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Descrição da apresentação por slides individuais:

1 diapositivo

Descrição do slide:

Tarefas-chave na teoria das probabilidades Preparação para o OGE No. 9 MBOU “Gymnasium No. COMO. Pushkin" Autor-compilador: Sofina N.Yu.

2 slides

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Requisitos básicos verificáveis ​​para treinamento matemático Nº 9 OGE em matemática Resolver problemas práticos, exigindo uma busca sistemática de opções; comparar as chances de ocorrência de eventos aleatórios, avaliar as probabilidades de um evento aleatório, comparar e explorar modelos da situação real usando o aparato de probabilidade e estatística. Nº 9 – tarefa básica. A pontuação máxima para completar a tarefa é 1.

3 slides

Descrição do slide:

A probabilidade de um evento A é a razão entre o número m de resultados favoráveis ​​a este evento e o número total n de todos os eventos incompatíveis igualmente possíveis que podem ocorrer como resultado de um teste ou observação. Definição clássica de probabilidade. fórmula para calcular a probabilidade clássica de um evento aleatório P = n m

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Definição clássica de probabilidade Exemplo: O Comitê de Pais comprou 40 livros de colorir para crianças como presentes de formatura ano escolar. Destes, 14 são baseados em contos de fadas de A.S. Pushkin e 26 baseado nos contos de fadas de H. H. Andersen. Os presentes são distribuídos aleatoriamente. Encontre a probabilidade de Nastya receber um livro para colorir baseado nos contos de fadas de A.S. Pushkin. Solução: m= 14; n= 14 +26=40 P= 14/40= 0,35 Resposta: 0,35.

5 slides

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Exemplo: Havia 60 questões para o exame. Ivan não aprendeu três deles. Encontre a probabilidade de ele encontrar a questão aprendida. Solução: Aqui n=60. Ivan não aprendeu 3, o que significa que aprendeu todos os outros, ou seja, m= 60-3=57. P=57/60=0,95. Definição clássica de probabilidade Resposta: 0,95.

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“A ordem é determinada por sorteio” ​​Exemplo: 20 atletas participam do campeonato de ginástica: 8 da Rússia, 7 dos EUA, o restante da China. A ordem de atuação das ginastas é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de o atleta que compete em quinto lugar ser da China. Solução: Na definição do problema existe uma palavra “mágica” “lote”, o que significa que esquecemos a ordem de apresentação. Assim, m= 20-8-7=5 (da China); n=20. P = 5/20 = 0,25. Resposta: 0,25.

7 slides

Descrição do slide:

Exemplo: Uma conferência científica é realizada durante 5 dias. Total planejado 75 relatórios - primeiro 3 dias de 17 relatórios, o restante é distribuído igualmente entre o 4º e o 5º dia. A ordem dos relatórios é determinada por sorteio. Qual é a probabilidade de o relatório do Professor Ivanov ser agendado para o último dia da conferência? Solução: vamos inserir os dados em uma tabela. Descobrimos que m=12; n=75. P = 12/75 = 0,16. Resposta: 0,16. “A ordem é determinada por sorteio” ​​Dia I II III IV V Número total de relatórios 17 17 17 12 12 75

8 slides

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Frequência de um evento Assim como a probabilidade, encontra-se a frequência de um evento, cujas tarefas também estão nos protótipos. Qual é a diferença? A probabilidade é um valor previsto e a frequência é uma afirmação de um fato. Exemplo: A probabilidade de um novo tablet ser reparado dentro da garantia dentro de um ano é de 0,045. Em determinada cidade, de 1.000 tablets vendidos no ano, 51 unidades foram recebidas pela oficina de garantia. Quão diferente é a frequência do evento de “reparo em garantia” de sua probabilidade nesta cidade? Solução: Vamos encontrar a frequência do evento: 51/1000=0,051. E a probabilidade é de 0,045 (de acordo com a condição). Isso significa que nesta cidade o evento de “reparo em garantia” ocorre com mais frequência do que o esperado. Vamos encontrar a diferença ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Ao mesmo tempo, devemos levar em conta que o sinal da diferença NÃO é importante para nós, mas apenas o seu valor absoluto. Resposta: 0,006.

Diapositivo 9

Descrição do slide:

Problemas com enumeração de opções (“moedas”, “fósforos”) Seja k o número de lançamentos de moeda e, em seguida, o número de resultados possíveis: n = 2k. Exemplo: Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada duas vezes. Encontre a probabilidade de que cara apareça exatamente uma vez. Solução: Opções de queda de moeda: OO; OU; RR; RO. Assim, n=4. Desfechos favoráveis: RR e RO. Ou seja, m= 2. P=2/4 = 1/2 = 0,5. Resposta: 0,5.

