Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Panimula

Ang teoretikal na mekanika ay isa sa pinakamahalagang pangunahing pangkalahatang siyentipikong disiplina. Naglalaro siya mahalagang papel sa pagsasanay ng mga inhinyero ng anumang mga specialty. Ang mga pangkalahatang disiplina sa engineering ay batay sa mga resulta ng teoretikal na mekanika: lakas ng mga materyales, mga bahagi ng makina, teorya ng mga mekanismo at makina, at iba pa.

Ang pangunahing gawain ng teoretikal na mekanika ay ang pag-aaral ng paggalaw ng mga materyal na katawan sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersa. Ang isang mahalagang partikular na problema ay ang pag-aaral ng ekwilibriyo ng mga katawan sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersa.

Kurso ng lecture. Teoretikal na mekanika

Ang istraktura ng teoretikal na mekanika. Mga pangunahing kaalaman ng statics

Mga kondisyon para sa ekwilibriyo ng isang arbitraryong sistema ng mga puwersa.

Mga Equation ng Rigid Body Equilibrium.

Flat na sistema ng pwersa.

Mga partikular na kaso ng equilibrium ng isang matibay na katawan.

Ang problema ng equilibrium ng isang sinag.

Pagpapasiya ng mga panloob na puwersa sa mga istruktura ng bar.

Mga pangunahing kaalaman ng point kinematics.

natural na mga coordinate.

Formula ng Euler.

Pamamahagi ng mga acceleration ng mga punto ng isang matibay na katawan.

Mga paggalaw ng pagsasalin at pag-ikot.

Plane-parallel na paggalaw.

Kumplikadong paggalaw ng punto.

Mga batayan ng point dynamics.

Differential equation ng paggalaw ng isang punto.

Mga partikular na uri ng mga patlang ng puwersa.

Mga pangunahing kaalaman sa dinamika ng sistema ng mga puntos.

Pangkalahatang theorems ng dynamics ng isang sistema ng mga puntos.

Dynamics ng rotational movement ng katawan.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurso ng teoretikal na mekanika. M., Mas Mataas na Paaralan, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Kurso ng Theoretical Mechanics, Parts 1 at 2. M., Higher School, 1971.

Petkevich V.V. Teoretikal na mekanika. M., Nauka, 1981.

Koleksyon ng mga gawain para sa mga term paper sa theoretical mechanics. Ed. A.A. Yablonsky. M., Mas Mataas na Paaralan, 1985.

Lektura 1 Ang istraktura ng teoretikal na mekanika. Mga pangunahing kaalaman ng statics

AT teoretikal na mekanika ang paggalaw ng mga katawan na may kaugnayan sa ibang mga katawan, na mga pisikal na sistema ng sanggunian, ay pinag-aaralan.

Pinapayagan ng mga mekanika hindi lamang na ilarawan, kundi pati na rin upang mahulaan ang paggalaw ng mga katawan, na nagtatatag ng mga ugnayang sanhi sa isang tiyak, napakalawak na hanay ng mga phenomena.

Mga pangunahing abstract na modelo ng mga totoong katawan:

materyal na punto - may masa, ngunit walang mga sukat;

ganap na matigas na katawan - isang dami ng may hangganang sukat, ganap na puno ng bagay, at ang mga distansya sa pagitan ng alinmang dalawang punto ng daluyan na pumupuno sa volume ay hindi nagbabago sa panahon ng paggalaw;

tuloy-tuloy na deformable medium - pinupuno ang isang may hangganan na dami o walang limitasyong espasyo; ang mga distansya sa pagitan ng mga punto ng naturang daluyan ay maaaring mag-iba.

Sa mga ito, ang mga system:

Sistema ng mga libreng materyal na puntos;

Mga sistema na may mga koneksyon;

Isang ganap na solidong katawan na may isang lukab na puno ng likido, atbp.

"Degenerate" mga modelo:

Walang katapusang manipis na mga tungkod;

Walang katapusang manipis na mga plato;

Mga walang timbang na pamalo at sinulid na nagkokonekta sa mga punto ng materyal, atbp.

Mula sa karanasan: ang mekanikal na phenomena ay nagpapatuloy sa iba't ibang lugar ng pisikal na sistema ng sanggunian. Ang property na ito ay ang inhomogeneity ng espasyo, na tinutukoy ng physical reference system. Ang heterogeneity dito ay nauunawaan bilang ang pag-asa ng likas na katangian ng paglitaw ng isang phenomenon sa lugar kung saan natin naobserbahan ang phenomenon na ito.

Ang isa pang pag-aari ay anisotropy (non-isotropy), ang paggalaw ng isang katawan na may kaugnayan sa pisikal na sistema ng sanggunian ay maaaring mag-iba depende sa direksyon. Mga halimbawa: ang kurso ng ilog sa kahabaan ng meridian (mula hilaga hanggang timog - ang Volga); paglipad ng projectile, Foucault pendulum.

Ang mga katangian ng reference system (heterogeneity at anisotropy) ay nagpapahirap sa pag-obserba ng galaw ng isang katawan.

Praktikal libre mula dito geocentric system: ang sentro ng system ay nasa gitna ng Earth at ang system ay hindi umiikot na may kaugnayan sa "fixed" na mga bituin). Ang geocentric system ay maginhawa para sa pagkalkula ng mga paggalaw sa Earth.

Para sa celestial mechanics(para sa mga katawan ng solar system): isang heliocentric reference frame na gumagalaw sa gitna ng masa solar system at hindi umiikot na may kaugnayan sa "nakapirming" mga bituin. Para sa sistemang ito hindi pa nahahanap heterogeneity at anisotropy ng espasyo

kaugnay ng phenomena ng mechanics.

Kaya, ipinakilala namin ang isang abstract inertial reference frame kung saan ang espasyo ay homogenous at isotropic kaugnay ng phenomena ng mechanics.

inertial frame of reference- isa na ang sariling paggalaw ay hindi matukoy ng anumang mekanikal na karanasan. Eksperimento sa pag-iisip: "ang punto na nag-iisa sa buong mundo" (nakahiwalay) ay alinman sa pahinga o gumagalaw sa isang tuwid na linya at pare-pareho.

Ang lahat ng mga frame ng reference na gumagalaw na may kaugnayan sa orihinal na rectilinearly ay magiging pare-parehong inertial. Nagbibigay-daan ito sa iyo na magpakilala ng isang Cartesian coordinate system. Ang nasabing espasyo ay tinatawag Euclidean.

Kondisyon na kasunduan - kunin ang tamang sistema ng coordinate (Larawan 1).

AT oras– sa klasikal (di-relativistikong) mekanika ganap, na pareho para sa lahat ng mga sistema ng sanggunian, iyon ay, ang paunang sandali ay arbitrary. Sa kaibahan sa relativistic mechanics, kung saan inilalapat ang prinsipyo ng relativity.

Ang estado ng paggalaw ng system sa oras na t ay tinutukoy ng mga coordinate at bilis ng mga punto sa sandaling iyon.

Ang mga tunay na katawan ay nakikipag-ugnayan, at ang mga puwersa ay lumitaw na nagbabago sa estado ng paggalaw ng sistema. Ito ang kakanyahan ng theoretical mechanics.

Paano pinag-aaralan ang teoretikal na mekanika?

Ang doktrina ng equilibrium ng isang set ng mga katawan ng isang tiyak na reference frame - seksyon statics.

Kabanata kinematika: isang bahagi ng mekanika na nag-aaral ng mga ugnayan sa pagitan ng mga dami na nagpapakilala sa estado ng paggalaw ng mga sistema, ngunit hindi isinasaalang-alang ang mga sanhi na nagdudulot ng pagbabago sa estado ng paggalaw.

Pagkatapos nito, isaalang-alang ang impluwensya ng mga puwersa [PANGUNAHING BAHAGI].

Kabanata dynamics: bahagi ng mekanika, na isinasaalang-alang ang impluwensya ng mga puwersa sa estado ng paggalaw ng mga sistema ng mga materyal na bagay.

Mga prinsipyo ng pagbuo ng pangunahing kurso - dinamika:

1) batay sa isang sistema ng mga axiom (batay sa karanasan, mga obserbasyon);

Patuloy - walang awa na kontrol sa pagsasanay. Tanda ng eksaktong agham - ang pagkakaroon ng panloob na lohika (kung wala ito - hanay ng mga hindi nauugnay na mga recipe)!

static ang bahaging iyon ng mekanika ay tinatawag, kung saan ang mga kundisyon na dapat matugunan ng mga puwersang kumikilos sa isang sistema ng mga materyal na punto ay pinag-aaralan upang ang sistema ay nasa ekwilibriyo, at ang mga kondisyon para sa pagkakapantay-pantay ng mga sistema ng pwersa.

Ang mga problema ng equilibrium sa elementary statics ay isasaalang-alang gamit ang mga eksklusibong geometric na pamamaraan batay sa mga katangian ng mga vector. Ang pamamaraang ito ay inilalapat sa geometric statics(kumpara sa analytic statics, na hindi isinasaalang-alang dito).

Ang mga posisyon ng iba't ibang materyal na katawan ay ire-refer sa coordinate system, na aming kukunin bilang naayos.

Mga perpektong modelo ng materyal na katawan:

1) materyal na punto - isang geometric na punto na may masa.

2) ganap na matibay na katawan - isang hanay ng mga materyal na puntos, ang mga distansya sa pagitan na hindi mababago ng anumang mga aksyon.

Sa pamamagitan ng pwersa tatawagan natin mga layuning dahilan, na resulta ng pakikipag-ugnayan ng mga materyal na bagay, na may kakayahang magdulot ng paggalaw ng mga katawan mula sa isang estado ng pahinga o pagbabago ng umiiral na paggalaw ng huli.

Dahil ang puwersa ay tinutukoy ng paggalaw na dulot nito, mayroon din itong kamag-anak na karakter, depende sa pagpili ng frame of reference.

Ang tanong ng kalikasan ng mga puwersa ay isinasaalang-alang sa pisika.

Ang isang sistema ng mga materyal na punto ay nasa ekwilibriyo kung, sa pamamahinga, hindi ito tumatanggap ng anumang paggalaw mula sa mga puwersang kumikilos dito.

Mula sa pang-araw-araw na karanasan: ang mga puwersa ay likas na vector, iyon ay, magnitude, direksyon, linya ng pagkilos, punto ng aplikasyon. Ang kondisyon para sa balanse ng mga puwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan ay nabawasan sa mga katangian ng mga sistema ng mga vector.

Sa pagbubuod ng karanasan sa pag-aaral ng mga pisikal na batas ng kalikasan, sina Galileo at Newton ay bumalangkas ng mga pangunahing batas ng mekanika, na maaaring ituring bilang mga axiom ng mekanika, dahil mayroon silang batay sa mga eksperimentong katotohanan.

Axiom 1. Ang pagkilos ng ilang pwersa sa isang punto ng isang matibay na katawan ay katumbas ng pagkilos ng isa resultang puwersa, itinayo ayon sa panuntunan ng pagdaragdag ng mga vectors (Larawan 2).

Bunga. Ang mga puwersa na inilapat sa isang punto ng isang matibay na katawan ay idinagdag ayon sa paralelogram na tuntunin.

Axiom 2. Dalawang puwersa ang inilapat sa isang matibay na katawan kapwa balanse kung at kung sila ay pantay sa magnitude, nakadirekta sa magkasalungat na direksyon at nakahiga sa parehong tuwid na linya.

Axiom 3. Ang pagkilos ng isang sistema ng pwersa sa isang matibay na katawan ay hindi magbabago kung idagdag sa system na ito o i-drop mula dito dalawang puwersa na magkapareho ang magnitude, nakadirekta sa magkasalungat na direksyon at nakahiga sa parehong tuwid na linya.

Bunga. Ang puwersa na kumikilos sa isang punto ng isang matibay na katawan ay maaaring ilipat kasama ang linya ng pagkilos ng puwersa nang hindi binabago ang balanse (iyon ay, ang puwersa ay isang sliding vector, Fig. 3)

1) Aktibo - lumikha o nakakalikha ng paggalaw ng isang matibay na katawan. Halimbawa, ang lakas ng timbang.

