மடக்கையின் வரையறை, பதிவு 2 2 −3 =−3 என்று உடனடியாகச் சொல்ல அனுமதிக்கிறது. உண்மையில், மடக்கை குறியின் கீழ் உள்ள எண், அடிப்படை 2 க்கு −3 சக்திக்கு சமம்.

இதேபோல், நாம் இரண்டாவது மடக்கையைக் காண்கிறோம்: lne 5.3 =5.3.

பதில்:

பதிவு 2 2 −3 =−3 மற்றும் lne 5,3 =5,3.

மடக்கைக் குறியின் கீழ் உள்ள எண் b என்பது மடக்கையின் அடிப்பகுதியின் சக்தியாகக் குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால், a c வடிவத்தில் b எண்ணின் பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டு வர முடியுமா என்பதை நீங்கள் கவனமாகப் பார்க்க வேண்டும். பெரும்பாலும் இந்த பிரதிநிதித்துவம் மிகவும் வெளிப்படையானது, குறிப்பாக மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண் 1, அல்லது 2, அல்லது 3 இன் சக்திக்கு அடித்தளத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது ...

உதாரணமாக.

மடக்கை பதிவு 5 25 மற்றும் .

தீர்வு.

25=5 2 என்பதை எளிதாகக் காணலாம், இது முதல் மடக்கையைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது: பதிவு 5 25=பதிவு 5 5 2 =2.

இரண்டாவது மடக்கை கணக்கிடுவதற்கு செல்லலாம். எண்ணை 7 இன் சக்தியாகக் குறிப்பிடலாம்: (தேவைப்பட்டால் பார்க்கவும்). எனவே, .

மூன்றாவது மடக்கையை பின்வரும் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம். இப்போது நீங்கள் அதை பார்க்க முடியும் , அதிலிருந்து நாம் முடிவு செய்கிறோம் . எனவே, மடக்கையின் வரையறையின்படி .

சுருக்கமாக, தீர்வை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

பதில்:

பதிவு 5 25=2 , மற்றும் .

மடக்கையின் அடையாளத்தின் கீழ் போதுமான அளவு பெரியது இருக்கும் இயற்கை எண், பின்னர் அதை முதன்மைக் காரணிகளாகக் கூறுவது வலிக்காது. இது பெரும்பாலும் மடக்கையின் அடிப்பகுதியின் சில சக்தியாக அத்தகைய எண்ணைக் குறிக்க உதவுகிறது, எனவே இந்த மடக்கையை வரையறை மூலம் கணக்கிடலாம்.

உதாரணமாக.

மடக்கையின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

மடக்கைகளின் சில பண்புகள் மடக்கைகளின் மதிப்பை உடனடியாகக் குறிப்பிட உங்களை அனுமதிக்கின்றன. இந்த பண்புகளில் ஒன்றின் மடக்கையின் பண்பு மற்றும் அடிப்படைக்கு சமமான எண்ணின் மடக்கையின் பண்பு ஆகியவை அடங்கும்: log 1 1=log a a 0 =0 மற்றும் log a =log a a 1 =1. அதாவது, மடக்கையின் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு எண் 1 அல்லது மடக்கையின் அடிப்பகுதிக்கு சமமான எண் இருக்கும்போது, ​​இந்த நிகழ்வுகளில் மடக்கைகள் முறையே 0 மற்றும் 1 க்கு சமமாக இருக்கும்.

உதாரணமாக.

மடக்கைகள் மற்றும் log10 எதற்கு சமம்?

தீர்வு.

முதல், மடக்கையின் வரையறையிலிருந்து அது பின்வருமாறு .

இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், மடக்கைக் குறியின் கீழ் உள்ள எண் 10 அதன் அடித்தளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, எனவே பத்தின் தசம மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம், அதாவது lg10=lg10 1 =1.

பதில்:

மற்றும் lg10=1.

