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Introdução

A mecânica teórica é uma das disciplinas científicas gerais fundamentais mais importantes. Ela joga papel importante na formação de engenheiros de qualquer especialização. As disciplinas gerais de engenharia baseiam-se nos resultados da mecânica teórica: resistência dos materiais, peças de máquinas, teoria dos mecanismos e máquinas, entre outros.

A principal tarefa da mecânica teórica é o estudo do movimento dos corpos materiais sob a influência de forças. Uma tarefa particular importante é o estudo do equilíbrio dos corpos sob a influência de forças.

Curso de palestras. Mecânica teórica

A estrutura da mecânica teórica. Noções básicas de estática

Condições de equilíbrio para um sistema arbitrário de forças.

Equações de equilíbrio para um corpo rígido.

Sistema plano de forças.

Casos especiais de equilíbrio de corpo rígido.

Problema de equilíbrio para uma viga.

Determinação de forças internas em estruturas de hastes.

Fundamentos da cinemática pontual.

Coordenadas naturais.

Fórmula de Euler.

Distribuição das acelerações dos pontos de um corpo rígido.

Movimentos translacionais e rotacionais.

Movimento plano-paralelo.

Movimento de ponto complexo.

Noções básicas de dinâmica de pontos.

Equações diferenciais de movimento de um ponto.

Tipos particulares de campos de força.

Fundamentos da dinâmica de um sistema de pontos.

Teoremas gerais sobre a dinâmica de um sistema de pontos.

Dinâmica do movimento rotacional de um corpo.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Curso de mecânica teórica. M., Escola Superior, 1983.

Butenin N.V., Lunts Ya.L., Merkin D.R. Curso de mecânica teórica, partes 1 e 2. M., Ensino Superior, 1971.

Petkevich V.V. Mecânica teórica. M., Nauka, 1981.

Coleção de tarefas para curso em mecânica teórica. Ed. A. A. Yablonsky. M., Ensino Superior, 1985.

Palestra 1. A estrutura da mecânica teórica. Noções básicas de estática

EM mecânica teórica Estuda-se o movimento dos corpos em relação a outros corpos, que são sistemas de referência físicos.

A mecânica permite não só descrever, mas também prever o movimento dos corpos, estabelecendo relações causais numa determinada e muito ampla gama de fenómenos.

Modelos abstratos básicos de corpos reais:

ponto material – tem massa, mas não tem tamanho;

corpo absolutamente rígido – um volume de dimensões finitas, completamente preenchido com uma substância, e as distâncias entre quaisquer dois pontos do meio que preenche o volume não mudam durante o movimento;

meio deformável contínuo – preenche um volume finito ou espaço ilimitado; as distâncias entre pontos em tal meio podem variar.

Destes, sistemas:

Sistema de pontos materiais gratuitos;

Sistemas conectados;

Um corpo absolutamente sólido com uma cavidade cheia de líquido, etc.

"Degenerar" modelos:

Varetas infinitamente finas;

Placas infinitamente finas;

Hastes e fios sem peso conectando pontos materiais, etc.

Pela experiência: os fenômenos mecânicos ocorrem de maneira diferente em diferentes locais do sistema de referência físico. Esta propriedade é a heterogeneidade do espaço, determinada pelo sistema de referência física. Aqui, heterogeneidade é entendida como a dependência da natureza da ocorrência de um fenômeno do local onde o observamos.

Outra propriedade é a anisotropia (não isotropia), o movimento de um corpo em relação a um sistema de referência físico pode ser diferente dependendo da direção. Exemplos: fluxo do rio ao longo do meridiano (de norte a sul - Volga); vôo de projétil, pêndulo de Foucault.

As propriedades do sistema de referência (não homogeneidade e anisotropia) dificultam a observação do movimento de um corpo.

Praticamente livre disso - geocêntrico sistema: o centro do sistema está no centro da Terra e o sistema não gira em relação às estrelas “fixas”). O sistema geocêntrico é conveniente para calcular movimentos na Terra.

Para mecânica celeste(para corpos do sistema solar): referencial heliocêntrico, que se move com o centro de massa sistema solar e não gira em relação às estrelas “fixas”. Para este sistema ainda não descoberto heterogeneidade e anisotropia do espaço

em relação aos fenômenos mecânicos.

Então, o resumo é introduzido inercial quadro de referência para o qual o espaço é homogêneo e isotrópico em relação aos fenômenos mecânicos.

Quadro de referência inercial- aquele cujo próprio movimento não pode ser detectado por nenhum experimento mecânico. Experimento mental: “um ponto sozinho no mundo inteiro” (isolado) está em repouso ou se movendo em linha reta e uniformemente.

Todos os sistemas de referência que se movem em relação ao original de forma retilínea e uniforme serão inerciais. Isto permite a introdução de um sistema de coordenadas cartesianas unificado. Tal espaço é chamado Euclidiano.

Acordo convencional - pegue o sistema de coordenadas correto (Fig. 1).

EM tempo– na mecânica clássica (não relativística) absolutamente, o mesmo para todos os sistemas de referência, ou seja, o momento inicial é arbitrário. Em contraste com a mecânica relativística, onde o princípio da relatividade é aplicado.

O estado de movimento do sistema no tempo t é determinado pelas coordenadas e velocidades dos pontos neste momento.

Corpos reais interagem e surgem forças que alteram o estado de movimento do sistema. Esta é a essência da mecânica teórica.

Como a mecânica teórica é estudada?

A doutrina do equilíbrio de um conjunto de corpos de um determinado referencial - seção estática.

Capítulo cinemática: parte da mecânica em que são estudadas as dependências entre quantidades que caracterizam o estado de movimento dos sistemas, mas não são consideradas as razões que causam uma mudança no estado de movimento.

Depois disso, consideraremos a influência das forças [PARTE PRINCIPAL].

Capítulo dinâmica: parte da mecânica que trata da influência das forças no estado de movimento de sistemas de objetos materiais.

Princípios para construção do prato principal - dinâmica:

1) baseado em um sistema de axiomas (baseado na experiência, observações);

Constantemente - controle implacável da prática. Sinal da ciência exata – presença de lógica interna (sem ela - um conjunto de receitas não relacionadas)!

Estáticoé chamada aquela parte da mecânica onde são estudadas as condições que as forças que atuam sobre um sistema de pontos materiais devem satisfazer para que o sistema esteja em equilíbrio, e as condições para a equivalência de sistemas de forças.

Problemas de equilíbrio em estática elementar serão considerados utilizando métodos exclusivamente geométricos baseados nas propriedades dos vetores. Esta abordagem é usada em estática geométrica(em contraste com a estática analítica, que não é considerada aqui).

As posições dos vários corpos materiais estarão relacionadas ao sistema de coordenadas, que consideraremos estacionário.

Modelos ideais de corpos materiais:

1) ponto material – um ponto geométrico com massa.

2) um corpo absolutamente rígido é um conjunto de pontos materiais, cujas distâncias entre os quais não podem ser alteradas por nenhuma ação.

Por forças nós ligaremos razões objetivas, que são o resultado da interação de objetos materiais, capazes de provocar o movimento dos corpos a partir do estado de repouso ou alterar o movimento existente destes últimos.

Como a força é determinada pelo movimento que provoca, ela também tem um caráter relativo, dependendo da escolha do sistema de referência.

A questão da natureza das forças é considerada em física.

Um sistema de pontos materiais está em equilíbrio se, estando em repouso, não recebe nenhum movimento das forças que atuam sobre ele.

Da experiência cotidiana: as forças têm natureza vetorial, ou seja, magnitude, direção, linha de ação, ponto de aplicação. A condição de equilíbrio das forças que atuam sobre um corpo rígido é reduzida às propriedades dos sistemas vetoriais.

Resumindo a experiência de estudo das leis físicas da natureza, Galileu e Newton formularam as leis básicas da mecânica, que podem ser consideradas como axiomas da mecânica, uma vez que possuem são baseados em fatos experimentais.

Axioma 1. A ação de diversas forças sobre um ponto de um corpo rígido equivale à ação de uma força resultante construído de acordo com a regra de adição de vetores (Fig. 2).

Consequência. As forças aplicadas a um ponto de um corpo rígido somam-se de acordo com a regra do paralelogramo.

Axioma 2. Duas forças aplicadas a um corpo rígido mutuamente equilibrado se e somente se eles forem iguais em tamanho, direcionados em direções opostas e estiverem na mesma linha reta.

Axioma 3. A ação de um sistema de forças sobre um corpo rígido não mudará se adicionar a este sistema ou descartar dele duas forças de igual magnitude, dirigidas em direções opostas e situadas na mesma linha reta.

Consequência. A força que atua em um ponto de um corpo rígido pode ser transferida ao longo da linha de ação da força sem alterar o equilíbrio (ou seja, a força é um vetor deslizante, Fig. 3)

1) Ativos - criam ou são capazes de criar o movimento de um corpo rígido. Por exemplo, força peso.

2) Passivo - não cria movimento, mas limita o movimento de um corpo sólido, impedindo o movimento. Por exemplo, a força de tensão de um fio inextensível (Fig. 4).

