Aula e apresentação sobre o tema: “Transformação de expressões racionais. Exemplos de resolução de problemas”

Materiais adicionais
Caros usuários, não esqueçam de deixar seus comentários, críticas, desejos. Todos os materiais foram verificados por um programa antivírus.

Auxiliares educacionais e simuladores na loja online Integral para a 8ª série
Manual do livro Muravin G.K. Um manual para o livro didático de Makarychev Yu.N.

O conceito de expressão racional

O conceito de “expressão racional” é semelhante ao conceito de “fração racional”. A expressão também é representada como uma fração. Somente nossos numeradores não são números, mas vários tipos de expressões. Na maioria das vezes, são polinômios. Uma fração algébrica é uma expressão fracionária que consiste em números e variáveis.

Ao resolver muitos problemas do ensino fundamental, após realizar operações aritméticas, recebíamos valores numéricos específicos, na maioria das vezes frações. Agora depois de realizar as operações obteremos frações algébricas. Pessoal, lembrem-se: para obter a resposta correta, vocês precisam simplificar ao máximo a expressão com a qual estão trabalhando. É preciso obter o menor grau possível; expressões idênticas em numeradores e denominadores devem ser reduzidas; com expressões que podem ser recolhidas, é necessário fazê-lo. Ou seja, após realizar uma série de ações, devemos obter a fração algébrica mais simples possível.

Procedimento com expressões racionais

O procedimento para realizar operações com expressões racionais é o mesmo das operações aritméticas. Primeiro são realizadas as operações entre parênteses, depois multiplicação e divisão, exponenciação e, por fim, adição e subtração.

Provar uma identidade significa mostrar que para todos os valores das variáveis ​​os lados direito e esquerdo são iguais. Existem muitos exemplos de prova de identidades.

As principais formas de resolver identidades incluem.

• Transforme o lado esquerdo para ser igual ao lado direito.
• Transforme o lado direito em igual ao esquerdo.
• Transforme os lados esquerdo e direito separadamente até obter a mesma expressão.
• O lado direito é subtraído do lado esquerdo e o resultado deve ser zero.

Convertendo expressões racionais. Exemplos de resolução de problemas

Exemplo 1.
Prove a identidade:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Solução.
Obviamente, precisamos transformar o lado esquerdo.
Primeiro, vamos seguir os passos entre parênteses:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((uma+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

Você deve tentar aplicar ao máximo os fatores comuns.
2) Transforme a expressão pela qual dividimos:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Execute a operação de divisão:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Execute a operação de adição:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1 )(a+1))(a+))=a-1$.

As partes direita e esquerda coincidiram. Isso significa que a identidade está comprovada.
Pessoal, para resolver esse exemplo precisávamos de conhecimento de muitas fórmulas e operações. Vemos que após a transformação, a expressão grande se transformou em uma expressão muito pequena. Ao resolver quase todos os problemas, as transformações geralmente levam a expressões simples.

Exemplo 2.
Simplifique a expressão:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Solução.
Vamos começar com os primeiros colchetes.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Transforme os segundos colchetes.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Vamos fazer a divisão.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Resposta: $-\frac(a(ab))(a+b)$.

Exemplo 3.
Siga estas etapas:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Solução.
Como sempre, você precisa começar com os colchetes.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Agora vamos fazer a divisão.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Vamos usar a propriedade: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Vamos realizar a operação de subtração.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Como dissemos anteriormente, é necessário simplificar a fração tanto quanto possível.
Resposta: $\frac(k)(k-4)$.

Problemas para resolver de forma independente

1. Prove a identidade:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Simplifique a expressão:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Siga estas etapas:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Complexo educacional Torez

“Escola abrangente de níveis І-ІІ No. 1 – Liceu “Spectrum”

Assunto. Transformações idênticas de expressões racionais

Desenvolvimento da aula para o 8º ano

Kirilyuk Natalia Anatolevna,

professor de matemática da mais alta categoria,

professor sênior

Torez – 2014

Metas:

Continuar a desenvolver nos alunos competências na transformação de expressões racionais; consolidar a capacidade de aplicar fórmulas abreviadas de multiplicação, somar, subtrair, multiplicar e dividir expressões racionais;

Promover o desenvolvimento pensamento lógico;

Promover o desenvolvimento nas crianças da capacidade de estabelecer metas e planear as suas atividades; realizar autoavaliação e autocorreção atividades educativas; capacidade de trabalhar dentro do prazo;

Promover a atenção, a atividade e uma cultura de comunicação.

Tipo de aula: aula educacional e de desenvolvimento com elementos da atividade empresarial.

