ipad க்கான x பதிவிறக்கத்தின் மகிழ்ச்சி. "எக்ஸ் இன் மகிழ்ச்சி

இந்த புத்தகம் நன்கு பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

குவாண்டா

ஸ்காட் பேட்டர்சன்

பிரைனியாக்

கென் ஜென்னிங்ஸ்

பணப்பந்து

மைக்கேல் லூயிஸ்

நெகிழ்வான உணர்வு

கரோல் டுவெக்

பங்குச் சந்தையின் இயற்பியல்

ஜேம்ஸ் வெதர்ஆல்

தி ஜாய் ஆஃப் எக்ஸ்

ஒன்று முதல் முடிவிலி வரை கணிதம் பற்றிய வழிகாட்டுதல் பயணம்

ஸ்டீபன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ்

ஒருவரிடமிருந்து கணித உலகில் ஒரு கண்கவர் பயணம் சிறந்த ஆசிரியர்கள்இந்த உலகத்தில்

வெளியீட்டாளரிடமிருந்து தகவல்

முதல் முறையாக ரஷ்ய மொழியில் வெளியிடப்பட்டது

ஸ்டீவன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ், c/o Brockman, Inc இன் அனுமதியுடன் வெளியிடப்பட்டது.

ஸ்ட்ரோகாட்ஸ், பி.

X இன் மகிழ்ச்சி பாதை ஆங்கிலத்தில் இருந்து - எம்.: மான், இவனோவ் மற்றும் ஃபெர்பர், 2014.

ISBN 978-500057-008-1

இந்த புத்தகம் கணிதம் குறித்த உங்கள் அணுகுமுறையை அடியோடு மாற்றும். இது குறுகிய அத்தியாயங்களைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றிலும் நீங்கள் புதிதாக ஒன்றைக் கண்டுபிடிப்பீர்கள். உங்களைச் சுற்றியுள்ள உலகத்தைப் படிக்க எண்கள் எவ்வளவு பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்வீர்கள், வடிவவியலின் அழகைப் புரிந்துகொள்வீர்கள், ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸின் கருணையைப் பற்றி அறிந்து கொள்வீர்கள், புள்ளிவிவரங்களின் முக்கியத்துவத்தை நீங்கள் உறுதியாக நம்புவீர்கள், முடிவிலியுடன் தொடர்பு கொள்வீர்கள். . ஆசிரியர் அடிப்படைக் கணிதக் கருத்துக்களை எளிமையாகவும் நேர்த்தியாகவும், அனைவரும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய அற்புதமான உதாரணங்களுடன் விளக்குகிறார்.

அனைத்து உரிமைகளும் பாதுகாக்கப்பட்டவை.

பதிப்புரிமைதாரர்களின் எழுத்துப்பூர்வ அனுமதியின்றி இந்தப் புத்தகத்தின் எந்தப் பகுதியையும் எந்த வடிவத்திலும் மறுபதிப்பு செய்யக்கூடாது.

சட்ட ஆதரவுபதிப்பகம் வழங்குகிறது சட்ட நிறுவனம்"வேகாஸ்-லெக்ஸ்"

முன்னுரை

எனக்கு ஒரு நண்பர் இருக்கிறார், அவருடைய கைவினைப்பொருள் இருந்தபோதிலும் (அவர் ஒரு கலைஞர்), அறிவியலில் ஆர்வமாக இருக்கிறார். எப்பொழுது ஒன்று சேர்ந்தாலும் ஆர்வத்துடன் பேசுவார் சமீபத்திய சாதனைகள்உளவியல் அல்லது குவாண்டம் இயக்கவியலில். ஆனால் நாம் கணிதத்தைப் பற்றி பேச ஆரம்பித்தவுடன், அவர் முழங்காலில் ஒரு நடுக்கம் உணர்கிறார், அது அவரை மிகவும் வருத்தப்படுத்துகிறது. இந்த விசித்திரமான கணிதக் குறியீடுகள் அவரது புரிதலை மீறுவது மட்டுமல்லாமல், சில சமயங்களில் அவற்றை எப்படி உச்சரிப்பது என்று கூட அவருக்குத் தெரியாது என்று அவர் புகார் கூறுகிறார்.

உண்மையில், அவர் கணிதத்தை நிராகரித்ததற்கான காரணம் மிகவும் ஆழமானது. கணிதவியலாளர்கள் பொதுவாக என்ன செய்கிறார்கள், கொடுக்கப்பட்ட ஆதாரம் நேர்த்தியானது என்று சொன்னால் அவர்கள் என்ன அர்த்தம் என்று அவருக்குத் தெரியாது. சில நேரங்களில் நான் உட்கார்ந்து, 1 + 1 = 2 என்ற அடிப்படையிலிருந்து அவருக்குக் கற்பிக்கத் தொடங்க வேண்டும் என்று கேலி செய்கிறோம், மேலும் அவரால் முடிந்தவரை கணிதத்தில் ஆழமாகச் செல்லுங்கள்.

இந்த யோசனை பைத்தியமாகத் தோன்றினாலும், இதைத்தான் இந்த புத்தகத்தில் செயல்படுத்த முயற்சிக்கிறேன். கணிதம் முதல் உயர் கணிதம் வரை அறிவியலின் அனைத்து முக்கிய பிரிவுகளிலும் நான் உங்களுக்கு வழிகாட்டுவேன், இதன் மூலம் இரண்டாவது வாய்ப்பை விரும்புவோர் இறுதியாக அதைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளலாம். இந்த நேரத்தில் நீங்கள் ஒரு மேசையில் உட்கார வேண்டியதில்லை. இந்தப் புத்தகம் உங்களை கணித நிபுணராக்காது. ஆனால் இந்த ஒழுக்கம் என்ன படிக்கிறது மற்றும் அதைப் புரிந்துகொள்பவர்களுக்கு இது ஏன் மிகவும் கவர்ச்சிகரமானதாக இருக்கிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்ள இது உதவும்.

மைக்கேல் ஜோர்டானின் ஸ்லாம் டங்க்ஸ் அடிப்படைக் கால்குலஸை விளக்க உதவுவது எப்படி என்பதை ஆராய்வோம். யூக்ளிடியன் வடிவவியலின் அடிப்படைத் தேற்றம் - பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் புரிந்துகொள்வதற்கான எளிய மற்றும் அற்புதமான வழியை நான் உங்களுக்குக் காட்டுகிறேன். வாழ்க்கையின் சில பெரிய மற்றும் சிறிய மர்மங்களின் அடிப்பகுதியைப் பெற முயற்சிப்போம்: ஜே சிம்ப்சன் தனது மனைவியைக் கொன்றாரா; ஒரு மெத்தையை எவ்வாறு மாற்றுவது, அது முடிந்தவரை நீடிக்கும்; திருமணத்திற்கு முன் எத்தனை பங்குதாரர்கள் மாற்றப்பட வேண்டும் - மேலும் சில முடிவிலிகள் ஏன் மற்றவர்களை விட பெரியதாக இருக்கிறது என்று பார்ப்போம்.

கணிதம் எல்லா இடங்களிலும் உள்ளது, நீங்கள் அதை அடையாளம் காண கற்றுக்கொள்ள வேண்டும். நீங்கள் வரிக்குதிரையின் முதுகில் சைன் அலையைக் காணலாம், சுதந்திரப் பிரகடனத்தில் யூக்ளிட்டின் கோட்பாடுகளின் எதிரொலிகளைக் கேட்கலாம்; நான் என்ன சொல்ல முடியும், முதல் உலகப் போருக்கு முந்தைய உலர் அறிக்கைகளில் கூட எதிர்மறை எண்கள் உள்ளன. எப்படி என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம் இன்றைய வாழ்க்கைகணிதத்தில் புதிய திசைகள் நம்மை பாதிக்கின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, நாம் ஒரு கணினியைப் பயன்படுத்தி உணவகங்களைத் தேடும்போது அல்லது குறைந்தபட்சம் புரிந்துகொள்ள முயற்சிக்கும் போது, இன்னும் சிறப்பாக, பங்குச் சந்தையின் பயமுறுத்தும் ஏற்ற இறக்கங்களில் இருந்து தப்பிக்கலாம்.