10 slides

Descrição do slide:

Exemplo: Antes do início de uma partida de futebol, o árbitro lança uma moeda para determinar qual time terá a posse de bola primeiro. A equipe "Mercúrio" se reveza jogando com as equipes "Marte", "Júpiter", "Urano". Encontre a probabilidade de o time Mercury ganhar a bola em todas as partidas? Problemas com a enumeração de opções (“moedas”, “partidas”) Solução: Denotemos a posse da primeira bola do time “Mercúrio” em uma partida com uma das outras três equipes como “Tails”. Então o direito de posse da segunda bola desta equipe é “Águia”. Então, vamos anotar todos os resultados possíveis do lançamento de uma moeda três vezes. “O” é cara, “P” é coroa. ; isto é, n = 8; m=1. P = 1/8 = 0,125. Resposta: 0,125 n = 23 “Marte” “Júpiter” “Urano” O O O O O R O R O R O R R R R O O R O R R R R

11 slides

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Problemas com "cubos" ( dados) Seja k o número de lançamentos de dados e depois o número de resultados possíveis: n = 6k. Exemplo: Dasha lança os dados duas vezes. Encontre a probabilidade de que o total dela obtenha 8 pontos. Arredonde o resultado para centésimos. Resposta: 0,14. Solução: Os dois dados devem totalizar 8 pontos. Isto é possível se houver as seguintes combinações: 2 e 6 6 e 2 3 e 5 5 e 3 4 e 4 m= 5 (5 combinações adequadas) n =36 P= 5/36 = 0,13(8)

12 slides

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Eventos independentes e a lei da multiplicação A probabilidade de encontrar o primeiro, o segundo e o enésimo eventos é encontrada pela fórmula: P = P1*P2*…*Pn Exemplo: Um biatleta atira cinco vezes em alvos. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é de 0,8. Encontre a probabilidade de o biatleta acertar os alvos nas três primeiras vezes e errar nas duas últimas. Arredonde o resultado para centésimos. Resposta: 0,02. Solução: O resultado de cada próxima tacada não depende das anteriores. Portanto, os eventos “acertar no primeiro tiro”, “acertar no segundo tiro”, etc. independente. A probabilidade de cada acerto é de 0,8. Isso significa que a probabilidade de erro é 1 – 0,8 = 0,2. 1ª tacada: 0,8 2ª tacada: 0,8 3ª tacada: 0,8 4ª tacada: 0,2 5ª tacada: 0,2 Usando a fórmula para multiplicar as probabilidades de eventos independentes, obtemos: P = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0 ,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Diapositivo 13

Descrição do slide:

Combinações de leis “e” e leis “ou” Exemplo: Um escritório compra material de escritório para funcionários de 3 empresas diferentes. Além disso, os produtos da 1ª empresa representam 40% de todos os fornecimentos, e as restantes 2 - igualmente. Descobriu-se que 2% das canetas da 2ª empresa estavam com defeito. O percentual de defeitos na 1ª e 3ª empresas é de 1% e 3%, respectivamente. O funcionário A pegou uma caneta de um novo estoque. Encontre a probabilidade de que funcione. Solução: Os produtos de 2 e 3 empresas são (100% -40%): 2 = 30% dos suprimentos. P(casamento)= 0,4·0,01+ 0,3·0,02 + 0,3·0,03= 0,019. P (alças utilizáveis) = 1- 0,019 = 0,981. Resposta: 0,981.

Tarefas fáceis

São 25 tortas na mesa: 7 com geléia, 9 com batata, o restante com repolho. Qual é a probabilidade de que uma torta escolhida aleatoriamente contenha repolho?

0,36

O táxi opera 40 carros: 14 são Lada, 8 são Renault, 2 são Mercedes e os demais são Skoda. Qual é a probabilidade de um Mercedes atender sua ligação?

0,05

Determine a probabilidade de que, ao lançar um dado, você obtenha um número de pelo menos três.

Ira, Dima, Vasya, Natasha e Andrey ultrapassam o padrão de corrida de 60 metros. Encontre a probabilidade de uma garota correr mais rápido?

A probabilidade de um telefone comprado em uma passagem subterrânea ser falso é de 0,83. Qual é a probabilidade de o telefone adquirido durante a transição não ser falso?

0,17

20 equipes participam do torneio de basquete, incluindo a equipe “Masculina”. Todas as equipes estão divididas em 4 grupos: A, B, C, D. Qual a probabilidade de a equipe “Masculina” estar no grupo A?

0,25

O saco de loteria contém barris com números de 5 a 94 inclusive. Qual é a probabilidade de que um barril retirado da sacola contenha número de dois dígitos? Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

0,94

Antes do exame, Igor esperou até o último minuto e conseguiu aprender apenas 5 ingressos de 80. Determine a probabilidade de ele conseguir um ingresso memorizado.

0,0625

Anya liga o rádio e seleciona aleatoriamente uma onda de rádio. No total, seu receptor de rádio capta 20 ondas de rádio e apenas 7 delas em este momento a música está tocando. Encontre a probabilidade de Anya atingir a onda musical.

0,35

Cada vigésima garrafa de refrigerante contém um código vencedor escondido sob a tampa. Determine a probabilidade de a garrafa comprada conter um código vencedor sob a tampa.

0,05

Tarefas mais difíceis

Qual é a probabilidade de um número de três algarismos selecionado aleatoriamente ser divisível por 5?

0,2

É registrada a altura (em cm) de cinco alunos: 166, 158, 132, 136, 170. Quanto a média aritmética deste conjunto de números difere de sua mediana?

Segundo estatísticas de um pequeno país, sabe-se que a probabilidade de o bebê nascer ser menino é de 0,507. Em 2017, havia uma média de 486 meninas por cada 1.000 bebés nascidos neste país. Como a taxa de natalidade feminina em 2017 neste país difere da probabilidade deste evento?