Equipamento: cartas para o jogo “Campo dos Milagres”, “ações de empreendimentos”, tabela para avaliação dos alunos da aula, material com tarefas diferenciadas para o jogo “Troca de Conhecimento”

Formas e métodos de trabalho

I Motivação para atividades de aprendizagem. Autodefinição de metas e objetivos para a aula.

II Atualização conhecimento prévio:

1) Levantamento frontal;

2) Exercícios orais;

3) Dominó matemático.

1) Jogo “Campo dos Milagres” (trabalho em duplas);

2) Tarefa lógica.

V Tarefa interessante.

VI Trabalho de casa.

I Motivação do processo educativo. Mensagem do assunto. Autodefinição de metas e objetivos para a aula.

Muito se sabe há muito tempo, mas muito, muito não era. Assim como numa gota d'água você pode ver todas as inúmeras riquezas do oceano, também em livro escolar há milhares de anos de experiência. O passado espera que você compreenda o conhecimento que foi adquirido com muita dificuldade, e o futuro espera que você traga algo novo e passe para seus filhos e netos.

“A teoria sem prática é morta ou infrutífera, e a prática sem teoria é impossível ou desastrosa.”

A teoria requer conhecimento, a prática requer habilidades.

Alexei Nikolaevich Krylov

Hoje na lição adquiriremos as habilidades para somar, subtrair, multiplicar e dividir expressões racionais usando a teoria: métodos de fatoração de polinômios.

Com base no tópico e nos objetivos da aula, formule seus objetivos para a aula.

Resultado esperado:

1.melhorar a capacidade de realizar adição, subtração, multiplicação e divisão de frações racionais;

2. realizar transformações idênticas de expressões racionais.

Professor: Na frente de todos há uma tabela de classificação. Nesta tabela você inserirá os pontos ganhos durante a aula.

II Atualização de conhecimento de referência.

1. Levantamento frontal(verificação mútua “Professor-aluno”, 1b.)

Qual expressão é chamada de racional?

Como somar duas frações racionais com denominadores diferentes?

Que métodos de fatoração de um polinômio você conhece?

Como encontrar o produto de expressões racionais?

Qual é o procedimento para realizar transformações de identidade?

2. Exercícios orais(autoavaliação, 1b.)

3. Dominó matemático(verificação mútua, 1b.)

Fatore (escolha a resposta correta)

III Ativação da atividade mental:

1) Jogo “Campo dos Milagres”(trabalhar em duplas, 2b);

Você tem que se divertir aprendendo para absorver conhecimento,

você precisa digeri-los com gosto.

Anatole França

1)
15)

2)
16)

3)
17)

4)
18)

5)
19)

6)
20)

7)
21)

8)
22)

9)
23)

10)
24)

11)
25)

12)
26)

13)
27)

14)
28)

UM

EM

D

E

E

eu

M

N

X-Y

b-4

a+b

5xy

COM

T

Você

H

Sh

S

EU

9ab

X-6

5

Professor: Como resultado, temos a expressão: “O pensamento começa com a surpresa”. Aristóteles disse isso há 2.500 anos.

Nosso compatriota V. Sukhomlinsky acreditava que “um sentimento de surpresa é uma fonte poderosa de desejo de saber. Da surpresa ao conhecimento é um passo”, e a matemática é uma maravilhosa fonte de surpresa.

2) Tarefa lógica(2b.)

Professor: Vou tentar surpreendê-lo agora provando que 2 números são iguais entre si, utilizando leis algébricas e realizando transformações idênticas

5=6

Prova

35+10-45=42+12-54

5(7+2-9)=6(7+2-9)

5=6

Estou certo? Que lei foi violada? Encontre o erro.

IV Jogo económico “Troca de Conhecimento” (trabalho em grupo).

Agora vamos participar do trabalho da “bolsa de valores”.

Informações básicas "troca de conhecimento".

Intercâmbio – empresa comercial para a produção de serviços de intermediação onde são realizadas transações de compra e venda.

Bolsa de Valores– uma bolsa onde são negociados os principais tipos de valores mobiliários e ações.

Comerciante– um membro da bolsa que realiza transações às suas próprias custas.

Corretor– um membro da bolsa que recebe remuneração pela execução de ordens de clientes.

Atendente– um membro da bolsa que possui informações comerciais, ou seja, vendendo ações.

Comitê de Arbitragem– um órgão que regula disputas relativas a uma transação e às relações entre os participantes na negociação em bolsa.

Investimentos- investimento de fundos.

