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Planeje um workshop para professores de matemática na instituição de ensino da cidade de Tula sobre o tema “Resolvendo tarefas do Exame Estadual Unificado em matemática das seções: combinatória, teoria das probabilidades. Metodologia de Ensino"

Gasto de tempo: 12 00 ; 15 00

Localização: MBOU "Liceu No. 1", escritório. Nº 8

EU. Resolvendo problemas de probabilidade

1. Resolver problemas envolvendo a determinação clássica de probabilidade

Nós, como professores, já sabemos que os principais tipos de problemas do Exame Estadual Unificado em teoria das probabilidades baseiam-se na definição clássica de probabilidade. Vamos lembrar o que é chamado de probabilidade de um evento?

Probabilidade do eventoé a razão entre o número de resultados favoráveis ​​a um determinado evento e o número total de resultados.

Nossa associação científica e metodológica de professores de matemática desenvolveu esquema geral resolver problemas de probabilidade. Gostaria de apresentá-lo à sua atenção. A propósito, compartilhamos nossa experiência de trabalho e, nos materiais que entregamos à sua atenção para discussão conjunta na resolução de problemas, fornecemos este diagrama. No entanto, quero expressar isso.

Em nossa opinião, este esquema ajuda a separar tudo de forma rápida e lógica, e depois disso o problema pode ser resolvido com muito mais facilidade tanto para o professor quanto para os alunos.

Então, quero analisar em detalhes a seguinte tarefa.

Queria conversar com vocês para explicar a metodologia, como passar para a galera essa solução, durante a qual as crianças entenderiam esse problema típico, e posteriormente elas mesmas entenderiam esses problemas.

O que é um experimento aleatório neste problema? Agora precisamos isolar um acontecimento elementar nesta experiência. O que é esse evento elementar? Vamos listá-los.

Dúvidas sobre a tarefa?

Caros colegas, você também obviamente examinou problemas de probabilidade com dados. Acho que precisamos analisar isso, porque tem nuances próprias. Vamos analisar este problema de acordo com o esquema que lhe propomos. Como em cada lado do cubo existe um número de 1 a 6, então os eventos elementares são os números 1, 2, 3, 4, 5, 6. Descobrimos que o número total de eventos elementares é 6. Vamos determinar quais eventos elementares favorecem o evento. Apenas dois eventos favorecem este evento - 5 e 6 (pois decorre da condição de que 5 e 6 pontos devem cair).

Explique que todos os eventos elementares são igualmente possíveis. Que perguntas haverá sobre a tarefa?

Como você sabe que uma moeda é simétrica? Vamos ver se entendi, às vezes certas frases causam mal-entendidos. Vamos entender esse problema conceitualmente. Vamos descobrir com você no experimento descrito quais poderiam ser os resultados elementares. Vocês todos têm alguma ideia de onde está cara e onde está coroa? Quais são as possíveis opções de abandono? Existem outros eventos? Qual é o número total de eventos? De acordo com o problema, sabe-se que cara apareceu exatamente uma vez. Isto significa que este eventoos acontecimentos elementares destas quatro RUP e OR são favoráveis; isto não pode acontecer duas vezes. Usamos a fórmula que calcula a probabilidade de um evento. Como lembrete, as respostas na Parte B devem ser um número inteiro ou decimal.

Mostramos no quadro interativo. Nós lemos o problema. Qual é o resultado elementar deste experimento? Esclareça que o par está ordenado - ou seja, o número caiu no primeiro dado e no segundo dado. Em qualquer problema há momentos em que é necessário escolher métodos racionais, formas e apresentar a solução em forma de tabelas, diagramas, etc. Neste problema é conveniente usar tal tabela. Estou lhe dando uma solução pronta, mas durante a solução verifica-se que neste problema é racional usar uma solução em forma de tabela. Explicamos o que a tabela significa. Você pode entender por que as colunas dizem 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Vamos desenhar um quadrado. As linhas correspondem ao resultado do primeiro lançamento - são seis, porque o dado tem seis lados. As colunas também. Em cada célula escrevemos a soma dos pontos sorteados. Mostramos a tabela completa. Vamos colorir as células onde a soma é igual a oito (pois isso é exigido na condição).

Acredito que o próximo problema, depois de analisar os anteriores, pode ser entregue às crianças para resolverem sozinhas.

Nos problemas seguintes não há necessidade de anotar todos os resultados elementares. Basta simplesmente contar o seu número.

(Sem solução) Dei esse problema para a galera resolver sozinha. Algoritmo para resolver o problema

1. Defina em que consiste um experimento aleatório e o que é um evento aleatório.

2. Encontre o número total de eventos elementares.

3. Encontre o número de eventos favoráveis ​​ao evento especificado na definição do problema.

4. Encontre a probabilidade de um evento usando a fórmula.

Pode-se fazer uma pergunta aos alunos: se 1.000 baterias estiverem à venda e entre elas 6 estiverem com defeito, então a bateria selecionada é determinada por como? O que há em nossa tarefa? Em seguida, faço a pergunta sobre como descobrir o que está sendo usado como número aquie eu sugiro que você encontrenúmero. Em seguida pergunto: qual é o evento aqui? Quantos acumuladores contribuem para o evento? A seguir, usando a fórmula, calculamos essa probabilidade.

Aqui pode ser oferecida aos rapazes uma segunda solução. Vamos discutir o que esse método poderia ser?

1. Que evento podemos considerar agora?

2. Como encontrar a probabilidade de um determinado evento?

A galera precisa ser informada sobre essas fórmulas. Eles são os seguintes

O oitavo problema pode ser oferecido às crianças sozinhas, pois é semelhante ao sexto problema. Pode ser oferecido a eles como trabalho independente, ou em um cartão próximo ao tabuleiro.

Esta tarefa pode ser resolvido em relação às Olimpíadas, que estão acontecendo atualmente. Apesar de diferentes eventos estarem envolvidos nas tarefas, as tarefas são típicas.

2. As regras e fórmulas mais simples para calcular probabilidades (eventos opostos, soma de eventos, produto de eventos)

Esta é uma tarefa de USE coleção. Exibimos a solução no quadro. Que perguntas devemos fazer aos alunos para compreender este problema?

1. Quantas máquinas existiam? Se houver duas máquinas, já existem dois eventos. Faço uma pergunta às crianças - como será o evento?? Qual será o segundo evento?

2. é a probabilidade de um evento. Não precisamos calculá-lo, pois é fornecido na condição. De acordo com as condições do problema, a probabilidade de “acabar o café nas duas máquinas” é de 0,12. Houve evento A, houve evento B. E aparece um novo evento? Faço uma pergunta às crianças - qual? Este é o evento em que ambas as máquinas ficam sem café. Neste caso, na teoria das probabilidades, trata-se de um evento novo, que é denominado intersecção de dois eventos A e B e é assim designado.

Vamos usar a fórmula de adição de probabilidade. A fórmula é a seguinte

Damos para vocês no material de referência e a galera pode receber essa fórmula. Ele permite que você encontre a probabilidade de uma soma de eventos. Perguntaram-nos a probabilidade do evento oposto, cuja probabilidade é encontrada usando a fórmula.

O problema 13 usa o conceito de produto de eventos, cuja fórmula para encontrar a probabilidade é dada no apêndice.

3. Problemas com uso de madeira opções possíveis

Com base nas condições do problema, é fácil traçar um diagrama e encontrar as probabilidades indicadas.

