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Se construirmos dois eixos numéricos mutuamente perpendiculares em um plano: BOI e OY, então eles serão chamados eixos de coordenadas. Eixo horizontal BOI chamado eixo x(eixo x), eixo vertical OY - eixo y(eixo y).

Ponto O, posicionado na intersecção dos eixos, é chamado origem. É o ponto zero para ambos os eixos. Os números positivos são exibidos no eixo de abcissas com pontos à direita e no eixo de ordenadas - pontos acima do ponto zero. Os números negativos são representados por pontos à esquerda e abaixo da origem (pontos O). O plano sobre o qual estão os eixos coordenados é chamado plano de coordenadas.

Os eixos coordenados dividem o plano em quatro partes chamadas quartos ou quadrantes. Costuma-se numerar esses quartos com algarismos romanos na ordem em que são numerados no desenho.

Coordenadas do ponto no plano

Se tomarmos um ponto arbitrário no plano coordenado UMA e desenhe perpendiculares a partir dele para os eixos coordenados, então as bases das perpendiculares estarão em dois números. O número apontado pela perpendicular vertical é chamado ponto de abscissa UMA. O número para o qual a perpendicular horizontal aponta é - ponto ordenado UMA.

Sobre o desenho da abcissa do ponto UMAé 3 e a ordenada é 5.

A abcissa e a ordenada são chamadas de coordenadas de um ponto dado no plano.

As coordenadas do ponto são escritas entre colchetes à direita da designação do ponto. A abcissa é escrita primeiro, seguida pela ordenada. Então grave UMA(3; 5) significa que a abcissa do ponto UMAé igual a três, e a ordenada é cinco.

As coordenadas de um ponto são números que determinam sua posição no plano.

Se o ponto está no eixo x, então sua ordenada é zero (por exemplo, o ponto B com coordenadas -2 e 0). Se o ponto está no eixo y, então sua abcissa é zero (por exemplo, o ponto C com coordenadas 0 e -4).

Origem - ponto O- tem abcissa e ordenada zero: O (0; 0).

Esse sistema de coordenadas é chamado retangular ou cartesiano.

O texto da obra é colocado sem imagens e fórmulas.
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Introdução

Na fala dos adultos, ouvia-se a seguinte frase: "Deixe-me suas coordenadas". Essa expressão significa que o interlocutor deve deixar seu endereço ou número de telefone pelo qual pode ser encontrado. Aqueles de vocês que jogaram "batalha marítima" usaram o sistema de coordenadas apropriado. Um sistema de coordenadas semelhante é usado no xadrez. Locais em auditório o cinema é dado por dois números: o primeiro número indica o número da fila e o segundo é o número do assento desta fila. A ideia de especificar a posição de um ponto em um plano usando números surgiu na antiguidade. O sistema de coordenadas permeia toda a vida prática de uma pessoa e tem uma enorme uso pratico. Por isso, decidimos criar este projeto para expandir seus conhecimentos sobre o tema "Plano coordenado"

Objetivos do projeto:

familiarizar-se com a história do surgimento de um sistema de coordenadas retangulares em um plano;

figuras eminentes que tratam deste tema;

achar interessante factos históricos;

perceber bem as coordenadas de ouvido; realizar construções com clareza e precisão;

preparar uma apresentação.

Capítulo I. Plano de coordenadas

A ideia de definir a posição de um ponto em um plano usando números originou-se na antiguidade - principalmente entre astrônomos e geógrafos ao compilar mapas estelares e geográficos, calendários.

§1. Origem das coordenadas. Sistema de coordenadas em geografia

Por 200 anos aC, o cientista grego Hiparco introduziu coordenadas geográficas. Ele se ofereceu para desenhar mapa geográfico paralelos e meridianos e indicam latitude e longitude com números. Com esses dois números, você pode determinar com precisão a posição de uma ilha, vila, montanha ou poço no deserto e plotá-los em um mapa ou globo. mundo aberto latitude e longitude da localização do navio, os marinheiros tiveram a oportunidade de escolher a direção que precisam.

A longitude leste e a latitude norte são indicadas por números com um sinal de mais, e a longitude oeste e a latitude sul são indicadas por sinais de menos. Assim, um par de números com sinais define exclusivamente um ponto no globo.

latitude geográfica? - o ângulo entre o fio de prumo em um determinado ponto e o plano do equador, contado de 0 a 90 em ambas as direções a partir do equador. Longitude geográfica? - o ângulo entre o plano do meridiano que passa pelo ponto dado e o plano do início do meridiano (ver meridiano de Greenwich). Longitudes de 0 a 180 a leste do início do meridiano são chamadas de leste, a oeste - oeste.

Para encontrar algum objeto na cidade, na maioria dos casos basta saber seu endereço. Surgem dificuldades se você precisar explicar onde, por exemplo, uma cabana de verão, um lugar na floresta está localizado. As coordenadas geográficas servem como um meio universal de especificar uma localização.

Ao entrar em uma emergência, uma pessoa deve antes de tudo ser capaz de navegar no terreno. Às vezes é necessário determinar as coordenadas geográficas da sua localização, por exemplo, para transferir para o serviço de resgate ou para outros fins.