2) Passive - hindi lumilikha ng paggalaw, ngunit nililimitahan ang paggalaw ng isang matibay na katawan, na pumipigil sa paggalaw. Halimbawa, ang puwersa ng pag-igting ng isang hindi nababagong thread (Larawan 4).

Axiom 4. Ang pagkilos ng isang katawan sa pangalawa ay pantay at kabaligtaran sa pagkilos ng pangalawang katawan na ito sa una ( kilos ay katumbas ng reaksyon).

Ang mga geometric na kondisyon na naghihigpit sa paggalaw ng mga puntos ay tatawagin mga koneksyon.

Mga kondisyon ng komunikasyon: halimbawa,

- pamalo ng hindi direktang haba l.

- flexible inextensible thread ng haba l.

Ang mga puwersa dahil sa mga bono at pagpigil sa paggalaw ay tinatawag pwersa ng reaksyon.

Axiom 5. Ang mga bono na ipinataw sa sistema ng mga materyal na puntos ay maaaring mapalitan ng mga puwersa ng reaksyon, na ang pagkilos ay katumbas ng pagkilos ng mga bono.

Kapag hindi mabalanse ng mga passive force ang pagkilos ng mga aktibong pwersa, magsisimula ang paggalaw.

Dalawang partikular na problema ng statics

1. Sistema ng nagtatagpong pwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan

Isang sistema ng nagtatagpong pwersa ang ganitong sistema ng pwersa ay tinatawag, ang mga linya ng pagkilos na kung saan ay bumalandra sa isang punto, na maaaring palaging kunin bilang pinagmulan (Larawan 5).

Mga projection ng resulta:

;

;

.

Kung , kung gayon ang puwersa ay nagiging sanhi ng paggalaw ng isang matibay na katawan.

Kondisyon ng ekwilibriyo para sa convergent system of forces:

2. Balanse ng tatlong pwersa

Kung ang tatlong pwersa ay kumikilos sa isang matibay na katawan, at ang mga linya ng pagkilos ng dalawang pwersa ay nagsalubong sa isang punto A, ang ekwilibriyo ay posible kung at kung ang linya ng pagkilos ng ikatlong puwersa ay dumaan din sa punto A, at ang puwersa mismo ay pantay. sa magnitude at salungat na direksyon sa kabuuan (Larawan 6).

Mga halimbawa:

Sandali ng puwersa na nauugnay sa punto O tukuyin bilang isang vector, sa laki katumbas ng dalawang beses ang lugar ng isang tatsulok, ang base nito ay isang force vector na may isang vertex sa isang naibigay na punto O; direksyon- orthogonal sa eroplano ng itinuturing na tatsulok sa direksyon kung saan nakikita ang pag-ikot na ginawa ng puwersa sa paligid ng punto O. counterclockwise. ay ang sandali ng sliding vector at ay libreng vector(Larawan 9).

Kaya: o

,

saan ;;.

Kung saan ang F ay ang modulus ng puwersa, ang h ay ang balikat (distansya mula sa punto hanggang sa direksyon ng puwersa).

Sandali ng puwersa tungkol sa axis ay tinatawag na algebraic na halaga ng projection papunta sa axis na ito ng vector ng moment of force na may kaugnayan sa isang arbitrary point O, na kinuha sa axis (Larawan 10).

Ito ay isang scalar na independyente sa pagpili ng punto. Talaga, lumalawak kami :|| at sa eroplano.

Tungkol sa mga sandali: hayaan ang О 1 ang punto ng intersection sa eroplano. Pagkatapos:

a) mula sa - sandali => projection = 0.

b) mula sa - sandali kasama => ay isang projection.

Kaya, ang sandali tungkol sa axis ay ang sandali ng bahagi ng puwersa sa eroplano na patayo sa axis tungkol sa punto ng intersection ng eroplano at ang axis.

Varignon's theorem para sa isang sistema ng nagtatagpong pwersa:

Sandali ng resultang puwersa para sa isang sistema ng nagtatagpong pwersa kamag-anak sa isang di-makatwirang punto A ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng lahat ng bahagi ng mga puwersa na nauugnay sa parehong punto A (Larawan 11).

Patunay sa teorya ng convergent vectors.

Paliwanag: pagdaragdag ng mga puwersa ayon sa tuntunin ng paralelogram => ang nagresultang puwersa ay nagbibigay ng kabuuang sandali.

Mga tanong sa pagsubok:

1. Pangalanan ang mga pangunahing modelo ng mga tunay na katawan sa theoretical mechanics.

2. Bumuo ng mga axiom ng statics.

3. Ano ang tinatawag na sandali ng puwersa tungkol sa isang punto?

Lektura 2 Mga kondisyon ng ekwilibriyo para sa isang arbitraryong sistema ng pwersa

Mula sa mga pangunahing axiom ng statics, ang mga elementarya na operasyon sa mga puwersa ay sumusunod:

1) ang puwersa ay maaaring ilipat sa linya ng aksyon;

2) mga puwersa na ang mga linya ng aksyon ay bumalandra ay maaaring idagdag ayon sa parallelogram rule (ayon sa panuntunan ng vector karagdagan);

3) sa sistema ng mga puwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan, ang isa ay palaging maaaring magdagdag ng dalawang puwersa, pantay sa magnitude, na nakahiga sa parehong tuwid na linya at nakadirekta sa magkasalungat na direksyon.

Ang mga pagpapatakbo sa elementarya ay hindi nagbabago sa mekanikal na estado ng system.

Pangalanan natin ang dalawang sistema ng pwersa katumbas kung ang isa mula sa isa ay maaaring makuha gamit ang elementarya na operasyon (tulad ng sa teorya ng sliding vectors).

Ang isang sistema ng dalawang magkatulad na puwersa, na katumbas ng magnitude at nakadirekta sa magkasalungat na direksyon, ay tinatawag na isang pares ng pwersa(Larawan 12).

Sandali ng isang pares ng pwersa- isang vector na katumbas ng laki sa lugar ng parallelogram na binuo sa mga vector ng pares, at nakadirekta nang orthogonal sa eroplano ng pares sa direksyon kung saan makikitang nagaganap ang pag-ikot na iniulat ng mga vector ng pares. counterclockwise.

, iyon ay, ang sandali ng puwersa tungkol sa punto B.

Ang isang pares ng mga puwersa ay ganap na nailalarawan sa pamamagitan ng sandali nito.

Ang isang pares ng pwersa ay maaaring ilipat sa pamamagitan ng elementarya na mga operasyon sa anumang eroplanong parallel sa eroplano ng pares; baguhin ang magnitude ng mga puwersa ng pares na inversely proportional sa mga balikat ng pares.

Ang mga pares ng pwersa ay maaaring idagdag, habang ang mga sandali ng mga pares ng pwersa ay idinagdag ayon sa panuntunan ng pagdaragdag ng (libre) na mga vector.

Dinadala ang sistema ng mga puwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan sa isang arbitrary na punto (sentro ng pagbabawas)- nangangahulugan ng pagpapalit ng kasalukuyang sistema ng isang mas simple: isang sistema ng tatlong pwersa, ang isa ay dumadaan sa isang paunang natukoy na punto, at ang iba pang dalawa ay kumakatawan sa isang pares.

Ito ay napatunayan sa tulong ng mga elementary operations (fig.13).

Ang sistema ng nagtatagpong pwersa at ang sistema ng mga pares ng pwersa.

- nagresultang puwersa.

Ang resultang pares

Alin ang kailangang ipakita.

Dalawang sistema ng pwersa kalooban ay katumbas kung at kung ang parehong mga sistema ay nabawasan sa isang resultang puwersa at isang resultang pares, iyon ay, sa ilalim ng mga sumusunod na kondisyon:

Pangkalahatang kaso ng equilibrium ng isang sistema ng mga puwersa na kumikilos sa isang matibay na katawan

Dinadala namin ang sistema ng mga puwersa sa (Larawan 14):

Nagreresultang puwersa sa pamamagitan ng pinagmulan;

Ang nagresultang pares, bukod dito, sa pamamagitan ng puntong O.

Iyon ay, humantong sila sa at - dalawang puwersa, ang isa ay dumaan sa isang naibigay na punto O.

Equilibrium, kung ang isa pang tuwid na linya, ay pantay, nakadirekta sa tapat (axiom 2).

Pagkatapos ay dumadaan sa puntong O, iyon ay.

Kaya, ang pangkalahatang mga kondisyon ng ekwilibriyo para sa isang matibay na katawan:

Ang mga kundisyong ito ay may bisa para sa isang arbitrary na punto sa espasyo.

Mga tanong sa pagsubok:

1. Ilista ang mga elementarya na operasyon sa mga pwersa.

2. Anong mga sistema ng pwersa ang tinatawag na katumbas?

3. Isulat ang mga pangkalahatang kondisyon para sa ekwilibriyo ng isang matibay na katawan.

Lektura 3 Mga Equation ng Rigid Body Equilibrium

Hayaan ang O ang pinagmulan ng mga coordinate; ay ang nagresultang puwersa; ay ang sandali ng nagresultang pares. Hayaan ang puntong O1 na maging isang bagong sentro ng pagbabawas (Larawan 15).

Bagong sistema ng puwersa:

Kapag nagbago ang cast point, => nagbabago lamang (sa isang direksyon na may isang senyales, sa isa pa ay may isa pa). Iyon ang punto: tumugma sa mga linya

Analytical: (colinearity ng mga vectors)

; punto O1 coordinate.

Ito ang equation ng isang tuwid na linya, para sa lahat ng mga punto kung saan ang direksyon ng nagresultang vector ay tumutugma sa direksyon ng sandali ng nagresultang pares - ang tuwid na linya ay tinatawag dinamo.

Kung sa axis ng dynamas => , kung gayon ang sistema ay katumbas ng isang resultang puwersa, na tinatawag na ang resultang puwersa ng sistema. Sa kasong ito, palaging, iyon ay.

Apat na kaso ng pagdadala ng pwersa:

1.);- dinamo.

2.); - resulta.

3.);- pares.

4.);- balanse.

Dalawang vector equilibrium equation: ang pangunahing vector at ang pangunahing sandali ay katumbas ng zero,.

O anim na scalar equation sa mga projection sa Cartesian coordinate axes:

dito:

Ang pagiging kumplikado ng uri ng mga equation ay nakasalalay sa pagpili ng punto ng pagbabawas => ang sining ng calculator.

Paghahanap ng mga kondisyon ng equilibrium para sa isang sistema ng mga matibay na katawan sa pakikipag-ugnayan<=>ang problema ng balanse ng bawat katawan nang hiwalay, at ang katawan ay apektado ng mga panlabas na pwersa at panloob na pwersa (ang pakikipag-ugnayan ng mga katawan sa mga punto ng contact na may pantay at magkasalungat na direksyon na pwersa - axiom IV, Fig. 17).

Pinipili namin para sa lahat ng katawan ng system isang referral center. Pagkatapos para sa bawat katawan na may numero ng kondisyon ng balanse:

, , (= 1, 2, …, k)

kung saan , - ang nagresultang puwersa at ang sandali ng nagresultang pares ng lahat ng pwersa, maliban sa mga panloob na reaksyon.

Ang nagresultang puwersa at sandali ng nagresultang pares ng mga puwersa ng mga panloob na reaksyon.

Pormal na nagbubuod at isinasaalang-alang ang IV axiom

nakukuha namin mga kinakailangang kondisyon para sa balanse ng isang matibay na katawan:

,

Halimbawa.

Ekwilibriyo: = ?

Mga tanong sa pagsubok:

1. Pangalanan ang lahat ng kaso ng pagdadala ng sistema ng pwersa sa isang punto.

2. Ano ang dinamo?

3. Bumuo ng mga kinakailangang kondisyon para sa ekwilibriyo ng isang sistema ng mga matibay na katawan.

Lektura 4 Flat na sistema ng pwersa

Isang espesyal na kaso ng pangkalahatang paghahatid ng gawain.

Hayaang ang lahat ng kumikilos na pwersa ay nasa parehong eroplano - halimbawa, isang sheet. Piliin natin ang puntong O bilang sentro ng pagbabawas - sa parehong eroplano. Nakukuha namin ang nagresultang puwersa at ang nagresultang pares sa parehong eroplano, iyon ay (Larawan 19)

Magkomento.

