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A física do mercado de ações

James Weatherall

A alegria de X

Uma visita guiada à matemática, do um ao infinito

Stephen Strogatz

Uma fascinante viagem ao mundo da matemática de um dos os melhores professores no mundo

Informações da editora

Publicado em russo pela primeira vez

Publicado com permissão de Steven Strogatz, a/c Brockman, Inc.

Strogats, P.

Prazer de X. Uma emocionante viagem ao mundo da matemática de um dos melhores professores do mundo / Steven Strogatz; por. do inglês. - M. : Mann, Ivanov e Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Este livro é capaz de mudar radicalmente sua atitude em relação à matemática. Consiste em capítulos curtos, em cada um dos quais você descobrirá algo novo. Você aprenderá como os números são úteis para estudar o mundo ao seu redor, entender a beleza da geometria, familiarizar-se com a elegância do cálculo integral, ver a importância da estatística e entrar em contato com o infinito. O autor explica ideias matemáticas fundamentais de forma simples e elegante, dando exemplos brilhantes que todos podem entender.

Nenhuma parte deste livro pode ser reproduzida de qualquer forma sem a permissão por escrito dos detentores dos direitos autorais.

suporte legal editora oferece escritório de advocacia"Vegas Lex"

Prefácio

Tenho um amigo que, apesar do ofício (é artista), é apaixonado pela ciência. Sempre que nos reunimos, ele fala com entusiasmo sobre conquistas recentes em psicologia ou mecânica quântica. Mas assim que falamos de matemática, ele sente um tremor nos joelhos, o que o incomoda muito. Ele reclama que esses estranhos símbolos matemáticos não apenas o desafiam, mas às vezes ele nem sabe como pronunciá-los.

Na verdade, a razão de sua aversão à matemática é muito mais profunda. Ele nunca entenderá o que os matemáticos geralmente fazem e o que querem dizer quando dizem que essa prova é elegante. Às vezes, brincamos que eu deveria apenas sentar e começar a ensiná-lo desde o básico, literalmente de 1 + 1 = 2, e entrar em matemática o máximo que ele puder.

E embora essa ideia pareça louca, é o que tentarei implementar neste livro. Vou guiá-lo através de todos os principais ramos da ciência, da aritmética à matemática avançada, para que aqueles que queriam uma segunda chance possam finalmente aproveitá-la. E desta vez você não precisa se sentar em sua mesa. Este livro não fará de você um especialista em matemática. Mas ajudará a entender o que esta disciplina estuda e por que é tão emocionante para quem a entende.

Aprenderemos como as enterradas de Michael Jordan podem ajudar a explicar os fundamentos do cálculo. Mostrarei uma maneira simples e surpreendente de entender o teorema fundamental da geometria euclidiana - o teorema de Pitágoras. Tentaremos chegar ao fundo de alguns dos mistérios da vida, grandes e pequenos: Jay Simpson matou sua esposa; como mudar o colchão para que dure o maior tempo possível; quantos parceiros precisam ser trocados antes que um casamento seja disputado - e veremos por que alguns infinitos são maiores que outros.

A matemática está em toda parte, você só precisa aprender a reconhecê-la. Você pode ver a sinusóide nas costas de uma zebra, você pode ouvir ecos dos teoremas de Euclides na Declaração de Independência; o que posso dizer, mesmo nos relatórios secos que antecederam a Primeira Guerra Mundial, há números negativos. Você também pode ver como nosso vida de hoje Novos ramos da matemática estão nos afetando, por exemplo, quando procuramos restaurantes com a ajuda de um computador, ou tentamos pelo menos entender, ou melhor ainda, sobreviver às flutuações assustadoras do mercado de ações.