Com a ajuda de que material teórico Você já discutiu a solução de problemas desse tipo com os alunos? Você usou uma árvore possível ou outros métodos para resolver esses problemas? Você deu o conceito de gráficos? Na quinta ou sexta série, as crianças apresentam esses problemas, cuja análise dá o conceito de gráficos.

Gostaria de perguntar se você e seus alunos consideraram usar uma árvore de opções possíveis ao resolver problemas de probabilidade? O fato é que não só existem tais tarefas no Exame de Estado Unificado, mas também surgiram problemas bastante complexos que iremos resolver agora.

Vamos discutir com vocês a metodologia para resolver esses problemas - se coincidir com a minha metodologia, como explico para a galera, então será mais fácil para mim trabalhar com vocês, senão vou te ajudar a lidar com esse problema.

Vamos discutir os acontecimentos. Que eventos no problema 17 podem ser isolados?

Ao construir uma árvore em um plano, é designado um ponto, que é chamado de raiz da árvore. A seguir começamos a considerar os eventosE. Construiremos um segmento (na teoria das probabilidades é chamado de ramo). A condição estabelece que a primeira fábrica produza 30% celulares esta marca (qual? ​​A que eles produzem), o que significa em este momento Pergunto aos alunos qual a probabilidade de a primeira fábrica produzir telefones dessa marca, os que eles produzem? Como o evento é o lançamento de um telefone na primeira fábrica, a probabilidade desse evento é de 30% ou 0,3. Os demais telefones foram produzidos na segunda fábrica - estamos construindo o segundo segmento e a probabilidade desse evento é de 0,7.

Os alunos são questionados: que tipo de telefone poderia ser produzido pela primeira fábrica? Com ou sem defeito. Qual é a probabilidade de um telefone produzido pela primeira fábrica apresentar um defeito? A condição diz que é igual a 0,01. Pergunta: Qual é a probabilidade de o telefone produzido pela primeira fábrica não apresentar defeito? Como este evento é oposto ao dado, sua probabilidade é igual.

Você precisa encontrar a probabilidade de o telefone estar com defeito. Pode ser da primeira fábrica, ou talvez da segunda. Em seguida, usamos a fórmula para somar probabilidades e descobrimos que toda a probabilidade é a soma das probabilidades de que o telefone com defeito seja da primeira fábrica e que o telefone com defeito seja da segunda fábrica. Encontraremos a probabilidade de o telefone ter defeito e ter sido produzido na primeira fábrica usando a fórmula do produto das probabilidades, que é fornecida no apêndice.

4. Um dos mais tarefas complexas do banco do Exame do Estado Unificado para probabilidade

Vejamos, por exemplo, o nº 320199 do Banco de Tarefas FIPI. Esta é uma das tarefas mais difíceis do B6.

Para ingressar no instituto da especialidade "Linguística", o candidato Z. deve pontuar pelo menos 70 pontos no Exame Estadual Unificado em cada uma das três disciplinas - matemática, língua russa e língua estrangeira. Para se matricular na especialidade "Comércio", você precisa marcar pelo menos 70 pontos em cada uma das três disciplinas - matemática, língua russa e estudos sociais.

A probabilidade de o candidato Z. receber pelo menos 70 pontos em matemática é 0,6, em russo - 0,8, em lingua estrangeira- 0,7 e em estudos sociais - 0,5.

Encontre a probabilidade de Z. conseguir se matricular em pelo menos uma das duas especialidades mencionadas.

Observe que o problema não pergunta se um candidato chamado Z. estudará linguística e comércio ao mesmo tempo e receberá dois diplomas. Aqui precisamos encontrar a probabilidade de Z. conseguir se matricular em pelo menos uma dessas duas especialidades - ou seja, ele marcará a quantidade necessária de pontos.

Para ingressar em pelo menos uma das duas especialidades, Z. deve pontuar pelo menos 70 pontos em matemática. E em russo. E também - estudos sociais ou estrangeiros.

A probabilidade de ele marcar 70 pontos em matemática é de 0,6.

A probabilidade de marcar pontos em matemática e russo é igual.

Vamos lidar com estudos estrangeiros e sociais. As opções que nos agradam são quando o candidato obteve pontuação em estudos sociais, estudos estrangeiros ou ambos. A opção não é adequada quando ele não obteve nenhum ponto em nenhum idioma ou “sociedade”. Isso significa que a probabilidade de aprovação em estudos sociais ou língua estrangeira com pelo menos 70 pontos é igual. Como resultado, a probabilidade de passar em matemática, russo e estudos sociais ou estrangeiro é igual

Esta é a resposta.

II . Resolvendo problemas combinatórios

1. Número de combinações e fatoriais

Vejamos brevemente o material teórico.

Expressãon ! é lido como “enfatorial” e denota o produto de todos números naturais de 1 an inclusivo:n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·n .

Além disso, em matemática, por definição, eles acreditam que 0! = 1. Tal expressão é rara, mas ainda ocorre em problemas de teoria das probabilidades.

Definição

Deixe que haja objetos (lápis, doces, qualquer coisa) dos quais você deseja selecionar objetos exatamente diferentes. Então o número de opções para tal escolha é chamadonúmero de combinações de elementos por. Este número é designado e calculado por meio de uma fórmula especial.

Designação

O que esta fórmula nos dá? Na verdade, quase nenhum problema sério pode ser resolvido sem ele.

Para uma melhor compreensão, vejamos alguns problemas combinatórios simples:

Tarefa

O barman tem 6 tipos de chá verde. Para realizar uma cerimônia do chá, você precisa servir exatamente 3 tipos diferentes de chá verde. De quantas maneiras o barman pode atender um pedido?

Solução

Tudo é simples aqui: existen = 6 variedades para escolherk = 3 variedades. O número de combinações pode ser encontrado usando a fórmula:

Responder

Substitua na fórmula. Não podemos resolver todos os problemas, mas tarefas típicas Nós os escrevemos e eles são apresentados à sua atenção.

Tarefa

Em um grupo de 20 alunos, você precisa escolher 2 representantes para falar na conferência. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Solução

Novamente, isso é tudo que temosn = 20 alunos, mas você tem que escolherk = 2 alunos. Encontre o número de combinações:

Observação: os fatores incluídos nos diferentes fatoriais estão marcados em vermelho. Esses multiplicadores podem ser reduzidos sem dor e, assim, reduzir significativamente a quantidade total de cálculos.

Responder

190

Tarefa

Foram entregues no armazém 17 servidores com defeitos diversos, que custam 2 vezes menos que os servidores normais. O diretor comprou 14 desses servidores para a escola e usou o dinheiro economizado no valor de 200.000 rublos para comprar outros equipamentos. De quantas maneiras o diretor pode selecionar servidores defeituosos?

Solução

O problema contém muitos dados extras que podem ser confusos. Maioria fatos importantes: há tudon = 17 servidores, e o diretor precisak = 14 servidores. Contamos o número de combinações:

Os multiplicadores que estão sendo reduzidos são novamente indicados em vermelho. No total, foram 680 combinações. Em geral, o diretor tem muito por onde escolher.

Responder

680

Esta tarefa é complicada porque há dados extras nesta tarefa. Eles desviam muitos estudantes de tomar a decisão certa. Foram 17 servidores no total, e o diretor precisou escolher 14. Substituindo na fórmula, obtemos 680 combinações.

2. Lei da multiplicação

Definição

Lei da multiplicação em combinatória: o número de combinações (formas, combinações) em conjuntos independentes é multiplicado.