Na navegação moderna, o sistema de coordenadas mundiais WGS-84 é usado como padrão. Todos os navegadores GPS e grandes projetos de mapeamento na Internet funcionam neste sistema de coordenadas. As coordenadas no sistema WGS-84 são tão comumente usadas e compreendidas por todos quanto tempo universal. Precisão pública ao trabalhar com coordenadas geográficasé de 5 - 10 metros no chão.

As coordenadas geográficas são números com sinal (latitude -90° a +90°, longitude -180° a +180°) e podem ser escritas em várias formas: em graus (ddd.ddddd°); graus e minutos (ddd° mm.mmm"); graus, minutos e segundos (ddd° mm" ss.s"). Os formulários de registro podem ser facilmente convertidos um no outro (1 grau = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos) Para indicar o sinal das coordenadas, muitas vezes são usadas letras, pelo nome dos pontos cardeais: N e E - latitude norte e longitude leste - números positivos, S e W - latitude sul e longitude oeste - números negativos.

A forma de escrever as coordenadas em GRAUS é a mais conveniente para entrada manual e coincide com a notação matemática de um número. A forma de coordenadas GRAUS E MINUTOS é o formato preferido em muitos casos, é o formato padrão na maioria dos navegadores GPS e é o padrão usado na aviação e no mar. A forma clássica de escrever coordenadas em GRAUS, MINUTOS E SEGUNDOS não encontra muito uso prático.

§2. Sistema de coordenadas em astronomia. Mitos sobre constelações

Como mencionado acima, a ideia de definir a posição de um ponto em um plano usando números surgiu nos tempos antigos entre os astrônomos ao compilar mapas estelares. As pessoas precisavam contar o tempo, prever fenômenos sazonais (marés, marés, chuvas sazonais, inundações), tinham que navegar pelo terreno enquanto viajavam.

A astronomia é a ciência das estrelas, planetas, corpos celestiais, sua estrutura e desenvolvimento.

Milhares de anos se passaram, a ciência avançou muito e uma pessoa ainda não consegue tirar seu olhar de admiração da beleza do céu noturno.

Constelações - parcelas céu estrelado, figuras características formadas por estrelas brilhantes. Todo o céu é dividido em 88 constelações, o que facilita a navegação entre as estrelas. A maioria dos nomes de constelações vem da antiguidade.

A constelação mais famosa é a Ursa Maior. NO Antigo Egito era chamado de “hipopótamo”, e os cazaques o chamavam de “cavalo na coleira”, embora externamente a constelação não se pareça com nenhum ou outro animal. O que é isso?

Os antigos gregos tinham uma lenda sobre as constelações Ursa Maior e Ursa Menor. O deus todo-poderoso Zeus decidiu se casar linda ninfa Calisto, uma das empregadas da deusa Afrodite, contra a vontade desta. Para salvar Calisto da perseguição da deusa, Zeus transformou Calisto na Ursa Maior, seu amado cachorro na Ursa Menor e os levou para o céu. Transfira as constelações Ursa Maior e Ursa Menor do céu estrelado para o plano de coordenadas. . Cada uma das estrelas do Balde da Ursa Maior tem seu próprio nome.

O GRANDE URSO

Eu reconheço pelo BALDE!

Sete estrelas brilham aqui

E aqui está como eles são chamados:

DUBHE ilumina a escuridão,

MERAK queima ao lado dele,

Ao lado está FEKDA com MEGRETS,

Um jovem atrevido.

De Megrets para partida

ALIOT está localizado,

E atrás dele - MITSAR com ALCOR

(Esses dois brilham em coro).

Fecha nosso balde

Incomparável BENETNASH.

Ele aponta para o olho

O caminho para a constelação BOOTES,

Onde brilha a bela ARCTUR,

Todo mundo vai notar agora!

Não menos que bela lenda sobre as constelações de Cepheus, Cassiopeia e Andrômeda.

A Etiópia já foi governada pelo rei Cefeu. Certa vez, sua esposa, a rainha Cassiopeia, teve a imprudência de se gabar de sua beleza diante dos habitantes do mar - as Nereidas. Este último, ofendido, reclamou com o deus do mar, Poseidon, e o governante dos mares, enfurecido pela audácia de Cassiopeia, soltou um monstro marinho, Kita, nas costas da Etiópia. A fim de salvar seu reino da destruição, Cepheus, a conselho do oráculo, decidiu sacrificar ao monstro e dar-lhe sua amada filha Andrômeda para ser comida. Ele acorrentou Andrômeda a uma rocha costeira e a deixou esperando a decisão de seu destino.

Enquanto isso, do outro lado do mundo herói mítico Perseu realizou um feito ousado. Ele penetrou em uma ilha isolada onde viviam górgonas - monstros incríveis na forma de mulheres com cobras em suas cabeças em vez de cabelos. A aparência das górgonas era tão terrível que todos para quem olhavam se transformavam instantaneamente em pedra.

