Aralin at presentasyon sa paksa: "Pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon. Mga halimbawa ng paglutas ng problema"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 8
Manwal para sa aklat-aralin na Muravina G.K. Manwal para sa aklat-aralin na Makarychev Yu.N.

Ang konsepto ng rasyonal na pagpapahayag

Ang konsepto ng "rational expression" ay katulad ng konsepto ng "rational fraction". Ang expression ay kinakatawan din bilang isang fraction. Sa aming mga numerator lamang ay hindi mga numero, ngunit iba't ibang uri ng mga expression. Kadalasan ito ay isang polynomial. Ang algebraic fraction ay isang fractional expression na binubuo ng mga numero at variable.

Kapag nilulutas ang maraming problema sa elementarya, pagkatapos magsagawa ng mga operasyong aritmetika, nakatanggap kami ng mga partikular na halaga ng numero, kadalasang mga fraction. Ngayon, pagkatapos isagawa ang mga operasyon, makakatanggap kami ng mga algebraic fraction. Guys, tandaan: upang makuha ang tamang sagot, kailangan mong pasimplehin ang expression kung saan ka nagtatrabaho hangga't maaari. Dapat makuha ng isa ang pinakamaliit na antas na posible; dapat bawasan ang magkaparehong mga expression sa numerator at denominator; na may mga expression na maaaring i-collapse, dapat mong gawin ito. Iyon ay, pagkatapos magsagawa ng isang serye ng mga aksyon, dapat nating makuha ang pinakasimpleng posibleng algebraic fraction.

Pagkakasunud-sunod ng mga operasyon na may mga makatwirang expression

Ang pamamaraan para sa pagsasagawa ng mga operasyon na may mga makatwirang expression ay kapareho ng para sa mga pagpapatakbo ng aritmetika. Una, ang mga operasyon sa mga bracket ay isinasagawa, pagkatapos ay multiplikasyon at paghahati, exponentiation, at panghuli ang pagdaragdag at pagbabawas.

Upang patunayan ang isang pagkakakilanlan ay nangangahulugan na ipakita na para sa lahat ng mga halaga ng mga variable, ang kanan at kaliwang panig ay pantay. Mayroong maraming mga halimbawa na may patunay ng mga pagkakakilanlan.

Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga pagkakakilanlan ay:

• Ibahin ang anyo sa kaliwang bahagi sa pagkakapantay-pantay sa kanan.
• Ibahin ang kanang bahagi sa pagkakapantay-pantay sa kaliwa.
• Ibahin ang anyo ng kaliwa at kanang bahagi nang magkahiwalay hanggang sa makuha ang parehong expression.
• Ang kanang bahagi ay ibabawas mula sa kaliwang bahagi, at ang resulta ay dapat na zero.

Pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon. Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Halimbawa 1
Patunayan ang pagkakakilanlan:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Desisyon.
Malinaw, kailangan nating baguhin ang kaliwang bahagi.
Gawin muna natin ang mga panaklong:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

Kinakailangang subukang kunin ang mga karaniwang multiplier sa maximum.
2) Ibahin natin ang ekspresyong hinahati natin:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Isagawa ang operasyon ng paghahati:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Isagawa ang pagpapatakbo ng karagdagan:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1) )(a+1))(a+))=a-1$.

Nagtugma ang kanan at kaliwang bahagi. Kaya napatunayan ang pagkakakilanlan.
Guys, kapag nilulutas ang halimbawang ito, kailangan namin ng kaalaman sa maraming mga formula at operasyon. Nakita natin na pagkatapos ng pagbabago, ang malaking ekspresyon ay naging isang ganap na maliit. Kapag nilulutas ang halos lahat ng mga problema, ang mga pagbabago ay karaniwang humahantong sa mga simpleng expression.

Halimbawa 2
Pasimplehin ang expression:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Desisyon.
Magsimula tayo sa mga unang bracket.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Ibahin natin ang pangalawang bracket.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Gawin natin ang paghahati.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Sagot: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Halimbawa 3
Sundin ang mga hakbang:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Desisyon.
Gaya ng nakasanayan, magsimula sa mga panaklong.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2) )(k^2+2k+4))$.

2. Ngayon gawin natin ang paghahati.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Gamitin natin ang property: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Isagawa natin ang operasyon ng pagbabawas.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Tulad ng sinabi namin kanina, kinakailangan na gawing simple ang fraction hangga't maaari.
Sagot: $\frac(k)(k-4)$.

Mga gawain para sa malayang solusyon

1. Patunayan ang pagkakakilanlan:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Pasimplehin ang expression:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Sundin ang mga hakbang:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Torez educational complex

"Secondary school of I-II stages No. 1 - lyceum "Spektr"

Paksa. Mga pagbabago sa pagkakakilanlan ng mga makatwirang ekspresyon

Pagbuo ng aralin sa ika-8 baitang

Kirilyuk Natalia Anatolievna,

guro sa matematika ng pinakamataas na kategorya,

matandang guro

Thorez - 2014

Mga layunin:

Upang ipagpatuloy ang pagbuo ng mga kakayahan at kakayahan ng mga mag-aaral na baguhin ang mga makatwirang ekspresyon; pagsama-samahin ang kakayahang maglapat ng mga pinaikling pormula ng multiplikasyon, magdagdag, magbawas, magparami at hatiin ang mga makatwirang ekspresyon;

Isulong ang pag-unlad lohikal na pag-iisip;

Upang itaguyod ang pag-unlad sa mga bata ng kakayahang magtakda ng isang layunin at magplano ng kanilang mga aktibidad; magsagawa ng pagtatasa sa sarili at pagwawasto sa sarili mga aktibidad sa pagkatuto; kakayahang magtrabaho sa oras;

Mag-ambag sa edukasyon ng pagkaasikaso, aktibidad, kultura ng komunikasyon.

Uri ng aralin: aralin sa edukasyon at pag-unlad na may mga elemento ng aktibidad sa negosyo.

