Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Ang plano ng isang workshop para sa mga guro ng matematika ng institusyong pang-edukasyon ng lungsod ng Tula sa paksang "Paglutas ng mga gawain ng pagsusulit sa matematika mula sa mga seksyon: combinatorics, probability theory. Pamamaraan ng pagtuturo"

Paggastos ng oras: 12 00 ; 15 00

Lokasyon: MBOU "Lyceum No. 1", opisina. No. 8

ako. Paglutas ng mga Problema sa Probability

1. Paglutas ng mga problema para sa klasikal na kahulugan ng posibilidad

Alam na namin, bilang mga guro, na ang mga pangunahing uri ng mga problema sa pagsusulit sa teorya ng posibilidad ay batay sa klasikal na kahulugan ng posibilidad. Tandaan natin ang tinatawag na probabilidad ng isang pangyayari?

Probability ng kaganapan ay ang ratio ng bilang ng mga kinalabasan na paborable sa isang naibigay na kaganapan sa kabuuang bilang ng mga kinalabasan.

Ang aming pang-agham at metodolohikal na samahan ng mga guro sa matematika ay nabuo pangkalahatang pamamaraan paglutas ng mga probabilidad. Nais kong ipakita ito sa iyong pansin. Sa pamamagitan ng paraan, ibinahagi namin ang aming karanasan sa trabaho, at sa mga materyales na ibinigay namin sa iyong pansin para sa magkasanib na talakayan ng paglutas ng problema, ibinigay namin ang pamamaraang ito. Gayunpaman, nais kong ipahayag ito.

Sa aming opinyon, ang pamamaraan na ito ay nakakatulong upang mabilis na mabulok ang lahat nang lohikal sa mga istante, at pagkatapos nito ang problema ay mas madaling malutas para sa parehong guro at mga mag-aaral.

Kaya, gusto kong pag-aralan nang detalyado ang gawain ng sumusunod na nilalaman.

Nais kong makipag-usap sa iyo upang ipaliwanag ang pamamaraan kung paano ihatid sa mga lalaki ang gayong solusyon, sa proseso kung saan mauunawaan ng mga lalaki ang karaniwang problemang ito, at sa paglaon ay mauunawaan nila ang mga problemang ito sa kanilang sarili.

Ano ang random na eksperimento sa problemang ito? Ngayon ay kailangan nating ihiwalay ang isang elementarya na kaganapan sa eksperimentong ito. Ano itong elementary event? Ilista natin sila.

Mga tanong tungkol sa problema?

mahal na mga kasamahan, ikaw, masyadong, ay malinaw na isinasaalang-alang ang mga probabilidad na problema sa dice. Sa tingin ko kailangan nating i-disassemble ito, dahil may mga nuances. Suriin natin ang problemang ito ayon sa pamamaraan na iminungkahi namin para sa iyo. Dahil mayroong isang numero mula 1 hanggang 6 sa bawat mukha ng kubo, ang elementarya na mga kaganapan ay ang mga numero 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nalaman namin na ang kabuuang bilang ng mga elementarya na kaganapan ay 6. Alamin natin kung alin Ang mga elementarya ay pabor sa kaganapan... Dalawang kaganapan lamang ang pumapabor sa kaganapang ito - 5 at 6 (dahil sumusunod ito sa kondisyon na dapat mahulog ang 5 at 6 na puntos).

Ipaliwanag na ang lahat ng elementarya na kaganapan ay pantay na posible. Ano ang magiging mga tanong sa problema?

Paano mo naiintindihan na ang barya ay simetriko? Tingnan natin ito, kung minsan ang ilang mga parirala ay nagdudulot ng kalituhan. Unawain natin ang problemang ito sa konsepto. Tayo'y makitungo sa iyo sa eksperimento na naglalarawan kung ano ang maaaring maging pangunahing resulta. Naiimagine nyo bang lahat kung nasaan ang mga ulo, nasaan ang mga buntot? Ano ang maaaring maging mga pagpipilian para sa pagkawala? Mayroon bang iba pang mga kaganapan? Ilang mga kaganapan ang mayroon sa kabuuan? Ayon sa problema, alam na ang mga ulo ay bumagsak nang eksaktong isang beses. Nangangahulugan ito na ang kaganapang itoAng mga elementarya na kaganapan mula sa apat na OP at RO na ito ay pinapaboran, dalawang beses na hindi ito maaaring mangyari. Ginagamit namin ang formula kung saan matatagpuan ang posibilidad ng isang kaganapan. Bilang paalala, ang mga sagot sa Part B ay dapat na integer o decimal fraction.

Ipinapakita namin ito sa isang interactive na whiteboard. Binasa namin ang gawain. Ano ang pangunahing kinalabasan ng karanasang ito? Linawin na ang pares ay inayos - iyon ay, ang numero ay bumaba sa unang dice, at sa pangalawang dice. Sa anumang problema may mga sandali kung kailan kailangan mong pumili ng mga makatwirang pamamaraan, mga form at ipakita ang solusyon sa anyo ng mga talahanayan, diagram, atbp. Sa gawaing ito, maginhawang gumamit ng gayong mesa. Binibigyan kita ng isang handa na solusyon, ngunit sa kurso ng solusyon ay lumalabas na sa problemang ito ay makatuwiran na gumamit ng isang solusyon sa anyo ng isang talahanayan. Ipaliwanag kung ano ang ibig sabihin ng talahanayan. Makikita mo kung bakit sinasabi ng mga column ang 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Gumuhit tayo ng parisukat. Ang mga linya ay tumutugma sa mga resulta ng unang roll - mayroong anim sa kanila, dahil ang mamatay ay may anim na panig. Ganun din ang mga column. Sa bawat cell ay isusulat namin ang kabuuan ng mga nahulog na puntos. Ipinapakita namin ang nakumpletong talahanayan. Punan natin ang mga cell kung saan ang kabuuan ay walo (tulad ng kinakailangan sa kondisyon).

Naniniwala ako na ang susunod na problema, pagkatapos pag-aralan ang mga nauna, ay maaaring ibigay sa mga lalaki upang malutas sa kanilang sarili.

Sa mga sumusunod na gawain, hindi na kailangang isulat ang lahat ng elementarya na kinalabasan. Sapat na ang bilang lamang ng kanilang numero.

(Walang solusyon) Hinayaan ko ang mga lalaki na lutasin ang problemang ito sa kanilang sarili. Algorithm para sa paglutas ng problema

1. Tukuyin kung ano ang binubuo ng random na eksperimento at kung ano ang random na kaganapan.

2. Hanapin ang kabuuang bilang ng mga kaganapan sa elementarya.

3. Hanapin ang bilang ng mga kaganapan na paborable sa kaganapang tinukoy sa pahayag ng problema.

4. Hanapin ang posibilidad ng isang kaganapan gamit ang formula.

Maaaring tanungin ang mga mag-aaral ng isang katanungan, kung ang 1000 na baterya ay ibinebenta, at kabilang sa mga ito 6 ay may sira, kung gayon ang napiling baterya ay tinutukoy bilang? Ano siya sa ating gawain? Susunod na nagtatanong ako tungkol sa paghahanap kung ano ang ginagamit dito bilang isang numeroat iminumungkahi kong hanapin itonumero... Tapos itatanong ko, anong event dito? Ilang baterya ang paborable para sa kaganapan? Susunod, gamit ang formula, kinakalkula namin ang posibilidad na ito.

Dito maaaring mag-alok ang mga lalaki ng pangalawang solusyon. Talakayin natin kung ano ang maaaring maging pamamaraang ito?

1. Anong kaganapan ang maaaring isaalang-alang ngayon?

2. Paano mahahanap ang posibilidad ng isang naibigay na kaganapan?

Kailangang sabihin sa mga lalaki ang tungkol sa mga formula na ito. Ang mga ito ay ang mga sumusunod

Ang ikawalong problema ay maaaring ihandog sa mga bata sa kanilang sarili, dahil ito ay katulad ng ikaanim na problema. Maaari itong ihandog sa kanila bilang pansariling gawain, o sa card sa pisara.

Ang gawaing ito maaaring malutas kaugnay sa Olympiad, na nagaganap ngayon. Sa kabila ng katotohanan na ang mga gawain ay nagsasangkot ng iba't ibang mga kaganapan, ang mga gawain ay tipikal.

2. Ang pinakasimpleng mga panuntunan at formula para sa pagkalkula ng mga probabilidad (kabaligtaran ng mga kaganapan, kabuuan ng mga kaganapan, produkto ng mga kaganapan)

Ito ay isang gawain mula sa koleksyon ng pagsusulit... Ipinapakita namin ang solusyon sa pisara. Anong mga tanong ang dapat nating ibigay sa mga mag-aaral upang i-disassemble ang gawaing ito.

1. Ilang makina ang naroon? Kapag may dalawang automata, mayroon nang dalawang kaganapan. Tinatanong ko ang mga bata kung ano ang magiging kaganapan? Ano ang magiging pangalawang kaganapan?

2. Ay ang posibilidad ng isang kaganapan. Hindi natin kailangang kalkulahin ito, dahil ibinigay ito sa kondisyon. Ayon sa pahayag ng problema, ang posibilidad na "maubos ang kape sa parehong mga makina" ay 0.12. May event A, may event B. At may lalabas na bagong event? Tinatanong ko ang mga bata - alin? Ito ang kaganapan kapag ang parehong mga vending machine ay naubusan ng kape. Sa kasong ito, sa teorya ng probabilidad, ito ay isang bagong kaganapan, na tinatawag na intersection ng dalawang kaganapan A at B at ipinahiwatig sa ganitong paraan.

Gamitin natin ang formula para sa pagdaragdag ng posibilidad. Ang formula ay ang mga sumusunod

Ibinibigay namin ito sa iyo sa reference na materyal at ang mga lalaki ay maaaring bigyan ng formula na ito. Pinapayagan ka nitong mahanap ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapan. Tinanong kami ng posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan, ang posibilidad na kung saan ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula.