0,007

Os dados são lançados duas vezes. Encontre a probabilidade de que a soma dos dois números sorteados seja 3 ou 7. Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

0,22

Qual é a probabilidade de um número de três algarismos selecionado aleatoriamente ser divisível por 2?

0,5

Encontre a probabilidade de que dois lançamentos de moeda dêem cara exatamente uma vez.

0,5

O dado é lançado duas vezes, encontre a probabilidade de que o número lançado nas duas vezes seja pelo menos três. Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

0,31

Segundo estatísticas de um pequeno país, sabe-se que a probabilidade de o bebê nascer ser um menino é de 0,594. Em 2017, havia uma média de 513 meninas por cada 1.000 bebés nascidos neste país. Como a taxa de natalidade feminina em 2017 neste país difere da probabilidade deste evento?

0,107

A altura (em cm) de cinco alunos é registrada: 184, 145, 176, 192, 174. Quão diferente é a média aritmética deste conjunto de números de sua mediana?

1,8

A altura média dos moradores da aldeia “Gigantes” é de 194 cm. A altura de Nikolai Petrovich é de 195 cm.

1) Um dos moradores da aldeia deve ter 194 cm de altura.

2) Nikolai Petrovich é o morador mais alto da vila.

3) Definitivamente haverá pelo menos um homem desta aldeia abaixo de Nikolai Petrovich.

4) Definitivamente haverá pelo menos um residente desta aldeia abaixo de Nikolai Petrovich.

4

Tarefas difíceis

O atirador dispara uma arma contra alvos 4 vezes. A probabilidade de acertar o alvo com precisão com um tiro é de 0,5. Encontre a probabilidade de o atirador acertar o alvo nas duas primeiras vezes e errar nas duas últimas.

0,0625

A probabilidade de a bateria estar com defeito é 0,05. Um comprador em uma loja seleciona aleatoriamente um pacote contendo duas baterias. Encontre a probabilidade de ambas as baterias estarem boas.

0,9025

O atirador atira nos alvos 5 vezes seguidas. A probabilidade de acertar o alvo ao disparar é de 0,7. Encontre a probabilidade de o atirador acertar os alvos nas primeiras quatro vezes e última vez perdido. Arredonde o resultado para centésimos.

Eventos que acontecem na realidade ou na nossa imaginação podem ser divididos em 3 grupos. Estes são certos eventos que acontecerão com certeza, eventos impossíveis e eventos aleatórios. A teoria da probabilidade estuda eventos aleatórios, ou seja, eventos que podem ou não acontecer. Este artigo apresentará em em resumo fórmulas da teoria das probabilidades e exemplos de resolução de problemas na teoria das probabilidades que estarão na tarefa 4 do Exame Estadual Unificado em matemática (nível de perfil).

Por que precisamos da teoria da probabilidade?

Historicamente, a necessidade de estudar estes problemas surgiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento e profissionalização jogatina e o surgimento dos cassinos. Este foi um fenômeno real que exigiu seu próprio estudo e pesquisa.

Jogar cartas, dados e roleta criaram situações em que qualquer um de um número finito de eventos igualmente possíveis poderia ocorrer. Havia a necessidade de fornecer estimativas numéricas da possibilidade de ocorrência de um determinado evento.

No século 20, ficou claro que esta ciência aparentemente frívola desempenha um papel importante na compreensão dos processos fundamentais que ocorrem no microcosmo. Foi criado teoria moderna probabilidades.

Conceitos básicos da teoria das probabilidades

O objeto de estudo da teoria das probabilidades são os eventos e suas probabilidades. Se um evento for complexo, ele poderá ser dividido em componentes simples, cujas probabilidades serão fáceis de encontrar.

A soma dos eventos A e B é chamada de evento C, que consiste no fato de que o evento A, ou o evento B, ou os eventos A e B ocorreram simultaneamente.

O produto dos eventos A e B é um evento C, o que significa que ocorreram tanto o evento A quanto o evento B.

Os eventos A e B são chamados de incompatíveis se não puderem ocorrer simultaneamente.

Um evento A é dito impossível se não puder acontecer. Tal evento é indicado pelo símbolo.

Um evento A é dito certo se é certo que acontecerá. Tal evento é indicado pelo símbolo.

Seja cada evento A associado a um número P(A). Este número P(A) é chamado de probabilidade do evento A se as seguintes condições forem atendidas com esta correspondência.

Um caso especial importante é a situação em que existem resultados elementares igualmente prováveis, e arbitrários desses resultados formam os eventos A. Nesse caso, a probabilidade pode ser inserida usando a fórmula. A probabilidade introduzida desta forma é chamada de probabilidade clássica. Pode-se provar que neste caso as propriedades 1-4 são satisfeitas.

Os problemas da teoria da probabilidade que aparecem no Exame de Estado Unificado em matemática estão principalmente relacionados à probabilidade clássica. Essas tarefas podem ser muito simples. Particularmente simples são os problemas da teoria das probabilidades em opções de demonstração. É fácil calcular o número de resultados favoráveis; o número de todos os resultados está escrito na condição.

Obtemos a resposta usando a fórmula.

Um exemplo de problema do Exame Estadual Unificado em matemática sobre determinação de probabilidade

São 20 tortas na mesa - 5 com repolho, 7 com maçã e 8 com arroz. Marina quer levar a torta. Qual é a probabilidade de ela aceitar o bolo de arroz?

Solução.