Axioma 4. A ação de um corpo sobre um segundo é igual e oposta à ação deste segundo corpo sobre o primeiro ( ação é igual a reação).

Chamaremos as condições geométricas que limitam o movimento dos pontos conexões.

Termos de comunicação: por exemplo,

- haste de comprimento indireto l.

- fio flexível e não extensível de comprimento l.

As forças causadas pelas conexões e impedindo o movimento são chamadas forças de reações.

Axioma 5. As ligações impostas a um sistema de pontos materiais podem ser substituídas por forças de reação, cuja ação é equivalente à ação das ligações.

Quando as forças passivas não conseguem equilibrar a ação das forças ativas, o movimento começa.

Dois problemas particulares de estática

1. Sistema de forças convergentes atuando em um corpo rígido

Um sistema de forças convergentes Isso é chamado de sistema de forças cujas linhas de ação se cruzam em um ponto, que sempre pode ser tomado como origem das coordenadas (Fig. 5).

Projeções da resultante:

;

;

.

Se , então a força causa o movimento do corpo rígido.

Condição de equilíbrio para um sistema convergente de forças:

2. Equilíbrio de três forças

Se três forças atuam sobre um corpo rígido, e as linhas de ação das duas forças se cruzam em algum ponto A, o equilíbrio é possível se e somente se a linha de ação da terceira força também passa pelo ponto A, e a própria força é igual em magnitude e oposta em direção à soma (Fig. 6).

Exemplos:

Momento de força em relação ao ponto O vamos defini-lo como um vetor, no tamanho igual ao dobro da área de um triângulo cuja base é o vetor de força com vértice em um determinado ponto O; direção– ortogonal ao plano do triângulo em questão na direção a partir da qual é visível a rotação produzida pela força em torno do ponto O sentido anti-horário.é o momento do vetor deslizante e é vetor livre(Fig.9).

Então: ou

,

Onde ;;.

Onde F é o módulo de força, h é o ombro (a distância do ponto à direção da força).

Momento de força em torno do eixoé o valor algébrico da projeção neste eixo do vetor do momento de força em relação a um ponto arbitrário O tomado no eixo (Fig. 10).

Este é um escalar independente da escolha do ponto. Na verdade, vamos expandir :|| e no avião.

Sobre momentos: seja O 1 o ponto de intersecção com o plano. Então:

a) de - momento => projeção = 0.

b) de - momento junto => é uma projeção.

Então, momento em torno de um eixo é o momento da componente da força em um plano perpendicular ao eixo em relação ao ponto de intersecção do plano e do eixo.

Teorema de Varignon para um sistema de forças convergentes:

Momento da força resultante para um sistema de forças convergentes em relação a um ponto arbitrário A é igual à soma dos momentos de todas as forças componentes em relação ao mesmo ponto A (Fig. 11).

Prova na teoria dos vetores convergentes.

Explicação: adição de forças de acordo com a regra do paralelogramo => a força resultante dá um momento total.

Perguntas de controle:

1. Cite os principais modelos de corpos reais na mecânica teórica.

2. Formule os axiomas da estática.

3. Como é chamado o momento de força em relação a um ponto?

Aula 2. Condições de equilíbrio para um sistema arbitrário de forças

Dos axiomas básicos da estática, seguem-se as operações elementares sobre forças:

1) a força pode ser transferida ao longo da linha de ação;

2) forças cujas linhas de ação se cruzam podem ser somadas de acordo com a regra do paralelogramo (de acordo com a regra de adição de vetores);

3) ao sistema de forças que atuam sobre um corpo rígido, você sempre pode adicionar duas forças, de igual magnitude, situadas na mesma linha reta e direcionadas em direções opostas.

As operações elementares não alteram o estado mecânico do sistema.

Vamos chamar dois sistemas de forças equivalente, se um do outro pode ser obtido usando operações elementares (como na teoria dos vetores deslizantes).

Um sistema de duas forças paralelas, iguais em módulo e direcionadas em direções opostas, é chamado algumas forças(Fig. 12).

Momento de algumas forças- um vetor de tamanho igual à área do paralelogramo construído sobre os vetores do par e direcionado ortogonalmente ao plano do par na direção de onde a rotação transmitida pelos vetores do par ocorre no sentido anti-horário .

, isto é, o momento da força em relação ao ponto B.

Um par de forças é completamente caracterizado pelo seu momento.

Um par de forças pode ser transferido por operações elementares para qualquer plano paralelo ao plano do par; mude a magnitude das forças do par em proporção inversa aos ombros do par.

Pares de forças podem ser somados, e os momentos dos pares de forças são somados de acordo com a regra de adição de vetores (livres).

Trazendo um sistema de forças agindo sobre um corpo rígido para um ponto arbitrário (centro de redução)- significa substituir o sistema atual por um mais simples: um sistema de três forças, uma das quais passa por um ponto pré-determinado e as outras duas representam um par.

Pode ser comprovado por meio de operações elementares (Fig. 13).

Um sistema de forças convergentes e um sistema de pares de forças.

- força resultante.

Par resultante.

Era isso que precisava ser mostrado.

Dois sistemas de forças vai equivalente se e somente se ambos os sistemas forem reduzidos a uma força resultante e um par resultante, isto é, quando as condições forem atendidas:

Caso geral de equilíbrio de um sistema de forças agindo sobre um corpo rígido

Vamos reduzir o sistema de forças para (Fig. 14):

Força resultante através da origem;

O par resultante, além disso, através do ponto O.

Ou seja, eles levaram a e - duas forças, uma das quais passa por um determinado ponto O.

Equilíbrio, se os dois na mesma linha reta são iguais e de direção oposta (axioma 2).

Então ele passa pelo ponto O, claro.

Então, condições gerais para o equilíbrio de um corpo sólido:

Estas condições são válidas para um ponto arbitrário no espaço.

Perguntas de controle:

1. Liste as operações elementares sobre forças.

2. Quais sistemas de forças são chamados de equivalentes?

3. Escreva as condições gerais de equilíbrio de um corpo rígido.

Aula 3. Equações de equilíbrio para um corpo rígido

Seja O a origem das coordenadas; – força resultante; – momento do par resultante. Seja o ponto O1 o novo centro de redução (Fig. 15).

Novo sistema de energia:

Quando o ponto de redução muda, => só muda (em uma direção com um sinal, na outra direção com outro). Ou seja, o ponto: as linhas combinam

Analiticamente: (colinearidade de vetores)

; coordenadas do ponto O1.

Esta é a equação de uma reta, para todos os pontos cuja direção do vetor resultante coincide com a direção do momento do par resultante - a reta é chamada dínamo.

Se o dinamismo => no eixo, então o sistema é equivalente a uma força resultante, que é chamada força resultante do sistema. Ao mesmo tempo, sempre, claro.

Quatro casos de trazer forças:

1.) ;- dinamismo.

2.) ;- resultante.

3.) ;- par.

4.) ;- equilíbrio.

Duas equações de equilíbrio vetorial: o vetor principal e o momento principal são iguais a zero.

Ou seis equações escalares em projeções em eixos de coordenadas cartesianas:

Aqui:

A complexidade do tipo de equações depende da escolha do ponto de redução => habilidade do calculador.

Encontrando as condições de equilíbrio para um sistema de corpos sólidos em interação<=>o problema do equilíbrio de cada corpo separadamente, e o corpo é influenciado por forças externas e forças internas (a interação de corpos em pontos de contato com forças iguais e dirigidas de forma oposta - axioma IV, Fig. 17).

Vamos escolher para todos os corpos do sistema um centro de adução. Então, para cada corpo com o número de condição de equilíbrio:

, , (= 1, 2,…, k)

onde , é a força e o momento resultantes do par resultante de todas as forças, exceto reações internas.

A força e o momento resultantes do par resultante de forças de reações internas.

Resumindo formalmente e levando em consideração o axioma IV

Nós temos condições necessárias para o equilíbrio de um corpo sólido:

,

Exemplo.

Equilíbrio: = ?

Perguntas de controle:

1. Cite todos os casos de redução de um sistema de forças a um ponto.

2. O que é dinamismo?

3. Formule as condições necessárias para o equilíbrio de um sistema de corpos sólidos.

Aula 4. Sistema de força plana

Um caso especial de entrega geral do problema.

Deixe todas as forças atuantes estarem no mesmo plano - por exemplo, uma folha. Escolhamos o ponto O como centro de redução - no mesmo plano. Obtemos a força resultante e o vapor resultante no mesmo plano, ou seja (Fig. 19)

Comente.

O sistema pode ser reduzido a uma força resultante.

Condições de equilíbrio:

ou escalar:

Muito comum em aplicações como resistência de materiais.

Exemplo.

Com o atrito da bola no tabuleiro e no avião. Condição de equilíbrio: = ?

O problema do equilíbrio de um corpo rígido não livre.

Um corpo rígido cujo movimento é restringido por ligações é chamado de não-livre. Por exemplo, outros corpos, fixações articuladas.

Ao determinar as condições de equilíbrio: um corpo não livre pode ser considerado livre, substituindo ligações por forças de reação desconhecidas.

Exemplo.