Ang Problema 13 ay gumagamit ng konsepto ng isang produkto ng mga kaganapan, ang pormula para sa paghahanap ng posibilidad na ibinigay sa apendiks.

3. Mga gawain sa paggamit ng puno posibleng mga pagpipilian

Ayon sa kondisyon ng problema, madaling gumuhit ng isang diagram at hanapin ang ipinahiwatig na mga probabilidad.

Sa tulong ng kung saan teoretikal na materyal tinalakay mo ba sa mga mag-aaral ang solusyon sa mga ganitong problema? Gumamit ka na ba ng puno ng mga posibilidad o gumamit ka ba ng iba pang mga paraan upang malutas ang mga ganitong problema? Naibigay mo ba ang konsepto ng mga graph? Sa ikalimang o ikaanim na baitang, ang mga bata ay may ganitong mga problema, ang pagsusuri kung saan ay nagbibigay ng konsepto ng mga graph.

Gusto kong itanong sa iyo, napag-isipan mo ba at ng iyong mga mag-aaral na gamitin ang tree of choices kapag nilulutas ang mga probabilidad na problema? Ang katotohanan ay hindi lamang ang Unified State Exam ang may ganitong mga gawain, ngunit sa halip ay lumitaw ang mga kumplikadong gawain, na ngayon ay malulutas natin.

Talakayin natin sa iyo ang pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang problema - kung ito ay kasabay ng aking pamamaraan, tulad ng ipinaliwanag ko sa mga lalaki, kung gayon mas madali para sa akin na magtrabaho sa iyo, kung hindi, pagkatapos ay tutulungan kitang harapin ang problemang ito.

Hayaan mong talakayin namin ang mga kaganapan sa iyo. Anong mga pangyayari sa Problema 17 ang matutukoy?

Kapag nagtatayo ng isang puno, ang isang punto ay itinalaga sa isang eroplano, na tinatawag na ugat ng puno. Susunod, nagsisimula kaming isaalang-alang ang mga kaganapanat. Gagawa tayo ng segment (sa probability theory tinatawag itong branch). Ayon sa kondisyon, sinasabing ang unang pabrika ay gumagawa ng 30% mga mobile phone ng brand na ito (alin? Yung pino-produce nila), tapos, sa sa sandaling ito Tanong ko sa mga estudyante, ano ang posibilidad ng unang pabrika na gumagawa ng mga telepono ng tatak na ito, ang mga ginawa nila? Dahil ang kaganapan ay ang paglabas ng isang telepono sa unang pabrika, ang posibilidad ng kaganapang ito ay 30% o 0.3. Ang natitirang mga telepono ay ginawa sa pangalawang pabrika - itinatayo namin ang pangalawang segment, at ang posibilidad ng kaganapang ito ay 0.7.

Tinatanong ang mga mag-aaral - anong uri ng telepono ang maaaring gawin ng unang pabrika? May depekto o walang depekto. Ano ang posibilidad na ang isang telepono mula sa unang pabrika ay may depekto? Ayon sa kondisyon, ito ay sinasabing katumbas ng 0.01. T: Ano ang posibilidad na ang teleponong inilabas ng unang pabrika ay hindi may depekto? Dahil ang kaganapang ito ay kabaligtaran sa ibinigay, ang posibilidad nito ay pantay.

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang posibilidad na ang telepono ay may depekto. Maaaring mula sa unang pabrika, o maaaring mula sa pangalawa. Pagkatapos ay gagamitin namin ang formula para sa pagdaragdag ng mga probabilidad at makuha na ang buong posibilidad ay ang kabuuan ng mga probabilidad na ang telepono ay may depekto mula sa unang pabrika, at ang telepono ay may depekto mula sa pangalawang pabrika. Ang posibilidad na ang telepono ay may depekto at nailabas sa unang pabrika ay makikita gamit ang formula para sa produkto ng mga probabilidad, na ibinigay sa apendiks.

4. Isa sa pinaka kumplikadong mga gawain mula sa Unified State Exam bank para sa posibilidad

Suriin natin, halimbawa, ang No. 320199 mula sa FIPI Task Bank. Isa ito sa pinakamahirap na gawain para sa B6.

Upang makapasok sa instituto para sa espesyalidad na "Linguistics", ang aplikante na si Z. ay dapat na makaiskor ng hindi bababa sa 70 puntos sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado sa bawat isa sa tatlong paksa - matematika, Ruso at isang wikang banyaga. Upang makapasok sa espesyalidad na "Commerce", kailangan mong makakuha ng hindi bababa sa 70 puntos sa bawat isa sa tatlong paksa - matematika, Ruso at panlipunang pag-aaral.

Ang posibilidad na ang aplikante na si Z. ay makakatanggap ng hindi bababa sa 70 puntos sa matematika ay 0.6, sa wikang Ruso - 0.8, banyagang lengwahe- 0.7 at araling panlipunan - 0.5.

Hanapin ang posibilidad na si Z. ay makakapag-enroll sa kahit isa sa dalawang nabanggit na specialty.

Tandaan na ang problema ay hindi nagtatanong kung ang isang aplikante na nagngangalang Z. ay mag-aaral ng parehong linggwistika at komersiyo nang sabay-sabay at makakatanggap ng dalawang diploma. Dito kailangan nating hanapin ang posibilidad na makapag-enroll si Z. sa hindi bababa sa isa sa dalawang specialty na ito - iyon ay, makakuha ng kinakailangang bilang ng mga puntos.

Upang makapasok sa hindi bababa sa isa sa dalawang espesyalidad, ang Z. ay dapat na makaiskor ng hindi bababa sa 70 puntos sa matematika. At sa Russian. At gayon pa man - agham panlipunan o dayuhan.

Ang posibilidad na makakuha ng 70 puntos sa matematika para sa kanya ay 0.6.

Ang posibilidad na makakuha ng mga puntos sa matematika at Ruso ay pantay.

Harapin natin ang mga dayuhan at araling panlipunan. Ang mga pagpipilian ay angkop para sa amin kapag ang aplikante ay nakakuha ng mga puntos sa araling panlipunan, banyaga o pareho. Ang isang opsyon ay hindi angkop kapag hindi siya nakakuha ng mga puntos alinman sa wika o sa "lipunan". Nangangahulugan ito na ang posibilidad na makapasa sa araling panlipunan o isang wikang banyaga ay hindi bababa sa 70 puntos. Bilang resulta, ang posibilidad na makapasa sa matematika, Ruso at panlipunang pag-aaral o wikang banyaga ay

Ito ang sagot.

II ... Paglutas ng mga problemang kombinatorial

1. Bilang ng mga kumbinasyon at factorial

Suriin natin sandali ang teoretikal na materyal.

Pagpapahayagn ! binabasa bilang "en-factorial" at nagsasaad ng produkto ng lahat natural na mga numero mula 1 hanggangn kasama:n ! = 1 2 3 ...n .

Bilang karagdagan, sa matematika, sa pamamagitan ng kahulugan, ito ay itinuturing na 0! = 1. Ang ganitong expression ay bihira, ngunit nangyayari pa rin sa mga problema sa probability theory.

Kahulugan

Hayaang magkaroon ng mga bagay (mga lapis, matamis, anuman), kung saan nais mong pumili ng eksaktong magkakaibang mga bagay. Pagkatapos ang bilang ng mga pagpipilian para sa naturang pagpipilian ay tinatawagbilang ng mga kumbinasyon mula sa mga item ni. Ang numerong ito ay ipinahiwatig at kinakalkula ayon sa isang espesyal na formula.

Pagtatalaga

Ano ang ibinibigay sa atin ng formula na ito? Sa katunayan, halos walang seryosong problema ang malulutas kung wala ito.

Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, susuriin namin ang ilan sa mga pinakasimpleng pinagsama-samang problema:

Gawain

Ang bartender ay may 6 na uri ng green tea. Para sa seremonya ng tsaa, kinakailangang maghatid ng eksaktong 3 iba't ibang uri ng green tea. Ilang paraan ang maaaring matupad ng isang bartender ang isang order?

Solusyon

Ang lahat ay simple dito: mayroonn = 6 na varieties na mapagpipiliank = 3 grado. Ang bilang ng mga kumbinasyon ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Sagot

Palitan sa formula. Hindi natin kayang lutasin ang lahat ng problema, ngunit tipikal na gawain isinulat namin, ang mga ito ay iniharap sa iyong pansin.

Gawain

Sa isang grupo ng 20 mag-aaral, 2 kinatawan ang dapat mapili para magsalita sa kumperensya. Ilang paraan mo ito magagawa?

Solusyon

Muli, sa lahat ng mayroon tayon = 20 mag-aaral, ngunit kailangan mong pumilik = 2 mag-aaral. Hanapin ang bilang ng mga kumbinasyon:

Bigyang-pansin: ang mga kadahilanan na kasama sa iba't ibang mga factorial ay minarkahan ng pula. Ang mga salik na ito ay maaaring mabawasan nang walang sakit at sa gayon ay makabuluhang bawasan ang kabuuang halaga ng pagtutuos.

Sagot

190

Gawain

17 server na may iba't ibang mga depekto ang dinala sa bodega, na nagkakahalaga ng 2 beses na mas mura kaysa sa mga normal na server. Ang direktor ay bumili ng 14 na mga server para sa paaralan, at ginugol ang pera na na-save sa halagang 200,000 rubles para sa pagbili ng iba pang kagamitan. Sa ilang paraan maaaring pumili ang isang direktor ng mga may sira na server?

Solusyon

Mayroong maraming hindi kinakailangang data sa gawain na maaaring nakalilito. Karamihan mahahalagang katotohanan: nandiyan ang lahatn = 17 server, at kailangan ng direktork = 14 na server. Binibilang namin ang bilang ng mga kumbinasyon:

Ang mga multiplier, na nakansela, ay muling minarkahan ng pula. Sa kabuuan, mayroong 680 na kumbinasyon. Sa pangkalahatan, maraming mapagpipilian ang direktor.