Existem 20 resultados elementares igualmente prováveis, ou seja, Marina pode pegar qualquer uma das 20 tortas. Mas precisamos estimar a probabilidade de Marina levar a torta de arroz, ou seja, onde A é a escolha da torta de arroz. Isso significa que o número de resultados favoráveis ​​(escolhas de tortas com arroz) é de apenas 8. Então a probabilidade será determinada pela fórmula:

Eventos Independentes, Opostos e Arbitrários

No entanto, em jarra aberta Tarefas mais complexas começaram a ser encontradas. Portanto, chamemos a atenção do leitor para outras questões estudadas na teoria das probabilidades.

Os eventos A e B são considerados independentes se a probabilidade de cada um não depender da ocorrência do outro evento.

O evento B é aquele evento A não aconteceu, ou seja, o evento B é oposto ao evento A. A probabilidade do evento oposto é igual a um menos a probabilidade do evento direto, ou seja, .

Teoremas de adição e multiplicação de probabilidade, fórmulas

Para eventos arbitrários A e B, a probabilidade da soma desses eventos é igual à soma de suas probabilidades sem a probabilidade de seu evento conjunto, ou seja, .

Para eventos independentes A e B, a probabilidade de ocorrência desses eventos é igual ao produto de suas probabilidades, ou seja, nesse caso .

As duas últimas afirmações são chamadas de teoremas de adição e multiplicação de probabilidades.

Contar o número de resultados nem sempre é tão simples. Em alguns casos é necessário utilizar fórmulas combinatórias. Neste caso, o mais importante é contar o número de eventos que satisfazem certas condições. Às vezes, esses tipos de cálculos podem se tornar tarefas independentes.

De quantas maneiras 6 alunos podem sentar-se em 6 lugares vazios? O primeiro aluno ocupará qualquer uma das 6 vagas. Cada uma dessas opções corresponde a 5 formas de o segundo aluno ocupar uma vaga. Restam 4 vagas para o terceiro aluno, 3 para o quarto, 2 para o quinto e o sexto ocupará a única vaga restante. Para saber o número de todas as opções, você precisa encontrar o produto, que é indicado pelo símbolo 6! e lê "seis fatoriais".

No caso geral, a resposta a esta questão é dada pela fórmula do número de permutações de n elementos.

Consideremos agora outro caso com nossos alunos. De quantas maneiras 2 alunos podem sentar-se em 6 lugares vazios? O primeiro aluno ocupará qualquer uma das 6 vagas. Cada uma dessas opções corresponde a 5 formas de o segundo aluno ocupar uma vaga. Para saber o número de todas as opções, você precisa encontrar o produto.

Em geral, a resposta a esta questão é dada pela fórmula do número de colocações de n elementos sobre k elementos

No nosso caso .

E o último caso desta série. De quantas maneiras você pode escolher três alunos entre 6? O primeiro aluno pode ser selecionado de 6 maneiras, o segundo - de 5 maneiras, o terceiro - de quatro maneiras. Mas entre essas opções, os mesmos três alunos aparecem 6 vezes. Para encontrar o número de todas as opções, você precisa calcular o valor: . Em geral, a resposta a esta questão é dada pela fórmula do número de combinações de elementos por elemento:

No nosso caso .

Exemplos de resolução de problemas do Exame Estadual Unificado em matemática para determinar probabilidade

Tarefa 1. Da coleção editada por. Yashchenko.

São 30 tortas no prato: 3 com carne, 18 com repolho e 9 com cerejas. Sasha escolhe uma torta aleatoriamente. Encontre a probabilidade de ele acabar com uma cereja.

.

Resposta: 0,3.

Tarefa 2. Da coleção editada por. Yashchenko.

Em cada lote de 1.000 lâmpadas, em média, 20 estão com defeito. Encontre a probabilidade de que uma lâmpada retirada aleatoriamente de um lote esteja funcionando.

Solução: O número de lâmpadas funcionando é 1000-20=980. Então a probabilidade de que uma lâmpada retirada aleatoriamente de um lote esteja funcionando:

Resposta: 0,98.

A probabilidade de o aluno U resolver mais de 9 problemas corretamente durante uma prova de matemática é de 0,67. A probabilidade de U resolver mais de 8 problemas corretamente é 0,73. Encontre a probabilidade de U resolver exatamente 9 problemas corretamente.

Se imaginarmos uma reta numérica e marcarmos os pontos 8 e 9 nela, veremos que a condição “U. resolverá exatamente 9 problemas corretamente” está incluído na condição “U. resolverá mais de 8 problemas corretamente”, mas não se aplica à condição “U. resolverá mais de 9 problemas corretamente.”

No entanto, a condição “U. resolverá mais de 9 problemas corretamente” está contido na condição “U. resolverá mais de 8 problemas corretamente.” Assim, se designarmos eventos: “U. resolverá exatamente 9 problemas corretamente" - até A, "U. resolverá mais de 8 problemas corretamente" - até B, "U. resolverá corretamente mais de 9 problemas” até C. Essa solução será semelhante a esta:

Resposta: 0,06.

Em um exame de geometria, o aluno responde a uma pergunta de uma lista de questões do exame. A probabilidade de que esta seja uma questão de trigonometria é 0,2. A probabilidade de que esta seja uma questão sobre ângulos externos é de 0,15. Não há perguntas que se relacionem simultaneamente com esses dois tópicos. Encontre a probabilidade de um aluno receber uma pergunta sobre um desses dois tópicos no exame.