Kagamitan: mga card para sa larong "Field of Miracles", "shares of enterprises", isang talahanayan ng rating assessment ng mga mag-aaral sa aralin, materyal na may magkakaibang mga gawain para sa larong "Knowledge Exchange"

Mga anyo at pamamaraan ng trabaho

I Pagganyak ng aktibidad na pang-edukasyon. Pagtatakda ng sarili na mga layunin at layunin para sa aralin.

II Update pangunahing kaalaman:

1) Pangharap na survey;

2) Pagsasanay sa bibig;

3) Mga domino sa matematika.

1) Ang larong "Field of Miracles" (magtrabaho nang magkapares);

2) Lohikal na gawain.

V Isang kawili-wiling gawain.

VI Takdang aralin.

I Pagganyak ng proseso ng edukasyon. Mensahe ng paksa. Pagtatakda ng sarili na mga layunin at layunin para sa aralin.

Marami na ang alam sa mahabang panahon, ngunit napaka, napakaraming hindi. Tulad ng sa isang patak ng tubig makikita mo ang lahat ng hindi mabilang na kayamanan ng karagatan, kaya sa aklat-aralin sa paaralan libu-libong taon ng karanasan. Ang nakaraan ay naghihintay para sa iyo na maunawaan ang kaalaman na nakuha nang may matinding kahirapan, at ang hinaharap ay umaasa na ikaw ay magdadala ng bago at maipapasa ito sa iyong mga anak at apo.

"Ang teorya na walang kasanayan ay patay o walang bunga, at ang pagsasanay na walang teorya ay imposible o nakapipinsala."

Ang teorya ay nangangailangan ng kaalaman; ang pagsasanay ay nangangailangan ng mga kasanayan.

Alexey Nikolaevich Krylov

Ngayon sa aralin ay kukuha tayo ng mga kasanayan sa pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga makatwirang ekspresyon, paglalapat ng teorya: mga paraan upang i-factor ang polynomial.

Batay sa paksa at layunin para sa aralin, bumalangkas ang iyong mga gawain para sa aralin.

Inaasahang Resulta:

1. pagbutihin ang kakayahang magsagawa ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga rational fraction;

2. magsagawa ng magkatulad na pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon.

Guro: Sa harap ng bawat isa ay isang rating table. Sa talahanayang ito ay ilalagay mo ang mga puntos na nakuha sa aralin.

II Pag-update ng pangunahing kaalaman.

1. Pangharap na survey(Mutual check "Guro-estudyante", 1b.)

Anong ekspresyon ang tinatawag na rational?

Paano ka magdagdag ng dalawang rational fraction na may magkaibang denominator?

Anong mga paraan ng pag-factor ng polynomial ang alam mo?

Paano mahahanap ang produkto ng mga makatwirang ekspresyon?

Ano ang pamamaraan para sa pagsasagawa ng magkatulad na pagbabago?

2. Pagsasanay sa bibig(pagsusuri sa sarili, 1b.)

3. Math domino(mutual check, ayon sa 1b.)

I-factorize (piliin ang tamang sagot)

III Pag-activate ng aktibidad ng kaisipan:

1) Ang larong "Field of Miracles"(magtrabaho nang magkapares, 2 b bawat isa);

Ang pag-aaral ay dapat maging masaya upang sumipsip ng kaalaman,

kailangan mong tunawin ang mga ito sa sarap.

Anatole France

1)
15)

2)
16)

3)
17)

4)
18)

5)
19)

6)
20)

7)
21)

8)
22)

9)
23)

10)
24)

11)
25)

12)
26)

13)
27)

14)
28)

PERO

AT

D

E

At

L

M

H

X-Y

b-4

a+b

5xy

Sa

T

Sa

H

W

S

ako

9ab

X-6

5

Guro: Bilang resulta, mayroon tayong ekspresyon: "Ang pag-iisip ay nagsisimula sa sorpresa." Ganito ang sinabi 2500 taon na ang nakalipas Aristotle.

Naniniwala ang ating kababayan na si V. Sukhomlinsky na "ang pakiramdam ng sorpresa ay isang malakas na mapagkukunan ng pagnanais na malaman. Mula sa sorpresa hanggang sa kaalaman ay isang hakbang, at ang matematika ay isang magandang mapagkukunan para sa sorpresa.

2) Logic na gawain(2b.)

Guro: Susubukan kong sorpresahin ka ngayon sa pamamagitan ng pagpapatunay na ang 2 numero ay pantay sa isa't isa gamit ang mga algebraic na batas at gumaganap ng magkatulad na pagbabago.

5=6

Patunay

35+10-45=42+12-54

5(7+2-9)=6(7+2-9)

5=6

Tama ba ako? Anong batas ang nilabag? Hanapin ang error.

IV Larong pang-ekonomiya na "Palitan ng Kaalaman" (magtrabaho sa mga pangkat).

Ngayon ay makikibahagi kami sa gawain ng "stock exchange".

Sangguniang impormasyon "pagpapalitan ng kaalaman".

Palitan – komersyal na negosyo para sa paggawa ng mga serbisyong tagapamagitan, kung saan ginagawa ang mga transaksyon sa pagbili at pagbebenta.

Stock Exchange- isang palitan kung saan ang mga pangunahing uri ng mga mahalagang papel, mga pagbabahagi ay kinakalakal.

mangangalakal- isang miyembro ng exchange na nagsasagawa ng mga operasyon sa kanyang sariling gastos.

Broker- isang miyembro ng exchange na tumatanggap ng bayad para sa pagpapatupad ng mga order ng customer.

Clerk- isang miyembro ng palitan na nagmamay-ari ng impormasyon sa pangangalakal, i.e. nagbebenta ng shares.

Komite sa Arbitrasyon- isang katawan na kumokontrol sa mga hindi pagkakaunawaan sa isang transaksyon, at mga relasyon sa pagitan ng mga kalahok sa exchange trading.

Mga pamumuhunan- pamumuhunan.

Stock- view seguridad, ibig sabihin. papel na duplicate ng kapital.

