A base de uma pirâmide triangular regular é. Altura da pirâmide

Ao resolver o Problema C2 usando o método de coordenadas, muitos alunos enfrentam o mesmo problema. Eles não podem calcular coordenadas de pontos incluído na fórmula produto escalar. As maiores dificuldades surgem pirâmides. E se os pontos base são considerados mais ou menos normais, então os topos são um verdadeiro inferno.

Hoje trabalharemos em uma pirâmide quadrangular regular. Há também uma pirâmide triangular (também conhecida como - tetraedro). Este é um design mais complexo, portanto, uma lição separada será dedicada a ele.

Primeiro, vamos lembrar a definição:

Uma pirâmide regular é aquela que:

A base é um polígono regular: triângulo, quadrado, etc.;

Uma altitude traçada até a base passa pelo seu centro.

Em particular, a base de uma pirâmide quadrangular é quadrado. Assim como Quéops, só que um pouco menor.

Abaixo estão os cálculos para uma pirâmide em que todas as arestas são iguais a 1. Se este não for o caso do seu problema, os cálculos não mudam - apenas os números serão diferentes.

Vértices de uma pirâmide quadrangular

Então, seja dada uma pirâmide quadrangular regular SABCD, onde S é o vértice e a base ABCD é um quadrado. Todas as arestas são iguais a 1. Você precisa inserir um sistema de coordenadas e encontrar as coordenadas de todos os pontos. Nós temos:

Introduzimos um sistema de coordenadas com origem no ponto A:

O eixo OX é direcionado paralelamente à aresta AB;
O eixo OY é paralelo a AD. Como ABCD é um quadrado, AB ⊥ AD;
Finalmente, direcionamos o eixo OZ para cima, perpendicular ao plano ABCD.

Agora calculamos as coordenadas. Construção adicional: SH - altura traçada até a base. Por conveniência, colocaremos a base da pirâmide em um desenho separado. Como os pontos A, B, C e D estão no plano OXY, sua coordenada é z = 0. Temos:

A = (0; 0; 0) - coincide com a origem;
B = (1; 0; 0) - passo de 1 ao longo do eixo OX a partir da origem;
C = (1; 1; 0) - passo de 1 ao longo do eixo OX e de 1 ao longo do eixo OY;
D = (0; 1; 0) - passo apenas ao longo do eixo OY.
H = (0,5; 0,5; 0) - o centro do quadrado, o meio do segmento AC.

Resta encontrar as coordenadas do ponto S. Observe que as coordenadas xey dos pontos S e H são iguais, pois estão em uma linha paralela ao eixo OZ. Resta encontrar a coordenada z para o ponto S.

Considere os triângulos ASH e ABH:

AS = AB = 1 por condição;
Ângulo AHS = AHB = 90°, pois SH é a altura e AH ⊥ HB as diagonais do quadrado;
O lado AH é comum.

Portanto, os triângulos retângulos ASH e ABH igual uma perna e uma hipotenusa cada. Isso significa SH = BH = 0,5 BD. Mas BD é a diagonal de um quadrado de lado 1. Portanto temos:

Coordenadas totais do ponto S:

Concluindo, anotamos as coordenadas de todos os vértices de uma pirâmide retangular regular:

O que fazer quando as costelas são diferentes

E se as arestas laterais da pirâmide não forem iguais às arestas da base? Neste caso, considere o triângulo AHS:

Triângulo AHS retangular, e a hipotenusa AS também é uma aresta lateral da pirâmide original SABCD. A perna AH é facilmente calculada: AH = 0,5 AC. Encontraremos a perna restante SH de acordo com o teorema de Pitágoras. Esta será a coordenada z do ponto S.

Tarefa. Dada uma pirâmide quadrangular regular SABCD, na base da qual existe um quadrado de lado 1. Aresta lateral BS = 3. Encontre as coordenadas do ponto S.

Já conhecemos as coordenadas xey deste ponto: x = y = 0,5. Isto decorre de dois fatos:

A projeção do ponto S no plano OXY é o ponto H;
Ao mesmo tempo, o ponto H é o centro de um quadrado ABCD, cujos lados são iguais a 1.

Resta encontrar a coordenada do ponto S. Considere o triângulo AHS. É retangular, com hipotenusa AS = BS = 3, sendo o cateto AH metade da diagonal. Para cálculos adicionais, precisamos do seu comprimento:

Teorema de Pitágoras para o triângulo AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Nós temos:

Então, as coordenadas do ponto S:

Definição

Pirâmideé um poliedro composto por um polígono $A_1A_2...A_n$ e $n$ triângulos com um vértice comum $P$ (não situado no plano do polígono) e lados opostos a ele, coincidindo com o lados do polígono.
Designação: $PA_1A_2...A_n$ .
Exemplo: pirâmide pentagonal $PA_1A_2A_3A_4A_5$ .

Triângulos $PA_1A_2, \PA_2A_3$, etc. são chamados faces laterais pirâmides, segmentos $PA_1, PA_2$, etc. – costelas laterais, polígono $A_1A_2A_3A_4A_5$ – base, ponto $P$ – principal.

Altura pirâmides são uma perpendicular que desce do topo da pirâmide até o plano da base.

Uma pirâmide com um triângulo na base é chamada tetraedro.

A pirâmide é chamada correto, se sua base for um polígono regular e uma das seguintes condições for atendida:

$(a)$ as arestas laterais da pirâmide são iguais;

$(b)$ a altura da pirâmide passa pelo centro do círculo circunscrito próximo à base;

$(c)$ as costelas laterais estão inclinadas em relação ao plano da base no mesmo ângulo.

$(d)$ as faces laterais estão inclinadas em relação ao plano da base no mesmo ângulo.

Tetraedro regularé uma pirâmide triangular, cujas faces são triângulos equiláteros iguais.

Teorema

As condições $(a), (b), (c), (d)$ são equivalentes.

Prova

Vamos encontrar a altura da pirâmide $PH$ . Seja $\alpha$ o plano da base da pirâmide.

1) Vamos provar que de $(a)$ segue $(b)$ . Seja $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

Porque $PH\perp \alpha$, então $PH$ é perpendicular a qualquer linha situada neste plano, o que significa que os triângulos são retângulos. Isso significa que esses triângulos são iguais na perna comum $PH$ e na hipotenusa $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ . Isso significa $A_1H=A_2H=...=A_nH$ . Isso significa que os pontos $A_1, A_2, ..., A_n$ estão à mesma distância do ponto $H$, portanto, estão no mesmo círculo com o raio $A_1H$ . Este círculo, por definição, é circunscrito ao polígono $A_1A_2...A_n$ .

2) Vamos provar que $(b)$ implica $(c)$ .

$PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ retangular e igual em duas pernas. Isso significa que seus ângulos também são iguais, portanto, $\ângulo PA_1H=\ângulo PA_2H=...=\ângulo PA_nH$.

3) Vamos provar que $(c)$ implica $(a)$ .

Semelhante ao primeiro ponto, triângulos $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ retangular tanto ao longo da perna quanto no ângulo agudo. Isso significa que suas hipotenusas também são iguais, ou seja, $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

4) Vamos provar que $(b)$ implica $(d)$ .

Porque em um polígono regular os centros dos círculos circunscritos e inscritos coincidem (de modo geral, este ponto é chamado de centro de um polígono regular), então $H$ é o centro do círculo inscrito. Vamos traçar perpendiculares do ponto $H$ aos lados da base: $HK_1, HK_2$, etc. Estes são os raios do círculo inscrito (por definição). Então, de acordo com TTP ($PH$ é uma perpendicular ao plano, $HK_1, HK_2$, etc. são projeções perpendiculares aos lados) inclinado $PK_1, PK_2$, etc. perpendicular aos lados $A_1A_2, A_2A_3$, etc. respectivamente. Então, por definição $\ângulo PK_1H, \ângulo PK_2H$ iguais aos ângulos entre as faces laterais e a base. Porque triângulos $PK_1H, PK_2H, ...$ são iguais (como retangulares em dois lados), então os ângulos $\ângulo PK_1H, \ângulo PK_2H, ...$ são iguais.

5) Vamos provar que $(d)$ implica $(b)$ .

Semelhante ao quarto ponto, os triângulos $PK_1H, PK_2H, ...$ são iguais (como retangulares ao longo da perna e ângulo agudo), o que significa que os segmentos $HK_1=HK_2=...=HK_n$ são igual. Isso significa que, por definição, $H$ é o centro de um círculo inscrito na base. Mas porque Para polígonos regulares, os centros dos círculos inscritos e circunscritos coincidem, então $H$ é o centro do círculo circunscrito. Ctd.

Consequência

As faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles iguais.

Definição

A altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada a partir de seu vértice é chamada apótema.
Os apótemas de todas as faces laterais de uma pirâmide regular são iguais entre si e também são medianas e bissetoras.

Anotações importantes

1. A altura está correta pirâmide triangular cai no ponto de intersecção das alturas (ou bissetoras, ou medianas) da base (a base é um triângulo regular).

2. A altura de uma pirâmide quadrangular regular cai no ponto de intersecção das diagonais da base (a base é um quadrado).

3. A altura de uma pirâmide hexagonal regular cai no ponto de intersecção das diagonais da base (a base é um hexágono regular).

4. A altura da pirâmide é perpendicular a qualquer linha reta situada na base.

Definição

A pirâmide é chamada retangular, se uma de suas arestas laterais for perpendicular ao plano da base.

Anotações importantes

1. Em uma pirâmide retangular, a aresta perpendicular à base é a altura da pirâmide. Ou seja, $SR$ é a altura.

2. Porque $SR$ é perpendicular a qualquer linha da base, então $\triângulo SRM, \triângulo SRP$– triângulos retângulos.

3. Triângulos $\triângulo SRN, \triângulo SRK$- também retangular.
Ou seja, qualquer triângulo formado por esta aresta e a diagonal que emerge do vértice desta aresta situada na base será retangular.

\[(\Large(\text(Volume e área de superfície da pirâmide)))\]

Teorema

O volume da pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide: \

Consequências

Seja $a$ o lado da base, $h$ a altura da pirâmide.

1. O volume de uma pirâmide triangular regular é $V_(\text(triângulo retângulo.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h$,

2. O volume de uma pirâmide quadrangular regular é $V_(\text(direita.quatro.pir.))=\dfrac13a^2h$.

3. O volume de uma pirâmide hexagonal regular é $V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h$.

4. O volume de um tetraedro regular é $V_(\text(tetr. direito))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3$.

Teorema

A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual à metade do produto do perímetro da base pelo apótema.

\[(\Grande(\texto(Frustum)))\]

Definição

Considere uma pirâmide arbitrária $PA_1A_2A_3...A_n$ . Desenhemos um plano paralelo à base da pirâmide através de um certo ponto situado na borda lateral da pirâmide. Este plano dividirá a pirâmide em dois poliedros, um dos quais é uma pirâmide ($PB_1B_2...B_n$), e o outro é chamado pirâmide truncada($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$ ).

A pirâmide truncada tem duas bases - polígonos $A_1A_2...A_n$ e $B_1B_2...B_n$ que são semelhantes entre si.

A altura de uma pirâmide truncada é uma perpendicular traçada de algum ponto da base superior ao plano da base inferior.

Anotações importantes

1. Todas as faces laterais de uma pirâmide truncada são trapézios.

2. O segmento que conecta os centros das bases de uma pirâmide truncada regular (ou seja, uma pirâmide obtida pela seção transversal de uma pirâmide regular) é a altura.

Como você pode construir uma pirâmide? Na superfície R Vamos construir um polígono, por exemplo o pentágono ABCDE. Fora do avião R Tomemos o ponto S. Conectando o ponto S com segmentos a todos os pontos do polígono, obtemos a pirâmide SABCDE (Fig.).

O ponto S é chamado principal, e o polígono ABCDE é base esta pirâmide. Assim, uma pirâmide com topo S e base ABCDE é a união de todos os segmentos onde M ∈ ABCDE.

Os triângulos SAB, SBC, SCD, SDE, SEA são chamados faces laterais pirâmides, lados comuns das faces laterais SA, SB, SC, SD, SE - costelas laterais.

As pirâmides são chamadas triangular, quadrangular, p-angular dependendo do número de lados da base. Na Fig. São fornecidas imagens de pirâmides triangulares, quadrangulares e hexagonais.

O plano que passa pelo topo da pirâmide e pela diagonal da base é chamado diagonal, e a seção resultante é diagonal. Na Fig. 186 uma das seções diagonais da pirâmide hexagonal está sombreada.

O segmento perpendicular traçado do topo da pirâmide até o plano de sua base é chamado de altura da pirâmide (as extremidades deste segmento são o topo da pirâmide e a base da perpendicular).

A pirâmide é chamada correto, se a base da pirâmide for um polígono regular e o vértice da pirâmide for projetado em seu centro.

Todas as faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles congruentes. Em uma pirâmide regular, todas as arestas laterais são congruentes.

A altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada a partir de seu vértice é chamada apótema pirâmides. Todos os apótemas de uma pirâmide regular são congruentes.

Se designarmos o lado da base como A, e o apótema através h, então a área de uma face lateral da pirâmide é 1/2 ah.

A soma das áreas de todas as faces laterais da pirâmide é chamada superfície lateral pirâmide e é designada pelo lado S.