வரையறையின்படி மடக்கைகளின் கணக்கீடு (முந்தைய பத்தியில் நாம் விவாதித்தது) சமத்துவ பதிவு a a p =p பயன்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது, இது மடக்கைகளின் பண்புகளில் ஒன்றாகும்.

நடைமுறையில், மடக்கைக் குறியின் கீழ் உள்ள எண் மற்றும் மடக்கையின் அடிப்பகுதி ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணின் சக்தியாக எளிதில் குறிப்பிடப்படும்போது, ​​சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது. , இது மடக்கைகளின் பண்புகளில் ஒன்றிற்கு ஒத்திருக்கிறது. இந்த சூத்திரத்தின் பயன்பாட்டை விளக்கி, மடக்கைக் கண்டறிவதற்கான உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

உதாரணமாக.

மடக்கையை கணக்கிடவும்.

தீர்வு.

பதில்:

.

மேலே குறிப்பிடப்படாத மடக்கைகளின் பண்புகள் கணக்கீடுகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, ஆனால் இதைப் பற்றி பின்வரும் பத்திகளில் பேசுவோம்.

மற்ற அறியப்பட்ட மடக்கைகள் மூலம் மடக்கைகளைக் கண்டறிதல்

இந்த பத்தியில் உள்ள தகவல்கள் மடக்கைகளின் பண்புகளை கணக்கிடும்போது அவற்றைப் பயன்படுத்துவதற்கான தலைப்பைத் தொடர்கின்றன. ஆனால் இங்கே முக்கிய வேறுபாடு என்னவென்றால், மடக்கைகளின் பண்புகள் அசல் மடக்கையை மற்றொரு மடக்கையின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்த பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அதன் மதிப்பு அறியப்படுகிறது. தெளிவுபடுத்துவதற்கு ஒரு உதாரணம் தருவோம். பதிவு 2 3≈1.584963 என்று நமக்குத் தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், எடுத்துக்காட்டாக, மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சிறிய மாற்றத்தைச் செய்வதன் மூலம் பதிவு 2 6 ஐக் கண்டறியலாம்: பதிவு 2 6=பதிவு 2 (2 3)=பதிவு 2 2+பதிவு 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், ஒரு பொருளின் மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தினால் போதும். இருப்பினும், கொடுக்கப்பட்டவற்றின் மூலம் அசல் மடக்கையைக் கணக்கிட, மடக்கைகளின் பண்புகளின் பரந்த ஆயுதக் களஞ்சியத்தைப் பயன்படுத்துவது பெரும்பாலும் அவசியம்.

உதாரணமாக.

பதிவு 60 2=a மற்றும் பதிவு 60 5=b என்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால், 27 முதல் 60 வரையிலான மடக்கையைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.

எனவே நாம் பதிவு 60 27 ஐ கண்டுபிடிக்க வேண்டும். 27 = 3 3 , மற்றும் அசல் மடக்கை, சக்தியின் மடக்கையின் பண்பு காரணமாக, 3·log 60 3 என மீண்டும் எழுதப்படலாம்.

இப்போது அறியப்பட்ட மடக்கைகளின் அடிப்படையில் பதிவு 60 3 ஐ எவ்வாறு வெளிப்படுத்துவது என்று பார்ப்போம். அடிப்படைக்கு சமமான எண்ணின் மடக்கையின் பண்பு சமத்துவப் பதிவேடு 60 60=1ஐ எழுத அனுமதிக்கிறது. மறுபுறம், பதிவு 60 60=log60(2 2 3 5)= பதிவு 60 2 2 +பதிவு 60 3+பதிவு 60 5= 2·பதிவு 60 2+பதிவு 60 3+பதிவு 60 5 . இதனால், 2 பதிவு 60 2+பதிவு 60 3+பதிவு 60 5=1. எனவே, பதிவு 60 3=1−2·பதிவு 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

இறுதியாக, அசல் மடக்கை கணக்கிடுகிறோம்: பதிவு 60 27=3 பதிவு 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

பதில்:

பதிவு 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

தனித்தனியாக, படிவத்தின் மடக்கையின் புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரத்தின் பொருளைக் குறிப்பிடுவது மதிப்பு. . எந்தவொரு தளத்துடனும் மடக்கைகளிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட தளத்துடன் மடக்கைகளுக்கு செல்ல இது உங்களை அனுமதிக்கிறது, அதன் மதிப்புகள் அறியப்படுகின்றன அல்லது அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க முடியும். வழக்கமாக, அசல் மடக்கையிலிருந்து, மாற்றம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, அவை தளங்கள் 2, e அல்லது 10 இல் உள்ள மடக்கைகளுக்கு நகர்கின்றன, ஏனெனில் இந்த தளங்களுக்கு அனுமதிக்கும் மடக்கைகளின் அட்டவணைகள் உள்ளன. ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிற்குஅவற்றின் மதிப்புகளை துல்லியமாக கணக்கிடுங்கள். இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை அடுத்த பத்தியில் காண்போம்.

மடக்கை அட்டவணைகள் மற்றும் அவற்றின் பயன்பாடுகள்

மடக்கையின் தோராயமான கணக்கீட்டிற்கு, மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தலாம் மடக்கை அட்டவணைகள். பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் அடிப்படை 2 மடக்கை அட்டவணை, இயற்கை மடக்கை அட்டவணை மற்றும் தசம மடக்கை அட்டவணை. தசம எண் அமைப்பில் பணிபுரியும் போது, ​​அடிப்படை பத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட மடக்கைகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது. அதன் உதவியுடன் மடக்கைகளின் மதிப்புகளைக் கண்டறிய கற்றுக்கொள்வோம்.

வழங்கப்பட்ட அட்டவணை, 1,000 முதல் 9,999 வரையிலான எண்களின் தசம மடக்கைகளின் மதிப்புகளை (மூன்று தசம இடங்களுடன்) பத்தாயிரத்தில் ஒரு துல்லியத்துடன் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது. தசம மடக்கைகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி மடக்கையின் மதிப்பைக் கண்டறியும் கொள்கையை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம். குறிப்பிட்ட உதாரணம்- அது அந்த வழியில் தெளிவாக உள்ளது. log1.256ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

தசம மடக்கைகளின் அட்டவணையின் இடது நெடுவரிசையில் 1.256 எண்ணின் முதல் இரண்டு இலக்கங்களைக் காண்கிறோம், அதாவது, 1.2 ஐக் காண்கிறோம் (இந்த எண் தெளிவுக்காக நீல நிறத்தில் வட்டமிடப்பட்டுள்ளது). எண் 1.256 (இலக்க 5) இன் மூன்றாவது இலக்கமானது இரட்டைக் கோட்டின் இடதுபுறத்தில் முதல் அல்லது கடைசி வரியில் காணப்படுகிறது (இந்த எண் சிவப்பு நிறத்தில் வட்டமிடப்பட்டுள்ளது). அசல் எண் 1.256 (இலக்க 6) இன் நான்காவது இலக்கமானது இரட்டைக் கோட்டின் வலதுபுறத்தில் முதல் அல்லது கடைசி வரியில் காணப்படுகிறது (இந்த எண் பச்சைக் கோடுடன் வட்டமிடப்பட்டுள்ளது). இப்போது குறிக்கப்பட்ட வரிசை மற்றும் குறிக்கப்பட்ட நெடுவரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் மடக்கை அட்டவணையின் கலங்களில் எண்களைக் காண்கிறோம் (இந்த எண்கள் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ளன ஆரஞ்சு) குறிக்கப்பட்ட எண்களின் கூட்டுத்தொகை தசம மடக்கையின் விரும்பிய மதிப்பை நான்காவது தசம இடத்திற்கு துல்லியமாக அளிக்கிறது, அதாவது, பதிவு1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