Isipin na ikaw ay mga miyembro ng "stock exchange" - "mga mangangalakal", na ang gawain ay upang mapanatili ang paunang kapital, dagdagan ito sa pamamagitan ng paggawa tamang pagpili sa pamumuhunan.

Kapag nakumpleto nang tama ang gawain, makakatanggap ka ng "kita" at bumili ng mga pagbabahagi sa kaukulang negosyo.

Kapag nagsasagawa ng mga gawain, maaari mong gamitin ang mga serbisyo ng isang tagapamagitan na consultant.

Mayroon kaming 5 grupo ng broker. Ang bawat kumpanya ay bumibili ng isang gawain, na natukoy ang pinaka-pinakinabangang "puhunan". (Appendix 1)

“Siesta”

2 talento

"Zinger"

3 talento

"Tsokolate ng Ukraine"

4 na talento

№32(1)

Pahina 13

№32(3)

Pahina 13

№32(4)

Pahina 13

№39(1)

Pahina 14

№39(2)

Pahina 14

№39(3)

Pahina 14

Summing up, highlight ang pinakamahusay brokerage firm. Bilang gantimpala, ang isang lisensya ay inisyu na nagbibigay-daan sa iyong magbigay ng mga serbisyo ng brokerage sa mga kliyente.

(appendix 2)

V Isang kawili-wiling gawain.

VI Takdang aralin. (ulitin ang §8. gawin ang pagsusulit)

VII Buod ng aralin(pagtatasa ng rating ng mga mag-aaral)

grado

Bilang ng mga puntos

9-10

11-12

13-14

15-16

17-18

19-20

21-22

23-24

Higit sa 25

Binubuo ng guro ang aralin, binabasa ang mga resulta ng pagtatasa ng rating

"Open Mic"

1. Ano ang kawili-wili sa aralin?

2. Ano ang mahirap?

Appendix 1. Mga pagbabahagi ng kumpanya

Appendix 2 Lisensya

Sasaklawin ng araling ito ang pangunahing impormasyon tungkol sa mga makatwirang ekspresyon at ang kanilang mga pagbabago, gayundin ang mga halimbawa ng pagbabago ng mga makatuwirang ekspresyon. Ang paksang ito na parang nagbubuod sa mga paksang pinag-aralan natin hanggang ngayon. Kabilang sa mga pagbabagong-anyo ng mga makatwirang ekspresyon ang pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, paghahati, pagpapataas sa kapangyarihan ng mga algebraic fraction, pagbabawas, factorization, atbp. Bilang bahagi ng aralin, titingnan natin kung ano ang isang rational expression, at susuriin din ang mga halimbawa para sa kanilang pagbabago .

Paksa:Algebraic fractions. Mga operasyong aritmetika sa mga algebraic fraction

Aralin:Pangunahing impormasyon tungkol sa mga makatwirang ekspresyon at kanilang mga pagbabago

Kahulugan

makatwirang pagpapahayag ay isang expression na binubuo ng mga numero, variable, arithmetic operations at exponentiation.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng isang nakapangangatwiran na pagpapahayag:

Mga espesyal na kaso ng mga makatwirang ekspresyon:

1st degree: ;

2. monomial: ;

3. fraction: .

Rational Expression Transformation ay isang pagpapasimple ng isang makatwirang pagpapahayag. Ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon kapag nagko-convert ng mga makatwirang expression: una, may mga aksyon sa mga bracket, pagkatapos ay pagpaparami (dibisyon), at pagkatapos ay mga pagpapatakbo ng karagdagan (pagbabawas).

Isaalang-alang natin ang ilang halimbawa sa pagbabago ng mga makatwirang ekspresyon.

Halimbawa 1

Desisyon:

Lutasin natin ang halimbawang ito nang hakbang-hakbang. Ang aksyon sa panaklong ay unang ginanap.

Sagot:

Halimbawa 2

Desisyon:

Sagot:

Halimbawa 3

Desisyon:

Sagot: .

Tandaan: marahil, nang makita ang halimbawang ito, may naisip kang ideya: bawasan ang fraction bago bawasan sa isang common denominator. Sa katunayan, ito ay ganap na tama: una, ito ay kanais-nais na pasimplehin ang expression hangga't maaari, at pagkatapos ay baguhin ito. Subukan nating lutasin ang parehong halimbawa sa pangalawang paraan.

Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay naging ganap na magkatulad, ngunit ang solusyon ay naging medyo mas simple.

Sa araling ito, tiningnan natin mga makatwirang ekspresyon at ang kanilang mga pagbabago, pati na rin ang ilan kongkretong mga halimbawa data ng pagbabago.

Bibliograpiya

1. Bashmakov M.I. Algebra ika-8 baitang. - M.: Enlightenment, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 8. - 5th ed. - M.: Edukasyon, 2010.

Unang antas

Pagbabagong ekspresyon. Detalyadong teorya (2019)

Pagbabagong ekspresyon

Kadalasan naririnig natin ang hindi kasiya-siyang pariralang ito: "pasimplehin ang expression." Karaniwan, sa kasong ito, mayroon kaming ilang uri ng halimaw na tulad nito:

"Oo, mas madali," sabi namin, ngunit ang gayong sagot ay karaniwang hindi gumagana.

Ngayon ituturo ko sa iyo na huwag matakot sa anumang ganoong mga gawain. Bukod dito, sa pagtatapos ng aralin, ikaw mismo ang magpapasimple sa halimbawang ito sa (lamang!) Isang ordinaryong numero (oo, sa impiyerno sa mga titik na iyon).

Ngunit bago mo simulan ang araling ito, kailangan mong mahawakan ang mga fraction at factor polynomial. Samakatuwid, una, kung hindi mo pa ito nagawa noon, siguraduhing makabisado ang mga paksang "" at "".

Basahin? Kung oo, handa ka na.

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon

Ngayon ay susuriin natin ang mga pangunahing pamamaraan na ginagamit upang gawing simple ang mga expression.