Em outras palavras, que hajaA maneiras de realizar uma ação eB maneiras de realizar outra ação. O caminho também é que essas ações sejam independentes, ou seja, não estão relacionados entre si de forma alguma. Então você pode encontrar o número de maneiras de realizar a primeira e a segunda ações usando a fórmula:C = A · B .

Tarefa

Petya tem 4 moedas de 1 rublo e 2 moedas de 10 rublos. Petya, sem olhar, tirou do bolso 1 moeda com valor nominal de 1 rublo e outra 1 moeda com valor nominal de 10 rublos para comprar uma caneta por 11 rublos. De quantas maneiras ele pode escolher essas moedas?

Solução

Então, primeiro Petya conseguek = 1 moeda den = 4 moedas disponíveis com valor nominal de 1 rublo. O número de maneiras de fazer isso éC 4 1 = ... = 4.

Então Petya enfia a mão no bolso novamente e tirak = 1 moeda den = 2 moedas disponíveis com valor nominal de 10 rublos. Aqui o número de combinações é igual aC 2 1 = ... = 2.

Como essas ações são independentes, o número total de opções é igual aC = 4 · 2 = 8.

Responder

Tarefa

Existem 8 bolas brancas e 12 bolas pretas em uma cesta. De quantas maneiras você pode obter 2 bolas brancas e 2 bolas pretas desta cesta?

Solução

Total no carrinhon = 8 bolas brancas para escolherk = 2 bolas. Pode ser feitoC 8 2 = ... = 28 maneiras diferentes.

Além disso, o carrinho contémn = 12 bolas pretas, das quais você deve escolher novamentek = 2 bolas. O número de maneiras de fazer isso éC 12 2 = ... = 66.

Como a escolha de uma bola branca e a escolha de uma bola preta são eventos independentes, o número total de combinações é calculado de acordo com a lei da multiplicação:C = 28 · 66 = 1848. Como você pode ver, pode haver muitas opções.

Responder

1848

A lei da multiplicação mostra de quantas maneiras pode ser realizada uma ação complexa que consiste em duas ou mais ações simples - desde que todas sejam independentes.

3. Lei da adição

Se a lei da multiplicação opera com eventos “isolados” que não dependem uns dos outros, então na lei da adição o oposto é verdadeiro. Lida com eventos mutuamente exclusivos que nunca acontecem ao mesmo tempo.

Por exemplo, “Petya tirou 1 moeda do bolso” e “Petya não tirou nenhuma moeda do bolso” são eventos mutuamente exclusivos, uma vez que é impossível tirar uma moeda sem tirar nenhuma.

Da mesma forma, os eventos “A bola aleatória é branca” e “A bola aleatória é preta” também são mutuamente exclusivos.

Definição

Lei da adição em combinatória: se duas ações mutuamente exclusivas podem ser realizadasA EB métodos adequadamente, então esses eventos podem ser combinados. Isso criará um novo evento que você pode executarX = A + B caminhos.

Em outras palavras, ao combinar ações mutuamente exclusivas (eventos, opções), o número de suas combinações aumenta.

Podemos dizer que a lei da adição é um “OU” lógico em combinatória, quando estamos satisfeitos com qualquer uma das opções mutuamente exclusivas. Por outro lado, a lei da multiplicação é um “AND” lógico, no qual estamos interessados ​​​​na execução simultânea da primeira e da segunda ações.

Tarefa

Existem 9 bolas pretas e 7 bolas vermelhas em uma cesta. O menino tira 2 bolas da mesma cor. De quantas maneiras ele pode fazer isso?

Solução

Se as bolas forem da mesma cor, há poucas opções: ambas são pretas ou vermelhas. Obviamente, essas opções são mutuamente exclusivas.

No primeiro caso, o menino tem que escolherk = 2 bolas pretas den = 9 disponíveis. O número de maneiras de fazer isso éC 9 2 = ... = 36.

Da mesma forma, no segundo caso escolhemosk = 2 bolas vermelhas den = 7 possíveis. O número de maneiras é igualC 7 2 = ... = 21.

Resta encontrar o número total de maneiras. Como as opções com bolas pretas e vermelhas são mutuamente exclusivas, pela lei da adição temos:X = 36 + 21 = 57.

Responder57

Tarefa

A barraca vende 15 rosas e 18 tulipas. Um aluno do 9º ano quer comprar 3 flores para seu colega, e todas as flores devem ser iguais. De quantas maneiras ele pode fazer esse buquê?

Solução

De acordo com a condição, todas as flores devem ser iguais. Isso significa que compraremos 3 rosas ou 3 tulipas. De qualquer forma,k = 3.

No caso das rosas você terá que escolhern = 15 opções, então o número de combinações éC 15 3 =…=455. Para tulipasn = 18, e o número de combinações éC 18 3 = ... = 816.

Como rosas e tulipas são opções mutuamente exclusivas, trabalhamos de acordo com a lei da adição. Obtemos o número total de opçõesX = 455 + 816 = 1271. Esta é a resposta.

Responder

1271

Termos e restrições adicionais

Muitas vezes, o texto do problema contém condições adicionais que impõem restrições significativas às combinações que nos interessam. Compare duas frases:

Há um conjunto de 5 canetas em cores diferentes. De quantas maneiras você pode escolher 3 canetas para delinear um desenho?

Há um conjunto de 5 canetas em cores diferentes. De quantas maneiras você pode escolher 3 canetas para delinear um desenho se o vermelho deve estar entre elas?

No primeiro caso, temos o direito de escolher as cores que quisermos - não há restrições adicionais. No segundo caso, tudo é mais complicado, pois somos obrigados a escolher uma caneta vermelha (presume-se que esteja no conjunto original).

Obviamente, quaisquer restrições reduzem drasticamente o número final de opções. Bem, como você pode encontrar o número de combinações neste caso? Apenas lembre-se desta regra:

Que haja um conjunto den elementos para escolherk elementos. Ao introduzir restrições adicionais ao númeron Ek diminuir na mesma quantidade.

Em outras palavras, se de 5 canetas você precisar escolher 3, e uma delas for vermelha, então você terá que escolher entren = 5 − 1 = 4 elementos cadak = 3 − 1 = 2 elementos. Então, em vez deC 5 3 deve ser contadoC 4 2 .

Agora vamos ver como essa regra funciona para exemplos específicos:

Tarefa

Em um grupo de 20 alunos, incluindo 2 alunos excelentes, você deverá selecionar 4 pessoas para participar da conferência. De quantas maneiras esses quatro podem ser selecionados se alunos excelentes devem comparecer à conferência?

Solução

Então há um grupo den = 20 alunos. Mas você só precisa escolherk = 4 deles. Se não houvesse restrições adicionais, o número de opções seria igual ao número de combinaçõesC 20 4 .

Porém, nos foi dada uma condição adicional: 2 alunos excelentes deveriam estar entre esses quatro. Então, de acordo com a regra acima, reduzimos os númerosn Ek por 2. Temos:

Responder

153

Tarefa

Petya tem 8 moedas no bolso, das quais 6 são moedas de rublo e 2 são moedas de 10 rublos. Petya transfere cerca de três moedas para outro bolso. De quantas maneiras Petya pode fazer isso se for sabido que ambas as moedas de 10 rublos acabaram no outro bolso?