Ang sistema ay maaaring mabawasan sa isang resultang puwersa.

Mga kondisyon ng balanse:

o mga scalar:

Napakakaraniwan sa mga aplikasyon tulad ng lakas ng mga materyales.

Halimbawa.

Sa alitan ng bola sa board at sa eroplano. Kondisyon ng ekwilibriyo: = ?

Ang problema ng ekwilibriyo ng isang di-libreng matibay na katawan.

Ang isang matibay na katawan ay tinatawag na di-malaya, ang paggalaw nito ay pinipigilan ng mga hadlang. Halimbawa, iba pang mga katawan, hinged fastenings.

Kapag tinutukoy ang mga kondisyon ng ekwilibriyo: ang isang di-libreng katawan ay maaaring ituring na libre, na pinapalitan ang mga bono ng hindi kilalang mga puwersa ng reaksyon.

Halimbawa.

Mga tanong sa pagsubok:

1. Ano ang tinatawag na flat system of forces?

2. Isulat ang mga kondisyon ng ekwilibriyo para sa isang patag na sistema ng mga puwersa.

3. Anong uri ng solidong katawan ang tinatawag na di-malaya?

Lektura 5 Mga espesyal na kaso ng matibay na balanse ng katawan

Teorama. Tatlong pwersa ang nagbabalanse sa isang matibay na katawan kung lahat sila ay nasa iisang eroplano.

Patunay.

Pinipili namin ang isang punto sa linya ng pagkilos ng ikatlong puwersa bilang punto ng pagbabawas. Pagkatapos (fig.22)

Iyon ay, ang mga eroplano na S1 at S2 ay nag-tutugma, at para sa anumang punto sa axis ng puwersa, atbp. (Mas madali: sa eroplano para balanse lang).

Bilang bahagi ng anumang kurikulum, ang pag-aaral ng pisika ay nagsisimula sa mekanika. Hindi mula sa teoretikal, hindi mula sa inilapat at hindi computational, ngunit mula sa mahusay na lumang klasikal na mekanika. Ang mechanics na ito ay tinatawag ding Newtonian mechanics. Ayon sa alamat, ang siyentipiko ay naglalakad sa hardin, nakakita ng isang mansanas na nahulog, at ito ang kababalaghan na nag-udyok sa kanya upang matuklasan ang batas ng unibersal na grabitasyon. Siyempre, ang batas ay palaging umiral, at binigyan lamang ito ni Newton ng isang form na naiintindihan ng mga tao, ngunit ang kanyang merito ay hindi mabibili ng salapi. Sa artikulong ito, hindi namin ilalarawan ang mga batas ng Newtonian mechanics nang mas detalyado hangga't maaari, ngunit ilalarawan namin ang mga pangunahing kaalaman, pangunahing kaalaman, mga kahulugan at mga formula na palaging maaaring i-play sa iyong mga kamay.

Ang mekanika ay isang sangay ng pisika, isang agham na nag-aaral sa paggalaw ng mga materyal na katawan at ang mga pakikipag-ugnayan sa pagitan nila.

Ang salita mismo ay mayroon Pinagmulan ng Greek at isinasalin bilang "ang sining ng paggawa ng mga makina". Ngunit bago gumawa ng mga makina, malayo pa ang ating lalakbayin, kaya't sundan natin ang mga yapak ng ating mga ninuno, at pag-aaralan natin ang paggalaw ng mga batong ibinabato sa isang anggulo hanggang sa abot-tanaw, at mga mansanas na nahuhulog sa mga ulo mula sa taas h.

Bakit nagsisimula ang pag-aaral ng pisika sa mechanics? Dahil ito ay ganap na natural, hindi upang simulan ito mula sa thermodynamic equilibrium?!

Ang mekanika ay isa sa mga pinakalumang agham, at sa kasaysayan ang pag-aaral ng pisika ay nagsimula nang tumpak sa mga pundasyon ng mekanika. Inilagay sa loob ng balangkas ng oras at espasyo, ang mga tao, sa katunayan, ay hindi maaaring magsimula sa ibang bagay, gaano man nila gusto. Ang mga gumagalaw na katawan ang una nating binibigyang pansin.

Ano ang paggalaw?

Ang mekanikal na paggalaw ay isang pagbabago sa posisyon ng mga katawan sa espasyo na may kaugnayan sa bawat isa sa paglipas ng panahon.

Ito ay pagkatapos ng kahulugan na ito na tayo ay natural na dumating sa konsepto ng isang frame of reference. Pagbabago ng posisyon ng mga katawan sa espasyo na may kaugnayan sa bawat isa. Mga keyword dito: kamag-anak sa isa't isa . Pagkatapos ng lahat, ang isang pasahero sa isang kotse ay gumagalaw na may kaugnayan sa isang taong nakatayo sa gilid ng kalsada sa isang tiyak na bilis, at nagpapahinga na may kaugnayan sa kanyang kapitbahay sa isang upuan sa malapit, at kumikilos sa ibang bilis na may kaugnayan sa isang pasahero sa isang kotse na umabot sa kanila.

Iyon ang dahilan kung bakit, upang normal na masukat ang mga parameter ng mga gumagalaw na bagay at hindi malito, kailangan natin reference system - rigidly interconnected reference body, coordinate system at orasan. Halimbawa, ang mundo ay gumagalaw sa paligid ng araw sa isang heliocentric frame of reference. Sa pang-araw-araw na buhay, ginagawa namin ang halos lahat ng aming mga sukat sa isang geocentric na reference system na nauugnay sa Earth. Ang daigdig ay isang sangguniang katawan na may kaugnayan sa kung saan gumagalaw ang mga sasakyan, eroplano, tao, hayop.

Ang mekanika, bilang isang agham, ay may sariling gawain. Ang gawain ng mekanika ay malaman ang posisyon ng katawan sa kalawakan anumang oras. Sa madaling salita, ang mga mekanika ay gumagawa ng isang matematikal na paglalarawan ng paggalaw at nakakahanap ng mga koneksyon sa pagitan ng mga pisikal na dami na nagpapakilala dito.

Upang makasulong pa, kailangan natin ang paniwala ng " materyal na punto ". Sinasabi nila na ang pisika ay isang eksaktong agham, ngunit alam ng mga pisiko kung gaano karaming mga pagtatantya at pagpapalagay ang kailangang gawin upang magkasundo sa mismong katumpakan na ito. Wala pang nakakita ng materyal na punto o nakasinghot ng perpektong gas, ngunit umiiral ang mga ito! Mas madali lang silang pakisamahan.

Ang materyal na punto ay isang katawan na ang laki at hugis ay maaaring mapabayaan sa konteksto ng problemang ito.

Mga seksyon ng klasikal na mekanika

Ang mekanika ay binubuo ng ilang mga seksyon

• Kinematics
• Dynamics
• Statics

Kinematics mula sa pisikal na pananaw, eksaktong pinag-aaralan kung paano gumagalaw ang katawan. Sa madaling salita, ang seksyong ito ay tumatalakay sa mga quantitative na katangian ng paggalaw. Maghanap ng bilis, landas - karaniwang mga gawain ng kinematics

Dynamics nalulutas ang tanong kung bakit ito gumagalaw sa paraang ginagawa nito. Iyon ay, isinasaalang-alang nito ang mga puwersang kumikilos sa katawan.

Statics pinag-aaralan ang balanse ng mga katawan sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersa, iyon ay, sinasagot nito ang tanong: bakit hindi ito bumagsak?

Mga limitasyon ng kakayahang magamit ng mga klasikal na mekanika.

Ang mga klasikal na mekanika ay hindi na inaangkin na isang agham na nagpapaliwanag ng lahat (sa simula ng huling siglo ang lahat ay ganap na naiiba), at may malinaw na saklaw ng kakayahang magamit. Sa pangkalahatan, ang mga batas ng klasikal na mekanika ay may bisa para sa mundong pamilyar sa atin sa mga tuntunin ng laki (macroworld). Tumigil sila sa paggawa sa kaso ng mundo ng mga particle, kapag ang klasikal na mekanika ay pinalitan ng quantum mechanics. Gayundin, ang mga klasikal na mekanika ay hindi naaangkop sa mga kaso kapag ang paggalaw ng mga katawan ay nangyayari sa bilis na malapit sa bilis ng liwanag. Sa ganitong mga kaso, ang relativistic effect ay nagiging binibigkas. Sa halos pagsasalita, sa loob ng balangkas ng quantum at relativistic mechanics - classical mechanics, ito ay isang espesyal na kaso kapag ang mga sukat ng katawan ay malaki, at ang bilis ay maliit. Maaari kang matuto nang higit pa tungkol dito mula sa aming artikulo.

Sa pangkalahatan, ang mga quantum at relativistic effect ay hindi nawawala, nagaganap din ang mga ito sa panahon ng karaniwang paggalaw ng mga macroscopic na katawan sa bilis na mas mababa kaysa sa bilis ng liwanag. Ang isa pang bagay ay ang pagkilos ng mga epektong ito ay napakaliit na hindi ito lalampas sa pinakatumpak na mga sukat. Ang mga klasikal na mekanika ay hindi mawawala ang pangunahing kahalagahan nito.

Patuloy nating pag-aaralan ang mga pisikal na pundasyon ng mekanika sa mga artikulo sa hinaharap. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa mga mekanika, maaari mong palaging bumaling sa, na indibidwal na nagbibigay liwanag sa madilim na lugar ng pinakamahirap na gawain.

1 slide

Kurso ng mga lektura sa theoretical mechanics Dynamics (I part) Bondarenko A.N. Moscow - 2007 Ang elektronikong kurso sa pagsasanay ay isinulat batay sa mga lektura na ibinigay ng may-akda para sa mga mag-aaral na nag-aaral sa mga specialty ng SZhD, PGS at SDM sa NIIZhT at MIIT (1974-2006). Materyal na pang-edukasyon tumutugma mga plano sa kalendaryo mahigit tatlong semestre. Upang ganap na maipatupad ang mga epekto ng animation sa panahon ng isang pagtatanghal, dapat kang gumamit ng Power Point viewer na hindi mas mababa kaysa sa built-in. Microsoft office Windows-XP Professional operating system. Ang mga komento at mungkahi ay maaaring ipadala sa pamamagitan ng e-mail: [email protected]. Moscow Pambansang Unibersidad Railways (MIIT) Department of Theoretical Mechanics Scientific and Technical Center of Transport Technologies

2 slide

Nilalaman ng Lektura 1. Panimula sa dinamika. Mga batas at axiom ng materyal na dynamics ng punto. Pangunahing equation ng dynamics. Differential at natural na mga equation ng paggalaw. Dalawang pangunahing gawain ng dinamika. Mga halimbawa ng paglutas sa direktang suliranin ng dinamika Lektura 2. Paglutas ng baligtad na suliranin ng dinamika. Pangkalahatang mga tagubilin para sa paglutas ng kabaligtaran na problema ng dinamika. Mga halimbawa ng paglutas ng baligtad na problema ng dinamika. Ang paggalaw ng isang katawan na itinapon sa isang anggulo sa abot-tanaw, nang hindi isinasaalang-alang ang paglaban ng hangin. Lecture 3. Rectilinear oscillations ng isang materyal na punto. Ang kondisyon para sa paglitaw ng mga oscillations. Pag-uuri ng mga vibrations. Libreng vibrations nang hindi isinasaalang-alang ang mga puwersa ng paglaban. damped vibrations. Pagbaba ng oscillation. Lecture 4. Sapilitang mga oscillations ng isang materyal na punto. Resonance. Impluwensya ng paglaban sa paggalaw sa panahon ng sapilitang vibrations. Lecture 5. Relatibong galaw ng isang materyal na punto. Mga puwersa ng pagkawalang-galaw. Mga partikular na kaso ng paggalaw para sa iba't ibang uri ng portable na paggalaw. Impluwensya ng pag-ikot ng Earth sa balanse at paggalaw ng mga katawan. Lecture 6. Dynamics ng isang mekanikal na sistema. mekanikal na sistema. Panlabas at panloob na pwersa. Sentro ng masa ng sistema. Ang teorama sa paggalaw ng sentro ng masa. Mga batas sa konserbasyon. Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa paggamit ng theorem sa paggalaw ng sentro ng masa. Lektura 7. Simbuyo ng puwersa. Ang dami ng galaw. Theorem sa pagbabago ng momentum. Mga batas sa konserbasyon. Ang teorama ni Euler. Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa paggamit ng theorem sa pagbabago ng momentum. sandali ng momentum. Ang theorem sa pagbabago ng angular momentum.Lecture 8. Conservation laws. Mga elemento ng teorya ng mga sandali ng pagkawalang-galaw. Kinetic moment ng isang matibay na katawan. Differential equation ng pag-ikot ng isang matibay na katawan. Isang halimbawa ng paglutas ng problema sa paggamit ng theorem sa pagbabago ng angular momentum ng system. Elementarya na teorya ng gyroscope. Inirerekomendang panitikan 1. Yablonsky A.A. Kurso ng teoretikal na mekanika. Bahagi 2. M.: Mas mataas na paaralan. 1977. 368 p. 2. Meshchersky I.V. Koleksyon ng mga problema sa teoretikal na mekanika. M.: Agham. 1986 416 p. 3. Koleksyon ng mga takdang-aralin para sa mga term paper /Ed. A.A. Yablonsky. M.: Mas mataas na paaralan. 1985. 366 p. 4. Bondarenko A.N. “Theoretical mechanics sa mga halimbawa at gawain. Dynamics” (electronic manual www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 slide