"கணிதத்தின் அடிப்படைகள்" என்ற பொதுத் தலைப்பின் கீழ் 15 கட்டுரைகளின் தொடர் ஜனவரி 2010 இறுதியில் ஆன்லைனில் வெளிவந்தது. அவர்களின் வெளியீட்டிற்கு பதிலளிக்கும் விதமாக, பல மாணவர்கள் மற்றும் ஆசிரியர்கள் உட்பட அனைத்து வயது வாசகர்களிடமிருந்தும் கடிதங்கள் மற்றும் கருத்துகள் கொட்டின. ஒரு காரணத்திற்காக அல்லது இன்னொரு காரணத்திற்காக, கணித அறிவியலைப் புரிந்துகொள்வதில் "தங்கள் வழியை இழந்த" ஆர்வமுள்ள மக்களும் இருந்தனர்; இப்போது அவர்கள் பயனுள்ள ஒன்றைத் தவறவிட்டதாகவும், மீண்டும் முயற்சிக்க விரும்புவதாகவும் உணர்ந்தனர். எனது பெற்றோரின் நன்றியறிதலால் நான் குறிப்பாக மகிழ்ச்சியடைந்தேன், ஏனெனில், எனது உதவியுடன், அவர்கள் தங்கள் குழந்தைகளுக்கு கணிதத்தை விளக்க முடிந்தது, மேலும் அவர்களே அதை நன்றாகப் புரிந்துகொள்ளத் தொடங்கினர். இந்த அறிவியலின் தீவிர அபிமானிகளான எனது சகாக்களும் தோழர்களும் கூட எனது மூளையை மேம்படுத்துவதற்கான அனைத்து வகையான பரிந்துரைகளையும் வழங்க ஒருவருக்கொருவர் போட்டியிட்ட தருணங்களைத் தவிர, கட்டுரைகளைப் படித்து மகிழ்ந்ததாகத் தோன்றியது.

பிரபலமான நம்பிக்கை இருந்தபோதிலும், சமூகத்தில் கணிதத்தில் தெளிவான ஆர்வம் உள்ளது, இருப்பினும் இந்த நிகழ்வுக்கு சிறிய கவனம் செலுத்தப்படுகிறது. நாம் கேள்விப்படுவதெல்லாம் கணிதத்தின் பயம், இன்னும் பலர் அதை நன்றாகப் புரிந்துகொள்ள முயற்சிக்க விரும்புகிறார்கள். இது நடந்தவுடன், அவற்றைக் கிழிப்பது கடினம்.

இந்த புத்தகம் கணித உலகில் இருந்து மிகவும் சிக்கலான மற்றும் மேம்பட்ட யோசனைகளை உங்களுக்கு அறிமுகப்படுத்தும். அத்தியாயங்கள் சிறியவை, படிக்க எளிதானவை மற்றும் குறிப்பாக ஒருவருக்கொருவர் சார்ந்து இல்லை. அவற்றில் நியூ யார்க் டைம்ஸ் கட்டுரைகளின் முதல் தொடரில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, நீங்கள் ஒரு சிறிய கணித பசியை உணர்ந்தவுடன், அடுத்த அத்தியாயத்தை எடுக்க தயங்க வேண்டாம். உங்களுக்கு விருப்பமான ஒரு கேள்வியை நீங்கள் இன்னும் விரிவாக புரிந்து கொள்ள விரும்பினால், புத்தகத்தின் முடிவில் குறிப்புகள் உள்ளன கூடுதல் தகவல்மற்றும் இதைப் பற்றி நீங்கள் வேறு என்ன படிக்கலாம் என்பதற்கான பரிந்துரைகள்.

படிப்படியான அணுகுமுறையை விரும்பும் வாசகர்களின் வசதிக்காக, தலைப்புகளைப் படிக்கும் பாரம்பரிய வரிசைக்கு ஏற்ப விஷயங்களை ஆறு பகுதிகளாகப் பிரித்துள்ளேன்.

பகுதி I "எண்கள்" எண்கணிதத்துடன் நமது பயணத்தைத் தொடங்குகிறது மழலையர் பள்ளிமற்றும் ஆரம்ப பள்ளி. எண்கள் எவ்வளவு பயனுள்ளதாக இருக்கும் மற்றும் நம்மைச் சுற்றியுள்ள உலகத்தை விவரிப்பதில் அவை எவ்வளவு மாயமாக செயல்படுகின்றன என்பதை இது காட்டுகிறது.

பகுதி II, "விகிதங்கள்", எண்களிலிருந்து கவனத்தை அவற்றுக்கிடையேயான உறவுகளுக்கு மாற்றுகிறது. இந்த யோசனைகள் இயற்கணிதத்தின் மையத்தில் உள்ளன மற்றும் ஒரு விஷயம் மற்றொன்றை எவ்வாறு பாதிக்கிறது என்பதை விவரிக்கும் முதல் கருவியாகும், இது பல்வேறு விஷயங்களின் காரண-மற்றும்-விளைவு உறவைக் காட்டுகிறது: வழங்கல் மற்றும் தேவை, தூண்டுதல் மற்றும் பதில் - சுருக்கமாக, அனைத்து வகையான உலகை மிகவும் வளமானதாகவும் மாறுபட்டதாகவும் மாற்றும் உறவுகள்.

பகுதி III “புள்ளிவிவரங்கள்” எண்கள் மற்றும் சின்னங்களைப் பற்றி அல்ல, ஆனால் புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் இடத்தைப் பற்றி சொல்கிறது - வடிவியல் மற்றும் முக்கோணவியல் களம். இந்த தலைப்புகள், படிவங்கள், தர்க்கரீதியான பகுத்தறிவு மற்றும் ஆதாரம் மூலம் கவனிக்கக்கூடிய அனைத்து பொருட்களின் விளக்கத்துடன், கணிதத்தை உயர்த்துகிறது புதிய நிலைதுல்லியம்.

பகுதி IV இல், ஒரு மாற்றத்திற்கான நேரம், கணிதத்தின் மிகவும் உற்சாகமான மற்றும் மாறுபட்ட கிளையான கால்குலஸைப் பார்ப்போம். கால்குலஸ் கிரகங்களின் பாதை, அலைகளின் சுழற்சிகளைக் கணிக்க உதவுகிறது மற்றும் பிரபஞ்சத்திலும் நமக்குள்ளும் அவ்வப்போது மாறும் செயல்முறைகள் மற்றும் நிகழ்வுகளைப் புரிந்துகொள்வதையும் விவரிக்கவும் உதவுகிறது. இந்த பகுதியில் ஒரு முக்கியமான இடம் முடிவிலி பற்றிய ஆய்வுக்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் அமைதியானது கணக்கீடுகளை வேலை செய்ய அனுமதித்த ஒரு திருப்புமுனையாக மாறியது. பண்டைய உலகில் எழுந்த பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க கணக்கீடுகள் உதவியது, இது இறுதியில் அறிவியலில் ஒரு புரட்சிக்கு வழிவகுத்தது. நவீன உலகம்.

பகுதி V, "தரவின் பல முகங்கள்", நிகழ்தகவு, புள்ளிவிவரங்கள், நெட்வொர்க்குகள் மற்றும் தரவு அறிவியல் ஆகியவற்றைக் கையாள்கிறது-இன்னும் ஒப்பீட்டளவில் புதிய துறைகள், வாய்ப்பு மற்றும் அதிர்ஷ்டம், நிச்சயமற்ற தன்மை, ஆபத்து போன்ற நம் வாழ்வின் குறைவான ஒழுங்கான அம்சங்களில் இருந்து பிறந்தவை. , மாறுபாடு, குழப்பம், ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்திருத்தல். கணிதத்தின் சரியான கருவிகள் மற்றும் பொருத்தமான தரவு வகைகளைப் பயன்படுத்தி, சீரற்ற தன்மையின் ஓட்டத்தில் வடிவங்களைக் கண்டறிய கற்றுக்கொள்வோம்.

"சாத்தியமான வரம்புகள்" என்ற பகுதி VI இல் எங்கள் பயணத்தின் முடிவில், கணித அறிவின் வரம்புகளை அணுகுவோம், ஏற்கனவே தெரிந்தவை மற்றும் இன்னும் மழுப்பலான மற்றும் அறியப்படாதவற்றுக்கு இடையே உள்ள எல்லைப் பகுதி. எண்கள், விகிதங்கள், புள்ளிவிவரங்கள், மாற்றங்கள் மற்றும் முடிவிலி - ஆனால் அதே நேரத்தில் அவை ஒவ்வொன்றையும் அதன் சொந்த வழியில் இன்னும் ஆழமாகப் பார்ப்போம். நவீன அவதாரம்.