Aproveitando o sono desses monstros, Perseu cortou a cabeça de um deles, a Górgona Medusa. Naquele momento, o cavalo Pégaso voou para fora do corpo decepado de Medusa. Perseu agarrou a cabeça de uma medusa, pulou em Pégaso e correu pelo ar para sua terra natal. Quando sobrevoou a Etiópia, viu Andrômeda acorrentada a uma rocha. Neste momento, a Baleia já emergiu das profundezas do mar, preparando-se para engolir sua presa. Mas Perseu, correndo para uma batalha mortal com Keith, derrotou o monstro. Ele mostrou a Keith a cabeça de uma água-viva que ainda não havia perdido sua força, e o monstro petrificou, transformando-se em uma ilha. Quanto a Perseu, tendo desencadeado Andrômeda, ele a devolveu ao pai, e Cefeu, tocado pela felicidade, deu Andrômeda como esposa a Perseu. Assim, esta história terminou feliz, cujos personagens principais foram colocados pelos antigos gregos no céu.

No mapa estelar, você pode encontrar não apenas Andrômeda com seu pai, mãe e marido, mas também o cavalo mágico Pégaso e o culpado de todos os problemas - o monstro Kita.

A constelação de Cetus está localizada abaixo de Pegasus e Andrômeda. Infelizmente, não é marcado por nenhuma característica estrelas brilhantes e, portanto, pertence às constelações menores.

§3. Usando a ideia de coordenadas retangulares na pintura.

Traços da aplicação da ideia de coordenadas retangulares na forma de uma grade quadrada (palete) são retratados na parede de uma das câmaras funerárias do Egito Antigo. Na câmara funerária da pirâmide do pai de Ramsés, há uma rede de praças na parede. Com a ajuda deles, a imagem foi transferida de forma ampliada. Grades retangulares também foram usadas por artistas renascentistas.

A palavra "perspectiva" em latim significa "ver claramente". NO belas-Artes perspectiva linear é a imagem de objetos em um plano de acordo com as mudanças aparentes em seu tamanho. base teoria moderna perspectivas foram estabelecidas pelos grandes artistas do Renascimento - Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer e outros. Uma das gravuras de Durer (Fig. 3) mostra um método de desenhar da vida através do vidro com uma grade quadrada aplicada a ele. Esse processo pode ser descrito da seguinte forma: se você ficar na frente da janela e, sem mudar seu ponto de vista, circundar tudo o que é visível atrás dela no vidro, o desenho resultante será uma imagem em perspectiva do espaço.

Métodos de design egípcios que parecem ter sido baseados em padrões de grade quadrada. Existem numerosos exemplos na arte egípcia que mostram que pintores e escultores primeiro desenharam uma grade na parede, que deveria ser pintada ou esculpida para manter as proporções estabelecidas. As simples razões numéricas dessas grades estão no centro de todas as grandes trabalhos de arte egípcios.

O mesmo método foi usado por muitos artistas renascentistas, incluindo Leonardo da Vinci. No antigo Egito, isso foi incorporado na Grande Pirâmide, que é reforçada por sua estreita conexão com o padrão de Marlborough Down.

Começando a trabalhar, o artista egípcio desenhou uma grade de linhas retas na parede e depois transferiu cuidadosamente as figuras para ela. Mas a ordem geométrica não o impediu de recriar a natureza com precisão detalhada. A aparência de cada peixe, cada ave é transmitida com tanta veracidade que os zoólogos modernos podem facilmente determinar suas espécies. A Figura 4 mostra um detalhe da composição da ilustração - uma árvore com pássaros capturados na rede de Khnumhotep. O movimento da mão do artista foi guiado não apenas pelas reservas de suas habilidades, mas também por um olhar sensível aos contornos da natureza.

Fig.4 Aves em acácia

Capítulo II. Método de coordenadas em matemática

§1. Aplicação de coordenadas em matemática. Méritos

O matemático francês René Descartes

Por muito tempo apenas geografia "descrição da terra" - usou esta maravilhosa invenção, e somente no século 14 o matemático francês Nicolas Orem (1323-1382) tentou aplicá-la à "medição da terra" - geometria. Ele propôs cobrir o plano com uma grade retangular e chamar latitude e longitude o que hoje chamamos de abcissa e ordenada.

A partir desta inovação bem sucedida, surgiu o método das coordenadas, ligando a geometria à álgebra. O principal mérito na criação deste método pertence ao grande matemático francês René Descartes (1596 - 1650). Em sua homenagem, esse sistema de coordenadas é chamado de cartesiano, denotando a localização de qualquer ponto no plano pelas distâncias deste ponto até a "latitude zero" - o eixo das abcissas "e o "meridiano zero" - o eixo das ordenadas.

No entanto, este brilhante cientista e pensador francês do século XVII (1596 - 1650) não encontrou imediatamente seu lugar na vida. Nasceu em família nobre, Descartes recebeu uma boa educação. Em 1606, seu pai o enviou ao Colégio Jesuíta de La Fleche. Considerando a saúde não muito boa de Descartes, ele recebeu algumas indulgências no regime estrito desta instituição educacional Por exemplo, eles foram autorizados a se levantar mais tarde do que os outros. Tendo adquirido muito conhecimento na faculdade, Descartes, ao mesmo tempo, estava imbuído de uma antipatia pela filosofia escolástica, que manteve por toda a vida.