Ang Lecture 1 Dynamics ay isang seksyon ng theoretical mechanics na nag-aaral ng mekanikal na paggalaw mula sa pinaka-pangkalahatang pananaw. Ang paggalaw ay isinasaalang-alang na may kaugnayan sa mga puwersa na kumikilos sa bagay. Ang seksyon ay binubuo ng tatlong seksyon: Dynamics ng isang materyal na punto Dinamika ng isang mekanikal na sistema Analytical mechanics ■ Dynamics ng isang punto - pinag-aaralan ang paggalaw ng isang materyal na punto, na isinasaalang-alang ang mga puwersa na sanhi ng paggalaw na ito. Ang pangunahing bagay ay isang materyal na punto - isang materyal na katawan na may masa, ang mga sukat nito ay maaaring mapabayaan. Pangunahing pagpapalagay: - may ganap na espasyo (ito ay purong geometriko na mga katangian na hindi nakadepende sa bagay at sa paggalaw nito. - may ganap na oras (hindi nakadepende sa bagay at sa paggalaw nito). Ito ay sumusunod mula dito: - mayroong isang ganap na hindi kumikibo na frame ng sanggunian. - Ang oras ay hindi nakasalalay sa galaw ng frame ng sanggunian. - ang masa ng mga gumagalaw na punto ay hindi nakasalalay sa paggalaw ng frame ng sanggunian. Ang mga pagpapalagay na ito ay ginagamit sa mga klasikal na mekanika na nilikha nina Galileo at Newton Mayroon pa rin itong medyo malawak na saklaw, dahil ang mga mekanikal na sistema na isinasaalang-alang sa mga inilapat na agham ay walang ganoong malalaking masa at bilis ng paggalaw, kung saan kinakailangang isaalang-alang ang kanilang impluwensya sa geometry ng espasyo, oras, paggalaw, bilang ay ginagawa sa relativistic mechanics (ang teorya ng relativity) ■ Ang mga pangunahing batas ng dynamics - unang natuklasan ni Galileo at binuo ni Newton ang naging batayan ng lahat ng mga pamamaraan para sa paglalarawan at pagsusuri ng paggalaw ng mga mekanikal na sistema at ang kanilang dinamikong interaksyon pagkilos sa ilalim ng impluwensya ng iba't ibang pwersa. ■ Batas ng pagkawalang-galaw (Batas ng Galileo-Newton) - Ang isang nakahiwalay na materyal na punto ng isang katawan ay nagpapanatili ng estado ng pahinga o pare-parehong rectilinear motion hanggang sa pilitin ito ng inilapat na puwersa na baguhin ang estadong ito. Ito ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng estado ng pahinga at paggalaw sa pamamagitan ng inertia (ang batas ng relativity ng Galileo). Ang frame of reference, na may kaugnayan sa kung saan ang batas ng inertia ay natupad, ay tinatawag na inertial. Ang pag-aari ng isang materyal na punto upang magsumikap na panatilihing hindi nagbabago ang bilis ng paggalaw nito (ang kinematic state nito) ay tinatawag na inertia. ■ Ang batas ng proporsyonalidad ng puwersa at acceleration (Basic equation of dynamics - Newton's II law) - Ang acceleration na ibinibigay sa isang materyal na punto sa pamamagitan ng puwersa ay direktang proporsyonal sa puwersa at inversely proportional sa masa ng puntong ito: o Narito ang m ay ang masa ng punto (isang sukat ng pagkawalang-galaw), sinusukat sa kg, ayon sa bilang na katumbas ng timbang na hinati sa gravitational acceleration: F ay ang kumikilos na puwersa, na sinusukat sa N (1 N ay nagbibigay ng acceleration ng 1 m / s2 sa isang punto ng masa 1 kg, 1 N \u003d 1/9. 81 kg-s). ■ Dynamics ng isang mekanikal na sistema - pinag-aaralan ang paggalaw ng isang hanay ng mga materyal na punto at matibay na katawan, na pinagsama pangkalahatang batas pakikipag-ugnayan, na isinasaalang-alang ang mga puwersang nagdudulot ng kilusang ito. ■ Analytical mechanics - pinag-aaralan ang galaw ng mga non-free mechanical system gamit ang pangkalahatang analytical na pamamaraan. isa

4 slide

Lecture 1 (ipinagpatuloy - 1.2) Differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto: - differential equation ng paggalaw ng isang punto sa vector form. - differential equation ng point motion sa coordinate form. Ang resultang ito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pormal na projection ng vector differential equation (1). Pagkatapos ng pagpapangkat, ang vector relation ay nabubulok sa tatlong scalar equation: Sa coordinate form: Ginagamit namin ang relasyon ng radius-vector na may mga coordinate at ang force vector na may mga projection: differential equation ng motion sa natural (moving) coordinate axes: o: - natural na equation ng paggalaw ng isang punto. ■ Pangunahing equation ng dynamics: - tumutugma sa paraan ng vector ng pagtukoy sa paggalaw ng isang punto. ■ Ang batas ng pagsasarili ng pagkilos ng mga puwersa - Ang pagbilis ng isang materyal na punto sa ilalim ng pagkilos ng ilang pwersa ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga acceleration ng isang punto mula sa pagkilos ng bawat isa sa mga puwersa nang hiwalay: o Ang batas ay wasto para sa anumang kinematic na estado ng mga katawan. Ang mga puwersa ng pakikipag-ugnayan, na inilalapat sa iba't ibang puntos(katawan) ay hindi balanse. ■ Ang batas ng pagkakapantay-pantay ng aksyon at reaksyon (Newton's III law) - Ang bawat aksyon ay tumutugma sa isang pantay at magkasalungat na direksyon na reaksyon: 2

5 slide

Dalawang pangunahing problema ng dynamics: 1. Direktang problema: Motion ay ibinigay (equation of motion, trajectory). Kinakailangang matukoy ang mga puwersa sa ilalim ng pagkilos kung saan nangyayari ang isang naibigay na paggalaw. 2. Baliktad na problema: Ang mga puwersa sa ilalim ng pagkilos kung saan nagaganap ang paggalaw ay ibinibigay. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga parameter ng paggalaw (motion equation, motion trajectory). Ang parehong mga problema ay nalutas gamit ang pangunahing equation ng dynamics at ang projection nito sa mga coordinate axes. Kung ang galaw ng isang di-libreng punto ay isinasaalang-alang, kung gayon, tulad ng sa statics, ang prinsipyo ng pagpapalaya mula sa mga bono ay ginagamit. Bilang resulta ng reaksyon, ang mga bono ay kasama sa komposisyon ng mga puwersa na kumikilos sa materyal na punto. Ang solusyon sa unang problema ay konektado sa mga operasyon ng pagkita ng kaibhan. Ang solusyon ng kabaligtaran na problema ay nangangailangan ng pagsasama ng kaukulang mga equation ng kaugalian, at ito ay mas mahirap kaysa sa pagkita ng kaibhan. Ang kabaligtaran na problema ay mas mahirap kaysa sa direktang problema. Ang solusyon ng direktang problema ng dynamics - tingnan natin ang mga halimbawa: Halimbawa 1. Ang isang cabin na may timbang na G ng isang elevator ay itinaas ng isang cable na may acceleration a . Tukuyin ang cable tension. 1. Pumili ng isang bagay (ang elevator car ay umuusad at maaaring ituring bilang isang materyal na punto). 2. Itatapon namin ang koneksyon (cable) at palitan ito ng reaksyong R. 3. Buuin ang pangunahing equation ng dynamics: Tukuyin ang reaksyon ng cable: Tukuyin ang tensyon ng cable: Sa pare-parehong paggalaw ng cab ay = 0 at ang Ang tensyon ng cable ay katumbas ng bigat: T = G. Kapag naputol ang cable T = 0 at ang acceleration ng cabin ay katumbas ng acceleration ng free fall: ay = -g. 3 4. Ipinapalabas namin ang pangunahing equation ng dynamics sa y-axis: y Halimbawa 2. Ang isang punto ng mass m ay gumagalaw sa pahalang na ibabaw (ang Oxy plane) ayon sa mga equation: x = a coskt, y = b coskt. Tukuyin ang puwersang kumikilos sa punto. 1. Pumili ng isang bagay (materyal point). 2. Itapon namin ang koneksyon (eroplano) at palitan ito ng reaksyong N. 3. Magdagdag ng hindi kilalang puwersa F sa sistema ng mga puwersa. 4. Buuin ang pangunahing equation ng dynamics: 5. I-proyekto ang pangunahing equation ng dynamics sa x , y axes: Tukuyin ang mga projection ng puwersa: Force modulus: Direction cosines : Kaya, ang magnitude ng puwersa ay proporsyonal sa distansya ng punto sa gitna ng mga coordinate at nakadirekta patungo sa gitna kasama ang linya na nagkokonekta sa punto sa gitna . Ang trajectory ng paggalaw ng punto ay isang ellipse na nakasentro sa pinanggalingan: O r Lecture 1 (ipinagpapatuloy - 1.3)

6 slide

Lecture 1 (pagpapatuloy 1.4) Halimbawa 3: Ang isang load ng timbang G ay sinuspinde sa isang cable na may haba l at gumagalaw sa isang pabilog na landas sa isang pahalang na eroplano na may tiyak na bilis. Ang anggulo ng paglihis ng cable mula sa vertical ay katumbas ng. Tukuyin ang pag-igting ng cable at ang bilis ng pagkarga. 1. Pumili ng isang bagay (kargamento). 2. Itapon ang koneksyon (lubid) at palitan ito ng reaksyong R. 3. Buuin ang pangunahing equation ng dynamics: Mula sa ikatlong equation, tukuyin ang reaksyon ng cable: Tukuyin ang tensyon ng cable: Palitan ang halaga ng reaksyon ng cable, normal na acceleration sa pangalawang equation at tukuyin ang bilis ng load: 4. Project the main equation axle dynamics,n,b: Halimbawa 4: Ang isang kotse na may timbang na G ay gumagalaw sa isang convex bridge (radius ng curvature ay R ) na may bilis V. Tukuyin ang presyon ng sasakyan sa tulay. 1. Pumili kami ng isang bagay (isang kotse, pinababayaan namin ang mga sukat at isinasaalang-alang ito bilang isang punto). 2. Itinatapon namin ang koneksyon (magaspang na ibabaw) at palitan ito ng mga reaksyon N at ang friction force Ffr. 3. Binubuo namin ang pangunahing equation ng dynamics: 4. Ipinoproyekto namin ang pangunahing equation ng dynamics sa n axis: Mula dito tinutukoy namin ang normal na reaksyon: Tinutukoy namin ang presyon ng kotse sa tulay: Mula dito matutukoy namin ang bilis katumbas ng zero pressure sa tulay (Q = 0): 4