Uma série de 15 artigos sob o título geral "Fundamentos da Matemática" apareceu online no final de janeiro de 2010. Em resposta à sua publicação, chegaram cartas e comentários de leitores de todas as idades, entre os quais muitos alunos e professores. Havia também pessoas simplesmente curiosas que, por uma razão ou outra, “perderam-se” na compreensão da ciência matemática; agora eles sentem que perderam algo que vale a pena e gostariam de tentar novamente. Fiquei particularmente satisfeito com a gratidão de meus pais pelo fato de que, com minha ajuda, eles conseguiram explicar matemática para seus filhos e eles próprios começaram a entendê-la melhor. Parecia que até meus colegas e camaradas, fervorosos admiradores dessa ciência, gostavam de ler os artigos, exceto naqueles momentos em que competiam entre si para oferecer todo tipo de recomendações para melhorar minha prole.

Apesar da crença popular, há um claro interesse pela matemática na sociedade, embora pouca atenção seja dada a esse fenômeno. Só ouvimos falar do medo da matemática e, no entanto, muitos tentariam de bom grado entendê-la melhor. E uma vez que isso aconteça, será difícil arrancá-los.

Este livro irá apresentá-lo às ideias mais complexas e avançadas do mundo da matemática. Os capítulos são curtos, fáceis de ler e realmente não dependem um do outro. Entre eles estão os incluídos naquela primeira série de artigos do New York Times. Então, assim que você sentir uma leve fome matemática, não hesite em começar o próximo capítulo. Se você quiser entender o assunto que lhe interessa com mais detalhes, no final do livro há notas com Informações adicionais e sugestões sobre o que mais ler sobre isso.

Para conveniência dos leitores que preferem uma abordagem passo a passo, dividi o material em seis partes de acordo com a ordem tradicional dos tópicos.

A Parte I "Números" inicia nossa jornada com aritmética em Jardim da infância E escola primaria. Ele mostra como os números podem ser úteis e como eles são magicamente eficazes para descrever o mundo ao nosso redor.

A Parte II "Proporções" desloca a atenção dos próprios números para as relações entre eles. Essas ideias estão no coração da álgebra e são as primeiras ferramentas para descrever como uma afeta a outra, mostrando a relação causal de uma variedade de coisas: oferta e demanda, estímulo e reação - em suma, todos os tipos de relações que fazem o mundo tão diverso e rico.

Parte III "Figuras" não é sobre números e símbolos, mas sobre figuras e espaço - o domínio da geometria e trigonometria. Esses tópicos, juntamente com a descrição de todos os objetos observáveis por meio de formas, com a ajuda do raciocínio lógico e da prova, elevam a matemática a novo nível precisão.

Na Parte IV "Time of Change", veremos o cálculo - a área mais impressionante e multifacetada da matemática. O cálculo torna possível prever a trajetória dos planetas, os ciclos das marés, e permite compreender e descrever todos os processos e fenômenos que mudam periodicamente no Universo e dentro de nós. Um lugar importante nesta parte é dedicado ao estudo do infinito, cuja pacificação foi um avanço que permitiu que os cálculos funcionassem. A computação ajudou a resolver muitos problemas que surgiram no mundo antigo, e isso levou a uma revolução na ciência e mundo moderno.

A Parte V "Muitas Faces dos Dados" trata de probabilidade, estatística, redes e processamento de dados - esses são campos ainda relativamente jovens, gerados pelos aspectos nem sempre ordenados de nossa vida, como oportunidade e sorte, incerteza, risco, volatilidade, aleatoriedade , interdependência. Usando as ferramentas matemáticas certas e os tipos de dados certos, aprenderemos a identificar padrões em um fluxo de aleatoriedade.

No final do nosso percurso, na Parte VI “Os Limites do Possível”, abordaremos os limites do conhecimento matemático, a zona fronteiriça entre o que já se sabe e o que ainda é ilusório e desconhecido. Voltaremos a percorrer os tópicos na ordem em que já estamos familiarizados: números, razões, formas, mudanças e infinito - mas ao mesmo tempo consideraremos cada um deles com mais profundidade, em sua encarnação moderna.