Promoção- visualizar títulos, ou seja cópia em papel do capital.

Imagine que vocês são membros da “bolsa de valores” - “traders”, cuja tarefa é preservar o capital inicial, aumentá-lo fazendo escolha certa em "investir".

Ao completar a tarefa corretamente, você receberá “renda” e adquirirá ações do empreendimento correspondente.

Ao concluir as tarefas, você pode utilizar os serviços de um consultor intermediário.

Temos 5 grupos de corretores. Cada empresa compra uma tarefa, tendo determinado o “investimento” mais rentável (Apêndice 1)

“Siesta"

2 talentos

"Zinger"

3 talentos

"Chocolate da Ucrânia"

4 talentos

№32(1)

Página 13

№32(3)

Página 13

№32(4)

Página 13

№39(1)

Página 14

№39(2)

Página 14

№39(3)

Página 14

Os resultados são resumidos e o melhor se destaca corretora. Como recompensa, é emitida uma licença que permite a prestação de serviços de corretagem aos clientes.

(Apêndice 2)

V Tarefa interessante.

VI Trabalho de casa. (repetir §8. realizar teste)

VII Resumo da lição(avaliação de classificação dos alunos)

nota

Número de pontos

9-10

11-12

13-14

15-16

17-18

19-20

21-22

23-24

Mais de 25

O professor resume a aula, lê os resultados da avaliação

"Microfone aberto"

1.O que foi interessante na aula?

2. O que foi difícil?

Apêndice 1. Ações empresariais

Apêndice 2. Licença

Esta lição cobrirá informações básicas sobre expressões racionais e suas transformações, bem como exemplos de transformações de expressões racionais. Este tópico meio que resume os tópicos que estudamos até agora. As transformações de expressões racionais envolvem adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação de frações algébricas, redução, fatoração, etc. Como parte da lição, veremos o que é uma expressão racional e também analisaremos exemplos de sua transformação.

Assunto:Frações algébricas. Operações aritméticas em frações algébricas

Lição:Informações básicas sobre expressões racionais e suas transformações

Definição

Expressão racionalé uma expressão que consiste em números, variáveis, operações aritméticas e operação de exponenciação.

Vejamos um exemplo de expressão racional:

Casos especiais de expressões racionais:

1º grau: ;

2. monômio: ;

3. fração: .

Convertendo uma expressão racionalé uma simplificação de uma expressão racional. A ordem das ações ao transformar expressões racionais: primeiro há operações entre colchetes, depois operações de multiplicação (divisão) e depois operações de adição (subtração).

Vejamos vários exemplos de transformação de expressões racionais.

Exemplo 1

Solução:

Vamos resolver este exemplo passo a passo. A ação entre parênteses é executada primeiro.

Responder:

Exemplo 2

Solução:

Responder:

Exemplo 3

Solução:

Responder: .

Observação: Talvez, ao ver este exemplo, tenha surgido uma ideia: reduzir a fração antes de reduzi-la a um denominador comum. Na verdade, é absolutamente correto: primeiro é aconselhável simplificar ao máximo a expressão e depois transformá-la. Vamos tentar resolver este mesmo exemplo da segunda forma.

Como você pode ver, a resposta acabou sendo absolutamente semelhante, mas a solução acabou sendo um pouco mais simples.

Nesta lição vimos expressões racionais e suas transformações, bem como vários exemplos específicos dados de transformação.

Referências

1. Bashmakov M.I. Álgebra 8º ano. - M.: Educação, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. e outros. Álgebra 8. - 5ª ed. - M.: Educação, 2010.

Nível de entrada

Convertendo Expressões. Teoria detalhada (2019)

Convertendo Expressões

Muitas vezes ouvimos esta frase desagradável: “simplifique a expressão”. Normalmente vemos algum tipo de monstro como este:

“É muito mais simples”, dizemos, mas essa resposta geralmente não funciona.

Agora vou te ensinar a não ter medo de tais tarefas. Além disso, no final da lição, você mesmo simplificará este exemplo para (apenas!) um número comum (sim, para o inferno com essas letras).

Mas antes de começar esta lição, você precisa ser capaz de lidar com frações e fatorar polinômios. Portanto, primeiro, se você ainda não fez isso, certifique-se de dominar os tópicos “” e “”.

Você leu? Se sim, então agora você está pronto.

Operações básicas de simplificação

Agora vejamos as técnicas básicas usadas para simplificar expressões.