Como a superfície lateral de uma pirâmide regular consiste em n faces congruentes, então

Lado S = 1/2 ahn=P h / 2 ,

onde P é o perímetro da base da pirâmide. Por isso,

Lado S =P h / 2

ou seja A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual à metade do produto do perímetro da base pelo apótema.

A área total da superfície da pirâmide é calculada pela fórmula

S = Socn. + lado S. .

O volume da pirâmide é igual a um terço do produto da área de sua base S ocn. para a altura H:

V = 1/3 S principal. N.

A derivação desta e de algumas outras fórmulas será dada em um dos capítulos subsequentes.

Vamos agora construir uma pirâmide de uma maneira diferente. Seja dado um ângulo poliédrico, por exemplo, pentaédrico, com vértice S (Fig.).

Vamos desenhar um avião R de modo que cruze todas as arestas de um determinado ângulo poliédrico em pontos diferentes A, B, C, D, E (fig.). Então a pirâmide SABCDE pode ser considerada como a intersecção de um ângulo poliédrico e um meio espaço com o limite R, em que se encontra o vértice S.

Obviamente, o número de todas as faces da pirâmide pode ser arbitrário, mas não inferior a quatro. Quando um ângulo triédrico cruza um plano, obtém-se uma pirâmide triangular com quatro lados. Qualquer pirâmide triangular é às vezes chamada tetraedro, que significa tetraedro.

Pirâmide truncada pode ser obtido se a pirâmide for interceptada por um plano paralelo ao plano da base.

Na Fig. É fornecida uma imagem de uma pirâmide quadrangular truncada.

Pirâmides truncadas também são chamadas triangular, quadrangular, n-gonal dependendo do número de lados da base. Da construção de uma pirâmide truncada conclui-se que ela possui duas bases: superior e inferior. As bases de uma pirâmide truncada são dois polígonos cujos lados são paralelos aos pares. As faces laterais da pirâmide truncada são trapézios.

Altura uma pirâmide truncada é um segmento perpendicular traçado de qualquer ponto da base superior ao plano da base inferior.

Pirâmide truncada regularé a parte de uma pirâmide regular delimitada entre a base e um plano de seção paralelo à base. A altura da face lateral de uma pirâmide truncada regular (trapézio) é chamada apótema.

Pode-se provar que uma pirâmide truncada regular tem arestas laterais congruentes, todas as faces laterais são congruentes e todos os apótemas são congruentes.

Se estiver no truncado correto n-pirâmide de carvão através A E b n indicar os comprimentos dos lados das bases superior e inferior, e através hé o comprimento do apótema, então a área de cada face lateral da pirâmide é igual a

1 / 2 (A + b n) h

A soma das áreas de todas as faces laterais da pirâmide é chamada de área de sua superfície lateral e é designada como lado S. . Obviamente, para um truncado correto n-pirâmide de carvão

Lado S = n 1 / 2 (A + b n) h.

Porque pai= P e nota n=P 1 - os perímetros das bases da pirâmide truncada, então

Lado S = 1/2 (P + P 1) h,

isto é, a área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular é igual à metade do produto da soma dos perímetros de suas bases e do apótema.

Seção paralela à base da pirâmide

Teorema. Se a pirâmide for interceptada por um plano paralelo à base, então:

1) as nervuras laterais e a altura serão divididas em partes proporcionais;

2) na seção transversal você obterá um polígono semelhante à base;

3) as áreas da seção transversal e as bases estão relacionadas como os quadrados de suas distâncias ao topo.

Basta provar o teorema de uma pirâmide triangular.

Como os planos paralelos são interceptados por um terceiro plano ao longo de linhas paralelas, então (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (fig.).

Retas paralelas cortam os lados de um ângulo em partes proporcionais e, portanto,

Portanto, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 e

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 e

Por isso,

Os ângulos correspondentes dos triângulos ABC e A 1 B 1 C 1 são congruentes, como ângulos com lados paralelos e idênticos. É por isso

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

As áreas de triângulos semelhantes estão relacionadas como os quadrados dos lados correspondentes:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\esquerda|(AB)\direita|^2)(\esquerda|(A_(1)B_1)\direita|^2 )$$

Por isso,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\esquerda|(SH)\direita|^2)(\esquerda|(SH_1)\direita|^2) $$

Teorema. Se duas pirâmides com alturas iguais são cortadas à mesma distância do topo por planos paralelos às bases, então as áreas das seções são proporcionais às áreas das bases.

Sejam (Fig. 84) B e B 1 as áreas das bases de duas pirâmides, H a altura de cada uma delas, b E b 1 - áreas seccionais por planos paralelos às bases e afastados dos vértices na mesma distância h.

De acordo com o teorema anterior teremos:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: e \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
onde
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: ou \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Consequência. Se B = B 1, então b = b 1, ou seja Se duas pirâmides com alturas iguais têm bases iguais, então as seções igualmente espaçadas do topo também são iguais.

Outros materiais

Hipótese: acreditamos que a perfeição da forma da pirâmide se deve às leis matemáticas inerentes à sua forma.

Alvo: Tendo estudado a pirâmide como corpo geométrico, explique a perfeição de sua forma.

Tarefas:

1. Dê uma definição matemática de pirâmide.

2. Estude a pirâmide como corpo geométrico.

3. Compreender que conhecimentos matemáticos os egípcios incorporaram nas suas pirâmides.

Perguntas privadas:

1. O que é uma pirâmide como corpo geométrico?

2. Como explicar a forma única da pirâmide do ponto de vista matemático?

3. O que explica as maravilhas geométricas da pirâmide?

4. O que explica a perfeição da forma piramidal?

Definição de pirâmide.

PIRÂMIDE (do grego pyramis, gen. pirâmides) - um poliedro cuja base é um polígono, e as demais faces são triângulos com um vértice comum (desenho). Com base no número de ângulos da base, as pirâmides são classificadas como triangulares, quadrangulares, etc.

PIRÂMIDE - um edifício monumental com forma geométrica pirâmides (às vezes também escalonadas ou em forma de torre). Pirâmides é o nome dado aos túmulos gigantes dos antigos faraós egípcios do 3º ao 2º milênio aC. e., bem como antigos pedestais de templos americanos (no México, Guatemala, Honduras, Peru), associados a cultos cosmológicos.

É possível que palavra grega“Pirâmide” vem da expressão egípcia per-em-us, ou seja, de um termo que significa a altura da pirâmide. O notável egiptólogo russo V. Struve acreditava que o grego “puram...j” vem do antigo egípcio “p"-mr".

Da história. Tendo estudado o material do livro “Geometria” dos autores de Atanasyan. Butuzov e outros, aprendemos que: Um poliedro composto por um n-gon A1A2A3 ... An e n triângulos PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 é chamado de pirâmide. Polígono A1A2A3...An é a base da pirâmide, e os triângulos PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 são as faces laterais da pirâmide, P é o topo da pirâmide, segmentos PA1, PA2,..., PAn são as bordas laterais.