மேலே உள்ள அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, தசம புள்ளிக்குப் பிறகு மூன்று இலக்கங்களுக்கு மேல் உள்ள எண்களின் தசம மடக்கைகளின் மதிப்புகளையும், அதே போல் 1 முதல் 9.999 வரையிலான வரம்பிற்கு அப்பால் செல்லும் எண்களையும் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? ஆமாம் உன்னால் முடியும். இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் காண்போம்.

lg102.76332 ஐ கணக்கிடுவோம். முதலில் நீங்கள் எழுத வேண்டும் நிலையான வடிவத்தில் எண்: 102.76332=1.0276332·10 2. இதற்குப் பிறகு, மாண்டிசாவை மூன்றாவது தசம இடத்திற்கு வட்டமிட வேண்டும் 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, அசல் தசம மடக்கையானது விளைந்த எண்ணின் மடக்கைக்கு தோராயமாக சமமாக இருக்கும் போது, ​​அதாவது, நாம் log102.76332≈lg1.028·10 2 ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம். இப்போது நாம் மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. இறுதியாக, தசம மடக்கைகள் lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 அட்டவணையில் இருந்து மடக்கை lg1.028 இன் மதிப்பைக் காண்கிறோம். இதன் விளைவாக, மடக்கை கணக்கிடுவதற்கான முழு செயல்முறையும் இதுபோல் தெரிகிறது: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

முடிவில், தசம மடக்கைகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் எந்த மடக்கையின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடலாம் என்பது கவனிக்கத்தக்கது. இதைச் செய்ய, தசம மடக்கைகளுக்குச் செல்ல, அவற்றின் மதிப்புகளை அட்டவணையில் கண்டுபிடித்து, மீதமுள்ள கணக்கீடுகளைச் செய்ய, மாற்றம் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் போதும்.

எடுத்துக்காட்டாக, பதிவு 2 3 ஐக் கணக்கிடுவோம். மடக்கையின் புதிய தளத்திற்கு மாறுவதற்கான சூத்திரத்தின்படி, எங்களிடம் உள்ளது. தசம மடக்கைகளின் அட்டவணையில் இருந்து log3≈0.4771 மற்றும் log2≈0.3010ஐக் காணலாம். இதனால், .

நூல் பட்டியல்.

• கோல்மோகோரோவ் ஏ.என்., அப்ரமோவ் ஏ.எம்., டட்னிட்சின் யூ.பி. மற்றும் பிற இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 10 - 11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல்.
• குசெவ் வி.ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. கணிதம் (தொழில்நுட்பப் பள்ளிகளில் சேருபவர்களுக்கான கையேடு).

log a r b r =log a bஅல்லது பதிவு a b= பதிவு a r b r

மடக்கையின் அடிப்பகுதியையும் மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண்ணையும் ஒரே சக்திக்கு உயர்த்தினால் மடக்கையின் மதிப்பு மாறாது.

மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் நேர்மறை எண்கள் மட்டுமே இருக்க முடியும், மேலும் மடக்கையின் அடிப்பகுதி ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்காது.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

1) பதிவு 3 9 மற்றும் பதிவு 9 81 ஐ ஒப்பிடுக.

பதிவு 3 9=2, 3 2 =9 என்பதால்;

பதிவு 9 81=2, 9 2 =81 என்பதால்.

எனவே பதிவு 3 9=பதிவு 9 81.

இரண்டாவது மடக்கையின் அடிப்பகுதி முதல் மடக்கையின் அடிப்பகுதியின் வர்க்கத்திற்குச் சமம்: 9=3 2, மற்றும் இரண்டாவது மடக்கையின் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண் முதல் குறியின் கீழ் உள்ள எண்ணின் வர்க்கத்திற்குச் சமம். மடக்கை: 81=9 2. முதல் மடக்கை பதிவு 3 9 இன் எண் மற்றும் அடிப்படை இரண்டும் இரண்டாவது சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்டன, மேலும் மடக்கையின் மதிப்பு இதிலிருந்து மாறவில்லை:

அடுத்து, ரூட் பிரித்தெடுத்தல் இருந்து nமத்தியில் இருந்து வது பட்டம் ஏஒரு எண்ணை உயர்த்துவது ஏபட்டம் வரை ( 1/n), பின்னர் பதிவு 9 81 இலிருந்து எண்ணின் வர்க்க மூலத்தையும் மடக்கையின் அடிப்பகுதியையும் எடுத்து பதிவு 3 9 ஐப் பெறலாம்:

2) சமத்துவத்தைச் சரிபார்க்கவும்: பதிவு 4 25=பதிவு 0.5 0.2.