O mais simples é

1. Trazendo semelhantes

O que são semelhantes? Você fez isso na 7ª série, quando letras em vez de números apareceram pela primeira vez na matemática. Semelhantes são os termos (monômios) com a mesma parte da letra. Por exemplo, na soma, termos semelhantes são e.

Você se lembra?

Trazer semelhantes significa adicionar vários termos semelhantes entre si e obter um termo.

Como podemos juntar as letras? - você pergunta.

Isso é muito fácil de entender se você imaginar que as letras são algum tipo de objeto. Por exemplo, uma carta é uma cadeira. Então a que é igual a expressão? Duas cadeiras mais três cadeiras, quantas serão? Isso mesmo, cadeiras: .

Agora tente esta expressão: .

Para evitar confusão, deixe letras diferentes representam objetos diferentes. Por exemplo, - é (como sempre) uma cadeira e - é uma mesa. Então:

cadeiras mesas mesas de cadeiras cadeiras cadeiras mesas

Os números pelos quais as letras nesses termos são multiplicadas são chamados coeficientes. Por exemplo, num monômio o coeficiente é igual. E nisso é igual.

Então, a regra para trazer similares é:

Exemplos:

Dê outros semelhantes:

Respostas:

2. (e semelhantes, pois, portanto, esses termos possuem a mesma parte alfabética).

2. Fatoração

Esta é geralmente a parte mais importante na simplificação de expressões. Depois de fornecer outras semelhantes, na maioria das vezes a expressão resultante precisa ser fatorada, ou seja, apresentada como um produto. Isto é especialmente importante em frações: para poder reduzir uma fração, o numerador e o denominador devem ser representados como um produto.

Você abordou detalhadamente os métodos de fatoração de expressões no tópico “”, então aqui você só precisa lembrar o que aprendeu. Para fazer isso, decida alguns exemplos(precisa ser fatorado):

Soluções:

3. Reduzindo uma fração.

Bem, o que poderia ser mais agradável do que riscar parte do numerador e do denominador e jogá-los fora da sua vida?

Essa é a beleza do downsizing.

É simples:

Se o numerador e o denominador contiverem os mesmos fatores, eles podem ser reduzidos, ou seja, retirados da fração.

Esta regra segue da propriedade básica de uma fração:

Ou seja, a essência da operação de redução é que Dividimos o numerador e o denominador da fração pelo mesmo número (ou pela mesma expressão).

Para reduzir uma fração você precisa:

1) numerador e denominador fatorar

2) se o numerador e o denominador contiverem fatores comuns, eles podem ser riscados.

O princípio, eu acho, é claro?

Gostaria de chamar sua atenção para uma coisa erro típico ao contratar. Embora este tópico seja simples, muitas pessoas fazem tudo errado, sem entender que reduzir- isso significa dividir numerador e denominador são o mesmo número.

Sem abreviaturas se o numerador ou denominador for uma soma.

Por exemplo: precisamos simplificar.

Algumas pessoas fazem isso: o que é absolutamente errado.

Outro exemplo: reduzir.

Os “mais inteligentes” farão isso: .

Diga-me o que há de errado aqui? Parece: - este é um multiplicador, o que significa que pode ser reduzido.

Mas não: - este é um fator de apenas um termo no numerador, mas o próprio numerador como um todo não é fatorado.

Aqui está outro exemplo: .

Esta expressão é fatorada, o que significa que você pode reduzi-la, ou seja, dividir o numerador e o denominador por e depois por:

Você pode dividi-lo imediatamente em:

Para evitar tais erros, lembre-se maneira fácil como determinar se uma expressão é fatorada:

A última operação aritmética executada ao calcular o valor de uma expressão é a operação “mestre”. Ou seja, se substituirmos alguns (quaisquer) números em vez de letras e tentarmos calcular o valor da expressão, então se a última ação for a multiplicação, então teremos um produto (a expressão é fatorada). Se a última ação for adição ou subtração, isso significa que a expressão não é fatorada (e portanto não pode ser reduzida).

Para consolidar, resolva alguns você mesmo exemplos:

Respostas:

1. Espero que você não tenha corrido imediatamente para cortar e? Ainda não foi suficiente “reduzir” unidades como esta:

O primeiro passo deve ser a fatoração:

4. Adição e subtração de frações. Reduzindo frações a um denominador comum.

Adicionar e subtrair frações ordinárias é uma operação familiar: procuramos um denominador comum, multiplicamos cada fração pelo fator que falta e adicionamos/subtraímos os numeradores. Vamos lembrar:

Respostas:

1. Os denominadores e são relativamente primos, ou seja, não possuem fatores comuns. Portanto, o MMC desses números é igual ao seu produto. Este será o denominador comum:

2. Aqui o denominador comum é:

3. Primeira coisa aqui frações mistas nós os transformamos em incorretos e depois seguimos o padrão usual:

É uma questão completamente diferente se as frações contiverem letras, por exemplo:

Vamos começar com algo simples:

a) Os denominadores não contêm letras

Aqui tudo é igual às frações numéricas ordinárias: encontramos o denominador comum, multiplicamos cada fração pelo fator que falta e somamos/subtraímos os numeradores:

Agora, no numerador, você pode fornecer outros semelhantes, se houver, e fatorá-los:

Experimente você mesmo:

b) Os denominadores contêm letras

Vamos lembrar o princípio de encontrar um denominador comum sem letras:

· em primeiro lugar, determinamos os factores comuns;

· então escrevemos todos os fatores comuns, um de cada vez;

· e multiplicá-los por todos os outros fatores não comuns.

Para determinar os fatores comuns dos denominadores, primeiro os fatoramos em fatores primos:

Vamos enfatizar os fatores comuns:

Agora vamos escrever os fatores comuns, um de cada vez, e adicionar a eles todos os fatores não comuns (não sublinhados):

Este é o denominador comum.

Voltemos às cartas. Os denominadores são dados exatamente da mesma maneira:

· fatorar os denominadores;

· determinar fatores comuns (idênticos);

· escreva todos os fatores comuns uma vez;

· multiplicá-los por todos os outros fatores não comuns.

Então, em ordem:

1) fatorar os denominadores:

2) determinar fatores comuns (idênticos):

3) escreva todos os fatores comuns uma vez e multiplique-os por todos os outros fatores (não enfatizados):

Portanto, há um denominador comum aqui. A primeira fração deve ser multiplicada por, a segunda por:

A propósito, há um truque:

Por exemplo: .

Vemos os mesmos fatores nos denominadores, só que todos com indicadores diferentes. O denominador comum será:

até certo ponto

até certo ponto

até certo ponto

até certo ponto.

Vamos complicar a tarefa:

Como fazer com que as frações tenham o mesmo denominador?

Vamos lembrar a propriedade básica de uma fração:

Em nenhum lugar diz que o mesmo número pode ser subtraído (ou adicionado) do numerador e denominador de uma fração. Porque não é verdade!

Veja você mesmo: pegue qualquer fração, por exemplo, e adicione algum número ao numerador e ao denominador, por exemplo, . O que você aprendeu?

Então, outra regra inabalável:

Ao reduzir frações a um denominador comum, use apenas a operação de multiplicação!

Mas pelo que você precisa multiplicar para obter?

Então multiplique por. E multiplique por:

Chamaremos expressões que não podem ser fatoradas de “fatores elementares”. Por exemplo, este é um fator elementar. - Mesmo. Mas não: pode ser fatorado.

E a expressão? É elementar?

Não, porque pode ser fatorado:

(você já leu sobre fatoração no tópico “”).

Portanto, os fatores elementares nos quais você decompõe uma expressão com letras são análogos aos fatores simples nos quais você decompõe os números. E vamos lidar com eles da mesma maneira.

Vemos que ambos os denominadores têm um multiplicador. Irá para o denominador comum até o grau (lembra por quê?).

O fator é elementar e não possuem fator comum, o que significa que a primeira fração terá simplesmente que ser multiplicada por ele:

Outro exemplo:

Solução:

Antes de multiplicar esses denominadores em pânico, você precisa pensar em como fatorá-los? Ambos representam:

Ótimo! Então:

Outro exemplo:

Solução:

Como sempre, vamos fatorar os denominadores. No primeiro denominador simplesmente o tiramos dos colchetes; no segundo - a diferença de quadrados:

Parece que não existem fatores comuns. Mas se você olhar de perto, eles são parecidos... E é verdade:

Então vamos escrever:

Ou seja, ficou assim: dentro do colchete trocamos os termos, e ao mesmo tempo o sinal antes da fração mudou para o oposto. Tome nota, você terá que fazer isso com frequência.

Agora vamos trazer isso para um denominador comum:

Entendi? Vamos verificar agora.

Tarefas para solução independente:

Respostas:

Aqui precisamos lembrar mais uma coisa - a diferença entre os cubos:

Observe que o denominador da segunda fração não contém a fórmula “quadrado da soma”! O quadrado da soma ficaria assim: .

A é o chamado quadrado incompleto da soma: o segundo termo nele é o produto do primeiro e do último, e não seu produto duplo. O quadrado parcial da soma é um dos fatores na expansão da diferença de cubos:

O que fazer se já houver três frações?