No entanto, esta definição de pirâmide nem sempre existiu. Por exemplo, o antigo matemático grego, autor dos tratados teóricos de matemática que chegaram até nós, Euclides, define uma pirâmide como uma figura sólida limitada por planos que convergem de um plano para um ponto.

Mas esta definição já foi criticada na antiguidade. Assim, Heron propôs a seguinte definição de pirâmide: “É uma figura delimitada por triângulos convergindo em um ponto e cuja base é um polígono”.

O nosso grupo, depois de comparar estas definições, chegou à conclusão de que não apresentam uma formulação clara do conceito de “fundamento”.

Examinamos essas definições e encontramos a definição de Adrien Marie Legendre, que em 1794 em sua obra “Elementos de Geometria” define uma pirâmide da seguinte forma: “Uma pirâmide é uma figura sólida formada por triângulos convergindo em um ponto e terminando em lados diferentes de uma base plana.”

Parece-nos que a última definição dá uma ideia clara da pirâmide, uma vez que estamos falando sobre que a base é plana. Outra definição de pirâmide apareceu em um livro do século XIX: “uma pirâmide é um ângulo sólido cortado por um plano”.

Pirâmide como corpo geométrico.

Que. Uma pirâmide é um poliedro, uma de cujas faces (base) é um polígono, as demais faces (lados) são triângulos que possuem um vértice comum (o vértice da pirâmide).

A perpendicular traçada do topo da pirâmide ao plano da base é chamada alturah pirâmides.

Além da pirâmide arbitrária, existem pirâmide correta na base do qual está um polígono regular e pirâmide truncada.

Na figura existe uma pirâmide PABCD, ABCD é sua base, PO é sua altura.

Superfície total pirâmide é a soma das áreas de todas as suas faces.

Sfull = Sside + Smain, Onde Lado– a soma das áreas das faces laterais.

Volume da pirâmide é encontrado pela fórmula:

V=1/3Sbas. h, onde Sbas. - área base, h- altura.

O eixo de uma pirâmide regular é a linha reta que contém sua altura.
Apothem ST é a altura da face lateral de uma pirâmide regular.

A área da face lateral de uma pirâmide regular é expressa da seguinte forma: Sside. =1/2P h, onde P é o perímetro da base, h- altura da face lateral (apótema de uma pirâmide regular). Se a pirâmide for interceptada pelo plano A’B’C’D’, paralelo à base, então:

1) as nervuras laterais e a altura são divididas por este plano em partes proporcionais;

2) em seção transversal obtém-se um polígono A’B’C’D’, semelhante à base;

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Uma pirâmide triangular regular é chamada tetraedro .

Pirâmide truncada é obtido cortando a sua parte superior da pirâmide com um plano paralelo à base (figura ABCDD’C’B’A’).

Bases de uma pirâmide truncada– polígonos semelhantes ABCD e A`B`C`D`, as faces laterais são trapézios.

Altura pirâmide truncada - a distância entre as bases.

Volume truncado pirâmide é encontrada pela fórmula:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> A área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular é expresso da seguinte forma: Sside = ½(P+P') h, onde P e P’ são os perímetros das bases, h- altura da face lateral (apótema de um pirami truncado regular

Seções de uma pirâmide.

As seções de uma pirâmide por planos que passam por seu vértice são triângulos.

Uma seção que passa por duas arestas laterais não adjacentes de uma pirâmide é chamada seção diagonal.

Se a seção passar por um ponto na borda lateral e na lateral da base, então seu traço até o plano da base da pirâmide será este lado.

Uma seção passando por um ponto situado na face da pirâmide e uma determinada seção traçada no plano base, então a construção deve ser realizada da seguinte forma:

· encontrar o ponto de intersecção do plano de uma determinada face e o traço da seção da pirâmide e designá-lo;

· construir uma linha reta passando por um determinado ponto e pelo ponto de intersecção resultante;

· repita estes passos para os próximos rostos.

, que corresponde à proporção dos catetos de um triângulo retângulo 4:3. Esta proporção dos catetos corresponde ao conhecido triângulo retângulo com lados 3:4:5, que é chamado de triângulo “perfeito”, “sagrado” ou “egípcio”. Segundo os historiadores, o triângulo “egípcio” recebeu um significado mágico. Plutarco escreveu que os egípcios compararam a natureza do universo a um triângulo “sagrado”; eles compararam simbolicamente a perna vertical ao marido, a base à esposa e a hipotenusa àquilo que nasce de ambos.

Para um triângulo 3:4:5, a igualdade é verdadeira: 32 + 42 = 52, o que expressa o teorema de Pitágoras. Não foi este teorema que os sacerdotes egípcios quiseram perpetuar erguendo uma pirâmide baseada no triângulo 3:4:5? É difícil encontrar mais bom exemplo para ilustrar o teorema de Pitágoras, que era conhecido pelos egípcios muito antes de sua descoberta por Pitágoras.

Assim, os brilhantes criadores Pirâmides egípcias procuraram surpreender descendentes distantes com a profundidade de seu conhecimento, e conseguiram isso escolhendo o triângulo retângulo “dourado” como a “ideia geométrica principal” para a pirâmide de Quéops, e o triângulo “sagrado” ou “egípcio” para a pirâmide de Quéfren .

Muitas vezes, em suas pesquisas, os cientistas usam as propriedades das pirâmides com proporções de Proporção Áurea.

Na matemática dicionário enciclopédicoÉ dada a seguinte definição da Seção Áurea - esta é uma divisão harmônica, divisão em razão extrema e média - dividindo o segmento AB em duas partes de tal forma que sua parte maior AC seja a média proporcional entre todo o segmento AB e seu parte menor NE.

Determinação algébrica da seção áurea de um segmento AB = uma reduz-se a resolver a equação a: x = x: (a – x), da qual x é aproximadamente igual a 0,62a. A proporção x pode ser expressa como frações 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, onde 2, 3, 5, 8, 13, 21 são números de Fibonacci.

A construção geométrica da Seção Áurea do segmento AB é realizada da seguinte forma: no ponto B, uma perpendicular a AB é restaurada, sobre ela é disposto o segmento BE = 1/2 AB, A e E estão conectados, DE = BE é demitido e, finalmente, AC = AD, então a igualdade AB é satisfeita: CB = 2:3.

proporção áurea frequentemente usado em obras de arte, arquitetura e encontrado na natureza. Exemplos vívidos são a escultura de Apollo Belvedere e o Partenon. Durante a construção do Partenon, foi utilizada a relação entre a altura do edifício e o seu comprimento e esta relação é de 0,618. Os objetos ao nosso redor também fornecem exemplos da Proporção Áurea, por exemplo, as encadernações de muitos livros têm uma relação largura-comprimento próxima de 0,618. Considerando a disposição das folhas no caule comum das plantas, pode-se notar que entre cada dois pares de folhas o terceiro está localizado na Proporção Áurea (lâminas). Cada um de nós “carrega” conosco “nas mãos” a Proporção Áurea - esta é a proporção das falanges dos dedos.