முதல் மடக்கையைப் பார்ப்போம். அடித்தளத்தின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக்கொள்வது 4 மற்றும் மத்தியில் இருந்து 25 ; நாம் பெறுகிறோம்: பதிவு 4 25 = பதிவு 2 5.

இரண்டாவது மடக்கையைப் பார்ப்போம். மடக்கை அடிப்படை: 0.5= 1/2. இந்த மடக்கையின் அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண்: 0.2= 1/5. இந்த எண்கள் ஒவ்வொன்றையும் மைனஸ் முதல் சக்திக்கு உயர்த்துவோம்:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

எனவே பதிவு 0.5 0.2=log 2 5. முடிவு: இந்த சமத்துவம் உண்மை.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:

பதிவு 4 x 4 +பதிவு 16 81=பதிவு 2 (5x+2).மடக்கைகளை இடமிருந்து அடித்தளமாகக் குறைப்போம் 2 .

பதிவு 2 x 2 +பதிவு 2 3=பதிவு 2 (5x+2). எண்ணின் வர்க்க மூலத்தையும் முதல் மடக்கையின் அடிப்பகுதியையும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். எண்ணின் நான்காவது மூலத்தையும் இரண்டாவது மடக்கையின் அடிப்பகுதியையும் பிரித்தெடுக்கவும்.

பதிவு 2 (3x 2)=பதிவு 2 (5x+2). மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையை தயாரிப்பின் மடக்கையாக மாற்றவும்.

3x 2 =5x+2. ஆற்றல் பெற்ற பிறகு பெறப்பட்டது.

3x 2 -5x-2=0. ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 உண்மையான வேர்கள்.

பரீட்சை.

x=2.

பதிவு 4 2 4 +பதிவு 16 81=பதிவு 2 (5∙2+2);

பதிவு 2 2 2 +பதிவு 2 3=பதிவு 2 12;

பதிவு 2 (4∙3)=பதிவு 2 12;

பதிவு 2 12=பதிவு 2 12;

பதிவு a n b=(1/ n)∙ பதிவு a b

ஒரு எண்ணின் மடக்கை பிஅடிப்படையில் ஒருபின்னத்தின் உற்பத்திக்கு சமம் 1/ nஒரு எண்ணின் மடக்கைக்கு பிஅடிப்படையில் அ.

கண்டுபிடி:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙பதிவு 125 2 , என்று தெரிந்தால் பதிவு 2 3=b,பதிவு 5 2=c.

தீர்வு.

சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

1) பதிவு 2 x+log 4 x+log 16 x=5.25.

தீர்வு.

இந்த மடக்கைகளை அடிப்படை 2 ஆகக் குறைப்போம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: பதிவு a n b=(1/ n)∙ பதிவு a b

பதிவு 2 x+(½) பதிவு 2 x+(¼) பதிவு 2 x=5.25;

பதிவு 2 x+0.5log 2 x+0.25log 2 x=5.25. இதே போன்ற சொற்கள் இங்கே:

(1+0.5+0.25) பதிவு 2 x=5.25;

1.75 பதிவு 2 x=5.25 |:1.75

பதிவு 2 x=3. மடக்கையின் வரையறையின்படி:

2) 0.5log 4 (x-2)+log 16 (x-3)=0.25.

தீர்வு.

மடக்கையை அடிப்படை 16 ஆக இருந்து அடிப்படை 4 ஆக மாற்றுவோம்.