Vamos pensar em quais eventos temos. Recebemos dois eventos incompatíveis. Ou seja, ou a questão estará relacionada ao tema “Trigonometria” ou ao tema “Ângulos externos”. Segundo o teorema da probabilidade, a probabilidade de eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades de cada evento, devemos encontrar a soma das probabilidades desses eventos, ou seja:

Resposta: 0,35.

A sala é iluminada por uma lanterna com três lâmpadas. A probabilidade de uma lâmpada queimar em um ano é de 0,29. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma lâmpada não queime durante o ano.

Vamos considerar eventos possíveis. Temos três lâmpadas, cada uma das quais pode ou não queimar independentemente de qualquer outra lâmpada. Estes são eventos independentes.

A seguir indicaremos as opções para tais eventos. Vamos usar as seguintes notações: - a lâmpada está acesa, - a lâmpada está queimada. E imediatamente a seguir calculamos a probabilidade do evento. Por exemplo, a probabilidade de um evento em que ocorreram três eventos independentes “a lâmpada está queimada”, “a lâmpada está acesa”, “a lâmpada está acesa”: , onde a probabilidade do evento “a lâmpada está acesa” está acesa” é calculada como a probabilidade do evento oposto ao evento “a lâmpada não está acesa”, a saber: .

Qualquer complexo educacional

Teoria da probabilidade

para o OGE e o Exame Estadual Unificado

Território de Altai

Tarefas

na probabilidade

com dados

(dados)

1. Determine a probabilidade de que, ao lançar um dado (dados), você obtenha um número ímpar de pontos.

A solução do problema:

Número ímpar – 3 (1; 3; 5)

Resposta: P = 0,5

2. Determine a probabilidade de que ao lançar um dado (dado) você obtenha menos de 4 pontos.

A solução do problema:

Total de eventos – 6 (podem aparecer 6 números de 1 a 6)

Menos de 4 pontos – 3 (1; 2; 3)

Resposta: P = 0,5

3. Determine a probabilidade de que ao lançar um dado você obtenha mais de 3 pontos.

A solução do problema:

Total de eventos – 6 (podem aparecer 6 números de 1 a 6)

Mais de 3 pontos – 3 (4; 5; 6)

Resposta: P = 0,5

4. Determine a probabilidade de que ao lançar um dado você obtenha mais de 2 pontos. Arredonde sua resposta para décimos.

A solução do problema:

Total de eventos – 6 (podem aparecer 6 números de 1 a 6)

Mais de 2 pontos – 2 (3; 4; 5; 6)

P = 4:6 = 0,66...

Resposta: P = 0,7

5. Os dados são lançados duas vezes. Encontre a probabilidade de que a soma de dois números sorteados seja ímpar.

A solução do problema:

O valor será ímpar quando: 1) aparecer pela primeira vez chance número, e no segundo até. 2) pela primeira vez - até, e pela segunda vez chance .

1) 3: 6 = 0,5 - Probabilidade de obter um número ímpar no primeiro lançamento.

3: 6 = 0,5 - Probabilidade de obter um número par no segundo lançamento.

0,5 · 0,5 = 0,25 – porque esses dois eventos devem acontecer juntos. 2) 3: 6 = 0,5 - Probabilidade de obter um número par no primeiro lançamento.

3: 6 = 0,5 - Probabilidade de obter um número ímpar no segundo lançamento.

0,5 · 0,5 = 0,25 – porque esses dois eventos devem acontecer juntos.

3) 0,25 + 0,25 = 0,5

Resposta: P = 0,5

6. Os dados são lançados duas vezes. Encontre a probabilidade de que o maior dos dois números sorteados seja 5. Arredonde sua resposta para o décimo mais próximo.

A solução do problema:

1) No primeiro lançamento você obterá 1, ou 2, ou 3, ou 4, ou 5, e no segundo lançamento você obterá 5 2) No primeiro lançamento você obterá 5, e no segundo lançamento você receberá 1, ou 2, ou 3, ou 4, ou 5

• 5: 6 = 5/6 – probabilidade de rolar 1; 2; 3; 4; 5

5/6 · 1/6 = 5/36 - probabilidade de ambos os eventos ocorrerem

• 1: 6 = 1/6 - probabilidade de rolar 5

5: 6 = 5/6 - probabilidade de rolar 1; 2; 3; 4; 5

1/6 · 5/6 = 5/36 - probabilidade de ambos os eventos ocorrerem

• 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…

Responder: 0,3

7. Os dados são lançados duas vezes. Encontre a probabilidade de que um número maior que 3 seja lançado pelo menos uma vez.

A solução do problema:

1) No primeiro lançamento você obterá 1, ou 2, ou 3, e no segundo lançamento você obterá 4; ou 5 ou 6 2) No primeiro lançamento, será lançado um 4; ou 5 ou 6, e no segundo lance o resultado será 1, ou 2, ou 3. 3) No primeiro lance o resultado será 4; ou 5 ou 6, e no segundo lançamento você obterá 4, ou 5, ou 6.