Solução

Então aí están = 8 moedas. Petya mudak = 3 moedas, 2 das quais são moedas de dez rublos. Acontece que das 3 moedas que serão transferidas, 2 já foram fixadas, então os númerosn Ek deve ser reduzido em 2. Temos:

Responder

III . Resolvendo problemas combinados usando fórmulas de combinatória e teoria das probabilidades

Tarefa

Petya tinha 4 moedas de rublo e 2 moedas de rublo no bolso. Petya, sem olhar, transferiu cerca de três moedas para outro bolso. Encontre a probabilidade de que ambas as moedas de dois rublos estejam no mesmo bolso.

Solução

Suponha que as duas moedas de dois rublos realmente tenham acabado no mesmo bolso, então 2 opções são possíveis: ou Petya não as transferiu ou transferiu as duas ao mesmo tempo.

No primeiro caso, quando as moedas de dois rublos não foram transferidas, você terá que transferir moedas de 3 rublos. Como existem 4 dessas moedas no total, o número de maneiras de fazer isso é igual ao número de combinações de 4 por 3:C 4 3 .

No segundo caso, quando ambas as moedas de dois rublos forem transferidas, outra moeda de rublo terá de ser transferida. Deve ser escolhido entre 4 existentes, e o número de maneiras de fazer isso é igual ao número de combinações de 4 por 1:C 4 1 .

Agora vamos encontrar o número total de maneiras de reorganizar as moedas. Como existem 4 + 2 = 6 moedas no total e você só precisa escolher 3 delas, o número total de opções é igual ao número de combinações de 6 por 3:C 6 3 .

Resta encontrar a probabilidade:

Responder

0,4

Mostre no quadro interativo. Preste atenção ao fato de que, de acordo com as condições do problema, Petya, sem olhar, colocou três moedas no bolso. Ao responder a esta pergunta, podemos supor que na verdade duas moedas de dois rublos permaneceram no mesmo bolso. Consulte a fórmula para adicionar probabilidades. Mostre a fórmula novamente.

Tarefa

Petya tinha 2 moedas de 5 rublos e 4 moedas de 10 rublos no bolso. Petya, sem olhar, transferiu cerca de 3 moedas para outro bolso. Encontre a probabilidade de que as moedas de cinco rublos estejam agora em bolsos diferentes.

Solução

Para manter moedas de cinco rublos em bolsos diferentes, você precisa mover apenas uma delas. O número de maneiras de fazer isso é igual ao número de combinações de 2 por 1:C 2 1 .

Como Petya transferiu 3 moedas no total, ele terá que transferir mais 2 moedas de 10 rublos cada. Petya tem 4 dessas moedas, então o número de maneiras é igual ao número de combinações de 4 por 2:C 4 2 .

Resta descobrir quantas opções existem para transferir 3 moedas das 6 disponíveis. Esta quantidade, como no problema anterior, é igual ao número de combinações de 6 por 3:C 6 3 .

Encontramos a probabilidade:

EM último passo multiplicamos o número de maneiras de escolher moedas de dois rublos e o número de maneiras de escolher moedas de dez rublos, uma vez que esses eventos são independentes.

Responder

0,6

Portanto, os problemas com moedas têm sua própria fórmula de probabilidade. É tão simples e importante que pode ser formulado como um teorema.

Teorema

Deixe a moeda ser lançadan uma vez. Então a probabilidade de que cara caia exatamentek vezes, pode ser encontrado usando a fórmula:

OndeC n k - número de combinações den elementos pork , que é calculado pela fórmula:

Assim, para resolver o problema da moeda, são necessários dois números: o número de lançamentos e o número de caras. Na maioria das vezes, esses números são fornecidos diretamente no texto do problema. Além disso, não importa exatamente o que você conta: coroa ou cara. A resposta será a mesma.

À primeira vista, o teorema parece muito complicado. Mas depois de praticar um pouco, você não desejará mais retornar ao algoritmo padrão descrito acima.

A moeda é lançada quatro vezes. Encontre a probabilidade de obter cara exatamente três vezes.

Solução

De acordo com o problema, o total de lançamentos foin = 4. Número necessário de águias:k = 3. Substituton Ek na fórmula:

Você pode contar facilmente o número de caras:k = 4 − 3 = 1. A resposta será a mesma.

Responder

0,25

Tarefa [ Pasta de trabalho“USE 2012 em matemática. Problemas B6"]

A moeda é lançada três vezes. Encontre a probabilidade de você nunca obter cara.

Solução

Escrevendo os números novamenten Ek . Como a moeda é lançada 3 vezes,n = 3. E como não deveria haver cara,k = 0. Resta substituir os númerosn Ek na fórmula:

Deixe-me lembrá-lo que 0! = 1 por definição. É por issoC 3 0 = 1.

Responder

0,125

Problema [Exame de Estado Unificado Experimental em Matemática 2012. Irkutsk]

Em um experimento aleatório, uma moeda simétrica é lançada 4 vezes. Encontre a probabilidade de que cara apareça mais vezes do que coroa.

Solução

Para que haja mais caras do que coroas, elas devem aparecer 3 vezes (então haverá 1 coroa) ou 4 vezes (então não haverá coroa alguma). Vamos encontrar a probabilidade de cada um desses eventos.

Deixarp 1 - a probabilidade de aparecer cara 3 vezes. Entãon = 4, k = 3. Temos:

Agora vamos encontrarp 2 - a probabilidade de que cara apareça todas as 4 vezes. Nesse cason = 4, k = 4. Temos:

Para obter a resposta, basta somar as probabilidadesp 1 Ep 2 . Lembre-se: você só pode adicionar probabilidades para eventos mutuamente exclusivos. Nós temos:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Responder

0,3125

Para economizar seu tempo na preparação com a galera para o Exame Estadual Unificado e o Exame Estadual, apresentamos soluções para muitos outros problemas que você pode escolher e resolver com a galera.

Materiais GIA, Exame Estadual Unificado de vários anos, livros didáticos e sites.

4. Material de referência

Eventos que acontecem na realidade ou na nossa imaginação podem ser divididos em 3 grupos. Estes são certos eventos que acontecerão com certeza, eventos impossíveis e eventos aleatórios. A teoria da probabilidade estuda eventos aleatórios, ou seja, eventos que podem ou não acontecer. Este artigo apresentará em em resumo teoria das probabilidades, fórmulas e exemplos de resolução de problemas em teoria das probabilidades, que estarão na tarefa 4 do Exame Estadual Unificado de matemática (nível de perfil).

Por que precisamos da teoria da probabilidade?

Historicamente, a necessidade de estudar estes problemas surgiu no século XVII em conexão com o desenvolvimento e profissionalização jogatina e o surgimento dos cassinos. Este foi um fenômeno real que exigiu seu próprio estudo e pesquisa.

Jogar cartas, dados e roleta criaram situações em que qualquer um de um número finito de eventos igualmente possíveis poderia ocorrer. Havia a necessidade de fornecer estimativas numéricas da possibilidade de ocorrência de um determinado evento.

No século 20, ficou claro que esta ciência aparentemente frívola desempenha um papel importante na compreensão dos processos fundamentais que ocorrem no microcosmo. Foi criado teoria moderna probabilidades.

Conceitos básicos da teoria das probabilidades

O objeto de estudo da teoria das probabilidades são os eventos e suas probabilidades. Se um evento for complexo, ele poderá ser dividido em componentes simples, cujas probabilidades serão fáceis de encontrar.

A soma dos eventos A e B é chamada de evento C, que consiste no fato de que o evento A, ou o evento B, ou os eventos A e B ocorreram simultaneamente.