Perguntas de controle:

1. O que é chamado de sistema plano de forças?

2. Escreva as condições de equilíbrio para um sistema plano de forças.

3. Qual corpo sólido é chamado de não livre?

Aula 5. Casos especiais de equilíbrio de corpo rígido

Teorema. Três forças equilibram um corpo rígido somente se todas estiverem no mesmo plano.

Prova.

Escolhamos um ponto na linha de ação da terceira força como ponto de redução. Então (Fig. 22)

Ou seja, os planos S1 e S2 coincidem, e para qualquer ponto do eixo de força, etc. (Mais simples: no avião apenas lá para equilíbrio).

Como parte de qualquer curso educacional, o estudo da física começa com a mecânica. Não da teoria, nem da aplicada ou computacional, mas da boa e velha mecânica clássica. Essa mecânica também é chamada de mecânica newtoniana. Segundo a lenda, um cientista estava passeando no jardim e viu uma maçã caindo, e foi esse fenômeno que o levou a descobrir a lei da gravitação universal. É claro que a lei sempre existiu e Newton apenas lhe deu uma forma compreensível para as pessoas, mas seu mérito não tem preço. Neste artigo não descreveremos as leis da mecânica newtoniana com o máximo de detalhes possível, mas descreveremos o básico, conhecimento básico, definições e fórmulas que sempre podem fazer o seu favor.

A mecânica é um ramo da física, uma ciência que estuda o movimento dos corpos materiais e as interações entre eles.

A palavra em si tem Origem grega e se traduz como “a arte de construir máquinas”. Mas antes de construirmos máquinas, ainda somos como a Lua, por isso vamos seguir os passos dos nossos antepassados ​​e estudar o movimento das pedras atiradas num ângulo em relação ao horizonte e das maçãs que caem sobre as nossas cabeças de uma altura h.

Por que o estudo da física começa com a mecânica? Porque isto é completamente natural, não deveríamos começar pelo equilíbrio termodinâmico?!

A mecânica é uma das ciências mais antigas e, historicamente, o estudo da física começou justamente com os fundamentos da mecânica. Colocadas no quadro do tempo e do espaço, as pessoas, de facto, não podiam começar por outra coisa, por mais que quisessem. Corpos em movimento são a primeira coisa a que prestamos atenção.

O que é movimento?

O movimento mecânico é uma mudança na posição dos corpos no espaço em relação uns aos outros ao longo do tempo.

É depois desta definição que chegamos naturalmente ao conceito de quadro de referência. Mudança na posição dos corpos no espaço em relação uns aos outros. Palavras-chave Aqui: em relação um ao outro . Afinal, um passageiro de um carro se move em relação a uma pessoa que está na beira da estrada a uma certa velocidade, e está em repouso em relação ao seu vizinho no assento próximo a ele, e se move em alguma outra velocidade em relação ao passageiro no carro que os está ultrapassando.

É por isso que, para medir normalmente os parâmetros de objetos em movimento e não nos confundir, precisamos sistema de referência - corpo de referência, sistema de coordenadas e relógio rigidamente interligados. Por exemplo, a Terra se move ao redor do Sol em um referencial heliocêntrico. Na vida quotidiana, realizamos quase todas as nossas medições num sistema de referência geocêntrico associado à Terra. A terra é um corpo de referência em relação ao qual se movem carros, aviões, pessoas e animais.

A mecânica, como ciência, tem sua tarefa. A tarefa da mecânica é conhecer a posição de um corpo no espaço a qualquer momento. Em outras palavras, a mecânica constrói uma descrição matemática do movimento e encontra conexões entre as grandezas físicas que o caracterizam.

Para avançarmos mais, precisamos do conceito “ ponto material " Dizem que a física é uma ciência exata, mas os físicos sabem quantas aproximações e suposições precisam ser feitas para chegar a um acordo sobre essa precisão. Ninguém jamais viu um ponto material ou cheirou um gás ideal, mas eles existem! Eles são simplesmente muito mais fáceis de conviver.

Um ponto material é um corpo cujo tamanho e forma podem ser desprezados no contexto deste problema.

Seções de mecânica clássica

A mecânica consiste em várias seções

• Cinemática
• Dinâmica
• Estática

Cinemática do ponto de vista físico, estuda exatamente como um corpo se move. Em outras palavras, esta seção trata das características quantitativas do movimento. Encontre velocidade, caminho - problemas típicos de cinemática

Dinâmica resolve a questão de por que ele se move dessa maneira. Ou seja, considera as forças que atuam no corpo.

Estática estuda o equilíbrio dos corpos sob a influência de forças, ou seja, responde à pergunta: por que não cai?

Limites de aplicabilidade da mecânica clássica.

A mecânica clássica já não pretende ser uma ciência que explica tudo (no início do século passado tudo era completamente diferente), e tem um quadro claro de aplicabilidade. Em geral, as leis da mecânica clássica são válidas no mundo ao qual estamos acostumados em tamanho (macromundo). Eles param de funcionar no caso do mundo das partículas, quando a mecânica quântica substitui a mecânica clássica. Além disso, a mecânica clássica não é aplicável aos casos em que o movimento dos corpos ocorre a uma velocidade próxima à velocidade da luz. Nesses casos, os efeitos relativísticos tornam-se pronunciados. Grosso modo, no quadro da mecânica quântica e relativística - mecânica clássica, este é um caso especial quando as dimensões do corpo são grandes e a velocidade é pequena. Você pode aprender mais sobre isso em nosso artigo.

De modo geral, os efeitos quânticos e relativísticos nunca desaparecem; eles também ocorrem durante o movimento normal de corpos macroscópicos a uma velocidade muito inferior à velocidade da luz. Outra coisa é que o efeito desses efeitos é tão pequeno que não vai além das medições mais precisas. A mecânica clássica nunca perderá assim a sua importância fundamental.

Continuaremos a estudar os fundamentos físicos da mecânica em artigos futuros. Para uma melhor compreensão da mecânica, você sempre pode recorrer a eles, que irão individualmente esclarecer o ponto escuro da tarefa mais difícil.

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Curso de palestras sobre Dinâmica da Mecânica Teórica (Parte I) Bondarenko A.N. Moscou - 2007 O curso de formação eletrônica foi elaborado com base em palestras ministradas pelo autor para alunos das especialidades SZhD, PGS e SDM no NIIZhT e MIIT (1974-2006). Material educacional corresponde planos de calendário durante três semestres. Para implementar totalmente os efeitos de animação durante uma apresentação, você deve usar um visualizador de Power Point não inferior ao incorporado Microsoft Office sistema operacional Windows-XP Professional. Comentários e sugestões podem ser enviados por e-mail: [e-mail protegido]. Moscou Universidade Estadual Ferrovias (MIIT) Departamento de Mecânica Teórica Centro Científico e Técnico de Tecnologias de Transporte

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Conteúdo Aula 1. Introdução à dinâmica. Leis e axiomas da dinâmica de um ponto material. Equação básica da dinâmica. Equações diferenciais e naturais do movimento. Dois problemas principais de dinâmica. Exemplos de resolução de um problema direto de dinâmica Aula 2. Solução de um problema inverso de dinâmica. Instruções gerais para resolver o problema inverso da dinâmica. Exemplos de resolução do problema inverso da dinâmica. O movimento de um corpo lançado em ângulo com a horizontal, sem levar em conta a resistência do ar. Aula 3. Oscilações retilíneas de um ponto material. Condição para a ocorrência de oscilações. Classificação de vibrações. Vibrações livres sem levar em conta as forças de resistência. Oscilações amortecidas. Decremento de oscilações. Aula 4. Oscilações forçadas de um ponto material. Ressonância. A influência da resistência ao movimento durante vibrações forçadas. Aula 5. Movimento relativo de um ponto material. Forças de inércia. Casos especiais de movimento para vários tipos de movimento portátil. A influência da rotação da Terra no equilíbrio e movimento dos corpos. Aula 6. Dinâmica de um sistema mecânico. Sistema mecânico. Forças externas e internas. Centro de massa do sistema. Teorema sobre o movimento do centro de massa. Leis de conservação. Um exemplo de resolução de um problema usando o teorema do movimento do centro de massa. Aula 7. Impulso de força. Quantidade de movimento. Teorema sobre a mudança de momento. Leis de conservação. Teorema de Euler. Um exemplo de resolução de um problema usando o teorema da mudança de momento. Momento. Teorema da mudança no momento angular Aula 8. Leis de conservação. Elementos da teoria dos momentos de inércia. Momento cinético de um corpo rígido. Equação diferencial para a rotação de um corpo rígido. Um exemplo de resolução de um problema usando o teorema da mudança no momento angular de um sistema. Teoria elementar do giroscópio. Leitura recomendada 1. Yablonsky A.A. Curso de mecânica teórica. Parte 2. M.: Ensino superior. 1977 368 pág. 2. Meshchersky I.V. Coleção de problemas de mecânica teórica. M.: Ciência. 1986 416 pág. 3. Coleção de trabalhos para trabalhos de conclusão de curso / Ed. A.A. Yablonsky. M.: Ensino superior. 1985 366 pág. 4. Bondarenko A.N. “Mecânica teórica em exemplos e problemas. Dinâmica” (manual eletrônico www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