Sim, a mesma coisa! Em primeiro lugar, vamos ter certeza de que quantidade máxima os fatores nos denominadores eram os mesmos:

Observação: se você alterar os sinais dentro de um colchete, o sinal na frente da fração muda para o oposto. Quando mudamos os sinais do segundo colchete, o sinal na frente da fração muda novamente para o oposto. Como resultado, (o sinal antes da fração) não mudou.

Escrevemos todo o primeiro denominador no denominador comum e depois adicionamos a ele todos os fatores que ainda não foram escritos, do segundo e depois do terceiro (e assim por diante, se houver mais frações). Ou seja, acontece assim:

Hmm... Está claro o que fazer com frações. Mas e os dois?

É simples: você sabe somar frações, certo? Então, precisamos fazer com que dois se tornem uma fração! Lembremos: uma fração é uma operação de divisão (o numerador é dividido pelo denominador, caso você tenha esquecido). E não há nada mais fácil do que dividir um número por. Neste caso, o número em si não mudará, mas se transformará em uma fração:

Exatamente o que você precisa!

5. Multiplicação e divisão de frações.

Bem, a parte mais difícil já passou. E temos pela frente o mais simples, mas ao mesmo tempo o mais importante:

Procedimento

Qual é o procedimento para calcular uma expressão numérica? Lembre-se calculando o significado desta expressão:

Você contou?

Deveria funcionar.

Então, deixe-me lembrá-lo.

O primeiro passo é calcular o grau.

A segunda é multiplicação e divisão. Se houver várias multiplicações e divisões ao mesmo tempo, elas poderão ser feitas em qualquer ordem.

E por fim, realizamos adição e subtração. Novamente, em qualquer ordem.

Mas: a expressão entre colchetes é avaliada fora de hora!

Se vários colchetes forem multiplicados ou divididos entre si, primeiro calculamos a expressão em cada um dos colchetes e depois os multiplicamos ou dividimos.

E se houver mais colchetes dentro dos colchetes? Bem, vamos pensar: alguma expressão está escrita entre colchetes. Ao calcular uma expressão, o que você deve fazer primeiro? Isso mesmo, calcule os colchetes. Bem, nós descobrimos: primeiro calculamos os colchetes internos, depois todo o resto.

Então, o procedimento para a expressão acima é o seguinte (a ação atual está destacada em vermelho, ou seja, a ação que estou realizando neste momento):

Ok, é tudo simples.

Mas isto não é o mesmo que uma expressão com letras?

Não, é a mesma coisa! Só que em vez de operações aritméticas, é necessário fazer operações algébricas, ou seja, as ações descritas na seção anterior: trazendo semelhante, adicionando frações, reduzindo frações e assim por diante. A única diferença será a ação de fatorar polinômios (geralmente usamos isso quando trabalhamos com frações). Na maioria das vezes, para fatorar, você precisa usar I ou simplesmente colocar o fator comum entre colchetes.

Normalmente nosso objetivo é representar uma expressão como um produto ou quociente.

Por exemplo:

Vamos simplificar a expressão.

1) Primeiro, simplificamos a expressão entre colchetes. Aí temos uma diferença de frações, e nosso objetivo é apresentá-la como produto ou quociente. Então, trazemos as frações para um denominador comum e adicionamos:

É impossível simplificar ainda mais esta expressão; todos os fatores aqui são elementares (você ainda se lembra do que isso significa?).

2) Obtemos:

Multiplicando frações: o que poderia ser mais simples.

3) Agora você pode encurtar:

Bem, isso é tudo. Nada complicado, certo?

Outro exemplo:

Simplifique a expressão.

Primeiro tente resolver sozinho e só depois veja a solução.

Em primeiro lugar, vamos determinar a ordem das ações. Primeiro, vamos adicionar as frações entre parênteses, para que em vez de duas frações obtenhamos uma. Então faremos a divisão de frações. Bem, vamos somar o resultado com a última fração. Vou numerar as etapas esquematicamente:

Agora vou mostrar o processo, tingindo a ação atual de vermelho:

Por fim, darei duas dicas úteis:

1. Se houver semelhantes, devem ser trazidos imediatamente. Sempre que surgirem problemas semelhantes em nosso país, é aconselhável trazê-los à tona imediatamente.

2. O mesmo se aplica à redução de frações: assim que surgir a oportunidade de redução, deve ser aproveitada. A exceção fica para frações que você soma ou subtrai: se elas agora tiverem os mesmos denominadores, a redução deverá ser deixada para depois.