Espero que você ache todas as ideias deste livro empolgantes e o faça dizer: “Bem, bem!” mais de uma vez. Mas você sempre tem que começar em algum lugar, então vamos começar com uma ação simples, mas fascinante, como contar.

1. Noções Básicas de Números: Adicionando Peixes

O prazer de X. Uma emocionante viagem ao mundo da matemática de um dos melhores professores do mundo Stephen Strogatz

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Título: O Prazer de X. Uma viagem fascinante ao mundo da matemática de um dos melhores professores do mundo

Sobre o prazer de X. Uma emocionante jornada pela matemática de um dos melhores professores do mundo por Steven Strogatz

Publicado em russo pela primeira vez.

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A alegria de X

Uma visita guiada à matemática, do um ao infinito

Publicado com permissão de Steven Strogatz, a/c Brockman, Inc.

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte da versão eletrônica deste livro pode ser reproduzida de qualquer forma ou por qualquer meio, incluindo postagem na Internet e redes corporativas, para uso público e privado, sem a permissão por escrito do proprietário dos direitos autorais.

O apoio jurídico da editora é prestado pela sociedade de advogados "Vegas-Lex"

* * *

Este livro é bem complementado por:

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Brainiac

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James Weatherall

Prefácio

Tenho um amigo que, apesar do ofício (é artista), é apaixonado pela ciência. Sempre que nos reunimos, ele fala com entusiasmo sobre os últimos desenvolvimentos em psicologia ou mecânica quântica. Mas assim que falamos de matemática, ele sente um tremor nos joelhos, o que o incomoda muito. Ele reclama que esses estranhos símbolos matemáticos não apenas o desafiam, mas às vezes ele nem sabe como pronunciá-los.

Para esclarecer o que quero dizer com a vida dos números e seu comportamento, que não podemos controlar, voltemos ao Hotel Furry Paws. Suponha que Humphrey estivesse prestes a entregar o pedido, mas então os pinguins de outra sala inesperadamente o chamassem e também pedissem a mesma quantidade de peixe. Quantas vezes Humphrey tem que gritar a palavra "peixe" depois de receber dois pedidos? Se ele não soubesse nada sobre números, teria que gritar tantas vezes quantas fossem os pinguins totais em ambas as salas. Ou, usando números, poderia explicar ao cozinheiro que precisava de seis peixes para um número e seis para outro. Mas o que ele realmente precisa é de um novo conceito: adição. Depois de dominá-lo, ele dirá com orgulho que precisa de seis mais seis (ou, se for um poser, doze) peixes.

Este é o mesmo processo criativo de quando acabamos de criar números. Assim como os números tornam a contagem mais fácil do que listá-los um de cada vez, a adição facilita o cálculo de qualquer valor. Ao mesmo tempo, quem faz o cálculo desenvolve-se como matemático. Cientificamente, esse pensamento pode ser formulado da seguinte forma: o uso das abstrações corretas leva a uma visão mais profunda da essência do problema e a um maior poder de resolvê-lo.

Em breve, talvez até Humphrey perceba que agora ele sempre pode contar.

No entanto, apesar de uma perspectiva tão infinita, nossa criatividade sempre tem algumas limitações. Podemos decidir o que queremos dizer com 6 e +, mas quando o fazemos, os resultados de expressões como 6 + 6 estão fora de nosso controle. A lógica não nos deixa escolha aqui. Nesse sentido, a matemática sempre inclui tanto a invenção, assim descoberta: nós inventando conceitos, mas abrir suas consequências. Como ficará claro nos capítulos seguintes, em matemática nossa liberdade está na capacidade de fazer perguntas e buscar persistentemente respostas para elas, mas sem inventá-las nós mesmos.

2. Aritmética de pedra

Como qualquer fenômeno da vida, a aritmética tem dois lados: formal e divertido (ou lúdico).

Estudamos a parte formal na escola. Lá eles nos explicaram como trabalhar com colunas de números, somando e subtraindo-os, como limpá-los ao realizar cálculos em planilhas ao preencher declarações fiscais e preparar relatórios anuais. Este lado da aritmética parece para muitos importante do ponto de vista prático, mas completamente sombrio.