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Aula 1 Dinâmica é uma seção da mecânica teórica que estuda o movimento mecânico do ponto de vista mais geral. O movimento é considerado em conexão com as forças que atuam sobre um objeto. A seção consiste em três seções: Dinâmica de um ponto material Dinâmica de um sistema mecânico Mecânica analítica ■ Dinâmica de um ponto – estuda o movimento de um ponto material, levando em consideração as forças que causam esse movimento. O objeto principal é um ponto material - um corpo material com massa, cujas dimensões podem ser desprezadas. Suposições básicas: – existe espaço absoluto (tem propriedades puramente geométricas que não dependem da matéria e do seu movimento. – existe tempo absoluto (independente da matéria e do seu movimento). Segue-se disto: – existe um quadro de referência. – o tempo não depende do movimento do sistema de referência. – as massas dos pontos móveis não dependem do movimento do referencial. Essas suposições são usadas na mecânica clássica, criada por Galileu e Newton. Ela ainda tem um valor bastante ampla gama de aplicação, uma vez que os sistemas mecânicos considerados nas ciências aplicadas não possuem massas e velocidades de movimento tão grandes, para as quais é necessário levar em conta sua influência na geometria do espaço, do tempo, do movimento, como é feito na relativística mecânica (teoria da relatividade).■ Leis básicas da dinâmica - descobertas pela primeira vez por Galileu e formuladas por Newton formam a base de todos os métodos para descrever e analisar o movimento de sistemas mecânicos e sua interação dinâmica sob a influência de várias forças. ■ Lei da inércia (lei de Galileu-Newton) – Um ponto material isolado, um corpo, mantém o seu estado de repouso ou movimento linear uniforme até que forças aplicadas o obriguem a alterar este estado. Isto implica a equivalência do estado de repouso e movimento por inércia (lei da relatividade de Galileu). O sistema de referência em relação ao qual a lei da inércia se aplica é chamado inercial. A propriedade de um ponto material de se esforçar para manter constante a velocidade de seu movimento (seu estado cinemático) é chamada de inércia. ■ Lei da proporcionalidade da força e da aceleração (Equação básica da dinâmica - lei II de Newton) – A aceleração transmitida a um ponto material por uma força é diretamente proporcional à força e inversamente proporcional à massa deste ponto: ou Aqui m é o massa do ponto (uma medida de inércia), medida em kg, peso numericamente igual dividido pela aceleração da gravidade: F é a força atuante, medida em N (1 N confere uma aceleração de 1 m/s2 a um ponto pesando 1kg, 1N = 1/9. 81 kg-s). ■ Dinâmica de um sistema mecânico - estuda o movimento de um conjunto de pontos materiais e corpos rígidos combinados leis gerais interação, levando em consideração as forças que causam esse movimento. ■ Mecânica analítica – estuda o movimento de sistemas mecânicos restritos utilizando métodos analíticos gerais. 1

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Aula 1 (continuação – 1.2) Equações diferenciais de movimento de um ponto material: - equação diferencial de movimento de um ponto em forma vetorial. - equações diferenciais de movimento de um ponto em forma de coordenadas. Este resultado pode ser obtido projetando formalmente a equação diferencial vetorial (1). Após o agrupamento, a relação vetorial se divide em três equações escalares: Na forma de coordenadas: Usamos a conexão entre o vetor raio com coordenadas e o vetor força com projeções: ou: Substituímos a aceleração de um ponto por um movimento vetorial especificado no equação básica de dinâmica: As equações naturais de movimento de um ponto material são obtidas projetando a equação diferencial vetorial de movimento em eixos de coordenadas naturais (móveis): ou: - equações naturais de movimento de um ponto. ■ Equação básica da dinâmica: - corresponde ao método vetorial de especificação do movimento de um ponto. ■ Lei da independência da ação das forças - A aceleração de um ponto material sob a ação de várias forças é igual à soma geométrica das acelerações do ponto pela ação de cada uma das forças separadamente: ou A lei é válida para qualquer estado cinemático dos corpos. Forças de interação, sendo aplicadas a pontos diferentes(corpos) não estão equilibrados. ■ Lei da igualdade de ação e reação (lei III de Newton) – Cada ação corresponde a uma reação de igual magnitude e direção oposta: 2

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Dois problemas principais de dinâmica: 1. Problema direto: O movimento é dado (equações de movimento, trajetória). É necessário determinar as forças sob a influência das quais ocorre um determinado movimento. 2. Problema inverso: São dadas as forças sob a influência das quais ocorre o movimento. É necessário encontrar os parâmetros do movimento (equações do movimento, trajetória do movimento). Ambos os problemas são resolvidos usando a equação básica da dinâmica e sua projeção nos eixos coordenados. Se for considerado o movimento de um ponto não livre, então, como na estática, é utilizado o princípio da liberação de conexões. Como resultado, as reações das ligações estão incluídas nas forças que atuam no ponto material. A solução para o primeiro problema está relacionada às operações de diferenciação. Resolver o problema inverso requer a integração das equações diferenciais correspondentes e isso é muito mais difícil do que a diferenciação. O problema inverso é mais difícil que o problema direto. Vejamos a solução do problema direto de dinâmica usando exemplos: Exemplo 1. Uma cabine de elevador pesando G é levantada por um cabo com aceleração a. Determine a tensão do cabo. 1. Selecione um objeto (a cabine do elevador se move translacionalmente e pode ser considerada um ponto material). 2. Descartamos a conexão (cabo) e substituímos pela reação R. 3. Compomos a equação básica da dinâmica: Determine a reação do cabo: Determine a tensão do cabo: Com movimento uniforme da cabine, ay = 0 e a tensão do cabo é igual ao peso: T = G. Se o cabo quebrar, T = 0 e a aceleração da cabine é igual à aceleração da gravidade: ay = -g. 3 4. Projetamos a equação básica da dinâmica no eixo y: y Exemplo 2. Um ponto com massa m se move ao longo de uma superfície horizontal (plano Oxy) de acordo com as equações: x = a coskt, y = b coskt. Determine a força que atua no ponto. 1. Selecione um objeto (ponto material). 2. Descartamos a conexão (plano) e a substituímos pela reação N. 3. Adicionamos uma força desconhecida F ao sistema de forças 4. Compomos a equação básica da dinâmica: 5. Projetamos a equação básica da dinâmica em os eixos x, y: Determinamos as projeções da força: Módulo de força: Cossenos de direção: Assim, a magnitude da força é proporcional à distância do ponto ao centro das coordenadas e é direcionada para o centro ao longo da linha que conecta o ponto para o centro. A trajetória de um ponto é uma elipse com centro na origem: Ou Aula 1 (continuação – 1.3)

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Aula 1 (continuação 1.4) Exemplo 3: Uma carga de peso G está suspensa em um cabo de comprimento le se move ao longo de uma trajetória circular em um plano horizontal com uma certa velocidade. O ângulo de desvio do cabo em relação à vertical é igual. Determine a tensão no cabo e a velocidade da carga. 1. Selecione um objeto (carga). 2. Descartamos a conexão (cabo) e substituímos pela reação R. 3. Compomos a equação básica da dinâmica: A partir da terceira equação determinamos a reação do cabo: Determinamos a tensão do cabo: Substituímos o valor da reação do cabo, a aceleração normal na segunda equação e determinamos a velocidade da carga: 4. Projetamos a dinâmica da equação principal no eixo,n,b: Exemplo 4: Um carro com peso G se move em uma trajetória convexa ponte (raio de curvatura igual a R) com velocidade V. Determine a pressão do carro na ponte. 1. Selecione um objeto (carro, despreze as dimensões e considere-o como um ponto). 2. Descartamos a conexão (superfície rugosa) e a substituímos pelas reações N e pela força de atrito Ftr. 3. Compomos a equação básica da dinâmica: 4. Projetamos a equação básica da dinâmica no eixo n: A partir daqui determinamos a reação normal: Determinamos a pressão do carro na ponte: A partir daqui podemos determinar a velocidade correspondente à pressão zero na ponte (Q = 0): 4

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Aula 2 Após substituir os valores encontrados das constantes, obtemos: Assim, sob a influência do mesmo sistema de forças, um ponto material pode realizar toda uma classe de movimentos determinados pelas condições iniciais. As coordenadas iniciais levam em consideração a posição inicial do ponto. A velocidade inicial especificada pelas projeções leva em consideração a influência em seu movimento ao longo do trecho considerado da trajetória das forças que atuam no ponto antes de chegar a este trecho, ou seja, estado cinemático inicial. Solução do problema inverso da dinâmica - No caso geral de movimento de um ponto, as forças que atuam sobre o ponto são variáveis ​​​​dependendo do tempo, das coordenadas e da velocidade. O movimento de um ponto é descrito por um sistema de três equações diferenciais de segunda ordem: Depois de integrar cada uma delas, haverá seis constantes C1, C2,…., C6: Os valores das constantes C1, C2,…. , C6 são encontrados a partir de seis condições iniciais em t = 0: Exemplo 1 solução do problema inverso: Um ponto material livre de massa m se move sob a ação de uma força F, constante em módulo e magnitude. . No momento inicial, a velocidade do ponto era v0 e coincidia na direção com a força. Determine a equação de movimento de um ponto. 1. Compomos a equação básica da dinâmica: 3. Reduzimos a ordem da derivada: 2. Escolhemos um referencial cartesiano, direcionando o eixo x ao longo da direção da força e projetamos a equação básica da dinâmica neste eixo : ou x y z 4. Separamos as variáveis: 5. Calculamos as integrais de ambos os lados da equação: 6. Imaginemos a projeção da velocidade como a derivada da coordenada em relação ao tempo: 8. Calculamos as integrais de ambos lados da equação: 7. Separamos as variáveis: 9. Para determinar os valores das constantes C1 e C2, usamos as condições iniciais t = 0, vx = v0, x = x0: Como resultado, obtemos a equação do movimento uniformemente alternado (ao longo do eixo x): 5