Sagot

680

Ang gawaing ito ay pabagu-bago, dahil ang gawaing ito ay naglalaman ng karagdagang data. Nalilito nila ang maraming estudyante sa tamang desisyon. Mayroong 17 server sa kabuuan, at ang direktor ay kailangang pumili ng 14. Ang pagpapalit sa kanila sa formula, makakakuha tayo ng 680 na kumbinasyon.

2. Ang batas ng pagpaparami

Kahulugan

Batas sa pagpaparami sa combinatorics: ang bilang ng mga kumbinasyon (paraan, kumbinasyon) sa mga independiyenteng hanay ay pinarami.

Sa madaling salita, let there beA mga paraan upang maisagawa ang isang aksyon atB mga paraan upang magsagawa ng isa pang aksyon. Ang landas ay independiyente rin sa mga pagkilos na ito, i.e. ay hindi nauugnay sa isa't isa sa anumang paraan. Pagkatapos ay mahahanap mo ang bilang ng mga paraan upang maisagawa ang una at pangalawang aksyon ayon sa formula:C = A · B .

Gawain

Ang Petya ay mayroong 4 na barya na 1 ruble at 2 barya na 10 rubles. Si Petya, nang hindi tumitingin, ay kumuha sa kanyang bulsa ng 1 barya na may denominasyon na 1 ruble at isa pang 1 barya na may denominasyon na 10 rubles upang bumili ng panulat para sa 11 rubles. Sa ilang paraan niya mapipili ang mga baryang ito?

Solusyon

Kaya, unang nakukuha ni Petyak = 1 coin mula san = 4 na magagamit na mga barya na may denominasyon na 1 ruble. Ang bilang ng mga paraan upang gawin ito ayC 4 1 = ... = 4.

Pagkatapos ay dumukot muli si Petya sa kanyang bulsa at inilabask = 1 coin mula san = 2 magagamit na mga barya na may denominasyon na 10 rubles. Narito ang bilang ng mga kumbinasyon ayC 2 1 = ... = 2.

Dahil ang mga pagkilos na ito ay independyente, ang kabuuang bilang ng mga opsyon ayC = 4 2 = 8.

Sagot

Gawain

Ang basket ay naglalaman ng 8 puting bola at 12 itim. Ilang paraan ka makakakuha ng 2 puting bola at 2 itim na bola mula sa basket na ito?

Solusyon

Kabuuan sa basketn = 8 puting bola na mapagpipiliank = 2 bola. Pwedeng magawaC 8 2 = ... = 28 iba't ibang paraan.

Bilang karagdagan, naglalaman ang basketn = 12 itim na bola upang pumili mula sa mulik = 2 bola. Ang bilang ng mga paraan upang gawin ito ayC 12 2 = ... = 66.

Dahil ang pagpili ng puting bola at ang pagpili ng itim ay independiyenteng mga kaganapan, ang kabuuang bilang ng mga kumbinasyon ay kinakalkula ayon sa batas ng pagpaparami:C = 28 · 66 = 1848. Gaya ng nakikita mo, maaaring mayroong napakaraming pagpipilian.

Sagot

1848

Ang batas ng multiplikasyon ay nagpapakita kung gaano karaming mga paraan ang maaari mong gawin ang isang kumplikadong aksyon, na binubuo ng dalawa o higit pang mga simple - sa kondisyon na lahat sila ay independyente.

3. Ang batas ng karagdagan

Kung ang batas ng multiplikasyon ay gumagana sa "nakahiwalay" na mga kaganapan na hindi nakasalalay sa isa't isa, kung gayon ang batas ng pagdaragdag ay ang kabaligtaran. Nakikitungo ito sa mga kaganapan na hindi magkakasabay na nangyayari nang sabay-sabay.

Halimbawa, "Si Petya ay kumuha ng 1 barya mula sa kanyang bulsa" at "Petya ay hindi naglabas ng isang barya mula sa kanyang bulsa" ay kapwa eksklusibong mga kaganapan, dahil imposibleng kumuha ng isang barya nang hindi kumukuha ng isa.

Gayundin, ang mga kaganapang "Random na bola - puti" at "Random na bola - itim" ay kapwa eksklusibo.

Kahulugan

Batas sa karagdagan sa combinatorics: kung ang dalawang magkaibang eksklusibong aksyon ay maaaring maisagawaA atB paraan ayon sa pagkakabanggit, pagkatapos ay maaaring pagsamahin ang mga kaganapang ito. Sa kasong ito, lilitaw ang isang bagong kaganapan na maaaring isagawaX = A + B mga paraan.

Sa madaling salita, kapag pinagsasama ang magkaparehong eksklusibong mga aksyon (mga kaganapan, mga opsyon), ang bilang ng kanilang mga kumbinasyon ay idinaragdag.

Maaari nating sabihin na ang batas ng karagdagan ay isang lohikal na "OR" sa mga combinatorics, kapag nasiyahan tayo sa alinman sa mga opsyon na kapwa eksklusibo. At sa kabaligtaran, ang batas ng multiplikasyon ay isang lohikal na "AT", kung saan kami ay interesado sa sabay-sabay na pagpapatupad ng una at pangalawang aksyon.

Gawain

Ang basket ay naglalaman ng 9 itim na bola at 7 pula. Ang batang lalaki ay kumuha ng 2 bola ng parehong kulay. Sa ilang paraan niya ito magagawa?

Solusyon

Kung magkapareho ang kulay ng mga bola, kakaunti lang ang mga opsyon: pareho silang itim o pula. Malinaw, ang mga pagpipiliang ito ay kapwa eksklusibo.

Sa unang kaso, ang batang lalaki ay kailangang pumilik = 2 itim na bola mula san = 9 ang magagamit. Ang bilang ng mga paraan upang gawin ito ayC 9 2 = ... = 36.

Katulad nito, sa pangalawang kaso, pumilik = 2 pulang bola mula san = 7 posible. Ang bilang ng mga paraan ayC 7 2 = ... = 21.

Ito ay nananatili upang mahanap ang kabuuang bilang ng mga paraan. Dahil ang mga opsyon na may itim at pulang bola ay kapwa eksklusibo, ayon sa batas ng karagdagan mayroon kami:X = 36 + 21 = 57.

Sagot57

Gawain

Ang stall ay nagbebenta ng 15 rosas at 18 tulips. Ang isang mag-aaral sa ika-9 na baitang ay gustong bumili ng 3 bulaklak para sa kanyang kaklase, at lahat ng mga bulaklak ay dapat pareho. Sa ilang paraan siya makakagawa ng gayong palumpon?

Solusyon

Sa pamamagitan ng convention, ang lahat ng mga bulaklak ay dapat na pareho. Ibig sabihin, 3 rosas o 3 tulips ang bibilhin namin. Anyway,k = 3.

Sa kaso ng mga rosas, kailangan mong pumili mula san = 15 mga pagpipilian, kaya ang bilang ng mga kumbinasyon ayC 15 3 = ... = 455. Para sa tulips, gayunpamann = 18, at ang bilang ng mga kumbinasyon ayC 18 3 = ... = 816.

Dahil ang mga rosas at tulips ay magkaparehong mga opsyon, nagtatrabaho kami ayon sa batas ng karagdagan. Nakukuha namin ang kabuuang bilang ng mga opsyonX = 455 + 816 = 1271. Ito ang sagot.

Sagot

1271

Mga karagdagang tuntunin at paghihigpit

Kadalasan sa teksto ng problema ay may mga karagdagang kundisyon na nagpapataw ng mga makabuluhang paghihigpit sa mga kumbinasyon ng interes sa amin. Paghambingin ang dalawang pangungusap:

Mayroong isang set ng 5 panulat sa iba't ibang kulay. Ilang paraan ang maaari mong piliin ng 3 drawing stroke?

Mayroong isang set ng 5 panulat sa iba't ibang kulay. Gaano karaming mga paraan ang maaari mong piliin ang 3 hawakan para sa pagguhit ng mga balangkas, kung ang isa sa mga ito ay dapat na pula?

Sa unang kaso, may karapatan kaming kumuha ng anumang mga kulay na gusto namin - walang karagdagang mga paghihigpit. Sa pangalawang kaso, ang lahat ay mas kumplikado, dahil kailangan nating pumili ng pulang hawakan (pinapalagay na ito ay nasa orihinal na hanay).

Malinaw, ang anumang mga paghihigpit ay lubhang magbabawas sa kabuuang bilang ng mga opsyon. Well, paano mo mahahanap ang bilang ng mga kumbinasyon sa kasong ito? Tandaan lamang ang sumusunod na panuntunan:

Hayaang magkaroon ng isang set ngn mga elementong mapagpipiliank mga elemento. Sa pagpapakilala ng mga karagdagang paghihigpit sa bilangn atk bawasan ng parehong halaga.

Sa madaling salita, kung kailangan mong pumili ng 3 sa 5 hawakan, habang ang isa sa mga ito ay dapat pula, pagkatapos ay kailangan mong pumili mula san = 5 - 1 = 4 na elemento bawat isak = 3 - 1 = 2 elemento. Kaya, sa halip naC 5 3 dapat isaalang-alangC 4 2 .

Ngayon tingnan natin kung paano gumagana ang panuntunang ito tiyak na mga halimbawa:

Gawain

Sa isang grupo ng 20 mag-aaral, kung saan mayroong 2 mahuhusay na mag-aaral, dapat kang pumili ng 4 na tao na lalahok sa kumperensya. Gaano karaming mga paraan ang maaari mong piliin ang apat na ito, kung ang mahuhusay na mag-aaral ay dapat makapunta sa kumperensya?

Solusyon

Kaya mayroong isang grupo ngn = 20 mag-aaral. Ngunit kailangan mo lamang pumilik = 4 sa kanila. Kung walang karagdagang mga paghihigpit, kung gayon ang bilang ng mga opsyon ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyonC 20 4 .