O produto dos eventos A e B é um evento C, o que significa que ocorreram tanto o evento A quanto o evento B.

Os eventos A e B são chamados de incompatíveis se não puderem ocorrer simultaneamente.

Um evento A é dito impossível se não puder acontecer. Tal evento é indicado pelo símbolo.

Um evento A é dito certo se é certo que acontecerá. Tal evento é indicado pelo símbolo.

Seja cada evento A associado a um número P(A). Este número P(A) é chamado de probabilidade do evento A se as seguintes condições forem atendidas com esta correspondência.

Um caso especial importante é a situação em que existem resultados elementares igualmente prováveis, e arbitrários desses resultados formam os eventos A. Nesse caso, a probabilidade pode ser inserida usando a fórmula. A probabilidade introduzida desta forma é chamada de probabilidade clássica. Pode-se provar que neste caso as propriedades 1-4 são satisfeitas.

Os problemas da teoria da probabilidade que aparecem no Exame de Estado Unificado em matemática estão principalmente relacionados à probabilidade clássica. Essas tarefas podem ser muito simples. Particularmente simples são os problemas da teoria das probabilidades em opções de demonstração. É fácil calcular o número de resultados favoráveis; o número de todos os resultados está escrito na condição.

Obtemos a resposta usando a fórmula.

Um exemplo de problema do Exame Estadual Unificado em matemática sobre determinação de probabilidade

São 20 tortas na mesa - 5 com repolho, 7 com maçã e 8 com arroz. Marina quer levar a torta. Qual é a probabilidade de ela aceitar o bolo de arroz?

Solução.

Existem 20 resultados elementares igualmente prováveis, ou seja, Marina pode pegar qualquer uma das 20 tortas. Mas precisamos estimar a probabilidade de Marina levar a torta de arroz, ou seja, onde A é a escolha da torta de arroz. Isso significa que o número de resultados favoráveis ​​(escolhas de tortas com arroz) é de apenas 8. Então a probabilidade será determinada pela fórmula:

Eventos Independentes, Opostos e Arbitrários

No entanto, em jarra aberta Tarefas mais complexas começaram a ser encontradas. Portanto, chamemos a atenção do leitor para outras questões estudadas na teoria das probabilidades.

Os eventos A e B são considerados independentes se a probabilidade de cada um não depender da ocorrência do outro evento.

O evento B é aquele evento A não aconteceu, ou seja, o evento B é oposto ao evento A. A probabilidade do evento oposto é igual a um menos a probabilidade do evento direto, ou seja, .

Teoremas de adição e multiplicação de probabilidade, fórmulas

Para eventos arbitrários A e B, a probabilidade da soma desses eventos é igual à soma de suas probabilidades sem a probabilidade de seu evento conjunto, ou seja, .

Para eventos independentes A e B, a probabilidade de ocorrência desses eventos é igual ao produto de suas probabilidades, ou seja, nesse caso .

As duas últimas afirmações são chamadas de teoremas de adição e multiplicação de probabilidades.

Contar o número de resultados nem sempre é tão simples. Em alguns casos é necessário utilizar fórmulas combinatórias. Neste caso, o mais importante é contar o número de eventos que satisfazem certas condições. Às vezes, esses tipos de cálculos podem se tornar tarefas independentes.

De quantas maneiras 6 alunos podem sentar-se em 6 lugares vazios? O primeiro aluno ocupará qualquer uma das 6 vagas. Cada uma dessas opções corresponde a 5 formas de o segundo aluno ocupar uma vaga. Restam 4 vagas para o terceiro aluno, 3 para o quarto, 2 para o quinto e o sexto ocupará a única vaga restante. Para saber o número de todas as opções, você precisa encontrar o produto, que é indicado pelo símbolo 6! e lê “seis fatoriais”.

No caso geral, a resposta a esta questão é dada pela fórmula do número de permutações de n elementos.

Consideremos agora outro caso com nossos alunos. De quantas maneiras 2 alunos podem sentar-se em 6 lugares vazios? O primeiro aluno ocupará qualquer uma das 6 vagas. Cada uma dessas opções corresponde a 5 formas de o segundo aluno ocupar uma vaga. Para saber o número de todas as opções, você precisa encontrar o produto.

Em geral, a resposta a esta questão é dada pela fórmula do número de colocações de n elementos sobre k elementos

No nosso caso .

E o último caso desta série. De quantas maneiras você pode escolher 3 alunos entre 6? O primeiro aluno pode ser selecionado de 6 maneiras, o segundo - de 5 maneiras, o terceiro - de quatro maneiras. Mas entre essas opções, os mesmos três alunos aparecem 6 vezes. Para encontrar o número de todas as opções, você precisa calcular o valor: . Em geral, a resposta a esta questão é dada pela fórmula do número de combinações de elementos por elemento:

No nosso caso .

Exemplos de resolução de problemas do Exame Estadual Unificado em matemática para determinar probabilidade

Tarefa 1. Da coleção editada por. Yashchenko.

São 30 tortas no prato: 3 com carne, 18 com repolho e 9 com cerejas. Sasha escolhe uma torta aleatoriamente. Encontre a probabilidade de ele acabar com uma cereja.

.

Resposta: 0,3.

Tarefa 2. Da coleção editada por. Yashchenko.

Em cada lote de 1.000 lâmpadas, em média, 20 estão com defeito. Encontre a probabilidade de que uma lâmpada retirada aleatoriamente de um lote esteja funcionando.

Solução: O número de lâmpadas funcionando é 1000-20=980. Então a probabilidade de que uma lâmpada retirada aleatoriamente de um lote esteja funcionando:

Resposta: 0,98.

A probabilidade de o aluno U resolver mais de 9 problemas corretamente durante uma prova de matemática é de 0,67. A probabilidade de U resolver mais de 8 problemas corretamente é 0,73. Encontre a probabilidade de U resolver exatamente 9 problemas corretamente.

Se imaginarmos uma reta numérica e marcarmos os pontos 8 e 9 nela, veremos que a condição “U. resolverá exatamente 9 problemas corretamente” está incluído na condição “U. resolverá mais de 8 problemas corretamente”, mas não se aplica à condição “U. resolverá mais de 9 problemas corretamente.”

No entanto, a condição “U. resolverá mais de 9 problemas corretamente” está contido na condição “U. resolverá mais de 8 problemas corretamente.” Assim, se designarmos eventos: “U. resolverá exatamente 9 problemas corretamente" - até A, "U. resolverá mais de 8 problemas corretamente" - até B, "U. resolverá corretamente mais de 9 problemas” até C. Essa solução será semelhante a esta:

Resposta: 0,06.

Em um exame de geometria, o aluno responde a uma pergunta de uma lista de questões do exame. A probabilidade de que esta seja uma questão de trigonometria é 0,2. A probabilidade de que esta seja uma questão sobre ângulos externos é de 0,15. Não há perguntas que se relacionem simultaneamente com esses dois tópicos. Encontre a probabilidade de um aluno receber uma pergunta sobre um desses dois tópicos no exame.

Vamos pensar em quais eventos temos. Recebemos dois eventos incompatíveis. Ou seja, ou a questão estará relacionada ao tema “Trigonometria” ou ao tema “Ângulos externos”. Segundo o teorema da probabilidade, a probabilidade de eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades de cada evento, devemos encontrar a soma das probabilidades desses eventos, ou seja:

Resposta: 0,35.