இந்த புத்தகத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து யோசனைகளும் உங்களுக்கு கவர்ச்சிகரமானதாக இருக்கும் என்று நான் நம்புகிறேன்: "ஆஹா!" ஆனால் நீங்கள் எப்போதும் எங்காவது தொடங்க வேண்டும், எனவே எண்ணுவது போன்ற எளிமையான ஆனால் கவர்ச்சிகரமான செயலுடன் தொடங்குவோம்.

1. எண் அடிப்படைகள்: மீன் சேர்த்தல்

The Pleasure of X. உலகின் சிறந்த ஆசிரியர்களில் ஒருவரிடமிருந்து கணித உலகில் ஒரு கண்கவர் பயணம்ஸ்டீபன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ்

(இன்னும் மதிப்பீடுகள் இல்லை)

தலைப்பு: The Pleasure of X. உலகின் சிறந்த ஆசிரியர்களில் ஒருவரிடமிருந்து கணித உலகில் ஒரு கண்கவர் பயணம்

ஸ்டீபன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ் எழுதிய "The Pleasure of X: A fascinating Journey to the World of Mathematics from one of the Best Teachers in World" என்ற புத்தகத்தைப் பற்றி

முதல் முறையாக ரஷ்ய மொழியில் வெளியிடப்பட்டது.

புத்தகங்களைப் பற்றிய எங்கள் இணையதளத்தில் lifeinbooks.net நீங்கள் பதிவு செய்யாமல் அல்லது படிக்காமல் இலவசமாக பதிவிறக்கம் செய்யலாம் ஆன்லைன் புத்தகம்ஐபாட், ஐபோன், ஆண்ட்ராய்டு மற்றும் கிண்டில் ஆகியவற்றிற்கான எபப், fb2, txt, rtf, pdf வடிவங்களில் ஸ்டீபன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ் எழுதிய "The Pleasure of X. உலகின் சிறந்த ஆசிரியர்களில் ஒருவரிடமிருந்து கணித உலகில் ஒரு கண்கவர் பயணம்". புத்தகம் உங்களுக்கு நிறைய இனிமையான தருணங்களையும் வாசிப்பிலிருந்து உண்மையான மகிழ்ச்சியையும் தரும். வாங்க முழு பதிப்புஎங்கள் கூட்டாளரிடமிருந்து உங்களால் முடியும். மேலும், இங்கே நீங்கள் காணலாம் கடைசி செய்திஇருந்து இலக்கிய உலகம், உங்களுக்குப் பிடித்த எழுத்தாளர்களின் வாழ்க்கை வரலாற்றைக் கற்றுக்கொள்ளுங்கள். தொடக்க எழுத்தாளர்களுக்கென தனிப் பிரிவு உள்ளது பயனுள்ள குறிப்புகள்மற்றும் பரிந்துரைகள், சுவாரஸ்யமான கட்டுரைகள், இலக்கிய கைவினைகளில் நீங்களே முயற்சி செய்யலாம்.

தி ஜாய் ஆஃப் எக்ஸ்

ஒன்று முதல் முடிவிலி வரை கணிதம் பற்றிய வழிகாட்டுதல் பயணம்

ஸ்டீவன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ், c/o Brockman, Inc இன் அனுமதியுடன் வெளியிடப்பட்டது.

அனைத்து உரிமைகளும் பாதுகாக்கப்பட்டவை. இந்தப் புத்தகத்தின் மின்னணுப் பதிப்பின் எந்தப் பகுதியையும் பதிப்புரிமை உரிமையாளரின் எழுத்துப்பூர்வ அனுமதியின்றி தனிப்பட்ட அல்லது பொதுப் பயன்பாட்டிற்காக இணையம் அல்லது கார்ப்பரேட் நெட்வொர்க்குகளில் இடுகையிடுவது உட்பட எந்த வகையிலும் அல்லது எந்த வகையிலும் மீண்டும் உருவாக்க முடியாது.

பதிப்பகத்திற்கான சட்ட ஆதரவு வேகாஸ்-லெக்ஸ் சட்ட நிறுவனத்தால் வழங்கப்படுகிறது.

* * *

இந்த புத்தகம் நன்கு பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

குவாண்டா

ஸ்காட் பேட்டர்சன்

பிரைனியாக்

கென் ஜென்னிங்ஸ்

பணப்பந்து

மைக்கேல் லூயிஸ்

நெகிழ்வான உணர்வு

கரோல் டுவெக்

பங்குச் சந்தையின் இயற்பியல்

ஜேம்ஸ் வெதர்ஆல்

முன்னுரை

எனக்கு ஒரு நண்பர் இருக்கிறார், அவருடைய கைவினைப்பொருள் இருந்தபோதிலும் (அவர் ஒரு கலைஞர்), அறிவியலில் ஆர்வமாக இருக்கிறார். நாங்கள் ஒன்று கூடும் போதெல்லாம், உளவியல் அல்லது குவாண்டம் இயக்கவியலில் சமீபத்திய முன்னேற்றங்களைப் பற்றி அவர் ஆர்வத்துடன் பேசுகிறார். ஆனால் நாம் கணிதத்தைப் பற்றி பேச ஆரம்பித்தவுடன், அவர் முழங்காலில் ஒரு நடுக்கம் உணர்கிறார், அது அவரை மிகவும் வருத்தப்படுத்துகிறது. இந்த விசித்திரமான கணிதக் குறியீடுகள் அவரது புரிதலை மீறுவது மட்டுமல்லாமல், சில சமயங்களில் அவற்றை எப்படி உச்சரிப்பது என்று கூட அவருக்குத் தெரியாது என்று அவர் புகார் கூறுகிறார்.

நம்மால் கட்டுப்படுத்த முடியாத எண்களின் வாழ்க்கை மற்றும் அவற்றின் நடத்தை என்ன என்பதை தெளிவுபடுத்த, ஃபர்ரி பாவ்ஸ் ஹோட்டலுக்குத் திரும்புவோம். ஹம்ப்ரி ஆர்டரை ஒப்படைக்கப் போகிறார் என்று வைத்துக்கொள்வோம், ஆனால் மற்றொரு அறையிலிருந்து பெங்குவின் எதிர்பாராத விதமாக அவரை அழைத்து அதே அளவு மீன்களையும் கேட்டது. இரண்டு ஆர்டர்களைப் பெற்ற பிறகு ஹம்ப்ரி "மீன்" என்ற வார்த்தையை எத்தனை முறை கத்த வேண்டும்? அவர் எண்களைப் பற்றி எதுவும் கற்றுக்கொள்ளவில்லை என்றால், இரண்டு அறைகளிலும் பென்குயின்கள் இருக்கும் அளவுக்கு அவர் கத்த வேண்டியிருக்கும். அல்லது, எண்களைப் பயன்படுத்தி, ஒரு எண்ணுக்கு ஆறு மீன்கள் மற்றும் மற்றொரு எண்ணுக்கு ஆறு மீன்கள் தேவை என்பதை அவர் சமையல்காரரிடம் விளக்கலாம். ஆனால் அவருக்கு உண்மையில் ஒரு புதிய கருத்து தேவை: கூட்டல். அதில் தேர்ச்சி பெற்றவுடன், தனக்கு சிக்ஸ் பிளஸ் சிக்ஸ் (அல்லது, போஸராக இருந்தால், பன்னிரெண்டு) மீன் வேண்டும் என்று பெருமையாகச் சொல்வார்.

நாங்கள் முதலில் எண்களைக் கொண்டு வந்த அதே ஆக்கப்பூர்வமான செயல்முறை இதுவாகும். ஒரு நேரத்தில் பட்டியலிடுவதை விட எண்கள் எண்ணுவதை எளிதாக்குவது போல், கூட்டல் எந்த தொகையையும் கணக்கிடுவதை எளிதாக்குகிறது. அதே சமயம் கணக்கீடு செய்பவன் கணிதவியலாளனாக உருவாகிறான். விஞ்ஞான ரீதியாக, இந்த யோசனையை பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்: சரியான சுருக்கங்களைப் பயன்படுத்துவது சிக்கலின் சாராம்சத்தைப் பற்றிய ஆழமான பார்வைக்கும் அதைத் தீர்ப்பதில் அதிக சக்திக்கும் வழிவகுக்கிறது.

விரைவில், ஒருவேளை, ஹம்ப்ரி கூட இப்போது அவர் எப்போதும் எண்ண முடியும் என்பதை உணருவார்.