Ang pinakasimple sa kanila ay

1. Nagdadala ng katulad

Ano ang mga katulad? Napagdaanan mo ito noong ika-7 baitang, noong unang lumitaw ang mga titik sa matematika sa halip na mga numero. Magkatulad ang mga termino (monomial) na may parehong bahagi ng titik. Halimbawa, sa kabuuan, tulad ng mga termino ay at.

Naalala?

Upang magdala ng mga katulad na termino ay nangangahulugang magdagdag ng ilang magkakatulad na termino sa isa't isa at makakuha ng isang termino.

Ngunit paano natin pagsasamahin ang mga titik? - tanong mo.

Ito ay napakadaling maunawaan kung akala mo na ang mga titik ay ilang uri ng mga bagay. Halimbawa, ang liham ay isang upuan. Saka ano ang expression? Dalawang upuan at tatlong upuan, magkano ito? Tama, upuan: .

Ngayon subukan ang expression na ito:

Upang hindi malito, hayaan iba't ibang letra kumakatawan sa iba't ibang bagay. Halimbawa, - ito ay (gaya ng dati) isang upuan, at - ito ay isang mesa. Pagkatapos:

upuan tables chair tables chairs chairs tables

Ang mga numero kung saan ang mga titik sa mga naturang termino ay pinarami ay tinatawag coefficients. Halimbawa, sa monomial ang coefficient ay pantay. At siya ay pantay.

Kaya, ang panuntunan para sa pagdadala ng katulad:

Mga halimbawa:

Magdala ng katulad:

Mga sagot:

2. (at magkatulad, dahil, samakatuwid, ang mga terminong ito ay may parehong bahagi ng titik).

2. Factorization

Kadalasan ito ang pinakamahalagang bahagi sa pagpapasimple ng mga expression. Pagkatapos mong magbigay ng mga katulad, kadalasan ang nagreresultang expression ay dapat na salik, iyon ay, ipinakita bilang isang produkto. Ito ay lalong mahalaga sa mga fraction: pagkatapos ng lahat, upang mabawasan ang isang fraction, ang numerator at denominator ay dapat na kinakatawan bilang isang produkto.

Dumaan ka sa mga detalyadong paraan ng pag-factor ng mga expression sa paksang "", kaya dito mo na lang tandaan kung ano ang iyong natutunan. Upang gawin ito, lutasin ang ilan mga halimbawa(isasaalang-alang):

Mga solusyon:

3. Pagbabawas ng fraction.

Buweno, ano ang maaaring mas maganda kaysa sa ekis ang bahagi ng numerator at denominator, at itapon ang mga ito sa iyong buhay?

Yan ang kagandahan ng abbreviation.

Ito ay simple:

Kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga kadahilanan, maaari silang bawasan, iyon ay, alisin mula sa fraction.

Ang panuntunang ito ay sumusunod mula sa pangunahing katangian ng isang fraction:

Iyon ay, ang kakanyahan ng operasyon ng pagbabawas ay iyon Hinahati namin ang numerator at denominator ng isang fraction sa parehong numero (o sa parehong expression).

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mo:

1) numerator at denominator i-factorize

2) kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng karaniwang mga kadahilanan, maaari silang tanggalin.

Ang prinsipyo, sa palagay ko, ay malinaw?

Gusto kong makatawag pansin sa isa tipikal na pagkakamali kapag binabawasan. Kahit na ang paksang ito ay simple, ngunit maraming mga tao ang gumagawa ng lahat ng mali, hindi napagtatanto iyon putulin- ibig sabihin hatiin numerator at denominator sa parehong numero.

Walang pagdadaglat kung ang numerator o denominator ay ang kabuuan.

Halimbawa: kailangan mong gawing simple.

Ginagawa ito ng ilan: na talagang mali.

Isa pang halimbawa: bawasan.

"The smartest" will do this:.

Sabihin mo sa akin kung ano ang mali dito? Mukhang: - ito ay isang multiplier, kaya maaari mong bawasan.

Ngunit hindi: - ito ay isang salik ng isang termino lamang sa numerator, ngunit ang numerator mismo sa kabuuan ay hindi nabubulok sa mga salik.

Narito ang isa pang halimbawa: .

Ang expression na ito ay nabubulok sa mga kadahilanan, na nangangahulugan na maaari mong bawasan, iyon ay, hatiin ang numerator at denominator sa pamamagitan ng, at pagkatapos ay sa pamamagitan ng:

Maaari mong agad na hatiin sa pamamagitan ng:

Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, tandaan madaling paraan kung paano matukoy kung ang isang expression ay naka-factor:

Ang aritmetika na operasyon na huling ginawa kapag kinakalkula ang halaga ng expression ay ang "pangunahing". Iyon ay, kung papalitan mo ang ilang (anumang) numero sa halip na mga titik, at subukang kalkulahin ang halaga ng expression, kung gayon kung ang huling aksyon ay multiplikasyon, pagkatapos ay mayroon kaming isang produkto (ang expression ay nabulok sa mga kadahilanan). Kung ang huling aksyon ay karagdagan o pagbabawas, nangangahulugan ito na ang expression ay hindi factorized (at samakatuwid ay hindi maaaring bawasan).

Upang ayusin ito, lutasin ito sa iyong sarili ng ilang mga halimbawa:

Mga sagot:

1. Sana hindi ka agad sumugod sa pagputol at? Hindi pa rin sapat na "bawasan" ang mga yunit tulad nito:

Ang unang hakbang ay dapat na i-factorize:

4. Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction. Ang pagdadala ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ordinaryong fraction ay isang kilalang operasyon: naghahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator. Tandaan natin:

Mga sagot:

1. Ang mga denominator at ay coprime, ibig sabihin, wala silang mga karaniwang kadahilanan. Samakatuwid, ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng kanilang produkto. Ito ang magiging common denominator:

2. Narito ang karaniwang denominator ay:

3. Unang bagay dito pinaghalong fraction gawin silang mali, at pagkatapos - ayon sa karaniwang pamamaraan:

Ito ay medyo ibang bagay kung ang mga fraction ay naglalaman ng mga titik, halimbawa:

Magsimula tayo sa simple:

a) Ang mga denominator ay hindi naglalaman ng mga titik

Narito ang lahat ay pareho sa mga ordinaryong numerical fraction: nakakahanap kami ng isang karaniwang denominator, i-multiply ang bawat fraction sa nawawalang kadahilanan at idagdag / ibawas ang mga numerator:

ngayon sa numerator maaari kang magdala ng mga katulad, kung mayroon man, at i-factor ang mga ito:

Subukan ito sa iyong sarili:

b) Ang mga denominator ay naglalaman ng mga titik

Tandaan natin ang prinsipyo ng paghahanap ng common denominator na walang mga titik:

Una sa lahat, tinutukoy namin ang mga karaniwang kadahilanan;

Pagkatapos ay isinusulat namin ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Upang matukoy ang mga karaniwang salik ng mga denominador, una naming i-decompose ang mga ito sa mga simpleng salik:

Binibigyang-diin namin ang mga karaniwang salik:

Ngayon ay isinusulat namin ang mga karaniwang salik nang isang beses at idinaragdag sa kanila ang lahat ng hindi pangkaraniwan (hindi nakasalungguhit) na mga salik:

Ito ang karaniwang denominador.

Bumalik tayo sa mga titik. Ang mga denominador ay ibinibigay sa eksaktong parehong paraan:

Binubulok namin ang mga denominator sa mga salik;

tukuyin ang mga karaniwang (magkaparehong) multiplier;

isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses;

Pinaparami namin ang mga ito sa lahat ng iba pang salik, hindi sa karaniwan.

Kaya, sa pagkakasunud-sunod:

1) i-decompose ang mga denominator sa mga salik:

2) tukuyin ang mga karaniwang (magkapareho) na mga kadahilanan:

3) isulat ang lahat ng karaniwang mga kadahilanan nang isang beses at i-multiply ang mga ito sa lahat ng iba pang (hindi nakasalungguhit) na mga kadahilanan:

Kaya ang karaniwang denominador ay narito. Ang unang bahagi ay dapat na i-multiply sa, ang pangalawa - sa:

Sa pamamagitan ng paraan, mayroong isang trick:

Halimbawa: .

Nakikita natin ang parehong mga kadahilanan sa mga denominator, lahat lamang ay may magkakaibang mga tagapagpahiwatig. Ang karaniwang denominator ay:

hanggang sa

hanggang sa

hanggang sa

sa degree.

Gawin nating kumplikado ang gawain:

Paano gumawa ng mga fraction na may parehong denominator?

Tandaan natin ang pangunahing katangian ng isang fraction:

Wala kahit saan na sinasabi na ang parehong numero ay maaaring ibawas (o idagdag) mula sa numerator at denominator ng isang fraction. Dahil hindi ito totoo!

Tingnan para sa iyong sarili: kumuha ng anumang fraction, halimbawa, at magdagdag ng ilang numero sa numerator at denominator, halimbawa, . Ano ang natutunan?

Kaya, isa pang hindi matitinag na tuntunin:

Kapag nagdala ka ng mga fraction sa isang common denominator, gamitin lamang ang multiplication operation!

Ngunit ano ang kailangan mong i-multiply para makakuha?

Dito at paramihin. At i-multiply sa:

Ang mga expression na hindi maaaring i-factor ay tatawaging "elementarya na mga kadahilanan". Halimbawa, ay isang elementary factor. - masyadong. Ngunit - hindi: ito ay nabubulok sa mga kadahilanan.

Paano naman ang expression? Elementary ba?

Hindi, dahil maaari itong i-factor:

(nabasa mo na ang tungkol sa factorization sa paksang "").

Kaya, ang elementarya na mga kadahilanan kung saan mo nabubulok ang isang expression na may mga titik ay isang analogue ng mga simpleng kadahilanan kung saan mo nabubulok ang mga numero. At ganoon din ang gagawin natin sa kanila.

Nakikita natin na ang parehong denominator ay may salik. Mapupunta ito sa common denominator sa kapangyarihan (tandaan kung bakit?).

Ang multiplier ay elementarya, at hindi nila ito pagkakatulad, na nangangahulugan na ang unang bahagi ay kailangan lang na i-multiply dito:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Bago i-multiply ang mga denominator na ito sa isang gulat, kailangan mong isipin kung paano i-factor ang mga ito? Pareho silang kumakatawan:

ayos! Pagkatapos:

Isa pang halimbawa:

Desisyon:

Gaya ng dati, pinapa-factor namin ang mga denominator. Sa unang denominator, inilalagay lang natin ito sa mga bracket; sa pangalawa - ang pagkakaiba ng mga parisukat:

Mukhang walang mga karaniwang kadahilanan. Ngunit kung titingnang mabuti, sila ay magkatulad na ... At ang totoo ay:

Kaya't magsulat tayo:

Iyon ay, naging ganito: sa loob ng bracket, ipinagpalit namin ang mga termino, at sa parehong oras, ang tanda sa harap ng fraction ay nagbago sa kabaligtaran. Tandaan, kailangan mong gawin ito nang madalas.

Ngayon dinadala namin sa isang karaniwang denominator:

Nakuha ko? Ngayon suriin natin.

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Mga sagot:

Narito dapat nating tandaan ang isa pang bagay - ang pagkakaiba ng mga cube:

Pakitandaan na ang denominator ng pangalawang fraction ay hindi naglalaman ng formula na "square of the sum"! Ang parisukat ng kabuuan ay magiging ganito:

Ang A ay ang tinatawag na hindi kumpletong parisukat ng kabuuan: ang pangalawang termino dito ay ang produkto ng una at huli, at hindi ang kanilang dobleng produkto. Ang hindi kumpletong parisukat ng kabuuan ay isa sa mga salik sa pagpapalawak ng pagkakaiba ng mga cube:

Paano kung mayroon nang tatlong fraction?