A sala é iluminada por uma lanterna com três lâmpadas. A probabilidade de uma lâmpada queimar em um ano é de 0,29. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma lâmpada não queime durante o ano.

Vamos considerar eventos possíveis. Temos três lâmpadas, cada uma das quais pode ou não queimar independentemente de qualquer outra lâmpada. Estes são eventos independentes.

A seguir indicaremos as opções para tais eventos. Vamos usar as seguintes notações: - a lâmpada está acesa, - a lâmpada está queimada. E imediatamente a seguir calculamos a probabilidade do evento. Por exemplo, a probabilidade de um evento em que ocorreram três eventos independentes “a lâmpada está queimada”, “a lâmpada está acesa”, “a lâmpada está acesa”: , onde a probabilidade do evento “a lâmpada está acesa” está acesa” é calculada como a probabilidade do evento oposto ao evento “a lâmpada não está acesa”, a saber: .

Atenção aos candidatos! Várias tarefas de USE são discutidas aqui. O resto, mais interessante, está no nosso vídeo gratuito. Assista e faça!

Começaremos com tarefas simples e conceitos básicos da teoria das probabilidades.
Aleatório Um evento que não pode ser previsto com precisão é chamado. Isso pode acontecer ou não.
Você ganhou na loteria - um evento aleatório. Você convidou amigos para comemorar sua vitória e, no caminho até você, eles ficaram presos no elevador - também um evento aleatório. É verdade que o mestre estava por perto e libertou toda a empresa em dez minutos - e isso também pode ser considerado um feliz acidente...

Nossa vida é cheia de eventos aleatórios. Sobre cada um deles podemos dizer que isso acontecerá com alguns probabilidade. Muito provavelmente, você está intuitivamente familiarizado com esse conceito. Daremos agora a definição matemática de probabilidade.

Vamos começar desde o início exemplo simples. Você joga uma moeda. Cara ou Corôa?

Tal ação, que pode levar a um entre vários resultados, é chamada na teoria das probabilidades teste.

Cara e coroa - duas possíveis resultado testes.

Cabeças cairão em um caso entre dois possíveis. Eles disseram aquilo probabilidade que a moeda cairá em cara é .

Vamos jogar um dado. O dado tem seis lados, portanto também há seis resultados possíveis.

Por exemplo, você desejou que três pontos aparecessem. Este é um resultado entre seis possíveis. Na teoria das probabilidades será chamado resultado favorável.

A probabilidade de obter três é igual (um resultado favorável em seis possíveis).

A probabilidade de quatro também é

Mas a probabilidade de aparecer um sete é zero. Afinal, não existe aresta com sete pontas no cubo.

A probabilidade de um evento é igual à razão entre o número de resultados favoráveis ​​e o número total de resultados.

Obviamente, a probabilidade não pode ser maior que um.

Aqui está outro exemplo. Há maçãs em um saco, algumas são vermelhas, as demais são verdes. As maçãs não diferem em formato ou tamanho. Você coloca a mão na sacola e tira uma maçã aleatoriamente. A probabilidade de tirar uma maçã vermelha é igual a e a probabilidade de tirar uma maçã verde é igual a.

A probabilidade de obter uma maçã vermelha ou verde é igual.

Analisemos os problemas de teoria das probabilidades incluídos nas coleções de preparação para o Exame Estadual Unificado.

. A empresa de táxi atualmente conta com carros gratuitos: vermelho, amarelo e verde. Um dos carros que estava mais próximo do cliente respondeu à chamada. Encontre a probabilidade de um táxi amarelo vir até ela.

São um total de carros, ou seja, um em cada quinze chegará ao cliente. São nove amarelos, o que significa que a probabilidade de chegar um carro amarelo é igual a , isto é.

. (Versão demo) Na coleção de ingressos sobre biologia de todos os ingressos, em dois deles há uma pergunta sobre cogumelos. Durante o exame, o aluno recebe um ingresso selecionado aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que este bilhete não contenha uma pergunta sobre cogumelos.

Obviamente, a probabilidade de tirar um bilhete sem perguntar sobre cogumelos é igual a, ou seja,.

. O Comitê de Pais comprou quebra-cabeças para presentes de formatura para as crianças. ano escolar, dos quais com pinturas artista famoso e com imagens de animais. Os presentes são distribuídos aleatoriamente. Encontre a probabilidade de Vovochka conseguir um quebra-cabeça com um animal.

O problema é resolvido de maneira semelhante.

Responder: .

. Atletas da Rússia, dos EUA e demais da China participam do campeonato de ginástica. A ordem de atuação das ginastas é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de o último atleta a competir ser da China.

Vamos imaginar que todos os atletas se aproximaram simultaneamente do chapéu e tiraram dele pedaços de papel com números. Alguns deles receberão o número vinte. A probabilidade de um atleta chinês conseguir é igual (já que os atletas são da China). Responder: .

. O aluno foi solicitado a nomear o número de a . Qual é a probabilidade de ele nomear um número múltiplo de cinco?

Cada quinto um número deste conjunto é divisível por. Isso significa que a probabilidade é igual a.

Um dado é lançado. Encontre a probabilidade de obter um número ímpar de pontos.

Números ímpares; - até. A probabilidade de um número ímpar de pontos é .

Responder: .

. A moeda é lançada três vezes. Qual é a probabilidade de duas caras e uma coroa?

Observe que o problema pode ser formulado de forma diferente: três moedas foram lançadas ao mesmo tempo. Isto não afetará a decisão.

Quantos resultados possíveis você acha que existem?

Jogamos uma moeda. Esta ação tem dois resultados possíveis: cara e coroa.

Duas moedas já são quatro resultados:

Três moedas? Isso mesmo, resultados, já que .

Duas caras e uma coroa aparecem três em oito vezes.

Responder: .

. Em um experimento aleatório, dois dados são lançados. Encontre a probabilidade de que o total seja de pontos. Arredonde o resultado para centésimos.

Lançamos o primeiro dado - seis resultados. E para cada um deles são possíveis mais seis - quando lançamos o segundo dado.

Entendemos que esta ação é jogar dois dados- total de resultados possíveis, uma vez que .

E agora - resultados favoráveis:

A probabilidade de obter oito pontos é .

>. O atirador acerta o alvo com probabilidade. Encontre a probabilidade de ele acertar o alvo quatro vezes seguidas.

Se a probabilidade de acerto for igual, então a probabilidade de erro é . Raciocinamos da mesma maneira que no problema anterior. A probabilidade de dois acertos consecutivos é igual. E a probabilidade de quatro acertos consecutivos é igual.

Probabilidade: lógica da força bruta.

Aqui está um problema do trabalho de diagnóstico que muitas pessoas acharam difícil.

Petya tinha moedas no valor de rublos e moedas no valor de rublos no bolso. Petya, sem olhar, transferiu algumas moedas para outro bolso. Encontre a probabilidade de que as moedas de cinco rublos estejam agora em bolsos diferentes.

Sabemos que a probabilidade de um evento é igual à razão entre o número de resultados favoráveis ​​e o número total de resultados. Mas como calcular todos esses resultados?

Você pode, é claro, designar moedas de cinco rublos com números e moedas de dez rublos com números - e então contar quantas maneiras você pode selecionar três elementos do conjunto.