Graças à descoberta de vários papiros matemáticos, os egiptólogos aprenderam algo sobre os antigos sistemas egípcios de cálculo e medição. As tarefas neles contidas foram resolvidas pelos escribas. Um dos mais famosos é o Papiro Matemático de Rhind. Ao estudar esses problemas, os egiptólogos aprenderam como os antigos egípcios lidavam com as diversas quantidades que surgiam no cálculo de medidas de peso, comprimento e volume, que muitas vezes envolviam frações, e também como lidavam com ângulos.

Os antigos egípcios usavam um método de cálculo de ângulos baseado na razão entre a altura e a base de um triângulo retângulo. Eles expressavam qualquer ângulo na linguagem de um gradiente. O gradiente de inclinação foi expresso como uma razão de números inteiros chamada "seced". Em Mathematics in the Age of the Pharaohs, Richard Pillins explica: “O seked de uma pirâmide regular é a inclinação de qualquer uma das quatro faces triangulares em relação ao plano da base, medida pelo enésimo número de unidades horizontais por unidade vertical de ascensão . Assim, esta unidade de medida equivale à nossa moderna cotangente do ângulo de inclinação. Portanto, a palavra egípcia "seced" está relacionada ao nosso palavra moderna"gradiente"".

A chave numérica das pirâmides está na razão entre sua altura e a base. Em termos práticos, esta é a maneira mais fácil de fazer os gabaritos necessários para verificar constantemente o ângulo de inclinação correto ao longo da construção da pirâmide.

Os egiptólogos ficariam felizes em nos convencer de que cada faraó desejava expressar sua individualidade, daí as diferenças nos ângulos de inclinação de cada pirâmide. Mas pode haver outro motivo. Talvez todos quisessem incorporar diferentes associações simbólicas, ocultas em diferentes proporções. No entanto, o ângulo da pirâmide de Quéfren (baseado no triângulo (3:4:5) aparece nos três problemas apresentados pelas pirâmides no Rhind Mathematical Papyrus). Portanto, esta atitude era bem conhecida dos antigos egípcios.

Para ser justo com os egiptólogos que afirmam que os antigos egípcios não conheciam o triângulo 3:4:5, o comprimento da hipotenusa 5 nunca foi mencionado. Mas problemas de matemática questões relativas às pirâmides são sempre decididas com base no segundo ângulo - a relação entre a altura e a base. Como o comprimento da hipotenusa nunca foi mencionado, concluiu-se que os egípcios nunca calcularam o comprimento do terceiro lado.

As relações altura-base usadas nas pirâmides de Gizé eram, sem dúvida, conhecidas pelos antigos egípcios. É possível que essas relações para cada pirâmide tenham sido escolhidas arbitrariamente. No entanto, isto contradiz a importância atribuída ao simbolismo numérico em todos os tipos de símbolos egípcios. Artes visuais. É muito provável que tais relações fossem significativas porque expressavam ideias religiosas. Em outras palavras, todo o complexo de Gizé estava subordinado a um projeto coerente projetado para refletir um certo tema divino. Isto explicaria por que os designers escolheram ângulos diferentes para as três pirâmides.

Em O Mistério de Órion, Bauval e Gilbert apresentaram evidências convincentes que ligam as pirâmides de Gizé à constelação de Órion, em particular às estrelas do Cinturão de Órion. A mesma constelação está presente no mito de Ísis e Osíris, e há motivos para ver. cada pirâmide como uma representação de uma das três divindades principais - Osíris, Ísis e Hórus.

MILAGRES “GEOMÉTRICOS”.

Entre as grandiosas pirâmides do Egito lugar especial leva Grande Pirâmide do Faraó Quéops (Khufu). Antes de começarmos a analisar a forma e o tamanho da pirâmide de Quéops, devemos lembrar qual sistema de medidas os egípcios usavam. Os egípcios tinham três unidades de comprimento: um “côvado” (466 mm), que equivalia a sete “palmas” (66,5 mm), que, por sua vez, equivalia a quatro “dedos” (16,6 mm).

Analisemos as dimensões da pirâmide de Quéops (Fig. 2), seguindo os argumentos apresentados no maravilhoso livro do cientista ucraniano Nikolai Vasyutinsky “A Proporção Áurea” (1990).

A maioria dos pesquisadores concorda que o comprimento do lado da base da pirâmide, por exemplo, GF igual a eu= 233,16 m. Este valor corresponde quase exatamente a 500 “cotovelos”. O cumprimento total de 500 “cotovelos” ocorrerá se o comprimento do “cotovelo” for considerado igual a 0,4663 m.

Altura da pirâmide ( H) é estimado pelos pesquisadores de 146,6 a 148,2 m e dependendo da altura aceita da pirâmide, todas as relações de seus elementos geométricos mudam. Qual é a razão das diferenças nas estimativas da altura da pirâmide? O fato é que, a rigor, a pirâmide de Quéops está truncada. A sua plataforma superior mede hoje cerca de 10 ´ 10 m, mas há um século tinha 6 ´ 6 m. Obviamente, o topo da pirâmide foi desmontado e não corresponde ao original.

Ao avaliar a altura da pirâmide, é necessário levar em consideração um fator físico como o “calado” da estrutura. Atrás muito tempo sob a influência de uma pressão colossal (atingindo 500 toneladas por 1 m2 da superfície inferior), a altura da pirâmide diminuiu em relação à sua altura original.

Qual era a altura original da pirâmide? Essa altura pode ser recriada encontrando a “ideia geométrica” básica da pirâmide.

Figura 2.

Em 1837, o coronel inglês G. Wise mediu o ângulo de inclinação das faces da pirâmide: descobriu-se que era igual a= 51°51". Este valor ainda é reconhecido pela maioria dos pesquisadores hoje. O valor do ângulo especificado corresponde à tangente (tg a), igual a 1,27306. Este valor corresponde à razão entre a altura da pirâmide AC para metade da sua base C. B.(Fig.2), ou seja A.C. / C. B. = H / (eu / 2) = 2H / eu.