Oo, pareho! Una sa lahat, gawin natin ito maximum na halaga Ang mga kadahilanan sa mga denominador ay pareho:

Bigyang-pansin: kung babaguhin mo ang mga palatandaan sa loob ng isang bracket, ang sign sa harap ng fraction ay magbabago sa kabaligtaran. Kapag binago natin ang mga senyales sa pangalawang bracket, ang tanda sa harap ng fraction ay mababaligtad muli. Bilang resulta, siya (ang tanda sa harap ng fraction) ay hindi nagbago.

Isinulat namin nang buo ang unang denominator sa karaniwang denamineytor, at pagkatapos ay idinagdag namin dito ang lahat ng mga kadahilanan na hindi pa naisulat, mula sa pangalawa, at pagkatapos ay mula sa pangatlo (at iba pa, kung mayroong higit pang mga praksyon). Ibig sabihin, ito ay ganito:

Hmm ... Sa mga fraction, malinaw kung ano ang gagawin. Ngunit paano ang dalawa?

Ito ay simple: alam mo kung paano magdagdag ng mga fraction, tama? Kaya, kailangan mong tiyakin na ang deuce ay magiging isang fraction! Tandaan: ang fraction ay isang division operation (ang numerator ay hinati sa denominator, kung sakaling bigla mong nakalimutan). At walang mas madali kaysa sa paghahati ng isang numero sa pamamagitan ng. Sa kasong ito, ang numero mismo ay hindi magbabago, ngunit magiging isang fraction:

Eksakto kung ano ang kailangan!

5. Pagpaparami at paghahati ng mga fraction.

Well, ang pinakamahirap na bahagi ay tapos na. At nasa unahan natin ang pinakasimpleng, ngunit sa parehong oras ang pinakamahalaga:

Pamamaraan

Ano ang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang numeric na expression? Tandaan, isinasaalang-alang ang halaga ng naturang expression:

Nagbilang ka ba?

Dapat itong gumana.

Kaya, pinaalalahanan kita.

Ang unang hakbang ay upang kalkulahin ang antas.

Ang pangalawa ay multiplication at division. Kung mayroong maraming multiplikasyon at dibisyon sa parehong oras, maaari mong gawin ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod.

At sa wakas, nagsasagawa kami ng karagdagan at pagbabawas. Muli, sa anumang pagkakasunud-sunod.

Ngunit: ang nakakulong na expression ay sinusuri nang wala sa ayos!

Kung maraming bracket ang pinarami o hinati sa bawat isa, sinusuri muna namin ang expression sa bawat isa sa mga bracket, at pagkatapos ay i-multiply o hatiin ang mga ito.

Paano kung may iba pang panaklong sa loob ng mga bracket? Buweno, isipin natin: ang ilang ekspresyon ay nakasulat sa loob ng mga bracket. Ano ang unang dapat gawin kapag sinusuri ang isang expression? Tama, kalkulahin ang mga bracket. Buweno, naisip namin ito: una naming kalkulahin ang mga panloob na bracket, pagkatapos ang lahat ng iba pa.

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon para sa expression sa itaas ay ang mga sumusunod (ang kasalukuyang aksyon ay naka-highlight sa pula, iyon ay, ang aksyon na ginagawa ko ngayon):

Okay, simple lang lahat.

Ngunit hindi iyon katulad ng isang ekspresyon na may mga titik, hindi ba?

Hindi, pareho lang! Sa halip na mga pagpapatakbo ng aritmetika ay kinakailangan na gawin ang mga pagpapatakbo ng algebraic, iyon ay, ang mga pagpapatakbo na inilarawan sa nakaraang seksyon: nagdadala ng katulad, pagdaragdag ng mga fraction, pagbabawas ng mga fraction, at iba pa. Ang tanging pagkakaiba ay ang pagkilos ng factoring polynomials (madalas nating ginagamit ito kapag nagtatrabaho sa mga fraction). Kadalasan, para sa factorization, kailangan mong gamitin ang i o alisin lang ang common factor sa mga bracket.

Karaniwan ang aming layunin ay upang kumatawan sa isang expression bilang isang produkto o quotient.

Halimbawa:

Pasimplehin natin ang expression.

1) Una, pinasimple namin ang expression sa mga bracket. Doon mayroon tayong pagkakaiba ng mga fraction, at ang layunin natin ay i-represent ito bilang isang produkto o quotient. Kaya, dinadala namin ang mga fraction sa isang karaniwang denominator at idagdag:

Imposibleng pasimplehin ang expression na ito, lahat ng mga kadahilanan dito ay elementarya (naaalala mo pa ba kung ano ang ibig sabihin nito?).

2) Nakukuha namin ang:

Multiplikasyon ng mga fraction: ano ang maaaring maging mas madali.

3) Ngayon ay maaari mong paikliin:

Ayan yun. Walang kumplikado, tama?

Isa pang halimbawa:

Pasimplehin ang expression.

Una, subukang lutasin ito sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon.

Una sa lahat, tukuyin natin ang pamamaraan. Una, idagdag natin ang mga fraction sa mga bracket, sa halip na dalawang fraction, isa ang lalabas. Pagkatapos ay gagawin natin ang paghahati ng mga fraction. Well, idinagdag namin ang resulta sa huling fraction. Bibilangin ko nang eskematiko ang mga hakbang:

Ngayon ay ipapakita ko ang buong proseso, tinting ang kasalukuyang aksyon na may pula:

Sa wakas, bibigyan kita ng dalawang kapaki-pakinabang na tip:

1. Kung may mga katulad, dapat dalhin agad. Sa anumang sandali na mayroon tayong mga katulad, ipinapayong dalhin ang mga ito kaagad.

2. Ganoon din sa pagbabawas ng mga fraction: sa sandaling magkaroon ng pagkakataon na bawasan, dapat itong gamitin. Ang pagbubukod ay mga fraction na iyong idinaragdag o ibinabawas: kung mayroon na silang parehong mga denominator, kung gayon ang pagbawas ay dapat na iwan para sa ibang pagkakataon.