0.5log 4 (x-2)+0.5log 4 (x-3)=0.25 |:0.5

பதிவு 4 (x-2)+log 4 (x-3)=0.5. மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையை தயாரிப்பின் மடக்கையாக மாற்றுவோம்.

பதிவு 4 ((x-2)(x-3))=0.5;

பதிவு 4 (x 2 -2x-3x+6)=0.5;

பதிவு 4 (x 2 -5x+6)=0.5. மடக்கையின் வரையறையின்படி:

x 2 -5x+4=0. வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி: x 1 =1; x 2 =4. x இன் முதல் மதிப்பு வேலை செய்யாது, ஏனெனில் x = 1 இல் இந்த சமத்துவத்தின் மடக்கைகள் இல்லை, ஏனெனில்

நேர்மறை எண்கள் மட்டுமே மடக்கை அடையாளத்தின் கீழ் இருக்க முடியும்.

பரீட்சை.

இந்த சமன்பாட்டை x=4 இல் பார்க்கலாம்.

0.5log 4 (4-2)+log 16 (4-3)=0.25

0,5∙0,5+0=0,25

0.5log 4 2+log 16 1=0.25

log a b=log c b/log c a பிஅடிப்படையில் ஏஒரு எண்ணின் மடக்கை எண்ணின் மடக்கைக்கு சமம்பி ஒரு புதிய அடிப்படையில்உடன் ஏபி ஒரு புதிய அடிப்படையில்.

, பழைய தளத்தின் மடக்கையால் வகுக்கப்படுகிறது

எடுத்துக்காட்டுகள்:

1) பதிவு 2 3=lg3/lg2;

2) பதிவு 8 7=ln7/ln8.

கணக்கிடு:, என்று தெரிந்தால் 1) பதிவு 5 7≈0,8451; lg7≈0,6990.

lg5 c / பி lg5பதிவு

அ.

பதிவு 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090. பதில்:≈1,209 0≈1,209 .

பதிவு 5 7 5 7 2) பதிவு , என்று தெரிந்தால்≈1,9459; ln7≈1,6094.

ln5 lg5 c / பி lg5பதிவு

தீர்வு. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: log a b =log

பதிவு 5 7=log7/log5≈0.8451:0.6990≈1.2090. பதில்:≈1,209 1≈1,209 .

பதிவு 5 7=ln7/ln5≈1.9459:1.6094≈1.2091.

xஐக் கண்டுபிடி:

1) பதிவு 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3. lg5 c / பி lg5நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: பதிவு a = பதிவு a b

. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதிவு 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

பதிவு 3 x=log 3 (4∙6∙8);

பதிவு 3 x=log 3 192;

x=192.

1) பதிவு 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3. lg5 c / பி lg5நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: பதிவு 2) பதிவு 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10

பதிவு a b . நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பதிவு 7 x=lg143-lg11-lg13;

பதிவு 7 x=lg143- (lg11+lg13);

பதிவு 7 x=lg143-lg (11∙13);

பதிவு 7 x=lg143-lg143;

x=1.

பக்கம் 1 இல் 1 1

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

ஏனெனில் \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

மடக்கையின் வாதம் மற்றும் அடிப்படை

ஒரு மடக்கையின் வாதம் பொதுவாக அதன் மட்டத்தில் எழுதப்படுகிறது, மேலும் தளமானது மடக்கை அடையாளத்திற்கு நெருக்கமாக சப்ஸ்கிரிப்டில் எழுதப்படுகிறது. மேலும் இந்த பதிவு இப்படி உள்ளது: "இருபத்தைந்து முதல் அடிப்படை ஐந்து வரையிலான மடக்கை."

மடக்கையை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

மடக்கை கணக்கிட, நீங்கள் கேள்விக்கு பதிலளிக்க வேண்டும்: வாதத்தைப் பெற எந்த சக்திக்கு அடித்தளத்தை உயர்த்த வேண்டும்?