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Instruções gerais para resolução de problemas diretos e inversos. Procedimento de solução: 1. Elaboração de uma equação diferencial de movimento: 1.1. Escolha um sistema de coordenadas - retangular (fixo) para uma trajetória desconhecida, natural (móvel) para uma trajetória conhecida, por exemplo, um círculo ou uma linha reta. Neste último caso, você pode usar uma coordenada retilínea. O ponto de referência deve estar alinhado com a posição inicial do ponto (em t = 0) ou com a posição de equilíbrio do ponto, se existir, por exemplo, quando o ponto oscila. 6 1.2. Desenhe um ponto em uma posição correspondente a um momento arbitrário no tempo (em t > 0) para que as coordenadas sejam positivas (s > 0, x > 0). Ao mesmo tempo, também acreditamos que a projeção da velocidade nesta posição também é positiva. No caso de oscilações, a projeção da velocidade muda de sinal, por exemplo, ao retornar à posição de equilíbrio. Aqui deve ser assumido que no momento em consideração o ponto se afasta da posição de equilíbrio. Seguir esta recomendação é importante no futuro ao trabalhar com forças de resistência que dependem da velocidade. 1.3. Liberte o ponto material das conexões, substitua suas ações por reações, adicione forças ativas. 1.4. Escreva a lei básica da dinâmica em forma vetorial, projete-a nos eixos selecionados, expresse as forças especificadas ou reativas através das variáveis ​​tempo, coordenadas ou velocidades, se delas dependerem. 2. Resolução de equações diferenciais: 2.1. Reduza a derivada se a equação não for reduzida à forma canônica (padrão). por exemplo: ou 2.2. Variáveis ​​separadas, por exemplo: ou 2.4. Calcule as integrais indefinidas nos lados esquerdo e direito da equação, por exemplo: 2.3. Se houver três variáveis ​​na equação, faça uma alteração nas variáveis, por exemplo: e depois divida as variáveis. Comente. Em vez de calcular integrais indefinidas, você pode calcular integrais definidas com limite superior variável. Os limites inferiores representam os valores iniciais das variáveis ​​(condições iniciais), então não há necessidade de encontrar separadamente uma constante, que é automaticamente incluída na solução, por exemplo: Usando as condições iniciais, por exemplo, t = 0 , vx = vx0, determine a constante de integração: 2,5. Expresse a velocidade através da derivada da coordenada em relação ao tempo, por exemplo, e repita os parágrafos 2.2 -2.4 Nota. Se a equação for reduzida a uma forma canônica que tenha uma solução padrão, então esta solução pronta será usada. As constantes de integração ainda são encontradas nas condições iniciais. Veja, por exemplo, oscilações (Aula 4, p. 8). Aula 2 (continuação 2.2)

Diapositivo 9

Aula 2 (continuação 2.3) Exemplo 2 de resolução do problema inverso: A força depende do tempo. Uma carga de peso P começa a se mover ao longo de uma superfície horizontal lisa sob a influência de uma força F, cuja magnitude é proporcional ao tempo (F = kt). Determine a distância percorrida pela carga no tempo t. 3. Compomos a equação básica da dinâmica: 5. Reduzimos a ordem da derivada: 4. Projetamos a equação básica da dinâmica no eixo x: ou 7 6. Separamos as variáveis: 7. Calculamos as integrais de ambos os lados da equação: 9. Imaginamos a projeção da velocidade como a derivada da coordenada em relação ao tempo: 10. Calculamos as integrais de ambos os lados da equação: 9. Separamos as variáveis: 8. Determinamos o valor da constante C1 da condição inicial t = 0, vx = v0=0: Como resultado, obtemos a equação do movimento (ao longo do eixo x), que dá o valor da distância percorrida no tempo t: 1 . Selecione um sistema de referência ( Coordenadas cartesianas) para que o corpo tenha uma coordenada positiva: 2. Tomamos o objeto de movimento como um ponto material (o corpo se move translacionalmente), o liberamos da conexão (plano de referência) e o substituímos por uma reação (a reação normal de um superfície lisa): 11. Determine o valor da constante C2 a partir da condição inicial t = 0, x = x0=0: Exemplo 3 de resolução do problema inverso: A força depende da coordenada. Um ponto material de massa m é lançado para cima a partir da superfície da Terra com velocidade v0. A força da gravidade da Terra é inversamente proporcional ao quadrado da distância de um ponto ao centro de gravidade (o centro da Terra). Determine a dependência da velocidade com a distância y ao centro da Terra. 1. Escolhemos um sistema de referência (coordenadas cartesianas) para que o corpo tenha uma coordenada positiva: 2. Compomos a equação básica da dinâmica: 3. Projetamos a equação básica da dinâmica no eixo y: ou O coeficiente de proporcionalidade pode ser encontrado usando o peso de um ponto na superfície da Terra: R Portanto, o diferencial a equação tem a forma: ou 4. Baixamos a ordem da derivada: 5. Fazemos uma mudança de variável: 6. Separamos as variáveis : 7. Calculamos as integrais de ambos os lados da equação: 8. Substituímos os limites: Como resultado, obtemos uma expressão para a velocidade em função da coordenada y: Altura máxima o voo pode ser encontrado igualando a velocidade para zero: Altitude máxima de vôo quando o denominador vai para zero: A partir daqui, ao definir o raio da Terra e a aceleração da gravidade, obtemos II velocidade de escape:

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Aula 2 (continuação 2.4) Exemplo 2 de resolução do problema inverso: A força depende da velocidade. Um navio de massa m tinha velocidade v0. A resistência da água ao movimento da embarcação é proporcional à velocidade. Determine o tempo durante o qual a velocidade do navio cairá pela metade após desligar o motor, bem como a distância percorrida pelo navio até parar completamente. 8 1. Escolhemos um sistema de referência (coordenadas cartesianas) para que o corpo tenha uma coordenada positiva: 2. Tomamos o objeto de movimento como um ponto material (o navio se move translacionalmente), libertamos-o das conexões (água) e substituímos isto com uma reação (força de empuxo - a força de Arquimedes), e também a força de resistência ao movimento. 3. Adicione força ativa (gravidade). 4. Compomos a equação básica da dinâmica: 5. Projetamos a equação básica da dinâmica no eixo x: ou 6. Baixamos a ordem da derivada: 7. Separamos as variáveis: 8. Calculamos as integrais de ambos os lados da equação: 9. Substituímos os limites: Obtém-se uma expressão que relaciona velocidade e tempo t, a partir da qual é possível determinar o tempo de movimento: Tempo de movimento durante o qual a velocidade cairá pela metade: É interessante observe que à medida que a velocidade se aproxima de zero, o tempo de movimento tende ao infinito, ou seja, a velocidade final não pode ser zero. Por que não “movimento perpétuo”? No entanto, a distância percorrida até a parada é um valor finito. Para determinar a distância percorrida, recorremos à expressão obtida após diminuir a ordem da derivada e fazemos uma mudança de variável: Após integração e substituição de limites, obtemos: Distância percorrida até parar: ■ O movimento de um ponto lançado em um ângulo com o horizonte em um campo uniforme de gravidade sem levar em conta a resistência do ar Eliminando o tempo das equações de movimento, obtemos a equação da trajetória: O tempo de vôo é determinado igualando a coordenada y a zero: O alcance de vôo é determinado substituindo o tempo de voo:

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Aula 3 Oscilações retilíneas de um ponto material - O movimento oscilatório de um ponto material ocorre sob a condição: existe uma força restauradora que tende a retornar o ponto à posição de equilíbrio para qualquer desvio desta posição. 9 Existe uma força restauradora, a posição de equilíbrio é estável Não existe força restauradora, a posição de equilíbrio é instável Não existe força restauradora, a posição de equilíbrio é indiferente Existe uma força restauradora, a posição de equilíbrio é estável A análise é necessária O elástico A força de uma mola é um exemplo de força restauradora linear. Sempre direcionado para a posição de equilíbrio, o valor é diretamente proporcional ao alongamento linear (encurtamento) da mola, igual ao desvio do corpo da posição de equilíbrio: c é o coeficiente de rigidez da mola, numericamente igual à força sob a influência dos quais a mola altera seu comprimento em um, medido em N/m no sistema SI. x y O Tipos de vibrações de um ponto material: 1. Vibrações livres (sem levar em conta a resistência do meio). 2. Oscilações livres tendo em conta a resistência do meio (oscilações amortecidas). 3. Vibrações forçadas. 4. Vibrações forçadas tendo em conta a resistência do meio. ■ Vibrações livres – ocorrem apenas sob a influência da força restauradora. Vamos escrever a lei básica da dinâmica: Vamos escolher um sistema de coordenadas com o centro na posição de equilíbrio (ponto O) e projetar a equação no eixo x: Vamos trazer a equação resultante para a forma padrão (canônica): Esta equação é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, cujo tipo de solução é determinado pelas raízes da equação característica obtida por substituição universal: As raízes da equação característica são imaginárias e iguais: A solução geral da equação diferencial tem a forma: Velocidade do ponto: Condições iniciais: Vamos definir as constantes: Assim, a equação das oscilações livres tem a forma: A equação pode ser representada por uma expressão de um termo: onde a é a amplitude, é a fase inicial. As novas constantes a e - estão relacionadas às relações constantes C1 e C2: Vamos definir a e: A causa das oscilações livres é o deslocamento inicial x0 e/ou a velocidade inicial v0.