Depois de se formar na faculdade, Descartes continuou sua educação. Em 1616, na Universidade de Poitiers, ele recebeu o diploma de bacharel em direito. Em 1617, Descartes se juntou ao exército e viajou extensivamente pela Europa.

1619 provou cientificamente ser um ano chave para Descartes.

Foi nessa época, como ele mesmo escreveu em seu diário, que lhe foram revelados os fundamentos de uma nova “ciência surpreendente”. Muito provavelmente, Descartes tinha em mente a descoberta do universal método científico, que mais tarde ele aplicou com sucesso em uma variedade de disciplinas.

Na década de 1620, Descartes conheceu o matemático M. Mersenne, por meio de quem longos anos“mantido em contacto” com toda a comunidade científica europeia.

Em 1628, Descartes se estabeleceu na Holanda por mais de 15 anos, mas não se estabeleceu em nenhum lugar, mas mudou de local de residência cerca de duas dúzias de vezes.

Em 1633, ao saber da condenação de Galileu pela igreja, Descartes se recusa a publicar a obra natural-filosófica O mundo, que delineava as ideias da origem natural do universo segundo as leis mecânicas da matéria.

Em 1637 em FrancêsÉ publicado o Discurso sobre o Método de Descartes, com o qual, como muitos acreditam, começou a filosofia moderna européia.

Também teve grande influência no pensamento europeu a última obra filosófica de Descartes, As paixões da alma, publicada em 1649. No mesmo ano, a convite da rainha sueca Cristina, Descartes foi para a Suécia. O clima rigoroso e o regime inusitado (a rainha obrigou Descartes a se levantar às 5 da manhã para dar aulas e realizar outras tarefas) prejudicaram a saúde de Descartes e, resfriado, ele

morreu de pneumonia.

De acordo com a tradição introduzida por Descartes, a "latitude" de um ponto é denotada pela letra x, "longitude" - pela letra y

Muitas maneiras de especificar um local são baseadas nesse sistema.

Por exemplo, existem dois números em um ingresso para um cinema: uma fila e um assento - eles podem ser considerados as coordenadas de um assento no salão.

Coordenadas semelhantes são aceitas no xadrez. Em vez de um dos números, uma letra é tomada: as linhas verticais de células são indicadas por letras do alfabeto latino e as linhas horizontais por números. Assim, a cada célula do tabuleiro é atribuído um par de letras e números, e os jogadores de xadrez têm a oportunidade de escrever suas partidas. Konstantin Simonov escreve sobre o uso de coordenadas em seu poema "O filho de um artilheiro".

A noite toda, andando como um pêndulo

Major não fechou os olhos,

Enquanto no rádio pela manhã

O primeiro sinal veio:

"Está tudo bem, entendi,

os alemães me deixaram

Coordenadas (3;10),

Em vez disso, vamos atirar!

As armas estavam carregadas

O major calculou tudo sozinho.

E com um rugido os primeiros voleios

Eles atingiram as montanhas.

E novamente o sinal no rádio:

"Os alemães me acertam,

Coordenadas (5; 10),

Mais fogo!

Terra e rochas voaram

Uma coluna de fumaça subiu.

Parecia que agora a partir daí

Ninguém sai vivo.

O terceiro sinal no rádio:

"Os alemães ao meu redor,

Coordenadas (4; 10),

Não poupe o fogo.

O major empalideceu ao ouvir:

(4;10) - apenas

O lugar onde sua Lyonka

Deve sentar-se agora.

Konstantin Simonov "Filho de um artilheiro"

§2. Lendas sobre a invenção do sistema de coordenadas

Existem várias lendas sobre a invenção do sistema de coordenadas que leva o nome de Descartes.

Legenda 1

Tal história chegou aos nossos tempos.

visitando teatros parisienses, Descartes não se cansou de se surpreender com a confusão, as disputas e, às vezes, os desafios a um duelo causados ​​pela falta de uma ordem elementar de distribuição do público no auditório. O sistema de numeração que ele propôs, no qual cada lugar recebia um número de linha e um número de série a partir da borda, removeu imediatamente todas as ocasiões de disputa e causou sensação na alta sociedade parisiense.

Legenda2. Certa vez, René Descartes ficou de cama o dia todo, pensando em alguma coisa, e uma mosca zumbiu e não permitiu que ele se concentrasse. Ele começou a pensar em como descrever matematicamente a posição da mosca em um determinado momento para que pudesse golpeá-la sem errar. E... surgiu as coordenadas cartesianas, uma das maiores invenções da história da humanidade.

Markovtsev Yu.

Era uma vez em uma cidade desconhecida

O jovem Descartes chegou.

Ele estava com muita fome.

Era um mês frio de março.

Decidiu recorrer a um transeunte

Descartes, tentando acalmar o tremor:

Onde fica o hotel, por favor?

E a senhora começou a explicar:

- Vá ao laticínio

Então para a padaria, atrás dela

Cigana vende alfinetes

E veneno para ratos e camundongos,

Encontre-os com certeza

Queijos, biscoitos, frutas

E sedas coloridas...