இருப்பினும், அத்தகைய முடிவற்ற முன்னோக்கு இருந்தபோதிலும், எங்கள் படைப்பாற்றல் எப்போதும் சில வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. 6 மற்றும் + என்பதன் அர்த்தம் என்ன என்பதை நாம் தீர்மானிக்கலாம், ஆனால் ஒருமுறை செய்தால், 6 + 6 போன்ற வெளிப்பாடுகளின் முடிவுகள் நம் கட்டுப்பாட்டிற்கு அப்பாற்பட்டவை. இங்கே தர்க்கம் நமக்கு வேறு வழியில்லை. இந்த அர்த்தத்தில், கணிதம் எப்போதும் இரண்டு கண்டுபிடிப்புகளையும் உள்ளடக்கியது, அதனால் மற்றும்திறப்பு: நாங்கள் கண்டுபிடிப்புகருத்து, ஆனால் திறந்தஅவற்றின் விளைவுகள். பின்வரும் அத்தியாயங்கள் தெளிவுபடுத்துவது போல, கணிதத்தில் நமது சுதந்திரம் என்பது கேள்விகளைக் கேட்கும் திறனில் உள்ளது மற்றும் அவற்றை நாமே கண்டுபிடிக்காமல் பதில்களைத் தேடுவதில் உறுதியாக உள்ளது.

2. கல் எண்கணிதம்

வாழ்க்கையின் எந்த நிகழ்வையும் போலவே, எண்கணிதமும் இரண்டு பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது: முறையான மற்றும் பொழுதுபோக்கு (அல்லது விளையாட்டுத்தனமானது).

பள்ளியில் முறையான பகுதியைப் படித்தோம். எண்களின் நெடுவரிசைகளுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது, அவற்றைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல், வரிக் கணக்கை நிரப்புதல் மற்றும் தயாரிக்கும் போது விரிதாள்களில் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது அவற்றை எவ்வாறு திணிப்பது என்பதை அவர்கள் எங்களுக்கு விளக்கினர். ஆண்டு அறிக்கைகள். எண்கணிதத்தின் இந்தப் பக்கம் நடைமுறைக் கண்ணோட்டத்தில் பலருக்கு முக்கியமானதாகத் தோன்றுகிறது, ஆனால் முற்றிலும் மகிழ்ச்சியற்றது.

உயர் கணிதத்தைப் படிக்கும் செயல்பாட்டில் எண்கணிதத்தின் பொழுதுபோக்கு பக்கத்தை மட்டுமே நீங்கள் அறிந்து கொள்ள முடியும். {3}. இருப்பினும், இது ஒரு குழந்தையின் ஆர்வத்தைப் போலவே இயற்கையானது {4}.

"கணிதவியலாளரின் புலம்பல்" என்ற கட்டுரையில், பால் லாக்ஹார்ட் எண்களை வழக்கத்தை விட அதிக உறுதியான எடுத்துக்காட்டுகளில் படிக்க பரிந்துரைக்கிறார்: அவர் அவற்றை பல கற்களாக நினைக்கும்படி கேட்கிறார். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 6 பின்வரும் கூழாங்கற்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது:

நீங்கள் இங்கே அசாதாரணமான எதையும் பார்க்க வாய்ப்பில்லை. அது தான் வழி. நாம் எண்களைக் கையாளத் தொடங்கும் வரை, அவை கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். நாம் ஒரு பணியைப் பெறும்போது விளையாட்டு தொடங்குகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, 1 முதல் 10 கற்களைக் கொண்ட செட்களைப் பார்ப்போம், அவற்றிலிருந்து சதுரங்களை உருவாக்க முயற்சிப்போம். 4 = 2 × 2 மற்றும் 9 = 3 × 3 என்பதால் 4 மற்றும் 9 கற்கள் கொண்ட இரண்டு செட் மூலம் மட்டுமே இதைச் செய்ய முடியும். வேறு சில எண்களை (அதாவது ஒரு சதுரத்தில் கற்களை அடுக்கி) இந்த எண்களை நாம் பெறுகிறோம்.

இங்கே ஒரு பணி உள்ளது பெரிய எண்தீர்வுகள்: சம எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளுடன் இரண்டு வரிசைகளில் கற்களை ஒழுங்கமைத்தால், எந்த செட் ஒரு செவ்வகத்தை உருவாக்கும் என்பதை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். 2, 4, 6, 8 அல்லது 10 கற்களின் தொகுப்புகள் இங்கே பொருத்தமானவை; எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும். மீதமுள்ள செட்களை இரண்டு வரிசைகளில் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான கற்களைக் கொண்டு ஏற்பாடு செய்ய முயற்சித்தால், நாம் எப்போதும் கூடுதல் கல்லுடன் முடிவடையும்.

ஆனால் இந்த மோசமான எண்களுக்காக அனைத்தும் இழக்கப்படவில்லை! அத்தகைய இரண்டு தொகுப்புகளை நீங்கள் எடுத்தால், கூடுதல் உறுப்புகள் ஒரு ஜோடியைக் கண்டுபிடிக்கும், மேலும் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும்: ஒற்றைப்படை எண் + ஒற்றைப்படை எண் = இரட்டை எண்.

இந்த விதிகளை 10க்குப் பிறகு எண்களுக்கு நீட்டித்து, ஒரு செவ்வகத்தில் உள்ள வரிசைகளின் எண்ணிக்கை இரண்டுக்கும் அதிகமாக இருக்கலாம் என்று கருதினால், சில ஒற்றைப்படை எண்கள் அத்தகைய செவ்வகங்களைச் சேர்க்க அனுமதிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 15 ஆனது 3 × 5 செவ்வகத்தை உருவாக்கலாம்.

எனவே, 15 என்பது சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி ஒற்றைப்படை எண்ணாக இருந்தாலும், அது ஒரு கூட்டு எண் மற்றும் ஐந்து கற்களைக் கொண்ட மூன்று வரிசைகளாகக் குறிப்பிடப்படலாம். அதேபோல, பெருக்கல் அட்டவணையில் உள்ள எந்த ஒரு நுழைவும் அதன் சொந்த செவ்வகக் கூழாங்கற்களை உருவாக்குகிறது.

ஆனால் 2, 3, 5 மற்றும் 7 போன்ற சில எண்கள் முற்றிலும் நம்பிக்கையற்றவை. ஒரு எளிய கோடு (ஒரு வரிசை) வடிவத்தில் அவற்றை ஏற்பாடு செய்வதைத் தவிர, அவர்களிடமிருந்து எதையும் நீங்கள் போட முடியாது. இந்த விசித்திரமான பிடிவாதமான மக்கள் பிரபலமான பகா எண்கள்.

எனவே எண்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட தன்மையைக் கொடுக்கும் வித்தியாசமான அமைப்புகளைக் கொண்டிருக்கலாம் என்பதைக் காண்கிறோம். ஆனால் அவர்களின் நடத்தையின் முழு அளவையும் புரிந்து கொள்ள, நீங்கள் தனிப்பட்ட எண்களிலிருந்து பின்வாங்க வேண்டும் மற்றும் அவர்களின் தொடர்புகளின் போது என்ன நடக்கிறது என்பதைக் கவனிக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு ஒற்றைப்படை எண்களைச் சேர்ப்பதற்குப் பதிலாக, 1 இல் தொடங்கி ஒற்றைப்படை எண்களின் சாத்தியமான அனைத்து வரிசைகளையும் சேர்ப்போம்:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

ஆச்சரியப்படும் விதமாக, இந்தத் தொகைகள் எப்போதும் சரியான சதுரங்களாக மாறிவிடும். (4 மற்றும் 9 ஐ சதுரங்களாகக் குறிப்பிடலாம் என்றும், 16 = 4 × 4 மற்றும் 25 = 5 × 5 க்கு இதுவும் உண்மை என்று நாங்கள் ஏற்கனவே கூறியுள்ளோம்.) இந்த விதியானது பெரிய ஒற்றைப்படை எண்களுக்கும் உண்மையாக இருக்கும் என்பதை ஒரு விரைவான கணக்கீடு காட்டுகிறது. , முடிவிலிக்கு முனைகிறது. ஆனால் ஒற்றைப்படை எண்களுக்கு அவற்றின் "கூடுதல்" கற்களுக்கும் சதுரங்களை உருவாக்கும் பாரம்பரிய சமச்சீர் எண்களுக்கும் என்ன தொடர்பு? கூழாங்கற்களை சரியாக வைப்பதன் மூலம், என்ன என்பதை நாம் தெளிவாக்கலாம் தனித்துவமான அம்சம்நேர்த்தியான ஆதாரம். {5}

ஒற்றைப்படை எண்களை சமபக்கக் கோணங்களாகக் குறிப்பிடலாம் என்ற அவதானிப்பு அதன் முக்கிய அம்சமாகும், அதன் தொடர்ச்சியான ஒன்றுடன் ஒன்று ஒரு சதுரத்தை உருவாக்குகிறது!