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10 Aula 3 (continuação 3.2) Oscilações amortecidas de um ponto material – O movimento oscilatório de um ponto material ocorre na presença de uma força restauradora e de uma força de resistência ao movimento. A dependência da força de resistência ao movimento no deslocamento ou velocidade é determinada pela natureza física do meio ou conexão que impede o movimento. A dependência mais simples é uma dependência linear da velocidade (resistência viscosa): - coeficiente de viscosidade x y O Equação básica da dinâmica: Projeção da equação da dinâmica no eixo: Vamos trazer a equação para a forma padrão: onde A equação característica tem raízes : A solução geral desta equação diferencial tem uma forma diferente dependendo dos valores das raízes: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k – caso de alta resistência viscosa: - as raízes são reais, diferentes. ou - estas funções são aperiódicas: 3. n = k: - as raízes são reais, múltiplas. essas funções também são aperiódicas:

Diapositivo 13

Aula 3 (continuação 3.3) Classificação de soluções de vibrações livres. Métodos para conectar molas. Dureza equivalente. aa 11 Dif. Equação de personagem. equação Raízes do caráter. equações Solução da equação diferencial Gráfico nk n=k

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Aula 4 Oscilações forçadas de um ponto material - Junto com a força restauradora, atua uma força que muda periodicamente, chamada de força perturbadora. A força perturbadora pode ser de natureza diferente. Por exemplo, em um caso particular, a ação inercial da massa desequilibrada m1 de um rotor giratório causa projeções de força harmonicamente variáveis: Equação básica da dinâmica: Projeção da equação da dinâmica no eixo: Vamos reduzir a equação à forma padrão : 12 A solução para esta equação diferencial não homogênea consiste em duas partes x = x1 + x2: x1 é a solução geral da equação homogênea correspondente e x2 é a solução particular da equação não homogênea: Selecionamos uma solução particular na forma do lado direito: A igualdade resultante deve ser satisfeita para qualquer t. Então: ou Assim, com a ação simultânea de forças restauradoras e perturbadoras, um ponto material realiza um movimento oscilatório complexo, que é o resultado da adição (superposição) de oscilações livres (x1) e forçadas (x2). Se p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (oscilações forçadas de alta frequência), então a fase das oscilações é oposta à fase da força perturbadora:

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Aula 4 (continuação 4.2) 13 Coeficiente dinâmico - a razão entre a amplitude das oscilações forçadas e a deflexão estática de um ponto sob a influência de uma força constante H = const: Amplitude das oscilações forçadas: O desvio estático pode ser encontrado na equação de equilíbrio : Aqui: Daqui: Assim, em p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >Coeficiente dinâmico k (alta frequência de oscilações forçadas): Ressonância - ocorre quando a frequência das oscilações forçadas coincide com a frequência das oscilações naturais (p = k). Isso ocorre com mais frequência ao iniciar e parar a rotação de rotores mal balanceados montados em suspensões elásticas. Equação diferencial de oscilações com frequências iguais: Uma solução particular na forma do lado direito não pode ser tomada, porque você obtém uma solução linearmente dependente (veja solução geral). Solução geral: Substitua na equação diferencial: Pegue uma solução particular na forma e calcule as derivadas: Assim, a solução é obtida: ou As oscilações forçadas durante a ressonância têm uma amplitude que aumenta indefinidamente em proporção ao tempo. A influência da resistência ao movimento durante vibrações forçadas. A equação diferencial na presença de resistência viscosa tem a forma: A solução geral é selecionada na tabela (Aula 3, página 11) dependendo da razão entre n e k (ver). Pegamos a solução parcial na forma e calculamos as derivadas: Substituí-la na equação diferencial: Equacionando os coeficientes para as mesmas funções trigonométricas, obtemos um sistema de equações: Elevando ambas as equações à potência e somando-as, obtemos o amplitude das oscilações forçadas: Ao dividir a segunda equação pela primeira obtemos a mudança de fase das oscilações forçadas: Assim, a equação do movimento para oscilações forçadas levando em consideração a resistência ao movimento, por exemplo para n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

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Aula 5 Movimento relativo de um ponto material - Suponhamos que o sistema de coordenadas móvel (não inercial) Oxyz se mova de acordo com uma certa lei em relação ao sistema de coordenadas fixo (inercial) O1x1y1z1. O movimento do ponto material M (x, y, z) em relação ao sistema móvel Oxyz é relativo, em relação ao sistema fixo O1x1y1z1 é absoluto. O movimento do sistema móvel Oxyz em relação ao sistema fixo O1x1y1z1 é um movimento portátil. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Equação básica da dinâmica: Aceleração absoluta de um ponto: Vamos substituir a aceleração absoluta de um ponto na equação básica da dinâmica: Vamos mover os termos com aceleração portátil e de Coriolis para o lado direito: Os termos transferidos têm a dimensão de forças e são considerados como as forças inerciais correspondentes, iguais: Então o movimento relativo do ponto pode ser considerado absoluto, se somarmos as forças de transferência e de inércia de Coriolis às forças atuantes: Nas projeções no eixos do sistema de coordenadas móvel temos: Casos especiais do movimento relativo do ponto para Vários tipos movimento portátil: 1. Rotação em torno de um eixo fixo: Se a rotação for uniforme, então εe = 0: 2. Movimento curvilíneo translacional: Se o movimento for retilíneo, então =: Se o movimento for retilíneo e uniforme, então o sistema móvel é o movimento inercial e relativo pode ser considerado absoluto: nenhum fenômeno mecânico pode detectar movimento retilíneo uniforme (o princípio da relatividade da mecânica clássica). A influência da rotação da Terra no equilíbrio dos corpos - Suponhamos que o corpo esteja em equilíbrio na superfície da Terra a uma latitude arbitrária φ (paralela). A Terra gira em torno de seu eixo de oeste para leste a uma velocidade angular: O raio da Terra é de cerca de 6.370 km. S R – reação total de uma superfície não lisa. G é a força de atração da Terra para o centro. F – força centrífuga de inércia. Condição de equilíbrio relativo: A resultante das forças de atração e inércia é a força da gravidade (peso): A magnitude da força da gravidade (peso) na superfície da Terra é P = mg. A força centrífuga de inércia é uma pequena fração da força da gravidade: O desvio da força da gravidade da direção da força de atração também é pequeno: Assim, a influência da rotação da Terra no equilíbrio dos corpos é extremamente pequeno e não é levado em consideração nos cálculos práticos. O valor máximo da força de inércia (em φ = 0 - no equador) é de apenas 0,00343 da força da gravidade

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Aula 5 (continuação 5.2) 15 A influência da rotação da Terra no movimento dos corpos no campo gravitacional terrestre – Suponhamos que um corpo caia na Terra de uma certa altura H acima da superfície terrestre na latitude φ. Escolhamos um sistema de referência móvel rigidamente conectado à Terra, direcionando os eixos x, y tangencialmente ao paralelo e ao meridiano: Equação do movimento relativo: A pequenez da força centrífuga de inércia em comparação com a força da gravidade é levada em consideração conta aqui. Assim, a força da gravidade é identificada com a força da gravidade. Além disso, acreditamos que a força da gravidade é direcionada perpendicularmente à superfície da Terra devido à pequena quantidade de seu desvio, conforme discutido acima. A aceleração de Coriolis é igual e direcionada paralelamente ao eixo y para oeste. A força inercial de Coriolis é direcionada na direção oposta. Vamos projetar a equação do movimento relativo no eixo: A solução da primeira equação dá: Condições iniciais: A solução da terceira equação dá: Condições iniciais: A terceira equação assume a forma: Condições iniciais: Sua solução dá: A solução resultante mostra que o corpo se desvia para leste ao cair. Vamos calcular a magnitude desse desvio, por exemplo, ao cair de uma altura de 100 m, encontraremos o tempo de queda a partir da solução da segunda equação: Assim, a influência da rotação da Terra no movimento dos corpos é extremamente pequena para alturas e velocidades práticas e não é levado em consideração nos cálculos técnicos. Da solução da segunda equação segue-se também a existência de velocidade ao longo do eixo y, que também deveria causar e causa a aceleração correspondente e a força inercial de Coriolis. A influência desta velocidade e da força inercial a ela associada na mudança de movimento será ainda menor do que a força inercial considerada de Coriolis associada à velocidade vertical.