E aqui os pesquisadores tiveram uma grande surpresa!.png" width="25" height="24">= 1.272. Comparando este valor com o valor tg a= 1,27306, vemos que esses valores estão muito próximos entre si. Se tomarmos o ângulo a= 51°50", ou seja, reduza em apenas um minuto de arco, então o valor a passará a ser igual a 1,272, ou seja, coincidirá com o valor. Deve-se notar que em 1840 G. Wise repetiu suas medições e esclareceu que o valor do ângulo a=51°50".

Essas medições levaram os pesquisadores à seguinte hipótese muito interessante: o triângulo ACB da pirâmide de Quéops foi baseado na relação AC / C. B. = = 1,272!

Considere agora o triângulo retângulo abc, em que a proporção das pernas A.C. / C. B.= (Fig. 2). Se agora os comprimentos dos lados do retângulo abc designado por x, sim, z, e também leve em consideração que a proporção sim/x= , então de acordo com o teorema de Pitágoras, o comprimento z pode ser calculado usando a fórmula:

Se aceitarmos x = 1, sim= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" largura="143" altura="27">

Figura 3. Triângulo retângulo "dourado".

Um triângulo retângulo em que os lados estão relacionados como t:triângulo retângulo dourado ".

Então, se tomarmos como base a hipótese de que a “ideia geométrica” principal da pirâmide de Quéops é um triângulo retângulo “dourado”, a partir daqui podemos facilmente calcular a altura do “desenho” da pirâmide de Quéops. É igual a:

H = (L/2) ´ = 148,28m.

Vamos agora derivar algumas outras relações para a pirâmide de Quéops, que decorrem da hipótese “de ouro”. Em particular, encontraremos a razão entre a área externa da pirâmide e a área de sua base. Para fazer isso, pegamos o comprimento da perna C. B. por unidade, ou seja: C. B.= 1. Mas então o comprimento do lado da base da pirâmide GF= 2, e a área da base EFGH será igual SEFGH = 4.

Vamos agora calcular a área da face lateral da pirâmide de Quéops SD. Desde a altura AB triângulo AEF igual a t, então a área da face lateral será igual a SD = t. Então a área total de todas as quatro faces laterais da pirâmide será igual a 4 t, e a proporção entre a área externa total da pirâmide e a área da base será igual à proporção áurea! É isso que é - o principal mistério geométrico da pirâmide de Quéops!

Para o grupo " maravilhas geométricas“As pirâmides de Quéops podem ser atribuídas às propriedades reais e fictícias da relação entre dimensões diferentes na pirâmide.

Via de regra, são obtidos em busca de certas “constantes”, em particular, o número “pi” (número de Ludolfo), igual a 3,14159...; a base dos logaritmos naturais "e" (número de Neperovo), igual a 2,71828...; o número "F", o número da "proporção áurea", igual a, por exemplo, 0,618... etc.

Você pode citar, por exemplo: 1) Propriedade de Heródoto: (Altura)2 = 0,5 art. básico x Apótema; 2) Imóvel de V. Preço: Altura: 0,5 art. base = Raiz quadrada de “F”; 3) Propriedade de M. Eist: Perímetro da base: 2 Altura = “Pi”; em uma interpretação diferente - 2 colheres de sopa. básico : Altura = "Pi"; 4) Propriedade de G. Aresta: Raio do círculo inscrito: 0,5 art. básico = "F"; 5) Propriedade de K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art. . principal X Apótema) + (v. principal)2). Etc. Você pode criar muitas dessas propriedades, especialmente se conectar duas pirâmides adjacentes. Por exemplo, como “Propriedades de A. Arefyev” pode-se mencionar que a diferença nos volumes da pirâmide de Quéops e da pirâmide de Quéfren é igual a duas vezes o volume da pirâmide de Mikerin...

Muitos disposições interessantes, em particular, a construção de pirâmides de acordo com a “proporção áurea” é descrita nos livros de D. Hambidge “ Simetria dinâmica na arquitetura" e M. Ghik "Estética da proporção na natureza e na arte". Lembremos que a "proporção áurea" é a divisão de um segmento em tal proporção quando a parte A é tantas vezes maior que a parte B, quantas vezes A é menor que todo o segmento A + B A proporção A/B é igual ao número “F” == 1,618... Isso indica o uso da “proporção áurea” não apenas em pirâmides individuais, mas em todo o complexo piramidal de Gizé.

O mais curioso, porém, é que a mesma pirâmide de Quéops simplesmente “não pode” conter tantas propriedades maravilhosas. Tomando uma determinada propriedade uma a uma, ela pode ser “encaixada”, mas não cabem todas ao mesmo tempo - não coincidem, se contradizem. Portanto, se, por exemplo, ao verificar todas as propriedades, tomarmos inicialmente o mesmo lado da base da pirâmide (233 m), então as alturas das pirâmides com propriedades diferentes também serão diferentes. Em outras palavras, existe uma certa “família” de pirâmides que são externamente semelhantes às de Quéops, mas possuem propriedades diferentes. Observe que não há nada particularmente milagroso nas propriedades “geométricas” - muito surge de forma puramente automática, das propriedades da própria figura. Um “milagre” só deveria ser considerado algo que era claramente impossível para os antigos egípcios. Isto, em particular, inclui milagres “cósmicos”, nos quais as medidas da pirâmide de Quéops ou do complexo piramidal de Gizé são comparadas com algumas medidas astronômicas e números “pares” são indicados: um milhão de vezes menos, um bilhão de vezes menos, e breve. Consideremos alguns relacionamentos “cósmicos”.

Uma das afirmações é: “se você dividir o lado da base da pirâmide pela duração exata do ano, obterá exatamente 10 milionésimos do eixo da Terra”. Calcule: divida 233 por 365, obtemos 0,638. O raio da Terra é 6.378 km.

Outra afirmação é na verdade o oposto da anterior. F. Noetling apontou que se usarmos o “côvado egípcio” que ele mesmo inventou, então o lado da pirâmide corresponderá à “duração mais precisa ano solar, expresso até o bilionésimo de dia mais próximo" - 365.540.903.777.

Declaração de P. Smith: "A altura da pirâmide é exatamente um bilionésimo da distância da Terra ao Sol." Embora a altura normalmente medida seja de 146,6 m, Smith considerou-a como 148,2 m. De acordo com medições de radar modernas, o semieixo maior da órbita da Terra é 149.597.870 + 1,6 km. Esta é a distância média da Terra ao Sol, mas no periélio é 5.000.000 de quilômetros a menos do que no afélio.

Uma última afirmação interessante:

“Como podemos explicar que as massas das pirâmides de Quéops, Quéfren e Mykerinus se relacionam entre si, como as massas dos planetas Terra, Vênus, Marte?” Vamos calcular. As massas das três pirâmides são: Quéfren - 0,835; Quéops - 1.000; Mikerin - 0,0915. As proporções das massas dos três planetas: Vênus - 0,815; Terra - 1.000; Marte - 0,108.