Narito ang ilang mga gawain na dapat mong lutasin nang mag-isa:

At nangako sa simula pa lang:

Mga Solusyon (maikli):

Kung nakayanan mo ang hindi bababa sa unang tatlong halimbawa, kung gayon ikaw, isaalang-alang, ay pinagkadalubhasaan ang paksa.

Ngayon sa pag-aaral!

CONVERSION NG PAGPAPAHAYAG. BUOD AT BATAYANG FORMULA

Pangunahing pagpapasimpleng operasyon:

• Nagdadala ng katulad: upang magdagdag (bawasan) tulad ng mga termino, kailangan mong idagdag ang kanilang mga coefficient at italaga ang bahagi ng titik.
• Factorization: inaalis ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket, pag-aaplay, atbp.
• Pagbabawas ng fraction: ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong di-zero na numero, kung saan ang halaga ng fraction ay hindi nagbabago.
  1) numerator at denominator i-factorize
  2) kung may mga karaniwang salik sa numerator at denominator, maaari silang i-cross out.

  MAHALAGA: ang mga multiplier lamang ang maaaring bawasan!

• Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction:
  ;
• Pagpaparami at paghahati ng mga fraction:
  ;

Mula sa kursong algebra kurikulum ng paaralan Bumaba tayo sa mga detalye. Sa artikulong ito, pag-aaralan natin nang detalyado ang isang espesyal na uri ng mga makatwirang ekspresyon − rational fractions, at suriin din kung anong katangian ang magkapareho pagbabago ng mga rational fraction mangyari.

Napansin namin kaagad na ang mga rational fraction sa kahulugan kung saan namin tinukoy ang mga ito sa ibaba ay tinatawag na algebraic fraction sa ilang algebra textbook. Ibig sabihin, sa artikulong ito mauunawaan natin ang parehong bagay sa ilalim ng rational at algebraic fractions.

Gaya ng dati, nagsisimula tayo sa isang kahulugan at mga halimbawa. Susunod, pag-usapan natin ang pagdadala ng rational fraction sa isang bagong denominator at tungkol sa pagbabago ng mga palatandaan ng mga miyembro ng fraction. Pagkatapos nito, susuriin natin kung paano ginagawa ang pagbabawas ng mga fraction. Sa wakas, pag-isipan natin ang representasyon ng rational fraction bilang kabuuan ng ilang fraction. Ibibigay namin ang lahat ng impormasyon na may mga halimbawa na may detalyadong paglalarawan mga solusyon.

Pag-navigate sa pahina.

Kahulugan at mga halimbawa ng mga rational fraction

Ang mga rational fraction ay pinag-aaralan sa mga aralin sa algebra sa ika-8 baitang. Gagamitin namin ang kahulugan ng rational fraction, na ibinigay sa algebra textbook para sa grade 8 ni Yu. N. Makarychev at iba pa.

AT depinisyon na ito hindi tinukoy kung ang mga polynomial sa numerator at denominator ng isang rational fraction ay dapat na standard form polynomials o hindi. Samakatuwid, ipagpalagay natin na ang mga rational fraction ay maaaring maglaman ng parehong standard at non-standard polynomial.

Narito ang ilan mga halimbawa ng rational fraction. Kaya , x/8 at - rational fractions. At mga fraction at hindi magkasya sa tunog na kahulugan ng isang rational fraction, dahil sa una sa mga ito ang numerator ay hindi isang polynomial, at sa pangalawa ang numerator at ang denominator ay naglalaman ng mga expression na hindi polynomial.

Pag-convert ng numerator at denominator ng isang rational fraction

Ang numerator at denominator ng anumang fraction ay self-sufficient mathematical expressions, sa kaso ng rational fractions sila ay polynomials, sa isang partikular na kaso sila ay monomials at numero. Samakatuwid, sa numerator at denominator ng isang rational fraction, tulad ng anumang expression, ang magkaparehong pagbabago ay maaaring isagawa. Sa madaling salita, ang expression sa numerator ng isang rational fraction ay maaaring mapalitan ng isang expression na kapareho nito, tulad ng denominator.

Sa numerator at denominator ng isang rational fraction, maaaring maisagawa ang magkaparehong pagbabago. Halimbawa, sa numerator, maaari mong pangkatin at bawasan ang mga katulad na termino, at sa denominator, ang produkto ng ilang numero ay maaaring mapalitan ng halaga nito. At dahil ang numerator at denominator ng isang rational fraction ay polynomials, posible na magsagawa ng mga pagbabagong katangian ng polynomials sa kanila, halimbawa, pagbawas sa isang karaniwang anyo o representasyon bilang isang produkto.

Para sa kalinawan, isaalang-alang ang mga solusyon ng ilang mga halimbawa.

Halimbawa.

I-convert ang Rational Fraction upang ang numerator ay isang polynomial ng karaniwang anyo, at ang denominator ay ang produkto ng polynomials.

Desisyon.

Ang pagbabawas ng mga rational fraction sa isang bagong denominator ay pangunahing ginagamit kapag nagdaragdag at nagbabawas ng mga rational fraction.

Pagbabago ng mga palatandaan sa harap ng isang fraction, gayundin sa numerator at denominator nito

Ang pangunahing katangian ng isang fraction ay maaaring gamitin upang baguhin ang mga palatandaan ng mga tuntunin ng fraction. Sa katunayan, ang pagpaparami ng numerator at denominator ng isang rational fraction sa -1 ay katumbas ng pagbabago ng kanilang mga palatandaan, at ang resulta ay isang fraction na magkaparehong katumbas ng ibinigay. Ang ganitong pagbabago ay kailangang gamitin nang madalas kapag nagtatrabaho sa mga rational fraction.

Kaya, kung sabay mong babaguhin ang mga senyales ng numerator at denominator ng isang fraction, makakakuha ka ng fraction na katumbas ng orihinal. Ang pahayag na ito ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ang rational fraction ay maaaring palitan ng isang magkatulad na pantay na fraction na may mga reverse sign ng numerator at denominator ng form.