Você pode se familiarizar com o lado divertido da aritmética apenas no processo de estudar matemática superior. {3}. No entanto, ela é tão natural quanto a curiosidade de uma criança. {4}.

No ensaio "The Mathematician's Lament", Paul Lockhart sugere estudar os números com exemplos mais específicos do que o habitual: ele nos pede para representá-los na forma de um número de pedras. Por exemplo, o número 6 corresponde ao seguinte conjunto de seixos:

Dificilmente você verá algo incomum aqui. Do jeito que está. Até começarmos a manipular os números, eles parecem praticamente os mesmos. O jogo começa quando recebemos uma tarefa.

Por exemplo, vamos olhar para conjuntos que têm de 1 a 10 pedras e tentar fazer quadrados com elas. Isso só pode ser feito com dois conjuntos de 4 e 9 pedras, porque 4 = 2 × 2 e 9 = 3 × 3. Obtemos esses números elevando ao quadrado algum outro número (ou seja, elevando as pedras ao quadrado).

Aqui está uma tarefa que mais soluções: você precisa descobrir quais conjuntos formarão um retângulo se você colocar as pedras em duas fileiras com um número igual de elementos. Conjuntos de 2, 4, 6, 8 ou 10 pedras são adequados aqui; o número deve ser par. Se tentarmos organizar os conjuntos restantes com um número ímpar de pedras em duas fileiras, sempre teremos uma pedra extra.

Mas nem tudo está perdido para esses números desconfortáveis! Se pegarmos dois desses conjuntos, os elementos extras encontrarão um par para si mesmos e a soma será par: um número ímpar + um número ímpar = um número par.

Se estendermos essas regras para números após 10 e considerarmos que o número de linhas em um retângulo pode ser maior que duas, alguns números ímpares permitirão que esses retângulos sejam adicionados. Por exemplo, o número 15 formaria um retângulo 3×5.

Portanto, embora 15 seja sem dúvida um número ímpar, é um número composto e pode ser representado como três fileiras de cinco pedras cada. Da mesma forma, qualquer entrada na tabuada produz seu próprio grupo retangular de seixos.

Mas alguns números, como 2, 3, 5 e 7, são completamente sem esperança. Nada pode ser colocado deles, exceto organizá-los na forma de uma linha simples (uma linha). Essas pessoas estranhas e teimosas são números primos famosos.

Então vemos que os números podem ter estruturas bizarras que lhes dão um certo caráter. Mas, para imaginar toda a extensão de seu comportamento, é preciso se afastar dos números individuais e observar o que acontece durante sua interação.

Por exemplo, em vez de adicionar apenas dois números ímpares, vamos adicionar todas as sequências possíveis de números ímpares, começando em 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Surpreendentemente, essas somas sempre acabam sendo quadrados perfeitos. (Já falamos sobre como 4 e 9 podem ser representados como quadrados, e isso também é verdade para 16 = 4 × 4 e 25 = 5 × 5.) Um cálculo rápido mostra que essa regra também vale para números ímpares maiores e aparentemente tende a ao infinito. Mas qual é a conexão entre os números ímpares com suas pedras "extras" e os números classicamente simétricos que formam quadrados? Ao posicionar corretamente as pedras, podemos tornar óbvio o que é marca prova elegante. {5}

A chave para isso será a observação de que os números ímpares podem ser representados como cantos equiláteros, cuja sucessiva imposição uns sobre os outros forma um quadrado!