No entanto, existe uma solução mais simples:

Codificamos as moedas com números: , (são moedas de cinco rublos), (são moedas de dez rublos). A condição do problema agora pode ser formulada da seguinte forma:

Existem seis fichas com números de até . De quantas maneiras elas podem ser distribuídas igualmente em dois bolsos, para que as fichas com números não fiquem juntas?

Vamos anotar o que temos no primeiro bolso.

Para isso, comporemos todas as combinações possíveis do conjunto. Um conjunto de três fichas será um número de três dígitos. Obviamente, nas nossas condições e são o mesmo conjunto de fichas. Para não perder nada nem nos repetir, organizamos os números de três dígitos correspondentes em ordem crescente:

Todos! Passamos por todas as combinações possíveis começando com . Vamos continuar:

Total de resultados possíveis.

Temos uma condição - fichas com números não devem ficar juntas. Isso significa, por exemplo, que a combinação não nos convém - significa que ambas as fichas não acabaram no primeiro, mas no segundo bolso. Os resultados que nos são favoráveis ​​são aqueles onde existe apenas, ou apenas. Aqui estão eles:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – resultados totais favoráveis.

Então a probabilidade necessária é igual a.

Que tarefas esperam por você no Exame Estadual Unificado em matemática?

Vamos analisar um dos problemas complexos da teoria das probabilidades.

Para ingressar no instituto da especialidade "Linguística", o candidato Z. deve pontuar pelo menos 70 pontos no Exame Estadual Unificado em cada uma das três disciplinas - matemática, língua russa e língua estrangeira. Para se matricular na especialidade Comércio, você precisa marcar pelo menos 70 pontos em cada uma das três disciplinas - matemática, língua russa e estudos sociais.

A probabilidade de o candidato Z. receber pelo menos 70 pontos em matemática é de 0,6, em russo - 0,8, em língua estrangeira - 0,7 e em estudos sociais - 0,5.
Encontre a probabilidade de Z. conseguir se matricular em pelo menos uma das duas especialidades mencionadas.

Observe que o problema não pergunta se um candidato chamado Z. estudará linguística e comércio ao mesmo tempo e receberá dois diplomas. Aqui precisamos encontrar a probabilidade de Z. conseguir se matricular em pelo menos uma dessas duas especialidades - ou seja, ele marcará a quantidade necessária de pontos.
Para ingressar em pelo menos uma das duas especialidades, Z. deve pontuar pelo menos 70 pontos em matemática. E em russo. E também - estudos sociais ou estrangeiros.
A probabilidade de ele marcar 70 pontos em matemática é de 0,6.
A probabilidade de marcar pontos em matemática e russo é de 0,6 0,8.

Vamos lidar com estudos estrangeiros e sociais. As opções que nos agradam são quando o candidato obteve pontuação em estudos sociais, estudos estrangeiros ou ambos. A opção não é adequada quando ele não obteve nenhum ponto em nenhum idioma ou “sociedade”. Isso significa que a probabilidade de aprovação em estudos sociais ou língua estrangeira com pelo menos 70 pontos é igual a
1 – 0,5 0,3.
Como resultado, a probabilidade de passar em matemática, russo e estudos sociais ou estrangeiro é igual
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Esta é a resposta.

Evento aleatorio - qualquer evento que pode ou não ocorrer como resultado de alguma experiência.

Probabilidade de evento R igual à razão entre o número de resultados favoráveis k ao número de resultados possíveis n, ou seja

p=\frac(k)(n)

Fórmulas para adição e multiplicação da teoria das probabilidades

Evento \barra(A) chamado oposto ao evento A, se o evento A não ocorreu.

Soma de probabilidades de eventos opostos é igual a um, ou seja,

P(\bar(A)) + P(A) =1

• A probabilidade de um evento não pode ser maior que 1.
• Se a probabilidade de um evento for 0, então isso não acontecerá.
• Se a probabilidade de um evento for 1, então isso acontecerá.

Teorema da adição de probabilidade:

“A probabilidade da soma de dois eventos incompatíveis é igual à soma das probabilidades desses eventos.”

P(A+B) = P(A) + P(B)

Probabilidade valores dois eventos conjuntos igual à soma das probabilidades desses eventos sem levar em conta sua ocorrência conjunta:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Teorema da multiplicação de probabilidade

“A probabilidade de ocorrência de dois eventos é igual ao produto das probabilidades de um deles pela probabilidade condicional do outro, calculada sob a condição de que o primeiro tenha ocorrido.”

P(AB)=P(A)*P(B)

Eventos são chamados incompatível, se o aparecimento de um deles exclui o aparecimento de outros. Ou seja, apenas um evento específico ou outro pode acontecer.

Eventos são chamados articulação, se a ocorrência de um deles não exclui a ocorrência do outro.

Dois eventos aleatórios A e B são chamados independente, se a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Caso contrário, os eventos A e B são chamados de dependentes.

Aula-aula sobre o tema “teoria da probabilidade”

Tarefa nº 4 do Exame Estadual Unificado 2016.

Nível de perfil.

1 grupo: tarefas sobre o uso da fórmula clássica de probabilidade.

• Exercício 1. A empresa de táxi tem 60 disponíveis carros de passageiros; 27 deles são pretos com inscrições amarelas nas laterais, o restante é cor amarela com inscrições pretas. Encontre a probabilidade de um carro amarelo com letras pretas responder a uma chamada aleatória.

• Tarefa 2. Misha, Oleg, Nastya e Galya lançaram a sorte sobre quem deveria iniciar o jogo. Encontre a probabilidade de Galya não iniciar o jogo.

• Tarefa 3. Em média, de 1.000 bombas de jardim vendidas, 7 vazam. Encontre a probabilidade de que uma bomba selecionada aleatoriamente para controle não vaze.

• Tarefa 4. Existem apenas 15 ingressos na coleção de ingressos de química, 6 deles contêm uma pergunta sobre o tema “Ácidos”. Encontre a probabilidade de um aluno receber uma pergunta sobre o tópico “Ácidos” em um bilhete de exame selecionado aleatoriamente.

• Tarefa 5. 45 atletas competem no campeonato de mergulho, incluindo 4 mergulhadores da Espanha e 9 mergulhadores dos EUA. A ordem das apresentações é determinada por sorteio. Encontre a probabilidade de um saltador dos EUA ser o vigésimo quarto.

• Tarefa 6. A conferência científica é realizada durante 3 dias. Estão previstos um total de 40 relatórios - 8 relatórios no primeiro dia, os restantes são distribuídos igualmente entre o segundo e o terceiro dias. A ordem dos relatórios é determinada por sorteio. Qual é a probabilidade de o relatório do Professor M. ser agendado para o último dia da conferência?

• Exercício 1. Antes do início da primeira rodada do campeonato de tênis, os participantes são divididos aleatoriamente em pares por sorteio. No total, 26 tenistas participam do campeonato, incluindo 9 participantes da Rússia, incluindo Timofey Trubnikov. Encontre a probabilidade de que na primeira rodada Timofey Trubnikov jogue com qualquer tenista da Rússia.

• Tarefa 2. Antes do início da primeira rodada do campeonato de badminton, os participantes são divididos aleatoriamente em pares por sorteio. Um total de 76 jogadores de badminton participam do campeonato, incluindo 22 atletas da Rússia, incluindo Viktor Polyakov. Encontre a probabilidade de que na primeira rodada Viktor Polyakov jogue com qualquer jogador de badminton da Rússia.