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Aula 6 Dinâmica de um sistema mecânico. Um sistema de pontos materiais ou um sistema mecânico - Um conjunto de pontos materiais ou materiais, unidos por leis gerais de interação (a posição ou movimento de cada ponto ou corpo depende da posição e movimento de todos os outros) Um sistema de pontos livres pontos - cujo movimento não é limitado por quaisquer conexões (por exemplo, um sistema planetário, no qual os planetas são considerados pontos materiais). Um sistema de pontos não livres ou um sistema mecânico não livre - o movimento de pontos ou corpos materiais é limitado por conexões impostas ao sistema (por exemplo, um mecanismo, uma máquina, etc.). 16 Forças que atuam no sistema. Além da classificação de forças anteriormente existente (forças ativas e reativas), é introduzida uma nova classificação de forças: 1. Forças externas (e) - atuando em pontos e corpos do sistema a partir de pontos ou corpos que não fazem parte deste sistema. 2. Forças internas (i) – forças de interação entre pontos materiais ou corpos incluídos num determinado sistema. A mesma força pode ser externa e força interior. Tudo depende do tipo de sistema mecânico que está sendo considerado. Por exemplo: No sistema Sol, Terra e Lua, todas as forças gravitacionais entre eles são internas. Ao considerar o sistema Terra e Lua, as forças gravitacionais aplicadas pelo Sol são externas: C Z L Com base na lei da ação e reação, cada força interna Fk corresponde a outra força interna Fk’, igual em magnitude e oposta em direção. Disto decorrem duas propriedades notáveis ​​​​das forças internas: O vetor principal de todas as forças internas do sistema igual a zero: O momento principal de todas as forças internas do sistema em relação a qualquer centro é igual a zero: Ou nas projeções nos eixos coordenados: Nota. Embora essas equações sejam semelhantes às equações de equilíbrio, elas não são equações de equilíbrio, uma vez que forças internas são aplicadas a vários pontos ou corpos do sistema e podem causar o movimento desses pontos (corpos) entre si. Destas equações segue-se que as forças internas não afetam o movimento do sistema considerado como um todo. Centro de massa de um sistema de pontos materiais. Para descrever o movimento do sistema como um todo, é introduzido um ponto geométrico, denominado centro de massa, cujo vetor raio é determinado pela expressão, onde M é a massa de todo o sistema: Ou em projeções na coordenada eixos: As fórmulas para o centro de massa são semelhantes às fórmulas para o centro de gravidade. Porém, o conceito de centro de massa é mais geral porque não está relacionado a forças gravitacionais ou forças gravitacionais.

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Aula 6 (continuação 6.2) 17 Teorema do movimento do centro de massa de um sistema – Considere um sistema de n pontos materiais. Dividimos as forças aplicadas a cada ponto em externas e internas e as substituímos pelas resultantes correspondentes Fke e Fki. Vamos escrever a equação básica da dinâmica para cada ponto: ou Vamos somar essas equações sobre todos os pontos: No lado esquerdo da equação, insira as massas sob o sinal da derivada e substitua a soma das derivadas pela derivada da soma: Da definição do centro de massa: Substitua na equação resultante: Depois de retirar a massa do sistema do sinal da derivada, obtemos ou: O produto da massa do sistema e a aceleração de seu centro de massa é igual ao vetor principal de forças externas. Nas projeções nos eixos coordenados: O centro de massa do sistema se move como um ponto material com massa igual à massa de todo o sistema, ao qual são aplicadas todas as forças externas que atuam no sistema. Corolários do teorema sobre o movimento do centro de massa do sistema (leis de conservação): 1. Se no intervalo de tempo o vetor principal das forças externas do sistema for zero, Re = 0, então a velocidade do centro de massa é constante, vC = const (o centro de massa se move uniformemente retilíneo - a lei da conservação do movimento do centro de massa). 2. Se no intervalo de tempo a projeção do vetor principal das forças externas do sistema no eixo x for zero, Rxe = 0, então a velocidade do centro de massa ao longo do eixo x é constante, vCx = const ( o centro de massa se move uniformemente ao longo do eixo). Afirmações semelhantes são verdadeiras para os eixos y e z. Exemplo: Duas pessoas de massas m1 e m2 estão em um barco de massa m3. No momento inicial, o barco com gente estava parado. Determine o deslocamento do barco se uma pessoa de massa m2 se moveu em direção à proa do barco a uma distância a. 3. Se no intervalo de tempo o vetor principal das forças externas do sistema for zero, Re = 0, e no momento inicial a velocidade do centro de massa for zero, vC = 0, então o vetor raio do centro de massa permanece constante, rC = const (o centro de massa está em repouso – lei de conservação da posição do centro de massa). 4. Se no intervalo de tempo a projeção do vetor principal das forças externas do sistema no eixo x for zero, Rxe = 0, e no momento inicial a velocidade do centro de massa ao longo deste eixo for zero, vCx = 0, então a coordenada do centro de massa ao longo do eixo x permanece constante, xC = const (o centro de massa não se move ao longo deste eixo). Afirmações semelhantes são verdadeiras para os eixos y e z. 1. Objeto de movimento (barco com pessoas): 2. Descarte conexões (água): 3. Substitua conexão por reação: 4. Adicione forças ativas: 5. Escreva o teorema sobre o centro de massa: Projete no eixo x: O Determine a distância que você precisa percorrer para uma pessoa de massa m1, para que o barco permaneça no lugar: O barco se moverá uma distância l na direção oposta.

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Aula 7 Impulso de força é uma medida de interação mecânica que caracteriza a transmissão do movimento mecânico das forças que atuam em um ponto por um determinado período de tempo: 18 Em projeções sobre os eixos coordenados: No caso de uma força constante: Em projeções sobre os eixos coordenados: O impulso resultante é igual à soma geométrica dos impulsos aplicados ao ponto de forças no mesmo período de tempo: Multiplicar por dt: Integrar ao longo de um determinado período de tempo: O momento de um ponto é uma medida de movimento mecânico, determinado por um vetor igual ao produto da massa de um ponto e o vetor de sua velocidade: Teorema sobre a mudança no momento de um sistema - Considere um sistema com n pontos materiais. Dividimos as forças aplicadas a cada ponto em externas e internas e as substituímos pelas resultantes correspondentes Fke e Fki. Vamos escrever para cada ponto a equação básica da dinâmica: ou O momento de um sistema de pontos materiais é a soma geométrica das quantidades de movimento dos pontos materiais: Por definição do centro de massa: O vetor momento do sistema é igual ao produto da massa de todo o sistema pelo vetor velocidade do centro de massa do sistema. Então: Nas projeções nos eixos coordenados: A derivada temporal do vetor momento do sistema é igual ao vetor principal das forças externas do sistema. Vamos resumir essas equações em todos os pontos: No lado esquerdo da equação, insira as massas sob o sinal da derivada e substitua a soma das derivadas pela derivada da soma: Da definição do momento do sistema: Em projeções nos eixos coordenados:

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Teorema de Euler - Aplicação do teorema da mudança no momento de um sistema ao movimento de um meio contínuo (água). 1. Selecionamos como objeto de movimento o volume de água localizado no canal curvilíneo da turbina: 2. Descartamos as conexões e substituímos sua ação por reações (Rsur é a resultante das forças superficiais) 3. Adicionamos forças ativas ( Rob é a resultante das forças volumétricas): 4. Escrevemos o teorema sobre a mudança no momento do sistema: Apresentamos o momento da água nos tempos t0 e t1 como somas: Mudança no momento da água no intervalo de tempo: Mudança no momento da água durante um intervalo de tempo infinitesimal dt: , onde F1 F2 Tomando o produto da densidade, área da seção transversal e velocidade para a segunda massa obtemos: Substituindo o diferencial do momento do sistema no teorema da mudança, obtemos: Corolários do teorema sobre a mudança no momento do sistema (leis de conservação): 1. Se no intervalo de tempo o vetor principal das forças externas do sistema for zero, Re = 0, então a quantidade do vetor movimento é constante, Q = const – a lei da conservação do momento do sistema). 2. Se no intervalo de tempo a projeção do vetor principal das forças externas do sistema no eixo x for zero, Rxe = 0, então a projeção do momento do sistema no eixo x é constante, Qx = const . Afirmações semelhantes são verdadeiras para os eixos y e z. Aula 7 (continuação de 7.2) Exemplo: Uma granada de massa M, voando com velocidade v, explodiu em duas partes. A velocidade de um dos fragmentos de massa m1 aumentou na direção do movimento até um valor v1. Determine a velocidade do segundo fragmento. 1. Objeto de movimento (granada): 2. O objeto é um sistema livre, não há conexões e suas reações. 3. Adicione forças ativas: 4. Escreva o teorema sobre a mudança no momento: Projete no eixo: β Separe as variáveis ​​e integre: A integral direita é praticamente igual a zero, porque tempo de explosão t