Uma maneira semelhante de raciocínio é apresentada em outro livro publicado recentemente. No encantador romance de Yoko Ogawa, The Housekeeper e a Professor é sobre uma jovem astuta, mas sem instrução, e seu filho de dez anos. Uma mulher foi contratada para cuidar de um matemático idoso cuja memória de curto prazo só retém informações sobre os últimos 80 minutos de sua vida devido a uma lesão cerebral traumática. Perdido no presente, sozinho em sua casinha miserável com nada além de números, o professor tenta se comunicar com a governanta da única maneira que sabe: perguntando sobre o tamanho do sapato ou a data de nascimento e conversando com ela sobre suas despesas . O professor também alimenta simpatia especial ao filho da governanta, a quem ele chama de Ruth (Raiz - raiz), porque o menino tem uma cabeça chata em cima, e isso o lembra da notação matemática para a raiz quadrada √.

Um dia o professor oferece ao menino uma tarefa simples– encontre a soma de todos os números de 1 a 10. Após Ruth somar cuidadosamente todos os números e retornar com a resposta (55), o professor pede que ele procure uma maneira mais fácil. Ele pode encontrar a resposta sem simples adição de números? Ruth chuta uma cadeira e grita: "Isso não é justo!"

Aos poucos, a governanta também é atraída para o mundo dos números e tenta secretamente resolver esse problema sozinha. “Não entendo por que me empolguei tanto com um quebra-cabeça infantil que não tem uso prático”, diz ela. “No começo eu queria agradar o professor, mas aos poucos essa atividade se transformou em uma batalha entre mim e os números. Quando acordei de manhã, a equação já estava esperando por mim:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Stephen Strogatz

prazer de X. Uma emocionante viagem ao mundo da matemática de um dos melhores professores do mundo

A alegria de X

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* * *

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Prefácio

A matemática está em toda parte, você só precisa aprender a reconhecê-la. Você pode ver a sinusóide nas costas de uma zebra, você pode ouvir ecos dos teoremas de Euclides na Declaração de Independência; o que posso dizer, mesmo nos relatórios secos que antecederam a Primeira Guerra Mundial, há números negativos. Você também pode ver como novas áreas da matemática afetam nossas vidas hoje, por exemplo, quando procuramos restaurantes usando um computador ou tentamos pelo menos entender, ou melhor ainda, sobreviver às flutuações assustadoras do mercado de ações.

Apesar da crença popular, há um claro interesse pela matemática na sociedade, embora pouca atenção seja dada a esse fenômeno. Só ouvimos falar do medo da matemática e, no entanto, muitos de bom grado tentariam entendê-la melhor. E uma vez que isso aconteça, será difícil arrancá-los.

Este livro irá apresentá-lo às ideias mais complexas e avançadas do mundo da matemática. Os capítulos são curtos, fáceis de ler e realmente não dependem um do outro. Entre eles estão os incluídos naquela primeira série de artigos do New York Times. Assim, assim que sentir uma leve fome matemática, não hesite em passar para o próximo capítulo. Se você quiser entender o assunto que lhe interessa com mais detalhes, no final do livro há notas com informações adicionais e recomendações sobre o que mais você pode ler sobre ele.

Para conveniência dos leitores que preferem uma abordagem passo a passo, dividi o material em seis partes de acordo com a ordem tradicional dos tópicos.

A Parte I "Números" inicia nossa jornada com aritmética no jardim de infância e no ensino fundamental. Ele mostra como os números podem ser úteis e como eles são magicamente eficazes para descrever o mundo ao nosso redor.

Parte III "Figuras" não é sobre números e símbolos, mas sobre figuras e espaço - o patrimônio da geometria e trigonometria. Esses tópicos, juntamente com a descrição de todos os objetos observáveis por meio de formas, com a ajuda de raciocínio lógico e provas, elevam a matemática a um novo nível de precisão.

Na Parte IV "Tempo de Mudança" veremos o cálculo, o ramo mais impressionante e multifacetado da matemática. O cálculo torna possível prever a trajetória dos planetas, os ciclos das marés, e permite compreender e descrever todos os processos e fenômenos que mudam periodicamente no Universo e dentro de nós. Um lugar importante nesta parte é dedicado ao estudo do infinito, cuja pacificação foi um avanço que permitiu que os cálculos funcionassem. A computação ajudou a resolver muitos problemas que surgiram no mundo antigo, e isso acabou levando a uma revolução na ciência e no mundo moderno.