இதேபோன்ற பகுத்தறிவு சமீபத்தில் வெளியிடப்பட்ட மற்றொரு புத்தகத்தில் வழங்கப்படுகிறது. யோகோ ஒகாவாவின் அழகான நாவலான தி ஹவுஸ் கீப்பர் மற்றும் இந்தபேராசிரியர் ஒரு புத்திசாலி ஆனால் படிக்காத இளம் பெண் மற்றும் அவரது பத்து வயது மகன். ஒரு வயதான கணிதவியலாளரைப் பராமரிக்க ஒரு பெண் பணியமர்த்தப்பட்டார், அவரது குறுகிய கால நினைவாற்றல், அதிர்ச்சிகரமான மூளைக் காயம் காரணமாக, அவரது வாழ்க்கையின் கடைசி 80 நிமிடங்களைப் பற்றிய தகவல்களை மட்டுமே வைத்திருக்கிறது. நிகழ்காலத்தில் தொலைந்துபோய், எண்களைத் தவிர வேறெதுவும் இல்லாமல், தனியாக தனது இழிந்த குடிசையில், பேராசிரியர் வீட்டுப் பணிப்பெண்ணுடன் தனக்குத் தெரிந்த ஒரே வழியைத் தொடர்பு கொள்ள முயற்சிக்கிறார்: அவளுடைய ஷூவின் அளவு அல்லது பிறந்த தேதியைக் கேட்டு அவளுடன் அவளது செலவுகளைப் பற்றி சிறு பேச்சு. பேராசிரியரும் உணவளிக்கிறார் சிறப்பு அனுதாபம்வீட்டுப் பணிப்பெண்ணின் மகனுக்கு, அவர் ரூத் (ரூட் - ரூட்) என்று அழைக்கிறார், ஏனென்றால் பையனின் மேல் ஒரு தட்டையான தலை உள்ளது, மேலும் இது கணிதத்தில் √ என்ற வர்க்க மூலத்திற்கான குறிப்பை நினைவூட்டுகிறது.

ஒரு நாள் பேராசிரியர் பையனுக்கு வழங்குகிறார் எளிய பணி– 1 முதல் 10 வரையிலான அனைத்து எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும். ரூத் அனைத்து எண்களையும் கவனமாகச் சேர்த்துவிட்டு (55) பதிலுடன் திரும்பிய பிறகு, பேராசிரியர் அவரிடம் எளிதான வழியைத் தேடுமாறு கேட்கிறார். அவரால் விடை கண்டுபிடிக்க முடியுமா? இல்லாமல்எண்களின் சாதாரண கூட்டல்? ரூத் ஒரு நாற்காலியை உதைத்து, "இது நியாயமில்லை!"

கொஞ்சம் கொஞ்சமாக, வீட்டுப் பணிப்பெண்ணும் எண்களின் உலகில் ஈர்க்கப்படுகிறார், மேலும் இந்த சிக்கலை ரகசியமாக தீர்க்க முயற்சிக்கிறார். "நடைமுறைப் பயன் இல்லாத குழந்தைகளுக்கான புதிரில் நான் ஏன் மிகவும் ஆர்வமாக இருக்கிறேன் என்று எனக்குப் புரியவில்லை," என்று அவர் கூறுகிறார். "முதலில் நான் பேராசிரியரைப் பிரியப்படுத்த விரும்பினேன், ஆனால் படிப்படியாக இந்த பாடம் எனக்கும் எண்களுக்கும் இடையிலான போராக மாறியது. நான் காலையில் எழுந்தபோது, சமன்பாடு ஏற்கனவே எனக்காகக் காத்திருந்தது:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

ஸ்டீபன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ்

இன் மகிழ்ச்சி எக்ஸ். உலகின் சிறந்த ஆசிரியர்களில் ஒருவரிடமிருந்து கணித உலகில் ஒரு கண்கவர் பயணம்

தி ஜாய் ஆஃப் எக்ஸ்

ஒன்று முதல் முடிவிலி வரை கணிதம் பற்றிய வழிகாட்டுதல் பயணம்

ஸ்டீவன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ், c/o Brockman, Inc இன் அனுமதியுடன் வெளியிடப்பட்டது.

* * *

இந்த புத்தகம் நன்கு பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது:

குவாண்டா

ஸ்காட் பேட்டர்சன்

பிரைனியாக்

கென் ஜென்னிங்ஸ்

பணப்பந்து

மைக்கேல் லூயிஸ்

நெகிழ்வான உணர்வு

கரோல் டுவெக்

பங்குச் சந்தையின் இயற்பியல்

ஜேம்ஸ் வெதர்ஆல்

முன்னுரை

கணிதம் எல்லா இடங்களிலும் உள்ளது, நீங்கள் அதை அடையாளம் காண கற்றுக்கொள்ள வேண்டும். நீங்கள் வரிக்குதிரையின் முதுகில் சைன் அலையைக் காணலாம், சுதந்திரப் பிரகடனத்தில் யூக்ளிட்டின் கோட்பாடுகளின் எதிரொலிகளைக் கேட்கலாம்; நான் என்ன சொல்ல முடியும், முதல் உலகப் போருக்கு முந்தைய உலர் அறிக்கைகளில் கூட எதிர்மறை எண்கள் உள்ளன. கணிதத்தின் புதிய பகுதிகள் இன்று நம் வாழ்வில் எவ்வாறு செல்வாக்கு செலுத்துகின்றன என்பதை நீங்கள் பார்க்கலாம், உதாரணமாக, நாம் கணினியைப் பயன்படுத்தி உணவகங்களைத் தேடும்போது அல்லது குறைந்தபட்சம் புரிந்துகொள்ள முயற்சிக்கும் போது, அல்லது இன்னும் சிறப்பாக, பங்குச் சந்தையின் பயமுறுத்தும் ஏற்ற இறக்கங்களில் இருந்து தப்பிக்கலாம்.

இந்த புத்தகம் கணித உலகில் இருந்து மிகவும் சிக்கலான மற்றும் மேம்பட்ட யோசனைகளை உங்களுக்கு அறிமுகப்படுத்தும். அத்தியாயங்கள் சிறியவை, படிக்க எளிதானவை மற்றும் குறிப்பாக ஒருவருக்கொருவர் சார்ந்து இல்லை. அவற்றில் நியூ யார்க் டைம்ஸ் கட்டுரைகளின் முதல் தொடரில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, நீங்கள் ஒரு சிறிய கணித பசியை உணர்ந்தவுடன், அடுத்த அத்தியாயத்தை எடுக்க தயங்க வேண்டாம். உங்களுக்கு விருப்பமான சிக்கலை நீங்கள் இன்னும் விரிவாகப் புரிந்து கொள்ள விரும்பினால், புத்தகத்தின் முடிவில் கூடுதல் தகவல்களுடன் குறிப்புகள் மற்றும் அதைப் பற்றி நீங்கள் படிக்கக்கூடிய பரிந்துரைகள் உள்ளன.

பகுதி I, எண்கள், மழலையர் பள்ளி மற்றும் தொடக்கப்பள்ளியில் எண்கணிதத்துடன் எங்கள் பயணத்தைத் தொடங்குகிறது. எண்கள் எவ்வளவு பயனுள்ளதாக இருக்கும் மற்றும் நம்மைச் சுற்றியுள்ள உலகத்தை விவரிப்பதில் அவை எவ்வளவு மாயமாக செயல்படுகின்றன என்பதை இது காட்டுகிறது.

பகுதி II, "விகிதங்கள்", எண்களிலிருந்து கவனத்தை அவற்றுக்கிடையேயான உறவுகளுக்கு மாற்றுகிறது. இந்த யோசனைகள் இயற்கணிதத்தின் மையத்தில் உள்ளன மற்றும் ஒரு விஷயம் மற்றொன்றை எவ்வாறு பாதிக்கிறது என்பதை விவரிப்பதற்கான முதல் கருவியாகும், இது பல்வேறு விஷயங்களின் காரண-மற்றும்-விளைவு உறவைக் காட்டுகிறது: வழங்கல் மற்றும் தேவை, தூண்டுதல் மற்றும் பதில் - சுருக்கமாக, அனைத்து வகையான உலகை மிகவும் வளமானதாகவும் மாறுபட்டதாகவும் மாற்றும் உறவுகள்.