Aqui estão algumas tarefas para você resolver sozinho:

E o que foi prometido logo no início:

Soluções (breves):

Se você lidou com pelo menos os três primeiros exemplos, considere que domina o tópico.

Agora vamos aprender!

CONVERSÃO DE EXPRESSÕES. RESUMO E FÓRMULAS BÁSICAS

Operações básicas de simplificação:

• Trazendo semelhante: para adicionar (reduzir) termos semelhantes, você precisa somar seus coeficientes e atribuir a parte da letra.
• Fatoração: colocar o fator comum fora dos colchetes, aplicá-lo, etc.
• Reduzindo uma fração: O numerador e o denominador de uma fração podem ser multiplicados ou divididos pelo mesmo número diferente de zero, o que não altera o valor da fração.
  1) numerador e denominador fatorar
  2) se o numerador e o denominador tiverem fatores comuns, podem ser riscados.

  IMPORTANTE: apenas os multiplicadores podem ser reduzidos!

• Adição e subtração de frações:
  ;
• Multiplicando e dividindo frações:
  ;

Do curso de álgebra currículo escolar Vamos aos detalhes. Neste artigo estudaremos detalhadamente um tipo especial de expressões racionais - frações racionais, e também considere qual característica idêntica conversões de frações racionais acontecer.

Notemos imediatamente que as frações racionais no sentido em que as definimos abaixo são chamadas de frações algébricas em alguns livros didáticos de álgebra. Ou seja, neste artigo entenderemos frações racionais e algébricas como a mesma coisa.

Como sempre, vamos começar com uma definição e exemplos. A seguir falaremos sobre trazer uma fração racional para um novo denominador e alterar os sinais dos membros da fração. Depois disso, veremos como reduzir frações. Finalmente, vejamos como representar uma fração racional como a soma de várias frações. Forneceremos todas as informações com exemplos descrições detalhadas decisões.

Navegação na página.

Definição e exemplos de frações racionais

As frações racionais são estudadas nas aulas de álgebra da 8ª série. Usaremos a definição de fração racional, fornecida no livro de álgebra para a 8ª série de Yu N. Makarychev et al.

EM esta definição não é especificado se os polinômios no numerador e denominador de uma fração racional devem ser polinômios da forma padrão ou não. Portanto, assumiremos que as notações para frações racionais podem conter polinômios padrão e não padrão.

Aqui estão alguns exemplos de frações racionais. Então, x/8 e - frações racionais. E frações e não se enquadram na definição declarada de fração racional, pois na primeira delas o numerador não contém um polinômio, e na segunda, tanto o numerador quanto o denominador contêm expressões que não são polinômios.

Convertendo o numerador e o denominador de uma fração racional

O numerador e o denominador de qualquer fração são expressões matemáticas autossuficientes; no caso de frações racionais, são polinômios, em um caso particular, monômios e números; Portanto, transformações idênticas podem ser realizadas com o numerador e o denominador de uma fração racional, como acontece com qualquer expressão. Em outras palavras, a expressão no numerador de uma fração racional pode ser substituída por uma expressão idêntica, assim como o denominador.

Você pode realizar transformações idênticas no numerador e no denominador de uma fração racional. Por exemplo, no numerador você pode agrupar e reduzir termos semelhantes, e no denominador você pode substituir o produto de vários números pelo seu valor. E como o numerador e o denominador de uma fração racional são polinômios, é possível realizar com eles transformações características dos polinômios, por exemplo, redução a uma forma padrão ou representação na forma de um produto.

Para maior clareza, vamos considerar soluções para vários exemplos.

Exemplo.

Converter fração racional de modo que o numerador contém um polinômio de forma padrão e o denominador contém o produto dos polinômios.

Solução.

A redução de frações racionais a um novo denominador é usada principalmente na adição e subtração de frações racionais.

Mudança de sinal na frente de uma fração, bem como em seu numerador e denominador

A propriedade principal de uma fração pode ser usada para alterar os sinais dos membros de uma fração. Na verdade, multiplicar o numerador e o denominador de uma fração racional por -1 equivale a alterar seus sinais, e o resultado é uma fração identicamente igual à dada. Esta transformação deve ser usada com bastante frequência quando se trabalha com frações racionais.

Assim, se você alterar simultaneamente os sinais do numerador e do denominador de uma fração, obterá uma fração igual à original. Esta afirmação é respondida pela igualdade.

Vamos dar um exemplo. Uma fração racional pode ser substituída por uma fração idêntica com sinais alterados do numerador e denominador da forma.