2) 3: 6 = 0,5 - probabilidade de rolar 4; 5; 6

3: 6 = 0,5 - probabilidade de rolar 1; 2; 3

0,5 · 0,5 = 0,25 - probabilidade de que ambos os eventos ocorram

3) 3: 6 = 0,5 - probabilidade de rolar 4; 5; 6

3: 6 = 0,5 - probabilidade de rolar 4; 5; 6

0,5 · 0,5 = 0,25 - probabilidade de que ambos os eventos ocorram

4) 0,25+ 0,25 + 0,25 = 0,75 Resposta: 0,75

Tarefas

na probabilidade

com moedas

8. Numa experiência aleatória, uma moeda simétrica é lançada duas vezes. Encontre a probabilidade de que cara caia exatamente 1 vez .

A solução do problema: Vamos encontrar o número de resultados possíveis e examinar todas as variantes de lançamentos. Vamos criar uma tabela e mostrar todas as opções:

2: 4 = 0,5 - a probabilidade de o lançamento dar cara.

2) Resposta: 0,5

9. Numa experiência aleatória, uma moeda simétrica é lançada três vezes. Encontre a probabilidade de que cara caia exatamente Três vezes .

A solução do problema:

1 lance

2 lances

3 lance

1: 8 = 0,125 – a probabilidade de o lançamento dar cara.

Resposta: 0,125

10. Numa experiência aleatória, uma moeda simétrica é lançada três vezes. Encontre a probabilidade de que cara caia exatamente 2 vezes .

A solução do problema:

1 lance

2 lances

3 lance

3: 8 = 0,375 – a probabilidade de o lançamento dar cara.

Resposta: 0,375

onze . Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada três vezes. Encontre a probabilidade de você não obter nenhuma cara.

A solução do problema:

1 lance

2 lances

3 lance

1: 8 = 0,125 - a probabilidade de o lançamento dar cara.

Resposta: 0,125

Tarefas

na probabilidade

(diferente)

12. Sabe-se que numa determinada região a probabilidade de um bebé nascer ser menino é de 0,512. Em 2010, havia uma média de 477 meninas por cada 1.000 bebés nascidos nesta região. Como a taxa de natalidade de uma menina em 2010 nesta região difere da probabilidade deste evento?

A solução do problema:

• 1 - 0,512 = 0,488 –

2) 477: 1000 = 0,477 – probabilidade de nascimento de meninas em 2010

3) 0,488 - 0,477=0,011

Responder: 0,011

13. Sabe-se que numa determinada região a probabilidade de um bebé nascer ser menino é de 0,486. Em 2011, havia uma média de 522 meninas por cada 1.000 bebés nascidos nesta região. Como a frequência de nascimento de uma menina em 2011 nesta região difere da probabilidade desse evento?

A solução do problema:

• 1 - 0,486 = 0,514 – probabilidade de ter meninas na região

2) 522: 1000 = 0,522 – probabilidade de nascimento de meninas em 2011

3) 0,522 - 0,514 = 0,008

Responder: 0,008

14. Stas escolhe um número de três dígitos. Encontre a probabilidade de que seja divisível por 48.

A solução do problema:

• 999 - 99 = 900 – apenas números de três dígitos

2) 999: 48 = 20,8125 - ou seja Total 20 números são divisíveis por 48

• Destes, dois números têm dois dígitos - estes são 48 e 96, então 20 – 2 = 18

4) 18: 900 = 0,02

Responder: 0,02

15. Andrey escolhe um número aleatório de três dígitos. Encontre a probabilidade de que seja divisível por 33.

A solução do problema:

• 999 - 99 = 900 – apenas números de três dígitos

2) 999: 33 = 30,29… - ou seja Total 30 números são divisíveis por 33

• Destes, três são números de dois dígitos - estes são 33, 66, 99 então 30 – 3 = 27

4) 27: 900 = 0,03

Responder: 0,03

16. Pelos termos da promoção, cada quarta lata de café contém um prêmio. Os prêmios são distribuídos aleatoriamente entre os potes. Alya compra uma lata de café na esperança de ganhar um prêmio. Encontre a probabilidade de Alya não encontrar o prêmio em sua jarra.

A solução do problema:

1) 1: 4 = 0,25 - probabilidade de ganhar um prêmio.

2) 1 – 0,25 = 0,75 – probabilidade de não ganhar prêmio

Resposta: 0,75

17. Na prova de geometria, o aluno responde uma questão da lista de questões da prova. A probabilidade de que esta seja uma questão sobre ângulos externos é de 0,35. A probabilidade de que esta seja uma questão de círculo inscrito é 0,2. Não há perguntas que se relacionem simultaneamente com esses dois tópicos. Encontre a probabilidade de um aluno receber uma pergunta sobre um desses dois tópicos no exame.

Solução:

A probabilidade da soma de dois eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos: 0,35 + 0,2 = 0,52

Resposta: 0,52

18. Um biatleta atira cinco vezes em alvos. A probabilidade de acertar o alvo com um tiro é de 0,8. Encontre a probabilidade de o biatleta acertar os alvos nas três primeiras vezes e errar nas duas últimas. Arredonde o resultado para centésimos.

Solução:

probabilidade de acerto - 0,8

probabilidade de erro – 0,2

Os eventos de erro e acerto são independentes, o que significa

19. Existem duas máquinas de pagamento na loja. Cada uma delas pode apresentar defeito com probabilidade 0,12, independentemente da outra máquina. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma máquina esteja funcionando.

Solução:

Vamos encontrar a probabilidade de ambas as máquinas estarem com defeito.