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Aula 7 (continuação 7.3) 20 O momento angular de um ponto ou o momento angular de um ponto em relação a algum centro é uma medida do movimento mecânico determinado por um vetor igual ao produto vetorial do vetor raio de um ponto material e o vetor de seu momento: O momento angular de um sistema de pontos materiais em relação a algum centro é geométrico a soma do momento angular de todos os pontos materiais em relação ao mesmo centro: Em projeções no eixo: Em projeções no eixo: Teorema da mudança o momento angular do sistema – Considere um sistema de n pontos materiais. Dividimos as forças aplicadas a cada ponto em externas e internas e as substituímos pelas resultantes correspondentes Fke e Fki. Vamos escrever a equação básica da dinâmica para cada ponto: ou Vamos somar essas equações sobre todos os pontos: Vamos substituir a soma das derivadas pela derivada da soma: A expressão entre colchetes é o momento angular do sistema. Portanto: Vamos multiplicar vetorialmente cada uma das igualdades pelo vetor raio à esquerda: Vamos ver se conseguimos mover o sinal da derivada além produto vetorial: Assim, obtivemos: A derivada temporal do vetor momento angular do sistema em relação a algum centro é igual ao momento principal das forças externas do sistema em relação ao mesmo centro. Nas projeções sobre eixos coordenados: A derivada do momento do momento do sistema em relação a um determinado eixo no tempo é igual ao momento principal das forças externas do sistema em relação ao mesmo eixo.

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Aula 8 21 ■ Corolários do teorema da mudança no momento angular de um sistema (leis de conservação): 1. Se em um intervalo de tempo o vetor do momento principal das forças externas do sistema em relação a algum centro for zero, MOe = 0, então o vetor momento angular do sistema em relação à mesma constante central, KO = const – lei de conservação do momento angular do sistema). 2. Se no intervalo de tempo o momento principal das forças externas do sistema em relação ao eixo x for igual a zero, Mxe = 0, então o momento angular do sistema em relação ao eixo x é constante, Kx = const. Afirmações semelhantes são verdadeiras para os eixos y e z. 2. Momento de inércia de um corpo rígido em relação ao eixo: O momento de inércia de um ponto material em relação ao eixo é igual ao produto da massa do ponto pelo quadrado da distância do ponto ao eixo. O momento de inércia de um corpo rígido em relação ao eixo é igual à soma dos produtos da massa de cada ponto e ao quadrado da distância deste ponto ao eixo. ■ Elementos da teoria dos momentos de inércia – No movimento rotacional de um corpo rígido, a medida da inércia (resistência à mudança no movimento) é o momento de inércia relativo ao eixo de rotação. Consideremos os conceitos básicos de definição e métodos de cálculo dos momentos de inércia. 1. Momento de inércia de um ponto material em relação ao eixo: Ao passar de uma pequena massa discreta para uma massa infinitesimal de um ponto, o limite de tal soma é determinado pela integral: momento de inércia axial de um corpo rígido. Além do momento de inércia axial de um corpo sólido, existem outros tipos de momentos de inércia: o momento de inércia centrífugo de um corpo sólido. momento polar de inércia de um corpo rígido. 3. Teorema dos momentos de inércia de um corpo rígido em relação aos eixos paralelos - fórmula de transição para eixos paralelos: Momento de inércia em relação ao eixo de referência Momentos de inércia estáticos em relação aos eixos de referência Massa corporal Distância entre os eixos z1 e z2 Assim: Se o eixo z1 passa pelo centro de massa, então os momentos estáticos são zero:

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Aula 8 (continuação 8.2) 22 Momento de inércia de uma haste homogênea de seção transversal constante em relação ao eixo: x z L Selecione o volume elementar dV = Adx a uma distância x: x dx Massa elementar: Para calcular o momento de inércia relativo ao eixo central (passando pelo centro de gravidade), basta alterar a localização do eixo e definir limites de integração (-L/2, L/2). Aqui demonstramos a fórmula para a transição para eixos paralelos: zC 5. O momento de inércia de um cilindro sólido homogêneo em relação ao eixo de simetria: H dr r Vamos selecionar o volume elementar dV = 2πrdrH (cilindro fino de raio r) : Massa elementar: A fórmula para o volume do cilindro V = πR2H é usada aqui. Para calcular o momento de inércia de um cilindro oco (grosso), basta definir os limites de integração de R1 a R2 (R2>R1): 6. Momento de inércia de um cilindro fino em relação ao eixo de simetria (t

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Aula 8 (continuação 8.3) 23 ■ Equação diferencial para a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo: Vamos escrever um teorema sobre a mudança no momento cinético de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo: O momento cinético de um corpo rígido em rotação o corpo é igual a: O momento das forças externas em relação ao eixo de rotação é igual ao torque (os momentos de reação e força gravitacional não criam): Substituímos o momento cinético e o torque no teorema Exemplo: Duas pessoas com o mesmo peso G1 = G2 estão pendurados em uma corda lançada sobre um bloco sólido de peso G3 = G1/4. Em algum momento, um deles começou a subir na corda com velocidade relativa você. Determine a taxa de crescimento de cada pessoa. 1. Selecione o objeto de movimento (bloco com pessoas): 2. Descarte as conexões (dispositivo de suporte do bloco): 3. Substitua a conexão por reações (rolamento): 4. Adicione forças ativas (forças de gravidade): 5. Escreva o teorema sobre a mudança no momento cinético do sistema em relação ao eixo de rotação do bloco: R Como o momento das forças externas é zero, o momento cinético deve permanecer constante: No momento inicial de tempo t = 0 houve equilíbrio e Kz0 = 0. Após o início do movimento de uma pessoa em relação à corda, todo o sistema começou a se mover, mas o momento cinético do sistema deve permanecer igual a zero: Kz = 0. O momento cinético do sistema consiste nos momentos cinéticos das pessoas e do bloco: Aqui v2 é a velocidade da segunda pessoa, igual à velocidade do cabo. Exemplo: Determine o período de pequenas oscilações livres de uma haste homogênea de massa M e comprimento l, suspensa por uma extremidade para o eixo fixo de rotação. Ou: No caso de pequenas oscilações sinφ φ: Período de oscilação: Momento de inércia da haste:

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Aula 8 (continuação de 8.4 - material adicional) 24 ■ Teoria elementar do giroscópio: Um giroscópio é um corpo rígido girando em torno de um eixo de simetria material, um dos pontos do qual está imóvel. Giroscópio livre - fixado de forma que seu centro de massa permaneça estacionário, e o eixo de rotação passe pelo centro de massa e possa assumir qualquer posição no espaço, ou seja, o eixo de rotação muda de posição como o eixo de rotação do próprio corpo durante o movimento esférico. A principal suposição da teoria aproximada (elementar) de um giroscópio é que o vetor momento angular (momento cinético) do rotor é considerado direcionado ao longo de seu próprio eixo de rotação. Assim, apesar de no caso geral o rotor participar de três rotações, apenas a velocidade angular da sua própria rotação ω = dφ/dt é levada em consideração. A razão para isto é que em tecnologia moderna O rotor do giroscópio gira a uma velocidade angular da ordem de 5.000-8.000 rad/s (cerca de 50.000-80.000 rpm), enquanto as outras duas velocidades angulares associadas à precessão e nutação de seu próprio eixo de rotação são dezenas de milhares de vezes menores. do que esta velocidade. A principal propriedade de um giroscópio livre é que o eixo do rotor mantém uma direção constante no espaço em relação ao referencial inercial (estelar) (demonstrado pelo pêndulo de Foucault, que mantém o plano de oscilação inalterado em relação às estrelas, 1852) . Isso decorre da lei da conservação do momento cinético em relação ao centro de massa do rotor, desde que o atrito nos mancais dos eixos de suspensão do rotor, estruturas externas e internas seja desprezado: A ação da força no eixo do giroscópio livre . No caso de uma força aplicada ao eixo do rotor, o momento das forças externas em relação ao centro de massa não é igual a zero: ω ω C A derivada do momento cinético em relação ao tempo é igual à velocidade da extremidade deste vetor (teorema de Resal): Isso significa que o eixo do rotor se desviará em uma direção diferente da força de ação, e em direção ao vetor do momento desta força, ou seja, girará não em torno do eixo x (suspensão interna), mas em torno do eixo y (suspensão externa). Quando a força cessar, o eixo do rotor permanecerá na posição inalterada correspondente ao último momento da força, pois a partir deste momento, o momento das forças externas torna-se novamente igual a zero. No caso de uma força (impacto) de curta duração, o eixo do giroscópio praticamente não muda de posição. Assim, a rápida rotação do rotor confere ao giroscópio a capacidade de neutralizar influências aleatórias que tendem a alterar a posição do eixo de rotação do rotor, e com força constante mantém a posição do plano perpendicular à força atuante na qual o rotor o eixo está. Essas propriedades são utilizadas na operação de sistemas de navegação inercial.