Sa mga praksyon, ang isa pang magkatulad na pagbabagong-anyo ay maaaring isagawa, kung saan ang tanda ay binago alinman sa numerator o sa denominator. Pag-usapan natin ang naaangkop na tuntunin. Kung papalitan mo ang sign ng isang fraction kasama ang sign ng numerator o denominator, makakakuha ka ng fraction na kapareho ng orihinal. Ang nakasulat na pahayag ay tumutugma sa mga pagkakapantay-pantay at .

Hindi mahirap patunayan ang mga pagkakapantay-pantay na ito. Ang patunay ay batay sa mga katangian ng pagpaparami ng mga numero. Patunayan natin ang una sa kanila: . Sa tulong ng mga katulad na pagbabago, napatunayan din ang pagkakapantay-pantay.

Halimbawa, ang isang fraction ay maaaring palitan ng isang expression o .

Upang tapusin ang subsection na ito, nagpapakita kami ng dalawa pang kapaki-pakinabang na pagkakapantay-pantay at . Iyon ay, kung babaguhin mo ang tanda ng numerator lamang o ang denominator lamang, ang fraction ay magbabago ng tanda nito. Halimbawa, at .

Ang mga itinuturing na pagbabago, na nagpapahintulot sa pagbabago ng tanda ng mga termino ng isang fraction, ay kadalasang ginagamit kapag binabago ang mga fractionally rational na expression.

Pagbawas ng mga rational fraction

Ang sumusunod na pagbabagong-anyo ng mga rational fraction, na tinatawag na pagbabawas ng mga rational fraction, ay batay sa parehong pangunahing katangian ng isang fraction. Ang pagbabagong ito ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay , kung saan ang a , b at c ay ilang polynomial, at ang b at c ay hindi zero.

Mula sa pagkakapantay-pantay sa itaas, nagiging malinaw na ang pagbawas ng isang rational fraction ay nagpapahiwatig ng pag-alis ng karaniwang salik sa numerator at denominator nito.

Halimbawa.

Bawasan ang rational fraction.

Desisyon.

Ang karaniwang kadahilanan 2 ay makikita kaagad, bawasan natin ito (kapag nagsusulat, ito ay maginhawa upang i-cross out ang mga karaniwang kadahilanan kung saan ang pagbabawas ay ginawa). Meron kami . Dahil x 2 \u003d x x at y 7 \u003d y 3 y 4 (tingnan kung kinakailangan), malinaw na ang x ay isang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ng nagresultang fraction, tulad ng y 3 . Bawasan natin sa pamamagitan ng mga salik na ito: . Kinukumpleto nito ang pagbabawas.

Sa itaas, isinagawa namin ang pagbabawas ng isang rational fraction nang sunud-sunod. At posibleng gawin ang pagbabawas sa isang hakbang, na agad na bawasan ang fraction ng 2·x·y 3 . Sa kasong ito, ang solusyon ay magiging ganito: .

Sagot:

.

Kapag binabawasan ang mga rational fraction, ang pangunahing problema ay ang karaniwang kadahilanan ng numerator at denominator ay hindi palaging nakikita. Bukod dito, hindi ito palaging umiiral. Upang makahanap ng isang karaniwang kadahilanan o matiyak na hindi ito umiiral, kailangan mong i-factor ang numerator at denominator ng isang rational fraction. Kung walang karaniwang kadahilanan, kung gayon ang orihinal na rational fraction ay hindi kailangang bawasan, kung hindi, ang pagbawas ay isinasagawa.

Sa proseso ng pagbabawas ng mga rational fraction, maaaring lumitaw ang iba't ibang mga nuances. Ang mga pangunahing subtleties na may mga halimbawa at mga detalye ay tinalakay sa artikulong pagbabawas ng mga algebraic fraction.

Sa pagtatapos ng pag-uusap tungkol sa pagbawas ng mga rational fraction, napansin namin na ang pagbabagong ito ay magkapareho, at ang pangunahing kahirapan sa pagpapatupad nito ay nakasalalay sa factorization ng polynomials sa numerator at denominator.

Representasyon ng isang rational fraction bilang kabuuan ng mga fraction

Medyo tiyak, ngunit sa ilang mga kaso lubhang kapaki-pakinabang, ay ang pagbabago ng isang rational fraction, na binubuo sa representasyon nito bilang ang kabuuan ng ilang mga fraction, o ang kabuuan ng isang integer expression at isang fraction.

Ang rational fraction, sa numerator kung saan mayroong polynomial, na siyang kabuuan ng ilang monomial, ay maaaring palaging isulat bilang kabuuan ng mga fraction na may parehong denominator, sa mga numerator kung saan ay ang kaukulang monomials. Halimbawa, . Ang representasyong ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng tuntunin ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga algebraic fraction na may parehong denominator.

Sa pangkalahatan, ang anumang rational fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga fraction sa maraming iba't ibang paraan. Halimbawa, ang fraction a/b ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang fraction - isang arbitrary fraction c/d at fraction na katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga fraction na a/b at c/d. Ang pahayag na ito ay totoo, dahil ang pagkakapantay-pantay . Halimbawa, ang rational fraction ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng mga fraction iba't ibang paraan: Kinakatawan namin ang orihinal na fraction bilang kabuuan ng isang integer na expression at isang fraction. Pagkatapos hatiin ang numerator sa denominator sa pamamagitan ng isang hanay, makukuha natin ang pagkakapantay-pantay . Ang halaga ng expression na n 3 +4 para sa anumang integer n ay isang integer. At ang halaga ng isang fraction ay isang integer kung at kung ang denominator nito ay 1, −1, 3, o −3. Ang mga halagang ito ay tumutugma sa mga halaga n=3 , n=1 , n=5 at n=−1 ayon sa pagkakabanggit.

Sagot:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliograpiya.

• Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. Pangkalahatang edukasyon institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M. : Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-7 baitang. Sa 2 p.m. Bahagi 1. Batayang aklat ng mag-aaral institusyong pang-edukasyon/ A. G. Mordkovich. - ika-13 ed., Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 pm Bahagi 1. Isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.