Com frações, você pode realizar outra transformação idêntica, na qual o sinal do numerador ou do denominador muda. Vamos enunciar a regra correspondente. Se você substituir o sinal de uma fração pelo sinal do numerador ou denominador, obterá uma fração que é identicamente igual à original. A declaração escrita corresponde às igualdades e .

Provar essas igualdades não é difícil. A prova é baseada nas propriedades de multiplicação de números. Vamos provar o primeiro deles: . Usando transformações semelhantes, a igualdade é provada.

Por exemplo, uma fração pode ser substituída pela expressão ou.

Para concluir este ponto, apresentamos mais duas igualdades úteis e . Ou seja, se você mudar o sinal apenas do numerador ou apenas do denominador, a fração mudará de sinal. Por exemplo, E .

As transformações consideradas, que permitem alterar o sinal dos termos de uma fração, são frequentemente utilizadas na transformação de expressões racionais fracionárias.

Reduzindo frações racionais

A seguinte transformação de frações racionais, chamada redução de frações racionais, baseia-se na mesma propriedade básica de uma fração. Esta transformação corresponde à igualdade, onde a, b e c são alguns polinômios, e b e c são diferentes de zero.

Da igualdade acima fica claro que reduzir uma fração racional implica livrar-se do fator comum em seu numerador e denominador.

Exemplo.

Cancele uma fração racional.

Solução.

O fator comum 2 fica imediatamente visível, vamos fazer uma redução por ele (ao escrever é conveniente riscar os fatores comuns que estão sendo reduzidos). Nós temos . Como x 2 =x x e y 7 =y 3 y 4 (veja se necessário), é claro que x é um fator comum do numerador e denominador da fração resultante, assim como y 3. Vamos reduzir por estes fatores: . Isso completa a redução.

Acima realizamos a redução das frações racionais sequencialmente. Ou era possível realizar a redução em uma única etapa, reduzindo imediatamente a fração em 2 x y 3. Neste caso, a solução ficaria assim: .

Responder:

.

Ao reduzir frações racionais, o principal problema é que o fator comum do numerador e do denominador nem sempre é visível. Além disso, nem sempre existe. Para encontrar um fator comum ou verificar sua ausência, é necessário fatorar o numerador e o denominador de uma fração racional. Se não houver fator comum, então a fração racional original não precisa ser reduzida, caso contrário, a redução é realizada.

Várias nuances podem surgir no processo de redução das frações racionais. As principais sutilezas são discutidas no artigo sobre redução de frações algébricas usando exemplos e em detalhes.

Concluindo a conversa sobre a redução das frações racionais, notamos que esta transformação é idêntica, e a principal dificuldade na sua implementação reside na fatoração dos polinômios no numerador e no denominador.

Representação de uma fração racional como uma soma de frações

Bastante específica, mas em alguns casos muito útil, é a transformação de uma fração racional, que consiste na sua representação como a soma de várias frações, ou a soma de uma expressão inteira e de uma fração.

Uma fração racional, cujo numerador contém um polinômio que representa a soma de vários monômios, pode sempre ser escrita como uma soma de frações com os mesmos denominadores, cujos numeradores contêm os monômios correspondentes. Por exemplo, . Esta representação é explicada pela regra de adição e subtração de frações algébricas com denominadores semelhantes.

Em geral, qualquer fração racional pode ser expressa como uma soma de frações de muitas maneiras diferentes. Por exemplo, a fração a/b pode ser representada como a soma de duas frações - uma fração arbitrária c/d e uma fração igual à diferença entre as frações a/b e c/d. Esta afirmação é verdadeira, uma vez que a igualdade é válida . Por exemplo, uma fração racional pode ser representada como uma soma de frações de várias maneiras: Vamos imaginar a fração original como a soma de uma expressão inteira e uma fração. Ao dividir o numerador pelo denominador com uma coluna, obtemos a igualdade . O valor da expressão n 3 +4 para qualquer número inteiro n é um número inteiro. E o valor de uma fração é um número inteiro se e somente se seu denominador for 1, −1, 3 ou −3. Esses valores correspondem aos valores n=3, n=1, n=5 e n=−1, respectivamente.

Responder:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Referências.

• Álgebra: livro didático para a 8ª série. educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M.: Educação, 2008. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.Álgebra. 7ª série. Às 14h Parte 1. Livro didático para alunos instituições educacionais/ A. G. Mordkovich. - 13ª ed., rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 pp.: il. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G.Álgebra. 8ª série. Em 2 horas Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa nas escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Mais alto escola, 1984.-351 p., il.