Eu escutei todas essas explicações

Descartes, tremendo de frio.

Ele realmente queria comer

- Atrás das lojas é uma farmácia

(o farmacêutico lá é um sueco bigodudo),

E a igreja, onde no início do século

Casado, ao que parece, meu avô ...

Quando a senhora ficou em silêncio por um momento,

De repente, seu servo disse:

- Ande três quarteirões em linha reta

E dois à direita. Entrada da esquina.

Este é o terceiro conto alto sobre o evento que deu a Descartes a ideia de coordenadas.

Conclusão

Ao criar nosso projeto, aprendemos sobre o uso do plano coordenado em vários campos da ciência e Vida cotidiana, algumas informações da história da origem do plano coordenado e matemáticos que deram grande contribuição a esta invenção. O material que coletamos no decorrer da redação do trabalho pode ser usado em sala de aula círculo escolar, Como material adicionalàs aulas. Tudo isso pode interessar os alunos e alegrar o processo de aprendizagem.

E gostaríamos de terminar com estas palavras:

“Imagine sua vida como um plano coordenado. O eixo y é a sua posição na sociedade. O eixo x está avançando, em direção ao objetivo, em direção ao seu sonho. E como sabemos, é infinito... podemos cair, afundando cada vez mais no negativo, podemos ficar no zero e não fazer nada, absolutamente nada. Podemos subir, podemos cair, podemos avançar ou retroceder, e tudo porque toda a nossa vida é um plano coordenado e o mais importante aqui é qual é a sua coordenada..."

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A matemática é uma ciência bastante complexa. Ao estudá-lo, é preciso não apenas resolver exemplos e problemas, mas também trabalhar com várias figuras e até planos. Um dos mais usados ​​na matemática é o sistema de coordenadas no plano. As crianças foram ensinadas a trabalhar com ele corretamente por mais de um ano. Portanto, é importante saber o que é e como trabalhar com ele corretamente.

Vamos descobrir o que é esse sistema, quais ações você pode realizar com ele e também descobrir suas principais características e recursos.

Definição do conceito

Um plano de coordenadas é um plano no qual um determinado sistema de coordenadas é definido. Tal plano é definido por duas linhas retas que se cruzam em um ângulo reto. O ponto de intersecção dessas linhas é a origem das coordenadas. Cada ponto no plano de coordenadas é dado por um par de números, que são chamados de coordenadas.

Em um curso de matemática escolar, os alunos têm que trabalhar muito de perto com um sistema de coordenadas - construir figuras e pontos nele, determinar a qual plano uma determinada coordenada pertence e também determinar as coordenadas de um ponto e escrevê-las ou nomeá-las. Portanto, vamos falar com mais detalhes sobre todos os recursos das coordenadas. Mas primeiro, vamos falar sobre a história da criação, e então vamos falar sobre como trabalhar no plano coordenado.

Referência do histórico

As idéias sobre a criação de um sistema de coordenadas estavam nos dias de Ptolomeu. Mesmo assim, astrônomos e matemáticos estavam pensando em como aprender a definir a posição de um ponto em um plano. Infelizmente, naquela época não havia nenhum sistema de coordenadas conhecido por nós, e os cientistas tiveram que usar outros sistemas.

Inicialmente, eles definem pontos especificando latitude e longitude. Durante muito tempo foi uma das formas mais utilizadas de mapear esta ou aquela informação. Mas em 1637 René Descartes criou próprio sistema coordenadas, mais tarde nomeado após "Cartesian".

Ja entrou final do XVII dentro. o conceito de "plano coordenado" tornou-se amplamente utilizado no mundo da matemática. Apesar de vários séculos terem se passado desde a criação desse sistema, ele ainda é amplamente utilizado na matemática e até na vida.

Exemplos de planos de coordenadas

Antes de falar sobre a teoria, daremos alguns exemplos ilustrativos do plano coordenado para que você possa imaginá-lo. O sistema de coordenadas é usado principalmente no xadrez. No tabuleiro, cada quadrado tem suas próprias coordenadas - uma coordenada de letra, a segunda - digital. Com sua ajuda, você pode determinar a posição de uma peça específica no tabuleiro.

O segundo exemplo mais marcante é o jogo amado por muitos " batalha marítima". Lembre-se de como, ao jogar, você nomeia uma coordenada, por exemplo, B3, indicando exatamente para onde você está mirando. Ao mesmo tempo, ao posicionar as naves, você define pontos no plano de coordenadas.

Este sistema de coordenadas é amplamente utilizado não apenas em matemática, jogos de lógica, mas também em assuntos militares, astronomia, física e muitas outras ciências.

Eixos de coordenadas

Como já mencionado, dois eixos são distinguidos no sistema de coordenadas. Vamos falar um pouco sobre eles, pois são de considerável importância.

O primeiro eixo - abcissa - é horizontal. É indicado como ( Boi). O segundo eixo é a ordenada, que passa verticalmente pelo ponto de referência e é denotada como ( Oi). São esses dois eixos que formam o sistema de coordenadas, dividindo o plano em quatro quartos. A origem está localizada no ponto de interseção desses dois eixos e assume o valor 0 . Somente se o plano for formado por dois eixos que se cruzam perpendicularmente e têm um ponto de referência, é um plano coordenado.