A Parte V, Dados diversos, trata de probabilidade, estatística, redes e processamento de dados - esses são campos ainda relativamente jovens, gerados pelos aspectos nem sempre ordenados de nossas vidas, como oportunidade e sorte, incerteza, risco, volatilidade, aleatoriedade, interdependência. Usando as ferramentas matemáticas certas e os tipos de dados certos, aprenderemos a identificar padrões em um fluxo de aleatoriedade.

No final do nosso percurso, na Parte VI “Os Limites do Possível”, abordaremos os limites do conhecimento matemático, a zona fronteiriça entre o que já se sabe e o que ainda é ilusório e desconhecido. Voltaremos a percorrer os tópicos na ordem em que já estamos familiarizados: números, razões, figuras, mudanças e infinito - mas ao mesmo tempo consideraremos cada um deles com mais profundidade, em sua encarnação moderna.

Parte I. Números

1. Noções Básicas de Números: Adicionando Peixes

A melhor demonstração do conceito de números que eu já vi (a explicação mais clara e divertida do que são os números e por que precisamos deles) eu vi em um episódio do popular programa infantil Vila Sésamo chamado 123: Counting Together » (123 Contar comigo). Humphrey, um personagem bem-humorado, mas estúpido, com pêlo rosa e nariz verde, que trabalha no Furry Paws Hotel, recebe pedidos de hóspedes pinguins pelo telefone na hora do almoço. Depois de ouvi-los atentamente, Humphrey passa a ordem para a cozinha: "Peixe, peixe, peixe, peixe, peixe, peixe". O que ele vê leva Ernie a contar a Humphrey sobre as virtudes do número seis.

Quão úteis são os números para estudar o mundo ao nosso redor, qual é a beleza da geometria, quão elegantes são os cálculos integrais e quão importante é a estatística? Steven Strogatz fala sobre tudo isso em seu livro The Pleasure of X. O autor explica ideias matemáticas fundamentais de forma simples e elegante, dando exemplos que todos podem entender. o site publica um dos capítulos do livro publicado pela editora Mann, Ivanov e Ferber.

Estatísticas de repente se tornaram moda. Com o advento da Internet, e-commerce, redes sociais, um projeto para decifrar o genoma humano, e em conexão com o desenvolvimento da cultura digital em geral, o mundo começou a engasgar com dados. Os profissionais de marketing estudam nossos gostos e hábitos. Os serviços de inteligência coletam informações sobre nossa localização, e-mails e telefonemas. Os estatísticos esportivos fazem malabarismos com números para decidir quais jogadores comprar, quem recrutar e quem deixar no banco. Todos se esforçam para combinar os pontos em um gráfico e descobrir um padrão no acúmulo caótico de dados.

Não surpreendentemente, essas tendências se refletem no aprendizado. "Vamos às estatísticas", adverte Greg Mankiw, economista da Universidade de Harvard, em uma coluna do New York Times.

"DENTRO currículo em matemática em ensino médio muito tempo é dedicado a tópicos tradicionais, como geometria euclidiana e trigonometria. Estes são úteis para pessoa comum exercícios mentais, no entanto, são de pouca utilidade em Vida cotidiana. Seria muito mais útil para os alunos aprenderem mais sobre teoria da probabilidade e estatística.” David Brooks vai ainda mais longe. Em seu artigo sobre disciplinas que merecem atenção para obter uma educação decente, ele escreve: “Pegue estatísticas. Você verá, acontece que saber o que é um desvio padrão será muito útil para você na vida.

É bem possível, e também é bom entender o que é distribuição. Esta é a primeira coisa que pretendo falar. E eu gostaria de focar nisso, porque esta é uma das principais lições da estatística: as coisas parecem irremediavelmente aleatórias e imprevisíveis quando consideradas individualmente, mas no conjunto elas revelam regularidade e previsibilidade.