Assim, apesar do ceticismo, notamos a conhecida harmonia na construção dos enunciados: 1) a altura da pirâmide, como uma linha “indo para o espaço”, corresponde à distância da Terra ao Sol; 2) o lado da base da pirâmide, mais próximo “do substrato”, ou seja, da Terra, é responsável pelo raio terrestre e pela circulação terrestre; 3) os volumes da pirâmide (leia-se - massas) correspondem à razão entre as massas dos planetas mais próximos da Terra. Uma “cifra” semelhante pode ser rastreada, por exemplo, em língua de abelha, analisado por Karl von Frisch. No entanto, nos absteremos de comentar este assunto por enquanto.

FORMA DE PIRÂMIDE

A famosa forma tetraédrica das pirâmides não surgiu imediatamente. Os citas fizeram sepulturas na forma de colinas de terra - montes. Os egípcios construíram "colinas" de pedra - pirâmides. Isto aconteceu pela primeira vez após a unificação do Alto e do Baixo Egito, no século 28 aC, quando o fundador da Terceira Dinastia, o Faraó Djoser (Zoser), se deparou com a tarefa de fortalecer a unidade do país.

E aqui, segundo os historiadores, " novo conceito"deificação" do rei. Embora os sepultamentos reais se distinguissem pelo maior esplendor, em princípio não diferiam dos túmulos dos nobres da corte, eram as mesmas estruturas - mastabas Acima da câmara com o sarcófago contendo a múmia, retangular. Foi derramada uma colina de pequenas pedras, onde foi colocada uma pequena construção feita de grandes blocos de pedra - “mastaba” (em árabe - “banco”). No local da mastaba de seu antecessor, Sanakht, o Faraó Djoser ergueu o primeiro. pirâmide Foi escalonada e foi um estágio de transição visível de uma forma arquitetônica para outra, de mastaba para pirâmide.

Desta forma, o sábio e arquiteto Imhotep, que mais tarde foi considerado um mago e identificado pelos gregos com o deus Asclépio, “criou” o faraó. Foi como se seis mastabas fossem erguidas seguidas. Além disso, a primeira pirâmide ocupava uma área de 1125 x 115 metros, com altura estimada de 66 metros (pelos padrões egípcios - 1000 “palmeiras”). A princípio, o arquiteto planejou construir uma mastaba, mas não oblonga, mas de planta quadrada. Mais tarde foi ampliado, mas como a extensão foi rebaixada, parecia que eram dois degraus.

Esta situação não satisfez o arquitecto e, na plataforma superior da enorme mastaba plana, Imhotep colocou mais três, diminuindo gradualmente em direcção ao topo. A tumba estava localizada sob a pirâmide.

Várias outras pirâmides escalonadas são conhecidas, mas mais tarde os construtores passaram a construir pirâmides tetraédricas que nos são mais familiares. Por que, entretanto, não triangular ou, digamos, octogonal? Uma resposta indireta é dada pelo fato de que quase todas as pirâmides estão perfeitamente orientadas ao longo das quatro direções cardeais e, portanto, têm quatro lados. Além disso, a pirâmide era uma “casa”, a concha de uma câmara mortuária quadrangular.

Mas o que determinou o ângulo de inclinação das faces? No livro “O Princípio das Proporções” um capítulo inteiro é dedicado a isso: “O que poderia ter determinado os ângulos de inclinação das pirâmides”. Em particular, indica-se que “a imagem para a qual gravitam as grandes pirâmides Reino antigo- um triângulo com ângulo reto no vértice.

No espaço é um semi-octaedro: uma pirâmide em que as arestas e os lados da base são iguais, as arestas são triângulos equiláteros." Certas considerações são feitas sobre este assunto nos livros de Hambidge, Gick e outros.

Qual é a vantagem do ângulo semi-octaedro? Segundo descrições de arqueólogos e historiadores, algumas pirâmides ruíram sob o próprio peso. O que era necessário era um “ângulo de durabilidade”, um ângulo que fosse energeticamente mais confiável. De forma puramente empírica, esse ângulo pode ser obtido a partir do ângulo do vértice em uma pilha de areia seca esfarelada. Mas para obter dados precisos, você precisa usar um modelo. Pegando quatro bolas firmemente fixadas, é necessário colocar uma quinta sobre elas e medir os ângulos de inclinação. Porém, você pode cometer um erro aqui, então um cálculo teórico ajuda: você deve conectar os centros das bolas com linhas (mentalmente). A base será um quadrado com lado igual ao dobro do raio. O quadrado será apenas a base da pirâmide, cujo comprimento das arestas também será igual ao dobro do raio.

Assim, um empacotamento próximo de bolas como 1:4 nos dará um semi-octaedro regular.

Contudo, por que muitas pirâmides, gravitando em direção a uma forma semelhante, não a mantêm? As pirâmides provavelmente estão envelhecendo. Ao contrário do famoso ditado:

“Tudo no mundo tem medo do tempo, e o tempo tem medo das pirâmides”, os edifícios das pirâmides devem envelhecer, não só podem e devem ocorrer neles processos de intemperismo externo, mas também processos de “encolhimento” interno que podem fazer com que as pirâmides fiquem mais baixas. O encolhimento também é possível porque, como revela o trabalho de D. Davidovits, os antigos egípcios utilizavam a tecnologia de fazer blocos a partir de lascas de cal, ou seja, de “concreto”. São precisamente processos semelhantes que poderiam explicar o motivo da destruição da Pirâmide Medum, localizada 50 km ao sul do Cairo. Tem 4.600 anos, as dimensões da base são 146 x 146 m, a altura é 118 m. “Por que está tão desfigurado?” pergunta V. Zamarovsky “As referências habituais aos efeitos destrutivos do tempo e ao “uso de pedra para outros edifícios” não são adequadas aqui.

Afinal, a maior parte dos seus blocos e lajes permanecem no local até hoje, em ruínas aos seus pés." Como veremos, uma série de disposições até nos fazem pensar que a famosa pirâmide de Quéops também "murchou". de qualquer forma, em todas as imagens antigas as pirâmides são pontiagudas...

A forma das pirâmides também poderia ter sido gerada por imitação: algumas amostras naturais, “perfeição milagrosa”, digamos, alguns cristais na forma de um octaedro.

Cristais semelhantes podem ser cristais de diamante e ouro. Característica um grande número de sinais "sobrepostos" para conceitos como Faraó, Sol, Ouro, Diamante. Em todos os lugares - nobre, brilhante (brilhante), ótimo, impecável e assim por diante. As semelhanças não são acidentais.