பகுதி III “புள்ளிவிவரங்கள்” எண்கள் மற்றும் சின்னங்களைப் பற்றி அல்ல, ஆனால் புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் இடத்தைப் பற்றி சொல்கிறது - வடிவியல் மற்றும் முக்கோணவியல் களம். இந்த தலைப்புகள், வடிவங்கள், தர்க்கரீதியான பகுத்தறிவு மற்றும் ஆதாரம் மூலம் காணக்கூடிய அனைத்து பொருட்களின் விளக்கத்துடன், கணிதத்தை ஒரு புதிய துல்லியமான நிலைக்கு கொண்டு செல்கின்றன.

பகுதி IV இல், ஒரு மாற்றத்திற்கான நேரம், கணிதத்தின் மிகவும் உற்சாகமான மற்றும் மாறுபட்ட கிளையான கால்குலஸைப் பார்ப்போம். கால்குலஸ் கிரகங்களின் பாதை, அலைகளின் சுழற்சிகளைக் கணிக்க உதவுகிறது மற்றும் பிரபஞ்சத்திலும் நமக்குள்ளும் அவ்வப்போது மாறும் செயல்முறைகள் மற்றும் நிகழ்வுகளைப் புரிந்துகொள்வதையும் விவரிக்கவும் உதவுகிறது. இந்த பகுதியில் ஒரு முக்கியமான இடம் முடிவிலி பற்றிய ஆய்வுக்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் அமைதியானது கணக்கீடுகளை வேலை செய்ய அனுமதித்த ஒரு திருப்புமுனையாக மாறியது. கம்ப்யூட்டிங் பண்டைய உலகில் எழுந்த பல சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவியது, இது இறுதியில் அறிவியல் மற்றும் நவீன உலகில் ஒரு புரட்சிக்கு வழிவகுத்தது.

பகுதி V, "தரவின் பல முகங்கள்", நிகழ்தகவு, புள்ளிவிவரங்கள், நெட்வொர்க்குகள் மற்றும் தரவு அறிவியல் ஆகியவற்றைக் கையாள்கிறது - வாய்ப்பு மற்றும் அதிர்ஷ்டம், நிச்சயமற்ற தன்மை, ஆபத்து போன்ற நம் வாழ்வின் குறைவான ஒழுங்கற்ற அம்சங்களில் இருந்து பிறந்த இன்னும் ஒப்பீட்டளவில் இளம் துறைகள் , மாறுபாடு, குழப்பம் மற்றும் ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்திருத்தல். கணிதத்தின் சரியான கருவிகள் மற்றும் பொருத்தமான தரவு வகைகளைப் பயன்படுத்தி, சீரற்ற தன்மையின் ஓட்டத்தில் வடிவங்களைக் கண்டறிய கற்றுக்கொள்வோம்.

"சாத்தியமான வரம்புகள்" என்ற பகுதி VI இல் எங்கள் பயணத்தின் முடிவில், கணித அறிவின் வரம்புகளை அணுகுவோம், ஏற்கனவே தெரிந்தவை மற்றும் இன்னும் மழுப்பலான மற்றும் அறியப்படாதவற்றுக்கு இடையே உள்ள எல்லைப் பகுதி. எண்கள், விகிதங்கள், புள்ளிவிவரங்கள், மாற்றங்கள் மற்றும் முடிவிலி - ஆனால் அதே நேரத்தில் அவை ஒவ்வொன்றையும் அதன் நவீன அவதாரத்தில் இன்னும் ஆழமாகப் பார்ப்போம்.

பகுதி I. எண்கள்

1. எண் அடிப்படைகள்: மீன் சேர்த்தல்

நான் இதுவரை கண்டிராத எண் கருத்தாக்கங்களின் சிறந்த செயல்விளக்கம் (எண்கள் என்றால் என்ன, அவை நமக்கு ஏன் தேவை என்பதற்கான தெளிவான மற்றும் வேடிக்கையான விளக்கம்) 123: Counting Together "(123 Counter with Me) என்ற பிரபலமான குழந்தைகள் நிகழ்ச்சியான Sesame Street இன் எபிசோடில் இருந்தது. ஃபர்ரி ஃபீட் ஹோட்டலில் பணிபுரியும் இளஞ்சிவப்பு நிற ரோமங்கள் மற்றும் பச்சை மூக்கு கொண்ட நல்ல குணம் கொண்ட ஆனால் மங்கலான புத்திசாலியான ஹம்ப்ரி, மதிய உணவு நேரத்தில் பென்குயின் விருந்தினர்களிடமிருந்து தொலைபேசி மூலம் ஆர்டர்களைப் பெறுகிறார். அவற்றைக் கவனமாகக் கேட்ட பிறகு, ஹம்ப்ரி சமையலறைக்கு ஆர்டரை அனுப்புகிறார்: "மீன், மீன், மீன், மீன், மீன், மீன்." அவர் பார்ப்பது எர்னியை ஹம்ப்ரியிடம் ஆறாவது எண்ணின் நற்பண்புகளைப் பற்றிச் சொல்லத் தூண்டுகிறது.

நம்மைச் சுற்றியுள்ள உலகத்தைப் படிக்க எண்கள் எவ்வளவு பயனுள்ளதாக இருக்கும், வடிவவியலின் அழகு என்ன, ஒருங்கிணைந்த எண்கள் எவ்வளவு நேர்த்தியானவை மற்றும் புள்ளிவிவரங்கள் எவ்வளவு முக்கியம்? ஸ்டீவன் ஸ்ட்ரோகாட்ஸ் இதைப் பற்றி தனது The Pleasure of X புத்தகத்தில் பேசுகிறார். ஆசிரியர் அடிப்படைக் கணிதக் கருத்துக்களை எளிமையாகவும் நேர்த்தியாகவும் விளக்கி, அனைவரும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய உதாரணங்களை வழங்குகிறார். மான், இவானோவ் மற்றும் ஃபெர்பர் ஆகியோரால் வெளியிடப்பட்ட புத்தகத்தின் அத்தியாயங்களில் ஒன்றை தளம் வெளியிடுகிறது.

புள்ளியியல் திடீரென்று ஒரு நவநாகரீக துறையாக மாறியது. இணையத்தின் வருகையுடன், இ-காமர்ஸ், சமுக வலைத்தளங்கள், மனித மரபணுவைப் புரிந்துகொள்வதற்கான ஒரு திட்டம், மேலும் பொதுவாக டிஜிட்டல் கலாச்சாரத்தின் வளர்ச்சி தொடர்பாக, உலகம் தரவுகளில் மூழ்கத் தொடங்கியது. சந்தைப்படுத்துபவர்கள் நமது சுவை மற்றும் பழக்கவழக்கங்களைப் படிக்கிறார்கள். உளவுத்துறை முகமைகள் எங்கள் இருப்பிடம், மின்னஞ்சல்கள் மற்றும் தொலைபேசி அழைப்புகள் பற்றிய தகவல்களைச் சேகரிக்கின்றன. எந்த வீரர்களை வாங்குவது, யாரை வரைவது, யாரை பெஞ்ச் செய்வது என்று முடிவு செய்ய விளையாட்டு புள்ளியியல் வல்லுநர்கள் எண்களைக் கையாளுகின்றனர். ஒவ்வொருவரும் புள்ளிகளை வரைபடத்தில் இணைக்க முயல்கின்றனர் மற்றும் தரவு சேகரிப்பில் ஒரு வடிவத்தைக் கண்டறிய வேண்டும்.

இந்தப் போக்குகள் கற்பித்தலில் பிரதிபலிப்பதில் ஆச்சரியமில்லை. நியூயார்க் டைம்ஸ் பத்தியில் ஹார்வர்ட் பல்கலைக்கழகத்தின் பொருளாதார வல்லுனரான கிரெக் மான்கிவ், "புள்ளிவிவரங்களைப் பார்ப்போம்" என்று அறிவுறுத்துகிறார்.