Esses eventos são independentes, ou seja, 0,12² = 0,0144

Evento que consiste no fato de pelo menos um

máquina – o oposto, o que significa 1 – 0,0144 = 0,9856

Resposta: 0,9856

20.V shopping center duas máquinas idênticas vendem café. A probabilidade de a máquina ficar sem café no final do dia é de 0,3. A probabilidade de ambas as máquinas ficarem sem café é de 0,16. Encontre a probabilidade de que no final do dia ainda haja café em ambas as máquinas.

Solução:

Vamos considerar os eventos:

A – o café acabará na primeira máquina

B – o café acabará na segunda máquina

А·В – o café acabará em ambas as máquinas

A+B – o café acabará em pelo menos uma máquina

Isso significa que a probabilidade do evento oposto (o café permanecerá em ambas as máquinas) é igual a

Resposta: 0,56

21. Duas fábricas produzem vidros idênticos para faróis de automóveis. A primeira fábrica produz 45% desses vidros, a segunda – 55%. A primeira fábrica produz 3% de vidro defeituoso e a segunda – 1%. Encontre a probabilidade de que o vidro comprado acidentalmente em uma loja esteja com defeito.

Solução:

Probabilidade do vidro adquirido na primeira fábrica apresentar defeito: 0,45 · 0,03 = 0,0135

Probabilidade de o vidro adquirido na segunda fábrica apresentar defeito: 0,55 · 0,01 = 0,0055

Isso significa que a probabilidade total de que o vidro comprado acidentalmente em uma loja esteja com defeito é: 0,0135 + 0,0055 = 0,019

Resposta: 0,019

Fontes

Problemas do banco aberto de tarefas em matemática FIPI, 2014-2015 http://www.fipi.ru/

Moeda - https :// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Russia-1998-Coin-5.jpg

Dados - http ://clipstock.ucoz.ru/_ ph/21/365284339.jpg

http ://cs.ankaraschool.ru/DwABAIQAzQISAc0BSv_D-w8/6yi0I7wdPdUVWti_caKcxg/sv/image/bc/d7/32/186172/228/% D0%95%D0%93%D0%AD.jpg?1445859675

OGE 2016 - http :// www.school25.nichost.ru/images/banners/oge.jpg

Apresentado até o momento no banco aberto de problemas do Exame de Estado Unificado em matemática (mathege.ru), cuja solução se baseia em apenas uma fórmula, que é a definição clássica de probabilidade.

A maneira mais fácil de entender a fórmula é com exemplos.
Exemplo 1. Existem 9 bolas vermelhas e 3 bolas azuis na cesta. As bolas diferem apenas na cor. Tiramos um deles ao acaso (sem olhar). Qual é a probabilidade de a bola escolhida desta forma ser azul?

Um comentário. Em problemas de probabilidade, acontece algo (neste caso, a nossa ação de sacar a bola) que pode ter resultado diferente- resultado. Deve-se notar que o resultado pode ser visto de diferentes maneiras. “Tiramos uma espécie de bola” também é um resultado. “Tiramos a bola azul” - o resultado. “Retiramos exatamente esta bola de todas as bolas possíveis” - essa visão menos generalizada do resultado é chamada de resultado elementar. São os resultados elementares que se referem à fórmula de cálculo da probabilidade.

Solução. Agora vamos calcular a probabilidade de escolher a bola azul.
Evento A: “a bola selecionada acabou sendo azul”
Número total de todos os resultados possíveis: 9+3=12 (o número de todas as bolas que poderíamos sortear)
Número de resultados favoráveis ​​para o evento A: 3 (o número de tais resultados em que ocorreu o evento A - ou seja, o número de bolas azuis)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Resposta: 0,25

Para o mesmo problema, vamos calcular a probabilidade de escolher uma bola vermelha.
O número total de resultados possíveis permanecerá o mesmo, 12. Número de resultados favoráveis: 9. Probabilidade procurada: 9/12=3/4=0,75

A probabilidade de qualquer evento está sempre entre 0 e 1.
Às vezes, na linguagem cotidiana (mas não na teoria das probabilidades!) a probabilidade dos eventos é estimada como uma porcentagem. A transição entre as pontuações matemáticas e de conversação é realizada multiplicando (ou dividindo) por 100%.
Então,
Além disso, a probabilidade é zero para eventos que não podem acontecer – incrível. Por exemplo, no nosso exemplo esta seria a probabilidade de retirar uma bola verde do cesto. (O número de resultados favoráveis ​​é 0, P(A)=0/12=0, se calculado usando a fórmula)
A probabilidade 1 tem eventos que são absolutamente certos de acontecer, sem opções. Por exemplo, a probabilidade de “a bola selecionada ser vermelha ou azul” é para a nossa tarefa. (Número de resultados favoráveis: 12, P(A)=12/12=1)

Vimos um exemplo clássico que ilustra a definição de probabilidade. Todos os problemas semelhantes do Exame de Estado Unificado em teoria das probabilidades são resolvidos usando esta fórmula.
No lugar das bolas vermelhas e azuis podem haver maçãs e peras, meninos e meninas, ingressos aprendidos e não aprendidos, ingressos contendo e não contendo uma pergunta sobre um determinado assunto (protótipos), bolsas ou bombas de jardim defeituosas e de alta qualidade ( protótipos) - o princípio permanece o mesmo.