7 slide

Lektura 2 Pagkatapos palitan ang mga nahanap na halaga ng mga constants, nakuha namin: Kaya, sa ilalim ng pagkilos ng parehong sistema ng pwersa, ang isang materyal na punto ay maaaring magsagawa ng isang buong klase ng mga paggalaw na tinutukoy ng mga paunang kondisyon. Isinasaalang-alang ng mga paunang coordinate ang paunang posisyon ng punto. Ang paunang bilis, na ibinigay ng mga projection, ay isinasaalang-alang ang impluwensya sa paggalaw nito kasama ang itinuturing na seksyon ng tilapon ng mga puwersa na kumilos sa punto bago dumating sa seksyong ito, i.e. paunang kinematikong estado. Solusyon ng kabaligtaran na problema ng dinamika - Sa pangkalahatang kaso ng paggalaw ng isang punto, ang mga puwersang kumikilos sa punto ay mga variable na nakadepende sa oras, coordinate at bilis. Ang paggalaw ng isang punto ay inilalarawan ng isang sistema ng tatlong second-order differential equation: Pagkatapos pagsamahin ang bawat isa sa kanila, magkakaroon ng anim na constants C1, C2,…., C6: Ang mga halaga ng constants C1, C2,… ., Ang C6 ay matatagpuan mula sa anim na unang kundisyon sa t = 0: Halimbawa 1 ng solusyon sa kabaligtaran na problema: Ang isang libreng materyal na punto ng mass m ay gumagalaw sa ilalim ng pagkilos ng isang puwersa F, na pare-pareho sa magnitude at magnitude. . Sa paunang sandali, ang bilis ng punto ay v0 at nag-tutugma sa direksyon ng puwersa. Tukuyin ang equation ng paggalaw ng isang punto. 1. Binubuo namin ang pangunahing equation ng dynamics: 3. Ibinababa namin ang pagkakasunud-sunod ng derivative: 2. Pinipili namin ang sistema ng sangguniang Cartesian, na idinidirekta ang x axis sa direksyon ng puwersa at i-project ang pangunahing equation ng dynamics sa axis na ito: o x y z 4. Paghiwalayin ang mga variable: 5. Kalkulahin ang mga integral mula sa parehong bahagi ng equation : 6. Katawanin natin ang velocity projection bilang ang time derivative ng coordinate: 8. Kalkulahin ang mga integral ng parehong bahagi ng equation: 7. Paghiwalayin ang mga variable: 9. Upang matukoy ang mga halaga ng mga constants C1 at C2, ginagamit namin ang mga paunang kondisyon t = 0, vx = v0 , x = x0: Bilang resulta, nakuha namin ang equation ng pare-parehong variable na paggalaw (kasama ang x axis): 5

8 slide

Pangkalahatang mga tagubilin para sa paglutas ng direkta at kabaligtaran na mga problema. Pamamaraan ng solusyon: 1. Compilation ng differential equation of motion: 1.1. Pumili ng isang sistema ng coordinate - hugis-parihaba (naayos) na may hindi kilalang tilapon ng paggalaw, natural (gumagalaw) na may kilalang tilapon, halimbawa, isang bilog o isang tuwid na linya. Sa huling kaso, maaaring gamitin ang isang rectilinear coordinate. Ang reference point ay dapat na pinagsama sa unang posisyon ng punto (sa t = 0) o sa equilibrium na posisyon ng punto, kung ito ay umiiral, halimbawa, kapag ang punto ay nagbabago. 6 1.2. Gumuhit ng isang punto sa isang posisyon na tumutugma sa isang arbitrary na sandali sa oras (para sa t > 0) upang ang mga coordinate ay positibo (s > 0, x > 0). Ipinapalagay din namin na ang velocity projection sa posisyong ito ay positibo rin. Sa kaso ng mga oscillations, ang velocity projection ay nagbabago ng sign, halimbawa, kapag bumabalik sa posisyon ng equilibrium. Dito dapat ipagpalagay na sa isinasaalang-alang na sandali ng oras ang punto ay gumagalaw palayo sa posisyon ng ekwilibriyo. Ang pagpapatupad ng rekomendasyong ito ay mahalaga sa hinaharap kapag nagtatrabaho sa mga puwersa ng paglaban na nakasalalay sa bilis. 1.3. Bitawan ang materyal na punto mula sa mga bono, palitan ang kanilang pagkilos ng mga reaksyon, magdagdag ng mga aktibong pwersa. 1.4. Isulat ang pangunahing batas ng dynamics sa vector form, project sa mga piling axes, express given o reactive forces sa mga tuntunin ng oras, coordinate o speed variables, kung depende ang mga ito sa kanila. 2. Solusyon ng mga differential equation: 2.1. Bawasan ang derivative kung ang equation ay hindi nabawasan sa canonical (standard) form. halimbawa: o 2.2. Paghiwalayin ang mga variable, halimbawa: o 2.4. Kalkulahin ang mga hindi tiyak na integral sa kaliwa at kanang bahagi ng equation, halimbawa: 2.3. Kung mayroong tatlong mga variable sa equation, pagkatapos ay gumawa ng pagbabago ng mga variable, halimbawa: at pagkatapos ay paghiwalayin ang mga variable. Magkomento. Sa halip na suriin ang mga hindi tiyak na integral, maaaring suriin ng isa ang mga tiyak na integral na may variable na upper limit. Ang mas mababang mga limitasyon ay kumakatawan sa mga paunang halaga ng mga variable (paunang kundisyon). Pagkatapos ay hindi na kailangang hiwalay na hanapin ang pare-pareho, na awtomatikong kasama sa solusyon, halimbawa: Gamit ang mga paunang kundisyon, halimbawa, t = 0 , vx = vx0, tukuyin ang pare-pareho ng pagsasama: 2.5. Ipahayag ang bilis sa mga tuntunin ng derivative ng oras ng coordinate, halimbawa, at ulitin ang mga hakbang 2.2 -2.4 Tandaan. Kung ang equation ay nabawasan sa isang kanonikal na anyo na may karaniwang solusyon, kung gayon ang handa na solusyon na ito ay ginagamit. Ang mga constants ng integration ay matatagpuan pa rin mula sa mga unang kondisyon. Tingnan, halimbawa, ang mga oscillation (lektura 4, p. walo). Lecture 2 (pagpapatuloy 2.2)

9 slide

Lecture 2 (pagpapatuloy 2.3) Halimbawa 2 ng paglutas ng baligtad na problema: Ang puwersa ay nakasalalay sa oras. Ang isang pagkarga ng timbang P ay nagsisimulang gumalaw kasama ang isang makinis na pahalang na ibabaw sa ilalim ng pagkilos ng isang puwersa F, ang magnitude nito ay proporsyonal sa oras (F = kt). Tukuyin ang layo na nilakbay ng load sa oras t. 3. Buuin ang pangunahing equation ng dynamics: 5. Bawasan ang pagkakasunud-sunod ng derivative: 4. I-project ang basic equation ng dynamics sa x-axis: o 7 6. Paghiwalayin ang mga variable: 7. Kalkulahin ang mga integral ng parehong bahagi ng equation: 9. Kinakatawan ang projection ng velocity bilang derivative ng coordinate na may kinalaman sa oras: 10. Kalkulahin ang mga integral ng parehong bahagi ng equation: 9. Paghiwalayin ang mga variable: 8. Tukuyin ang halaga ng constant C1 mula sa paunang kondisyon t = 0, vx = v0=0: Bilang resulta, nakuha namin ang equation ng paggalaw (kasama ang x axis), na nagbibigay ng halaga ng distansyang nilakbay para sa oras t: 1. Piliin ang reference system ( Mga coordinate ng Cartesian) upang ang katawan ay may positibong coordinate: 2. Isinasaalang-alang namin ang bagay ng paggalaw bilang isang materyal na punto (ang katawan ay gumagalaw pasulong), bitawan ito mula sa koneksyon (reference plane) at palitan ito ng reaksyon (normal na reaksyon ng isang makinis ibabaw): 11. Tukuyin ang halaga ng pare-parehong C2 mula sa inisyal na kondisyon t = 0, x = x0=0: Baliktad na problema halimbawa 3: Ang puwersa ay nakasalalay sa coordinate. Ang isang materyal na punto ng mass m ay itinapon paitaas mula sa ibabaw ng Earth na may bilis na v0. Ang puwersa ng gravity ng Earth ay inversely proportional sa square ng distansya mula sa punto hanggang sa sentro ng gravity (ang sentro ng Earth). Tukuyin ang dependence ng bilis sa layo y sa gitna ng Earth. 1. Pinipili namin ang reference system (Cartesian coordinates) upang ang katawan ay may positibong coordinate: 2. Binubuo namin ang pangunahing equation ng dynamics: 3. I-proyekto namin ang pangunahing equation ng dynamics sa y axis: o Ang coefficient of proportionality ay maaaring ay matagpuan gamit ang bigat ng isang punto sa ibabaw ng Earth: R Kaya ang differential ang equation ay mukhang: o 4. Ibaba ang pagkakasunud-sunod ng derivative: 5. Baguhin ang variable: 6. Paghiwalayin ang mga variable: 7. Kalkulahin ang integral ng magkabilang panig ng equation: 8. Palitan ang mga limitasyon: Bilang resulta, nakakakuha tayo ng expression para sa bilis bilang isang function ng y coordinate: Ang maximum na taas na paglipad ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagtutumbas ng bilis sa zero: Ang pinakamataas na flight altitude kapag ang denominator ay naging zero: Mula dito, kapag itinatakda ang radius ng Earth at ang acceleration ng free fall, II ay nakuha bilis ng espasyo:

10 slide

Lecture 2 (pagpapatuloy 2.4) Halimbawa 2 ng paglutas ng baligtad na problema: Ang puwersa ay nakasalalay sa bilis. Ang isang barko na may mass m ay may bilis na v0. Ang paglaban ng tubig sa paggalaw ng sisidlan ay proporsyonal sa bilis. Tukuyin ang oras na aabutin para bumaba ng kalahati ang bilis ng barko pagkatapos patayin ang makina, pati na rin ang distansyang nilakbay ng barko hanggang sa ganap na huminto. 8 1. Pumipili tayo ng reference system (Cartesian coordinates) upang ang katawan ay may positibong coordinate: 2. Isinasaalang-alang natin ang object of motion bilang isang materyal na punto (ang barko ay umuusad), palayain ito mula sa mga bono (tubig) at palitan ito na may reaksyon (buoyant force - Archimedes force), at gayundin ang puwersa ng paglaban sa paggalaw. 3. Magdagdag ng aktibong puwersa (gravity). 4. Binubuo namin ang pangunahing equation ng dynamics: 5. Ipinapalabas namin ang pangunahing equation ng dynamics sa x axis: o 6. Ibinababa namin ang pagkakasunud-sunod ng derivative: 7. Pinaghihiwalay namin ang mga variable: 8. Kinakalkula namin ang mga integral mula sa pareho bahagi ng equation: 9. Pinapalitan namin ang mga limitasyon: Nakuha ang isang expression na nag-uugnay sa bilis at oras t, kung saan matutukoy mo ang oras ng paggalaw: Ang oras ng paggalaw, kung saan ang bilis ay bababa ng kalahati: Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kapag ang bilis ay lumalapit sa zero, ang oras ng paggalaw ay may posibilidad na infinity, i.e. ang huling bilis ay hindi maaaring maging zero. Bakit hindi "perpetual motion"? Gayunpaman, sa kasong ito, ang distansya na nilakbay patungo sa hintuan ay may hangganan na halaga. Upang matukoy ang distansya na nilakbay, bumaling tayo sa expression na nakuha pagkatapos ibaba ang pagkakasunud-sunod ng derivative at gumawa ng pagbabago ng variable: Pagkatapos isama at palitan ang mga limitasyon, nakuha natin ang: Distansya na nilakbay hanggang sa huminto: ■ Paggalaw ng isang punto na itinapon sa isang anggulo sa abot-tanaw sa isang pare-parehong gravity field nang hindi isinasaalang-alang ang air resistance Tinatanggal ang oras mula sa mga equation ng paggalaw, nakuha namin ang trajectory equation: Ang oras ng paglipad ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagpareho ng y coordinate sa zero: Ang flight range ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagpapalit ng oras ng paglipad:

11 slide

Lecture 3 Rectilinear oscillations ng isang materyal na punto - Ang oscillatory na paggalaw ng isang materyal na punto ay nangyayari sa ilalim ng kondisyon: mayroong isang puwersang nagpapanumbalik na may posibilidad na ibalik ang punto sa posisyon ng balanse para sa anumang paglihis mula sa posisyon na ito. 9 May puwersang nagpapanumbalik, matatag ang posisyon ng ekwilibriyo Walang puwersang nagpapanumbalik, hindi matatag ang posisyon ng ekwilibriyo Walang puwersang nagpapanumbalik, ang posisyon ng ekwilibriyo ay walang malasakit Ito ay palaging nakadirekta patungo sa posisyon ng balanse, ang halaga ay direktang proporsyonal sa linear na pagpahaba (pagpapaikli) ng tagsibol, katumbas ng paglihis ng katawan mula sa posisyon ng balanse: c ay ang spring stiffness coefficient, ayon sa bilang na katumbas ng puwersa sa ilalim kung saan binabago ng tagsibol ang haba nito ng isa, sinusukat sa N / m sa system SI. x y O Mga uri ng vibrations ng isang materyal na punto: 1. Libreng vibrations (nang hindi isinasaalang-alang ang resistensya ng medium). 2. Libreng mga oscillations na isinasaalang-alang ang paglaban ng medium (damped oscillations). 3. Sapilitang panginginig ng boses. 4. Sapilitang mga oscillation na isinasaalang-alang ang paglaban ng medium. ■ Libreng panginginig ng boses - nagaganap sa ilalim ng pagkilos ng isang nagpapanumbalik na puwersa lamang. Isulat natin ang batayang batas ng dynamics: Pumili tayo ng coordinate system na nakasentro sa equilibrium position (point O) at i-project ang equation sa x axis: Dalhin natin ang resultang equation sa standard (canonical) form: Ang equation na ito ay homogenous. linear differential equation ng pangalawang order, ang anyo ng solusyon na tinutukoy ng mga ugat ng katangian na equation na nakuha sa pamamagitan ng unibersal na pagpapalit: Ang mga ugat ng katangian na equation ay haka-haka at pantay: Ang pangkalahatang solusyon ng differential equation ay may anyo : Bilis ng punto: Mga paunang kondisyon: Tukuyin natin ang mga pare-pareho: Kaya, ang equation ng mga libreng vibrations ay mukhang: Ang equation ay maaaring kinakatawan ng isang pang-matagalang expression: kung saan ang a ay ang amplitude, ay ang paunang yugto. Ang mga bagong constant na a at - ay nauugnay sa mga constant na C1 at C2 sa pamamagitan ng mga relasyon: Tukuyin natin ang a at: Ang dahilan ng paglitaw ng mga libreng oscillations ay ang paunang displacement x0 at/o ang paunang bilis v0.

12 slide

10 Lektura 3 (pagpapatuloy 3.2) Damped oscillations ng isang materyal na punto - Ang oscillatory na paggalaw ng isang materyal na punto ay nangyayari sa pagkakaroon ng isang puwersang nagpapanumbalik at isang puwersa ng paglaban sa paggalaw. Ang pag-asa ng puwersa ng paglaban sa paggalaw sa displacement o bilis ay tinutukoy ng pisikal na katangian ng daluyan o koneksyon na humahadlang sa paggalaw. Ang pinakasimpleng pag-asa ay isang linear na pag-asa sa bilis (viscous resistance): - koepisyent ng lagkit x y O mula sa mga halaga ng mga ugat: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - kaso ng mataas na malapot na pagtutol: - tunay na mga ugat, naiiba. o - ang mga function na ito ay aperiodic: 3. n = k: - ang mga ugat ay totoo, maramihang. ang mga function na ito ay aperiodic din:

13 slide

Lecture 3 (pagpapatuloy 3.3) Pag-uuri ng mga solusyon ng mga libreng oscillations. Mga koneksyon sa tagsibol. katumbas na tigas. y y 11 Pagkakaiba. Equation Character. Equation Roots char. equation Paglutas ng differential equation Graph nk n=k

14 slide

Lektura 4 Sapilitang pag-vibrate ng isang materyal na punto - Kasabay ng puwersang nagpapanumbalik, kumikilos ang isang pana-panahong nagbabagong puwersa, na tinatawag na puwersang nakakagambala. Maaaring magkaroon ng ibang katangian ang puwersang nakakagulo. Halimbawa, sa isang partikular na kaso, ang inertial effect ng isang hindi balanseng mass m1 ng isang umiikot na rotor ay nagdudulot ng harmonically na pagbabago ng mga projection ng puwersa: Ang pangunahing equation ng dynamics: Ang projection ng equation ng dynamics sa axis: Dalhin natin ang equation sa standard form: 12 Ang solusyon ng inhomogeneous differential equation na ito ay binubuo ng dalawang bahagi x = x1 + x2: x1 ay ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogeneous equation at x2 ay isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation: Pinipili namin ang partikular na solusyon sa anyo ng ang kanang bahagi: Ang resultang pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan para sa anumang t . Pagkatapos: o Kaya, sa sabay-sabay na pagkilos ng pagpapanumbalik at nakakagambalang mga puwersa, ang materyal na punto ay gumaganap ng isang kumplikadong oscillatory motion, na resulta ng pagdaragdag (superposisyon) ng libre (x1) at sapilitang (x2) na mga vibrations. Kung p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (sapilitang mga oscillations ng mataas na dalas), pagkatapos ay ang yugto ng mga oscillations ay kabaligtaran sa yugto ng perturbing force:

15 slide

Lecture 4 (continuation 4.2) 13 Dynamic coefficient - ang ratio ng amplitude ng forced oscillations sa static deviation ng isang point sa ilalim ng pagkilos ng constant force H = const: Ang amplitude ng forced oscillations: Ang static deviation ay matatagpuan mula sa equilibrium equation: Dito: Mula dito: Kaya, sa p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (high frequency of forced oscillations) dynamic coefficient: Resonance - nangyayari kapag ang frequency ng forced oscillations ay tumutugma sa frequency ng natural oscillations (p = k). Ito ay kadalasang nangyayari kapag sinimulan at itinitigil ang pag-ikot ng mga mahinang balanseng rotor na naka-mount sa nababanat na mga suspensyon. Ang differential equation ng mga oscillation na may pantay na frequency: Ang isang partikular na solusyon sa anyo ng kanang bahagi ay hindi maaaring kunin, dahil isang linearly dependent na solusyon ang makukuha (tingnan ang pangkalahatang solusyon). Pangkalahatang solusyon: Palitan sa differential equation: Kumuha tayo ng isang partikular na solusyon sa anyo at kalkulahin ang mga derivatives: Kaya, ang solusyon ay nakuha: o Ang sapilitang oscillations sa resonance ay may amplitude na tumataas nang walang katiyakan sa proporsyon sa oras. Impluwensya ng paglaban sa paggalaw sa panahon ng sapilitang vibrations. Ang differential equation sa pagkakaroon ng viscous resistance ay may anyo: Ang pangkalahatang solusyon ay pinili mula sa talahanayan (Lecture 3, p. 11) depende sa ratio ng n at k (tingnan). Kumuha kami ng isang partikular na solusyon sa anyo at kalkulahin ang mga derivatives: Palitan sa differential equation: Equating the coefficients for identical trigonometric functions, we get a system of equation: Itaas ang parehong equation sa isang power at idagdag ang mga ito, makuha namin ang amplitude ng sapilitang oscillations: Sa pamamagitan ng paghahati sa pangalawang equation sa una, nakukuha natin ang phase shift ng forced oscillations: Kaya , ang equation ng motion para sa forced oscillations, na isinasaalang-alang ang paglaban sa paggalaw, halimbawa, para sa n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 slide

Lecture 5 Relative motion ng isang material point - Ipagpalagay natin na ang gumagalaw (non-inertial) coordinate system na Oxyz ay gumagalaw ayon sa ilang batas na may kaugnayan sa fixed (inertial) coordinate system O1x1y1z1. Ang paggalaw ng isang materyal na punto M (x, y, z) na nauugnay sa mobile system na Oxyz ay kamag-anak, na nauugnay sa hindi gumagalaw na sistema O1x1y1z1 ay ganap. Ang paggalaw ng mobile system na Oxyz na nauugnay sa fixed system na O1x1y1z1 ay isang portable na paggalaw. . Ang mga inilipat na termino ay may dimensyon ng mga puwersa at itinuturing na katumbas na mga puwersang inertial, pantay-pantay: Kung gayon ang kamag-anak na paggalaw ng punto ay maaaring ituring na ganap, kung idaragdag natin ang pagsasalin at Coriolis na puwersa ng pagkawalang-galaw sa mga kumikilos na pwersa: Sa mga projection sa axes ng gumagalaw na coordinate system, mayroon kaming: iba't ibang uri translational motion: 1. Pag-ikot sa paligid ng fixed axis: Kung pare-pareho ang rotation, εe = 0: 2. Translational curvilinear motion: Kung rectilinear ang motion, then = : Kung rectilinear at uniporme ang motion, ang gumagalaw na system ay inertial at ang relatibong paggalaw ay maituturing na absolute : Walang mekanikal na phenomena ang makaka-detect ng rectilinear uniform motion (prinsipyo ng relativity ng mga klasikal na mekanika). Impluwensya ng pag-ikot ng Earth sa equilibrium ng mga katawan - Ipagpalagay natin na ang katawan ay nasa equilibrium sa ibabaw ng Earth sa isang arbitrary latitude φ (parallels). Umiikot ang Earth sa paligid ng axis nito mula kanluran hanggang silangan na may angular na bilis: Ang radius ng Earth ay humigit-kumulang 6370 km. Ang S R ay ang kabuuang reaksyon ng isang hindi makinis na ibabaw. G - puwersa ng pagkahumaling ng Earth sa gitna. Ф - sentripugal na puwersa ng pagkawalang-galaw. Relative equilibrium na kondisyon: Ang resulta ng mga puwersa ng pagkahumaling at pagkawalang-galaw ay ang puwersa ng grabidad (timbang): Ang magnitude ng puwersa ng grabidad (timbang) sa ibabaw ng Earth ay P = mg. Ang centrifugal force ng inertia ay isang maliit na bahagi ng puwersa ng gravity: Ang paglihis ng puwersa ng grabidad mula sa direksyon ng puwersa ng pagkahumaling ay maliit din: Kaya, ang impluwensya ng pag-ikot ng Earth sa balanse ng mga katawan ay napakaliit. at hindi isinasaalang-alang sa mga praktikal na kalkulasyon. Ang pinakamataas na halaga ng inertial force (sa φ = 0 - sa ekwador) ay 0.00343 lamang ng halaga ng gravity

17 slide

Lecture 5 (pagpapatuloy 5.2) 15 Impluwensya ng pag-ikot ng Earth sa paggalaw ng mga katawan sa gravitational field ng Earth - Ipagpalagay na ang isang katawan ay bumagsak sa Earth mula sa isang tiyak na taas H sa ibabaw ng Earth sa latitude φ . Pumili tayo ng gumagalaw na frame of reference, mahigpit na konektado sa Earth, na nagdidirekta sa x, y axes nang tangential sa parallel at sa meridian: Relative motion equation: Dito, ang liit ng centrifugal force ng inertia kumpara sa puwersa ng gravity ay isinasaalang-alang. Kaya, ang puwersa ng grabidad ay kinikilala sa puwersa ng grabidad. Bilang karagdagan, ipinapalagay namin na ang gravity ay nakadirekta patayo sa ibabaw ng Earth dahil sa liit ng pagpapalihis nito, tulad ng tinalakay sa itaas. Ang Coriolis acceleration ay katumbas at nakadirekta parallel sa y-axis sa kanluran. Ang puwersa ng Coriolis inertia ay nakadirekta sa kabaligtaran na direksyon. Pinaplano namin ang equation ng kamag-anak na paggalaw sa axis: Ang solusyon ng unang equation ay nagbibigay ng: Mga paunang kondisyon: Ang solusyon ng ikatlong equation ay nagbibigay ng: Mga paunang kondisyon: Ang ikatlong equation ay nasa anyo: Mga paunang kundisyon: Ang solusyon nito ay nagbibigay ng: Ang resultang solusyon nagpapakita na ang katawan ay lumilihis sa silangan kapag ito ay bumagsak. Kalkulahin natin ang halaga ng paglihis na ito, halimbawa, kapag bumabagsak mula sa taas na 100 m. Nahanap natin ang oras ng taglagas mula sa solusyon ng pangalawang equation: Kaya, ang impluwensya ng pag-ikot ng Earth sa paggalaw ng mga katawan ay napakaliit. para sa mga praktikal na taas at bilis at hindi isinasaalang-alang sa mga teknikal na kalkulasyon. Ang solusyon ng pangalawang equation ay nagpapahiwatig din ng pagkakaroon ng isang bilis sa kahabaan ng y-axis, na dapat ding maging sanhi at maging sanhi ng kaukulang acceleration at ang Coriolis inertia force. Ang impluwensya ng bilis na ito at ang puwersa ng pagkawalang-kilos na nauugnay dito sa pagbabago ng paggalaw ay magiging mas mababa pa kaysa sa itinuturing na puwersa ng inertia ng Coriolis na nauugnay sa bilis ng patayo.