Você pode ter visto uma demonstração deste princípio em alguns Museu de Ciências(se não, os vídeos podem ser encontrados online). Uma exibição típica é uma engenhoca chamada placa Galton, que é um pouco como uma máquina de pinball, só que sem as nadadeiras. Dentro dele, em intervalos regulares, há até fileiras de alfinetes.

placa Galton

A experiência começa com parte de cima Placas Galton são lançadas centenas de bolas. Quando caem, colidem com os pinos e com igual probabilidade saltam para a direita ou para a esquerda, e então são distribuídos na parte inferior do tabuleiro, caindo em compartimentos de mesma largura. A altura da coluna de bolas mostra a probabilidade com que a bola pode estar em um determinado local. A maioria das bolas são colocadas aproximadamente no meio, já há menos nas laterais e menos ainda nas bordas.

Em geral, o quadro é extremamente previsível: as bolas sempre formam uma distribuição em forma de sino, embora seja impossível prever onde cada bola individual terminará.

Como os acidentes individuais se transformam em padrões gerais? Mas é assim que a aleatoriedade funciona. Na coluna do meio, a maioria das bolas se acumulou porque, antes de rolar para baixo, muitas delas farão aproximadamente o mesmo número de saltos para a direita e para a esquerda e, como resultado, estarão em algum lugar no meio. Várias bolas individuais localizadas ao longo das bordas formam caudas de distribuição - são as bolas que, ao colidir com os pinos, sempre ricocheteiam na mesma direção. Esses saltos são improváveis, e é por isso que há tão poucas bolas nas bordas.

Assim como a localização de cada bola é determinada pela soma de muitos eventos aleatórios, muitos fenômenos neste mundo são resultado de muitas pequenas circunstâncias e também obedecem à curva do sino. Este princípio funciona Companhias de seguros. Eles podem nomear com precisão o número de seus clientes que morrem a cada ano. No entanto, eles não sabem exatamente quem não terá sorte desta vez.

Ou tome, por exemplo, a altura de uma pessoa. Depende de inúmeros acidentes relacionados à genética, bioquímica, nutrição e meio Ambiente. Portanto, é provável que, quando consideradas em conjunto, a altura de homens e mulheres adultos seja uma curva em forma de sino.

Em uma postagem no blog intitulada "Falsos dados de pessoas relatam sobre si mesmas online", as estatísticas do site de namoro OkCupid postou recentemente um gráfico do crescimento de seus clientes, ou melhor, dos valores que eles relataram. Constatou-se que as taxas de crescimento de ambos os sexos, como esperado, formam uma curva em forma de sino. Surpreendentemente, no entanto, ambas as distribuições foram desviadas para a direita em cerca de duas polegadas dos valores esperados.

Strogats S. Prazer de H. - M. : Mann, Ivanov e Ferber, 2014.

Assim, ou a altura dos clientes pesquisados pelo OkCupid está acima da média, ou eles adicionam alguns centímetros à sua altura ao se descreverem online.

Uma versão idealizada dessas curvas de sino é o que os matemáticos chamam de distribuição normal. Este é um dos conceitos mais importantes da estatística, que tem uma justificativa teórica. Pode-se provar que distribuição normal ocorre ao adicionar um grande número pequenos fatores aleatórios, cada um dos quais opera independentemente dos outros. E muitas coisas acontecem assim.

Mas nem todos. E este é o segundo ponto para o qual gostaria de chamar a atenção. A distribuição normal não é tão onipresente quanto parece. Por cem anos, e especialmente nas últimas décadas, cientistas e estatísticos notaram a existência de muitos fenômenos que se desviam dessa curva e seguem seu próprio cronograma. É curioso que tais tipos de distribuição praticamente não sejam mencionados nos livros didáticos de estatística elementar e, se ocorrem, geralmente são considerados algum tipo de patologia.