Gayunpaman, binigyan kami ng karagdagang kondisyon: 2 mahuhusay na mag-aaral ay dapat kabilang sa apat na ito. Kaya, ayon sa panuntunan sa itaas, binabawasan namin ang mga numeron atk ng 2. Mayroon kaming:

Sagot

153

Gawain

Si Petya ay may 8 barya sa kanyang bulsa, kung saan 6 ay ruble at 2 ay 10 rubles. Naglagay si Petya ng ilang tatlong barya sa isa pang bulsa. Sa ilang paraan magagawa ito ni Petya kung malalaman na ang parehong 10-ruble na barya ay napunta sa isa pang bulsa?

Solusyon

Kaya meronn = 8 barya. Lumipat si Petyak = 3 barya, kung saan 2 ay sampung rubles. Out of 3 coin na ililipat, 2 na ang naayos kaya ang mga numeron atk dapat bawasan ng 2. Mayroon kaming:

Sagot

III ... Paglutas ng Pinagsamang Mga Problema Gamit ang Combinatorial Formulas at Probability Theory

Gawain

Sa bulsa ni Petya mayroong 4 na ruble na barya at 2 barya ng 2 rubles bawat isa. Si Petya, nang hindi tumitingin, ay naglagay ng ilang tatlong barya sa isa pang bulsa. Hanapin ang posibilidad na ang dalawang-ruble na barya ay nasa parehong bulsa.

Solusyon

Ipagpalagay na ang parehong dalawang-ruble na barya ay talagang natapos sa isang bulsa, pagkatapos ay posible ang 2 mga pagpipilian: alinman sa Petya ay hindi inilipat ang mga ito, o inilipat niya ang pareho nang sabay-sabay.

Sa unang kaso, kapag ang dalawang-ruble na barya ay hindi nailipat, kailangan mong maglipat ng 3 barya bawat ruble. Dahil mayroong 4 na mga barya sa kabuuan, ang bilang ng mga paraan upang gawin ito ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon mula 4 hanggang 3:C 4 3 .

Sa pangalawang kaso, kapag ang dalawang ruble na barya ay nailipat, isa pang ruble coin ang kailangang ilipat. Dapat itong mapili mula sa 4 na umiiral na, at ang bilang ng mga paraan upang gawin ito ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon mula 4 hanggang 1:C 4 1 .

Ngayon, hanapin natin ang kabuuang bilang ng mga paraan upang maglipat ng mga barya. Dahil mayroong 4 + 2 = 6 na barya sa kabuuan, at 3 lamang sa kanila ang kailangang piliin, ang kabuuang bilang ng mga opsyon ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon ng 6 hanggang 3:C 6 3 .

Ito ay nananatili upang mahanap ang posibilidad:

Sagot

0,4

Ipakita sa isang interactive na whiteboard. Bigyang-pansin ang katotohanan na, ayon sa kondisyon ng problema, si Petya, nang hindi tumitingin, ay naglagay ng tatlong barya sa isang bulsa. Sa pagsagot sa tanong na ito, maaari nating ipagpalagay na ang dalawang dalawang-ruble na barya ay talagang nanatili sa isang bulsa. Sumangguni sa formula para sa pagdaragdag ng mga probabilidad. Ipakita muli ang formula.

Gawain

Sa kanyang bulsa si Petya ay mayroong 2 barya na 5 rubles bawat isa at 4 na barya na 10 rubles bawat isa. Si Petya, nang hindi tumitingin, ay naglagay ng ilang 3 barya sa isa pang bulsa. Hanapin ang posibilidad na ang limang ruble na barya ay nasa iba't ibang bulsa na ngayon.

Solusyon

Upang ang limang ruble na barya ay nasa iba't ibang bulsa, kailangan mo lamang ilipat ang isa sa mga ito. Ang bilang ng mga paraan upang gawin ito ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon mula 2 hanggang 1:C 2 1 .

Dahil naglipat si Petya ng 3 barya sa kabuuan, kakailanganin niyang maglipat ng 2 pang barya na 10 rubles bawat isa. Ang Petya ay mayroong 4 na gayong mga barya, kaya ang bilang ng mga paraan ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon mula 4 hanggang 2:C 4 2 .

Ito ay nananatili upang malaman kung gaano karaming mga pagpipilian ang mayroon upang ilipat ang 3 mga barya sa 6 na magagamit. Ang bilang na ito, tulad ng sa nakaraang problema, ay katumbas ng bilang ng mga kumbinasyon mula 6 hanggang 3:C 6 3 .

Hanapin ang posibilidad:

V ang huling hakbang pinarami namin ang bilang ng mga paraan upang pumili ng dalawang-ruble na barya at ang bilang ng mga paraan upang pumili ng sampung-ruble na barya, dahil ang mga kaganapang ito ay independyente.

Sagot

0,6

Kaya, ang mga problema sa mga barya ay may sariling probability formula. Ito ay napakasimple at mahalaga na maaari itong mabalangkas bilang isang teorama.

Teorama

Hayaang ihagis ang baryan minsan. Pagkatapos ang posibilidad na ang mga ulo ay eksaktong mapuntak Ang mga oras ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

saanC n k - ang bilang ng mga kumbinasyon ngn mga elemento sa pamamagitan ngk , na kinakalkula ng formula:

Kaya, upang malutas ang problema sa mga barya, dalawang numero ang kailangan: ang bilang ng mga tosses at ang bilang ng mga agila. Kadalasan, ang mga numerong ito ay direktang ibinibigay sa teksto ng problema. Bukod dito, hindi mahalaga kung ano ang iyong binibilang: mga buntot o ulo. Magiging pareho ang sagot.

Sa unang sulyap, ang teorama ay tila napakahirap. Ngunit sa kaunting pagsasanay, hindi mo nais na bumalik sa karaniwang algorithm na inilarawan sa itaas.

Ang barya ay itinapon ng apat na beses. Hanapin ang posibilidad na ito ay eksaktong tatlong beses.

Solusyon

Ayon sa kondisyon ng problema, ang kabuuang bilang ng mga throws ayn = 4. Kinakailangang bilang ng mga agila:k = 3. Kapalitn atk sa formula:

Ang bilang ng mga buntot ay mabibilang na may parehong tagumpay:k = 4 - 3 = 1. Pareho ang sagot.

Sagot

0,25

Gawain [ Workbook“Pinag-isang State Exam 2012 sa Mathematics. Mga Gawain B6 "]

Ang barya ay itinapon ng tatlong beses. Hanapin ang posibilidad na hindi ito lalabas.

Solusyon

Isulat muli ang mga numeron atk ... Dahil ang barya ay inihagis ng 3 beses,n = 3. At dahil dapat walang buntot,k = 0. Ito ay nananatiling palitan ang mga numeron atk sa formula:

Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na 0! = 1 ayon sa kahulugan. kaya langC 3 0 = 1.

Sagot

0,125

Problema [Pagsubok sa pagsusulit sa matematika 2012. Irkutsk]

Sa isang random na eksperimento, ang isang simetriko na barya ay itinapon ng 4 na beses. Hanapin ang posibilidad na ang mga ulo ay lalabas nang mas maraming beses kaysa sa mga buntot.

Solusyon

Upang magkaroon ng higit pang mga ulo kaysa sa mga buntot, dapat silang umakyat nang 3 beses (pagkatapos ay magkakaroon ng 1 buntot) o 4 (pagkatapos ay walang mga buntot). Hanapin natin ang posibilidad ng bawat isa sa mga kaganapang ito.

Hayaanp 1 - ang posibilidad na mapunta ang mga ulo ng 3 beses. Pagkataposn = 4, k = 3. Mayroon kaming:

Ngayon ay hahanapin natinp 2 - ang posibilidad na ang mga ulo ay mahulog sa lahat ng 4 na beses. Sa kasong iton = 4, k = 4. Mayroon kaming:

Upang makuha ang sagot, nananatili itong magdagdag ng mga probabilidadp 1 atp 2 ... Tandaan, maaari ka lamang magdagdag ng mga probabilidad para sa mga kaganapang kapwa eksklusibo. Meron kami:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Sagot

0,3125

Upang makatipid ng iyong oras habang naghahanda kasama ang mga lalaki para sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado at Pagsusuri ng Estado, ipinakita namin ang mga solusyon sa marami pang problema na maaari mong piliin at lutasin kasama ng mga lalaki.

Mga materyales ng GIA, PAGGAMIT ng iba't-ibang taon, aklat-aralin at mga site.

IV. Sangguniang materyal

Maaaring hatiin sa 3 grupo ang mga pangyayaring nangyayari sa realidad o sa ating imahinasyon. Ito ay mga mapagkakatiwalaang kaganapan na tiyak na mangyayari, imposibleng mga kaganapan at mga random na kaganapan. Ang teorya ng probabilidad ay nag-aaral ng mga random na kaganapan, i.e. mga pangyayaring maaaring mangyari o hindi. Ang artikulong ito ay ipapakita sa maikling porma probability theory formula at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa probability theory, na nasa ika-4 na gawain ng pagsusulit sa matematika (profile level).

Bakit kailangan ang teorya ng probabilidad

Sa kasaysayan, ang pangangailangan na pag-aralan ang mga problemang ito ay lumitaw noong ika-17 siglo na may kaugnayan sa pag-unlad at propesyonalisasyon ng pagsusugal at ang paglitaw ng isang casino. Ito ay isang tunay na kababalaghan na nangangailangan ng pag-aaral at pananaliksik.

Ang paglalaro ng mga card, craps, roulette ay lumikha ng mga sitwasyon kung saan maaaring mangyari ang alinman sa isang limitadong bilang ng mga pantay na posibleng kaganapan. Ang pangangailangan ay lumitaw upang magbigay ng mga numerical na pagtatantya ng posibilidad ng isang partikular na kaganapan na nagaganap.