18 slide

Lecture 6 Dynamics ng isang mekanikal na sistema. Isang sistema ng mga materyal na punto o isang mekanikal na sistema - Isang hanay ng mga materyal na punto o yaong mga materyal na punto na pinag-isa ng mga pangkalahatang batas ng pakikipag-ugnayan (ang posisyon o paggalaw ng bawat isa sa mga punto o isang katawan ay nakasalalay sa posisyon at paggalaw ng lahat ng iba pa) Ang sistema ng mga libreng puntos - ang paggalaw ng kung saan ay hindi limitado sa pamamagitan ng anumang mga koneksyon (halimbawa, isang planetary system , kung saan ang mga planeta ay itinuturing na mga materyal na punto). Isang sistema ng mga di-libreng puntos o isang di-libreng mekanikal na sistema - ang paggalaw ng mga materyal na punto o katawan ay nililimitahan ng mga hadlang na ipinataw sa sistema (halimbawa, isang mekanismo, isang makina, atbp.). 16 Mga puwersang kumikilos sa sistema. Bilang karagdagan sa dati nang umiiral na pag-uuri ng mga puwersa (aktibo at reaktibong pwersa), isang bagong klasipikasyon ng mga puwersa ang ipinakilala: 1. Mga panlabas na puwersa (e) - kumikilos sa mga punto at katawan ng system mula sa mga punto o katawan na hindi bahagi nito sistema. 2. Panloob na pwersa (i) - pwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga materyal na punto o katawan na kasama sa ibinigay na sistema. Ang parehong puwersa ay maaaring parehong panlabas at lakas ng loob. Ang lahat ay nakasalalay sa kung aling mekanikal na sistema ang isinasaalang-alang. Halimbawa: Sa sistema ng Araw, Lupa at Buwan, lahat ng puwersa ng gravitational sa pagitan nila ay panloob. Kung isasaalang-alang ang sistema ng Earth at Moon, ang mga puwersa ng gravitational na inilapat mula sa gilid ng Araw ay panlabas: C Z L Batay sa batas ng pagkilos at reaksyon, ang bawat panloob na puwersa Fk ay tumutugma sa isa pang panloob na puwersa Fk', katumbas ng ganap na halaga at kabaligtaran sa direksyon. Dalawang kapansin-pansing katangian ng panloob na pwersa ang sumusunod mula rito: Ang pangunahing vector ng lahat ng panloob na pwersa ng system sero: Ang pangunahing sandali ng lahat ng panloob na pwersa ng system na nauugnay sa anumang sentro ay katumbas ng zero: O sa mga projection papunta sa mga coordinate axes: Tandaan. Bagama't ang mga equation na ito ay katulad ng mga equation ng ekwilibriyo, hindi, dahil ang mga panloob na pwersa ay inilalapat sa iba't ibang puntos o katawan ng sistema at maaaring maging sanhi ng paggalaw ng mga puntong ito (katawan) na may kaugnayan sa isa't isa. Ito ay sumusunod mula sa mga equation na ito na ang mga panloob na pwersa ay hindi nakakaapekto sa paggalaw ng isang sistema na isinasaalang-alang sa kabuuan. Ang sentro ng masa ng sistema ng mga punto ng materyal. Upang ilarawan ang paggalaw ng system sa kabuuan, ang isang geometric na punto ay ipinakilala, na tinatawag na sentro ng masa, ang radius vector na kung saan ay tinutukoy ng expression, kung saan ang M ay ang masa ng buong sistema: O sa mga projection papunta sa coordinate axes: Ang mga formula para sa sentro ng masa ay katulad ng para sa sentro ng grabidad. Gayunpaman, ang konsepto ng sentro ng masa ay mas pangkalahatan, dahil hindi ito nauugnay sa mga puwersa ng grabidad o mga puwersa ng grabidad.

19 slide

Lecture 6 (continuation 6.2) 17 Theorem on the motion of the center of mass of the system - Isaalang-alang ang isang sistema ng n materyal na mga punto. Hinahati namin ang mga puwersang inilapat sa bawat punto sa panlabas at panloob at palitan ang mga ito ng katumbas na resultang Fke at Fki. Isulat natin para sa bawat punto ang pangunahing equation ng dynamics: o Isama natin ang mga equation na ito sa lahat ng puntos: Sa kaliwang bahagi ng equation, ipakikilala natin ang masa sa ilalim ng sign ng derivative at papalitan ang sum ng derivatives ng derivative. ng kabuuan: Mula sa kahulugan ng sentro ng masa: Palitan sa resultang equation: nakukuha natin o: Ang produkto ng masa ng system at ang acceleration ng center mass nito ay katumbas ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa. Sa mga projection sa mga coordinate axes: Ang sentro ng masa ng system ay gumagalaw bilang isang materyal na punto na may mass na katumbas ng masa ng buong sistema, kung saan ang lahat ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system ay inilalapat. Mga kahihinatnan mula sa theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng system (mga batas sa konserbasyon): 1. Kung sa pagitan ng oras ang pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system ay zero, Re = 0, kung gayon ang bilis ng sentro ng mass ay pare-pareho, vC = const (ang sentro ng masa ay gumagalaw nang pare-pareho nang patuwid - ang batas ng konserbasyon ng paggalaw na sentro ng masa). 2. Kung sa pagitan ng oras ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system sa x axis ay katumbas ng zero, Rxe = 0, kung gayon ang bilis ng sentro ng masa kasama ang x axis ay pare-pareho, vCx = const (ang sentro ng masa ay gumagalaw nang pantay sa axis). Ang mga katulad na pahayag ay totoo para sa y at z axes. Halimbawa: Dalawang tao na may masa m1 at m2 ay nasa isang bangka na may mass na m3. Sa unang sandali ng oras, ang bangka na may mga tao ay nagpapahinga. Tukuyin ang displacement ng bangka kung ang isang tao na may mass m2 ay lumipat sa busog ng bangka sa layo a. 3. Kung sa pagitan ng oras ang pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system ay katumbas ng zero, Re = 0, at sa unang sandali ang bilis ng sentro ng masa ay zero, vC = 0, kung gayon ang radius vector ng ang sentro ng masa ay nananatiling pare-pareho, rC = const (ang sentro ng masa ay nasa pahinga ay ang batas ng konserbasyon ng posisyon ng sentro ng masa). 4. Kung sa agwat ng oras ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system papunta sa x axis ay katumbas ng zero, Rxe = 0, at sa unang sandali ang bilis ng sentro ng masa kasama ang axis na ito ay zero. , vCx = 0, pagkatapos ay ang coordinate ng sentro ng masa kasama ang x axis ay nananatiling pare-pareho, xC = const (ang sentro ng masa ay hindi gumagalaw kasama ang axis na ito). Ang mga katulad na pahayag ay totoo para sa y at z axes. 1. Ang object ng paggalaw (isang bangka na may mga tao): 2. Itinatapon namin ang mga koneksyon (tubig): 3. Pinapalitan namin ang koneksyon ng isang reaksyon: 4. Magdagdag ng mga aktibong pwersa: 5. Isulat ang theorem tungkol sa sentro ng masa: Proyekto sa x-axis: O Tukuyin kung gaano kalayo ang kailangan mong ilipat sa isang tao na may mass m1, upang ang bangka ay manatili sa lugar: Ang bangka ay lilipat sa layo na l sa kabilang direksyon.

20 slide

Lecture 7 Ang impulse of force ay isang sukatan ng mekanikal na interaksyon na nagpapakilala sa paglipat ng mekanikal na paggalaw mula sa mga puwersang kumikilos sa isang punto para sa isang takdang panahon: 18 Sa mga projection papunta sa coordinate axes: Sa kaso ng isang pare-parehong puwersa: Sa mga projection papunta sa mga coordinate axes: hanggang sa punto ng mga puwersa sa parehong agwat ng oras: Multiply sa dt: Pagsamahin sa isang naibigay na agwat ng oras: Ang dami ng paggalaw ng punto ay isang sukatan ng mekanikal na paggalaw, na tinutukoy ng isang vector na katumbas ng produkto ng mass of the point and its velocity vector: Theorem on the change in the amount of movement of the system – Isaalang-alang ang system n material points. Hinahati namin ang mga puwersang inilapat sa bawat punto sa panlabas at panloob at palitan ang mga ito ng katumbas na resultang Fke at Fki. Isulat natin para sa bawat punto ang pangunahing equation ng dynamics: o Dami ng paggalaw ng isang sistema ng mga materyal na puntos - ang geometric na kabuuan ng mga dami ng paggalaw ng mga materyal na punto: Sa pamamagitan ng kahulugan ng sentro ng masa: Ang vector ng momentum ng system ay katumbas ng produkto ng mass ng buong system at ang velocity vector ng sentro ng mass ng system. Pagkatapos: Sa mga projection papunta sa mga coordinate axes: Ang derivative ng oras ng momentum vector ng system ay katumbas ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa ng system. Isama natin ang mga equation na ito sa lahat ng mga punto: Sa kaliwang bahagi ng equation, ipinakilala natin ang mga masa sa ilalim ng tanda ng derivative at pinapalitan ang kabuuan ng mga derivative ng derivative ng kabuuan: Mula sa kahulugan ng momentum ng system: Sa mga projection sa coordinate axes:

21 slide

Euler's theorem - Paglalapat ng theorem sa pagbabago ng momentum ng isang sistema sa paggalaw ng tuluy-tuloy na daluyan (tubig). 1. Pinipili namin bilang object ng paggalaw ang dami ng tubig na matatagpuan sa curvilinear channel ng turbine: 2. Itinatapon namin ang mga koneksyon at pinapalitan ang kanilang pagkilos ng mga reaksyon (Rpov - ang resulta ng mga puwersa sa ibabaw) 3. Magdagdag ng mga aktibong pwersa (Rb - ang resulta ng pwersa ng katawan): 4. Isulat ang theorem tungkol sa pagbabago sa momentum ng system: Ang dami ng paggalaw ng tubig sa mga oras na t0 at t1 ay kakatawanin bilang mga kabuuan: Pagbabago sa momentum ng tubig sa pagitan ng oras : Pagbabago sa momentum ng tubig sa isang infinitesimal na agwat ng oras dt: , kung saan F1 F2 Pagkuha ng produkto ng density, cross-sectional area at velocity sa bawat segundong masa, makuha natin ang: Pagpapalit ng differential ng momentum ng system sa change theorem , nakukuha natin ang: Mga kahihinatnan mula sa theorem sa pagbabago sa momentum ng system (mga batas sa konserbasyon): 1. Kung sa pagitan ng oras ang pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system ay katumbas ng zero, Re = 0, kung gayon ang Ang dami ng paggalaw ng vector ay pare-pareho, Q = const ay ang batas ng konserbasyon ng momentum ng system). 2. Kung sa pagitan ng oras ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system sa x axis ay katumbas ng zero, Rxe = 0, kung gayon ang projection ng momentum ng system sa x axis ay pare-pareho, Qx = const. Ang mga katulad na pahayag ay totoo para sa y at z axes. Lecture 7 (pagpapatuloy ng 7.2) Halimbawa: Isang granada ng masa M, na lumilipad sa bilis na v, ay sumabog sa dalawang bahagi. Ang bilis ng isa sa mga fragment ng mass m1 ay tumaas sa direksyon ng paggalaw sa halagang v1. Tukuyin ang bilis ng pangalawang fragment. 1. Ang object ng paggalaw (grenade): 2. Ang object ay isang libreng sistema, walang mga koneksyon at ang kanilang mga reaksyon. 3. Magdagdag ng mga aktibong pwersa: 4. Isulat ang theorem sa pagbabago ng momentum: Project sa axis: β Hatiin ang mga variable at isama: Ang tamang integral ay halos zero, dahil oras ng pagsabog t