"IN பாடத்திட்டம்கணிதத்தில் உயர்நிலைப் பள்ளியூக்ளிடியன் வடிவியல் மற்றும் முக்கோணவியல் போன்ற பாரம்பரிய தலைப்புகளில் அதிக நேரம் செலவிடப்படுகிறது. இவை பயனுள்ளவை சாதாரண நபர்இருப்பினும், மனப் பயிற்சிகள் அதிகம் பயன்படுவதில்லை அன்றாட வாழ்க்கை. நிகழ்தகவு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களைப் பற்றி மேலும் அறிந்துகொள்வதன் மூலம் மாணவர்கள் பெரிதும் பயனடைவார்கள்." டேவிட் ப்ரூக்ஸ் இன்னும் மேலே செல்கிறார். ஒழுக்கமான கல்வியைப் பெறுவதற்கு கவனம் செலுத்த வேண்டிய துறைகள் பற்றிய அவரது கட்டுரையில் அவர் எழுதுகிறார்: “புள்ளிவிவரங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். நீங்கள் பார்ப்பீர்கள், நிலையான விலகல் என்ன என்பதை அறிவது வாழ்க்கையில் உங்களுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

மிகவும் சாத்தியம், மேலும் விநியோகம் என்றால் என்ன என்பதைப் புரிந்துகொள்வதும் நல்லது. நான் முதலில் பேச நினைப்பது இதுதான். நான் அதில் கவனம் செலுத்த விரும்புகிறேன், ஏனெனில் இது புள்ளிவிபரங்களின் முக்கிய பாடங்களில் ஒன்றாகும்: தனித்தனியாகப் பார்க்கும்போது விஷயங்கள் நம்பிக்கையற்ற சீரற்றதாகவும் கணிக்க முடியாததாகவும் தோன்றுகின்றன, ஆனால் ஒன்றாக எடுத்துக்கொண்டால் அவை ஒரு வடிவத்தையும் கணிக்கக்கூடிய தன்மையையும் வெளிப்படுத்துகின்றன.

இந்த கொள்கையின் நிரூபணத்தை நீங்கள் சிலரிடம் பார்த்திருக்கலாம் அறிவியல் அருங்காட்சியகம்(இல்லையெனில், வீடியோக்களை ஆன்லைனில் காணலாம்). ஒரு பொதுவான கண்காட்சி என்பது கால்டன் போர்டு எனப்படும் ஒரு கான்ட்ராப்ஷன் ஆகும், இது ஃபிளிப்பர்கள் இல்லாத பின்பால் இயந்திரத்தை ஓரளவு நினைவூட்டுகிறது. அதன் உள்ளே, சீரான இடைவெளியில் ஊசிகளின் வரிசைகள் கூட உள்ளன.

கால்டனின் பலகை

அனுபவம் தொடங்குகிறது மேல் பகுதிகால்டனின் பலகை நூற்றுக்கணக்கான பந்துகளை வீசுகிறது. அவை விழும்போது, அவை ஊசிகளுடன் மோதுகின்றன மற்றும் சமமாக வலது அல்லது இடதுபுறமாக குதித்து, பின்னர் பலகையின் அடிப்பகுதியில் விநியோகிக்கப்படுகின்றன, அதே அகலத்தின் பெட்டிகளில் விழுகின்றன. பந்துகளின் நெடுவரிசையின் உயரம், கொடுக்கப்பட்ட இடத்தில் பந்து முடிவடையும் வாய்ப்பு எவ்வளவு என்பதைக் காட்டுகிறது. பெரும்பாலான பந்துகள் தோராயமாக நடுவில் வைக்கப்பட்டுள்ளன, பக்கங்களிலும் குறைவாகவும், விளிம்புகளில் குறைவாகவும் இருக்கும்.

பொதுவாக, படம் மிகவும் யூகிக்கக்கூடியது: பந்துகள் எப்போதும் ஒரு மணி வடிவ விநியோகத்தை உருவாக்குகின்றன, இருப்பினும் ஒவ்வொரு பந்தும் எங்கு முடிவடையும் என்பதைக் கணிக்க இயலாது.

தனிப்பட்ட விபத்துக்கள் எவ்வாறு பொதுவான வடிவங்களாக மாறுகின்றன? ஆனால் வாய்ப்பு இப்படித்தான் செயல்படுகிறது. நடுத்தர நெடுவரிசையில் அதிக பந்துகள் உள்ளன, ஏனெனில், கீழே உருட்டுவதற்கு முன், அவர்களில் பலர் ஏறக்குறைய அதே எண்ணிக்கையிலான வலது மற்றும் இடது பக்கம் தாவுவார்கள், இதன் விளைவாக, நடுவில் எங்காவது முடிவடையும். விளிம்புகளில் அமைந்துள்ள பல தனிமையான பந்துகள் விநியோகத்தின் வால்களை உருவாக்குகின்றன - இவை அந்த பந்துகள், ஊசிகளுடன் மோதும்போது, எப்போதும் ஒரே திசையில் குதிக்கும். அத்தகைய பவுன்ஸ்கள் சாத்தியமில்லை, அதனால்தான் விளிம்புகளில் மிகக் குறைவான பந்துகள் உள்ளன.

ஒவ்வொரு பந்தின் இருப்பிடமும் பல சீரற்ற நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையால் தீர்மானிக்கப்படுவது போல், இந்த உலகில் பல நிகழ்வுகள் பல சிறிய சூழ்நிலைகளின் விளைவாகும், மேலும் மணி வடிவ வளைவுக்கும் கீழ்ப்படிகின்றன. அவர்கள் இந்த கொள்கையில் வேலை செய்கிறார்கள் காப்பீட்டு நிறுவனங்கள். ஒவ்வொரு ஆண்டும் இறக்கும் வாடிக்கையாளர்களின் எண்ணிக்கையை அவர்களால் துல்லியமாக மதிப்பிட முடியும். இருப்பினும், இந்த முறை யார் துரதிர்ஷ்டவசமாக இருப்பார்கள் என்பது அவர்களுக்குத் தெரியாது.

அல்லது உதாரணமாக, மனித உயரத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். இது மரபியல், உயிர்வேதியியல், ஊட்டச்சத்து மற்றும் தொடர்பான எண்ணற்ற விபத்துகளைப் பொறுத்தது சூழல். எனவே, ஒன்றாகக் கருதும் போது, வயது வந்த ஆண்கள் மற்றும் பெண்களின் உயரம் ஒரு மணி வடிவ வளைவை உருவாக்கும் ஒரு நல்ல வாய்ப்பு உள்ளது.

"ஆன்லைனில் மக்கள் தங்களைப் பற்றி தவறாகப் பேசுகிறார்கள்" என்ற வலைப்பதிவு இடுகையில், டேட்டிங் தளமான OkCupid இன் புள்ளிவிவர சேவை சமீபத்தில் அதன் வாடிக்கையாளர்களின் வளர்ச்சியின் வரைபடத்தை அல்லது அவர்களின் சுய-அறிக்கை மதிப்புகளை வெளியிட்டது. இரு பாலினத்தினதும் வளர்ச்சி விகிதங்கள் எதிர்பார்த்தபடி மணி வடிவ வளைவை உருவாக்குவது கண்டறியப்பட்டது. இருப்பினும், ஆச்சரியம் என்னவென்றால், இரண்டு விநியோகங்களும் எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்புகளின் வலதுபுறம் சுமார் இரண்டு அங்குலங்கள் மாற்றப்பட்டன.

ஸ்ட்ரோகாட்ஸ் எஸ். இன்பம் எச். - எம்.: மான், இவானோவ் மற்றும் ஃபெர்பர், 2014.

எனவே OkCupid ஆல் கணக்கெடுக்கப்பட்ட வாடிக்கையாளர்கள் சராசரியை விட உயரமானவர்கள் அல்லது ஆன்லைனில் தங்களை விவரிக்கும் போது அவர்களின் உயரத்திற்கு இன்னும் இரண்டு அங்குலங்கள் சேர்க்கிறார்கள்.

அத்தகைய மணி வளைவுகளின் சிறந்த பதிப்பை கணிதவியலாளர்கள் சாதாரண விநியோகம் என்று அழைக்கின்றனர். இது ஒரு கோட்பாட்டு அடிப்படையைக் கொண்ட புள்ளிவிவரங்களில் மிக முக்கியமான கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். என்பதை நிரூபிக்க முடியும் சாதாரண விநியோகம்சேர்த்தவுடன் நிகழ்கிறது பெரிய அளவுசிறிய சீரற்ற காரணிகள், அவை ஒவ்வொன்றும் மற்றவற்றிலிருந்து சுயாதீனமாக செயல்படுகின்றன. மேலும் பல நிகழ்வுகள் இப்படித்தான் நடக்கும்.