Sa XX siglo, naging malinaw na ang tila walang kabuluhang agham na ito ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa pag-unawa sa mga pangunahing proseso na nagaganap sa microcosm. Nilikha modernong teorya mga probabilidad.

Mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad

Ang object ng pag-aaral ng theory of probability ay ang mga pangyayari at ang kanilang mga probabilities. Kung kumplikado ang kaganapan, maaari itong hatiin sa mga simpleng bahagi, ang mga posibilidad na madaling mahanap.

Ang kabuuan ng mga kaganapan A at B ay tinatawag na kaganapan C, na binubuo sa katotohanan na alinman sa kaganapan A, o kaganapan B, o mga kaganapan A at B ay nangyari nang sabay-sabay.

Ang produkto ng mga kaganapan A at B ay tinatawag na kaganapan C, na binubuo sa katotohanan na ang parehong kaganapan A at kaganapan B.

Ang mga kaganapan A at B ay tinatawag na hindi magkatugma kung hindi sila maaaring mangyari nang sabay.

Ang kaganapan A ay tinatawag na imposible kung hindi ito mangyayari. Ang ganitong kaganapan ay ipinahiwatig ng isang simbolo.

Ang kaganapan A ay tinatawag na kapani-paniwala kung ito ay kinakailangang mangyari. Ang ganitong kaganapan ay ipinahiwatig ng isang simbolo.

Hayaang maiugnay ang bawat pangyayari A sa bilang na P (A). Ang numerong P (A) na ito ay tinatawag na posibilidad ng kaganapan A kung ang mga sumusunod na kondisyon ay natupad para sa sulat na ito.

Ang isang mahalagang espesyal na kaso ay ang sitwasyon kung saan may mga equiprobable elementarya na mga kinalabasan, at arbitrary ng mga kinalabasan na ito ay bumubuo ng mga kaganapan A. Sa kasong ito, ang posibilidad ay maaaring ilagay gamit ang formula. Ang posibilidad na ipinakilala sa ganitong paraan ay tinatawag na klasikal na posibilidad. Maaari itong patunayan na sa kasong ito ang mga katangian 1-4 ay nasiyahan.

Ang mga problema sa teorya ng probabilidad na nakatagpo sa pagsusulit sa matematika ay pangunahing nauugnay sa klasikal na posibilidad. Ang ganitong mga gawain ay maaaring napakasimple. Ang mga problema sa probability theory ay lalong simple sa mga pagpipilian sa pagpapakita... Madaling kalkulahin ang bilang ng mga kanais-nais na resulta, ang bilang ng lahat ng mga kinalabasan ay nakasulat mismo sa kondisyon.

Nakukuha namin ang sagot sa pamamagitan ng formula.

Isang halimbawa ng problema mula sa pagsusulit sa matematika upang matukoy ang posibilidad

Mayroong 20 pie sa mesa - 5 may repolyo, 7 may mansanas at 8 may kanin. Gusto ni Marina na kumuha ng pie. Ano ang posibilidad na kunin niya ang rice pie?

Solusyon.

Mayroong 20 equiprobable elementary na resulta sa kabuuan, iyon ay, ang Marina ay maaaring kumuha ng alinman sa 20 pie. Ngunit kailangan nating tantyahin ang posibilidad na kumuha si Marina ng isang pie na may kanin, iyon ay, kung saan ang A ay ang pagpipilian ng isang pie na may kanin. Kaya mayroon kaming bilang ng mga kanais-nais na resulta (mga pagpipilian ng mga pie na may kanin) lamang 8. Pagkatapos ang posibilidad ay matutukoy ng formula:

Independent, kasalungat at arbitrary na mga pangyayari

Gayunpaman, sa bukas na bangko nagsimulang matugunan ang mga gawain at mas kumplikadong mga gawain. Samakatuwid, bigyan natin ng pansin ang mambabasa sa iba pang mga isyu na pinag-aralan sa teorya ng probabilidad.

Ang mga kaganapan A at B ay tinatawag na independiyente kung ang posibilidad ng bawat isa sa kanila ay hindi nakasalalay sa kung ang isa pang kaganapan ay naganap.

Ang kaganapan B ay nangangahulugan na ang kaganapan A ay hindi nangyari, i.e. Ang kaganapan B ay kabaligtaran ng kaganapan A. Ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan ay katumbas ng isang minus ang posibilidad ng direktang kaganapan, i.e. ...

Pagdaragdag at pagpaparami ng mga teorema para sa mga probabilidad, mga formula

Para sa mga arbitrary na kaganapan A at B, ang posibilidad ng kabuuan ng mga kaganapang ito ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga probabilidad nang walang posibilidad ng kanilang magkasanib na kaganapan, i.e. ...

Para sa mga independiyenteng kaganapan A at B, ang posibilidad ng produkto ng mga kaganapang ito ay katumbas ng produkto ng kanilang mga probabilidad, i.e. sa kasong ito.

Ang huling 2 pahayag ay tinatawag na theorems of addition and multiplication of probabilities.

Ang pagbibilang ng bilang ng mga resulta ay hindi palaging napakadali. Sa ilang mga kaso, kinakailangang gumamit ng mga combinatorial formula. Sa kasong ito, ang pinakamahalagang bagay ay ang bilangin ang bilang ng mga kaganapan na nagbibigay-kasiyahan ilang kundisyon... Minsan ang ganitong uri ng mga kalkulasyon ay maaaring maging mga independiyenteng gawain.

Sa ilang paraan maaaring maupo ang 6 na estudyante sa 6 na bakanteng upuan? Ang unang mag-aaral ay kukuha ng alinman sa 6 na upuan. Ang bawat isa sa mga opsyong ito ay tumutugma sa 5 paraan upang mapalitan ang pangalawang estudyante. Para sa ikatlong mag-aaral mayroong 4 na libreng lugar, para sa ikaapat - 3, para sa ikalima - 2, ang ikaanim ay kukuha ng tanging natitirang lugar. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga pagpipilian, kailangan mong hanapin ang produkto, na tinutukoy ng simbolo 6! at may nakasulat na "six factorial".

Sa pangkalahatang kaso, ang sagot sa tanong na ito ay ibinibigay ng formula para sa bilang ng mga permutasyon ng n elemento Sa aming kaso.

Isaalang-alang ngayon ang isa pang kaso sa aming mga mag-aaral. Sa ilang paraan maaaring maupo ang 2 estudyante para sa 6 na bakanteng upuan? Ang unang mag-aaral ay kukuha ng alinman sa 6 na upuan. Ang bawat isa sa mga opsyong ito ay tumutugma sa 5 paraan upang mapalitan ang pangalawang estudyante. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga opsyon, kailangan mong hanapin ang produkto.

Sa pangkalahatang kaso, ang sagot sa tanong na ito ay ibinibigay ng formula para sa bilang ng mga pagkakalagay ng n elemento para sa k elemento

Sa kaso natin .

At ang huling kaso sa seryeng ito. Ilang paraan ang mayroon para pumili ng tatlong estudyante sa 6? Maaaring piliin ang unang mag-aaral sa 6 na paraan, ang pangalawa sa 5 paraan, ang pangatlo sa apat. Ngunit sa mga pagpipiliang ito, ang parehong tatlong mag-aaral ay nakatagpo ng 6 na beses. Upang mahanap ang bilang ng lahat ng mga opsyon, kailangan mong kalkulahin ang halaga:. Sa pangkalahatan, ang sagot sa tanong na ito ay ibinibigay ng formula para sa bilang ng mga kumbinasyon ng mga elemento ng mga elemento:

Sa kaso natin .

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema mula sa pagsusulit sa matematika upang matukoy ang posibilidad

Suliranin 1. Mula sa koleksyon, ed. Yashchenko.

Mayroong 30 pie sa plato: 3 na may karne, 18 na may repolyo at 9 na may seresa. Pumili si Sasha ng isang pie nang random. Hanapin ang posibilidad na mapunta siya sa isang cherry.

.

Sagot: 0.3.

Suliranin 2. Mula sa koleksyon, ed. Yashchenko.

Sa bawat batch ng 1000 bombilya, isang average ng 20 may sira na bombilya. Hanapin ang posibilidad na ang isang bumbilya na kinuha nang random mula sa isang batch ay gagana nang maayos.

Solusyon: Ang bilang ng mga gumaganang bombilya ay 1000-20 = 980. Kung gayon ang posibilidad na ang bumbilya na kinuha nang random mula sa batch ay magagamit:

Sagot: 0.98.

Ang posibilidad na malutas nang tama ng mag-aaral na U. ang higit sa 9 na problema sa pagsusulit sa matematika ay 0.67. Ang posibilidad na malutas ng U. nang tama ang higit sa 8 mga problema ay 0.73. Hanapin ang posibilidad na malulutas ng U ang eksaktong 9 na problema nang tama.

Kung maiisip natin ang isang linya ng numero at markahan ang mga puntos 8 at 9 dito, makikita natin na ang kundisyon na "Y. wastong malulutas ang eksaktong 9 na problema "ay kasama sa kondisyon" U. ay tama na malulutas ang higit sa 8 mga problema ", ngunit hindi nalalapat sa kondisyon" W. ay malulutas nang tama ang higit sa 9 na problema ”.

Gayunpaman, ang kondisyong "W. ay wastong malulutas ang higit sa 9 na problema "ay nakapaloob sa kondisyon" W. ay malulutas nang tama ang higit sa 8 mga problema ”. Kaya, kung itinalaga natin ang mga kaganapan: "W. ay tama na malulutas ang eksaktong 9 na problema "- sa pamamagitan ng A," Y. ay malulutas nang tama ang higit sa 8 mga problema "- sa pamamagitan ng B," U. ay wastong malulutas ang higit sa 9 na mga problema "sa pamamagitan ng C. Ang solusyon na iyon ay magiging ganito:

Sagot: 0.06.