Observe também que cada um dos eixos tem sua própria direção. Normalmente, ao construir um sistema de coordenadas, costuma-se indicar a direção do eixo na forma de uma seta. Além disso, ao construir o plano de coordenadas, cada um dos eixos é assinado.

quartos

Agora vamos dizer algumas palavras sobre um conceito como quartos do plano coordenado. O plano é dividido por dois eixos em quatro quartos. Cada um deles tem seu próprio número, enquanto a numeração dos planos é anti-horária.

Cada um dos bairros tem suas próprias características. Assim, no primeiro trimestre, a abcissa e a ordenada são positivas, no segundo trimestre, a abcissa é negativa, a ordenada é positiva, no terceiro, tanto a abcissa quanto a ordenada são negativas, no quarto, a abcissa é positivo e a ordenada é negativa.

Ao lembrar desses recursos, você pode determinar facilmente a qual trimestre um determinado ponto pertence. Além disso, esta informação pode ser útil se você tiver que fazer cálculos usando o sistema cartesiano.

Trabalhando com o plano de coordenadas

Quando tivermos lidado com o conceito de um plano e falado sobre seus quartos, podemos passar para um problema como trabalhar com esse sistema e também falar sobre como colocar pontos, coordenadas de figuras nele. No plano de coordenadas, isso não é tão difícil quanto pode parecer à primeira vista.

Em primeiro lugar, o próprio sistema é construído, todas as designações importantes são aplicadas a ele. Depois, há trabalho diretamente com pontos ou figuras. Nesse caso, mesmo na construção de figuras, os pontos são aplicados primeiro ao plano e, em seguida, as figuras já são desenhadas.

Regras para construir um avião

Se você decidir começar a marcar formas e pontos no papel, precisará de um plano de coordenadas. As coordenadas dos pontos são plotadas nele. Para construir um plano de coordenadas, você só precisa de uma régua e uma caneta ou lápis. Primeiro desenha-se a abcissa horizontal, depois a vertical - ordenada. É importante lembrar que os eixos se cruzam em ângulos retos.

O próximo item obrigatório é a marcação. Os segmentos de unidades são marcados e assinados em cada um dos eixos em ambas as direções. Isso é feito para que você possa trabalhar com o avião com a máxima comodidade.

Marcando um ponto

Agora vamos falar sobre como plotar as coordenadas dos pontos no plano de coordenadas. Este é o básico que você precisa saber para colocar com sucesso uma variedade de formas no plano e até mesmo marcar equações.

Ao construir pontos, deve-se lembrar como suas coordenadas são registradas corretamente. Então, geralmente definindo um ponto, dois números são escritos entre colchetes. O primeiro dígito indica a coordenada do ponto ao longo do eixo das abcissas, o segundo - ao longo do eixo das ordenadas.

O ponto deve ser construído desta forma. Marque primeiro no eixo Boi dado ponto, então marque um ponto no eixo Oi. Em seguida, desenhe linhas imaginárias dessas designações e encontre o local de sua interseção - este será o ponto dado.

Tudo que você tem a fazer é marcá-lo e assiná-lo. Como você pode ver, tudo é bastante simples e não requer habilidades especiais.

Colocando uma forma

Agora vamos passar para uma questão como a construção de figuras no plano coordenado. Para construir qualquer figura no plano de coordenadas, você deve saber como colocar pontos nele. Se você sabe como fazer isso, colocar uma figura em um avião não é tão difícil.

Em primeiro lugar, você precisará das coordenadas dos pontos da figura. É neles que vamos aplicar os que você escolheu ao nosso sistema de coordenadas.Vamos considerar desenhar um retângulo, um triângulo e um círculo.

Vamos começar com um retângulo. Aplicá-lo é bem fácil. Primeiro, quatro pontos são aplicados ao plano, indicando os cantos do retângulo. Então todos os pontos são sequencialmente conectados uns aos outros.

Desenhar um triângulo não é diferente. A única coisa é que ele tem três vértices, o que significa que três pontos são aplicados ao plano, denotando seus vértices.

Em relação ao círculo, aqui você deve saber as coordenadas de dois pontos. O primeiro ponto é o centro do círculo, o segundo é o ponto que denota seu raio. Esses dois pontos são plotados em um plano. Em seguida, uma bússola é tomada, a distância entre dois pontos é medida. A ponta da bússola é colocada em um ponto que denota o centro, e um círculo é descrito.

Como você pode ver, também não há nada complicado aqui, o principal é que sempre há uma régua e um compasso à mão.

Agora você sabe como plotar coordenadas de forma. No plano de coordenadas, isso não é tão difícil de fazer, como pode parecer à primeira vista.

conclusões

Então, consideramos com você um dos conceitos mais interessantes e básicos para a matemática com os quais todo aluno deve lidar.

Descobrimos que o plano coordenado é o plano formado pela intersecção de dois eixos. Com sua ajuda, você pode definir as coordenadas dos pontos, colocar formas nele. O avião é dividido em quartos, cada um com suas próprias características.