ஆனால் அனைத்து இல்லை. நான் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்பும் இரண்டாவது புள்ளி இது. சாதாரண விநியோகம் அது போல் எங்கும் இல்லை. நூற்றுக்கணக்கான ஆண்டுகளாக, குறிப்பாக கடந்த சில தசாப்தங்களில், விஞ்ஞானிகள் மற்றும் புள்ளியியல் வல்லுநர்கள் இந்த வளைவிலிருந்து விலகி தங்கள் சொந்த அட்டவணையைப் பின்பற்றும் பல நிகழ்வுகள் இருப்பதைக் குறிப்பிட்டுள்ளனர். ஆரம்ப புள்ளிவிவரங்கள் குறித்த பாடப்புத்தகங்களில் இதுபோன்ற விநியோகங்கள் நடைமுறையில் குறிப்பிடப்படவில்லை என்பது ஆர்வமாக உள்ளது, மேலும் அவை கண்டறியப்பட்டால், அவை பொதுவாக ஒருவித நோயியல் என்று கருதப்படுகின்றன.

இது விசித்திரமானது. நான் பல நிகழ்வுகளை விளக்க முயற்சிப்பேன் நவீன வாழ்க்கைஇந்த "நோயியல்" பரவல்களை நாம் புரிந்து கொண்டால் அதிக அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். இது புதிய இயல்பு. உதாரணமாக, அமெரிக்காவில் நகர அளவுகளின் விநியோகத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். சில சராசரி பெல் வளைவைச் சுற்றிக் குவிப்பதற்குப் பதிலாக, பெரும்பாலான நகரங்கள் அளவில் சிறியவை, எனவே வரைபடத்தின் இடது பக்கத்தில் கொத்தாக உள்ளன.

ஸ்ட்ரோகாட்ஸ் எஸ். இன்பம் எச். - எம்.: மான், இவானோவ் மற்றும் ஃபெர்பர், 2014.

அடுத்து என்ன பெரிய மக்கள் தொகைநகரங்களில், இதுபோன்ற நகரங்கள் குறைவாகவே காணப்படுகின்றன. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், மொத்தத்தில் விநியோகமானது மணி வடிவ வளைவை விட எல் வடிவ வளைவாக இருக்கும்.

மேலும் இது ஆச்சரியமல்ல. சிறிய நகரங்களை விட மெகாசிட்டிகள் மிகக் குறைவு என்பது அனைவருக்கும் தெரியும். இது அவ்வளவு வெளிப்படையாக இல்லாவிட்டாலும், நகர அளவுகள் ஒரு நல்ல எளிய விநியோகத்தைப் பின்பற்றுகின்றன - நீங்கள் அவற்றை மடக்கை அளவில் பார்க்கும்போது.

இரண்டு நகரங்களின் மக்கள்தொகை ஒரே எண்ணிக்கையில் வேறுபடும் பட்சத்தில் இரு நகரங்களுக்கிடையேயான வித்தியாசம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் என்று நாம் கருதுவோம் (எந்தவொரு ஆக்டேவினால் பிரிக்கப்பட்ட எந்த இரண்டு பியானோ விசைகளும் எப்போதுமே பாதி அதிர்வெண்ணால் வேறுபடுவது போல). செங்குத்து அச்சில் அதையே செய்வோம்.

ஸ்ட்ரோகாட்ஸ் எஸ். இன்பம் எச். - எம்.: மான், இவானோவ் மற்றும் ஃபெர்பர், 2014.

தரவு இப்போது ஒரு வளைவில் உள்ளது, அது கிட்டத்தட்ட சரியான நேர்கோட்டில் உள்ளது. மடக்கைகளின் பண்புகளின் அடிப்படையில், அசல் எல்-வடிவ வளைவு ஒரு சக்தி-சட்ட சார்பு, இது படிவத்தின் செயல்பாட்டின் மூலம் விவரிக்கப்படுகிறது என்பதைக் கண்டறிவது எளிது.

இதில் x என்பது நகரத்தின் மக்கள் தொகை, y என்பது இந்த அளவிலான நகரங்களின் எண்ணிக்கை, c என்பது ஒரு மாறிலி, மற்றும் அடுக்கு a (சக்தி-சட்ட அடுக்கு) நேர்கோட்டின் எதிர்மறை சாய்வை தீர்மானிக்கிறது.

பாரம்பரிய புள்ளிவிவரங்களின் பார்வையில் சக்தி விநியோகம் சில நியாயமற்ற பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சாதாரண விநியோகத்தைப் போலன்றி, L- வடிவ வளைவுகளின் வளைந்த, சமச்சீரற்ற வடிவத்தின் காரணமாக அவற்றின் முறைகள், இடைநிலைகள் மற்றும் வழிமுறைகள் ஒத்துப்போவதில்லை.

ஜனாதிபதி புஷ் இதிலிருந்து பெரிதும் பயனடைந்தார், 2003 இல் வரிக் குறைப்புக்கள் ஒவ்வொரு குடும்பத்திற்கும் சராசரியாக $1,586 சேமிக்கிறது என்று கூறினார். இது கணித ரீதியாக சரியானது என்றாலும், நாட்டின் மக்கள்தொகையில் 0.1% பணக்காரர்களால் பெறப்பட்ட நூறாயிரக்கணக்கான டாலர்களின் பெரும் விலக்குகளை மறைத்து, சராசரி கழிவை அவர் பயன்படுத்திக் கொண்டார். வருமான விநியோகத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள வால் ஒரு அதிகாரச் சட்டத்தைப் பின்பற்றுகிறது என்பது அறியப்படுகிறது, அத்தகைய சூழ்நிலையில், சராசரியைப் பயன்படுத்துவது தவறானது, ஏனெனில் அது அதன் உண்மையான மதிப்பிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது. உண்மையில், பெரும்பாலான குடும்பங்கள் $650க்கும் குறைவாகவே திரும்பப் பெற்றன. இந்த விநியோகத்தில், சராசரியானது சராசரியை விட கணிசமாக குறைவாக உள்ளது.

இந்த உதாரணம் அதிகாரச் சட்டப் பகிர்வுகளின் முக்கியப் பண்புகளை நிரூபிக்கிறது: சாதாரண விநியோகத்தின் குறைந்தபட்சம் சிறிய திரவ வால்களுடன் ஒப்பிடும்போது அவை கனமான வால்களைக் கொண்டுள்ளன. இது போன்ற பெரிய வால்கள், அரிதாக இருந்தாலும், வழக்கமான மணி வடிவ வளைவுகளை விட தரவு விநியோகங்களில் மிகவும் பொதுவானவை.

கருப்பு திங்கட்கிழமை, அக்டோபர் 19, 1987 அன்று, டவ் ஜோன்ஸ் தொழில்துறை சராசரி 22% சரிந்தது. வழக்கமான நிலையற்ற நிலையுடன் ஒப்பிடும்போது பங்கு சந்தைஇந்த வீழ்ச்சி இருபதுக்கும் மேற்பட்ட நிலையான விலகல்கள் ஆகும். பாரம்பரிய புள்ளிவிவரங்களின்படி (இது சாதாரண விநியோகத்தைப் பயன்படுத்துகிறது), அத்தகைய நிகழ்வு கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது: அதன் நிகழ்தகவு 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000. இருப்பினும், இது நடந்தது - பங்குச் சந்தையில் விலை ஏற்ற இறக்கங்கள் சாதாரண விநியோகத்தைப் பின்பற்றாததால்.

ஹெவி-டெயில் விநியோகங்கள் அவற்றை விவரிக்க மிகவும் பொருத்தமானவை. நிலநடுக்கம், தீ மற்றும் வெள்ளம் ஆகியவற்றால் இது நிகழ்கிறது, இதனால் காப்பீட்டு நிறுவனங்களுக்கு ஆபத்தை நிர்வகிப்பது கடினம்.

அதே கணித மாதிரியானது போர்கள் மற்றும் பயங்கரவாத தாக்குதல்களால் இறந்தவர்களின் எண்ணிக்கையை விவரிக்கிறது, அதே போல் ஒரு நாவலில் உள்ள வார்த்தைகளின் எண்ணிக்கை அல்லது ஒரு நபரின் பாலியல் பங்காளிகளின் எண்ணிக்கை போன்ற மிகவும் அமைதியான விஷயங்களையும் விவரிக்கிறது.

பெயரடைகள் விவரிக்க பயன்படுத்தப்பட்டாலும் நீண்ட வால்கள், மிகவும் சாதகமற்ற வெளிச்சத்தில் அவற்றைக் காட்டுங்கள், "வால்" விநியோகங்கள் பெருமையுடன் தங்கள் வால்களைக் கொண்டு செல்கின்றன. கொழுப்பு, கனமான மற்றும் நீண்ட? ஆம் அதுதான். ஆனால் இந்த விஷயத்தில், எது சாதாரணமானது என்பதைக் காட்டுங்கள்?