Sa pagsusulit sa geometry, sinasagot ng mag-aaral ang isang tanong mula sa listahan ng mga tanong sa pagsusulit. Ang posibilidad na ito ay isang tanong na Trigonometry ay 0.2. Ang posibilidad na ito ay isang Outside Angles na tanong ay 0.15. Walang mga tanong na sabay na nauugnay sa dalawang paksang ito. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng tanong ang isang mag-aaral sa isa sa dalawang paksang ito sa pagsusulit.

Isipin natin kung anong uri ng mga kaganapan ang mayroon tayo. Binigyan tayo ng dalawang hindi magkatugmang pangyayari. Iyon ay, alinman sa tanong ay nauugnay sa paksang "Trigonometry", o sa paksang "Sa labas ng mga anggulo". Ayon sa probability theorem, ang posibilidad ng hindi pantay na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng bawat kaganapan, dapat nating hanapin ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito, iyon ay:

Sagot: 0.35.

Ang silid ay iluminado ng isang parol na may tatlong lampara. Ang posibilidad na masunog ang isang lampara sa isang taon ay 0.29. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isang lampara ang hindi masunog sa loob ng isang taon.

Isaalang-alang natin ang mga posibleng kaganapan. Mayroon kaming tatlong bombilya, na ang bawat isa ay maaaring masunog o hindi maubos nang hiwalay sa anumang iba pang bombilya. Ito ay mga malayang kaganapan.

Pagkatapos ay ipahiwatig namin ang mga pagpipilian para sa mga naturang kaganapan. Tanggapin natin ang notasyon: - ang ilaw ay bukas, - ang ilaw ay nasunog. At sa tabi nito ay kalkulahin natin ang posibilidad ng kaganapan. Halimbawa, ang posibilidad ng isang kaganapan kung saan naganap ang tatlong independiyenteng kaganapan "nasunog ang bombilya", "nakabukas ang bumbilya", "nakabukas ang bumbilya": ...

Pansin sa mga aplikante! Narito ang ilang mga gawain ng pagsusulit. Ang natitira, mas kawili-wili, ay nasa aming libreng materyal na video. Panoorin at gawin!

Magsisimula tayo sa mga simpleng gawain at mga pangunahing konsepto ng probability theory.
Random ay tinatawag na isang kaganapan na hindi tumpak na mahulaan nang maaga. Maaari itong mangyari o hindi.
Nanalo ka sa lottery - isang random na kaganapan. Inimbitahan mo ang iyong mga kaibigan na ipagdiwang ang panalo, at na-stuck sila sa elevator habang papunta sa iyong lugar - isa ring random na kaganapan. Totoo, nasa malapit ang master at pinalaya ang buong kumpanya sa loob ng sampung minuto - at maaari rin itong ituring na isang masayang pagkakataon ...

Ang buhay natin ay puno ng mga random na pangyayari. Ang bawat isa sa kanila ay masasabing nangyayari sa ilan probabilidad... Malamang, pamilyar ka sa konseptong ito. Magbibigay kami ngayon ng isang mathematical na kahulugan ng probabilidad.

Magsimula tayo sa pinakadulo simpleng halimbawa... Mag-flip ka ng barya. Ulo o buntot?

Ang isang aksyon na maaaring humantong sa isa sa ilang mga resulta ay tinatawag sa probability theory pagsusulit.

Ang mga ulo at buntot ay dalawang posible paglabas mga pagsubok.

Ang agila ay mahuhulog sa isa sa dalawang kaso. Sabi nila probabilidad na ang barya ay mapunta ulo ay katumbas ng.

Igulong natin ang mamatay. Ang kubo ay may anim na mukha, kaya mayroon ding anim na posibleng resulta.

Halimbawa, nahulaan mo na makakakuha ka ng tatlong puntos. Ito ay isang resulta sa anim na posible. Sa probability theory, ito ay tatawagin kanais-nais na kinalabasan.

Ang posibilidad na makakuha ng tatlo ay (isang paborableng resulta sa anim na posible).

Ang posibilidad ng isang apat ay din

Ngunit ang posibilidad ng paglitaw ng pito ay zero. Pagkatapos ng lahat, walang gilid na may pitong puntos sa kubo.

Ang posibilidad ng isang kaganapan ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga kanais-nais na resulta sa kabuuang bilang ng mga resulta.

Malinaw, ang posibilidad ay hindi maaaring higit sa isa.

Narito ang isa pang halimbawa. Sa pakete ay may mga mansanas, kung saan ay pula, ang iba ay berde. Ang mga mansanas ay hindi naiiba sa hugis o sukat. Inilagay mo ang iyong kamay sa bag at kumuha ng isang mansanas nang random. Ang posibilidad ng paghila ng pulang mansanas ay pantay, at ang berde ay.

Ang posibilidad na makakuha ng pula o berdeng mansanas ay pantay.

Suriin natin ang mga problema sa teorya ng posibilidad na kasama sa mga koleksyon para sa paghahanda para sa pagsusulit.

... Ang kumpanya ng taxi ay kasalukuyang walang mga kotse: pula, dilaw at berde. Sa tawag, lumabas ang isa sa mga kotseng pinakamalapit sa customer. Hanapin ang posibilidad na may isang dilaw na taxi na darating sa kanya.

May mga sasakyan sa kabuuan, ibig sabihin, isa sa labinlimang ay darating sa customer. Mayroong siyam na dilaw, na nangangahulugan na ang posibilidad ng pagdating ng isang dilaw na kotse ay pantay, iyon ay.

... (Bersyon ng demo) Sa koleksyon ng mga tiket sa biology ng lahat ng mga tiket, sa dalawa sa kanila ay may tanong tungkol sa mga kabute. Sa pagsusulit, ang mag-aaral ay tumatanggap ng isang random na napiling tiket. Hanapin ang posibilidad na ang tiket na ito ay hindi kasama ang tanong ng kabute.

Malinaw, ang posibilidad na mabunot ang isang tiket nang walang tanong sa kabute ay pantay, iyon ay.

... Ang Komite ng mga Magulang ay bumili ng mga puzzle para sa mga regalo para sa mga bata sa dulo taon ng paaralan, na may mga larawan mga sikat na artista at may mga larawan ng mga hayop. Ang mga regalo ay ibinahagi nang random. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng palaisipan si Vovochka sa isang hayop.

Ang problema ay nalulutas sa katulad na paraan.

Sagot: .

... Ang kampeonato ng gymnastics ay dinaluhan ng mga atleta: mula sa Russia, mula sa USA, ang iba ay mula sa China. Ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga gymnast ay gumaganap ay tinutukoy ng lot. Hanapin ang posibilidad na ang huling kakumpitensya ay mula sa China.

Isipin natin na ang lahat ng mga atleta ay sabay-sabay na pumunta sa sumbrero at naglabas ng mga piraso ng papel na may mga numero. Ang ilan sa kanila ay makakakuha ng numero ikadalawampu. Pantay ang posibilidad na hilahin siya ng Chinese athlete (dahil may mga atleta mula sa China). Sagot: .

... Ang mag-aaral ay pinangalanan ang isang numero mula sa hanggang. Ano ang posibilidad na magsasabi siya ng multiple of five?

Bawat ikalima ang isang numero mula sa hanay na ito ay nahahati ng. Samakatuwid, ang posibilidad ay.

Isang dice ang inihagis. Hanapin ang posibilidad na ang isang kakaibang bilang ng mga puntos ay ibinaba.

Kakaibang numero; - kahit. Ang posibilidad ng isang kakaibang bilang ng mga puntos ay.

Sagot: .

... Ang barya ay itinapon ng tatlong beses. Ano ang posibilidad ng dalawang ulo at isang buntot?

Tandaan na ang problema ay maaaring mabuo nang iba: tatlong barya ang itinapon sa parehong oras. Hindi ito makakaapekto sa desisyon.

Gaano karaming mga posibleng resulta sa tingin mo ang mayroon?

Naghagis kami ng barya. Ang pagkilos na ito ay may dalawang posibleng resulta: ulo at buntot.

Dalawang barya - mayroon nang apat na resulta:

Tatlong barya? Tama, ang mga kinalabasan, mula noon.

Dalawang ulo at isang buntot ang lumalabas ng tatlong beses sa walo.

Sagot: .

... Sa isang random na eksperimento, dalawang dice ang pinagsama. Hanapin ang posibilidad na ang kabuuan ay mga puntos. I-round ang resulta sa pinakamalapit na hundredth.

I-roll namin ang unang mamatay - anim na resulta. At para sa bawat isa sa kanila anim pa ang posible - kapag igulong natin ang pangalawang mamatay.

Nakukuha namin na ang aksyon na ito - pagkahagis ng dalawa dais- lahat ng posibleng resulta, dahil.

At ngayon - ang mga kanais-nais na kinalabasan:

Ang posibilidad na makakuha ng walong puntos ay pantay.

>. Ang tagabaril ay tumama sa target na may posibilidad. Hanapin ang posibilidad na matamaan niya ang target ng apat na beses na magkakasunod.

Kung ang posibilidad ng pagtama ay pantay, samakatuwid, ang posibilidad ng isang miss. Nangangatuwiran kami sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang problema. Ang posibilidad ng dalawang hit sa isang hilera ay pantay. At ang posibilidad ng apat na sunud-sunod na hit ay.

Probability: brute force logic.

Narito ang isang problema mula sa gawaing diagnostic, na tila mahirap sa marami.

Sa kanyang bulsa si Petya ay may mga barya para sa mga rubles at mga barya para sa mga rubles. Si Petya, nang hindi tumitingin, ay naglagay ng ilang barya sa isa pang bulsa. Hanapin ang posibilidad na ang limang ruble na barya ay nasa iba't ibang bulsa na ngayon.

Alam namin na ang posibilidad ng isang kaganapan ay katumbas ng ratio ng bilang ng mga kanais-nais na resulta sa kabuuang bilang ng mga resulta. Ngunit paano mo kinakalkula ang lahat ng mga kinalabasan na ito?