• Tarefa 3. A turma tem 16 alunos, entre eles dois amigos - Oleg e Mikhail. A turma é dividida aleatoriamente em 4 grupos iguais. Encontre a probabilidade de Oleg e Mikhail estarem no mesmo grupo.

• Tarefa 4. A turma tem 33 alunos, entre eles dois amigos - Andrey e Mikhail. Os alunos são divididos aleatoriamente em 3 grupos iguais. Encontre a probabilidade de Andrey e Mikhail estarem no mesmo grupo.

• Exercício 1: Numa fábrica de louças de cerâmica, 20% dos pratos produzidos apresentam defeito. Durante o controle de qualidade do produto, são identificadas 70% das placas defeituosas. As restantes placas estão à venda. Encontre a probabilidade de que uma placa selecionada aleatoriamente no momento da compra não tenha defeitos. Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

• Tarefa 2. Numa fábrica de louças de cerâmica, 30% dos pratos produzidos apresentam defeito. Durante o controle de qualidade do produto, são identificadas 60% das placas defeituosas. As restantes placas estão à venda. Encontre a probabilidade de que uma placa selecionada aleatoriamente durante a compra tenha um defeito. Arredonde sua resposta para o centésimo mais próximo.

• Tarefa 3: Duas fábricas produzem vidros idênticos para faróis de automóveis. A primeira fábrica produz 30% desses vidros, a segunda - 70%. A primeira fábrica produz 3% de vidros defeituosos e a segunda – 4%. Encontre a probabilidade de que o vidro comprado acidentalmente em uma loja esteja com defeito.

2 Grupo: encontrar a probabilidade do evento oposto.

• Exercício 1. A probabilidade de acertar o centro do alvo a uma distância de 20 m para um atirador profissional é de 0,85. Encontre a probabilidade de errar o centro do alvo.

• Tarefa 2. Ao fabricar rolamentos com diâmetro de 67 mm, a probabilidade de o diâmetro diferir do especificado em menos de 0,01 mm é de 0,965. Encontre a probabilidade de um rolamento aleatório ter um diâmetro menor que 66,99 mm ou maior que 67,01 mm.

3 Grupo: Encontrar a probabilidade de ocorrência de pelo menos um dos eventos incompatíveis. Fórmula para adicionar probabilidades.

• Exercício 1. Encontre a probabilidade de que, ao lançar um dado, você obtenha 5 ou 6 pontos.

• Tarefa 2. Existem 30 bolas em uma urna: 10 vermelhas, 5 azuis e 15 brancas. Encontre a probabilidade de tirar uma bola colorida.

• Tarefa 3. O atirador atira em um alvo dividido em 3 áreas. A probabilidade de acertar a primeira área é 0,45, a segunda é 0,35. Encontre a probabilidade de o atirador acertar a primeira ou a segunda área com um tiro.

• Tarefa 4. Um ônibus circula diariamente do centro do distrito para a vila. A probabilidade de haver menos de 18 passageiros no ônibus na segunda-feira é de 0,95. A probabilidade de haver menos de 12 passageiros é de 0,6. Encontre a probabilidade de que o número de passageiros seja de 12 a 17.

• Tarefa 5. A probabilidade de uma chaleira elétrica nova durar mais de um ano é de 0,97. A probabilidade de durar mais de dois anos é de 0,89. Encontre a probabilidade de durar menos de dois anos, mas mais de um ano.

• Tarefa 6. A probabilidade de o aluno U. resolver corretamente mais de 9 problemas durante uma prova de biologia é de 0,61. A probabilidade de U resolver mais de 8 problemas corretamente é 0,73. Encontre a probabilidade de U resolver exatamente 9 problemas corretamente.

4 Grupo: A probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes. Fórmula de multiplicação de probabilidade.

• Exercício 1. A sala é iluminada por uma lanterna com duas lâmpadas. A probabilidade de uma lâmpada queimar em um ano é de 0,3. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma lâmpada não queime durante o ano.

• Tarefa 2. A sala é iluminada por uma lanterna com três lâmpadas. A probabilidade de uma lâmpada queimar em um ano é de 0,3. Encontre a probabilidade de que pelo menos uma lâmpada não queime durante o ano.

• Tarefa 3. Existem dois vendedores na loja. Cada um deles está ocupado com um cliente com probabilidade 0,4. Encontre a probabilidade de que, em um momento aleatório, ambos os vendedores estejam ocupados ao mesmo tempo (suponha que os clientes cheguem independentemente um do outro).

• Tarefa 4. Existem três vendedores na loja. Cada um deles está ocupado com um cliente com probabilidade 0,2. Encontre a probabilidade de que, em um momento aleatório, todos os três vendedores estejam ocupados ao mesmo tempo (suponha que os clientes cheguem independentemente uns dos outros).

• Tarefa 5: Com base nas avaliações dos clientes, Mikhail Mikhailovich avaliou a confiabilidade das duas lojas online. A probabilidade de o produto desejado ser entregue na loja A é de 0,81. A probabilidade de este produto ser entregue na loja B é de 0,93. Mikhail Mikhailovich encomendou mercadorias de ambas as lojas ao mesmo tempo. Supondo que as lojas online operem de forma independente umas das outras, encontre a probabilidade de nenhuma loja entregar o produto.

• Tarefa 6: Se o grande mestre A. jogar com as brancas, ele vencerá o grande mestre B. com probabilidade de 0,6. Se A. jogar com as pretas, então A. vence B. com probabilidade de 0,4. Os Grandes Mestres A. e B. jogam duas partidas, e na segunda partida mudam a cor das peças. Encontre a probabilidade de A. vencer ambas as vezes.

5 Grupo: Problemas envolvendo o uso de ambas as fórmulas.

• Exercício 1: Todos os pacientes com suspeita de hepatite são submetidos a um exame de sangue. Se o teste revelar hepatite, o resultado do teste é considerado positivo. Em pacientes com hepatite, o teste dá resultado positivo com probabilidade de 0,9. Se o paciente não tiver hepatite, o teste pode dar um resultado falso positivo com probabilidade de 0,02. Sabe-se que 66% dos pacientes internados com suspeita de hepatite realmente apresentam hepatite. Encontre a probabilidade de um paciente internado na clínica com suspeita de hepatite ter um teste positivo.

• Tarefa 2. Cowboy John tem 0,9 chance de acertar uma mosca na parede se disparar um revólver zerado. Se John disparar um revólver sem mira, ele acerta a mosca com probabilidade 0,2. Há 10 revólveres sobre a mesa, dos quais apenas 4 foram disparados. Cowboy John vê uma mosca na parede, pega aleatoriamente o primeiro revólver que encontra e atira na mosca. Encontre a probabilidade de John errar.

Tarefa 3:

Em algumas áreas, as observações mostraram:

1. Se uma manhã de junho estiver clara, a probabilidade de chuva nesse dia é de 0,1. 2. Se uma manhã de junho estiver nublada, a probabilidade de chuva durante o dia é de 0,4. 3. A probabilidade de a manhã de junho estar nublada é de 0,3.

Encontre a probabilidade de não chover em um dia aleatório de junho.

Tarefa 4. Durante o fogo de artilharia, o sistema automático dispara contra o alvo. Se o alvo não for destruído, o sistema dispara um segundo tiro. Os tiros são repetidos até que o alvo seja destruído. A probabilidade de destruir um determinado alvo no primeiro tiro é de 0,3 e em cada tiro subsequente é de 0,9. Quantos tiros serão necessários para garantir que a probabilidade de destruir o alvo seja de pelo menos 0,96?