A principal habilidade que deve ser desenvolvida ao trabalhar com o plano de coordenadas é a capacidade de plotar corretamente determinados pontos nele. Para isso você precisa saber localização correta eixos, características de quartos, bem como as regras pelas quais as coordenadas dos pontos são definidas.

Esperamos que as informações apresentadas por nós tenham sido acessíveis e compreensíveis, e também tenham sido úteis para você e tenham ajudado a compreender melhor este tema.

O que é um plano coordenado?

O termo "coordenadas" na tradução de latim significa "ordenado".

Suponha que precisamos designar a posição de um ponto em um plano. Para fazer isso, tomamos 2 linhas perpendiculares, que são chamadas de eixos coordenados, onde X será o eixo das abcissas, Y é o eixo das ordenadas e a origem será o ponto O. Os ângulos retos formados usando os eixos coordenados serão chamados de coordenadas ângulos.

Então chegamos à definição e agora sabemos que o plano de coordenadas é um plano com um determinado sistema de coordenadas.

E agora vamos ver a numeração dos ângulos coordenados:

Agora vamos exibir um sistema de coordenadas retangulares e marcar o ponto M nele.

Em seguida, precisamos traçar uma linha reta passando pelo ponto M, que será paralela ao eixo Y. Agora, vamos ver o que temos. Como você pode ver, a linha reta intercepta o eixo X no ponto onde a coordenada será igual a -2. Esta coordenada é a abcissa do ponto M.

Agora precisamos traçar uma linha reta passando pelo ponto M, que será paralela ao eixo X.

Podemos ver que esta linha intercepta o eixo X no ponto cuja coordenada é três. Esta coordenada será a ordenada do ponto M.

Gravar as coordenadas do M atual ficará assim:

Nesse registro, a abcissa é sempre colocada em primeiro lugar e a ordenada em segundo lugar. Se considerarmos o exemplo das coordenadas do ponto M (-2; 3), então -2 atua como a abcissa do ponto M, e a ordenada deste ponto será o número 3.

Disto segue-se que no plano coordenado, cada ponto M corresponde a um par de números como sua abcissa e ordenada. A afirmação oposta também será verdadeira, ou seja, cada um desses pares de números corresponde a um ponto do plano para o qual esses números são coordenadas.

Exercício:

Coordenar plano na vida

Na sua opinião, o conhecimento do plano de coordenadas pode ser útil na vida cotidiana? E você já ouviu uma frase como “deixe suas coordenadas” ou “que coordenadas você pode encontrar”? E você já pensou no que essas expressões podem significar?

Acontece que tudo é muito simples e banal, e isso significa a localização deste ou daquele objeto, pelo qual é fácil encontrar uma pessoa ou algum certo lugar. Pode-se afirmar com segurança que os sistemas de coordenadas são necessários na vida prática de uma pessoa em todos os lugares.

Tal sistema de coordenadas pode ser um endereço residencial ou um número de telefone, local de trabalho, etc.

Afinal, mesmo na hora de comprar as passagens de trem, você sabe não apenas seu número e destino, mas também o número do vagão e o assento devem ser indicados.

Para visitar um colega de classe, não basta saber apenas a casa em que ele mora, mas também o número do apartamento.

Exercício

1. Quais informações você precisa ter para conseguir um lugar no teatro?
2. Que dados você precisa ter para determinar pontos na superfície da Terra?
3. Por quais coordenadas você pode determinar o lugar no cinema?
4. O que você precisa saber para determinar a posição de uma peça em um tabuleiro de xadrez?
5. Que coordenadas você usa quando joga batalha naval?

Referência do histórico

A ideia de usar coordenadas surgiu nos tempos antigos. Inicialmente, os astrônomos começaram a usá-los para determinar corpos celestes e geógrafos para localizar e localizar objetos na superfície da Terra.

Graças aos trabalhos do antigo astrônomo grego Claudius Plotomeus, já no século II, os cientistas aprenderam a determinar a longitude e a latitude.

Você sabe por que na matemática existe algo como "sistema de coordenadas cartesianas"? Acontece que o método das coordenadas, que tem um significado matemático geral, foi descoberto pelos matemáticos franceses Pierre Fermat e René Descartes no século XVII, e em 1637 René Descartes o descreveu pela primeira vez em um livro sobre geometria.

Mas os termos "abscissa", "ordenada" e "coordenadas" foram introduzidos pela primeira vez por Wilhelm Leibniz no século XVII.

Trabalho de casa:

Entendendo o Plano de Coordenadas

Cada objeto (por exemplo, uma casa, um lugar no auditório, um ponto no mapa) tem seu próprio endereço ordenado (coordenadas), que tem uma designação numérica ou alfabética.

Os matemáticos desenvolveram um modelo que permite determinar a posição de um objeto e é chamado de plano de coordenadas.

Para construir um plano de coordenadas, você precisa desenhar $2$ linhas perpendiculares , no final das quais são indicadas com as setas da direção "direita" e "para cima". As divisões são aplicadas às linhas, e o ponto de interseção das linhas é a marca zero para ambas as escalas.