Siyempre, maaari mong italaga ang limang ruble na barya na may mga numero, at sampung ruble na numero - at pagkatapos ay bilangin kung gaano karaming mga paraan ang maaari mong piliin ang tatlong elemento mula sa set.

Gayunpaman, mayroong isang mas simpleng solusyon:

Nag-encode kami ng mga barya na may mga numero:, (ito ay limang rubles), (ito ay sampung rubles). Ang kalagayan ng problema ay maaari na ngayong mabalangkas tulad ng sumusunod:

Mayroong anim na token na binibilang mula hanggang. Ilang paraan maaari mong hatiin ang mga ito nang pantay-pantay sa dalawang bulsa upang ang mga may bilang na chip ay hindi magkakasama?

Isulat natin kung ano ang nasa ating unang bulsa.

Para magawa ito, bubuuin namin ang lahat ng posibleng kumbinasyon mula sa set. Ang isang set ng tatlong token ay magiging isang tatlong-digit na numero. Malinaw, sa aming mga kundisyon at isa at parehong hanay ng mga token. Upang hindi makaligtaan ang anuman at hindi maulit ang anuman, inaayos namin ang kaukulang tatlong-digit na mga numero sa pataas na pagkakasunud-sunod:

Lahat! Napag-usapan na namin ang lahat ng posibleng kumbinasyon simula sa. Nagpapatuloy kami:

Kabuuang posibleng resulta.

Mayroon kaming kundisyon - mga chip na may mga numero at hindi dapat magkasama. Nangangahulugan ito, halimbawa, na ang kumbinasyon ay hindi angkop sa amin - nangangahulugan ito na ang mga chips at pareho ay hindi sa una, ngunit sa pangalawang bulsa. Ang mga resulta na pabor sa atin ay ang mga kung saan mayroon lamang o lamang. Nandito na sila:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - kabuuang kanais-nais na mga resulta.

Kung gayon ang kinakailangang probabilidad ay.

Anong mga gawain ang naghihintay sa iyo sa pagsusulit sa matematika?

Suriin natin ang isa sa mga mahihirap na problema sa probability theory.

Upang makapasok sa instituto para sa espesyalidad na "Linguistics", ang aplikante na si Z. ay dapat na makaiskor ng hindi bababa sa 70 puntos sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado sa bawat isa sa tatlong paksa - matematika, Ruso at isang wikang banyaga. Upang makapasok sa espesyalidad na "Commerce", kailangan mong makakuha ng hindi bababa sa 70 puntos sa bawat isa sa tatlong paksa - matematika, Ruso at panlipunang pag-aaral.

Ang posibilidad na ang aplikante na si Z. ay makakatanggap ng hindi bababa sa 70 puntos sa matematika ay 0.6, sa wikang Ruso - 0.8, sa isang wikang banyaga - 0.7, at sa pag-aaral sa lipunan - 0.5.
Hanapin ang posibilidad na si Z. ay makakapag-enroll sa kahit isa sa dalawang nabanggit na specialty.

Tandaan na ang problema ay hindi nagtatanong kung ang isang aplikante na nagngangalang Z. ay mag-aaral ng parehong linggwistika at komersiyo nang sabay-sabay at makakatanggap ng dalawang diploma. Dito kailangan nating hanapin ang posibilidad na makapag-enroll si Z. sa hindi bababa sa isa sa dalawang specialty na ito - iyon ay, makakuha ng kinakailangang bilang ng mga puntos.
Upang makapasok sa hindi bababa sa isa sa dalawang espesyalidad, ang Z. ay dapat na makaiskor ng hindi bababa sa 70 puntos sa matematika. At sa Russian. At gayon pa man - agham panlipunan o dayuhan.
Ang posibilidad na makakuha ng 70 puntos sa matematika para sa kanya ay 0.6.
Ang posibilidad na makakuha ng mga puntos sa matematika at Russian ay 0.6 0.8.

Harapin natin ang mga dayuhan at araling panlipunan. Ang mga pagpipilian ay angkop para sa amin kapag ang aplikante ay nakakuha ng mga puntos sa araling panlipunan, banyaga o pareho. Ang isang opsyon ay hindi angkop kapag hindi siya nakakuha ng mga puntos alinman sa wika o sa "lipunan". Nangangahulugan ito na ang posibilidad na makapasa sa araling panlipunan o isang wikang banyaga ay hindi bababa sa 70 puntos na katumbas ng
1 – 0,5 0,3.
Bilang resulta, ang posibilidad na makapasa sa matematika, Ruso at panlipunang pag-aaral o wikang banyaga ay
0.6 0.8 (1 - 0.5 0.3) = 0.408. Ito ang sagot.

Random na kaganapan - anumang kaganapan na maaaring mangyari o hindi maaaring mangyari bilang resulta ng anumang karanasan.

Probabilidad ng kaganapan R katumbas ng ratio ng bilang ng mga kanais-nais na resulta k sa bilang ng mga posibleng resulta n, ibig sabihin.

p = \ frac (k) (n)

Mga pormula ng pagdaragdag at pagpaparami ng teorya ng posibilidad

\ Bar (A) na kaganapan tinawag kabaligtaran ng kaganapan A, kung hindi nangyari ang pangyayari A.

Kabuuan ng mga probabilidad magkasalungat na mga kaganapan ay katumbas ng isa, i.e.

P (\ bar (A)) + P (A) = 1

• Ang posibilidad ng isang kaganapan ay hindi maaaring higit sa 1.
• Kung ang posibilidad ng isang kaganapan ay 0, hindi ito mangyayari.
• Kung ang posibilidad ng isang kaganapan ay 1, kung gayon ito ay mangyayari.

Probability addition theorem:

"Ang posibilidad ng kabuuan ng dalawang hindi magkatugmang kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito."

P (A + B) = P (A) + P (B)

Probability kabuuan dalawang magkasanib na kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito nang hindi isinasaalang-alang ang magkasanib na pangyayari:

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB)

Probability multiplication theorem

"Ang posibilidad ng produkto ng dalawang kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng isa sa mga ito sa pamamagitan ng kondisyon na posibilidad ng isa pa, na kinakalkula sa ilalim ng kondisyon na naganap ang una."

P (AB) = P (A) * P (B)

Mga Pag-unlad ay tinatawag hindi pare-pareho, kung ang hitsura ng isa sa kanila ay hindi kasama ang hitsura ng iba. Iyon ay, isang partikular na kaganapan lamang ang maaaring mangyari, o iba pa.

Mga Pag-unlad ay tinatawag magkadugtong, kung ang opensiba ng isa sa kanila ay hindi ibinubukod ang simula ng isa pa.

Dalawang random na kaganapan A at B ay tinatawag malaya, kung ang paglitaw ng isa sa kanila ay hindi nagbabago sa posibilidad ng paglitaw ng isa pa. Kung hindi, ang mga kaganapan A at B ay tinatawag na umaasa.

Lesson-lecture sa paksang "probability theory"

Gawain bilang 4 mula sa pagsusulit 2016.

Antas ng profile.

Pangkat 1: mga gawain para sa paggamit ng classical probability formula.

• Ehersisyo 1. Mayroong 60 sa kumpanya ng taxi mga pampasaherong sasakyan; 27 sa kanila ay itim na may dilaw na inskripsiyon sa mga gilid, ang iba ay kulay dilaw may mga itim na inskripsiyon. Hanapin ang posibilidad na ang isang dilaw na kotse na may itim na inskripsiyon ay darating para sa isang random na tawag.

• Gawain 2. Naghagis ng maraming sina Misha, Oleg, Nastya at Galya - sino ang dapat magsimula ng laro. Hanapin ang posibilidad na hindi na kailangang simulan ni Galya ang laro.

• Gawain 3. Sa karaniwan, sa 1,000 garden pump na ibinebenta, 7 ang tumutulo. Hanapin ang posibilidad na ang isang bomba na random na pinili upang kontrolin ay hindi tumutulo.

• Gawain 4. Mayroon lamang 15 na mga tiket sa koleksyon ng mga tiket para sa kimika, 6 sa mga ito ay naglalaman ng isang katanungan sa paksang "Mga Acid". Hanapin ang posibilidad na ang isang mag-aaral ay makakatanggap ng isang tanong sa paksang "Mga Acid" sa isang random na napiling tiket sa pagsusulit.

• Gawain 5. 45 na atleta ang nakikipagkumpitensya sa kampeonato sa diving, kabilang sa mga ito ang 4 na divers mula sa Spain at 9 na divers mula sa USA. Ang pagkakasunud-sunod ng mga pagtatanghal ay natutukoy sa pamamagitan ng pagguhit ng maraming. Hanapin ang posibilidad na ang isang US jumper ay gaganap sa ikadalawampu't apat.

• Gawain 6. Ang siyentipikong kumperensya ay gaganapin sa loob ng 3 araw. Isang kabuuang 40 ulat ang binalak - 8 ulat sa unang araw, ang iba ay pantay na ibinahagi sa pagitan ng ikalawa at ikatlong araw. Ang pagkakasunud-sunod ng mga ulat ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagguhit ng mga palabunutan. Ano ang posibilidad na ang ulat ni Propesor M. ay maiiskedyul para sa huling araw ng kumperensya?

• Ehersisyo 1. Bago magsimula ang unang round ng tennis championship, ang mga kalahok ay random na hinati sa mga pares ng laro sa pamamagitan ng lot. Sa kabuuan, 26 na manlalaro ng tennis ang lumahok sa kampeonato, kabilang ang 9 na kalahok mula sa Russia, kabilang si Timofey Trubnikov. Hanapin ang posibilidad na sa unang round ay makikipaglaro si Timofey Trubnikov sa sinumang manlalaro ng tennis mula sa Russia.

• Gawain 2. Bago magsimula ang unang round ng kampeonato sa badminton, ang mga kalahok ay random na nahahati sa mga pares ng laro sa pamamagitan ng lot. Sa kabuuan, 76 na manlalaro ng badminton ang lumahok sa kampeonato, kabilang ang 22 mga atleta mula sa Russia, kabilang si Viktor Polyakov. Hanapin ang posibilidad na sa unang round ay makakapaglaro si Viktor Polyakov sa sinumang manlalaro ng badminton mula sa Russia.