Isto é estranho. Vou tentar explicar que muitos fenômenos vida moderna fazem mais sentido se essas distribuições "patológicas" forem compreendidas. Este é o novo normal. Tomemos, por exemplo, a distribuição do tamanho das cidades nos Estados Unidos. Em vez de se agruparem em torno de uma curva média, a grande maioria das cidades são pequenas e, portanto, agrupam-se no lado esquerdo do gráfico.

Strogats S. Prazer de H. - M. : Mann, Ivanov e Ferber, 2014.

E então mais população cidades, mais raras são essas cidades. Em outras palavras, no agregado, a distribuição será uma curva em forma de L em vez de uma curva de sino.

E não há nada de surpreendente nisso. Todo mundo sabe que há muito menos megacidades do que pequenas cidades. Embora não seja tão óbvio, os tamanhos das cidades seguem uma distribuição simples e bonita - se você olhar para eles em escala logarítmica.

Vamos supor que a diferença entre duas cidades é a mesma se sua população diferir pelo mesmo número de vezes (assim como quaisquer duas teclas de piano separadas por uma oitava sempre diferem duas vezes em frequência). E faremos o mesmo no eixo vertical.

Strogats S. Prazer de H. - M. : Mann, Ivanov e Ferber, 2014.

Agora os dados estão em uma curva que é quase uma linha reta perfeita. Com base nas propriedades dos logaritmos, é fácil deduzir que a curva original em forma de L é uma dependência de potência, que é descrita por uma função da forma

onde x é a população da cidade, y é o número de cidades que têm esse tamanho, c é uma constante e o expoente a (expoente da lei da potência) determina a inclinação negativa da linha reta.

As distribuições de poder têm algumas propriedades ilógicas, do ponto de vista das estatísticas tradicionais. Por exemplo, ao contrário de uma distribuição normal, seus modos, medianas e médias não coincidem devido à forma distorcida das curvas em forma de L.

O presidente Bush se beneficiou muito com isso, declarando em 2003 que o corte de impostos economizou para cada família uma média de US$ 1.586. Embora matematicamente correto, aqui ele tomou como base a dedução média, que escondia as enormes deduções de centenas de milhares de dólares recebidas pelo 0,1% da população mais rica do país. Sabe-se que a “cauda” do lado direito da distribuição de renda segue uma lei de potência e, em tal situação, o uso do valor médio é enganoso, pois está longe de seu valor real. Na realidade, a maioria das famílias recebeu menos de US$ 650 de volta. Nesta distribuição, a mediana é muito menor que a média.

Este exemplo demonstra a propriedade mais importante das distribuições de lei de potência: elas têm "caudas pesadas" em comparação com pelo menos as pequenas "caudas fluidas" de uma distribuição normal. Caudas grandes como essa, embora raras, são mais comuns em distribuições de dados do que curvas de sino regulares.

Na Black Monday, 19 de outubro de 1987, o Dow Jones Industrial Average caiu 22%. Comparado com o nível usual de instabilidade em mercado de ações esta queda foi de mais de vinte desvios padrão. De acordo com as estatísticas tradicionais (que usam a distribuição normal), tal evento é quase impossível: sua probabilidade é menor que uma em 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (10 elevado a 50). No entanto, isso aconteceu - porque as flutuações de preços no mercado de ações não seguiram uma distribuição normal.

Distribuições com uma "cauda pesada" são mais adequadas para descrevê-las. Isso acontece com terremotos, incêndios e inundações, dificultando o gerenciamento de riscos pelas seguradoras.

O mesmo modelo matemático descreve o número de mortes em guerras e ataques terroristas, além de outras coisas muito mais pacíficas, como o número de palavras em um romance ou o número de parceiros sexuais que uma pessoa tem.

Embora os adjetivos usados para descrever Caldas longas, expô-los em uma luz não muito favorável, distribuições "caudas" orgulhosamente carregam suas caudas. Ousado, pesado e longo? Sim, ele é. Mas neste caso, mostre-me qual é o normal?