Definição 1

A linha horizontal é chamada eixo x e é denotado por x, e a linha vertical é chamada eixo y e está marcado com y.

Dois eixos perpendiculares x e y com divisões são retangular, ou cartesiano, sistema de coordenadas proposta pelo filósofo e matemático francês René Descartes.

Plano de coordenadas

Coordenadas do ponto

Um ponto no plano de coordenadas é definido por duas coordenadas.

Para determinar as coordenadas do ponto $A$ no plano de coordenadas, você precisa desenhar linhas retas através dele, que serão paralelas eixos de coordenadas(destacado na figura linha pontilhada). A intersecção da linha com o eixo x dá a coordenada $x$ de $A$, e a intersecção com o eixo y dá a coordenada y de $A$. Ao escrever as coordenadas de um ponto, escreve-se primeiro a coordenada $x$ e depois a coordenada $y$.

O ponto $A$ na figura tem coordenadas $(3; 2)$ e o ponto $B (–1; 4)$.

Para traçar um ponto em um plano de coordenadas, proceda na ordem inversa.

Construindo um ponto por coordenadas dadas

Exemplo 1

Construir os pontos $A(2;5)$ e $B(3; –1).$ no plano de coordenadas

Solução.

Ponto de construção $A$:

• coloque o número $2$ no eixo $x$ e desenhe uma linha perpendicular;
• no eixo y traçamos o número $5$ e desenhamos uma linha reta perpendicular ao eixo $y$. Na intersecção de retas perpendiculares, obtemos o ponto $A$ com coordenadas $(2; 5)$.

Ponto de construção $B$:

• plote o número $3$ no eixo $x$ e desenhe uma linha reta perpendicular ao eixo x;
• plote o número $(–1)$ no eixo $y$ e desenhe uma linha reta perpendicular ao eixo $y$. Na interseção de retas perpendiculares, obtemos o ponto $B$ com coordenadas $(3; –1)$.

Exemplo 2

Construir pontos no plano coordenado com coordenadas dadas$C (3; 0)$ e $D(0; 2)$.

Solução.

Construção do ponto $C$:

• coloque o número $3$ no eixo $x$;
• a coordenada $y$ é igual a zero, então o ponto $C$ estará no eixo $x$.

Construção do ponto $D$:

• coloque o número $2$ no eixo $y$;
• a coordenada $x$ é igual a zero, o que significa que o ponto $D$ estará no eixo $y$.

Observação 1

Portanto, na coordenada $x=0$ o ponto estará no eixo $y$, e na coordenada $y=0$ o ponto estará no eixo $x$.

Exemplo 3

Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D.$

Solução.

Vamos determinar as coordenadas do ponto $A$. Para fazer isso, traçamos linhas retas por este ponto $2$, que serão paralelas aos eixos coordenados. A interseção de uma reta com o eixo de abcissas dá a coordenada $x$, a interseção da reta com o eixo y dá a coordenada $y$. Assim, obtemos que o ponto $A (1; 3).$

Vamos determinar as coordenadas do ponto $B$. Para fazer isso, traçamos linhas retas por este ponto $2$, que serão paralelas aos eixos coordenados. A interseção de uma reta com o eixo de abcissas dá a coordenada $x$, a interseção da reta com o eixo y dá a coordenada $y$. Obtemos que o ponto $B (–2; 4).$

Vamos determinar as coordenadas do ponto $C$. Porque está localizado no eixo $y$, então a coordenada $x$ deste ponto é igual a zero. A coordenada y é $–2$. Assim, o ponto é $C(0; –2)$.

Vamos determinar as coordenadas do ponto $D$. Porque está no eixo $x$, então a coordenada $y$ é igual a zero. A coordenada $x$ deste ponto é $–5$. Assim, o ponto $D (5; 0).$

Exemplo 4

Construir pontos $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Solução.

Construção do ponto $E$:

• coloque o número $(–3)$ no eixo $x$ e desenhe uma linha perpendicular;
• coloque o número $(–2)$ no eixo $y$ e desenhe uma linha perpendicular ao eixo $y$;
• na intersecção de retas perpendiculares obtemos o ponto $E (–3; –2).$

Ponto de construção $F$:

• coordenada $y=0$, então o ponto fica no eixo $x$;
• plote o número $5$ no eixo $x$ e obtenha o ponto $F(5; 0).$

Construção do ponto $G$:

• coloque o número $3$ no eixo $x$ e desenhe uma linha perpendicular ao eixo $x$;
• coloque o número $4$ no eixo $y$ e desenhe uma linha perpendicular ao eixo $y$;
• na intersecção de retas perpendiculares obtemos o ponto $G(3; 4).$

Construção do ponto $H$:

• coordenada $x=0$, então o ponto fica no eixo $y$;
• plote o número $(–4)$ no eixo $y$ e obtenha o ponto $H(0; –4).$

Construção do ponto $O$:

• ambas as coordenadas do ponto são iguais a zero, o que significa que o ponto está tanto no eixo $y$ quanto no eixo $x$, portanto é o ponto de intersecção de ambos os eixos (a origem das coordenadas).