Eles diferem ligeiramente na formulação do problema teórico probabilidade do Exame Estadual Unificado, onde você precisa calcular a probabilidade de um evento ocorrer em um dia específico. ( , ) Como nos problemas anteriores, é necessário determinar qual é o resultado elementar e depois aplicar a mesma fórmula.

Exemplo 2. A conferência dura três dias. No primeiro e segundo dias são 15 palestrantes, no terceiro dia - 20. Qual a probabilidade de o relatório do Professor M. cair no terceiro dia se a ordem dos relatórios for determinada por sorteio?

Qual é o resultado elementar aqui? – Atribuir ao relatório do professor um de todos os números de série possíveis para o discurso. 15+15+20=50 pessoas participam do sorteio. Assim, o relatório do Professor M. pode receber um dos 50 números. Isso significa que existem apenas 50 resultados elementares.
Quais são os resultados favoráveis? - Aquelas em que o professor falará no terceiro dia. Ou seja, os últimos 20 números.
De acordo com a fórmula, probabilidade P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Resposta: 0,4

O sorteio aqui representa o estabelecimento de uma correspondência aleatória entre pessoas e lugares ordenados. No exemplo 2, o estabelecimento de correspondência foi considerado do ponto de vista de quais dos locais poderiam ser ocupados pessoa especial. Você pode abordar a mesma situação do outro lado: qual das pessoas com que probabilidade poderia chegar a um local específico (protótipos , , , ):

Exemplo 3. O sorteio inclui 5 alemães, 8 franceses e 3 estonianos. Qual é a probabilidade de o primeiro (/segundo/sétimo/último – não importa) ser um francês.

O número de resultados elementares é o número de todas as pessoas possíveis que poderiam entrar em um determinado lugar por sorteio. 5+8+3=16 pessoas.
Resultados favoráveis ​​- Francês. 8 pessoas.
Probabilidade necessária: 8/16 = 1/2 = 0,5
Resposta: 0,5

O protótipo é um pouco diferente. Ainda existem problemas com moedas () e dados (), que são um pouco mais criativos. A solução para esses problemas pode ser encontrada nas páginas do protótipo.

Aqui estão alguns exemplos de lançamento de uma moeda ou dados.

Exemplo 4. Quando lançamos uma moeda, qual é a probabilidade de sair cara?
Existem 2 resultados – cara ou coroa. (acredita-se que a moeda nunca cai na borda) Um resultado favorável é coroa, 1.
Probabilidade 1/2=0,5
Resposta: 0,5.

Exemplo 5. E se jogarmos uma moeda duas vezes? Qual é a probabilidade de sair cara nas duas vezes?
O principal é determinar quais resultados elementares consideraremos ao lançar duas moedas. Depois de lançar duas moedas, pode ocorrer um dos seguintes resultados:
1) PP – ambas as vezes deu cara
2) PO – cabeças pela primeira vez, cabeças pela segunda vez
3) OP – cara na primeira vez, coroa na segunda vez
4) OO – cabeças surgiram nas duas vezes
Não há outras opções. Isto significa que existem 4 resultados elementares. Apenas o primeiro, 1, é favorável.
Probabilidade: 1/4=0,25
Resposta: 0,25

Qual é a probabilidade de que dois lançamentos de uma moeda resultem em coroa?
O número de resultados elementares é o mesmo, 4. Os resultados favoráveis ​​são o segundo e o terceiro, 2.
Probabilidade de obter uma cauda: 2/4 = 0,5

Nestes problemas, outra fórmula pode ser útil.
Se durante um lançamento de uma moeda opções possíveis temos 2 resultados, então para dois lances os resultados serão 2 2 = 2 2 = 4 (como no exemplo 5), para três lances 2 2 2 = 2 3 = 8, para quatro: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... para N lançamentos os resultados possíveis serão 2·2·...·2=2 N .

Portanto, você pode encontrar a probabilidade de obter 5 caras em 5 lançamentos de moeda.
Número total de resultados elementares: 2 5 =32.
Resultados favoráveis: 1. (RRRRRR – cara 5 vezes)
Probabilidade: 1/32=0,03125

O mesmo se aplica aos dados. Com um lance, existem 6 resultados possíveis. Portanto, para dois lances: 6 6 = 36, para três 6 6 6 = 216, etc.

Exemplo 6. Jogamos os dados. Qual é a probabilidade de sair um número par?

Resultados totais: 6, de acordo com o número de lados.
Favorável: 3 resultados. (2, 4, 6)
Probabilidade: 3/6=0,5

Exemplo 7. Jogamos dois dados. Qual é a probabilidade de o total ser 10? (Rodada para o centésimo mais próximo)

Para um dado existem 6 resultados possíveis. Isto significa que para dois, de acordo com a regra acima, 6·6=36.
Quais resultados serão favoráveis ​​para que o total saia 10?
10 deve ser decomposto na soma de dois números de 1 a 6. Isso pode ser feito de duas maneiras: 10=6+4 e 10=5+5. Isto significa que as seguintes opções são possíveis para os cubos:
(6 no primeiro e 4 no segundo)
(4 no primeiro e 6 no segundo)
(5 no primeiro e 5 no segundo)
Total, 3 opções. Probabilidade necessária: 3/36 = 1/12 = 0,08
Resposta: 0,08

Outros tipos de problemas B6 serão discutidos em um artigo futuro, Como resolver.