22 slide

Lektura 7 (pagpapatuloy 7.3) 20 Ang angular momentum ng isang punto o ang kinetic moment ng paggalaw na may kaugnayan sa isang partikular na sentro ay isang sukatan ng mekanikal na paggalaw, na tinutukoy ng isang vector na katumbas ng produkto ng vector ng radius vector ng isang materyal na punto at ang vector ng momentum nito: Ang kinetic moment ng isang sistema ng mga materyal na puntos na nauugnay sa isang tiyak na sentro ay geometric ang kabuuan ng mga sandali ng bilang ng mga paggalaw ng lahat ng mga punto ng materyal na nauugnay sa parehong sentro: Sa mga projection sa axis: Sa mga projection sa ang axis: Theorem sa pagbabago sa sandali ng momentum ng system - Isaalang-alang ang isang sistema ng n mga materyal na puntos. Hinahati namin ang mga puwersang inilapat sa bawat punto sa panlabas at panloob at palitan ang mga ito ng katumbas na resultang Fke at Fki. Isulat natin para sa bawat punto ang pangunahing equation ng dynamics: o Isama natin ang mga equation na ito para sa lahat ng puntos: Palitan natin ang sum ng derivatives ng derivative ng sum: Ang expression sa mga bracket ay ang sandali ng momentum ng system. Mula rito: I-multiply natin ang bawat isa sa mga pagkakapantay-pantay sa radius vector sa kaliwa: Tingnan natin kung posible bang kunin ang sign ng derivative sa labas produkto ng vector: Kaya, nakuha namin: Ang derivative ng momentum vector ng system na may kaugnayan sa isang tiyak na sentro sa oras ay katumbas ng pangunahing sandali ng mga panlabas na puwersa ng system na may kaugnayan sa parehong sentro. Sa mga projection sa mga coordinate axes: Ang derivative ng momentum ng system na may kaugnayan sa ilang axis sa oras ay katumbas ng pangunahing sandali ng mga panlabas na pwersa ng system na may kaugnayan sa parehong axis.

23 slide

Lecture 8 21 ■ Mga kahihinatnan mula sa theorem sa pagbabago sa angular momentum ng system (mga batas sa konserbasyon): 1. Kung sa pagitan ng oras ang vector ng pangunahing sandali ng mga panlabas na puwersa ng system na may kaugnayan sa isang tiyak na sentro ay pantay. sa zero, MOe = 0, pagkatapos ay ang vector ng angular momentum ng system na may kaugnayan sa parehong sentro ay pare-pareho, KO = const ay ang batas ng konserbasyon ng momentum ng system). 2. Kung sa agwat ng oras ang pangunahing sandali ng mga panlabas na pwersa ng sistema na may kaugnayan sa x axis ay katumbas ng zero, Mxe = 0, kung gayon ang angular na momentum ng system na nauugnay sa x axis ay pare-pareho, Kx = const. Ang mga katulad na pahayag ay totoo para sa y at z axes. 2. Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang matibay na katawan tungkol sa isang axis: Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang materyal na punto tungkol sa isang axis ay katumbas ng produkto ng masa ng punto at ang parisukat ng distansya ng punto sa axis. Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang matibay na katawan tungkol sa isang axis ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng masa ng bawat punto at ang parisukat ng distansya ng puntong ito mula sa axis. ■ Mga elemento ng teorya ng mga sandali ng pagkawalang-galaw - Sa pag-ikot ng paggalaw ng isang matibay na katawan, ang sukat ng pagkawalang-galaw (paglaban sa pagbabago sa paggalaw) ay ang sandali ng pagkawalang-galaw tungkol sa axis ng pag-ikot. Isaalang-alang ang mga pangunahing konsepto ng kahulugan at mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga sandali ng pagkawalang-galaw. 1. Sandali ng pagkawalang-galaw ng isang materyal na punto tungkol sa axis: Sa paglipat mula sa isang discrete na maliit na masa hanggang sa isang walang katapusang maliit na masa ng isang punto, ang limitasyon ng naturang kabuuan ay tinutukoy ng integral: axial moment of inertia ng isang matibay na katawan . Bilang karagdagan sa axial moment ng inertia ng isang matibay na katawan, may iba pang mga uri ng mga sandali ng inertia: ang centrifugal moment ng inertia ng isang matibay na katawan. polar moment ng inertia ng isang matibay na katawan. 3. Theorem tungkol sa mga sandali ng pagkawalang-galaw ng isang matibay na katawan tungkol sa parallel axes - ang formula para sa paglipat sa parallel axes: Moment of inertia tungkol sa reference axis Mga static na sandali ng inertia tungkol sa reference axes Mass ng katawan Distansya sa pagitan ng z1 at z2 axes Kaya : ang mga sandali ay zero:

24 slide

Lecture 8 (continuation 8.2) 22 Moment of inertia of a uniform rod of constant section about the axis: x z L Piliin ang elementary volume dV = Adx sa layo x: x dx Elementary mass: Upang kalkulahin ang moment of inertia tungkol sa central axis (pagdaraan sa gitna ng grabidad), sapat na upang baguhin ang lokasyon ng axis at itakda ang mga limitasyon ng pagsasama (-L/2, L/2). Dito ipinapakita namin ang formula para sa paglipat sa parallel axes: zС 5. Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang homogenous na solid cylinder tungkol sa axis ng symmetry: H dr r Let us single out the elementary volume dV = 2πrdrH (manipis na cylinder ng radius r) : Elementary mass: Dito ginagamit natin ang cylinder volume formula V=πR2H. Upang kalkulahin ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang guwang (makapal) na silindro, sapat na upang itakda ang mga limitasyon ng pagsasama mula R1 hanggang R2 (R2> R1): 6. Ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang manipis na silindro tungkol sa axis ng simetrya (t

25 slide

Lektura 8 (pagpapatuloy 8.3) 23 ■ Differential equation ng pag-ikot ng isang matibay na katawan tungkol sa isang axis: Sumulat tayo ng isang theorem tungkol sa pagbabago ng angular momentum ng isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis: Ang momentum ng isang umiikot na matibay na katawan ay: Ang sandali ng mga panlabas na pwersa tungkol sa axis ng pag-ikot ay katumbas ng metalikang kuwintas (ang mga reaksyon at puwersa ay hindi lumilikha ng mga sandali ng gravity): Pinapalitan natin ang kinetic moment at torque sa theorem Halimbawa: Dalawang tao na may parehong timbang G1 = G2 na nakabitin sa isang lubid na itinapon sa ibabaw ng solidong bloke na may timbang G3 = G1/4. Sa ilang mga punto, ang isa sa kanila ay nagsimulang umakyat sa lubid na may kamag-anak na bilis u. Tukuyin ang bilis ng pag-angat ng bawat tao. 1. Piliin ang object ng paggalaw (harang sa mga tao): 2. Itapon ang mga koneksyon (supporting device ng block): 3. Palitan ang koneksyon ng mga reaksyon (bearing): 4. Magdagdag ng mga aktibong pwersa (gravity): 5. Isulat ang theorem tungkol sa pagbabago ng kinetic moment ng system na may kinalaman sa axis ng pag-ikot ng block: R Dahil ang moment ng external forces ay katumbas ng zero, ang kinetic moment ay dapat manatiling pare-pareho: Sa unang sandali ng oras t = 0, doon ay equilibrium at Kz0 = 0. Pagkatapos ng simula ng paggalaw ng isang tao na may kaugnayan sa lubid, ang buong sistema ay nagsimulang gumalaw, ngunit ang kinetic moment ng system ay dapat manatiling katumbas ng zero: Kz = 0. Ang angular momentum ng Ang sistema ay ang kabuuan ng mga angular na momentum ng parehong mga tao at ang bloke: Narito ang v2 ay ang bilis ng pangalawang tao, katumbas ng bilis ng cable, Halimbawa: Tukuyin ang panahon ng maliliit na libreng oscillations ng isang homogenous rod ng mass M at haba l, sinuspinde ng isang dulo sa isang nakapirming axis ng pag-ikot. O: Sa kaso ng maliliit na oscillations sinφ φ: Panahon ng oscillation: Moment of inertia ng rod:

26 slide

Lektura 8 (pagpapatuloy 8.4 - karagdagang materyal) 24 ■ Elementarya na teorya ng gyroscope: Ang gyroscope ay isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng axis ng material symmetry, na ang isa sa mga punto ay naayos. Ang isang libreng gyroscope ay naayos sa isang paraan na ang sentro ng masa nito ay nananatiling nakatigil, at ang axis ng pag-ikot ay dumadaan sa gitna ng masa at maaaring tumagal ng anumang posisyon sa espasyo, i.e. ang axis ng pag-ikot ay nagbabago sa posisyon nito tulad ng axis ng sariling pag-ikot ng katawan sa panahon ng spherical motion. Ang pangunahing palagay ng tinatayang (elementarya) na teorya ng gyroscope ay ang momentum vector (kinetic moment) ng rotor ay itinuturing na nakadirekta sa sarili nitong axis ng pag-ikot. Kaya, sa kabila ng katotohanan na sa pangkalahatang kaso ang rotor ay nakikilahok sa tatlong pag-ikot, tanging ang angular na bilis ng sarili nitong pag-ikot ω = dφ/dt ay isinasaalang-alang. Ang batayan nito ay ang sa makabagong teknolohiya ang gyroscope rotor ay umiikot sa isang angular velocity ng pagkakasunud-sunod ng 5000-8000 rad/s (mga 50000-80000 rpm), habang ang iba pang dalawang angular velocities na nauugnay sa precession at nutation ng sarili nitong axis ng pag-ikot ay sampu-sampung libong beses mas mababa sa bilis na ito. Ang pangunahing pag-aari ng isang libreng gyroscope ay ang rotor axis ay nagpapanatili ng parehong direksyon sa kalawakan na may paggalang sa inertial (stellar) reference system (ipinakita ng Foucault pendulum, na nagpapanatili sa swing plane na hindi nagbabago tungkol sa mga bituin, 1852). Ito ay sumusunod mula sa batas ng konserbasyon ng kinetic moment na may kaugnayan sa sentro ng mass ng rotor, sa kondisyon na ang friction sa mga bearings ng rotor suspension axes, ang panlabas at panloob na frame ay napapabayaan: Force action sa axis ng isang free dyayroskop. Sa kaso ng isang puwersa na inilapat sa rotor axis, ang sandali ng mga panlabas na puwersa na nauugnay sa sentro ng masa ay hindi katumbas ng zero: ω ω С na puwersa, at patungo sa vector ng sandali ng puwersang ito, i.e. ay iikot hindi tungkol sa x-axis (panloob na suspensyon), ngunit tungkol sa y-axis (panlabas na suspensyon). Sa pagwawakas ng puwersa, ang rotor axis ay mananatili sa parehong posisyon, na tumutugma sa huling oras ng puwersa, dahil mula sa puntong ito sa oras, ang sandali ng mga panlabas na pwersa ay muling magiging katumbas ng zero. Sa kaso ng isang panandaliang pagkilos ng puwersa (epekto), ang axis ng gyroscope ay halos hindi nagbabago sa posisyon nito. Kaya, ang mabilis na pag-ikot ng rotor ay nagbibigay sa gyroscope ng kakayahang humadlang sa mga random na impluwensya na naglalayong baguhin ang posisyon ng axis ng pag-ikot ng rotor, at sa patuloy na pagkilos ng puwersa, pinapanatili nito ang posisyon ng eroplano na patayo sa ang kumikilos na puwersa kung saan namamalagi ang axis ng rotor. Ang mga katangiang ito ay ginagamit sa pagpapatakbo ng mga inertial navigation system.