• Gawain 3. Mayroong 16 na mag-aaral sa klase, kabilang ang dalawang kaibigan - sina Oleg at Mikhail. Ang klase ay sapalarang nahahati sa 4 na pantay na grupo. Hanapin ang posibilidad na sina Oleg at Mikhail ay nasa parehong grupo.

• Gawain 4. Mayroong 33 mag-aaral sa klase, kasama sa kanila ang dalawang kaibigan - sina Andrey at Mikhail. Ang mga mag-aaral ay sapalarang nahahati sa 3 pantay na grupo. Hanapin ang posibilidad na sina Andrey at Mikhail ay nasa parehong grupo.

• Ehersisyo 1: Sa pabrika ng ceramic tableware, 20% ng mga plate na ginawa ay may depekto. Ang kontrol sa kalidad ng produkto ay nagpapakita ng 70% ng mga may sira na plato. Ang natitirang mga plato ay ibinebenta. Hanapin ang posibilidad na ang cymbal na random na pinili mo kapag binili mo ito ay walang mga depekto. Bilugan ang iyong sagot sa pinakamalapit na ikadaan.

• Gawain 2. Sa pabrika ng ceramic tableware, 30% ng mga plate na ginawa ay may depekto. Sa panahon ng kontrol sa kalidad ng produkto, 60% ng mga may sira na plato ang natukoy. Ang natitirang mga plato ay ibinebenta. Hanapin ang posibilidad na ang isang cymbal na pinili mo nang random ay may depekto. Bilugan ang iyong sagot sa pinakamalapit na ikadaan.

• Takdang-aralin 3: Dalawang pabrika ang gumagawa ng parehong salamin sa headlight. Ang unang pabrika ay gumagawa ng 30% ng mga basong ito, ang pangalawa - 70%. Ang unang pabrika ay gumagawa ng 3% ng may sira na salamin, at ang pangalawa - 4%. Hanapin ang posibilidad na ang isang baso na hindi mo sinasadyang binili sa isang tindahan ay lumabas na may sira.

Pangkat 2: paghahanap ng posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan.

• Ehersisyo 1. Ang posibilidad na matamaan ang gitna ng target mula sa layo na 20 m para sa isang propesyonal na tagabaril ay 0.85. Hanapin ang posibilidad na hindi matamaan ang gitna ng target.

• Gawain 2. Sa paggawa ng mga bearings na may diameter na 67 mm, ang posibilidad na ang diameter ay mag-iiba mula sa tinukoy na isa nang mas mababa sa 0.01 mm ay 0.965. Hanapin ang posibilidad na ang isang random na tindig ay magkakaroon ng diameter na mas mababa sa 66.99 mm o mas malaki sa 67.01 mm.

Pangkat 3: Paghahanap ng posibilidad ng hindi bababa sa isa sa mga hindi tugmang kaganapan na nagaganap. Ang formula para sa pagdaragdag ng mga probabilidad.

• Ehersisyo 1. Hanapin ang probabilidad na 5 o 6 na puntos ang igulong sa die roll.

• Gawain 2. Mayroong 30 bola sa urn: 10 pula, 5 asul at 15 puti. Hanapin ang posibilidad na gumuhit ng may kulay na bola.

• Gawain 3. Ang tagabaril ay bumaril sa isang target na nahahati sa 3 lugar. Ang posibilidad na matamaan ang unang lugar ay 0.45, ang pangalawa - 0.35. Hanapin ang posibilidad na ang tagabaril ay matamaan ang una o ang pangalawang lugar sa isang shot.

• Gawain 4. Mayroong araw-araw na bus mula sa sentro ng distrito hanggang sa nayon. Ang posibilidad na mas mababa sa 18 ang mga pasahero sa bus sa Lunes ay 0.95. Ang posibilidad na magkakaroon ng mas mababa sa 12 pasahero ay 0.6. Hanapin ang posibilidad na ang bilang ng mga pasahero ay nasa pagitan ng 12 at 17.

• Gawain 5. Ang posibilidad na ang isang bagong electric kettle ay tatagal ng higit sa isang taon ay 0.97. Ang posibilidad na tatagal ito ng higit sa dalawang taon ay 0.89. Hanapin ang posibilidad na tatagal ito ng wala pang dalawang taon, ngunit higit sa isang taon.

• Gawain 6. Ang posibilidad na ang mag-aaral na si U. ay makalutas nang tama ng higit sa 9 na mga problema sa pagsusulit sa biology ay 0.61. Ang posibilidad na malutas ng U. nang tama ang higit sa 8 mga problema ay 0.73. Hanapin ang posibilidad na malulutas ng U ang eksaktong 9 na problema nang tama.

4 pangkat: Ang posibilidad ng sabay-sabay na paglitaw ng mga independiyenteng kaganapan. Ang formula para sa pagpaparami ng mga probabilidad.

• Ehersisyo 1. Ang silid ay iluminado ng isang parol na may dalawang lampara. Ang posibilidad na masunog ang isang lampara sa isang taon ay 0.3. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isang lampara ang hindi masunog sa loob ng isang taon.

• Gawain 2. Ang silid ay iluminado ng isang parol na may tatlong lampara. Ang posibilidad na masunog ang isang lampara sa isang taon ay 0.3. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isang lampara ang hindi masunog sa loob ng isang taon.

• Gawain 3. May dalawang nagbebenta sa tindahan. Ang bawat isa sa kanila ay abala sa isang kliyente na may posibilidad na 0.4. Hanapin ang posibilidad na sa isang random na sandali ng oras ang parehong mga salespeople ay abala sa parehong oras (ipagpalagay na ang mga customer ay pumapasok nang hiwalay sa isa't isa).

• Gawain 4. May tatlong nagbebenta sa tindahan. Ang bawat isa sa kanila ay abala sa isang kliyente na may posibilidad na 0.2. Hanapin ang posibilidad na sa isang random na sandali ng oras ang lahat ng tatlong salespeople ay abala sa parehong oras (ipagpalagay na ang mga customer ay pumapasok nang hiwalay sa isa't isa).

• Takdang-aralin 5: Ayon sa mga review ng customer, pinahahalagahan ni Mikhail Mikhailovich ang pagiging maaasahan ng dalawang online na tindahan. Ang posibilidad na maihatid ang gustong produkto mula sa tindahan A ay 0.81. Ang posibilidad na maihatid ang item na ito mula sa tindahan B ay 0.93. Iniutos ni Mikhail Mikhailovich ang mga kalakal sa parehong mga tindahan nang sabay-sabay. Ipagpalagay na ang mga online na tindahan ay gumagana nang hiwalay sa isa't isa, hanapin ang posibilidad na walang tindahan ang maghahatid ng item.

• Gawain 6: Kung maglaro ng puti si grandmaster A., ​​mananalo siya laban kay grandmaster B. na may posibilidad na 0.6. Kung si A. ay naglalaro ng itim, si A. ay nanalo laban sa B. na may posibilidad na 0.4. Ang mga Grandmaster A. at B. ay naglalaro ng dalawang laro, at sa ikalawang laro ay binago nila ang kulay ng mga piraso. Hanapin ang posibilidad na manalo si A. sa parehong beses.

5 pangkat: Mga gawain para sa aplikasyon ng parehong mga formula.

• Ehersisyo 1: Ang lahat ng mga pasyente na may pinaghihinalaang hepatitis ay may pagsusuri sa dugo. Kung ang pagsusuri ay nagpapakita ng hepatitis, ang resulta ng pagsusuri ay tinatawag na positibo. Sa mga pasyenteng may hepatitis, ang pagsusuri ay nagbibigay ng positibong resulta na may posibilidad na 0.9. Kung ang pasyente ay walang hepatitis, ang pagsusuri ay maaaring magbigay ng maling positibong resulta na may posibilidad na 0.02. Nabatid na 66% ng mga pasyente na may pinaghihinalaang hepatitis ay talagang mga pasyente ng hepatitis B. Hanapin ang posibilidad na ang resulta ng pagsusuri sa isang pasyente na na-admit sa klinika na may pinaghihinalaang hepatitis ay magiging positibo.

• Gawain 2. Si Cowboy John ay may 0.9 na pagkakataon na tamaan ang isang langaw sa dingding kung magpapaputok siya ng baril. Kung si John ay nagpaputok ng isang hindi naka-print na revolver, pagkatapos ay tinamaan niya ang langaw na may posibilidad na 0.2. Mayroong 10 revolver sa mesa, kung saan 4 lamang ang binaril. Si Cowboy John ay nakakita ng langaw sa dingding, kinuha ang unang rebolber na kanyang nadatnan at binaril sa langaw. Hanapin ang posibilidad na makaligtaan si John.

Takdang-aralin 3:

Sa ilang lokalidad, ipinakita ng mga obserbasyon:

1. Kung ang umaga ng Hunyo ay malinaw, kung gayon ang posibilidad ng pag-ulan sa araw na iyon ay 0.1. 2. Kung maulap ang umaga ng Hunyo, ang posibilidad ng pag-ulan sa araw ay 0.4. 3. Ang posibilidad na ang umaga sa Hunyo ay maulap ay 0.3.

Hanapin ang posibilidad na hindi uulan sa isang random na araw ng Hunyo.

Gawain 4. Kapag nagpapaputok ng artilerya, ang awtomatikong sistema ay nagpapaputok ng isang putok sa target. Kung ang target ay hindi nawasak, ang system ay magpapaputok ng pangalawang shot. Ang mga shot ay paulit-ulit hanggang sa ang target ay nawasak. Ang posibilidad na sirain ang isang tiyak na target sa unang pagbaril ay 0.3, at sa bawat kasunod na pagbaril - 0.9. Ilang shot ang aabutin para maging 0.96 man lang ang posibilidad na masira ang target?