உதாரணத்திற்கு, மடக்கை கணக்கிடவும்: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

அ) \(16\) பெறுவதற்கு \(4\) எந்த சக்திக்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும்? வெளிப்படையாக இரண்டாவது. அதனால்தான்:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) பெற \(\sqrt(5)\) எந்த அதிகாரத்திற்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும்? எந்த சக்தியை நம்பர் ஒன் ஆக்குகிறது? பூஜ்யம், நிச்சயமாக!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

ஈ) \(\sqrt(7)\) பெறுவதற்கு \(\sqrt(7)\) எந்த அதிகாரத்திற்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும்? முதலாவதாக, எந்த எண்ணும் முதல் சக்திக்கு சமமாக இருக்கும்.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

இ) \(\sqrt(3)\) பெறுவதற்கு \(3\) எந்த அதிகாரத்திற்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும்? இது ஒரு பகுதியளவு சக்தி என்பதை நாம் அறிவோம், அதாவது வர்க்கமூலம் என்பது \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

உதாரணமாக : மடக்கை கணக்கிடு \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

தீர்வு :

பதில் : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

மடக்கை ஏன் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது?

இதைப் புரிந்துகொள்ள, சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்: \(3^(x)=9\). சமத்துவம் செயல்பட \(x\) ஐ பொருத்தவும். நிச்சயமாக, \(x=2\).

இப்போது சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: \(3^(x)=8\).x என்பது எதற்கு சமம்? அதுதான் விஷயம்.

புத்திசாலிகள் சொல்வார்கள்: "X என்பது இரண்டை விட சற்று குறைவு." இந்த எண்ணை எப்படி சரியாக எழுதுவது? இந்த கேள்விக்கு பதிலளிக்க, மடக்கை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அவருக்கு நன்றி, இங்கே பதில் \(x=\log_(3)(8)\) என எழுதலாம்.

\(\log_(3)(8)\), போன்றவற்றை நான் வலியுறுத்த விரும்புகிறேன் எந்த மடக்கையும் ஒரு எண் மட்டுமே. ஆம், இது அசாதாரணமானது, ஆனால் அது குறுகியது. ஏனென்றால் நாம் அதை வடிவத்தில் எழுத விரும்பினால் தசம, அது இப்படி இருக்கும்: \(1.892789260714.....\)

உதாரணமாக : சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் \(4^(5x-4)=10\)

தீர்வு :

பதில் : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

தசம மற்றும் இயற்கை மடக்கைகள்

மடக்கையின் வரையறையில் கூறப்பட்டுள்ளபடி, அதன் அடிப்படை ஒன்று \((a>0, a\neq1)\) தவிர வேறு எந்த நேர்மறை எண்ணாகவும் இருக்கலாம். சாத்தியமான அனைத்து அடிப்படைகளிலும், அடிக்கடி நிகழும் இரண்டு உள்ளன, அவற்றுடன் மடக்கைகளுக்கு ஒரு சிறப்பு குறுகிய குறியீடு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது:

இயற்கை மடக்கை: ஆய்லரின் எண் \(e\) (தோராயமாக \(2.7182818…\)க்கு சமம்) மற்றும் மடக்கை \(\ln(a)\) என எழுதப்பட்ட மடக்கை.

அது, \(\ln(a)\) என்பது \(\log_(e)(a)\)

தசம மடக்கை: 10 அடியாக இருக்கும் மடக்கை \(\lg(a)\) எழுதப்படுகிறது.

அது, \(\lg(a)\) என்பது \(\log_(10)(a)\), \(a\) என்பது சில எண்.

அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்

மடக்கைகள் பல பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன. அவற்றில் ஒன்று "அடிப்படை மடக்கை அடையாளம்" என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இது போல் தெரிகிறது:

இந்த சொத்து வரையறையிலிருந்து நேரடியாகப் பின்பற்றப்படுகிறது. இந்த ஃபார்முலா எப்படி வந்தது என்று பார்ப்போம்.