O culto solar, como se sabe, constituía uma parte importante da religião Antigo Egito. “Não importa como traduzimos o nome da maior das pirâmides”, observa um dos ajudas modernas- “O firmamento de Khufu” ou “O firmamento de Khufu”, significava que o rei é o sol.” Se Khufu, no brilho de seu poder, se imaginou como o segundo sol, então seu filho Djedef-Ra se tornou o primeiro dos reis egípcios a se autodenominar “o filho de Rá”, ou seja, o filho do Sol. O Sol de quase todos os povos era simbolizado pelo “metal solar”, o ouro. - é assim que os egípcios chamavam a nossa luz do dia. Os egípcios conheciam perfeitamente o ouro, conheciam suas formas nativas, onde os cristais de ouro podem aparecer na forma de octaedros.

A “pedra do sol” – diamante – também é interessante aqui como uma “amostra de formas”. O nome do diamante veio justamente do mundo árabe, “almas” - o mais duro, o mais duro, o indestrutível. Os antigos egípcios conheciam muito bem o diamante e suas propriedades. Segundo alguns autores, chegaram a usar tubos de bronze com fresas diamantadas para furar.

Atualmente o principal fornecedor de diamantes é África do Sul, mas a África Ocidental também é rica em diamantes. O território da República do Mali é até chamado de “Terra do Diamante”. Entretanto, é no território do Mali que vivem os Dogon, em quem os defensores da hipótese da paleo-visita depositam muitas esperanças (ver abaixo). Os diamantes não poderiam ter sido o motivo dos contactos dos antigos egípcios com esta região. Porém, de uma forma ou de outra, é possível que justamente ao copiar os octaedros dos cristais de diamante e ouro, os antigos egípcios divinizassem assim os faraós, “indestrutíveis” como o diamante e “brilhantes” como o ouro, os filhos do Sol, comparáveis apenas às mais maravilhosas criações da natureza.

Conclusão:

Tendo estudado a pirâmide como corpo geométrico, conhecendo seus elementos e propriedades, ficamos convencidos da validade da opinião sobre a beleza da forma da pirâmide.

Como resultado de nossa pesquisa, chegamos à conclusão de que os egípcios, tendo coletado o conhecimento matemático mais valioso, incorporaram-no em uma pirâmide. Portanto, a pirâmide é verdadeiramente a criação mais perfeita da natureza e do homem.

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Uma pirâmide triangular é uma pirâmide que possui um triângulo em sua base. A altura desta pirâmide é a perpendicular que desce do topo da pirâmide até sua base.

Encontrando a altura de uma pirâmide

Como encontrar a altura de uma pirâmide? Muito simples! Para encontrar a altura de qualquer pirâmide triangular, você pode usar a fórmula do volume: V = (1/3)Sh, onde S é a área da base, V é o volume da pirâmide, h é a sua altura. A partir desta fórmula, derivamos a fórmula da altura: para encontrar a altura de uma pirâmide triangular, você precisa multiplicar o volume da pirâmide por 3 e depois dividir o valor resultante pela área da base, será: h = (3V)/S. Como a base de uma pirâmide triangular é um triângulo, você pode usar a fórmula para calcular a área de um triângulo. Se soubermos: a área do triângulo S e seu lado z, então de acordo com a fórmula da área S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, onde h é a altura da pirâmide, γ é a aresta do triângulo; o ângulo entre os lados do triângulo e os próprios dois lados, então usando a seguinte fórmula: S = (1/2)γφsinQ, onde γ, φ são os lados do triângulo, encontramos a área do triângulo. O valor do seno do ângulo Q precisa ser consultado na tabela de senos, que está disponível na Internet. A seguir, substituímos o valor da área na fórmula da altura: h = (2S)/γ. Se a tarefa exigir o cálculo da altura de uma pirâmide triangular, então o volume da pirâmide já é conhecido.

Pirâmide triangular regular

Encontre a altura de uma pirâmide triangular regular, ou seja, uma pirâmide em que todas as faces são triângulos equiláteros, conhecendo o tamanho da aresta γ. Neste caso, as arestas da pirâmide são os lados dos triângulos equiláteros. A altura de uma pirâmide triangular regular será: h = γ√(2/3), onde γ é a aresta do triângulo equilátero, h é a altura da pirâmide. Se a área da base (S) for desconhecida e apenas o comprimento da aresta (γ) e o volume (V) do poliedro forem dados, então a variável necessária na fórmula da etapa anterior deve ser substituída pelo seu equivalente, que é expresso em termos do comprimento da aresta. A área de um triângulo (regular) é igual a 1/4 do produto do comprimento do lado deste triângulo ao quadrado pela raiz quadrada de 3. Substituímos esta fórmula em vez da área da base no anterior fórmula, e obtemos a seguinte fórmula: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). O volume de um tetraedro pode ser expresso através do comprimento de sua aresta, então a partir da fórmula de cálculo da altura de uma figura, você pode remover todas as variáveis e deixar apenas o lado da face triangular da figura. O volume de tal pirâmide pode ser calculado dividindo por 12 do produto o comprimento cúbico de sua face pela raiz quadrada de 2.

Substituindo esta expressão na fórmula anterior, obtemos a seguinte fórmula de cálculo: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Além disso, um prisma triangular regular pode ser inscrito em uma esfera, e conhecendo apenas o raio da esfera (R) pode-se encontrar a altura do próprio tetraedro. O comprimento da aresta do tetraedro é: γ = 4R/√6. Substituímos a variável γ por esta expressão na fórmula anterior e obtemos a fórmula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. A mesma fórmula pode ser obtida conhecendo o raio (R) de um círculo inscrito em um tetraedro. Neste caso, o comprimento da aresta do triângulo será igual a 12 razões entre a raiz quadrada de 6 e o raio. Substituímos esta expressão na fórmula anterior e temos: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Como encontrar a altura de uma pirâmide quadrangular regular

Para responder à questão de como encontrar o comprimento da altura de uma pirâmide, você precisa saber o que é uma pirâmide regular. Uma pirâmide quadrangular é uma pirâmide que possui um quadrilátero em sua base. Se nas condições do problema tivermos: volume (V) e área da base (S) da pirâmide, então a fórmula para calcular a altura do poliedro (h) será a seguinte - divida o volume multiplicado por 3 pela área S: h = (3V)/S. Dada a base quadrada de uma pirâmide com determinado volume (V) e comprimento lateral γ, substitua a área (S) da fórmula anterior pelo quadrado do comprimento lateral: S = γ 2 ; H = 3V/γ2. A altura de uma pirâmide regular h = SO passa exatamente pelo centro do círculo circunscrito próximo à base. Como a base desta pirâmide é um quadrado, o ponto O é o ponto de intersecção das diagonais AD e BC. Temos: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. A seguir, estamos em triângulo retângulo Encontramos SOC (usando o teorema de Pitágoras): SO = √(SC 2 -OC 2). Agora você sabe como encontrar a altura de uma pirâmide regular.