நினைவில் கொள்வோம் சிறு குறிப்புமடக்கையின் வரையறைகள்:

\(a^(b)=c\), பிறகு \(\log_(a)(c)=b\)

அதாவது, \(b\) என்பது \(\log_(a)(c)\). பிறகு \(a^(b)=c\) சூத்திரத்தில் \(b\) என்பதற்கு பதிலாக \(\log_(a)(c)\) என்று எழுதலாம். இது \(a^(\log_(a)(c))=c\) - முக்கிய மடக்கை அடையாளம்.

மடக்கைகளின் பிற பண்புகளை நீங்கள் காணலாம். அவர்களின் உதவியுடன், நீங்கள் நேரடியாக கணக்கிட கடினமாக இருக்கும் மடக்கைகளுடன் வெளிப்பாடுகளின் மதிப்புகளை எளிதாக்கலாம் மற்றும் கணக்கிடலாம்.

உதாரணமாக : வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் \(36^(\log_(6)(5))\)

தீர்வு :

பதில் : \(25\)

ஒரு எண்ணை மடக்கையாக எழுதுவது எப்படி?

மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, எந்த மடக்கையும் ஒரு எண் மட்டுமே. உரையாடலும் உண்மைதான்: எந்த எண்ணையும் மடக்கையாக எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, \(\log_(2)(4)\) என்பது இரண்டுக்கு சமம் என்பது நமக்குத் தெரியும். இரண்டுக்கு பதிலாக \(\log_(2)(4)\) என்று எழுதலாம்.

ஆனால் \(\log_(3)(9)\) என்பது \(2\) க்கு சமம், அதாவது \(2=\log_(3)(9)\) . அதேபோல \(\log_(5)(25)\), மற்றும் \(\log_(9)(81)\), போன்றவற்றுடன். அதாவது, அது மாறிவிடும்

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ பதிவு_(7)(49)...\)

எனவே, நமக்குத் தேவைப்பட்டால், எங்கிருந்தும் (ஒரு சமன்பாட்டிலும், ஒரு வெளிப்பாட்டிலும், ஒரு சமத்துவமின்மையிலும் கூட) எந்த அடிப்படையிலும் இரண்டை மடக்கையாக எழுதலாம் - ஸ்கொயர் பேஸை ஒரு வாதமாக எழுதலாம்.

மும்மடங்கிலும் இதுவே தான் – இதை \(\log_(2)(8)\), அல்லது \(\log_(3)(27)\), அல்லது \(\log_(4)( என எழுதலாம். 64) \)... இங்கே நாம் கனசதுரத்தில் அடித்தளத்தை ஒரு வாதமாக எழுதுகிறோம்:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ பதிவு_(7)(343)...\)

மற்றும் நான்குடன்:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ பதிவு_(7)(2401)...\)

மற்றும் கழித்தல் ஒன்றுடன்:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

மற்றும் மூன்றில் ஒரு பகுதியுடன்:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

எந்த எண்ணையும் \(a\) அடிப்படை \(b\) கொண்ட மடக்கையாகக் குறிப்பிடலாம்: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

உதாரணமாக : வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியவும் \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

தீர்வு :

பதில் : \(1\)

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் கோரிக்கையைச் சமர்ப்பிக்கும்போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், முகவரி உள்ளிட்ட பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம் மின்னஞ்சல்முதலியன

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவல்கள் உங்களைத் தொடர்பு கொள்ளவும், அதைப் பற்றி உங்களுக்குத் தெரிவிக்கவும் அனுமதிக்கிறது தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகள்.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால் - சட்டம், நீதித்துறை நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகள் மற்றும்/அல்லது பொது கோரிக்கைகள் அல்லது கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் அரசு நிறுவனங்கள்ரஷ்ய கூட்டமைப்பின் பிரதேசத்தில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளியிடவும். பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன அளவில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பாக இருப்பதை உறுதிசெய்ய, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.